Đạo hàm liên kết của các dạng vi phân trên rn

KHÔNG GIAN n

CÁC CẤU TRÚC CƠ BẢN TRONG n

Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất của n, bao gồm cấu trúc Ơclit, cấu trúc tôpô tự nhiên và trường vectơ trên n Đặc biệt, n được trang bị hai phép toán quan trọng.

1.1 Nhận xét a) n cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ n – chiều với cơ sở tự nhiên  e 1 1,0, ,0 ,  e 2 0,1, ,0 , , e n 0,0, ,1  b) Ta đưa vào cấu trúc Afin:

  Khi đó, n cùng với ánh xạ nói trên lập thành một không gian Afin trên nền n Thật vậy:

+) Với mọi x  x i n i  1  n ,a  a i n i  1  n tồn tại duy nhất y x i a i  i n  1  n Khi đó, ( , ) x y a

       c) Trên không gian vectơ n , ta xác định tích vô hướng tự nhiên

Khi đó, không gian Afin n là một không gian Ơclit

      , khoảng cách thông thường giữa x và y được xác định là     

1.2 Định nghĩa Với x n ,r0 Tập B x r   ,   y  n d x y ( , )  r  được gọi là hình cầu mở tâm x, bán kính r

Tập B x r   ,   y  n d x y ( , )  r  được gọi là hình cầu đóng tâm x, bán kính r

1.3 Mệnh đề (Xem [3]) Họ B   B x r x ( , )  n , r  0  lập thành cơ sở của một tôpô trên n

Giả sử B(x,r 1 ),B(y,r 2 )B và B(x,r 1 )B(y,r 2 ) Khi đó, với mọi

Thì với mọi uB(z,r), ta có: d(z,u)rr 1 d(x,z) nên

Tương tự, uB(x,r 2 ) Do đó B(z,r)B(x,r 1 )B(y,r 2 ) và B z r   ,  B

Vậy B là cơ sở của tôpô trên n

T trên n được gọi là tôpô tự nhiên b n với tôpô tự nhiên là T 2 – không gian

Thật vậy, x y, R n và x y Ta đặt ( , )

1.4 Định nghĩa Giả sử T p n là không gian tiếp xúc với n tại p Khi đó, ánh xạ:

 được gọi là trường vectơ tiếp xúc của n

Nếu X :pa thì X được gọi là trường vectơ song song ứng với vectơ a

Ta chú ý rằng, với mỗi i = 1, 2,…,n, ta xét E i :pe i , p  n và {E1, E2, …,E n } được gọi là trường mục tiêu tự nhiên trên n

Khi đó, ta có sự biểu diễn X  X 1 E 1  X 2 E 2   X n E n ; trong đó X j : n  và

X1,X2, ,Xn  được gọi là tọa độ của X đối với trường mục tiêu tự nhiên {E1, E2,

X được gọi là khả vi khi và chỉ khi Xj khả vi với mọi j = 1, 2, … ,n

Bây giờ ta kí hiệu B   n = {X: X khả vi trong n } và B   n được trang bị các phép toán sau:

+) Phép nhân với hàm số: X p :   p X p , p n , F   n , X  B   n

1.5 Định lý (Xem [4]) B   n cùng với hai phép toán ở trên là một môđun n - chiều trên vành F   n

 Dễ thấy rằng B   n cùng phép toán cộng là một nhóm cộng giao hoán

Ta thấy rằng, {E1, E2, …,En} là cơ sở của B   n Do đó dim B   n  n

LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN n

1.6 Định nghĩa Một liên thông tuyến tính trên n là ánh xạ

 X Y ,   X Y ,  :  X Y thỏa mãn các tiên đề sau:

Khi đó,  là một liên thông tuyến tính Thật vậy, ta kiểm tra các tiền đề của liên thông tuyến tính

Vậy  là một liên thông tuyến tính trên n

Liên thông tuyến tính  xác định trong ví dụ trên được gọi là liên thông chính tắc trên n

1.8 Mệnh đề (Xem [5]) Giả sử X, X~

Với X, X~  B   n , lúc đó ta có sự biểu diễn

Từ giả thiết: X p = X~ p; ta suy ra i(p) = i(p),  i 1, n Ta có:

=  X Y  p  Với mỗi vectơ  p T R p n , ta luôn có trường vectơ X mà X p  p Từ mệnh đề trên, ta có thể xây dựng được định nghĩa đạo hàm của Y theo  p bằng cách sau:   p X Y p

1.9 Mệnh đề (Xem [5])  X Y p phụ thuộc các giá trị của trường vectơ Y trong một lân cận của điểm p

Như ta đã biết, trong n luôn tồn tại một hàm số khả vi  thỏa mãn:

