Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO Trờng đại học vinh Lê văn Quang Một số quan hệ trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn luận văn thạc sĩ Toán học Vinh 2010 2 Mục lục Mục lục 2 Mở đầu 2 Chơng I: Các kiến thức cơ sở .4 1.1. Băng và nửa dàn 4 1.2. Nửa nhóm là hợp các nhóm 7 1.3. Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm ngợc .8 1.4. Quan hệ Green trên nửa nhóm 10 1.5. Nửa nhóm 0-đơn hoàn toàn. Định lý Ress 13 Chơng II. Một số quan hệ trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn .21 2.1. Nửa nhóm chính quy hoàn toàn .21 2.2. Quan hệ Y trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn. 23 2.3. Quan hệ trên nửa nhóm chímh quy hoàn toàn .25 2.4. Mối liên hệ giữa Y và trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn 27 Kết luận .31 Luận văn đã hoàn thành các nội dung sau 31 Tài liệu tham khảo .32 Mở đầu Nửa nhóm S gọi là nửa nhóm chính quy hoàn toàn nếu nó là hợp (rời) của các nhóm con tối đại của nó. 2 3 Đối với mỗi a S, ký hiệu a -1 và a 0 là nghịch đảo nhóm của a và đơn vị của H a tơng ứng, trong đó H a là nhóm con tối đại của S chứa a. Chúng ta ký hiệu V(a)={ x S: a=axa; x=xax }. Các phần tử thuộc V(a) đợc gọi là các phần tử ngợc của a. Đối với quan hệ hai ngôi tuỳ ý trên S, ký hiệu * là tơng đẳng đợc sinh bởi Chúng ta ký hiệu tơng đẳng Clifford nhỏ nhất bởi và quan hệ bằng nhau bởi trên các nửa nhóm chính quy hoàn toàn. Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm orthodox nếu S là nửa nhóm chính qui và tập hợp các phần tử luỹ đẳng của S là một nửa con của S Nh đã biết đối với nửa nhóm orthodox tuỳ ý, quan hệ Y cho bởi a Y b V(a)= V(b), với a, b S là tơng đẳng nhỏ nhất trên . Tuy nhiên đối với nửa nhóm chính quy tổng quát S, Y không phải là tơng đẳng Clifford nhỏ nhất trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn. Quan hệ hai ngôi đợc cho bởi: ab a=a 0 ba 0 ; b=b 0 ab 0 Một nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm Clifford nếu nó là nửa nhóm chính quy hoàn toàn đồng thời là nửa nhóm ngợc. Mục đích của luận văn là dựa trên bài báo Some relations on completely regular semigroups đăng trên tạp chí Semigroups forum năm 2009 để tìm hiểu mối liên quan giữa các tơng đẳng Y và trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn. Luận văn gồm 2 chơng. Chơng 1. Các kiến thức cơ sở Trong chơng này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết nửa nhóm để làm cơ sở cho việc trình bày chơng sau. Chơng 2. Một số quan hệ trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn Trớc hết chúng tôi trình bày lại một cách có hệ thống khái niệm và tính chất cơ bản của nửa nhóm chính quy hoàn toàn, quan hệ Y và quan hệ trên lớp nửa nhóm đó, sau đó chứng minh chi tiết tính chất của các quan hệ Y và trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn (Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.3.5 và Mệnh đề 2.3.6) Phần cuối cùng trình bày chi tiết các kết qủa quan hệ Y * , Y, và trên nửa nhóm đơn hoàn toàn và nửa nhóm chính quy hoàn toàn (Hệ quả 2.4.2, Mệnh đề 2.4.3, Hệ quả 2.4.4 và Mệnh đề 2.4.5). 