Tương đẳng
Giả sử là một quan hệ tương đương trên nửa nhóm S Khi đó: a/ được gọi là tương đẳng phải nếu ổn định bên phải, nghĩa là với mọi
, , , x y zS x y xz yz b/ được gọi là tương đẳng trái nếu ổn định bên trái, nghĩa là với mọi
, , , x y zS x y zx zy c/ được gọi là một tương đẳng nếu nó vừa là tương đẳng trái, vừa là tương đẳng phải
Một quan hệ tương đương phân hoạch miền xác định S thành các lớp tương đương x(xS) Mỗi lớp tương đương trong tương đẳng được gọi là một lớp tương đẳng.
Nếu là một tương đẳng thì nó bảo toàn tích của S, nghĩa là nếu các phần tử
1, 2 x y và x y 2 , 2 thuộc cùng những lớp tương đẳng (x 1 y 1 ,x 2 y 2 ) thì tích x x 1 2 và y y 1 2 thuộc cùng một lớp tương đẳng
1.1.2 Bổ đề Một quan hệ tương đẳng trên nửa nhóm S là một tương đẳng nếu và chỉ nếu với mọi x x y y 1 , 2 , , 1 2 có: x 1 y x 1 , 2 y 2 x x 1 2 y y 1 2
Chứng minh Giả sử là một tương đẳng Nếux 1 y 1 và x 2 y 2 thì theo định nghĩa x x 1 2 x y 1 2 và x y 1 2 y y 1 2 , do tính chất bắc cầu của suy ra x x 1 2 y y 1 2
Khẳng định ngược lại là hiển nhiên
1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là một tập con của nửa nhóm S Xác định quan hệ x như sau: ( , )x y x ( u v, S uxv: X uyvX).
Khi đó x là một tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng cú pháp của X trong S
Chúng ta nói rằng một tương đẳng bão hoà một tập con X của nửa nhóm S nếu X là hợp của các lớp tương đẳng của
1.1.4 Bổ đề Một tương đẳng bão hoà X S nếu và chỉ nếu x X
Chứng minh Vì xx nên X, luôn luôn được chứa trong x X x
Hơn nữa nếu bão hoà X, thì x X
Khẳng định ngược lại là hiển nhiên
1.1.5 Bổ đề Đối với mọi tập con XS, quan hệ x là tương đẳng lớn nhất bão hoà X
Chứng minh Khẳng định x là tương đẳng trên S được suy ra trực tiếp từ cách xác định x
Rõ ràng, tập hợp X được chứa trong hợp của tất cả các x thuộc X Hơn nữa, nếu y thuộc tập hợp x, thì bằng cách chọn u = v = 1 trong định nghĩa của x, chúng ta có x thuộc X kéo theo y cũng thuộc X Từ đó, ta có x thuộc tập hợp x X với mọi x thuộc X.
x bão hoà X Giả sử là tương đẳng bão hoà X Theo Bổ đề 1.1.4, có
Vậy giả thiết rằng x y và u v, S 1 là các phần tử tuỳ ý Thế thì ux uy và uxv uyv Từ đó uxv X nếu uyv X , vì bão hoà X Như vậy
( , ) x y x và do đó x Vậy x là tương đẳng lớn nhất trên S bão hoà X
1.1.6 Định nghĩa Giả sử là một tương đẳng trên S, và giả sử
S x xS là tập hợp tất cả các lớp tương đẳng của S Khi đó tương ứng
(x ,y ) xylà một phép toán hai ngôi trên S , và với phép toán đó,
S trở thành một nửa nhóm trong nửa nhóm thương (của S modul) Để chứng minh Định nghĩa 1.1.6 là hợp lý, cần chứng tỏ phép toán hai ngôi trong S có tính chất kết hợp Đối với mọi x, y, z thuộc S, ta có x (y z) = (x y) z.
1.1.7 Ví dụ a/ Xét nửa nhóm S e a f b , , , với bảng nhân bên cạnh Khi đó e và f là các luỹ đẳng, e là đơn vị của S
Giả sử là một quan hệ trên S khác quan hệ đồng nhất Thế thì chỉ có f b và b f và là một tương đẳng trên S với các lớp tương đẳng
, x e y a và z f b , Bảng nhân của nửa nhóm thương S được cho bởi bảng thứ hai bên cạnh
Quan hệ đối xứng 1 (với i s 1 ) cho thấy rằng e a1 và f 1 b là một tương đẳng Chỉ có hai lớp tương đẳng là e a và f b, dẫn đến nửa nhóm thương S 1 trở thành một nửa nhóm với hai phần tử.
Quan hệ đối xứng 2 giữa hai phần tử a và b không phải là một tương đẳng, vì trong tập S, a.a = e và a.b = f, nhưng các phần tử e và f không thuộc 2 Điều này dẫn đến việc 2 không tương thích với phép nhân trong S, nghĩa là (a, b) thuộc 2 nhưng (aa, ab) không thuộc 2 Nếu là một tương đẳng của S = ( ,+), thì n m sẽ kéo theo (n + k) (m + k).
Giả sử k là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho n thuộc vào tập hợp và n (n + k) với 0 ≤ k Ký hiệu m là số dư của m theo k, tức là 0 ≤ m < k và m = m (mod k) Khi đó, m m Điều này cho thấy rằng các tương đẳng trong ( ,+) thực chất là các tương đẳng xét trong Lý thuyết số, với bằng mod k (k > 0).
Bây giờ, ta chứng minh rằng các tương đẳng của một nửa nhóm S đóng dưới phép lấy giao
1.1.8 Mệnh đề i) Nếu i iI là một họ các tương đẳng của S, thì
cũng là một tương đẳng của S ii) Giả sử S S là một quan hệ trên S Thế thì: c là một tương đẳng trên S, là tương đẳng bé nhất của S chứa .
Chứng minh i) Giả sử x y và zS Khi đó x i y, với mọi i I và do đó zx zy i , xz i yz với mọi i I , vì i là tương đẳng, với mọi i I từ đó
Do đó, là một tương đẳng trên S Khẳng định thứ hai được suy ra trực tiếp từ khẳng định thứ nhất và định nghĩa giao của các tập hợp.
