Tương đẳng tách luỹ đẳng trên các nửa nhóm chính quy suy rộng

Các quan hệ Green trên nửa nhóm 3

Hệ L, R, J trên S được định nghĩa như sau: aLb tương đương với việc tồn tại s sao cho s thuộc S, với điều kiện a tương ứng với sb và b tương ứng với sa Tương tự, aRb có nghĩa là tồn tại r sao cho r thuộc S, với a tương ứng với br và b tương ứng với ar Các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính của S được sinh bởi a, với S a, aS, S aS 1, 1, 1 là các biểu thức tương ứng.

Rõ ràng L, R, J là các quan hệ t-ơng đ-ơng trên S

Hơn nữa, L là một t-ơng đẳng phải và R là một t-ơng đẳng trái trên S

Với mỗi a S , ký hiệu L a , R a và J a t-ơng ứng là các L- lớp, R - lớp, J- lớp t-ơng ứng chứa a

1.1.2.Bổ đề Các quan hệ L và R giao hoán với nhau và do đó quan hệ D = L R = R L là quan hệ t-ơng đ-ơng bé nhất chứa L và R

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh L R  R L Giả sử   a b , 

L R Khi đó, tồn tại cS sao cho aLc và cRb Thế thì tồn tại u v ,  S 1 sao cho a uc và b cv Đặt d av ucv ub  Vì L là t-ơng đẳng phải nên

  a b , L kéo theo  av cv ,  L, nghĩa là   d b , L Vì R là t-ơng đẳng trái nên   c b , R kéo theo  uc ub ,  R, nghĩa là   a d ,  R Từ   a d ,  R và

  d b ,  L kéo theo   a b ,  R L và do đó L R  R L

D lớp chứa a đ-ợc ký hiệu là D a : chú ý rằng L  J và R  J nên

D  J, và nói chung D  J Với mỗi a  S , ta có hai ký hiệu th-ờng dùng: ( )

J a là iđêan chính sinh bởi a, J a( )S aS 1 1 và J a là tập tất cả các phần tử sinh của J a( ) , nghĩa là J a chính là D - lớp chứa a □

1.1.3 Định nghĩa Quan hệ H trên S đ-ợc xác định bởi H = L R, với mỗi a S , ký hiệu H - lớp chứa a là H a

1.1.4 Chú ý a) R - lớp R và L - lớp L của nửa nhóm S giao nhau khi và chỉ khi chúng đ-ợc chứa trong một D - lớp của S

Giả sử a thuộc R và b thuộc L, thì aDb xảy ra khi và chỉ khi tồn tại c thuộc S sao cho (a, c) thuộc R và (c, b) thuộc L Điều này tương đương với việc c thuộc cả R và L, tức là c thuộc giao của R và L Do đó, aDb xảy ra khi và chỉ khi giao giữa R và L khác rỗng.

Mặt khác, aDb chỉ xảy ra khi các D - lớp chứa R và L trùng nhau Để hình dung rõ hơn về các D - lớp của nửa nhóm S, chúng ta có thể sử dụng hình ảnh “hộp trứng”, trong đó các phần tử thuộc D được sắp xếp thành một bảng chữ nhật, với các dòng tương ứng với các R - lớp và các cột tương ứng với các L - lớp trong D Mỗi ô trong hộp đại diện cho một H - lớp trong D, và không có ô trống nào trong hộp Các phần tử thuộc các H - lớp không cần phải được sắp xếp theo cách đặc biệt Điều này cho thấy rằng các H - lớp trong D có cùng cấp, và các ô của hộp trứng được sắp xếp bởi một số lượng giống nhau các phần tử thuộc nửa nhóm S Nếu a và b là các phần tử thuộc nửa nhóm S, ta có thể viết a b.

Trong trường hợp S aS 1 1 S bS 1 1, có nghĩa là khi a thuộc J b( ) Quan hệ  là thứ tự bộ phận trên tập các J - lớp của S Một nửa nhóm được coi là đơn trái (phải) khi chỉ gồm một L - lớp (R - lớp), và nửa nhóm được gọi là đơn khi chỉ gồm một J - lớp Nửa nhóm S được xem là D - đơn hoặc song đơn nếu chỉ gồm một D - lớp Do D là tập con của J, nên mọi nửa nhóm song đơn cũng sẽ là nửa nhóm đơn Hơn nữa, vì R là tập con của D và L cũng là tập con của D, nên mỗi nửa nhóm đơn hoặc đơn trái đều phải là song đơn.

Giả sử a và b là các phần tử R-tương đương trong nửa nhóm S, với s và s' thuộc S sao cho as = b và bs' = a Khi đó, các ánh xạ x → xs (với x ∈ L_a) và y → ys (với y ∈ L_b) là ngược nhau, bảo toàn các R-lớp và tạo ra ánh xạ một một từ L_a sang L_b và từ L_b sang L_a tương ứng.

