Nửa vành thương và cấu xạ nửa vành 1.1 Nửa vành thương
Cấu xạ nửa vành
1.2.1 Định nghĩa Giả sử R và S là các nửa vành Khi đó ánh xạ : R S được gọi là cấu xạ nửa vành nếu ( r r ') ( ) r ( '), ( r rr ') ( ) ( '), r r r r , ' R và (0 ) R 0 S
Nếu R, S là các nửa vành với đơn vị thì cần có thêm điều kiện (1 ) 1 R S
1.2.2 Chú ý 1 Giả sử : R S là cấu xạ nửa vành Khi đó
( ) ( ) | im r r R là nửa vành con của S
2 Giả sử R là một nửa vành với đơn vị là End R 0 ( ) là tập hợp tất cả các tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán (R,+) thỏa mãn (0) 0 là một nửa vành với đơn vị Đối với mỗi r R, giả sử r : R R là ánh xạ xác định bởi
Thế thì r End R 0 ( ) đối với mỗi r R và ánh xạ r r là một cấu xạ nửa vành với đơn vị Thực tế, cấu xạ này là đơn ánh vì r 0 kéo theo r= r (1) = 0
Nếu R là một nửa vành con của nửa vành với đơn vị S, thì có một cấu xạ nửa vành với đơn vị γ từ mở rộng Dorroh R× đến S, được xác định bởi γ(r, n) = r + n.1 S Phép toán trên R× được định nghĩa như sau: (r, n) + (r', n') = (r + r', n + n') và (r, n)(r', n') = (nr' + n'r + rr', nn').
3 Giả sử R là một nửa vành với đơn vị và M là một vị nhóm với đơn vị là Thế thì có một cấu xạ toàn ánh các nửa vành với đơn vị : R R M được cho bởi ( )( ) r m r nếu m=e và ( )( ) r m 0 R nếu m e , trong đó R(M) là tập hợp các ánh xạ từ M vào R với giá hữu hạn và các phép cộng và phép nhân cho bởi:
4 Giả sử A và B là các tập hợp khác rỗng và : A B là một ánh xạ cho trước Thế thì một cấu xạ tùy ý của các nửa vành với đơn vị : R S xác định một cấu xạ của các nửa vành với đơn vị : R B S A được cho bởi
Nếu A ⊆ B là các tập hợp khác rỗng và R là một nửa vành với đơn vị, thì có một cấu xạ chính tắc của các nửa vành với đơn vị từ R B đến R A, được xác định bởi việc thu hẹp các ánh xạ.
5 Giả sử R là một nửa vành con của một nửa vành chứa đơn vị S và I là một iđêan của R, và giả sử H là một iđêan của S thỏa mãn I R H Thế thì ta có cấu xạ chính tắc : R S
Ánh xạ này là hoàn toàn xác định, vì nếu (r, r') thuộc I trong R, thì (r, r') cũng thuộc H trong S Hệ quả của nhận xét này cho thấy rằng, nếu H là lý thuyết của nửa vành với đơn vị R, thì tồn tại một ánh xạ toàn ánh nửa vành từ R lên R.
1.2.3 Định nghĩa và kí hiệu Giả sử R i i | là một họ các nửa vành với đơn vị và i i
là tích trực tiếp của chúng Thế thì có một toàn cấu xạ h : R R h
Mỗi phần tử của R được gán với thành phần thứ h của nó, và có một phép nhúng j h : R n R, trong đó mỗi phần tử a thuộc R n được ánh xạ tới phần tử trong R có thành phần thứ h bằng a, trong khi tất cả các thành phần còn lại đều bằng 0.
Kí hiệu C R là tập hợp các điểm r trong R sao cho 'r = r' với mọi r' trong R Tập hợp I X (R) chứa các phần tử r trong R thỏa mãn điều kiện r^2 = r, đại diện cho các lũy đẳng nhân tính của nửa vành R Ảnh của đơn vị trong R^n không phải là 1 trong R nhưng thuộc giao điểm của C R và I X (R) Một nửa vành của R được coi là một tích trực tiếp con của R nếu và chỉ nếu ánh xạ j từ h xuống S với mỗi h trong Ω vẫn duy trì tính toàn ánh.
