1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LƢƠNG BÁ TÍNH NHĨM CON LIÊN KẾT VỚI NỬA NHĨM CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VINH 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LƢƠNG BÁ TÍNH NHĨM CON LIÊN KẾT VỚI NỬA NHĨM CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS LÊ QUỐC HÁN VINH 2010 Luận văn đƣợc hoàn thành trƣờng Đại học Vinh Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Quốc Hán Phản biện 1: PGS.TS Ngô Sĩ Tùng Phản biện 2: TS Nguyễn Thị Hồng Loan Luận văn đƣợc bảo vệ Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đại học Vinh Ngày 18 tháng 12 năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn thƣ viện trƣờng Đại Học Vinh MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU …………………………………………………………… … CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………………… … 1.1 Phần tử khả nghịch nhóm tối đại nhóm ……… 1.2 Nửa nhóm quy Nửa nhóm orthodox ………………… 1.3 Băng nửa dàn ………………………………………………… CHƢƠNG NHĨM CON LIÊN KẾT CỦA NỬA NHĨM CHÍNH QUY 13 2.1 Nhóm liên kết nửa nhóm – đơn hồn tồn ……… 13 2.1.1 Thƣơng nửa nhóm ……………………………… 13 2.1.2 Nửa nhóm – đơn hồn tồn ……………………………… 18 2.1.3 Nhóm liên kết nửa nhóm – đơn hồn tồn ……… 26 2.2 Nhóm liên kết nửa nhóm quy với phần tử đơn vị lũy đẳng trung tâm …………………………………………………… 29 2.3 Nhóm liên kết nửa nhóm Dubreill – Jacotin hoàn thiện… 35 KẾT LUẬN ………………………………………………………………… 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………… 42 LỜI NÓI ĐẦU Lớp nửa nhóm quy lớp nửa nhóm có nhiều tính chất đáng quan tâm Tuy nhiên, lớp nửa nhóm rộng nên việc mơ tả cấu trúc lớp nửa nhóm thƣờng gặp nhiều khó khăn Năm 1994, cơng trình “ Associate semigroups of orthodox semigroups ” đăng tạp chí “ Glasgow Math.J.”, T.S Blyth cộng đƣa khái niệm nhóm liên kết để mơ tả cấu trúc nửa nhóm orthodox, nửa nhóm quy với tập hợp luỹ đẳng tạo thành nửa nhóm Dựa báo “ On associate subgroups of regular semigroup” tác giả đăng tạp chí “ Communications in algebra ” năm 1997, chúng tơi tìm hiểu nhóm liên kết nửa nhóm quy Luận văn gồm hai chƣơng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày khái niệm sở nửa nhóm: Phần tử khả nghịch nhóm tối đại nửa nhóm, nửa nhóm quy, nửa nhóm orthodox, băng nửa dàn để làm sở cho việc trình bày chƣơng sau Chương Nhóm liên kết nửa nhóm quy Trong chƣơng này, sau trình bày khái niệm nhóm liên kết nửa nhóm quy, trƣớc hết chúng tơi tìm hiểu cấu trúc nửa nhóm liên kết nửa nhóm – đơn hồn tồn Sau chúng tơi tìm hiểu cấu trúc nhóm