Chứng minh Ta ký hiệu hai ánh xạ đó bởi  và   t-ơng ứng Chú ý rằng

  là cái thu hẹp của phép chuyển dịch trong bên phải  s   s  trên tập L a (L b )

Giả sử xL a Vì L là t-ơng đẳng phải nên   x a , L kéo theo

 xs as ,   L, từ đó xs  L b Vậy  ánh xạ L a vào L b và t-ơng tự   ánh xạ

Giả sử x L a Khi đó tồn tại phần tử tS 1 sao cho xta Do đó, xxsstasstbs ta x.Vậy  là phép biến đổi đồng nhất của

L a T-ơng tự ,  là phép biến đổi đồng nhất của L b , nên  và   là các ánh xạ một một ng-ợc nhau từ L a lên L b và ng-ợc lại

Ta chứng tỏ  bảo toàn các R- lớp Thực vậy, nếu x  L a và y  x   xs thì ys   x , nghĩa là ( , ) y x  R T-ơng tự ta cũng chứng minh đ-ợc

Giả sử a và c là các phần tử D-t-ơng đ-ơng thuộc nửa nhóm S, thì tồn tại phần tử b trong S sao cho (a, b) thuộc R và (b, c) thuộc L Do đó, ta có as = b, bs' = a, tb = c, và b' = b với s, s', t, t' thuộc S Các ánh xạ x → txs (x ∈ H_a) và z → tzs' (z ∈ H_c) là ngược nhau và ánh xạ một – một các lớp H_a và H_c sang lẫn nhau, cho thấy hai H-lớp nằm trong cùng một cấu trúc.

D -líp th× cã cÊp nh- nhau

Theo bổ đề đối ngẫu với Bổ đề Green, các ánh xạ  : yty (yR b ) và   : z  t z  (zR c ) là các ánh xạ ngược nhau, đồng thời bảo toàn các L - lớp và tạo ra ánh xạ một-một từ R b lên R c và ngược lại.

Giả sử  và   là các ánh xạ trong Bổ đề Green, nh-ng thu hẹp trên

H a và H b t-ơng ứng.(vì theo bổ đề Green các ánh xạ  và   bảo toàn các

R - lớp là ánh xạ một-một giữa H a và H b, đồng thời cũng có thể ánh xạ ngược lại Tương tự, nếu  và   được thu hẹp trên H b và H c tương ứng, thì mối quan hệ giữa các không gian này cũng được xác định rõ ràng.

 và     là các ánh xạ một-một ng-ợc nhau từ H a lên H b và ng-ợc lại Nh-ng chúng trùng với các ánh xạ nêu trong định lý □

1.1.7 Định lý Tích LR của L - lớp và R - lớp bất kỳ L và R t-ơng ứng của nửa nhóm S đ-ợc chứa hoàn toàn trong một D -lớp của S

Chứng minh Định lý t-ơng đ-ơng với điều khẳng định rằng nếu

Các phần tử a, b thuộc tập S, với điều kiện aLa' và bRb' thì abDa'b' Do L là một tương đẳng phải, nên nếu a và a' thuộc L, thì (ab, a'b) cũng thuộc L Đồng thời, vì R là một tương đẳng trái, nếu b và b' thuộc R, thì (a'b, a'b') cũng thuộc R Kết quả là (ab, a'b') thuộc D.

D - lớp D của một nửa nhóm S được gọi là chính quy nếu mọi phần tử a thuộc D đều có một x trong S sao cho a = axa Định lý cho thấy nếu D là D-lớp không chính quy, thì trong D không tồn tại phần tử nào chính quy, và do đó D được coi là không chính quy Phần còn lại của bài viết sẽ trình bày lý thuyết về các D - lớp chính quy của một nửa nhóm tùy ý.

1.1.9 Định lý (i) Nếu D -lớp D của một nửa nhómS chứa phần tử chính quy thì mỗi phần tử thuộc D là chính quy

(ii) Nếu D chính quy thì mỗi L -lớp và mỗi R -lớp chứa trong D đều chứa luỹ đẳng

Nếu a và a' là các phần tử ngược nhau trong nửa nhóm S, thì e = aa' và f = aa' là các luỹ đẳng Hơn nữa, ta có ea = af = a và aa'fe = a' Do đó, e thuộc giao của R_a và L_a', trong khi f thuộc giao của R_a' và L_a Các phần tử a, a', e, f đều thuộc cùng một D-lớp của S.

Bổ đề 1.1.11 nêu rõ rằng nếu a là phần tử chính quy trong nửa nhóm S, thì aS = Sa và S = aS Hơn nữa, nếu a và b đều là các phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, thì aLb.

(aRb) khi và chỉ khi Sa  Sb  aS bS 

1.1.12 Bổ đề Mỗi luỹ đẳng e thuộc nửa nhóm S là đơn vị phải trong

L e , đơn vị trái trong R e và đơn vị trong H e

Chứng minh Nếu a  L e thì aSe và do đó aae Nếu aR e thì aeS và do đó eaa Nếu aH e L R e e thì ae ea a □

1.1.13 Bổ đề Một H -lớp có thể chứa không quá một luỹ đẳng

Chứng minh Nếu e và f là các luỹ đẳng, hơn nữa H e H f thì theo bổ đề 1.1.12, có e và f là đơn vị hai phía nên e= f □

Định lý Green khẳng định rằng nếu các phần tử a, b và ab thuộc cùng một H-lớp H trong nửa nhóm S, thì H là một nhóm con Đặc biệt, mọi H-lớp chứa lũy đẳng đều được xác định là nhóm con.