Một tập hợp e e 1 , , , 2 e n các phần tử khác không của C R ( ) I X ( ) R được gọi là tập hợp các lũy đẳng trung tâm trực giao đầy đủ của R nếu và chỉ nếu
1 2 n 1 e e e và e e i j 0 đối với mọi i j Khi đó e U e i U i | và f U =
đối với tập con thực sự khác rỗng U tùy ý của 1, 2, , n thỏa mãn
U U 1 e f và e f U U f e U U 0 Như vậy đối với mỗi U , e U comp R ( ) với
( ) comp R a R | c R ac : ca 0; a c 1 Nói riêng, e i comp R ( ) đối với mỗi i 1, 2, , n
1.2.4 Mệnh đề Các điều kiện sau đây đối với một nửa vành R là tương đương:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét sự tồn tại của các nửa vành R và một đẳng cấu : R R i Đặc biệt, chúng ta chứng minh rằng nếu tồn tại một đẳng cấu như vậy thì cũng tồn tại một tập hợp các lũy đẳng trung tâm trực giao đầy đủ của R Đặt S = R i, với mỗi i thuộc tập {1, 2, , n}, chúng ta giả sử 1 i là đơn vị nhân tính của R i và j R i: i S là phép nhúng chính tắc Vì là một đẳng cấu, với mỗi phần tử s thuộc S, sẽ có duy nhất một phần tử r = ⁻¹(s) sao cho (r) = s Đối với mỗi i, nếu e i = ⁻¹((1)) j i thì ta có (e 1 + e 2 + + e n) =
1 (1 ) 1 j j 2 (1 ) 2 j n (1 ) n 1 S (1 ) R nên e 1 e 2 e n 1 R Nếu i j thì ( e e i j ) ( (1 ))( (1 )) j i i j j j 0 S (0 ) R nên e e i j 0 R Ta lại có ( ) e i 2 ( ) ( ) e i e i = j i (1 ) (1 ) i j i i i (1 ) i
( ) e i nên e i 2 e i , như vậy e i I R ( ) Cuối cùng, nếu r R thế thì ( re i ) ( ) (1 ) r j i i
Nếu r thuộc R, thì r có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phần tử từ Re_i, cụ thể là r = r_1 e_1 + r_2 e_2 + + r_n e_n, với re_i thuộc Re_i cho tất cả i Mỗi phần tử trong R có thể viết dưới dạng này một cách duy nhất, nghĩa là nếu r = r_1 e_1 + r_2 e_2 + + r_n e_n, thì re_i = (re e_i)_i = re_i cho mỗi i trong {1, 2, , n} Do đó, chúng ta có một ánh xạ song ánh γ: R → ∏ R_i được xác định bởi γ(r) = re_i.
Re i là một nửa vành nên trực tiếp chứng minh được là một đồng cấu nửa vành.€
1.2.5 Chú ý Giả sử R là một nửa vành với đơn vị, R Z R ( ) và R S
là vành các sai phân của nó (xem Mệnh đề 1.1.9) Thế thì ta có một cấu xạ chính tắc : R R cho bởi ( ) r ( , 0) r
D Cấu xạ chính tắc này không nhất thiết là đơn ánh Thật vậy, nếu ( ) r ( ') r thì ( , 0) r ( ', 0) r
Để R là một nửa vành giản ước được, tồn tại a ∈ R sao cho (r+a, a) = (r’+a, a), dẫn đến r+a = r’+a Điều này cho thấy điều kiện cần và đủ để γ đơn ánh là R giản ước được Hơn nữa, với bất kỳ phần tử (a, b) ∈ D của R, ta có γ(a) - γ(b), cho thấy mỗi phần tử của R là hiệu giữa hai phần tử thuộc im(γ) Từ đó, nếu R là một nửa vành giản ước được, thì R đẳng cấu với một nửa vành con của vành.
