Đại số
Như ta đạ biết (xem [3]), một môđun G trên vành K giao hoán, có đơn vị 1 (1 6= 0) khác không, đó là một nhóm cộng Aben G với phép nhân với một vô hướng.
K ×G −→ G (a, x) 7−→ a.x Thỏa mãn các tiên đề.
Ta nhận thấy rằng trong trường hợp K là một trường thì G chính là một không gian véctơ trên trường K.
Môđun G trên trường K được gọi là một đại số trên K nếu nó được trang bị một phép toán mới “•” : G×G → G, xác định bởi (a, b) 7→ ab Phép toán “•” này được gọi là tích trong và phải thỏa mãn tính chất song tuyến tính.
Nếu tích trong của một đại số G có tính chất giao hoán, thì G được gọi là đại số giao hoán Khi tích trong có tính chất kết hợp, G sẽ được gọi là đại số kết hợp Nếu với mọi a, b thuộc G, ab = 0, thì G được xem là đại số tầm thường.
1 Ta ký hiệu L(G) là tập hợp tất cả các dạng tuyến tính trên môđun G, với các phép toán được trang bị trên L(G) như sau: a (f +g)x = f(x) +g(x); ∀f, g ∈ L(G),∀x ∈ G b (αf)x = αf(x); ∀f, g ∈ L(G),∀x ∈ G c (f g)x = f(x)g(x); ∀f, g ∈ L(G),∀x ∈ G
Khi đó L(G) là một đại số trên R.
Thật vậy: Với hai phép toán a.,b thì L(G) là một môđun và ∀f, g, h ∈ L(G);∀x ∈ G ta có.
Do đó L(G) là một đại số trên R.
2 Giả sử M là một đa tạp khả vi thực n chiều Khi đó, tập hợp các hàm số khả vi trên M là một đại số trên R.
+) Thật vậy ta ký hiệu F(M) = {f|f : M −→ R, f khả vi} là tập các hàm khả vi trên đa tạp M Các phép toán được trang bị trên F(M) là:
Ta kiểm tra F(M) là một đại số trên R Thật vậy:
= f(α.g); ∀f, g,∈ F(M);∀α ∈ R. Vậy F(M) là một đại số trên R.
∗) Như ta đã biết (Xem [2]) giả sử G là một đại số trên K,A là một môđun con của G Khi đó A được gọi là đại số con của G nếu ∀a, b ∈ A thì a.b ∈ A.
∗) Đại số con A của G được gọi là Iđêan trái (phải) của G nếu A là môđun con và với mọi a ∈ A;x ∈ G thì ax ∈ A(xa ∈ mathbbA).
∗) A được gọi là Iđêan của G nếu A vừa là Iđêan trái, vừa là Iđêan phải.
∗) Bây giờ ta ký hiệu G/H = {g+H|g ∈ G}; trong đó H là một Iđêan của
G, ta đưa vào G/H một phép cộng (g 1 +H) + (g 2 +H) = (g 1 +g 2 ) +H và phép nhân vô hướng (g 1 +H)(g 2 +H) = (g 1 g 2 ) +H; với g 1 +H ∈ G/H và g 2 + H ∈ G/H; khi đó G/H được gọi là đại số thương của đại số G theo Iđêan H.
Ánh xạ tuyến tính f từ môđun G 1 sang môđun G 2 được gọi là ánh xạ đồng cấu giữa đại số G 1 và G 2 nếu nó thỏa mãn điều kiện f(x 1 x 2 ) = f(x 1 )f(x 2) cho mọi x 1 , x 2 ∈ G 1.
1.1.4 Mệnh đề (Xem[2]) Cho f : G 1 −→ G 2 là toàn cấu đại số Khi đó:
1 Ta đã biết f −1 (0 0 ) là một môđun con của G 1 ∀x ∈ f −1 (0 0 ),∀y ∈ G 1 ta có: f(xy) = f(x)f(y)
(do x ∈ f −1 (0 0 )) Từ đó suy ra xy ∈ f −1 (0 0 ) Tương tự yx ∈ f −1 (0 0 ). Vậy f −1 (0 0 ) là Iđêan của G 1
− Ta chỉ ra h là đồng cấu.