liên kết nửa nhóm quy với phần tử đơn vị luỹ đẳng trung tâm Cuối chúng tơi tìm hiểu cấu trúc nhóm liên kết nửa nhóm Dubreill – Jacotin hồn thiện Luận văn đƣợc thực hoàn thành trƣờng Đại Học Vinh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TS Lê Quốc Hán, ngƣời đặt vấn đề trực tiếp hƣớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Cuối xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa toán, Khoa sau đại học, thầy cô giáo khoa tổ đại số tạo điều kiện giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đƣợc đóng góp quý báu từ thầy, cô giáo đồng nghiệp Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phần tử khả nghịch nhóm tối đại nửa nhóm 1.1.1 Đinh nghĩa: Giả sử S nửa nhóm với phần tử đơn vị Nếu p q phần tử thuộc S cho pq = 1, ta gọi p nghịch đảo bên trái q, q nghịch đảo bên phải p Phần tử khả nghịch bên phải ( trái) thuộc S đƣợc định nghĩa phần tử thuộc S có nghịch đảo bên phải ( trái) thuộc S Phần tử khả nghịch thuộc S phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải 1.1.2 Định lý Giả sử S nửa nhóm có phần tử đơn vị i Tập P[Q] tất phần tử khả nghịch bên phải ( trái) S nửa nhóm với luật giả ước phải ( trái) chứa ii Tập U tất phần tử khả nghịch thuộc S nhóm S U = P  Q Mỗi phần tử khả nghịch có phần tử nghịch đảo hai phía thuộc U khơng có nghịch đảo bên trái bên phải thuộc tập iii Mỗi nhóm S chứa chứa U Chứng minh: (i) Nếu pq = p’q’ = 1, (pp’)(qq’) = điều chứng tỏ P Q nửa nhóm S Rõ ràng chúng chứa Nếu ap = bp, a, b  S p  P, P có nghịch đảo bên phải q, a = a1 = apq = b1 = b Tƣơng tự Q nửa nhóm với luật giản ƣớc bên trái (ii) Hiển nhiên U  P  Q U nửa nhóm nửa nhóm S Nếu u  U tồn phần tử x,y  S cho xu = uy = Giả sử x y phần tử tuỳ ý nhƣ thuộc S Thế x = x1 xuy = 1y = y Do phần tử nghịch đảo bên trái u phần tử nghịch đảo bên phải tuỳ ý, u có phần tử nghịch đảo hai phía u  khơng có phần tử nghịch đảo bên 10 phảivà bên trái khác Từ đẳng thức uu  uu  suy u  U , U nhóm (iii) Giả sử G nhóm tuỳ ý nửa nhóm S, chứa a  G Giả sử a 1 phần tử nghịch đảo a thuộc G Từ đẳng thức aa -1  a 1a  suy a  U , G  U 1.1.3 Định lý Giả sử e luỹ đẳng tuỳ ý nửa nhóm S H e nhóm phần tử khả nghịch nửa nhóm eSe Thế H e chứa nhóm G nửa nhóm S, mà G giao với H e Chứng minh Giả sử f đơn vị nhóm G Trƣớc hết ta chứng tỏ f= e Theo giả thiết G  H khác rỗng, giả sử a phần tử thuộc giao Nếu b c phần tử nghịch đảo a tƣơng ứng nhóm G H e e = ca = caf = ef= eab = ab = f Vì e đơn vị hai phía G, từ suy G  eSe Theo định lý 1.1.2 (iii) ta