R sao cho mỗi phần tử của R là hiệu giữa hai phần tử trong ảnh của R
Chú ý rằng nếu R là một nửa vành thì tập hợp tất cả các iđêan của
R được kí hiệu bởi ideal(R) Theo Dedekind, ideal(R) cùng với phép cộng và nhân các iđêan thông thường là một nửa vành
1.2.6 Mệnh đề Giả sử R là một nửa vành với đơn vị không zeroic và I là một iđêan của R Thế thì I ( ) a ( ) | , b a b I là một iđêan của R , trong đó
là đồng cấu chính tắc
1.2.7 Mệnh đề Nếu R là một nửa vành với đơn vị không zeroic thì ánh xạ
xác định bởi I I là một cấu xạ nửa vành
Chứng minh Rõ ràng ( 0 ) 0 và ( ) R R Nếu I và H là các iđêan của R thì ( I H ) là iđêan bé nhất của R chứa I+H và do đó ( I H ) I H Đảo lại, giả sử s ( ) a ( ') a ( ) b ( ') b thuộc I H , trong đó a a , ' I và
, ' b b H Thế thì s= ( a b ) ( ' a b ') ( I H ) Do đó ( I H ) I H Tương tự, ( IH ) I H Đảo lại, nếu s ( ) a ( ') a ( ) b ( ') b thuộc I H thì s ( ab a b ' ') ( ab ' a b ' ) ( IH ) , nên ( IH ) I H €
1.2.8 Nhận xét Giả sử R là một nửa vành không zeroic và R S
là vành các sai phân của nó với cấu xạ chính tắc : R R Nếu : R R ' là một cấu xạ vành thì xác định một cấu xạ nửa vành ' : S R ' được cho bởi
Hơn nữa, '( , ) a a 0 với mọi a R và do đó ' cảm sinh một đồng cấu vành '' : R R ' Nếu a R thì '' ( ) "( ( , 0) a ) a D
và do đó '' Ánh xạ " là duy nhất với tính chất này Thật vậy, nếu
là một đồng cấu vành thỏa mãn điều kiện thì đối với mỗi phần tử ( , ) a b
Nếu R1 và R2 là các nửa vành giản ước, chúng được chứa trong vành các sai phân R1Δ và R2Δ tương ứng Mỗi đồng cấu nửa vành sẽ phản ánh mối quan hệ giữa các cấu trúc này.
có thể mở rộng được thành đồng cấu vành duy nhất từ R 1 vào
R 2 Hơn nữa, đơn ánh nếu và chỉ nếu đơn ánh và toàn ánh nếu và chỉ nếu toàn ánh
Kết quả sau đây đã được chứng minh trong 4 , trang 100-101
1.2.9 Mệnh đề 1 Giả sử R là nửa vành giản ước được Khi đó tồn tại một đồng cấu đơn ánh của các nửa vành : R S từ R vào vành nguyên nếu và chỉ nếu R thỏa mãn điều kiện: Nếu a,a’,b,b’ R thỏa mãn ab a b ' ' ab ' a b ' thì a a ' hoặc b b '
2 Giả sử R là nửa vành giản ước được với vành sai phân R Khi đó một tập con thực sự I của R là iđêan trái trừ được nếu và chỉ nếu R H đối với iđêan trái H nào đó của R
3 Nếu R là một nửa vành thì tồn tại một nửa vành giản ước được S và một toàn cấu từ S vào R
1.2.10 Mệnh đề Một nửa vành bất khả đối R hoặc là lũy đẳng cộng tính hoặc chứa một nửa vành con đẳng cấu với
Chứng minh Giả sử : R xác định bởi ( m ) ( 1 )( 1 ) m R n R 1
[4, Mệnh đề 3.41], là một cấu xạ nửa vành Hơn nữa, nếu ( h ) ( m ) k n
Hạt nhân của cấu xạ nửa vành
Trước hết ta chứng minh kết quả sau
1.3.1 Mệnh đề Giả sử : R S là một cấu xạ nửa vành
(i) Nếu H là một iđêan trái của S thì 1 ( H ) là một iđêan trái của R Hơn nữa, nếu H trừ được thì 1 ( H ) trừ được
(ii) Nếu là toàn ánh và I là một iđêan trái của R thì (I ) là iđêan trái của S