3 4 Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Lê Quốc Hán, ngời thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn. Cuối cùng xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học, các thầy cô giáo trong khoa và tổ Đại Số đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận đợc những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh tháng 10 năm 2010 Tác giả Chơng I: Các kiến thức cơ sở 1.1. Băng và nửa dàn. 1.1.1 Định nghĩa và ký hiệu Quan hệ Trên một tập X đợc gọi là một thứ tự bộ phận của X, nếu thoả mãn ba điều kiện: (1) a a 4 5 (2) a b và b a kéo theo a = b, (3) a b và b c kéo theo a c (a, b, c X). Nói cách khác, một thứ tự bộ phận là một quan hệ phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta viết a<b nếu a b và a b. Quan hệ ngợc với quan hệ [<] thờng đợc kí hiệu bởi [>]. Giả sử E là tập các phần tử lũy đẳng của một nửa nhóm S. Đặt e f (e, f E) nếu ef = fe = e. Nếu e f thì ta nói e đứng trớc f, và f đứng sau e. Ta chứng tỏ rằng quan hệ đó là một thứ tự bộ phận trên E. Giả sử e, , g E. Thế thì (1) e 2 = e, và do đó e e . (2) Nếu e f và f e thì ef =fe =e và fe = ef = f, do đó e = f (3) Nếu e f và f g thì ef = fe = e và fg = gf = , từ đó eg = (eg)f = e(fg) =ef = e ge = g(fe) = (gf)e = fe =e Do đó e g. Ta gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E Phần tử b thuộc tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi là cận trên của tập con Y của X, nếu y b với mỗi y Y. Cận trên b của tập Y đợc gọi là cận trên bé nhất, hoặc hợp của Y, nếu b c với mỗi cận trên c của tập Y. Nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng hợp đó là duy nhất. Cận dới và Cận dới lớn nhất hay giao đợc định nghĩa một cách đối ngẫu. Tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi là nửa dàn trên [dới], nếu mỗi tập con gồm hai phần tử {a,b} của tập X có hợp [giao] trong X; trong trờng hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp [giao]. Hợp [giao] của {a,b} ta sẽ kí hiệu bởi a b [a b]. Mỗi dàn là một tập sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là một nửa dàn trên và nửa dàn dới, Dàn X đợc gọi là đầy đủ, nếu mỗi tập con của X có một hợp và một giao. 1.1.2. Ví dụ, giả sử X là tập tất cả các phỏng nhóm con của một phỏng nhóm S kể cả tập rỗng. Thế thì X đợc sắ thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập. vì giao của một tập tùy ý các phỏng nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là một phỏng nhóm con, nếu X là một dàn đầy đủ, Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập của các phần tử thuộc tập hợp Y, trong lúc đó hợp của Y là phỏng nhóm con của S sinh bởi hợp theo lý thuyết tập của các phỏng nhóm con 5 6 thuộc Y. Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ phỏng nhóm con hay tập rỗng của S Bởi từ tơng đẳng trên S Mặt khác, tập tất cả các iđêan trái [phải, hai phía] của phỏng nhóm S, kể cả tập rỗng, đóng đối với phép hợp theo lý thuyết tập cũng nh giao, nên là một dàn con đầy đủ của đại số Bun tất cả các tập con của S. 1.1.3.