kết luận G  He 1.1.4 Định nghĩa Nhóm G nửa nhóm S đƣợc gọi nhóm tối đại S, khơng đƣợc chứa thực nhóm khác S Nếu e đơn vị nhóm tối đại G nửa nhóm S, G giao với H e , e  G  He từ theo Định lý 1.1.3 có G  He Nhƣng H  He tính tối đại G Đảo lại, e luỹ đẳng nửa nhóm S từ Định lý 1.1.3 ta suy H e nhóm tối đại S Nhƣ nhóm H e Định lý 1.1.3 có chúng nhóm tối đại nửa nhóm S Từ Định lý 1.1.3 suy rằng, e f luỹ đẳng khác nửa nhóm S, H e H f khơng giao 1.2 Na nhúm chớnh qui, na nhúm orthodox 33 2.1.3.2.Định lý Giả sử S na nhóm quy với nhóm liên kết H Thế th-ơng chÝnh J  0 0- đơn hoµn toµn víi nhóm liên kết H Chứng minh Th-ơng J  0 0- đơn §Ĩ chøng tá r»ng nã 0-đơn hoàn toàn ta cần chứng minh luỹ đẳng nguyên thuỷ Ta chứng minh ph-ơng pháp phản chứng Giả thiết luỹ đẳng nguyên thuỷ.Thế J chứa mét nöa nhãm bicyclic T = B»ng c¸ch nhËn xÐt r»ng :aa* = aa*  = aa*ab =  a= a  = aa*a**=  a** = a**  H  T-¬ng tù , b H nhận đ-ợc mâu thuẫn T đ-ợc chứa Ta có : nhóm H Từ J - đơn hoàn toàn Vì H J phép nhân J đ-ợc cho bëi :  xy x,y  J  xy =   ngƣợc lại Ta cã, víi x J , xx* Rx Jx= J xx*x= xx*x=x có x= x.y*x theo định nghĩa ta phải có x= xy*x từ y*= x* Suy H nhóm liên kết J W Do kết trên, cần quan tâm đến việc xét nửa nhóm 0- đơn hoàn toàn với nhóm liên kết chúng đ-ợc đặc tr-ng nh- sau: 2.1.3.3 Định lý: Giả sử ( G0; I; , P) mét nưa nhãm ma trËn Rees chÝnh quy trªn mét nhóm với phần t Thế H(1,1,1) nhóm liên kết ( i  I) (     ): P1i = 1= P  Chøng minh Chóng ta cã thể giả thiết P đà đ-ợc chuẩn hoá cho P1i = hƠ nµo P1i  0, vµ P  1= hƠ nµo P   0, víi P11 =1 Nếu a  0, thÕ th× H (1,1,1)  A(i, a,  ) chøa phần tử 1, g ,1 cho 34 a= a p  1g p1ia Tõ ®ã suy H (1,1,1) nhóm liên kết p 1i =1= p tất i mà tr-ờng hợp (i, a,  )* = (1, a-1, 1) 2.1.3.4 HƯ qu¶ NÕu H (1,1) nhóm liên kết, điều kiện sau t-ơng đ-ơng (1) (1,1,1) luỹ đẳng trung tâm (2) Mỗi phần tử khác Zero p  i cđa P lµ Chøng minh Phần tử luỹ đẳng khác Zero ( G0; I; , P) phần tử có dạng (i, p-1 i, ) phần tư kh¸c Zero p  i cđa P (1)  (2) Nếu (1,1,1) luỹ đẳng trung tâm (i, p-1  i,  ) (1,1,1) (i, p-1  i,  ) = (i, p-1  i,  ) p-1 i luỹ đẳng mà điều xảy p i=1 (2) (1): (2) đúng, tích khác Zero e luỹ đẳng có dạng (i,1, ) e (1,1,1) e = e từ (1,1,1) luỹ đắng trung tâm Từ kết suy với lực l-ợng nhỏ nhất, có hai nửa nhóm 0- đơn hoàn toàn với nhóm liên kết mà đơn vị luỹ đẳng trung tâm, 1 1 1 ( G0; I;  , P) ®ã G= 1 , I =  = 1, 2 vµ P =     nửa 1 1 1  nhóm thứ đẳng cấu với nửa nhóm với bảng nhân Cayley a b c d a a a c c b b b d d c