1.1.9 Định nghĩa Giả sử là một tương đẳng trên S Khi đó ánh xạ
là một toàn cấu và được gọi là đồng cấu tự nhiên
Vì là một toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa trên hợp lý, ta chỉ cần chứng minh là đồng cấu
Thật vậy, x y, Scó (xy)xy x .y ( ).x ( ).y
Trong lý thuyết đồng cấu nửa nhóm, giả sử :SP là một đồng cấu, thì quan hệ ( , ) x y S S ( ) x ( ) y được gọi là tương đẳng trên S, được ký hiệu là hạt nhân của , ký hiệu là ker( ) Hạt nhân này có thể được biểu diễn dưới dạng ker( ) = 1, trong đó 1 ( ) y x S ( ) x y , và 1 được hiểu như là tích các quan hệ.
(thực hiện từ trái qua phải)
Sự kiện ker(α) là một tương đẳng được suy ra từ định nghĩa đồng cấu nửa nhóm và cách xác định ker(α) Ngoài ra, nếu ρ là một tương đẳng trên
S, thì = ker ( ) Thật vậy: x y xy ( )x ( )y ( , )x y ker( )
Gộp các kết quả trên ta nhận được
1.1.11 Hệ quả Mỗi tương đẳng là một hạt nhân của đồng cấu nào đó
Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh các định lý về đồng cấu và đẳng cấu nửa nhóm
1.1.12 Định lý Giả sử :S P là một đồng cấu tuỳ ý Tồn tại duy nhất một phép nhúng :S k/ er( ) Psao cho biểu đồ sau đây giao hoán
Chứng minh Giả sử = ker() và :S S là đồng cấu tự nhiên
Tương ứng :S / P xác định bởi ( x )( )x với mọi xS là một ánh xạ
Từ đây cũng trực tiếp suy ra là đơn ánh Hơn nữa là đồng cấu vì:
Cuối cùng, là duy nhất vì nếu : S/ P là một phép nhúng thoả mãn thì ( )x y x( ), x S nên ( x ) y x( ), x S / Do đó
Định lý đồng cấu nửa nhóm khẳng định rằng, nếu có một đồng cấu nửa nhóm : S P và một tương đẳng thuộc ker() của S, thì tồn tại một đồng cấu duy nhất : S / P sao cho = 1, trong đó : S S / là đồng cấu tự nhiên.
Chứng minh Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh Định lý
1.1.12 Ở đây chúng ta chú ý rằng ánh xạ cho bởi (x )( )x là hoàn toàn xác định vì x yx y ( , )x y ( , )x y ker( ) ( )x ( ),y do đó er( ).
Định lý đồng cấu và Định lý đẳng cấu là những kết quả đại số quan trọng, áp dụng cho tất cả các cấu trúc đại số như nhóm, vành, và đại số Boole.
1.1.14 Định lý (Định lý đẳng cấu nửa nhóm) Giả sử : S P là một đồng cấu Thế thì
Chứng minh Vì : S P là một đồng cấu nên :S ( )S là một toàn cấu
Theo Định lý 1.1.12, chúng ta nhận được một phép nhúng duy nhất :
S k S Hơn nữa, là toàn ánh vì là toàn ánh từ S vào ( ) S và
với ker( ). Do đó là một đẳng cấu, từ đó / er( )S k ( ).S
Băng và nửa dàn Băng các nhóm
Một quan hệ thứ tự trên tập X được gọi là thứ tự bộ phận khi nó thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Trong đó, ký hiệu a < b được sử dụng để chỉ quan hệ a b và a khác b.
Giả sử E là tập hợp tất cả các luỹ đẳng của nửa nhóm S Khi đó, quan hệ được xác định trên E bởi e ≤ f nếu ef = fe = e, và điều này tạo ra một thứ tự trên bộ phận E.
Chứng minh Vì e E nên e 2 = e, do đó e e nên phản xạ
Hơn nữa, nếu e f f e thì ef fe e và feef f , do đó phản đối xứng
Ta lại có: nếu e f và f gthì ef fee và gf fg f nên: eg ( ef g ) e fg ( ) ef e ge , g fe ( )( gf e ) fe e
Do đó, e g nên bắc cầu
1.2.3 Định nghĩa Quan hệ xác định trong Bổ đề 1.2.2 được gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E
Trong lý thuyết thứ tự, một phần tử b trong tập X được gọi là cận trên của tập con Y nếu mọi phần tử y trong Y đều nhỏ hơn hoặc bằng b Cận trên b được xem là cận trên bé nhất của Y nếu nó nhỏ hơn hoặc bằng mọi cận trên c của Y Tương tự, một phần tử a trong X được gọi là cận dưới của Y nếu mọi phần tử y trong Y đều lớn hơn hoặc bằng a Cận dưới a được coi là cận dưới lớn nhất của Y nếu nó lớn hơn hoặc bằng mọi cận dưới d của Y Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hoặc dưới) nếu mọi tập con gồm hai phần tử trong X đều có hợp (hoặc giao) trong X Dàn X được xem là dàn đầy đủ nếu mọi tập con của X đều có một hợp và một giao.
Giả sử X là tập hợp tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S, bao gồm cả tập rỗng X được sắp xếp theo quan hệ bao hàm trong lý thuyết tập hợp Giao của bất kỳ nhóm con nào của S sẽ là rỗng hoặc là một nửa nhóm con của S, do đó X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y thuộc X tương đương với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm trong Y, trong khi hợp của Y là nửa nhóm được sinh ra từ hợp theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm trong Y Tất cả các lý luận này vẫn đúng nếu thay thế "nửa nhóm con hay tập rỗng của S" bằng "tương đẳng trên S".
Tập hợp tất cả các ý tưởng trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S, kết hợp với tập rỗng, tạo nên một dàn con đầy đủ của đại số Boole cho tất cả các tập con của S.
1.2.6 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S đều là luỹ đẳng
Giả sử S là một băng Khi đó, S = E và S được sắp thứ tự bộ phận tự nhiên( a b a b ( , S )) nếu và chỉ nếu abbaa.
Mệnh đề 1.2.7 đề cập đến băng giao hoán, được định nghĩa là một nửa dàn dưới trong thứ tự bộ phận tự nhiên trên tập hợp S Giao a ∩ b giữa hai phần tử a và b trong S tương ứng với tích ab của chúng Đồng thời, đảo lại một nửa dàn dưới cũng là một băng giao hoán trong phép giao.
Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.2, quan hệ là một thứ tự bộ phận trên S(=E)
Ta chứng tỏ rằng tích ab(= ba) của hai phần tử a,b S trùng với cận dưới lớn nhất của a b ,
Từ (ab)a = a(ba) = a(ab) = aab = a 2 b = ab và a(ab) = (aa)b = a 2 b suy ra ab a Tương tự ab b nên ab là cận dưới của a b , Giả sử c a và c b
Thế thì (ab)c = a(bc) = ac = c, và tương tự c(ab) = c, từ đó c ab Do đó ab là cận dưới lớn nhất của a b , Suy ra S là nửa dàn dưới
Mệnh đề đảo là hiển nhiên
Giả sử S là một băng giao hoán, thì ta có thể định nghĩa a ≤ b khi và chỉ khi ab (= ba) = b, từ đó (S, ≤) trở thành nửa dàn trên Tuy nhiên, để đảm bảo tính nhất quán, chúng ta sẽ giữ định nghĩa đã nêu trong 1.2.4 Do đó, từ "nửa dàn" sẽ được sử dụng như đồng nghĩa với "băng giao hoán", và khi không có thông tin bổ sung, "nửa dàn" sẽ ngầm hiểu là nửa dàn dưới.
1.2.9 Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý S = X Y là tích Decartes của
X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt (x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )=( x 1 , y 2 ) với x 1 , x 2 X; y 1 ,y 2 Y Tính kết hợp và luỹ đẳng của phép toán đó là hiển nhiên
Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X Y Lý do của tên gọi đó như sau:
Ta hãy tưởng tượng X Y là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm
Trong một bảng, tọa độ (x,y) xác định vị trí của ô tại dòng x và cột y Hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật được ký hiệu là a1 = (x1, y1) và a2 = (x2, y2), trong khi hai đỉnh còn lại là a1 a2 = (x1, y2) và a2 a1 = (x2, y1) Các băng chữ nhật trên các không gian X × Y và X' × Y' sẽ đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu X = X'.
Nếu X 1, Y 1 thì băng chữ nhật X Y đẳng cấu với nửa nhóm các phần tử không bên phải
Nửa nhóm S được coi là phân tích thành các nửa nhóm con S α, với α thuộc tập hợp chỉ số I, khi nó được chia thành hợp của các nửa nhóm con rời nhau.
Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con S thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S
Giả sử S S , I là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho mọi cặp
Trong không gian I, tồn tại một phép toán đại số được định nghĩa cho các phần tử S, với điều kiện S α β ≤ S γ Khi đó, I trở thành một băng đối với phép toán này, và S được coi là hợp băng của các nửa nhóm S α Ánh xạ φ : S → I được xác định bởi φ(a) = α nếu a thuộc S là một toàn cấu, trong khi các nửa nhóm con S α là các lớp tương đẳng của hạt nhân ker φ Ngược lại, nếu φ là một toàn cấu từ một nửa nhóm S trên băng I, thì ảnh ngược S α = φ⁻¹(α) của mỗi phần tử được xác định.
I là một nửa nhóm con của S và S là hợp của nửa dàn I các nửa nhóm
1.3 Phân tích một nửa nhóm giao hoán thành nửa dàn với các thành phần Archimede
Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết kết quả của T Tamura và N Kimura, chứng minh rằng mọi nửa nhóm giao hoán S có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một dàn các nửa nhóm Archimede.
Nửa nhóm Archimede là một khái niệm trong lý thuyết nửa nhóm giao hoán, trong đó nếu S là nửa nhóm giao hoán, thì với mọi phần tử a, b thuộc S, tồn tại các số nguyên dương m và n sao cho a^m = b^x và b^n = a^y, với x, y cũng thuộc S.
1.3.2 Định nghĩa Giả sử là một tương đẳng trên nhóm S Khi đó được gọi là luỹ đẳng nếu S là một băng
Trong bài viết này, chúng ta định nghĩa một quan hệ trên một nửa nhóm giao hoán S Cụ thể, hai phần tử a và b thuộc S được coi là liên hệ với nhau, ký hiệu là a b, nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương m và n cùng với các phần tử x và y trong S sao cho a m = b x và b n = a y.
1.3.4 Định lý Quan hệ trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng trên S và S là ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại S
Để chứng minh quan hệ là phản xạ và đối xứng, ta giả sử ab và bc với a, b, c ∈ S Khi đó, b m = a.x và c n = b.y, với m, n là các số nguyên dương và x, y ∈ S Do S giao hoán, ta có c mn = (by) m = b m y m = axy m, từ đó suy ra a chia hết c nm Tương tự, c cũng chia hết một luỹ thừa nào đó của a, do đó a c Để chứng minh ổn định, giả sử a, b, c ∈ S và ab Khi đó, từ a chia hết b m, suy ra ac chia hết b m c, và rõ ràng b m c chia hết (bc) m, nên ac chia hết (bc) m Tương tự, bc chia hết cho một luỹ thừa nào đó của ac, kết luận ac bc Vì S giao hoán, nên ca cb, từ đó ta kết luận rằng là một tương đẳng trên S.
Rõ ràng aa 2 với mọi a S nên S
là luỹ đẳng và do S giao hoán nên S
Chứng minh sẽ kết thúc nếu ta chứng tỏ rằng được chứa trong một lũy đẳng bất kỳ trên S Giả sử a b (a,b S), thì tồn tại các số nguyên m, n và các phần tử x, y thuộc S sao cho ax = b m và by = a n Vì là luỹ đẳng nên a a 2 và b b 2 Do đó, (ax) b và (by) a dẫn đến a (by)(b 2 y)(ba)(a 2 x)(ax) b.
