BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH - - NGUYỄN THỊ HOA CÁC DẠNG VI PHÂN TRONG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2012 n BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH - - NGUYỄN THỊ HOA CÁC DẠNG VI PHÂN TRONG CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠ PƠ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN - 2012 n MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU…………………………………………………………………… CHƢƠNG KHÔNG GIAN …………………………………………… ……………………….………………………………………… I Không gian n II Trường véc tơ n n ………………………………….………………… CHƢƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG I – dạng vi phân II – dạng vi phân n …….………………… 15 ………………………………………………………… 15 n ………………………….……………………… 20 KẾT LUẬN………………………………………………………………………… 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………… 31 n LỜI MỞ ĐẦU Vào năm đầu kỷ 19, với đời phát triển giải tích phức hình học phức xuất phát triển mạnh mẽ Một số nhà toán học nghiên cứu lĩnh vực Euler, Gauss, Rimann,… hình học phức ngành hình học đại, nghiên cứu tính chất hình học khơng gian n Ngành học có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật, vật lí hai chiều lý thuyết dây Và có nhiều tài liệu viết dạng vi phân không gian phức, chẳng hạn: Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải[3], H.cartan [8],… Luận văn nhằm trình bày số tính chất 1 dạng  dạng vi phân khơng gian n Vì vậy, chọn đề tài cho luận văn “Các dạng vi phân n ” Luận văn chia thành hai chương: Chƣơng Không gian I II Không gian n n Trƣờng véc tơ n Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất tích vơ hướng, hệ trực chuẩn, phép toán, trường véc tơ tiếp xúc, đạo hàm hàm n  khả vi không gian  khả vi theo trường véc tơ, vi phân hàm Chương xem phần chuẩn bị cho việc trình bày nội dung chương Chƣơng Dạng vi phân I II n 1– dạng vi phân – dạng vi phân n n Chương nội dung luận văn, chương này, chúng tơi trình bày số tính chất 1- dạng 2- dạng vi phân n , tính chất đồng cấu ánh xạ đối tiếp xúc ánh xạ Luận văn hoàn thành vào tháng năm 2012 trường đại học Vinh, hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo chun ngành Hình học – tơ pơ, khoa Tốn, khoa Sau Đại học trường Đại Học Vinh, gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, ngày 20 tháng năm 2012 Tác giả Chƣơng KHƠNG GIAN n Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm không gian n I Khơng gian n Ta kí hiệu Và ta trang bị cho n n   z  z1 , , zn  / zi   hai phép toán sau:  Phép cộng: z  w   z1  w1 , , zn  w n  ; Trong z  z1 , , zn  ; w  w1 , , w n   Phép nhân với số phức: c.z   c.z1 , , c.zn  ; c  1.1 Mệnh đề Với hai phép tốn trên, n khơng gian véc tơ phức Chứng minh Để chứng minh mệnh đề,ta thử tiên đề không gian véc tơ: Thật vậy: với z, w,  n ; b, c  , ta có: 1/ z  w   z1  w1 , , zn  w n    