a c 0 d b d 0 0 0 0 35 nửa nhóm thứ hai đẳng cấu với nửa nhóm với bảng nhân Cayley a b c d a a a c c b b b d d c a a c c d b b d d 0 0 0 2.2 Nhóm liên kết nửa nhóm quy với phần tử đơn vị lũy đẳng trung tâm Đối t-ợng tit ny mô tả cấu tróc cđa c¸c nưa nhãm chÝnh quy víi mét nhãm liên kết, mà đơn vị luỹ đẳng trung tâm Để đạt mục đích sử dụng nửa nhóm đ-ợc sinh luỹ đẳng ( hay nửa băng) chứa luỹ đẳng trung tâm nh- vật liêu xây dựng Một nửa nhãm nh- vËy nhÊt thiÕt ph¶i mét nưa nhãm chÝnh quy cấu trúc đà biết đà đ-ợc xác định thuật ngữ tích xoắn 2.2.1.Định lý Giả sử B nửa nhóm đ-ợc sinh luỹ đẳng chứa luỹ đẳng trung tâm , giả sử G nhóm Giả sử : G Aut B , đựoc xác định g g cấu xạ Trên tập hợp [ B , G] = { (x,g,a)  B  xGx  B |  g(a  )=  1( x) } ịnh nghĩa phép nhân: (x,g,a)(y,k,b)= (x  g(ay),gk,  k -1(ay)b) ThÕ th× [ B , G ]  lµ mét nưa nhãm chÝnh quy víi nhóm liên kết mà phần tử đơn vị 36 (  ,1,  ) cđa nã lµ mét luỹ đẳng trung tâm Hơn < E [ B , G]  >  B vµ H (  ,1,  )  G Chøng minh Tr-íc hÕt nhËn xét phép nhân hoàn toàn xác định Thật v©y, ta cã  g(ay)  B .B  B  vµ k (ay)b B.B  B víi 1 gh ( k 1 (ay)b)  gh ( k 1 (ay)gk (b)) (vi b B )   y (ay). k (1 (y))  g (ay)g (y)  g (ayy)  g (ay) ( trung tâm) tương tù 1 (xg (ay))  1 (x)g (ay)  g (a)g (ay) g (ay) Để thấy phep nhân kêt hợp, y rằng: (( x, g, a)(y,k,b))( z,f,c) = ( xg (ay),gk,(ay)b)(z, f, c) Và thành phÇn tích x g (ay)gk (k 1 (ay)bz)  x  g (ay)g (ay)gk (bz)  x  g (ay)gk (bz)  x  g (ayk (bz)) mà thành phần tích (x,g,a)((y, k, b)(z,f ,c))  ( x,g,a)(y k (bz), kj,  j1k1 (bz)c) Tƣơng tự thành phần thứ ba trùng với  j 1 1 k (ay) j1 (bz)c) Vì rõ ràng thành phần trùng nhau, nên phép nhân thoã mãn luật kết hợp Bây giờ, B, G   quy Thật vậy, theo chứng minh ta có  x,g,a)(,g 1  , )(x,g,a)  = xg (a)1 (x),g, 1 (a) g (x)a =  x1 (x)x,g,a1 (a)a  1  37 =  xxx,g,aaa   (x,g,a) Để nhận tập hợp luỹ đẳng  B, G  ý (x, g, a) luỹ  đẳng (x,g,a)  (xg (ax), g , g1 (ax)a) x B,a B nên điều g = 1, x = xax = xa, a = axa = axa Nhƣ rễ ràng thấy E(B,G  )  (x,1,a) \ x  a va a  V(x)   Bây ta chứng minh rằng: E B, G   B  Để đạt đƣợc mục đích đó, xét ánh xạ f:  B, G   B đƣợc xây dựng quy tắc  f(x, 1, a) = xa f cấu xạ suy từ nhận xét f (x,1, )(y,1,b)  f (xay,1,ayb)  xayb  f (x,1,a)f (y,1,b) Để thấy f đơn ánh, ta giả thiết f(x, 1, a)= f(y, 1, b) ta có xa = yb với  x  a y  b Do x = xx  xa yb yy  y tƣơng tự ta có a = b Bây nhận xét với e  B cho trƣớc ta có e  ee  e.e với eB eB Rõ ràng, ta có ( ea,1, e) B, G  , viết dƣới dạng  ( e,1, e)(e,1, e) Rõ ràng nhân tử thuộc E  B, G   nên (e,1, e) E B, G  Bây f toàn ánh suy từ f (e,1, e)  e.e  e từ f  đẳng cấu Vì  luỹ đẳng trung tâm B nên (,1, )  f 1 () luỹ đẳng trung tâm  B, G   Cuối cùng, nhận xét K    G   nhóm nửa nhóm  B, G   với phần tử đơn vị (,1, ) Một tính tốn đơn giản thể 38 (x, g, a) có K  A(x,g,a)  (,g 1, ) Từ ta kết luận K nhóm liên kết H(,1, )  K  G Mỗi nửa nhóm quy với nhóm liên kết mà phần tử đơn vị luỹ đẳng trung tâm xuất theo nghĩa thực chất kết sau 2.2.2 Định lý Giả sử S nửa nhóm quy với nhóm liên kết H  mà phần tử đơn vị  luỹ đẳng trung tâm S Đối với y S , giả sử y* cho H  A(y)  y* , x H  , giả sử x :  E(S)   E(S)  cho x (e)  x x* thé thì: (1) x Aut E(S)  (2)  :H  Aut  E(S)  xác định x  x cấu xạ (3) S   E(S) , H   Chứng minh: Tƣớc hết nhận xét x H e E(S) , xex *xex *  xe ex *  xex * (1) Để thấy  , đƣợc xác định nhƣ vậy, thuộc Aut  E(S)  , cần ý x ( e,  f )  xef x *  xex * xxfx *  x (e) f ) x x* ( e  )  xx* e  x** x*   e  nên x x*  id (2) Bây xét ánh xạ    Aut  E(S)  xác định x x cấu xạ suy từ công thức (xy)*  y*x* ( Xem [4, Định lý 4]) x (y ( e ))  xy e y*x*  xy e(xy)*  xy ( e) (3)Bằng cách sử dụng (1), (2) Định lý 2.2.1, ta xây dựng  E(S) , H   Vì, x S ta có xx  x*x  E(S) với x** (x*x)  x**x*xx*  xx*   (xx* ) * = xx* E(S)  x*x = 39 nên (xx* , x** , x*x) E(S) , H   Do ta định nghĩa  :S   E(S) , H   theo quy tắc (x) (xx* , x** , x*x)  cấu xạ suy từ (x) (y)  (xx * , x ** , x *x)(yy* , y** , y* y)  (xx *x** (x * xyy* ), x ** y** , y* (x * xyy* )y* y)  (xx * x ** x * xyy* x * , x ** y** , y* x * xyy* y** y* y)  ( xyy* x * , x ** y** , y* x * xy)  (xy(xy)* , (xy)** , (xy)* xy) = (xy) ( Theo [4, Định lý 4] ) Để thấy  đơn ánh, nhận xét (x) (y) x = xx*x*x*x* x = yy*y**y*y = y Cuối cùng,  toàn ánh Thật vậy, cho trƣớc ( e , x, xf ) E(S) , H   , xét z = e xf  * * Chú ý e  e  e ta có H  A(e)  e , nên e   e E(S) Do ** ** z**  e x** f   x  x z*  x* , từ zz*  e xf x*  exf x*  ex (f )  e  (e )  e e   e  tƣơng tự z*z  x* e xf  x*exf x* (e )f  ( f )f  f f f Từ (z)  (e, x, f ) , nên  tồn ánh  đẳng cấu W Kết đƣợc điều chỉnh để bao trƣờng hợp nửa nhóm chứa phần tử zero 2.2.3 Chú ý (1) Trong Định lý 2.2.1, giả thiết B chứa Thế K  0 G 0 Iđêan  B;G   thƣơng Rees B;G   / K có chứa nhóm liên két  G  (2) Trong Định lý 2.2.2, giả thiết S có phần tử 0, với y* đƣợc định nghĩa y  Từ thƣơng Rees  E(S) ; H   / K , nhận xét 40 phần tử khác – zero phần tử dạng ( e, x, f )  E(S) ; H   mà e  f  Thế ánh xạ  :S   E(S) ; H   / K đƣợc xác định (xx* , x** , x*x) ( x)   0 x  đẳng cấu x = Nhận xét việc xây dựng định lý phụ thuộc vào  mà không phụ thuộc vào cách chọn luỹ đẳng trung tâm Thực ra,  luỹ đẳng rung tâm,   hai phần tử ngƣợc nhau, chúng D lớp, theo T.E.Hall (1973), ta có  S   S 2.3 Nhóm liên kết nửa nhóm Dubreill – Jacotin hồn thiện Bây chúng tơi trình bày mơ tả hai áp dụng Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.2 Trƣớc hết trình bày cấu trúc nhóm orthodox với nhóm liên kết Thực ra, S nửa nhóm nhƣ phần tử đơn vị  nhóm liên kết H thiết luỹ đẳng trung tâm Do cần thay nửa băng B Định lý 2.2.1 băng B chứa luỹ đẳng trung tâm ng dụng thứ hai định lý mô tả cấu trúc nửa nhóm Dubreill- Jacotin mà tập hợp thặng d- phần tử song tối đại tạo thành nhóm 2.3.1 nh ngha Một nửa nhóm Dubreill- Jacotin mạnh nửa nhóm đ-ợc thứ tự S mà tồn nhóm đ-ợc thứ tự G mt toàn cấu f: S G thặng d- đ-ợc theo nghĩa: Nghịch ảnh d-ới f tập d-ới G tập phía d-ới S Nói riêng, nghịch ảnh nón âm N(G)= x G / x  1 cđa G lµ mét tËp phÝa d-íi chÝnh   x  S / x   , phần tử đ-ợc gọi song cực đại đồng thặng d- theo nghĩa: 41 i vi x  S, tập phía dƣới  y  S : xy     y S :yx    trùng có phần tử lớn nhất, đƣợc ký hiệu  : x Từ suy nhóm đƣợc thứ tự G sai khác đẳng cấp đƣợc cho S / A A bao đóng tƣơng đƣơng đƣợc mơ tả (x, y)  A   : x   : y Chú ý Một nửa nhóm Dubrei- Jacotin mạnh hồn thiện đƣợc theo thứ tự tự nhiên Bây giờ, nửa nhóm Dubreill – Jacotin mạnh S ta có S / A nhóm mà ảnh đồng cấu S Từ suy luỹ đẳng e S, e [ ]A E (S )  [ ]A Nếu S hoàn thiện x [ ]A   : x   :    x  x( : x) x  x x , x ,  x E(S )  x  x x  x E (S ) nên [ ]A  E (S ) Do đó, nửa nhóm Dubreill- Jacotin hồn thiện S, [ ]A  E ( S ) Vì S đƣợc thứ tự tự nhiên nên suy  luỹ đẳng trung tâm ( mà thực tế chuẩn tắc theo nghĩa  E (S ) nửa dàn) Bây khảo sát: Với điều kiện H  nhóm liên kết Để đạt đƣợc mục đích ký hiệu  S 2.3.2.Định lý Nếu S nửa nhóm Dubreill- Jacotin hồn thiện điều kiện sau tương đương (1) H  nhóm liên kết (2) S nhóm  S/ A cấu xạ (3) Toàn cấu thặng dư: S  Chứng minh: 42 Trƣớc hết nhận xét quan hệ Green nửa nhóm S đƣợc cho (a;b) a( : a)  b( : b) Thật rõ ràng (a,a( : a))  a( : a)  b( : b) cho ta (a, b) Đảo lại, (a, b) (a( : a), b( : b)) a( : a)  a( : a)  b( : b)  b( : b) Tƣơng tự, L đƣợc cho (a, b)L  ( : a)a  ( : b)b Bây nhận xét x S , H  A(x)   H  A(x)  ( : x) ( ) Thật vậy, yH  A(x) thì: y( : y)  ( : y)y, xyx = x Sau đó, cách chuyển qua thƣơng modulo A  nhận đƣợc: [y]A  [x]-1A  [:x]A Do  : y  : ( : x) Kết hợp lại, ta