Đạo hàm của các dạng vi phân liên kết với liên thông truyến tính trên r3

CÁC DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ TRÊN 3

TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC TRONG 3

Như ta đã biết: vectơ tiếp xúc với 3 tại p  p  3  là một vectơ  3 có gốc tại p Ta viết  p , p

1.1.1 Định nghĩa Trường vectơ tiếp xúc trong 3 là một ánh xạ

 trong đó T p 3 là không gian các vectơ tiếp xúc với 3 tại p

+) Khi X là ánh xạ hằng thì trường vectơ X gọi là trường vectơ song song

+) Giả sử  X X X 1, 2, 3  là các trường vectơ trong 3 thỏa mãn :

 X p X 1 ( ), 2 ( ), p X p 3 ( )  là cơ sở của T p 3 , p 3 Ta nói  X X X 1, 2, 3 là trường mục tiêu

+) Nếu mọi trường vectơ X i của trường mục tiêu   X i trên 3 là song song thì ta nói trường mục tiêu đó là trường mục tiêu song song

+) Cơ sở   e i của 3 xác định một trường mục tiêu song song   E i trên

Trong không gian ba chiều, tập hợp các mục tiêu tự nhiên được ký hiệu là {E1, E2, E3} Giả sử {E1, E2, E3} là trường mục tiêu tự nhiên và X là một trường vectơ bất kỳ, chúng ta có thể biểu diễn X dưới dạng tổng hợp: X = X1E1 + X2E2 + X3E3, trong đó Xi là các hàm số từ E3 Khi đó, X được coi là khả vi nếu và chỉ nếu các thành phần Xi đều khả vi với i = 1, 2, 3.

 i (tức X i có đạo hàm riêng và các đạo hàm riêng đó liên tục)

Trong E 3 Oxyz, xét trường vectơ X x yE 2 1 xzE 2 z yE 2 3

Thật vậy, giả sử X X X X  1, 2, 3  trong đó:

Ta cần chứng minh X X X 1 , 2 , 3 khả vi

Chẳng hạn ta chứng minh X 1 khả vi

 Như vậy, X 1 có đạo hàm riêng và g g g 1 , 2 , 3 liên tục vì nó là hàm sơ cấp

Chứng minh tương tự ta cũng có X X 2 , 3

- Từ nay trở đi ta chỉ xét các trường vectơ X khả vi trên 3

- Ta kí hiệu F   3 là tập hợp các hàm số khả vi trong 3 và

B  X Xlà tập hợp các hàm số khả vi trong 3 

2) Phép nhân: Giả sử  là hàm số khả vi (  F   3 );  : 3 

3) Trường hợp:   a const thì aX p: a X p ;  p 3

1.1.5 Mệnh đề B   3 cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không gian vectơ thực

Hai phép toán (1) và (3) đều tuân thủ 8 tiên đề của không gian vectơ Vì vậy, chúng ta chỉ cần kiểm tra 3 tiên đề cơ bản để xác minh điều này.

Thử 5 tiên đề còn lại cũng thấy nó thỏa mãn

Vậy: B   3 cùng với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không gian vectơ thực

1.1.6 Định nghĩa Giả sử X Y, B( 3 ) Đạo hàm của trường Y theo trường vectơ X là một trường vectơ được kí hiệu D Y X và D Y X được xác định bởi ; 3

1.1.7 Ví dụ Trong 3 cho X xy yz zx Y x y y z z x( , , ); ( 2 , 2 , 2 ) là các trường vectơ Tính D Y X ?

X Y xy xy yz x zx x y x yz

X Y xy yz yz zx y y z xy z

X Y xy z yz zx xz xyz x z

1.1.8 Mệnh đề Giả sử X Y, B( 3 )và Y Y Y Y( , , ) 1 2 3 Khi đó:

1.1.10 Mệnh đề Trong 3 xét X Y Z, , B( 3 ) ta có:

LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN 3

 B   3 {X\X trường hợp vectơ khả vi trên 3 }

 T p 3  {Không gian tiếp xúc với 3 tại p 3 }

 được gọi là một liên thông tuyến tính trên một đa tạp khả vi 3 nếu  thỏa mãn các tính chất:

 được gọi là đạo hàm thuận biến của trường vectơ Y dọc trường vectơ X

1.2.2 Ví dụ.([3]) Giả sử D là một đạo hàm tự nhiên của trường vectơ trong 3 xét ánh xạ:

Khi đó  là một liên thông tính trên 3

Vậy  là một liên thông tuyến tính trên 3

Qua định nghĩa trên ta nhận thấy  là một đồng cấu môđun đối với biến

X và đối với biến Y thì nó là cộng tính và có tính chất đạo hàm

Nhận xét: 3 là đa tạp khả song với trường mục tiêu  E E E 1, 2, 3 

  Khi đó  là một liên thông tính trên 3

Thật vậy, với X Y Z, , B( 3 ),F( 3 )ta có:

Vậy  là một liên thông tính

1.2.3 Mệnh đề ([1],[3]) a) Ánh xạ: Y p ( X Y) p phụ thuộc Y tại lân cận mỗi điểm p b) Ánh xạ: p X p

X  Y phụ thuộc X tại từng điểm

Chứng minh a) Thật vậy, trước hết ta giả sử U là lân cận của p và xét Y \ M U \ 0 Với p U luôn có hàm F U( ), sao cho ( ) 0; p  |U1 Khi đó, Y Y và ( X Y ) p   X (Y )  p

Suy ra ( X Y 1 ) p  ( X Y 2 ) p b) Xét trong bản đồ địa phương  U x , với trường mục tiêu tự nhiên

E    Khi đó với mọi ( ,X X ' )B U( ) ta có các biểu diễn sau

   i , i '  F U ( ),( i  1, ,3) Giả sử X p  X ' p , ta suy ra

Chú ý rằng: Trên 3 luôn tồn tại liên thông tuyến tính 

1.2.4 Mệnh đề ([1],[3]) Giả sử   ' , '' là hai liên thông tuyến tính trên

3 Khi đó:      1 '  2 '' là liên thông tuyến tính trên 3 khi và chỉ khi

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử      1 '  2 '' là liên thông tuyến tính trên 3 , ta cần chứng minh   1  2  1;   1 , 2 F( 3 ); X Y, B( 3 )

Từ điều kiện đủ   1  2 1, giả sử   1  2  1 với   1, 2 thuộc F(3) và X Y thuộc B(3) Chúng ta sẽ chứng minh rằng      1 '  2 '' là liên thông tuyến tính trên 3 bằng cách kiểm tra các điều kiện liên quan đến tính liên thông tuyến tính.

Vậy  là liên thông tuyến tính trên 3 khi và chỉ khi   1  2 1;

* Nếu ,  J là hai liên thông tuyến tính trên 3 thì   J không phải là một liên thông tuyến tính

* Nếu   1 , 2 , , n là liên thông tuyến tính trên đa tạp

  mà   1  2    n 1 thì  1       1  2 2  n n là một liên thông tuyến tính

1.2.5 Mệnh đề Giả sử S là đa tạp con trong 3 Với mọi ,X YB S( )

Ta đặt  X Y  D Y X  T ;   D Y X  T là thành phần tiếp xúc trên S  Khi đó  là một liên thông tuyến tính trên S

Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính

Vậy  là một liên thông tuyến tính trên S

1.2.6 Mệnh đề ([3]) Giả sử  là liên thông tuyến tính trên 3 và giả sử ánh xạ :

  là song tuyến tính Khi đó ánh xạ  được xác định bởi ( X Y )  X Y S X Y  ,  là một liên thông tuyến tính trên 3

Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính

Vậy  là một liên thông tuyến tính

1.2.7 Hệ quả Trong 3 ta đặt

Khi đó  là một liên thông tuyến tính

n  , ta cần chứng minh ( , )S X Y là song tuyến tính Thật vậy:

 n  là song tuyến tính Áp dụng mệnh đề 1.2.6 trên ta có  là một liên thông tuyến tính.

CÁC DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ TRÊN 3

1.3.1 a) Định nghĩa ([3]) Ta kí hiệu: A k  f / f là k tuyến tính phản xứng T p 3   T p 3  T p 3  Ánh xạ

  p   p / p A T k ( p 3 ) được gọi là dạng vi phân bậc k trên 3 nhận giá trị trong B( 3 )

+)    p ( , 1 2 , , k )T p 3 ;p 3 Vì vậy ta có sự biểu diễn:

Giả sử  E E E 1, 2, 3  là trường mục tiêu tự nhiên trên 3 khi đó ta có

+)  được gọi là khả vi khi và chỉ khi (X 1 , ,X k ) khả vi với

   Từ nay, khi nói các dạng vi phân với giá trị trong T R p 3 , ta hiểu là các dạng vi phân khả vi