Thật vậy: Với mọi a, b ∈ G 1 , với ∀α, β ∈ K Ta có h(α(a+f −1 (0 0 )) +β(b+f −1 (0 0 ))) = h(αa+βb+f −1 (0 0 ))
Vậy h là đồng cấu đại số.
− Ta chứng minh h là song ánh
Thật vậy với mọi x ∈ G 1 mà h(a+f −1 (0 0 )) = h(b+f −1 (0 0 ))
Với mọi x ∈ G 2 , vì f là toàn ánh nên tồn tại a ∈ G 1 để f(a) = x, khi đó h(a+f −1 (0 0 )) = f(a) = x
Suy ra h là toàn ánh Do đó h là đẳng cấu đại số.
1.1.5 Mệnh đề (xem [2]) Cho G là một đại số, H và K là hai Iđêan của
Trước hết ta chứng minh K/H là Iđêan của G/H Thật vậy, ta đã biết K/H là môđun con của G/H Với mọi (x+ H) ∈ K/H và y +H ∈ G/H, ta có.
Vậy K/H là Iđêan của G/H Đặt h : G/H → G/K x+H 7→ x+K
- h là ánh xạ tuyến tính Thật vậy, ∀x, y ∈ G,∀α, β ∈ K, ta có: h(α(x+H) +β(y +H)) = h((αx+βy) +H)
Vậy h là ánh xạ tuyến tính.
- h bảo tồn phép toán tích trong Thật vậy: ∀x, y ∈ G, ta có h((x+H)(y +H)) = h(xy+H)
Thật vậy với mọi x+K ∈ G/K thì x ∈ G nên h(x+H) =x+K
Vậy h là toàn ánh Ta có
Ap dụng kết quả (2) của mệnh đề (1.1.4) ta suy ra´ G/K ∼= (G/H)/(K/H).
Đạo hàm trên đại số
1.2.1 Định nghĩa (Xem[3]) Giả sử G là đại số trên trường K Một phép đạo hàm D : G → G là một ánh xạ K tuyến tính, có tính chất D(x.y) = D(x).y +x.D(y).
1.2.2 Ví dụ Trong không gian R 3 , với tích x.y = x∧ y lấy x ∈ R 3 và cố định x Xét ánh xạ
Rõ ràng D x là tuyến tính.
Mặt khác, với mọi x, y ∈ R 3 , ta có:
Vì vậy D x là một đạo hàm trên R 3
1.2.3 Mệnh đề (Xem[3]) Ký hiệu D 1 , D 2 là các ánh xạ đạo hàm trên đại số G Khi đó
1 αD 1 +βD 2 ,∀α, β ∈ K là một ánh xạ đạo hàm.
2 D 1 ◦D 2 −D 2 ◦D 1 cũng là ánh xạ đạo hàm.
1 Đặt f = αD 1 +βD 2 ,∀α, β ∈ K Ta cần chứng minh f là ánh xạ đạo hàm.
Dễ thấy f là ánh xạ tuyến tính và với mọi x, y ∈ G ta có: f(x.y) = (α.D 1 + β.D 2 )(x.y)
= f(x).y +x.f(y)Vậy f là ánh xạ đạo hàm.
2 D 1 ◦D 2 −D 2 ◦D 1 là ánh xạ đạo hàm, thật vậy:
Vậy D 1 ◦D 2 −D 2 ◦D 1 là ánh xạ tuyến tính Mặt khác:
Vậy D1 ◦D2 −D2 ◦D1 cũng là ánh xạ đạo hàm.
1.2.4 Mệnh đề Ký hiệu DerG là tập hợp tất cả các ánh xạ đạo hàm của
G Khi đó DerG là một đại số với phép nhân [f, g] = f g−gf.
Chứng minh Ta cần chứng minh [f, g] thuộc DerG.
Là ánh xạ tuyến tính vì ∀x, y ∈ G,∀α, β ∈ K ta có.
Vậy [f, g] là ánh xạ tuyến tính Với mọi x, y ∈ G, ta có
• Ta chứng minh DerG là một đại số.