nhận đƣợc:   y[:(:x)]  [:(:y)][:(:y)][:(:x)] [y]A [x]A  [x]-1A [x]A =[]A Do đó,  phần tử lớn []A , nên:    [:(:y)][:(:x)]= (:x)(:y) y  y( : y)y y  ( : x)( : y)y  ( : x)  : x nên H    : x (1)  (2) Trực tiếp suy từ () H  nhóm liên kết x*   :x , từ S nửa nhóm (2)  (1) Nếu S nửa nhóm con, từ ( : x)[:(:x)] [x]-1A [x]A []A    nhận đƣợc (:x)[:( :x)]=  cách tƣơng tự ta có [:(:x)](:x) =  43  :x H Vì  :x A(x) nên  :x H  A(x) (), H nhóm liên kết (2)  (3) Thặng dƣ *  *  :s  s / A đƣợc cho   [x]A  max y S *+ (y)  [x]   :(  : x) Rõ ràng, Im*   S Nếu S nhóm (:x) (:y) :yx cho ta [:(:x)][:( :y)]= :( :x)(:y) = : (: xy) Từ *  cấu xạ Đảo lại, (  :x) ( :y)  * [:x]A *  *  cấu xạ [:y]A  * [(:x) ( :y)]A Im*   S nên S nửa nhóm Vì *  tồn ánh nên *  tồn ánh Từ S nhóm Với việc xét trên, chuyển sang ngôn ngữ thứ tự Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.2 Để đạt đƣợc mục đích đó, xin nhắc lại nửa nhóm quy đƣợc thứ tự S đƣợc gọi thứ tự nếu, x S, x*  max  y S:xyx  x tồn Một nửa nhóm quy đƣợc thứ tự S Dubreill- Jacotin hoàn thiện (1) S đƣợc thứ tự (2) S đƣợc thứ tự tự nhiên (3) S có phần tử luỹ đẳng lớn Đối với nửa nhóm đƣợc thứ tự S cho ký hiệu Aut*S nhóm tự đẳng cấu S 2.3.3.Định lý Giả sử B nửa nhóm sinh luỹ đẳng đƣợc tứ tự tự nhiên với luỹ đẳng lớn  lũy đẳng trung tâm, giả sử G nhóm đƣợc thứ tự Giả sử  : G Aut * B cấu xạ bảo tồn thứ tự Thế dƣới thứ tự Đề nửa nhóm quy  B, G   nửa nhóm 44 Dubreill- Jacotin mà tập hợp thặng dƣ phần tử song cực đại ( ,1,  ) tạo thành nhóm Hơn quan hệ Green L  quy có đẳng cấu thứ tự E (  B,G    B,  B,G  ( ,1, )  G Chứng minh: Dễ thấy nửa nhóm quy  B,G  nửa nhóm đƣợc thứ tự  Bằng cách sử dụng  phần tử lớn B , dễ thấy  B,G  đƣợc  thứ tự chính: Đối với (x,g,a) có ( x, g , a)*  ( , g 1,  ) Vì phép tốn ngơi * phản thứ tự nên  B, G  đƣợc thứ tự tự nhiên  Vì ( ,1,  ) luỹ đẳng lớn nhất, nửa nhóm quy đƣợc thứ tự  B,G   Dubreill – Jacotin hoàn thiện (  ,1 ):( x, g, a)  ( x, g, a)* Suy (x, g, A  (, g, ) nên   mô cấu định lý 5,  B, G   (  ,g, ) * * nhóm, thực phép tốn nhận đƣợc ( x, g, a)( x, g, a)* = ( x, 1, x) , ( x, g, a)* ( x, g, a) = ( a,1,a) Từ L R quy Cuối cùng, đẳng thức thứ tự đƣợc nêu rõ ràng Mỗi nhóm Dubreill – Jacotin hồn thiện mà tập hợp thặng dƣ phần tử song cực đại tạo thành nhóm qua hệ Green L R quy nảy sinh theo ý nghĩa chất kết sau đây, mà ta viết  A nhƣ E 2.3.4.