Vì (X 1 , ,X k )( 1 (X 1 , ,X k ), , k (X 1 , ,X k ));X i B( 3 ) nên  khả vi khi và chỉ khi  j khả vi;  j 1,2,3

+) Ta kí hiệu:  k ( 3 , ( B 3 ))     / là các dạng vi phân lấy giá trị trong

Trên  k ( 3 , (B 3 )) được tranh bị các phép toán cộng và nhân như sau:

 Phép nhân với một hàm khả vi: : p   ( ) p ( ) p ; F( 3 );

Khi đó với hai phép toán trên  k ( 3 , (B 3 )) là một môđun trên tập các

Ta quy ước:  0 ( 3 , ( B 3 ))   f : 3  3 khả vi  b) Ví dụ Giả sử ta xét    xdx  dy ydy ,  dz zdx ,  dz  Khi đó  là 2 - dạng vi phân trên 3 với giá trị trên B( 3 )

3 xdx dy ydy dz zdx dz

Dễ dàng thấy rằng    1 , 2 , 3 là 2 - dạng vi phân khả vi Do đó   1, 2, 3  khả vi

1.3.2 a)Định nghĩa Giả sử f là ánh xạ khả vi 3  3 Ánh xạ đối tiếp xúc của f được kí hiệu là f  và xác định như sau:

Mỗi  k ( 3 , (B 3 )) được xem như là một bộ ( ,   1 2 , 3 ); trong đó

 j  Khi đó f  (f   1 , f   2 , f   3 ) b) Ví dụ 1) Cho f : 3  3

(dy dz dx, dy dx, dz).

J X J y x X y x Y dy dz dx dy dx dz X Y

( ) ( , , ),( , , ) dy dz dx dy dx dz yX xX X X yY xY Y Y dy dz yX xX X X yY xY Y Y dx dy yX xX X X yY xY Y Y dx dz yX xX X X yY xY Y Y

, ( ), ( ) dy dz A B dx dy A B dx dz A B dy A dz B dy B dz A dx A dy B dx B dy A dx A dz B dx B dz A

X Y Y X yX xY Y yY xY X yX xX Y yY xY X

X Y X Y dy dz y dx dy y dx dz xdy dz X Y

Vậy f    dy  dz y dx , (  dy y dx ), (  dz )  xdy  dz  với mọi X Y ,  B ( 3 )

1.3.3 Mệnh đề f  là một đồng cấu môđun

Thật vậy, xét các ánh xạ:

Từ đó ta kết luận được f  là một đồng cấu môđun

1.3.4 Mệnh đề Trên 3 giả sử f, g là các ánh xạ khả vi từ 3  3 Khi đó, ta có (g f)   f * g *

Giả sử  k ( 3 , (B 3 )) với X X 1 , 2 , ,X k B( 3 ).Ta có:

Bây giờ ta xét tích ngoài của hai dạng vi phân  k ( 3 , (B 3 )) và

1.3.5 a) Định nghĩa Giả sử  k ( 3 , (B 3 )),  l ( 3 , (B 3 )) Tích ngoài của  và  ký hiệu là   và được xác định như sau:

Giả sử trên 3 Ta xét    xdx  dy ydy ,  dz zdx ,  dz   2 ( 3 , ( B 3 )) ;

   và cho trường vectơ X x y xz( , , ); ( , ,Y x z xy); ( , , ).

X Y X Y X Y X Y xdx dy X Y ydy dz X Y zdx dz X Y x xz xy y y xy z xz z x xy x xz x z x y xy xyz x yz x z

Do đó  ( ( , ), ( ))X Y  Z (x yz 3 x y xy z 3 2 , 3 xyz x yz 3 , 3 x z 3 2 )

X Z X Z X Z X Z xdx dy X Z ydy dz X Z zdx dz X Z x xz y y y x z xz z x y xz x z xy xy xyz x z xyz

Do đó  ( ( , ), ( ))X Z  Y (x z 4 x y xy z 3 2 , 2 xyz x yz 3 , 3 x y z 2 2 2 ).

Y Z Y Z Y Z Y Z xdx dy Y Z ydy dz Y Z zdx dz Y Z x xz yz y z x z xy z x y xy x z xyz xyz xy z x z xy z

Do đó  ( ( , ), ( )Y Z  X (x z 4 x yz xy z 3 , 2 xy z x z 3 , 3 2 x y z 2 2 2 ).