Định nghĩa. Băng là một nửa nhóm S mà mỗi phần tử là lũy đẳng. Nh vậy, S = E nếu S là một băng và do đó S đợc sắ thứ tự bộ phận tự nhiên (a b khi và chỉ khi ab = ba =a ). 1.1.4. Định lý Một băng giao hoán S là một nửa dàn dới đối với thứ tự bộ phận tự nhiên trên S. Giao a b của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng. Đảo lại, một nửa dàn dới là một băng giao hoán đối với phép giao. Chú ý. Tất nhiên ta có thể là cho S là nửa dàn trên, bằng cách đặt a b, nếu ab = b, nhng để cho thống nhất, ta giữ định nghĩa đã nêu ở trên. Về sau, ta sẽ dùng từ nửa dàn nh đồng nghĩa với từ băng giao hoán. nh vậy, ta thỏa thuận rằng từ nửa dàn sẽ đ- ợc dùng với nghĩa là nửa dàn dới, nếu không nói thêm gì. Chứng minh: ở trên ta đã chứng tỏ rằng quan hệ là một thứ tự bộ phận trên S (=E). Ta cần chứng tỏ rằng tích ab (=ba) của hai phần tử a,b S trùng với cận dới lớn nhất của {a,b}. Từ baa=ba 2 =ba và (ab)b =ab 2 =ab suy ra rằng ab a và ab b. Giả sử c a và c b. Thế thì (ab)c = a(bc) =ac =c, và tơng tự, c(ab) = , từ đó c ab. 1.1.5. Ví dụ: Các băng không giao hoán. Giả sử X và Y là hai tập tùy ý. Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S = X x Y bằng cách đặt: (x 1 , y 1 )(x 2 , y 2 ) = (x 1 ,y 2 ), (x 1, x 2 X ; y 1 ,y 2 Y). Tính kết hợp và lũy đẳng của phép toán đó là hiển nhiên. Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X x Y. Lý do của tên gọi đó nh sau. Ta hãy tởng t- ợng X x Y là một băng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm (x,y) nằm ở dòng x cột y của bảng. Thế thì a 1 = (x 1 ,y 1 ) và a 2 = (x 2 ,y 2 ) là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật mà hai đỉnh kia là a 1 a 2 =(x 1 ,y 2 ) và a 2 a 1 = (x 2 ,y 1 ). Các băng chữ nhật trên X x Y và X x Y đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi X = X vàY = Y 6 7 Nếu X = 1, [Y = 1] thì băng chữ nhật trên X x Y đẳng cấu với nửa nhóm các phần tử không bên phải [trái] trên Y [X] Lý thuyết nửa nhóm không bao gồm cả lý thuyết dàn và nửa dàn lẫn lý thuyết nhóm. Nếu một loại nửa nhóm nào đó có thể hoàn toàn đợc mô tả trong phạm vi của lý thuyết nhóm và nửa dàn, thì ta coi việc nghiên cứu tiếp tục cấu trúc của các nửa nhóm đó nằm ngoài phạm vi của lý thuyết nửa nhóm. Ta hiểu sự phân tích một nửa nhóm S là sự phân chia nó thành hợp của các nửa nhóm con rời nhau S ( ). Để cho sự phân tích đó có giá trị, điều cần thiết là các nửa nhóm con S phải là các nửa nhóm thuộc loại nà đó hẹp hơn S, chẳng hạn các nửa nhóm đơn hay các nhóm. Giả sử S = { S { } là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho mỗi cặp phần tử , thuộc tập các chỉ số tồn tại phần tử để S S S . Ta định nghĩa một phép toán đại số trong bằng cách đặt = nếu S S S . Dễ thấy trở thành một băng đối với phép toán đó. Ta nói S là hợp băng các nửa nhóm S . ánh xạ xác định bởi a = nếu a S là đồng cấu từ S lên , và các nửa nhóm con S là các lớp của tơng đẳng o -1 của mỗi phần tử là một nửa nhóm con S ( ). Nếu băng giao hoán, ta nói S là hợp của nửa dàn các nửa nhóm S ( ). Nếu là cấu trúc của mỗi S ( ) là đã biết, thì có thể nói ta biết cấu trúc thô của nửa nhóm S. 1.2. Nửa nhóm là hợp các nhóm 1.2.1.