Như vậy ab và ta kết luận
Sự phân tích dàn phân phối của các nửa vành luỹ đẳng cộng tính
Nửa vành nửa nguyên tố
Trước hết, ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở về nửa vành
2.1.1 Định nghĩa a/ Tập hợp khác rỗng S được gọi là nửa vành nếu trên nó đã xác định hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau đây thoả mãn
(i) ( S, +) là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là 0;
(ii) ( S, ) là một nửa nhóm;
(iii) Phép nhân phân phối với phép cộng, nghĩa là:
(iv) 0.x = 0 = x.0, x S b/ Nửa vành S gọi được gọi là nửa vành với đơn vị nếu (S, ) là một vị nhóm với đơn vị 1 0
Nửa vành S được gọi là nửa vành giao hoán nếu (S, ) là một nửa nhóm giao hoán
Nửa vành S được gọi là nửa vành bất khả đối nếu x + y = 0, x, y S kéo theo x = y = 0
2.1.2 Định nghĩa a/ Giả sử S là một nửa vành và A là một tập con khác rỗng của S Khi đó A được gọi là một nửa vành con của S nếu 0 A và a,b A kéo theo a + b A, ab A b/ Tập con I của nửa vành S được gọi là một iđêan trái (phải) của S nếu
I và SI I(tương ứng IS I)
I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của S
2.1.3 Định nghĩa a/ Giả sử S là một nửa vành
Trong lý thuyết vành, nửa vành S được xác định khi I(S) = S Một phần tử a trong nửa vành S được gọi là phần tử vô hạn nếu nó thỏa mãn điều kiện a + x = a với mọi x thuộc S.
Nếu tập hợp S có phần tử vô hạn, thì phần tử đó phải là duy nhất Trong trường hợp S có đơn vị 1, số 0 không thể là phần tử vô hạn vì 0 không bằng 0 cộng 1, tức là 1 Nửa vành S được gọi là nửa vành đơn nếu và chỉ nếu 1 là phần tử vô hạn, nghĩa là 1 cộng x bằng 1 với mọi x thuộc S.
Nếu S là một nửa vành đơn, thì 1 + 1 = 1, dẫn đến x + x = x với mọi x thuộc S, chứng tỏ S là nửa vành lũy đẳng cộng tính (I + (S) = S) Ngược lại, nếu S là nửa vành lũy đẳng cộng tính, thì tập hợp {a ∈ S : a + 1 = 1} là một nửa vành con của S Do đó, S là đơn nếu và chỉ nếu {a ∈ S : a + 1 = 1} = S.
Giả sử S là một nửa vành tuỳ ý Ký hiệu P(S) 0 a 1;a S Thế thì
P(S) là một nửa vành con của S Theo nhận xét trên, S là nửa vành đơn nếu và chỉ nếu P(S) 0,1
2.1.4 Ví dụ a/ Tập hợp các số nguyên không âm với phép cộng và nhân các số thông thường là một nửa vành giao hoán, bất khả đối và không luỹ đẳng cộng tính Cũng một cấu trúc như vậy là các nửa vành các số hữu tỉ không âm, nửa vành các số thực không âm b/ Tồn tại nhiều nửa vành có hữu hạn phần tử Chẳng hạn với mỗi số nguyên n cho trước xét tập hợp X n , 0 , 1 , n với giả thiết rằng k và
, Định nghĩa phép cộng và nhân trong X n bởi
h k max k, h ; k h min k h , n Thế thì X n là nửa vành giao hoán, bất khả đối (Smith , 1996)
2.1.5 Chú ý Giữa Lý thuyết dàn và Lý thuyết nửa vành có mối liên quan chặt chẽ với nhau Giả sử A V , , là một nửa dàn phân phối bị chặn với phần tử nhỏ nhất duy nhất 0 và lớn nhất duy nhất 1 (nghĩa là a (bc)(ab)(ac),
Nếu (A, +, ) là một nửa vành đơn luỹ đẳng giao hoán với phép toán a b a b và ab ab, thì A là một dàn phân phối bị chặn Tính chất này đặc trưng cho các dàn phân phối bị chặn, trong đó A có phần tử nhỏ nhất duy nhất là 0 và phần tử lớn nhất duy nhất.
Vì dàn đối ngẫu của một dàn phân phối cũng là một dàn phân phối nên
A ,V , cũng là một nửa vành đơn, giao hoán và luỹ đẳng
2.1.6 Định nghĩa Một gian là nửa dàn đầy đủ mà trong nó giao phân phối trên hợp tuỳ ý
Ví dụ đơn giản nhất của một gian là B= 0, 1 Nửa vành được xây dựng từ gian B= 0, 1 được gọi là nửa vành Boole Chú ý rằng cấu trúc của nửa vành
Boole B không giống cấu trúc của vành 2 vì trong B có 1 1 1 còn trong 2 có
2.1.7 Định nghĩa Giả sử S là một nửa vành và xS, x 0 Khi đó x được gọi là ước của không bên phải (tương ứng: bên trái) nếu tồn tại phần tử khác zero yS sao cho xy0 (tương ứng: yx 0)
Phần tử x gọi là ước của không nếu nó vừa là ước của không bên trái, vừa là ước của không bên phải
Nửa vành S được gọi là nguyên nếu S không có ước của không theo kiểu tuỳ ý nào
2.1.8 Định nghĩa Giả sử S là một nửa vành và A là tập con khác rỗng của S
Khi đó tập con A {x S : x + a 1 = a 2 với a 1 , a 2 A nào đó} được gọi là k - bao đóng của A trong S Định nghĩa 2.1.8 trực tiếp suy ra hệ quả sau đây
2.1.9 Hệ quả (i) Với mọi tập con khác rỗng A của S, có A A
(ii) Nếu (A, + ) là một nửa nhóm con của (S,+ ) thế thì:
A {x S : x + a= a với a A nào đó}, và A A (Vì (S, +) là nửa dàn)
2.1.10 Định nghĩa (i) Tập con khác rỗng A của S được gọi là một k - tập nếu A = A
(ii) Một iđêan I của S được gọi là một k – iđêan nếu và chỉ nếu nó là một k - tập, nghĩa là I _ = I
(iii) Đối với a S, k – iđêan chính được sinh bởi a được ký hiệu bởi I k (a ) và được cho bởi :
I k = {x S : x+a+sa+as+sas = a+sa+as+sas , với s S nào đó}
2.1.11 Định nghĩa Giả sử S là một nửa vành a/ Một tập con khác rỗng A của S được gọi là iđêan nguyên tố nếu với mọi x,y S mà x.y A kéo theo x A hoặc y A b/ Một tập con khác rỗng A của S được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu với mọi x,y S mà x.y A kéo theo x n A hoặc y n A với một n nào đó c/ Nửa vành S được gọi là nửa vành nửa nguyên tố nếu mỗi k- iđêan của S là iđêan nửa nguyên tố
2.1.12 Bổ đề Giả sử (S,+, ) là một nửa vành a/ Đối với a,b,c S, các điều kiện sau đây là tương đương
(i) Tồn tại s 1 ,s 2 , t 1 ,t 2 S sao cho b + s 1 at 1 = s 2 at 2 ;
(ii) Tồn tại s, t S sao cho b + sat = sat;
Tồn tại x thuộc S sao cho b + xax = xax Nếu a, b, c thuộc S và thỏa mãn b + xax = xax cùng với c + yay = yay với x, y thuộc S, thì sẽ có z thuộc S sao cho b + zaz = zaz và c + zaz = zaz Hơn nữa, nếu a, b, c thuộc S với c + xax = xax và c + yby = yby cho x, y thuộc S, thì cũng tồn tại z thuộc S sao cho c + zaz = zaz và c + zbz = zbz.