Thật vậy, rõ ràng DerG là một môđun trên K, Ta chỉ ra Phép nhân:
(f, g) 7−→ [f, g] là một ánh xạ song tuyến tính
Với mọi f 1 , f 2 , g ∈ DerG, Với mọi λ ∈ K ta có
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được
Vậy DerG là một đại số với phép nhân [f, g] = f g−gf.
CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM CẢM SINH TRÊN ĐẠI SỐ VÀ ỨNG
Giả sử P là một trường và A là một đại số giao hoán trên P, kết hợp với đơn vị δ, dimA = m Ta đặt A ∗ = {a ∗ |a ∗ tuyến tính: A →P}.
Trên A ∗ được trang bị các phép toán sau:
Khi đó với 3 phép toán trên A ∗ lập thành một đại số trên P Thật vậy: Với hai phép toán (1) và (2) thì A ∗ là một môđun trên P , Với mọi a ∗ , b ∗ ∈ A ∗
Bây giờ ta tiếp tục trang bị cho A ∗ thêm một phép toán sau: Với a ∈ A, a ∗ ∈ A ∗ ta xét ánh xạ:
Ta nhận thấy rằng a ∗ a ∈ A ∗ , thật vậy:
2.1.1 Mệnh đề Với ba phép toán (1), (3), (4) thì A ∗ lập thành một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên A.
Chứng minh Dễ thấy A ∗ với hai phép toán (1), (4) là một môđun trên
⇒a ∗ δ = a ∗ ; trong đó δ là đơn vị của A ∗
2.1.2 Định nghĩa Đại số A ∗ thỏa mãn các tính chất trên được gọi là đại số cảm sinh trên A Ta cũng ký hiệu A.
Giả sử A có cơ sở ε α = {ε 1 , ε 2 , , ε n } và A ∗ có cơ sở đối ngẫu với cơ sở {ε i } là ε β = {ε 1 , ε 2 , , ε n }.
Ta luôn có ε i ε j = P n k=1 γ k ij ε σ , hay ε i ε j = γ 1 ij ε 1 +γ 2 ij ε 2 + +γ n ij ε n
Thật vậy cho trước ε σ , ε β Ta cần chứng minh ε i ε β = γ 1 βσ ε σ +γ 2 βσ ε σ + +γ n βσ ε σ ta có với mọi , ε τ ε i ε β (ε τ ) = ε i (ε β ε τ )
Giả sử B là đại số trên A với các tính chất giao hoán, kết hợp và có đơn vị, và Be là đại số trên trường P cũng có tính giao hoán, kết hợp và có đơn vị Ta xác định ánh xạ τ: A ∗ × B → Be, với công thức τ(a ∗ , f) Ánh xạ này có các tính chất đặc biệt khi a ∗ , b ∗ thuộc A ∗, b thuộc A, và f, g thuộc B.
1 τ song tuyến tính đối với P tức là τ(a ∗ +b ∗ , f) = τ(a ∗ , f) +τ(b ∗ , f) τ(λ.a ∗ , f) = λ.τ(a ∗ , f) ; với λ ∈ P τ(a ∗ , λ.f) = λτ(a ∗ , f)
4 Nếu τ(a ∗ , f) = 0 ; ∀a ∗ ∈ A ∗ thì f = 0 và ký hiệu: τ(a ∗ , f) =f (a ∗ ) ; τ(a ∗ b, f) = f (a (b) ∗ ) (∗) Nếu a ∗ = ε α hoặc b = ε α thì ta đặt: f (ε α ) = f (α) và f (a (ε ∗ α ) ) = f (a (α) ∗ )
Từ các ký hiệu trên ta có: τ(ε α , f) =f (ε α ) = f (α) f (a (b) ∗ ) = f (a ∗ b) τ(a ∗ α ε α , f) = f (a (α) ∗ ) = f (a (ε ∗ α ) ) (**)
2.1.4 Mệnh đề Với f, g ∈ B;a ∗ ∈ A ∗ ;b ∈ A ta có:
(2) Theo tính chất (3) và (**) ta có. τ(a ∗ , f g) =τ(a ∗ ε α , f).τ(ε α , g) ⇔(f g) (a ∗ ) n
2.1.5 Mệnh đề Với f, g ∈ B;b ∗ ∈ A ∗ ;a ∈ A ta có:
(1) Theo (*), ta có f (a ∗ ) = τ(a ∗ , f) mà f (a (δ) ∗ ) = τ(a ∗ δ, f) =τ(a ∗ , f); Suy ra f (a ∗ ) = f (a (δ) ∗ )
(3) Áp dụng (2) với f, g ∈ B ta có
(3) Áp dụng định nghĩa và (**) trên ta có.