Định nghĩa. Nửa nhóm S đợc gọi là đơn [ đơn trái, đơn phải], nếu nó không chứa iđêan thực sự hai phía [ trái, phải]. Các kết quả sau đây đã đợc chứng minh trong [1] - Một nửa nhóm S là đơn trái và đơn phải khi và chỉ khi nó là một nhóm. - Một nửa nhóm đơn là hợp của các nhóm khi và chỉ khi nó là đơn hoàn toàn. - Các mệnh đề sau đay đối với một nửa nhóm S là tơng đơng: i ) S là hợp các nhóm ii ) S là hợp các nửa nhóm đơn hoàn toàn 7 8 iii ) S là một nửa dàn Y các nửa nhóm đơn hoàn toàn S ( Y), trong đó Y là nửa dàn các iđêan chính của S và mỗi S là một T - lớp của S Trong bốn bổ đề dới đây ta giả thiết rằng S là một nửa nhóm ngợc và là hợp của các nhóm. Nếu aS thì ta sẽ ký hiệu là phần tử ngợc của a là a -1 , mà trong trờng hợp này chính là nghịch đảo của a trong nhóm H a . 1.2.2. Bổ đề. Giả sử e f (e,f E ) và giả sử a H f thế thì ea = ae, và ea H e 1.2.3. Bổ đề. Mỗi luỹ đẳng thuộc S nằm trong tâm của S 1.2.4. Bổ đề. Nếu thì ánh xạ , xác định bởi a , =a e (a G ) là một đồng cấu từ G vào G . Nếu thì , , = , . Hơn nữa, , là ánh xạ đồng nhất của G 1.2.5. Bổ đề. Nếu a G và b G thì a b = (a , ) = (a , ), trong đó = Kết quả sau đây đã đợc chứng minh trong [1] 1.2.6. Định lý. Giả sử Y là một nửa dàn nào đó, và ứng với mỗi Y ta lấy một nhóm G sao cho G và G rời nhau nếu trong Y. ứng với mỗi cặp phần tử , thuộc Y sao cho > ta lấy một đồng cấu , từ G vào G sao cho > > thì , , = , (1) Giả sử , là đẳng cấu đồng nhất của G . Giả sử S là hợp của tất cả các nhóm G ( Y) và ta định nghĩa tích hai phần tử bất kỳ a , b thuộc S ( a G ,b G ) bởi a b = ( a , )(b , ) (2) trong đó là tích của và trong nửa dàn Y. Thế thì S là một nửa nhóm là hợp của các nhóm, trong đó các phần tử luỹ đẳng giao hoán với nhau (hay tơng đơng với điều kiện này S là một nửa nhóm ngợc là hợp của các nhóm). Ngợc lại, mỗi nửa nhóm loại này ta có thể xây dựng bằng cách vừa trình bày. 1.3. Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm ngợc. 1.3.1. Định nghĩa 1. 8 9 i) Phần tử a của nửa nhóm S đợc gọi là phần tử chính quy nếu tồn tại phần tử x S sao cho a = axa ii) Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S đều là phần tử chính quy. 1.3.2. Ví dụ. (1) Mọi luỹ đẳng đều là phần tử chính quy. Nói riêng, nếu S có phần tử đơn vị phần tử thì phần tử ấy là phần tử chính quy. (2) Mọi nhóm đều là nửa nhóm chính quy. Nếu S là một nửa nhóm chứa luỹ đẳng thì tập hợp tất cả luỹ đẳng của S đợc ký hiệu là E(S) hay E S Bổ đề sau đây chỉ ra rằng nếu S là nửa nhóm chính quy thì E S khác rỗng 1.3.3. Bổ đề. Nếu a là phần tử chính quy trong nửa nhóm S và a = axa với x nào đó thuộc S thì ax E S và xa E S . Chứng minh. Đặt e = ax thì e 2 = ax.ax = (axa)x = ax = e nên e E S hay ax E S Tơng tự ta có ax E S 1.3.4. Bổ đề. Giả sử a là một phần tử của nửa nhóm S. Khi đó các điều kiện sau đây là tơng đơng. i) a là phần tử chính quy ii) Tồn tại e E S sao cho a R e iii) Tồn tại E S sao cho a L Chứng minh. Giả thiết rằng a là phần tử chính quy trong S. Khi đó tìm đợc x S sao cho a=axa. Đặt e = ax và = xa thì e, E S và ea = a = af nên a R e = a L f. Giả sử a R e. Khi đó a = ea và tồn tại y S 1 sao cho e=ay do đó a=ea=aya nên a chính quy. Tơng tự, có (iii) suy ra (i) Nếu e, E S thì đối với x R e L tồn tại (duy nhất) phần tử y R Le sao cho xy= e và yx=. 