Để chứng minh, trước tiên chúng ta cần xác định rằng nếu h và hs thuộc cùng một H - lớp H của nửa nhóm S, thì Hs = HsH = H Cụ thể, khi đó hRhs và theo Bổ đề Green (1.1.5), ánh xạ x → xs là ánh xạ một-một từ H h lên H hs, tức là từ H lên chính nó Mệnh đề đối ngẫu được suy ra từ đây.

Bây giờ giả sử a,b,ab thuộc cùng một H -lớp H Theo chú ý trên

Giả sử x, y là các phần tử thuộc nhóm H Khi đó, ta có xb = Hb = H, từ đó suy ra xH = H Điều này cho thấy xy thuộc H Tiếp tục áp dụng điều này, ta nhận thấy H y = H Từ các đẳng thức xH = H và yH = H với x, y là các phần tử tùy ý trong H, ta kết luận rằng H là một nhóm con của S.

Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm ng-ợc 8

chính quy nếu a  aSa hay nói cách khác: a = axa với x  S Nửa nhóm S đ-ợc gọi là chính quy nếu mỗi phần tử của nó là chính quy.

Nếu axa = a, thì e = ax là một luỹ đẳng và ea = a Ta có e^2 = (ax)(ax) = (axa)x = ax = e, và ea = axa = a Tương tự, f = xa cũng là một luỹ đẳng của S với af = a Nếu a là phần tử chính quy trong nửa nhóm S, thì iđêan chính aS 1 = a ∪ aS sinh bởi a bằng aS, vì a = af kéo theo a ∈ aS Tương tự, S 1 a = Sa.

Phần tử a thuộc nửa nhóm S được coi là chính quy nếu và chỉ nếu ý tưởng chính phải (hoặc trái) của nửa nhóm S sinh ra từ a có thể được sinh ra bởi một luỹ thừa nào đó Cụ thể, điều này có nghĩa là aS1 = eS1 và S1a = S1e.

Nếu a là chính quy, thì axa = a với x thuộc S và e = ax là phần tử luỹ đẳng của S, mà ea = a Do đó, aS1 = eS1 Ngược lại, giả thiết rằng aS1 = eS1 và e^2 = e, suy ra a = ex với x thuộc S Từ đó, ea = e^2x = ex = a, và e = ay với y thuộc S1, dẫn đến a = ea = aya Nếu y = 1, thì a = a^2 và a = aaa Do đó, mọi trường hợp a ∈ aSa, tức là a là chính quy.

Trong lý thuyết nhóm, hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S được xem là ngược nhau nếu thỏa mãn điều kiện aba = a và bab = b Hơn nữa, nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược khi mỗi phần tử trong nó có đúng một phần tử ngược duy nhất.

Nếu a và b là các phần tử thuộc nhóm con tối đại H của nửa nhóm S, và S là một nhóm, thì a và b được coi là ngược nhau khi và chỉ khi chúng là nghịch đảo của nhau trong nhóm theo nghĩa thông thường.

Nếu phần tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ng-ợc với nó thì a là chính quy

Nếu a là phần tử chính quy trong nửa nhóm S, với điều kiện axa = a và x thuộc S, thì tồn tại ít nhất một phần tử nghịch đảo của a, được ký hiệu là xax.

Chứng minh Giả sử b = xax Thế thì: aba = a(xax)a = ax(axa) = axa = a bab = (xax)a(xax)= x(axa)(xax)=xa(xax)

Do đó b ng-ợc với a □

Bổ đề 1.2.5 nêu rõ rằng, hai phần tử trong một nửa nhóm S được coi là nghịch đảo của nhau trong một nhóm con của S khi và chỉ khi chúng là ngược nhau và giao hoán với nhau.

Giả sử a và b là các phần tử ngược nhau và giao hoán trong một nửa nhóm S với e = ab Khi đó, e là phần tử luỹ đẳng, và hơn nữa, ea cũng có tính chất tương tự.

= ae =a và eb = be = b Do đó a và b là các phần tử khả nghịch trong eSe và thuộc nhóm con tối đại He của S chứa e

Vì ab = ba = e nên a và b là nghịch đảo của nhau trong nhóm He

Mệnh đề đảo là hiển nhiên □

Một phần tử chính quy có thể tương ứng với nhiều phần tử ngược Nửa nhóm ngược là tập hợp trong đó mỗi phần tử có một phần tử ngược duy nhất, được Vácne (1952b) gọi là “nhóm suy rộng” Hiện nay, các nửa nhóm ngược đang trở thành đối tượng nghiên cứu tiềm năng vì chúng có nhiều điểm tương đồng với các nhóm.