Chứng minh (i) Giả thiết rằng H là iđêan trái của S Nếu a,b 1 ( H ) thì
và do đó a b 1 ( H ) Nếu r R và a 1 ( H ) thì
và do đó ra 1 ( H ) Cuối cùng, nếu 1 R 1 ( H ) thì 1 S
mà điều này không thể xảy ra Như vậy 1 R 1 ( ) H và 1 ( H ) là một iđêan trái của R Bây giờ giả thiết rằng H trừ được, nếu a,a+b 1 ( H ) thế thì
(a và ( a ) ( b )= ( a b ) H và do đó ( b ) H Từ đó b 1 ( H ) nên )
(ii) Giả thiết rằng I là iđêan trái của R Nếu a,b I thì
= ( a b ) (I ) Nếu a I và s S thì s (r ) với r R nào đó và như vậy s ( ) a = ( r ) ( a ) = ( ra ) ( I ) Do đó (I )là iđêan trái của S €
1.3.2 Định nghĩa Giả sử : R S là một cấu xạ nửa vành Khi đó 1 0 được gọi là hạt nhân của và được kí hiệu bởi ker( )
Theo Mệnh đề 1.3.1, ker(γ) là một iđêan của R Nếu R là một vành, thì iđêan tùy ý của R có thể là hạt nhân của một đồng cấu từ R vào một vành S nào đó, nhưng điều này không đúng với các nửa vành tùy ý Hơn nữa, nếu γ: R → S là một cấu xạ nửa vành với ker(γ) = {0}, thì γ có thể không phải là một đơn ánh Ví dụ, nếu R = {0, a, 1} là một tập sắp thứ tự toàn phần với phép cộng x+y = max{x, y} và x.y = min{x, y}, thì R là một nửa vành Giả sử B là nửa vành Bun và γ: R → B là ánh xạ xác định bởi
a và ( 0 ) 0 Khi đó là đồng cấu nửa vành và ker( ) 0 , nhưng
không phải là đơn ánh của nửa vành R và
1.3.3 Chú ý 1 Nếu I là một iđêan cấu xạ xác định bởi r I r )
2 Giả sử R là một nửa vành và S j | j là một họ các nửa vành Đối với mỗi j , giả sử : R S j là cấu xạ nửa vành Khi đó ta có một cấu xạ nửa vành
: được cho bởi ( r ) j ( r ) Hạt nhân của cấu xạ này là
3 Một cấu xạ từ nửa vành R đến nửa vành Bun B được gọi là một đặc trưng của R Tập hợp tất cả các đặc trưng của R được kí hiệu bởi Char( R)
1.3.4 Mệnh đề Nếu R là một nửa vành và char (R ) thì ker( ) là một iđêan nguyên tố
Chứng minh Giả sử a,bR sao cho arb ker( ) với mọi r R Thế thì
ab Nếu a ker( ) thì 0 ( ab ) ( ) ( ) a b ( ) b nên b ker( ) Như vậy, theo [4, Mệnh đề 6 3], ker( ) là iđêan nguyên tố €
1.3.5 Mệnh đề Nếu : R S là một cấu xạ toàn ánh của nửa vành sao cho Ker( )=0 thì
(i) R là nửa vành nguyên nếu và chỉ nếu S là nửa vành nguyên ;
(ii) R là một vành nếu và chỉ nếu S là một vành
Để chứng minh rằng một nửa vành là nửa vành nguyên, trước tiên ta định nghĩa nửa vành nguyên là nửa vành không chứa ước của không Giả sử R là nửa vành nguyên và s, s’ thuộc S với ss’=0 Tồn tại các phần tử r, r’ trong R sao cho (r) = s và (r’) = s’ Khi đó, ta có (r)(r’) = (rr’) = ss’ = 0, dẫn đến rr’ thuộc ker() = {0} Vì R là nửa vành nguyên, nên r=0 hoặc r’=0, từ đó suy ra s=(r)=(0)=0 hoặc s’=(r’)=(0)=0, chứng minh rằng S là nửa vành nguyên Ngược lại, nếu S là nửa vành nguyên và r, r’ thuộc R với rr’=0, thì (r)(r’) = (rr’) = (0) = 0, dẫn đến (r)=0 hoặc (r’)=0, do đó r=0 hoặc r’=0 vì ker()={0} Kết luận, R cũng là nửa vành nguyên.