w1  z1 , , w n  zn   w  z 2/ z   w      z1   w1  1  , , zn   w n   n   =  z  w1   1, , zn  wn    n    z  w  3/ Phần tử không 4/ Với z  z1 , , zn   n là:  0, ,0  n , phần tử đối là:  z   z1 , ,  zn  5/  b.c  z    bc  z1 , ,  bc  zn   b  cz1  , , b  czn    b  c.z  6/  b  c  z    b  c  z1 , ,  b  c  zn    bz1 , , bzn    cz1 , , czn   b.z  c.z 7/ c  z  w    c  z1  w1  , , c  zn  w n   =  c.z1 , , c.zn    c.w1 , , c.w n   c.z  c.w 8/ 1.z   z1 , , zn   z Ta tiếp tục trang bị cho n tích vơ hướng 1.2 Định nghĩa Tích vơ hướng n , ánh xạ: n  n  z, w   z.w= z j w j j Ví dụ Trong , lấy z  1  2i,3  i  , w    3i,2  i  Ta tính z.w Ta có: z.w  1  2i   3i     i   i   16  2i 1.3 Nhận xét Tích vơ hướng có tính chất sau, với z, w,  a/ z.w  w.z b/  c.z  w  c  z.w  c/  z  w   z.  w. d/ z  w     z.w  z. e/ z.z  0; ( dấu = xảy z  ) Thật vậy: z, w,  n ; c  , ta có: a/ w.z   w j z j   w j z j   z j w j  z.w j j j ta ý rằng: z j w j = w j z j z.w  w.z b/  c.z  w   c.z j w j  c z j w j  c  z.w  j j n ; c  , ta có: c/  z  w     z j  w j  j   z j  j   w j  j  z.  w. j j   j d/ z  w      z j w j   j   z j w j   z j  j  z.w  z. j j j e/ z.z   z j z j   z j  0; z.z   z j   z  j j Từ nhận xét trên, ta ý rằng, z,w  n  n tích vơ hướng z w tích vơ hướng thơng thường Ví dụ Trong , lấy z    3i,1  i  ;w   i,3  4i  ;    5i,3  2i  Khi ta có:   z  w    z  w1 1   z2  w     4i   5i     5i   2i   48  9i (1)  z.  w.    3i   5i   1  i   2i  i   5i     4i   2i   48  9i (2) Từ (1) (2) suy ra:  z  w   z.  w. Chú ý  Trong n , ta xét khoảng cách Euclide: zw  n  zj  w j j 1  Ta kí hiệu : z  z.z  n  z j z j  z  j 1 z, z   z j , gọi chuẩn j n 1; j  k  Hệ  z1 , , z n  , gọi trực chuẩn z j z k   jk   0; j  k 1.4 Mệnh đề Với z, w  , c  , ta có: n a/ c.z  c z b/ z  w  z  w Chứng minh Với z, w  a/ c.z  , c  , ta có: n  c.z j   j c zj  c j z j z c j j  c z j b/ Để chứng minh mệnh đề 1.3b, ta sử dụng hai bất đẳng đẳng thức sau: n 1/ a i 1  bi   i n  ai2  i 1 n b i 1 i 2/ z1 , z2  : z1  z2  z1  z2 Ta có: zw  z j  wj  j  z j  wj j   z j  j w j j  z  w II.Trƣờng véc tơ n Trong mục này, giả thiết chiều Như ta biết, véc tơ tiếp xúc với không gian véc tơ phức n - n n z  n , véc tơ X z (a1  ib1, , an  ibn ); , bi  , X z có gốc z Tập hợp véc tơ tiếp xúc z  n , kí hiệu Tz n Tz n có cấu trúc không gian véc tơ phức cách tự nhiên với hai phép tốn thơng thường; nghĩa là:  X z (a1  ib1, , an  ibn )  Yz (c1  id1, , cn  idn )    X z  Yz  a1  c1  i  b1  d1  , , an  cn  i  bn  d n    a.X z   a(a1  ib1 ), , a(an  ibn )  ; a  Như vậy, dimTz n  n , với sở tự nhiên: e1  1,0, ,0 , , en   0, ,0,1 Chúng ta biết hàm f : Và ta kí hiệu: F ( F( F n n   khả vi f khả vi biến , ) tập tất hàm )  f : n  / f   f : n  n n - khả vi từ n  , - khả vi  ; -khả vi  /f 1.5 Định nghĩa Một trường véc tơ tiếp xúc với X ( z )  X z Tz n ; z  n n , ánh xạ X : n  z Tz n n , với: Chú ý  Trường véc tơ X ln viết X  X1  f1  i1, , X n  f n  in  ; f i ,i  F  n , fi ,i  F (  Ta nói trường X khả vi X i  Ta kí hiệu ( : ( n n n ) với, i  1, n - khả vi với i  1, n ) tập hợp tất trường véc tơ )   X / X  khả vi n -khả vi n ,tức  Một cách tự nhiên ( n ) trang bị phép toán sau: - Phép cộng: X   X1 , , X n  ; Y  Y1 , ,Yn  ; X  Y   X1  Y1 , , X n  Yn  ; X ,Y   n  17  1  z1  z2 , 2  0,   0,   z1    X  Y     X    Y   1 X1 + 2 X +  X +  X + 1Y1 + 2Y2 +  1Y +  Y   z1  z2  z1  z1.z1.z2   z1  z2  z1  z2   z1.z1 = 2z12  z1.z2  z1.z1.z  z22  z1.z1 Như ta biết (xem [3], trang 241) n f:   gọi  tuyến tính (tương ứng    i/ f z'  z''  f z '  f z ' ; z ' , z ''  ii/ f   z    f  z  ;   , z  Hiển nhiên hàm f iz   if  z  ; z  n f: n  tuyến tính) nếu: n (tương ứng   ) n  tuyến tính  ,  tuyến tính Trong trường hợp f   z    f  z  , ta nói f Bây ta trang bị cho 1  n  phản tuyến tính  phép tốn sau:  Phép cộng: 1  2    ( j   'j ) X j  ( j  'j ) X j ; 1,2 1  n j 1  Phép nhân: f     f  j dz j  f  j d z j ; f  F  n j 1 n  2.3 Mệnh đề 1  n  với hai phép toán F    mô đun n Chứng minh  Ta thấy 1   Với f , g  F  n n  với phép cộng nhóm aben  ;  , , 1  n  , ta có: n  18  f  g     ( f  g ) jdz j  ( f  g ) jd z j  j 1 n 1/    f  j dz j  f  j d z j  +   g j dz j  g j d z j  n n j 1 j 1        f    j dz j  j d z j    g    j dz j  j d z j   j 1 j 1 n  n   f   g. 2/ f 1  2     ( j   'j ) X j  ( j  'j ) X j  n j 1    f  j dz j  f  j d z j  +   f  'j dz j  f  'j d z j  n n j 1 j 1  f   j dz j  j d z j  + f   'j dz j  'j d z j  n n j 1 j 1  f 1  f 2 3/  fg     ( fg ) j dz j  ( fg ) j d z j   f   g j dz j  g j d z j  n n j 1 j 1    f  g   j dz j  j d z j   = f  g  j 1 n   4/ 1.   1. j dz j 1. j d z j  =   j dz j  j d z j  =  n n j 1 j 1 Vậy 1  n  F    mô đun n Từ mệnh đề ta thấy rằng, mô đun 1  n dz , d z  j j n  có chiều 2n , với sở j1 Ví dụ Cho f: 1,2 1  , với 1  z1dz1  z2d z ,2   z1  z2  dz2  z2d z1 ,  , f  z1, z2   z1.z2 Khi ta có: 19  1  2  1  1'  dz1  2  2'  dz2    1'  d z1    2'  d z , 1  z1 , 2  ,   ,   z2 đó: 1'  , 2'  z1  z2 ,  1'  z2 ,  2'  Suy ra: 1  2  z1 dz1   z1  z2  dz2  z2 d z1  z2 d z f 1  z1.z2  z1 dz1  z2 d z  = z12 z2 dz1  z1.z22 d z  2.4.Định nghĩa Giả sử f : m  n f  z1, , zm    f1  z1, , zm  , , f n  z1, , zm    z1, , zm  Ánh xạ đối tiếp xúc f , kí hiệu f * xác định f * : 1  n   ,  m f*  với f *    j f df j    j f d f j ;trong đó:    j dz j   j d z j  j j j j 2.5 Mệnh đề Với  , 1    n .   dz j j   j d z j ;   'j dz j   'j d z j , ta có: j j j j i/ f *     f *  f *   ii/ f * .    f * ;   F   n  Chứng minh Thật vậy, với    j dz j   j d z j ,    'j dz j   'j d z j , j j j j 20 f:  m n , f  z1, , zm    f1  z1, , zm  , , f n  z1, , zm   ,  F  n , ta có: i/ f *         j   'j  f df j     j  'j  f d f j j j =   j f df j    j f d f j j j +   'j f df j    'j f d f j  f *  f *  j  j ii/ f * .     