1.2.6 Bổ đề Nếu e, f, ef và fe là các luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và fe ng-ợc nhau

Chứng minh Ta có (ef)(fe)(ef)= ef 2 e 2 f = efef = (ef) 2 = ef

T-ơng tự (fe)(ef)(fe) = fe □

1.2.7 Định lý Ba điều kiện sau đối với một nửa nhóm S là t-ơng đ-ơng :

(i) S chính quy và hai luỹ đẳng bất kỳ của nó giao hoán với nhau

(ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh luỹ đẳng duy nhất

(iii) S là nửa nhóm ng-ợc ( tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ng-ợc duy nhất)

Theo Bổ đề 1.2.2, mỗi iđêan chính phải S có ít nhất một phần tử sinh luỹ đẳng Giả sử e và f là các luỹ đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải, tức là eS = fS Từ đó, ta có ef = f và fe = e Tuy nhiên, vì ef = fe, nên kết luận rằng e = f.

Theo Bổ đề 1.2 của nửa nhóm S chính quy, để chứng minh sự duy nhất của phần tử ngược, giả sử b và c là phần tử ngược với a Khi đó, ta có các phương trình aba = a, bab = b, aca = a, và cac = c Từ những phương trình này, suy ra abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca = Sa = Sca, dẫn đến ab = ac và ba = ca theo (ii) Kết luận, b = bab = bac = c.

Rõ ràng, một nửa nhóm ngược là chính quy, và chúng ta cần chứng minh rằng hai luỹ đẳng bất kỳ giao hoán với nhau Để bắt đầu, ta chứng minh rằng tích ef của hai luỹ đẳng e và f là một luỹ đẳng Giả sử a là phần tử ngược duy nhất của ef, khi đó (ef)a(ef) = ef và a(ef)a = a Đặt b = ae, ta có (ef)b(ef) = efae^2f = efaef = ef và b(ef)b = ae^2fae = aefae = ae = b.

Do đó, b là phần tử ngược của ef, theo tính chất (iii) ta có ae = b = a Tương tự, ta có thể chứng minh rằng fa = a Vì vậy, a² = (ae)(fa) = a(ef)a = a.

Một luỹ đẳng là phần tử ngược với chính nó, và theo điều kiện đã nêu, ta có thể kết luận rằng a = ef, tức là ef là luỹ đẳng Nếu e và f là hai luỹ đẳng bất kỳ, theo chứng minh trước đó, thì ef và fe cũng sẽ là luỹ đẳng Theo bổ đề 1.1.6, chúng sẽ là ngược nhau.

Vậy ef và fe đều ng-ợc ef, do đó ef = fe □

Giả sử S là một nửa nhóm ng-ợc Ta sẽ ký hiệu phần tử ng-ợc với a  S là a -1 Vậy: aa -1 a = a và a -1 aa -1 = a -1

Luỹ đẳng e = aa -1 (f = a -1 a) được gọi là đơn vị trái (phải) của phần tử a Đặc trưng của nó là luỹ đẳng duy nhất sinh ra lý thuyết về lý tưởng phải (trái) aS (Sa).

T-ơng đẳng tách luỹ đẳng trên nửa nhóm ng-ợc 12

1.3.1.1 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm ng-ợc và  : S  P là một đồng cấu nửa nhóm Thế thì  (S ) là một nửa nhóm con ng-ợc của P

Chứng minh Vì   x    xx  1 x     x    x  1   x nên   S là một nửa nhóm chÝnh quy

Giả sử g , h  E   S  Khi đó tồn tại e f ,  E S   sao cho g    e và

  f h   Do đó gh          e  f   ef   fe  hg nên các luỹ đẳng của   S giao hoán Từ đó    S là nửa nhóm con ng-ợc của P □

1.3.1.2 Hệ quả Nếu  là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S thì S/  là một nửa nhóm ng-ợc

1.3.1.3 Hệ quả i, Giả sử  là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S Thế thì

Giả sử \(\alpha : S \rightarrow P\) là đồng cấu từ nửa nhóm ngược \(S\) lên nửa nhóm \(P\), thì \(\alpha(x^{-1}) = \alpha(x)^{-1}\) với mọi \(x \in S\) Một nửa nhóm con \(T\) của nửa nhóm ngược \(S\) được gọi là nửa nhóm con ngược nếu với mọi \(x \in T\), phần tử nghịch đảo \(x^{-1} \in T\).

Chú ý rằng không phải mọi nửa nhóm con của một nửa nhóm ng-ợc đều là nửa nhóm con ng-ợc Thực tế là:

Giả sử A là một nửa nhóm con của nửa nhóm ngược S A sẽ được xem là một nửa nhóm con ngược của S nếu và chỉ nếu với mọi phần tử x thuộc A, thì phần tử nghịch đảo x⁻¹ cũng thuộc A.