Chứng minh a/ Vì (iii) (i) và (ii) (i) là rõ ràng nên ta chỉ cần chứng minh (i) (iii)
Giả sử có b + s 1 at 1 = s 2 at 2 Lấy x = s 1 + s 2 + t 1 + t 2 , vì (S, +) là nửa dàn nên từ đó s 1 at 1 + xax = s 2 at 2 + xax = xax b/ Lấy z = x + y Khi đó từ b + xax = xax và c + yay = yay có b + zaz = b +
(x + y)a(x + y) = b + xax + xay + yax + yay = xax + xay + yax + yay = (x + y)a(x + y) = zaz Tương tự có c + zaz = zaz c/ Lấy z = x + y vì b + xax = xax và c + yby = yby nên c + zaz = c + (x
+y)a(x + y) = c + xax + xay + yax + yay = xax + xay + yax + yaz = (x +y)a(x
+ y) = zaz Tương tự có c + zbz = zbz
2.1.13 Định nghĩa Giả sử S là một nửa vành và A là một tập con khác rỗng của S Khi đó tập con
A x S n x A được gọi là k – rađicăn của A trong S
2.1.14 Bổ đề Giả sử A và B là các tập con khác rỗng của nửa vành S sao cho A B Khi đó:
Chứng minh (i) Giả sử x A Khi đó x S và x + a = a với a A nào đó
Vì A B nên tồn tại a B sao cho x + a = a Từ đó x B và do đó A B
(ii) Giả sử y A Khi đó y S và tồn tại n sao cho y n A Vì A B nên tồn tại n sao cho y n B Do đó A B
(iii) Trước hết ta chứng minh A A
Thật vậy, vì A A nên từ (i) suy ra A A Đảo lại, nếu x A thì x S và tồn tại a A sao cho x + a = a Vì a A nên tồn tại b A sao cho x + b = b Khi đó x S và b A thoả mãn x + b = x + a + b = a + b = b nên xA
Từ A A và (ii) suy ra A A
2.1.15 Mệnh đề Giả sử S là một nửa vành và a, b S
(i) SaS là một k – iđêan của S
(iii) b m Sa S với m nào đó nếu và chỉ nếu b k Sa S với mọi k
Giả sử b, c thuộc SaS, theo Bổ đề 2.1.12, tồn tại x thuộc S sao cho b + xax = c + xax Do đó, (b + c) + xax = b + (c + xax) = b + xax, suy ra b + c thuộc SaS Hơn nữa, với s thuộc S, ta có sb + sxax = sasx và bs + xaxs = xaxs, từ đó suy ra sb và bs đều thuộc SaS Do đó, SaS là một iđêan của S Để chứng minh SaS = SaS, ta áp dụng kết quả từ Bổ đề 2.1.14.
(ii): với mọi tập con A của S có A A từ SaS= SaS suy ra SaS là k- tập của S và do đó SaS là một k - iđêan của S
(ii) Áp dụng kết quả (ii) của Bổ đề 2.1.14 với A= SaS
Từ b m thuộc Sa S, ta có b mn thuộc SaS với m nào đó Điều này dẫn đến b mnk cũng thuộc SaS cho mọi k, theo quy tắc (i) Do đó, b k cũng thuộc Sa S Ngược lại, điều này cũng dễ dàng được chứng minh.
2.1.16 Mệnh đề Giả sử a S Khi đó
Chứng minh Ta có I k (a) I (a), trong đó I(a) = aS Sa SaS {a} là iđêan chính của S chính bởi a (Trong Định nghĩa 2.1.10 (iii), lấy s = 0) Từ đó
Ik(a) SaS nên I a k ( ) Sa S theo Bổ đề 2.1.14 (ii)
Khi lấy x thuộc I a k, tồn tại n sao cho x n thuộc I k (a) Điều này dẫn đến việc tồn tại s thuộc S, với công thức: x n + a + sa + as + sas = a + sa + as + sas Từ đó, ta có x n+2 + xax + xsax + xasx + xsasx = xax + xsax + xasx + xsasx, trong đó xax + xsax + xasx + xsax thuộc SaS Do đó, x n+2 thuộc SaS và suy ra x thuộc Sa S.
Vậy I a k ( ) Sa S và từ đó I a k ( )= Sa S
Chú ý rằng, nói chung SaS I k (a) nhưng SaS ≠ I k (a).
Tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên một nửa vành
Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm trong lý thuyết nửa vành liên quan đến những vấn đề sẽ trình bày trong phần này
2.2.1 Định nghĩa a/ Giả sử (S, +, ) là một nửa vành Khi đó một quan hệ tương đương trên S được gọi là một tương đẳng trên nửa vành S nếu vừa là tương đẳng trên nửa nhóm (S ,+ ), vừa là tương đẳng trên nửa nhóm (S, ), nghĩa là: Nếu (a,b) thì (a + x, b + x) , (ax, bx) , (xa, xb) với mọi x thuộc S b/ Vì là tương đẳng trên nửa nhóm giao hoán (S, +) nên ta mới có nửa nhóm thương S = {x │x S} với phép toán x + y = (x + y), trong đó x là - lớp tương đương chứa x Khi đó S là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là 0
Ta trang bị cho S phép nhân cho bởi x y = xy thì S trở thành một nửa vành và được gọi là nửa vành thương của nửa nhóm S theo tương đẳng
2.2.2 Định nghĩa a/ Một tương đẳng trên nửa vành S được gọi là tương đẳng dàn nếu S là một dàn b/ Tương đẳng trên nửa vành S được gọi là tương đẳng dàn phân phối nếu nửa vành thương S là một dàn phân phối
2.2.3 Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối đại kiểu đã cho áp dụng vào nửa vành Giả sử C là một lớp nửa vành Ta xem một nửa vành trong C là một C-nửa vành Một nửa vành S được gọi là một dàn phân phối của các C - nửa vành nếu tồn tại một tương đẳng trên S sao cho S là một dàn phân phối và mỗi - lớp là một nửa vành trong C Tương tự ta định nghĩa một nửa vành luỹ đẳng của các C - nửa vành và một chuỗi của các C - nửa vành Một nửa vành S là một nửa vành luỹ đẳng nếu cả hai thu gọn trên phép cộng hay phép nhân là một băng
Trong chương này, mỗi nửa vành luỹ đẳng được giả thiết rằng khi xét trên phép cộng là giao hoán
Ta nhắc lại rằng: Lớp các đại số cùng kiểu K được gọi là đa tạp các đại số
K nếu đóng kín đối với phép lấy đại số con, ảnh đồng cấu và tích trực tiếp
Giả sử là đa tạp các nửa vành (S, +, ) mà (S, +) là một nửa dàn Giả sử
S là một nửa vành trong đa tạp Theo Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối đại của Tamura và Kimura, tồn tại tương đẳng nhỏ nhất trên S sao cho S là một dàn phân phối Phần này sẽ trình bày cách xây dựng tương đẳng đó.
2.2.4 Định nghĩa Giả sử S là một nửa vành trong + Ta xây dựng một quan hệ hai ngôi trên S như sau với mỗi cặp a, b S a b b Sa S n : b n SaS
Trước hết, với mỗi a thuộc S, ta có a^3 thuộc SaS, và do đó, a a, chứng tỏ rằng là quan hệ phản xạ Từ đó, bao đóng bắc cầu cũng là phản xạ, dẫn đến việc quan hệ đối xứng 1 trở thành một quan hệ tương đương trên S Chúng ta sẽ chứng minh rằng đối với mỗi nửa nhóm S trong + tùy ý, quan hệ là tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên S.
Trước hết, ta chứng minh một số bổ đề
2.2.5 Bổ đề Giả sử S là một nửa vành trong + Với mọi a,b,c S và n , ta có
(1) Nếu (a + ab) a thì : a ab, a ba, ab bca và (a + ab) a, a (a + ab)
(3) Nếu ab ba thì ab ba
(4) Nếu ab bab thì bab ab và ab bab
(5) Nếu ab a n b n thì a n b n ab và ab a n b n
(6) Nếu bắc cầu thì a b a n + xbx = xbx và b n + xax= xax với x S và n nào đó
Chứng minh rằng (ab)², (ba)² và (bca)² thuộc SaS, từ đó suy ra a³ + a(a + ab)a = a(a + ab)a, tức là a³ thuộc S(a + ab)S Hơn nữa, (a + ab)³ cùng với biểu thức phức tạp (a + a² + a²b + ab + aba + abab + b + ba)a(a + a² + a²b + ab + aba + abab + b + ba) cũng cho thấy (a + ab)³ thuộc SaS.
(2) a 4 Sa 2 S kéo theo (a 2 , a) và (a,a 2 ) suy ra từ (1)
(3) Từ (ab) 2 SbaS kéo theo (ba,ab) và (ab,ba) suy ra đối ngẫu
(4) (ab) 3 SbaS chứng tỏ rằng (b(ab),ab) và (ab,b(ab))
(5) Chứng minh quy nạp theo n
Vì với n = 1 điều phải chứng minh là rõ ràng và a 2 b 2 ab suy ra với tính chất bắc cầu của từ (1), (2), (3), (4) theo a 2 b 2 = a(ab 2 ) (ab 2 )a b 2 a b(ab)
Xét n ≥ 2, ta có: \( a^{n+1} b^{n+1} = a(a^n b^{n+1}) \sigma (a^n b^{n+1}) a \sigma a^n b^{n+1} = (a^n b^n)b \sigma b (b(a^n b^n) \sigma a^n b^n \) và tính bắc cầu của \( \rho \) dẫn đến hệ thức thứ nhất trong (5) Nhờ vào các phát biểu đối xứng trong (3) và (4) đối với \( \sigma \), ta cũng nhận được hệ thức thứ hai trong (5).
Nếu = * = thì = -1 Từ đó, a b dẫn đến a n + yby = yby và b m + zaz = zaz với y, z thuộc S và n, m là các số nguyên dương Giả sử n lớn hơn m, ta có b n + b n-m zaz = b n-m zaz Đặt x = y + b n-m z + z, ta nhận được a n + xbx = xbx và b n + xax = xax, điều này cho thấy mối liên hệ ngược lại cũng đúng.
Trong bổ đề sau đây ta chứng tỏ rằng tương thích với phép cộng và phép nhân
2.2.6 Bổ đề Đối với một nửa vành S trong + và mọi a, b, c S có
(1) a b kéo theo acbc và ca cb;
Chứng minh rằng tồn tại x thuộc S và n sao cho b^n + xax = xax Khi n = 1, ta có cb + cxax = cxax, dẫn đến (cb)^2 + cb(cxa)x = cb(cxa)x, từ đó suy ra cxa thuộc cb Ngược lại, ta có cb^n + c(cxax)^(n-1) = c(cxax)^(n-1), cho thấy cxa thuộc c^n b^n Do đó, ac thuộc cxa theo.