(ii) Giả thiết rằng R là một vành Nếu s S và r R sao cho (r)=s thì
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một vành S với các phần tử khả nghịch cộng tính, ký hiệu là V(S) Điều này dẫn đến việc S = V(S), xác nhận rằng S là một vành Ngược lại, nếu S là một vành và r thuộc R, thì cả (r) và -(r) đều thuộc S Do là toàn ánh, tồn tại một r' trong R sao cho (r') = -(r).
( ) ( r ( )) r 0 nên r+r’ Ker( ) 0 Do đó r+r’=0 nên r V(R) và do đó R=V(R) Vậy R là một vành.€
1.3.6 Mệnh đề Một iđêan I của nửa vành R là hạt nhân của một cấu xạ nửa vành nếu và chỉ nếu I trừ được
Giả thiết rằng I là hạt nhân của đồng cấu nửa vành : R S Nếu a, b ∈ R thỏa mãn a, a+b ∈ I thì 0 = (a + b) = (a) + (b) = (b), vì (a) = 0 Do đó, (b) = 0 dẫn đến b ∈ I, chứng minh rằng I trừ được Ngược lại, giả thiết rằng I trừ được và
I là toàn cầu chính tắc cho bởi ( ) r r
I Thế thì I Ker ( ) Mặt khác, nếu r Ker ( ) thì tồn tại a,a’ I sao cho r+a=0+a’ I Vì I trừ được nên r I và do đó I=Ker( ) €
1.3.7 Mệnh đề Nếu S là một nửa vành con của một nửa vành R và I là một iđêan của R thì
(i) S+I là một nửa vành con của R;
(ii) S I là một iđêan của S;
(ii) Tồn tại một cấu xạ toàn ánh của các nửa vành
và nếu I trừ được thì Ker( ) 0
Chứng minh (i) và (ii) là rõ ràng Định nghĩa tương ứng
Thế thì là một cấu xạ toàn ánh của các nửa vành Nếu I trừ được và
( ) s s I Ker ( ) thì tồn tại các phần tử a,a’ I sao cho s+a=0+a’, từ đó s I vì I trừ được Điều này kéo theo
( ) 0 ( ) s S I S I hay Ker( ) 0 € iđêan của nửa vành R và H’=
1.3.8 Mệnh đề Nếu I H là một
Chứng minh Định nghĩa tương ứng
( Khi đó là một ánh xạ vì I H , hơn nữa là một cấu xạ toàn ánh của các nửa vành có Ker( ) r I R I | r H 0 H = r I R I | r H ' = H ' I Theo [4, Mệnh đề 9.15]
, cảm sinh một đồng cấu ’: ( ) ( '
Do đó là đơn cấu và từ đó là một đẳng cấu.€
Chú ý rằng nếu : R S là một cấu xạ nửa vành thì 1 (1 ) S
Trong không gian R, tập hợp r thuộc R mà ( ) 1 r S không khép kín dưới phép lấy tổng, vì vậy không phải là iđêan của R Nếu r và r' thuộc 1 (1 S), thì có thể khẳng định rằng (rr') = (r)(r') = 1 S, dẫn đến rr' cũng thuộc 1 (1 S) Điều này cho thấy 1 (1 S) đóng dưới phép nhân Hơn nữa, 1 R cũng thuộc 1 (1 S).