Nh- là một hệ quả của 1.3.1.4, có

1.3.1.5 Hệ quả Giả sử  : S  P là một đồng cấu từ nửa nhóm ng-ợc S vào nửa nhóm P Nếu e E   P thì   1   e là một nửa nhóm con ng-ợc của S

Chứng minh Nếu   x  e    y thì       xy   x  y  e e  e 2  e nên

  e xy    1 Do đó   1   e là một nửa nhóm con của S

Nếu x thuộc vào nửa nhóm S, thì hàm α(x) bằng e, dẫn đến α(x) - 1 = e - 1 = e Do đó, α⁻¹(e) là nửa nhóm con ngược của S Định nghĩa: Với mỗi lý thuyết I của nửa nhóm S, ký hiệu S/I là thương Rees và S được gọi là một mở rộng lý thuyết của I bởi S/I.

1.3.1.6 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của nửa nhóm S Khi đó S là một nửa nhóm ng-ợc nếu và chỉ nếu I và S/I là nửa nhóm ng-ợc

Hạt nhân của một t-ơng đẳng  trên nửa nhóm S chứa luỹ đẳng được định nghĩa là tập hợp ker() = { x ∈ S | x  e với e ∈ E(S) } Đồng thời, vết của  là tập tr() = { (e, f) | e, f ∈ E(S) }.

Từ định nghĩa suy ra ker() =  e  , e  E   S

1.3.2.1 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm ng-ợc,  và  là các t-ơng đẳng trên S Thế thì

Chứng minh Một chiều của khẳng định là hiển nhiên

1 y yx x yx y x x x y x x x y x x yx x yx xx yx xx y x

Mặt khác x  y  x  1  y  1  x  1 y  y  1 y  yx  1 y  y (2) Từ (1), (2) có y x  Từ đó    □

1.3.2.2 Hệ quả Giả sử  và  là các t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S Thế thì:

1.3.2.3 Định lý ( Định lý Vagner ) Giả sử  và  là các t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S Thế thì:

    ker   ker  và tr     tr 

Nói cách khác, nếu  : S  P và  : S  T là các toàn cấu nửa nhóm ng-ợc S thì ker   = ker   nếu và chỉ nếu với mọi x S và e , f  E   S có:

Chứng minh Một chiều của khẳng định là hiển nhiên

Giả sử ker   ker  và tr      tr  Nếu e E   S thì

 xx e xx e ee x e xx f fx x f S E f x e

Và nh- vậy e  f và f  x đúng, nên e  x do đó e   e  T-ơng tự

 e e  nên e   e  Từ đó  =  theo Hệ quả 3.2.2 □

1.3.3 Sự phân loại theo vết T-ơng đẳng trên các nửa nhóm ng-ợc đ-ợc phân loại theo vết của chúng

1.3.3.1 Bổ đề Giả sử S là nửa nhóm ng-ợc, x S và e E   S Thế thì

Chứng minh rằng các luỹ đẳng của S giao hoán và xx  1, x  1 x thuộc E(S) dẫn đến x  1 ex thuộc E(S) Định nghĩa t-ơng đẳng  min trên nửa nhóm ng-ợc S bằng cách xác định rằng x  min y nếu và chỉ nếu tồn tại e thuộc E(S) sao cho xe = ye và x  1  y  1.

1.3.3.2 Định lý Đối với mỗi t-ơng đẳng  trên nửa nhóm ng-ợc S,

 min là t-ơng đẳng bé nhất có vết bằng tr(  ) Định nghĩa Đối với một t-ơng đẳng  trên nửa nhóm S, ta xác định

 max bởi x  max y   e  E   S : x  1 ex  y  1 ey

1.3.3.3 Định lý Giả sử  là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S Thế thì  max là một t-ơng đẳng lớn nhất trên S có vết bằng tr  

Bây giờ, chúng ta xét một loại t-ơng đẳng đặc biệt trên nửa nhóm ng-ợc: T-ơng đẳng tách luỹ đẳng

1.3.3.4 Định nghĩa Một t-ơng đẳng  trên nửa nhóm S đ-ợc gọi là t-ơng đẳng tách lũy đẳng nếu thỏa mãn điều kiện  e f ,  E S : e f    e f

Từ định nghĩa 1.3.3.4 trực tiếp suy ra

1.3.3.5 Bổ đề Nếu là một t-ơng đẳng tách luỹ đẳng của nửa nhóm ng-ợc S, thì tr ( )  i E  {( , ) \ e e e  E S }

1.3.3.6 Chú ý Theo Định lý 1.3.3.3, đối với mỗi nửa nhóm ng-ợc S tồn tại t-ơng đẳng tách luỹ đẳng lớn nhất, đ-ợc ký hiệu là  S

1.3.3.7.Định lý Với mọi nửa nhóm ng-ợc S, có

Chứng minh Điều đó là hiển nhiên vì từ định lý 1.3.3.3, tr ( S )  i E và bởi vậy suy ra kết luận của Định lý 1.3.3.7

Chương 2 trình bày về tương đẳng tách-lũy đẳng trên các nửa nhóm chính quy suy réng Đối với nửa nhóm S, tập hợp các phần tử lũy đẳng của S được ký hiệu là E(S) hoặc E_S, trong khi tập hợp các phần tử chính quy của S được ký hiệu là (S).