j f df j +   j f d f j j j     =     j f df j    j f d f j  =  f *  j j Bây ta trình bày định nghĩa tính chất - dạng vi phân II - dạng vi phân n n Trước trình bày định nghĩa - dạng vi phân nghĩa tích vi phân 1 dạng vi phân n n , ta trình bày định 2.6 Định nghĩa Giả sử 1 ,2 1  n  Tích ngồi   , kí hiệu 1  2 , xác định: 1 2  X ,Y   1  X 2 Y  1 Y 2  X  Như vậy; 1  2 :   n  x    F   n  X ,Y  n 1 2  X ,Y  Ví dụ Cho X ,Y    ,với X  z1  z2 ; z1  , Y  z1 ; z1.z22  , 1, 2 1  1  z1d z ,2  z2d z1 Ta tính 1 2  X ,Y   , với 21 Thật Ta có: 1 2  X ,Y   1  X 2 Y  1 Y 2  X  Để tính 1  2  X ,Y  , ta cần tính : 1  X  ,2 Y  ,1 Y  ,2  X  Ta tính  j  X  , j Y  ; j  1,2 theo hai cách Cách 1: Áp dụng biểu thức:   X     j X j   j X j n n j 1 j 1 Cách 2: Sử dụng mệnh đề 1.10 Ở ta tính theo cách Tức ta có: 1  X   z1d z  X   z1.z1 2 Y   z2d z1 Y   z1.z2 1 Y   z1d z1 Y   z1.z1 2  X   z2d z1  X   z2  z1  z2   z 1.z  z z    1  2  X ,Y  = z1 z1.z2 z1  z1.z1 z1.z2  z2 z  z1.z1  z2 z 2.7 Nhận xét Với 1 ,2 1  n  , ta có: n  , X ,Y    , ta có: a/ 1  2 = - 2  1 b/ 1  1  Thật Với 1 ,2 1  n a/ 1 2  X ,Y   1  X 2 Y  1 Y 2  X  = - 2  X 1 Y  2 Y 1  X    2  1  X ,Y  22  1  2 = - 2  1 b/ 1  1  X ,Y   1  X 1 Y  1 Y 1  X    1  1  2.8 Định nghĩa Vi phân 1 dạng vi phân     j dz j  j d z j  n j 1 n n j 1 j 1 d , xác định bởi: d   d j  dz j   d j  d z j Ví dụ Cho  1   , với    z  z2  dz1  z1 d z Ta tính d Thật vậy, Ta có: d  d1  dz1  d2  dz2  d  d z1  d  d z ; đó: 1  z12  z2   x1  iy1   x2  iy2  x12  y12  x2  i  2x1 y1  y2  ; x1, x2 , y1, y2  , 2  ,   ,   z1  x1  iy1 Để tính d , ta cần tính d j , d j ; j  1,2 ; Ta có:  d1  1    dz1  dz2  d z1  d z z1 z2  z1  z2  d2   d   d      dz1  dz2  d z1  d z z1 z2  z1  z2 n , kí hiệu 23 Theo [3] trang 242, ta tính được: 1  2z1 , z1 1 1 1,  0, z2  z1 1  0,  z2    0,  0, z2 z1   0,  z1  0  z2  d1  2z1dz1  dz2 ; d   d   2z1dz1  dz2   dz1  2z1dz1  dz1  dz2  dz1 Ta biết (xem [3], trang 261) dz j  dz j  0, d z j  d z j  0; j  1, n  d  dz2  dz1 2.9 Nhận xét Với X ,Y   n  , ta có: i/ dzi  dz j  X ,Y   X iY j  X jYi ii/ dzi  d z j  X ,Y   X i Y j  X jYi iii/ dzi  d z i  X ,Y   X i Y i  X iYi  d z i  dzi  X ,Y  Thật Với X ,Y   n  , ta có: i/ dzi  dz j  X ,Y   dzi  X  dz j Y   dz j  X  dzi Y  ; theo mệnh đề 1.10 ta có: dz j  X   X j , d z j  X   X j  dzi  dz j  X ,Y   X iYj  X jYi ii/ dzi  d z j  X ,Y   dzi  X  d z j Y   d z j  X  dzi Y  24  X i Y j  X jYi iii/ dzi  d z i  X ,Y   dzi  X  d z i Y   d z i  X  dzi Y   X i Y i  X iYi    X i Yi  X i Y i   d z i  dzi  X ,Y  Bây ta trình bày định nghĩa  dạng vi phân n thông qua dzi  dz j , dzi  d z j , d z i  d z j 2.10 Định nghĩa (xem [3])  dạng vi phân n , biểu thức:    ijdzi  dz j    ijdzi  d z j   ijd z i  d z j 1i  j  