Bổ đề 2.2.5 nên ta có ac cxa c n b n cb bc và do đó a bc Tương tự ta nhận được ca cb
(2) Tồn tại x S và n sao cho b n + xax = xax Khi đó (b + c) n = b n +x , c + c y’ +
với x , , y’, x i , y i S nào đó Cộng hai vế với x , c + c y’ +
mà chúng ta có thể viết dưới dạng (b + c) n + sc + cs + scs = b n+ sc + cs + scs, trong đó
Cộng xax vào hai vế nhận được :
(b + c) n + sc + cs + scs + xax = sc + cs + scs + xax
Suy ra : (b + c) n + zc + cz + zcz + zaz = zc + cz + zcz + zaz
Vì (S, +) là một nửa dàn, trong đó z = s + x Thế thì : (b + c) n +(b + c)zc (b + c) cz (b +c) + (b +c) zcz (b + c) + (b +c)zaz (b + c) = (b +c) zc (b + c) zc (b + c) + (b + c) cz (b + c) + (b + c) zaz (b + c) + (b + c) zaz (b + c) = (b + c) zc (b
(b+ c) n+2 + w (a +c) w = w(a + c) w trong đó w = (b + c) z +z (b + c) + (b + c), từ đó suy ra (a +c) (b + c)
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng là tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên S
2.2.7 Định lý Đối với nửa vành S tuỳ ý trong đa tạp + , quan hệ là tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên S
Bổ đề 2.2.6 chứng minh rằng -bao đóng bắc cầu của - tương thích với phép cộng và phép nhân trên S, dẫn đến cũng tương thích với các phép toán này Do đó, được xác định là một tương đẳng trên S Hơn nữa, theo Bổ đề 2.2.5 (1), (2) và (3), ta có thể kết luận rằng là một tương đẳng nửa dàn phân phối.
Giả sử là một tương đẳng nửa dàn phân phối trên S Nếu a b, thì b n + xax = xax, dẫn đến ax 2 xa (b n + xax) (b + ax 2) Từ đó, ta có a (a + ax 2) (a + b + ax 2) (a + b) Suy ra, từ a b và b c, ta có a (a + b) và b (b + c), từ đó dẫn đến a (a + b) (a + b + c) (a + c) Do đó, a b kéo theo a (a.
+ b) theo tính chất bắc cầu Tương tự b a kéo theo b (b + a) (a + b) Từ đó a b kéo theo a b, nghĩa là .
Dàn phân phối của các nửa vành k-Archimede
Trong phần này chúng tôi trình bày đặc trưng nửa vành là dàn phân phối của các nửa vành k -Archimede
Sự mô tả tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất đưa đến định nghĩa sau
2.3.1 Định nghĩa Một nửa vành S trong + được gọi là nửa vành k-
Archimede nếu với mọi a,bS có b Sa S, hay tương đương: S = Sa S, a S
2.3.2 Chú ý Theo Bổ đề 2.1.12, một nửa vành S là k-Archimede nếu và chỉ nếu nếu với mọi cặp phần tử a,b S, tồn tại n và x S sao cho b n + xax = xax
Trước hết, chúng tôi trình bày đặc trưng các nửa vành S mà đối với chúng
=, nghĩa là bắc cầu Khi đó tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên S được cho bởi = -1
2.3.3 Bổ đề Giả sử S là một nửa vành tuỳ ý và b, c S thoả mãn b + c = c
Khi đó với mọi n có b n + c n = c n
Chứng minh Quy nạp theo n Khi n = 1, kết luận theo đúng theo giả thiết
Giả sử có b n + c n = c n Khi đó b n+1 + c n b = c n b và bằng cách cộng hai vế vào đẳng thức cuối cùng ta nhận được b n+1 + c n (b + c) = c n (b + c) Thay b + c bởi c vào, ta có b n + 1 + c n +1 = c n +1
2.3.4 Bổ đề Đối với nửa vành S tuỳ ý trong + các điều kiện sau đây tương đương:
(6) A là một k – iđêan của S đối với mỗi k – iđêan A của S;
(7) SaS là một k – iđêan của S đối với mỗi a S
Chứng minh rằng đối với c thuộc SaS ∩ SbS, tồn tại m, n và x, y thuộc S sao cho c m + xax = xax và c n + yby = yby Giả thiết n ≥ m, ta tiến hành lập luận theo Bổ đề 2.2.5 để tìm z thuộc S sao cho c n + zaz = zaz và c n + zbz = zbz Từ đó, c n + zbz = zbz dẫn đến c 2n + zbz = zbz c n, suy ra c 2n + zbz(c n + zaz) = zbz(z n + za) Điều này chứng tỏ c 2n + zbz 2 az = zbz 2 ac, nghĩa là bz 2 a σ c Do ab σ bz 2 a theo Bổ đề 2.2.5, suy ra c thuộc SbS, kết luận từ tính chất bắc cầu của S.
(4) (5) Từ SabS S aS SaS nhận được SabS SaS.Điều này kéo theo
SabS SaS Tương tự, SabS SbS nên (4) và (5) tương đương
(5) (2) Điều này suy ra từ SaS SaS Sa S 2 '
(2) (1) Nếu a b và b c thì b m SaS và c n SbS với m, n nào đó
Đối với 2k ≥ m, ta có 2bk thuộc SaS, dẫn đến SbS 2k ⊆ SaS vì SaS là k-idean theo Bổ đề 2.2.6 (1) Hơn nữa, cn thuộc SbS kéo theo (cn)l = cnl thuộc SbS 2 đối với l nào đó do (2) Bằng cách lặp lại phép suy luận này, ta có thể tìm thấy j nào đó sao cho cj thuộc SbS 2k, điều này chứng tỏ c thuộc SaS, tức là a σ c.
(1) (6) Giả sử A là một k-iđêan của S và u, v A Thế thì tồn tại n sao cho u n +a = a và v n +a = a với a A nào đó, vì A là một iđêan của S và
(S, +) là một nửa dàn Điều này chứng tỏ rằng u n , v n Ik(a) và từ đó u, v
Theo Bổ đề 2.2.6, nếu a ∈ SaS, nghĩa là a σ u và a σ v, thì ta có a = (a + a)σ(a + v) và (a + v)σ(u + v) Từ tính bắc cầu của σ, suy ra a σ(u + v), tức là u + v ∈ SaS ⊆ A Do đó, (A, +) là một nửa nhóm con của (S, +) Với s ∈ S, ta có as ∈ A vì A là iđêan của S Áp dụng σ = σ* = ρ, ta nhận được as σ us, từ đó suy ra us ∈ S (as) S ⊆ A Ngược lại, nếu su ∈ A thì A là một iđêan của S Giả sử s ∈ S và u ∈ A sao cho s + u = u, thì tồn tại c ∈ A và l sao cho ul + c = c Do đó, s ∈ A Như vậy, A là một k-iđêan của S.