là vị nhóm con của (R,.) Kết quả sau đây chứng tỏ rằng đôi khi 1 ( 1 S ) có thể là một iđêan của R
1.3.9 Mệnh đề Giả sử là một cấu xạ nửa vành và s là phần tử vô hạn mạnh của S thì 1 ( s ) là một iđêan của R
Chứng minh Trước hết ta nhắc lại rằng phần tử s S được gọi là phần tử vô hạn mạnh nếu s x s , x S và xs s sx , 0 x S
Chú ý rằng 1 ( s ) R vì 0 R 1 ( s ) Mặc khác, nếu a,b 1 ( s ) và nếu r R thì ( a b ) ( a ) ( b ) s s s trong khi đó ( ra ) ( ) ( ) r a ( ) r s s ( ) s r ( ) ( ) a r ( ar ) Vậy a+b, ra,ar 1 ( s ) nên 1 ( s ) là iđêan của S €
1.3.10 Định nghĩa Nếu : R S là một cấu xạ của các nửa vành và
U R = r R | r ' R rr : ' r r ' 1 R là tập hợp tất cả các ước đơn vị của R thì tập con 1 (1 ) S U R ( ) a U R ( ) | ( ) 1 a S được gọi là hạt nhân nhân tính của và được ký hiệu bởi mker( )
Vì 1 R mker( ) và 0 m ker( ) nên mker( ) là tập con thực sự của R
1.3.11 Mệnh đề Nếu : R S là một cấu xạ của các nửa vành thì mker( ) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm ( U R ( ) ,.)
Chứng minh rằng nếu a, b thuộc m ker(γ), thì γ(ab) = γ(a)γ(b) = 1_S, tức là ab thuộc m ker(γ) Nếu a thuộc m ker(γ), thì 1_S = γ(1_R) = γ(aa⁻¹) = γ(a)γ(a⁻¹) = γ(a⁻¹), do đó a⁻¹ thuộc m ker(γ) Như vậy, m ker(γ) là nhóm con của (U_R, ) Cuối cùng, với r thuộc U_R và a thuộc m ker(γ), ta có γ(rar⁻¹) = γ(γ(r)γ(a)γ(r⁻¹)) = γ(γ(r)γ(r⁻¹)) = γ(rr⁻¹) = γ(1_R).
nên rar 1 m ker( ) Từ đó m ker( ) là chuẩn tắc trong ( U R ( ),.).€
1.3.12 Định nghĩa Giả sử R là một nửa vành với phép chia, nghĩa là R\ 0
Theo Mệnh đề 1.3.11, m ker( ) là nhóm con chuẩn tắc của nhóm nhân R\{0} đối với mỗi cấu xạ nửa vành : R S Trong bối cảnh này, một nhóm con chuẩn tắc của (R\{0},.) được định nghĩa là một ước chuẩn của R.
1.3.13 Mệnh đề Một ước chuẩn N của một nửa vành R có dạng m ker( ) đối với cấu xạ nửa vành : R S nào đó nếu và chỉ nếu đối với mọi phần tử r,r’ R thỏa mãn r+r’=1 và đối với mọi a,b N ta có ar+ar’ N
Chứng minh Nếu N m ker( ) đối với cấu xạ : R S nào đó và nếu r,r’,a,b thỏa mãn r+r’=1 ; a,b N thì ( ar br ') ( ) ( ) a r ( ) ( ') b r ( ) r ( ') r ( r r ') 1 S
Để xác định quan hệ N trên R, ta có (r,r’) N nếu và chỉ nếu r = r’ hoặc r’r 1 N Quan hệ này được chứng minh là tương đương trên R Cụ thể, nếu (a,b) N và (c,d) N, thì r được tính bằng công thức r = (a c b d + )( + ) 1 = (ab 1) [b b d ( + ) 1].