n 1i  j  n đó: ij , ij ,ij  F  n 1i  j  n  Ví dụ Biểu thức   z1dz1  dz2  z1.z2dz1  d z   z1  z2  d z1  d z ,  dạng vi phân Với 12  z1,  12  z1.z2 , 12  z1  z2 Chú ý Ta kí hiệu C tập  dạng vi phân 2  n    /   n , tức là:   ijdzi  dz j    ijdzi  d z j   ijd z i  d z j  1i  j  n  Các phép toán 2  1i  j  n  1i  j  n  , xác định sau: n - Phép cộng: 1  2   ij  ij' dzi  dz j  1i  j  n    dz 1i  j  n ij ' ij i  d zj  1, 2 2  - Phép nhân:     dz 1i  j  n n  ij ' ij i  d zj; 25 .   .ijdzi  dz j 1i  j  n    ijdzi  d z j    ijd z i  d z j ; 1i  j  n 1i  j  n   F   Với  , 1 ,2 1  n n  ,       ,    2  n n  d     n 2.11 Mệnh đề 2  n  với hai phép tốn nói mơ đun F   n Chứng minh  Ta dễ thấy 2   f , g  F  n n  với phép cộng nhóm aben  ;, ,    , ta có: n 1/  f  g    1i  f  g ijdzi  dz j  j n   1i  j  n  f  g  ijdzi  d z j 1i jn  f  g  ijd z i  d z j   f ijdzi  dz j   f  ijdzi  d z j 1i  j  n 1i  j  n   f ijd z i  d z j   gijdzi  dz j 1i  j  n 1i  j  n   g ijdzi  d z j   gijd z i  d z j 1i  j  n  f   g 1i  j  n 26   2/ f 1  2    ij  ij' dzi  dz j 1i  j  n     +   ij  ij' dzi  d z j +  ij ij' d z i  d z j 1i j  n 1i  j  n   f ijdzi  dz j   f  ijdzi  d z j 1i  j  n 1i  j  n   f ijd z i  d z j   f ij' dzi  dz j 1i  j  n 1i  j  n   f  ij' dzi  d z j   f ij' d z i  d z j 1i  j  n 1i  j  n  f 1  f 2 3/  f g     1i  j  n   1i  j  n  f g ijdzi  dz j  f g  ijdzi  d z j  1i  f g ijd z i  d z j  j n      f   gijdzi  dz j   g ijdzi  d z j   gijd z i  d z j  1i  j  n 1i  j  n 1i  j  n  f  g  4/ 1.   1.ijdzi  dz j   1. ijdzi  d z j   1.ijd z i  d z j 1i  j  n 1i  j  n 1i  j  n   ijdzi  dz j    ijdzi  d z j   ijd z i  d z j   1i  j  n Vậy 2  n 1i  j  n 1i  j  n   mô đun F   n 2.12 Định nghĩa Giả sử f : m  n , f  z1, , zm    f1  z1, , zm  , , f n  z1, , zm   Ánh xạ đối tiếp xúc f , kí hiệu f * xác định bởi: f * : 2  Với f *   ij f df i  df j 1i  j  n n     f * m 27 +   ij f df i  d f 1i  j  n j +  ij f d f i  d f j , 1i  j  n đó:    ijdzi  dz j 1i  j  n    ijdzi  d z j   ijd z i  d z j 1i  j  n 1i  j  n Ví dụ Cho f :  , f  z1, z2    z1  z2 ; z1.z2  ,   z1dz1  dz2   z1  z2  dz1  d z  z1d z1  d z Ta tính f * Thật vậy, theo định nghĩa thì: f *  12 f  df1  df   12 f  df1  df1   12 f  df1  d f  12 f  d f  d f , đó: 12  z1;  12  z1  z2 ; 12  z1 f1  z1  z2 ; f  z1.z2  12 f   z1  z2  12 f   z1  z2  z1.z2 12 f   z1  z2  z1.z2 Ta cần tính: df1, d f 1, df , d f Ta có:  df1  f1 f f f dz1  dz2  d z1  d z ; z1 z2  z1  z2 28 với: f1 f1 f1 f1 1,  1, 0  0, z2 z1  z2  z1  df1  dz1  dz2  d f1 f1 f f f dz1  dz2  d z1  d z ; z1 z2  z1  z2 với: f1 f f1 f1  ,  0, 1, 1 z2 z1  z2  z1  d f  d z1  d z  df  f f f f dz1  dz2  d z1  d z ; z1 z2  z1  z2 với: f f f f  z2 ,  z1 ,  ,  z2 z1  z2  z1  df  z2dz1  z1dz2  df2 f2 f f f dz1  dz2  d z1  d z ; z1 z2  z1  z2 với: f2 f2 f2 f2  z2 , 0, 0,  z1 z2 