+ Trước hết, ta xét trường vectơ Z thoả mãn: ZU = 0 Khi đó, .Z = Z nên ta có:  X Z  p =  X Z  p

   , trong đó U là tập mở chứa tập đóng V

+ Bây giờ, ta giả sử Y, Y~  B   n , sao cho: Y U Y U

   Giả sử  là liên thông tuyến tính trên n và   F   n Ta kí hiệu     là ánh xạ thỏa mãn: . X Y ,   X Y ;X Y , B  n

Từ đó, ta có mệnh đề sau:

1.10 Mệnh đề (Xem [1]) Giả sử   1 , 2 , , n là các liên thông tuyến tính trên n và

   là liên thông tuyến tính trên n khi và chỉ khi

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử   1 , 2 , , n là các liên thông tuyến tính trên n ,

   là liên thông tuyến tính Khi đó,

  Điều kiện đủ: Giả sử   1 , 2 , , n là các liên thông tuyến tính trên n và

   là liên thông tuyến tính

Từ mệnh đề trên ta thấy rằng, tổng của các liên thông tuyến tính không phải là một liên thông tuyến tính

1.11 Nhận xét Giả sử  là liên thông tuyến tính trên 3 Ta đặt:

Khi đó, ~ là liên thông tuyến tính trên 3

Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính:

Vậy  ~ là một liên thông tuyến tính trên 3

1.12 Định nghĩa Giả sử f : n  n là vi phôi và  là một liên thông tuyến tính trên n Khi đó, f được gọi là bảo toàn  nếu và chỉ nếu

1.13 Mệnh đề (Xem [6]) f là vi phôi bảo toàn   D nếu và chỉ nếu f là phép Afin

Chứng minh Để chứng minh mệnh đề 1.13 ta cần bổ đề sau:

Bổ đề X là trường vectơ song song khi và chỉ khi D Z X = 0; Z  B   n

Thật vậy, giả sử X   X i i n  1 là trường vectơ song song

Khi đó, X i là hàm hằng,  i = n1,

Z , vì Xi là hàm hằng nên Z[Xi] = 0,  i = n1,

Ngược lại, nếu D Z X = 0;  Z  B   n , ta có:

 Xi là hàm hằng,  i = n1, Vậy X là trường vectơ song song

+) Bây giờ ta trở lại với việc chứng minh mệnh đề 1.13 Điều kiện cần: Giả thiết f vi phôi và bảo toàn D, ta chứng minh f là phép Afin

Giả sử X là trường vectơ song song Khi đó, DZX = 0,  Z  B   n

 f*(DZX) = 0 (vì f* là ánh xạ tuyến tính)

*  ;  Z (vì f vi phôi và bảo toàn D)

 f*X là trường vectơ song song

 Jf là ma trận hằng

Giả sử x' = f(x) hay (x'1, , x'n) = f(x1, , xm), ta có

 Vậy f là phép Afin Điều kiện đủ: Giả thiết f Afin, ta chứng minh f vi phôi bảo toàn D Thật vậy, ta có:

+) Mọi phép Afin là vi phôi

+) Giả sử   U i i n  1 là trường mục tiêu song song trong n , thỏa mãn:

1.14 Chú ý Giả sử  là một liên thông tuyến tính và  Ei i n  1 là trường mục tiêu tự nhiên trong n Khi đó, ta có sự biểu diễn:

F Các hằng số C được gọi là hằng số cấu trúc của k ij  Trong trường hợp 

ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA k – DẠNG VI PHÂN VỚI LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH(k = 1, k = 2)

ĐẠO HÀM LIÊN KẾT CỦA 2 – DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VECTƠ

Trong luận văn này, chúng tôi đã đạt những kết quả chính sau:

1 Trình bày hệ thống các khái niệm, chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản trên không gian n

2 Trình bày cách xây dựng k – dạng vi phân (k = 1, k = 2) với giá trị vectơ, đạo hàm liên kết của 1 – dạng, 2 – dạng với liên thông tuyến tính , vi phân ngoài liên kết với liên thông tuyến tính 

3 Phát biểu và chứng minh mệnh đề nói về các tính chất cơ bản của đạo hàm hiệp biến theo hướng X liên kết với  (mệnh đề 2.5, 2.6, 2.14)

4 Phát biểu và chứng minh mệnh đề nói về tính giao hoán của f * và  (mệnh đề 2.15)

5 Phát biểu và chứng minh mệnh đề nói về tính bảo toàn  tích ngoài và f *

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các k – dạng vi phân với giá trị vectơ trên trường số phức.