(6) (7) Suy ra từ Bổ đề 2.2.6 và (2)
(7) (3) Giả sử a S Thế thì Sa S 2 là một iđêan của S và a Sa S 2 kéo theo (3)
(3) (2) Nếu b SaS thì b + xax = xax với x S nào đó Do (3) ta có ax 2
Sa S 2 , nghĩa là tồn tại y S và n sao cho (ax 2 ) n + ya 2 y = ya 2 y Khi đó b n
+ (xax) n + 1 = (xax) n + 1 = x(ax 2 )ax kéo theo b n + 1 + x ((ax 2 ) n + ya 2 y)ax = x
((ax 2 ) n + ya 2 y)ax = xy a 2 yx Sa 2 S Điều này chứng tỏ rằng b Sa S 2
Bây giờ ta chứng minh định lý chính của chương này
2.3.5 Định lý Giả sử S là một nửa vành trong đa tạp + Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:
(1) S là một dàn phân phối của các nửa vành k – Archimede;
(2) S là một nửa vành luỹ đẳng của các nửa vành k – Archimede;
(3) S thoả mãn các điều kiện của Bổ đề 2.3.4
Chứng minh (1) (2) Hiển nhiên (vì nửa dàn phân phối là một nửa vành luỹ đẳng)
(2) (3) Giả sử S là một nửa vành luỹ đẳng T = S của các nửa vành k -
Archimede St, tT Để chứng minh (2) trong Bổ đề 2.3.4 giả sử a, b S thoả mãn b + xax = xax với x S nào đó Vì là tương đẳng nửa vành luỹ đẳng trên
S nên aa 2 và do đó xax xa 2 x Từ đó tồn tại t T nào đó sao cho xax, xa 2 x
S t , và S t là một nửa vành k – Archimede Do đó (xax) n + sxa 2 xs = sxa 2 xs với s S t và n nào đó Từ đó b + xax = xax nhận được b n + (xax) n = (xax) n và do đó b n
+ sxa 2 xs = sxa 2 xs Sa 2 S Điều này chứng tỏ rằng b Sa S 2
Giả sử bắc cầu và = -1 là dàn phân phối nhỏ nhất trên S Từ đó, T = S tạo thành một dàn phân phối, trong đó mỗi lớp - S t là một nửa vành con của S Để chứng minh S t là k-Archimede, giả sử a, b thuộc S t.
Bổ đề 2.2.5(6), a n + xbx = xbx và b n + xax=xax với x S và n nào đó Do đó a n +2 + a 2 xbx= a 2 xbx, từ đó a SaxS , nghĩa là ax a Vì a ax theo Bổ đề
2.2.5(1) nên a ax Do đó ax S t và xa S t suy ra từ đối ngẫu ta lại có a n + xbx
= xbx kéo theo a n + 2 + axbxa = axbxa Như vậy a S bS t t ' và từ đó
2.3.6 Chú ý a/ Tập sắp thứ tự bộ phận (S, ) được gọi là một chuỗi nếu
Trong một dàn phân phối (D, +, ) với thứ tự bộ phận được xác định bởi x, y thuộc S và x ≤ y hoặc y ≤ x, ta có thể nói rằng (D, ≤) là một chuỗi nếu và chỉ nếu đối với mọi a, b thuộc D, có ab = b hoặc ab = a.
2.3.7 Định lý Giả sử S là một nửa vành trong + Thế thì các điều kiện sau đây tương đương:
(1) S là một chuỗi các nửa vành k – Archimede;
(2) S là một nửa vành nửa nguyên tố;
(3) A là nguyên tố đối với mỗi k-iđêan A của S;
(4) A là một k-iđêan nguyên tố của S đối với mỗi k-iđêan của S
Chứng minh (1) (4) Giả sử S là một chuỗi T các nửa vành k – Archimede
Giả sử S là một nửa dàn các nửa vành k - Archimede, theo Bổ đề 2.3.4 và Định lý 2.3.5, suy ra A là một k-iđêan của S Nếu b,c thuộc S và thỏa mãn ab thuộc bc, thì (ab)^m thuộc A với m là một số nào đó Tồn tại các phần tử α, β thuộc T sao cho a thuộc Sα và b thuộc Sβ Vì S là một chuỗi, nên αβ = α hoặc αβ = β, dẫn đến ab thuộc Sβ hoặc ab thuộc Sα, từ đó (ab)^m thuộc Sα hoặc (ab)^m thuộc Sβ.
(ab) m S kéo theo tồn tại x S và n sao cho a n + x(ab) n x = x(ab) n x A, vì
A là k – Archimede Điều này dẫn tới a n A= A, nghĩa là a A
Tương tự b A nếu (ab) m S Như vậy A là k-iđêan nguyên tố
(3) (2) Giả sử A là một k-iđêan của S và ab A = A A với a,b S
Thế thì a A hoặc b A vì A nguyên tố Như vậy a n A= A hoặc b n A A với n nào đó, và như vậy A là nửa nguyên tố
Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng trong Bổ đề 2.3.4, đối với c thuộc SaS giao SbS, ta có c n + zaz = zaz và c n + zbz = zbz với z thuộc S và n là một số tự nhiên nào đó Do S là k-iđêan của S và z^2 ab z^2 thuộc SabS, điều này dẫn đến việc tồn tại một m nào đó sao cho (z^2 a)^m + xabx = xab.
Từ c n + zaz = zaz nhận được (c n ) m +1 + za(z 2 a) m = za(z 2 a)z Do đó :
(c n ) m +1 + za ((z 2 a) m + xabx)z = za ((z 2 a) m + xabx)z Điều này dẫn tới (c n ) m +1 + zaxabxz = zaxabxz và từ đó c SabS Tương tự,
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một cấu trúc toán học liên quan đến tập hợp S và các thành phần của nó Theo định lý 2.3.5, S được xác định là một nửa dàn phân phối, và các lớp sα là các nửa vành con k-Archimede Đối với hai phần tử a và b thuộc S, ta có ab thuộc SaS ∩ SbS, điều này dẫn đến aσab và bσab Do ab thuộc Iab(k), tồn tại k sao cho ak thuộc Ik(ab) hoặc bk thuộc Ik(ab) Từ đó, suy ra rằng a thuộc Iab(k) = SabS' hoặc b thuộc Iab(k) = SabS' Kết luận, aηab hoặc bηab đúng, cho thấy S là một chuỗi.