Nhưng ab 1 ,cd 1 N và b(b+d) 1 d b d ( ) 1 1 , do đó theo tính chất của N, có r N Như vậy a c , b d N Cuối cùng, ac bd 1 =
1 1 1 acd b ab b cd 1 b 1 N vì ab 1 N , cd 1 N và b cd 1 b 1 N theo tính chuẩn tắc Như vậy ac bd , N €
Tương đẳng N id R và N R , do đó ta có thể định nghĩa nửa vành thương
S R và đồng cấu nửa vành : R S bởi
1.3.14 Mệnh đề Nếu R là nửa vành với phép chia thì một cấu xạ nửa vành
: đơn ánh nếu và chỉ nếu mker 1
Chứng minh Nếu là đơn ánh thì rõ ràng mker 1 Đảo lại, giả sử không phải là đơn ánh Khi đó tồn tại a , b R , a b sao cho a b Giả sử
0 a Khi đó 1 S 1 aa 1 a a 1 b a 1 ba 1 , nên 1 ba 1
Nửa vành các thương Nửa vành Euclid Nửa vành chính quy cộng tính 2.1 Nửa vành các thương
Nửa vành Euclid
Các nửa vành được xét sau đây là nửa vành với đơn vị
2.2.1 Định nghĩa và ký hiệu Giả sử R là một nửa vành Với mỗi phần tử a R, kí hiệu RD a b R a | Rb b R Ra | Rb là tập hợp tất cả các ước bên phải của a trong vị nhóm R , Vì b RD b đối với mọi b R nên
RD b thuộc RD a nếu và chỉ nếu RD b là tập con của RD a Nếu R là một nửa vành đơn và b thuộc RD a, thì tồn tại một phần tử r trong R sao cho a bằng rb.
3.3], a b rb b b Như vậy chúng ta thấy rằng nếu a là một phần tử thuộc nửa vành đơn R thì RD a kéo theo a Z R
Nếu a là một phần tử thuộc nửa vành R thì U R RD 1 R RD a Nếu
a U R và RD a U R a thì a được gọi là bất khả quy phải Phần tử bất khả quy trái được định nghĩa tương tự
là nửa vành của các ma trận cấp hai với các thành phần thuộc tập hợp số tự nhiên Trong trường hợp này, chỉ có hai ma trận có định thức bằng 1 và không thể quy về bên phải, đó là ma trận 1 1.
2.2.3 Chú ý Nếu A là một tập hợp khác rỗng của nửa vành R thế thì tập hợp tất cả các ước chung phải của A là CRD A RD a | a A
b R RA | Rb Một phần tử b CRD A là một ước chung phải lớn nhất nếu CRD A RD b
2.2.4 Mệnh đề Giả sử R là một tập con khác rỗng của nửa vành R Khi đó phần tử b R là ước chung phải lớn nhất của A nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(ii) Nếu c R thỏa mãn RA Rc thì Rb Rc
Giả sử b là ước chung phải lớn nhất của A, ta có b thuộc CRD(A) và do đó b cũng thuộc RD(a) với mọi a thuộc A Điều này dẫn đến việc Ra chứa Rb cho mọi a thuộc A, từ đó suy ra RA chứa Rb Nếu RA chứa Rc với c thuộc R nào đó, thì c cũng thuộc CRD(A) và RD(b), do đó Rb chứa Rc Ngược lại, nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn, thì từ (i) b thuộc CRD(A) dẫn đến RD(b) chứa CRD(A) Từ (ii), nếu c thuộc CRD(A) thì RA chứa Rc, do đó Rb chứa Rc Điều này chứng minh rằng c thuộc RD(b), từ đó suy ra CRD(A) chứa RD(b) và cuối cùng CRD(A) bằng RD(b), xác nhận rằng b là ước chung phải lớn nhất của A.
2.2.5 Hệ quả Nếu mỗi iđêan trái của nửa vành R là iđêan chính thì mỗi tập con khác rỗng của R có ước chung phải lớn nhất
Giả sử A là một tập con khác rỗng của R, thì RA có thể bằng R hoặc RA là iđêan trái của R Từ đó, theo giả thiết, tồn tại b thuộc R sao cho RA = Rb Theo Mệnh đề 2.2.4, b được xác định là ước chung phải lớn nhất của A.