1.3.4.Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và a S. Khi đó phần tử x S đợc gọi là phần tử ngợc của a nếu a=axa và x=xax. Chú ý rằng một phần tử ngợc của a nếu tồn tại thì có thể không duy nhất. 1.3.5. Bổ đề. Một phần tử chính quy của nửa nhóm S có ít nhất một phần tử ng- ợc. 9 10 Chứng minh. Nếu a S chính quy thì a=axa với x thuộc S nà đó. Khi đó xax=xax.a.xax và do đó xax cũng là phần tử chính quy. Lại có a=a.xax.a và do đó xax là một phần tử ngợc của a. 1.3.6. Định nghĩa. Một nửa nhóm S đợc gọi là một nửa nhóm ngợc nếu mỗi phần tử của S đều có một phần tử ngợc duy nhất. Giả sử S là một nửa nhóm ngợc và x là một phần tử bất kỳ của S. Khi đó phần tử ngợc duy nhất của x sẽ đợc kí hiệu là x -1 . 1.3.7. Ví dụ. Nếu S là một nhóm thì S là một nửa nhóm ngợc, và phần tử ngợc của x chính là phần tử nghịch đảo nhóm của x 1.4. Quan hệ Green trên nửa nhóm 1.4.1. Định nghĩa. Ta định nghĩa quan hệ L trên một nửa nhóm S bằng cách đặt a L b khi và chỉ khi a và b sinh ra cùng một iđêan chính trái của S. Nói khác đi, L là một tập con của S x S gồm tất cả các cặp (a ,b ) sao cho a Sa = b Sb, hay S 1 a = S 1 b, trong đó S 1 trùng với S nếu S chứa đơn vị, và S 1 là nửa nhóm thu đợc từ S bằng cách ghép thêm đơn vị 1 trong trờng hợp trái lại. Rõ ràng L là một quan hệ tơng đ- ơng, hơn nữa nếu a L b thì ac L bc với c tùy ý thuộc S, tức là L tơng đẳng phải. Nếu a L b, thì ta nói a và b L - tơng đơng. Ký hiệu L a là tập tất cả các phần tử thuộc S mà L - tơng đơng với a, nói khác đi, L a là lớp tơng đơng theo mod L chứa a; ta gọi nó là L lớp chứa a. Ta định nghĩa quan hệ R một cách đối ngẫu , bằng cách đặt a R b khi và chỉ khi aS 1 = bS 1 . Chú ý rằng R là tơng đẳng trái trên S. Ta kí hiệu R a là lớp tơng đơng của S theo mod R chứa a, hay nói khác đi, là R lớp chứa a. 1.4.2. Bổ đề. Các quan hệ L và R giao hoán với nhau và vì vậy quan hệ D = L 0 R = R 0 L là quan hệ tơng đơng bé nhát L R chứa L và R. Chứng minh: Ta cần chứng tỏ rằng L 0 R R 0 L Giả sử a và b là các phần tử thuộc S sao cho a (L 0 R )b. Theo định nghĩa tích các quan hệ, tồn tại c S sao cho a L c và c R b. Theo định nghĩa của L và R suy ra rằng tồn tại u,v S 1 sao cho a = uc và b = cv. Đặt d = av = ucv = ub. Vì L là t- ơng đẳng phải nên a L c kéo theo av L cv, tức là d L b. Vì R Là tơng đẳng trái 10 . các nửa nhóm chính quy hoàn toàn. Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm orthodox nếu S là nửa nhóm chính qui và tập hợp các phần tử luỹ đẳng của S là một nửa con. trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn. Quan hệ hai ngôi đợc cho bởi: ab a=a 0 ba 0 ; b=b 0 ab 0 Một nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm Clifford nếu nó là nửa nhóm