Reg S Tập hợp các phần tử ng-ợc của một phần tử a S đ-ợc ký hiệu là ( )

V a , nghĩa là V a ( )    x S xax |  x axa ,  a  Đối với a S , phần tử x S đ-ợc gọi là nghịch đảo yếu của a nếu xax Giả sử a S , ký hiệu

Tập hợp W a chứa tất cả các phần tử nghịch đảo yếu của a trong S, được ký hiệu là W a( ) khi ngữ cảnh rõ ràng Nếu ρ là một quan hệ t-ương đ-ơng trên S, thì t-ương đẳng lớn nhất trên S được chứa trong ρ sẽ được ký hiệu là ρ b.

2.1 Nửa nhóm chính quy suy rộng

Nửa nhóm S được gọi là chính quy suy rộng nếu mỗi phần tử của S có một lũy thừa của nó là chính quy Cụ thể, với mọi phần tử a thuộc S, tồn tại một số nguyên n thuộc N sao cho lũy thừa n của a nằm trong tập hợp các nửa nhóm chính quy Lớp nửa nhóm này bao gồm cả nửa nhóm chính quy (khi n=1) và nửa nhóm hữu hạn, đồng thời cũng bao hàm các nửa nhóm tuần hoàn, cũng như hầu hết các nửa nhóm gần với nửa nhóm ngược và nhóm phải.

2.1.2 Ví dụ Xét S = {a, e, f } Lúc đó S là một nửa nhóm chính quy suy rộng với phép nhân đ-ợc cho bởi bảng sau:

2.1.3 Định nghĩa Một nửa nhóm chính quy suy rộng đ-ợc gọi là một nửa nhóm chính quy suy rộng orthodox nếu tất cả các phần tử chính quy của

S tạo thành một nửa nhóm con orthodox (hay t-ơng đ-ơng, nếu E S tạo thành mét b¨ng)

T-ơng đẳng tách luỹ đẳng trên S được định nghĩa là không có cặp luỹ đẳng phân biệt nào nằm trong cùng một - lớp T-ơng đẳng tách luỹ đẳng tối đại trên một nửa nhóm chính quy tồn tại và là t-ơng đẳng lớn nhất trong quan hệ H Đối với nửa nhóm chính quy suy rộng, Edwards đã chứng minh rằng t-ơng đẳng tách luỹ đẳng tối đại không chỉ tồn tại mà còn có thể được xem như hạt nhân của một biểu diễn.

T-ơng đẳng tách - luỹ đẳng trên nửa nhóm chính quy 18

Chúng tôi sẽ nghiên cứu các t-ơng đẳng tách các luỹ đẳng trên nửa nhóm chính quy mở rộng, đồng thời đưa ra một số kết quả mô tả t-ơng đẳng tách các luỹ đẳng tối đại.

Chúng ta bắt đầu với các kết quả đã biết:

Giả sử S là nửa nhóm chính quy suy rộng, định nghĩa trên S là một quan hệ  Quan hệ này được thiết lập với hai phần tử a và b thuộc S, trong đó: a b xảy ra nếu x thuộc Re(g S) thì với mọi x, nếu aRxa và xRb, thì xaHxb; và nếu xLxa và xLbx, thì axHbx.

Edwards đã chứng minh rằng  là t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng tối đa trên S, và có thể được xem như là hạt nhân của một biểu diễn thích hợp trên S.

2.2.1 Bổ đề ([4]) Các điều kiện sau đây đối với một t-ơng đẳng chính quy suy rộng S là t-ơng đ-ơng:

(ii) Đối với mọi e E S và mọi b S e b ,  H e H b ;

(iii) Đối với mọi aRe ( )g S và mọi b S a b ,  H a H b ;

(iv)  là t-ơng đẳng tách các luỹ đẳng

2.2.2 Bổ đề ([4]) T-ơng đẳng  là t-ơng đẳng tách-luỹ đẳng tối đại trên nửa nhóm chính quy suy rộng S.

Nhóm H là t-ơng đẳng tách luỹ đẳng tối đại của một nửa nhóm chính quy, và quan hệ H (L, R t-ơng ứng) trên nửa nhóm chính quy có thể được đặc trưng bởi các đẳng thức của các luỹ đẳng đã cho Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa L, R và H thông qua các nghịch đảo yếu, thay thế cho các nghịch đảo ng-ợc (nghịch đảo suy rộng).