2.2.6 Mệnh đề Giả sử a,b,c là các phần tử của nửa vành R Nếu d là ước chung phải lớn nhất của a, b và e là ước chung phải lớn nhất của c, d thì e là ước chung phải lớn nhất của a , b , c
Chứng minh Theo định nghĩa, RD(e)=RD(d) RD(c)=RD(a) RD(b)
Nếu a,b R thì CRD( a, b ) CRD( a b , b ) Chúng ta tìm điều kiện để đẳng thức xảy ra
2.2.7 Mệnh đề Các điều kiện sau đây đối với nửa vành R là tương đương:
(i) CRD( a, b ) = CRD( a b , b ) đối với mọi a,b R;
(ii) Mỗi iđêan chính trái của R là trừ được
Giả sử Rd là lý thuyết chính của R Nếu a và a+b thuộc Rd, thì d thuộc CRD( {a + b, a} ) và do đó b cũng thuộc Rd, chứng minh rằng Rd là trừ được Ngược lại, giả sử d thuộc CRD( {a + b, b} ) với a và b thuộc R, thì a+b và a đều nằm trong Rd, từ đó suy ra a cũng thuộc Rd, chứng minh rằng d thuộc CRD( {a, b} ).
2.2.8 Định nghĩa Một nửa vành R thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương trong Mệnh đề 2.2.7 được gọi là một PLIS- nửa vành
2.2.9 Chú ý 1 Giả sử R là nửa vành nguyên bất khả đối và là một ký hiệu không thuộc R Ta xây dựng nửa vành R( ) bằng cách đặt a+ = +a
2 Giả sử a,b là hai phần tử thuộc nửa vành R Khi đó a và b được gọi là liên kết phải nếu tồn tại u U R ( ) sao cho a=ub Khi đó b= u 1 a và Ra=Rb
2.2.10 Định nghĩa i) Một chuẩn Euclid trái xác định trên nửa vành R là một hàm : R \ 0 thỏa mãn điều kiện sau:
Nếu a,b R với b≠0 thì tồn tại các phần tử q,r R sao cho a=qb+r với r=0 hoặc ( ) r ( ) b (*)
Một chuẩn Euclid phải được định nghĩa tương tự, trừ trong điều kiện
Một nửa vành R được gọi là nửa vành Euclid trái (phải) nếu nó được xác định bởi một chuẩn Euclid trái (phải) trên R Đối với các nửa vành giao hoán, khái niệm chuẩn trái và chuẩn phải là giống nhau Để nhấn mạnh vai trò của , chúng ta sẽ gọi nửa vành Euclid ( , ) R .
Nếu là một chuẩn Euclid trái trên nửa vành R, chúng ta có thể mở rộng nó thành hàm ' : R bằng cách đặt '(0) Hàm này thỏa mãn điều kiện rằng nếu a và b là các phần tử thuộc R với '( ) a '( ) b, thì tồn tại các phần tử q, r R sao cho a=qb+r, trong đó r=0 hoặc '( ) r '( ) b Ngược lại, nếu ' : R là một hàm thỏa mãn điều kiện trên, thì thu hẹp của nó sẽ trở thành một chuẩn trên R.
2.2.11 Ví dụ 1 Nửa vành là nửa vành Euclid với chuẩn Euclid : n n hay : n n 2
2 Giả sử S t là nửa vành các đa thức biến t trên một nửa vành với phép chia
S và là tương đẳng trên S t cho bởi ( a i t i , b i t i ) nếu và chỉ nếu a 1 t+a 0 =b 1 t+b 0 Giả sử R là vành thương S t
Thế thì tồn tại một chuẩn Euclid : R\ 0 xác định bởi ( a t i i ) = 1 nếu a 1 ≠ 0 và ( a i t i ) =0 nếu a 1 =0 nhưng a ≠ 0 ( Heibisch & Weinert, 1987)
3 Giả sử R là nửa vành con của + được xác định bởi R={q + |q=0 hoặc q 1} và giả sử rằng chúng ta có chuẩn Euclid trái : R\ 0 Giả sử o