Đạo hàm cảm sinh trên đại số
Giả sử B là đại số trên A, và Be là đại số trên trường P Be có tính giao hoán, kết hợp và có đơn vị Trong phần này, chúng ta luôn giả thiết rằng
Xfe (a ∗ ) = 0; ∀Xe ∈ DerBe, ∀a ∗ ∈ A ∗ , f ∈ B, thì Xe = 0 và với mọi a ∈ A,X ∈ DerB, luôn có X (a) ∈ DerBe, sao cho:
X (a) f (b ∗ ) = (Xf) (a) (b ∗ ) ; ∀f ∈ B,∀b ∗ ∈ A ∗ 2.2.1 Định nghĩa X (a) được gọi là đạo hàm cảm sinh của X theo a.2.2.2 Mệnh đề X (a) là duy nhất với X ∈ DerB và a ∈ A.
Thật vậy giả sử có X 0(a) nữa ta có:
2.2.3 Mệnh đề Xét ánh xa:
A×DerB → DerBe (a,X) 7→ X (a) Khi đó ánh xạ trên có tính chất sau:
Chứng minh 1 Với b ∗ ∈ A ∗ và f ∈ B ta có
Bây giờ ta ký hiệu X (ε α ) = X (α) khi đó ta có mệnh đề sau. 2.2.4 Mệnh đề Với X ∈ DerB;a, b ∈ A, f ∈ B
Chứng minh Với b ∗ ∈ A ∗ và f, g ∈ B ta có:
3 Thay a = δ vào (1) của mệnh đề (2.2.3)ta có:
Đại số Lie trên B e
Ta đặt Fe={Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các đạo hàm dạng X (a) } và chú ý tới ánh xạ: ω (b ∗ ) : Fe → B e
Và ta ký hiệu: ω (b ∗ a) = ω (b (a) ∗ ) ω (b (ε ∗ α ) ) = ω (b (α) ∗ ) ω (ε α a) = ω (α) (a) Khi đó ta có mệnh đề sau.
2.3.1 Mệnh đề Với λ ∈ P, f ∈ B, b ∗ ∈ A ∗ ta có:
Chứng minh 1 Cho tuỳ ý a ∈ A và X ∈ DerB, ta có.
Như chúng ta đã biết L X là phép lấy đạo hàm của đại số Lie và:
L X ω(Y) = L X (ω(X)) −ω(L X Y) khi đó ta có mệnh đề sau.
2.3.2 Mệnh đề Với mọi a ∈ A, b ∗ ∈ A ∗ , X ∈ DerB := F và ω ∈ F ∗ ta có: (L X ω) (b ∗ a) = L X (a)ω (b ∗ )
Luận văn đã đạt được một số kết quả sau đây:
1 Hệ thống một số khái niệm cơ bản, chứng minh chi tiết một số mệnh đề về đại số, đạo hàm trên đại số (Mệnh đề 1.1.4, Mệnh đề 1.2.3).
2 Trình bày cách xây dựng đại số cảm sinh Phát biểu và chứng minh một số tính chất về đại số cảm sinh (Mệnh đề 2.1.1)
3 Trình bày một số ứng dụng của ánh xạ τ vào đại số B(Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.5).
4 Chứng minh một số tính chất của đạo hàm cảm sinh trên đại số (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4).
5 Trình bày một ứng dụng của đạo hàm cảm sinh trên đại số vào đại số Lie trên Be (Mệnh đề 2.3.1, Mệnh đề 2.3.2).
Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu thêm các ứng dụng của đạo hàm cảm sinh trên đại số các đa thức.