2.2.3 Định lý Giả sử a b, là các phần tử chính quy của nửa nhóm S ThÕ th×

(i) aLb nếu và chỉ nếu đối với mọi a'W a( ) tồn tại b'W b( ) sao cho aa'bb' và đối với mọi b'W b( ) tồn tại a'W a( ) sao cho a a b b'  '

(ii) aRb nếu và chỉ nếu đối với mọi a'W a( ) tồn tại b'W b( ) sao cho aa'bb' và đối với mọi b'W b( ) tồn tại a'W a( ) sao cho a a b b'  '

(iii) aHb nếu và chỉ nếu đối với mọi a'W a( ) tồn tại b b', ''W b( ) sao cho aa'bb a a b b', '  '' và đối với mọi b'W b( ) tồn tại a a', ''W a( ) sao cho aa'bb a a b b', ''  '

Chứng minh Chúng ta chỉ cần chứng minh (iii)

Giả sử a b, Re ( )g S , aHb và a'W a( ) Thế thì đối với mọi x W a ( ) tồn tại y W b ( ) sao cho ax by xa ,  yb Suy ra aa'axaa'byaa' và

Bài viết trình bày các tính chất của Mệnh đề thông qua các ký hiệu toán học như b' = yaa b' và b bb' = yaa bya a' Các ký hiệu này thể hiện mối quan hệ giữa các biến và được sử dụng để chứng minh các tính chất cụ thể trong một hệ thống toán học Việc phân tích các mối quan hệ này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và quy luật của Mệnh đề.

Hơn nữa, với mọi b' thuộc W b( ), tồn tại a a', '' thuộc W a( ) sao cho aa' = bb' và a a b b', '' = ' Ngược lại, với mọi a' thuộc V a( ), tồn tại b b', '' thuộc W b( ) sao cho điều kiện tương ứng được thỏa mãn.

' ', ' '' aa bb a a b b Thế thì R a R aa a ' R bb b ' R b và L a L aa a ' L ab b '' L b Đối ngẫu, ta có thể chứng minh đ-ợc rằng R b R L a , b L a Từ đó a b , a b

Giả sử S là một nửa nhóm chính quy mở rộng với tập hợp các luỹ đẳng là E

* Định nghĩa một quan hệ  trên S cho bởi: với a b S, 

Thế thì  là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên S

* Ký hiệu  là quan hệ đã đ-ợc mô tả trong Định lý 2.3.(iii): với , a b S

Trong nghiên cứu của Edwards [4], một số đặc trưng của các tường đẳng tách - luỹ đẳng trên nửa nhóm chính quy suy rộng đã được đưa ra Bài viết này trình bày các đặc trưng liên quan đến các loại tường đẳng, từ đó làm rõ các quan hệ  và  đã nêu.

2.2.4 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm chính quy suy rộng và  là một t-ơng đẳng trên S Thế thì các điều kiện sau đây là t-ơng đ-ơng:

(iii)  là t-ơng đẳng tách- luỹ đẳng

Chứng minh ( )i  ( )ii : Hiển nhiên

( )ii  ( )iii Giả sử  là một t-ơng đẳng trên S và   Giả sử

, S e f E với e f Thế thì e f Từ đó, đối với e W e ( ), tồn tại

', '' ( ) f f W f sao cho f f ' e f f'' , nên e ef  fe Đối ngẫu, chúng ta có thể chứng tỏ đ-ợc rằng f ef  fe Do đó e f nên  tách - luỹ đẳng

( )iii  ( )i Giả sử  là một t-ơng đẳng tách luỹ đẳng trên S và a b với a b S,  Đối với mọi a'W a( ), có a a a b'  '

Giả sử m là số nguyên lớn nhất sao cho ( ' )a b m Re ( )g S từ đó ' ( ' ) m aa  a b Và do đó a a' H( ' )a b m theo Bổ đề 2.2.1(iii), nghĩa là

( ' )a b m H a a ' Giả sử c là phần tử nghịch đảo của ( ' )a b m trong H a a ' Thế thì

Mặt khác, ta có mối quan hệ giữa các đại lượng bb' và bc a b( ' ) m - 1 a' Từ đó, suy ra rằng aa' = bb' và  là t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng Đối ngẫu, có thể chứng minh rằng với mọi b' thuộc W b( ), tồn tại a' thuộc W a( ) sao cho điều kiện tương ứng được thỏa mãn.

Từ định lý 2.2 4, trực tiếp suy ra

2.2.5 Hệ quả T-ơng đẳng  b ( hay  b ) là t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng tối đại trên nửa nhóm chính quy suy rộng

Quan hệ được xác định như trên thực chất là một tương đẳng trong nửa nhóm chính quy suy rộng, và do đó, nó là tương đẳng tách-lũy đẳng tối đại.

2.2.6 Định lý Quan hệ  là t-ơng đẳng tách-luỹ đẳng tối đại trên nửa nhóm chính quy suy rộng và do đó  

Giả sử S là nửa nhóm chính quy suy rộng, chúng ta cần chứng minh rằng  là một t-ơng đẳng trên S Rõ ràng,  là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên S Nếu a b và c S bất kỳ, thì (ac)'W ac( ) Từ đó, chúng ta có (ac ac ac)' ( )' ( ac)' và ((c ac)') ( (a c ac)')c ac( )' Tiếp theo, nếu (bc)' ( ac ab)' ', thì ((ac ab bc ac ab)' ') (( )' ') (ac ab ba ab)' ' ' '=(ac ab bb)' ' '.

 nghĩa là (bc)' ( ac ab)' 'W b( )

Nh- vËy: (ac)'(ac) ( ac ac ac)' ( )'(ac) ( ac a c ac a c)' ( ( )' ) (ac a a a c)' ( ' )

(ac a b b c)' ( ' ) ((ac ab bc)' ')( ) (bc bc)'( )

   và (ac ac)( )'aa'bb'bb bb' 'ba ab' '

Đối với (bc)' thuộc W bc, có thể chứng minh rằng tồn tại (ac)' trong W ac sao cho ac ac( ') = bc bc( )' và (ac ac)' = (bc bc)' Do đó, ta có ac bc.