z1  z1  z2  d f  z 2d z1  z1d z  f *   z1  z2   dz1  dz2    z2dz1  z1dz2    z1  z2  z1.z2   dz1  dz2    d z1  d z    z1  z2  z1.z2  dz1  dz2    z 2d z  z 1d z    z1  z2   dz1  dz2    z2dz1  z1dz2    z1  z2  z1  z2   dz1  dz2    z1  z2  z1.z2   dz1  d z1  dz1  d z  dz2  dz1  dz2  d z  29    z1  z2  z1 z2  z 2dz1  d z1  z1dz1  d z  z 2dz2  d z1  z1dz2  d z    z1  z2   z1dz1  dz2  z2 dz2  dz1    z12  z22  dz1  dz2   z1  z2  z1z2  dz1  d z1   z1  z2  z1 z2  z1 z1  z2 z1  z1 z1z2  dz1  d z  z1  z2  z1z2  z1z2  z2 z2  z1z2 z2  d z1  dz2  z1   z1  z2  z1 z2  z1 z1  z2 z1  z1 z1 z2  dz2  d z +  z1 z1  z1 z2  z1 z2  z2 z2  d z1  d z 2.13 Mệnh đề Với  f F  n  ddf  Chứng minh Thật vậy,  f F  df  n  ta có: f n  z dz j 1 j j  n f  z  n f  ddf  d   dz j   j 1 z j   j f n  z j 1  f    dz j   k   z j dzj j 1  dzj   j   f   d z j  k   z j  2 f  2 f   2 f 2 f   dzk  dzk  d zk   d z j d z k   dz j     z z   zk z j   zk z j j j  zk z j  k j     2 f j z z dzk  dz j  k j 2 f j  z  z d z k  dz j k j 2 f 2 f  dzk  d z j   d z k  d z j  j  zk z j j z z k j 30 Vậy ddf  0,  f F  n  KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi trình bày kết sau: 1) Trình bày số tính chất 1 dạng  dạng vi phân n 2) Chứng minh chi tiết số tính chất 1 dạng vi phân n : (mệnh đề 2.2; mệnh đề 2.3) 3) Chứng minh tính chất đồng cấu ánh xạ đối tiếp xúc f * ánh xạ (mệnh đề 2.5) 4) Chứng minh chi tiết số tính chất 2- dạng vi phân n : (mệnh đề 2.11; mệnh đề 2.13) Trong thời gian tới, tiếp tục trình bày số tính chất ánh xạ kéo lùi ánh xạ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Phan Đức Chính, (1977), Không gian véc tơ tô pô, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập 2, NXBGD [3] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, (1997), Hàm biến phức, NXBQG [4] Nguyễn Văn Khuê - Vũ Tuấn, (2000), Hàm số biến số phức, NXBGD [5] Ngô Thúc Lanh, (1970), Đại số tuyến tính, NXBGD THCN [6] Nguyễn Hữu Quang, (2007), Bài giảng đa tạp khả vi, Đại học vinh [7] Đoàn Quỳnh, (2001), Hình học vi phân, NXB Đại học sư phạm [8].H.Cartan, (1980), phép tính vi phân dạng vi phân, NXBĐH THCN Hà Nội Tiếng Anh [9] Neill B O(1996) Elementary Diferential Geometry Academic Press, New – York London ... hàm n  khả vi không gian  khả vi theo trường véc tơ, vi phân hàm Chương xem phần chuẩn bị cho vi? ??c trình bày nội dung chương Chƣơng Dạng vi phân I II n 1– dạng vi phân – dạng vi phân n n Chương... ta trình bày định nghĩa tính chất - dạng vi phân II - dạng vi phân n n Trước trình bày định nghĩa - dạng vi phân nghĩa tích ngồi vi phân ngồi 1 dạng vi phân n n , ta trình bày định 2.6 Định... 15 Chƣơng n DẠNG VI PHÂN TRONG Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất 1- dạng  dạng vi phân không gian n thông qua dz j d z j , ánh xạ đối tiếp xúc ánh xạ I 1- dạng vi phân n 2.1