Theo định nghĩa tích ngoài ta có:

Chú ý: Ta quy ước f   f.(f 1  1 , , f 3  3 ); f ( , ,f 1 f 3 )F( 3 ) và   ( 1 , , 3 ) k ( 3 , (B 3 ))

1.3.7 Mệnh đề Trên 3 ánh xạ: f  : k ( 3 , (B 3 ))  k ( 3 , (B 3 ))

 , f *  , f * là ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ f : 3  3 Khi đó f * (  ) f *  f * 

ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN 3

ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN 3

2.1.1 Định nghĩa Giả sử XB( 3 ), là liên thông tuyến tính trên 3 Khi đó ánh xạ   X : k ( 3 )  k ( 3 ) được xác định bởi:

  Khi đó  X  được gọi là đạo hàm của các dạng  trên

Với k2, k (R 3 ), (xdxdy ydy, dz zdz, dx) Giả sử  D, cho X 1 ( ,1,1),x X 2 (1, ,1),y X ( , , ).x y z Tính  X (X X 1 , 2 )

X X X X X X X X xdx dy ydy dz zdz dx X X xdx dy ydy dz zdz dx X X xdx dy ydy dz zdz dx X X

A  X xdxdy ydydz zdzdx X X

B xdxdy ydydz zdzdx  X X

C xdxdy ydydz zdzdx X  X

A xdx dy ydy dz zdz dx X X xdx dy X X ydy dz X X zdz dx X X xdx X dy X xdx X dy X E ydy X dz X ydy X dz X E zdz X dx X zdz X dx X E x y x E y y

B xdx dy ydy dz zdz dx X X xdx dy X X ydy dz X X zdz dx X X xdx X dy X xdx X dy X E ydy X dz X ydy X dz X E zdz X dx X zdz X dx X

C xdx dy ydy dz zdz dx X X xdx dy X X ydy dz X X zdz dx X X xdx X dy X xdx X dy X E ydy X dz X ydy X dz X E zdz X dx X zdz X dx X

Giả sử  là liên thông tuyến tính trên 3 , ánh xạ khả vi f : 3  3 Khi đó với  k ( 3 ), ta có  X (f  ) f * ( X )

ĐẠO HÀM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN LIÊN KẾT VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN 3

2.2.1 Định nghĩa Độ xoắn T, độ cong R của 3 , đó là các ánh xạ được xác định bởi:

        Gọi I là một dạng trên 3 lấy giá trị B( 3 ), xác định bởi mọi

Giả sử , ,X Y Z là các trường vectơ trên 3 thì:

2.2.3 Ví dụ Không gian 3 có độ cong bằng 0 đối với liên thông tuyến tính   D

2.2.4 Định nghĩa Giả sử  là một liên thông tuyến tính trên 3 và  là các dạng vi phân với giá trị trong B( 3 ) Đạo hàm d liên kết với  của  được kí hiệu là d đó là (k + 1) - dạng lấy giá trị trong B( 3 ) và được xác định bởi:

Mọi X 0 , ,X k , ,X i B( 3 ),X i có nghĩa là không có phần tử X i

2.2.5 Mệnh đề Cho 3 ,  k ( 3 ) ánh xạ khả vi f : 3  3 Khi đó, ta có f * (d)d f( * )

Nếu  1 ( 3 ) là dạng vi phân lớp C n n , 2 và X Y Z, , B( 3 ) thì: ( )( , , ) ( , )( ( )) ( , )( ( )) ( , )( ( )). d d X Y Z R X Y  Z R Y Z  X R Z X  Y

2.2.7 Mệnh đề Giả sử d là đạo hàm liên kết với liên thông tuyến tính  thì:

Từ (1) và (2) suy ra dT  R I.

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn đã đạt được một số kết quả như sau:

- Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản về liên thông tuyến tính trên 3 (mệnh đề 1.2.5, 1.2.6)

- Phát biểu và chứng minh một số tính chất về đạo hàm của các dạng vi phân liên kết với liên thông tuyến tính trên 3 (mệnh đề 2.2.7)

- Chỉ ra các ví dụ liên quan tới vấn đề trình bày (ví dụ 1.2.2, 2.1.2)

- Chứng minh chi tiết một số tính chất về độ cong trên 3 (mệnh đề 2.2.3)

Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các tính chất của đạo hàm liên quan đến vi phân, đặc biệt là trong bối cảnh liên thông tuyến tính Chúng tôi cũng sẽ khám phá các ứng dụng của những nghiên cứu này trên đa tạp Riemann.