Mặt khác, đối với (ca)'W ca( ) tuỳ ý, ta có a' ( ca c W a)'  ( ) và

' ( )' ( ) c a ca W c Từ đó tồn tại b'W b( ) sao cho aa'bb a a b b', '  ' Đặt (cb)'b c' ' Thế thì, chú ý rằng c c' aa b c cbb c', ' ' ' 'b aa bb c' ' ' 'b bb c' ' '

b c và b c' 'W cb( ) Suy ra ca ca( )'ca ca ca ca( )' ( )'caa c' 'cab c' '

Trong bài viết này, chúng ta chứng minh rằng với mọi phần tử (cb)' thuộc W(cb), tồn tại một phần tử (ca)' thuộc W(ca) sao cho (ca ca)' = (cb cb)' và ngược lại Điều này dẫn đến kết luận rằng ca và cb là tương đương, từ đó suy ra rằng τ là một quan hệ tương đương trên tập S.

Bài viết này sẽ trình bày các mô tả tương tự về tách-luỹ đẳng trên một nửa nhóm chính quy, tương tự như những nghiên cứu của Meakin và Hall đã thực hiện đối với nửa nhóm chính quy.

2.2.7 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm chính quy suy rộng với tập các luỹ đẳng là E Thế thì

( ' ( )) ( ' ( )) ( , ')( ' ', ' ' , ' ' a W a b W b x E x aa aa bb a a b b a xa b xb a b        b W b   a W a   x E x  bb aa  bb a a  b b a xa  b xb  

Chứng minh Tr-ớc hết, ta nhắc lại rằng quan hệ  là quan hệ thứ tự bộ phận trên E đ-ợc xác định bởi với e f, E e,  f ef  fe e

Kí hiệu  được định nghĩa trong Định lý và rõ ràng   Giả sử a, b thuộc S, với a b Đối với mọi a' thuộc W a( ), tồn tại b' thuộc W b( ) sao cho aa' = bb' và a a b b' = '.

' ' ' ' ' a a a a a bb và b'b bb' 'a ab' ', mà a b nên a'b' vì  là một t-ơng đẳng, đối với mọi x E với x aa', ta có a xa b xb'  ' Vì xaa'bb' nên

( ' a xa a xa )( ' )  a xa a x a '( ' )  a xa ' và ( 'b xb b xb)( ' )b xbb x b b xb'( ' )  '

Do đó, a xa' và b xb' là các lũy đẳng Vì τ tách - lũy đẳng, nên a xa b xb' = ' Đối ngẫu, chúng ta có thể chứng minh rằng, đối với mọi b' ∈ W b( ), tồn tại.

' ( ) a W a sao cho aa'bb', a a b b'  ' và đối với mọi x E với xbb',

' ' a xa b xb Do đó, a b và   Định lý tiếp theo t-ơng tự kết quả đối với nửa nhóm orthodox trong [8]

2.2.8 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm orthodox chính quy suy rộng với băng lũy đẳng e Định nghĩa quan hệ trên S bởi a b S,  ,

( ' ( ))( ' ( ))( )( ' ')( ' ' a W a b W b x E axa bxb a xa b xb b W b a W a x E axa bxb a xa b xb

Thế thì  là t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng tối đại trên S

Chứng minh Rõ ràng  là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên S

Giả sử ( , )a b  Đối với c S tuỳ ý và (ac)'W ac( ), ta có

( )' ( ) c ac W a , (ac a W c)'  ( ) Đặt a'c ac( ') Theo định nghĩa của , tồn tại

' ( ) bW b sao cho axa'bxb a xa b xb', '  ' đối với mọi x E Giả sử (bc)' ( ac ab)' '

ThÕ th× (bc bc bc)' ( )' ( ac ab bc ac ab)' ' ( )' ' ( ac ab ba ab bb)' '( ' ') '

( )' ( ' ') ' ( )' ' ' ac ab aa aa bb ac a b aa b b ac a aa aa b ac aa ab

( )'. ac ac ac ab ac ab bc

Và do đó (bc)' ( ac ab)' 'W b( ) Từ đó suy ra đối với mọi x E ,

(( )' ') ( ) ( )' ac x ac ac ac ac x ac ac a c ac xa c ac a a xa c ac a b xb c ac ab x bc bc xbc

Và (ac x ac) ( )' ( ac x ac ac ac) ( )' ( )'a cx ac a c ac( ( )' )( ( )')a

( ) ( )( ') ( ) ( )' a cx ac a a b cx ac a b bc x ac ab bc x bc