Định lý Giải sử S nửa nhóm Dubreil – Jacotin hồn thiện Giả thiết S   :x| x S nhóm S quan hệ L R quy Đối với x S Giả sử v x :  E  E  cho v x (e)  xe( : x) (1) v x Aut*E 45 (2) v :S  Aut*E cho x v x cấu xạ bảo toàn thứ tự (3) Như nhóm thứ tự, có S  E;S  v Chứng minh Điều đƣợc suy theo cách nhƣ chứng minh Định lý 2.3.3, với x*   : x , cách kiểm tra tất ánh xạ định lý bảo toàn thứ tự Các giả thiết L R quy đảm bảo ánh xạ  đẳng cấu nhóm đƣợc thứ tự Ở xét trƣờng hợp  B, G  đƣợc trang bị với thứ tự Đề các,  mà trƣờng hợp tính quy L R cần thiết nhằm mục đích đạt đƣợc đẳng cấu thứ tự Vì thành phần phần tử thuộc  B, G  đến từ nhóm thứ tự nên xét thứ tự khác ( dạng   từ điển )  B, G  cách đạt đƣợc dạng khác nửa  nhóm Dubreill – Jacotin hồn thiện mà tập hợp thặng dƣ tạo thành nhóm 46 KẾT LUẬN Luận văn hồn thành cơng việc sau đây: Hệ thống kiến thức sở lý thuyết nửa nhóm: Nửa nhóm quy, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm – đơn hồn tồn, băng nửa dàn, nhóm tối đại nửa nhóm Chứng minh chi tiết số tính chất nhóm liên kết nửa nhóm quy hồn tồn (Định lý 2.1.3.2, Định lý 2.1.3.3) Chứng minh chi tiết định lý đặc trƣng nhóm liên kết nửa nhóm quy phần tử đơn vị luỹ đẳng trung tâm (Định lý 2.2.2 ) Chứng minh chi tiết định lý đặc trƣng nhóm liên kết nửa nhóm Dubreil – Jacotin hồn thiện (Định lý 2.3.3, Định lý 2.3.4 ) 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] A.H Cliphớt G.B Prestơn ( 1970) Lý thuyết nửa nhóm (tập 1), Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp Hà nội [2] Lê Quốc Hán ( 2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] S.T.Hu (1974), Đại số đại ( Bản dịch tiếng Việt) Tiếng Anh [4].T.S Blyth and Paula Mendes Martins (1997), On associate subgroup of regular semigroup, Communications In Algebra, 25 (7), 2147 – 2158; [5] T S Blyth, Emilila Giraldes and M Paula O Marques – Smith ( 1994), Associate subgroups of orthodox semigroups, Glasgow Math J, 36, 163 – 171; [6] T.E.Hall ( 1973) On regular semigroup, Journal of Algebra, 24, 1- 24./ ... nghịch nhóm tối đại nhóm ……… 1.2 Nửa nhóm quy Nửa nhóm orthodox ………………… 1.3 Băng nửa dàn ………………………………………………… CHƢƠNG NHĨM CON LIÊN KẾT CỦA NỬA NHĨM CHÍNH QUY 13 2.1 Nhóm liên kết nửa nhóm –... thức sở lý thuyết nửa nhóm: Nửa nhóm quy, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm – đơn hồn tồn, băng nửa dàn, nhóm tối đại nửa nhóm Chứng minh chi tiết số tính chất nhóm liên kết nửa nhóm quy hoàn toàn (Định... nhóm S S hợp băng  nửa nhóm S ( ) Nếu băng  giao hốn, ta nói S hợp nửa dàn  nửa nhóm S ( ) 18 Chƣơng NHÓM CON LIÊN KẾT CỦA NỬA NHĨM CHÍNH QUY 2.1 Nhóm liên kết nửa nhóm – đơn hồn tồn