Luận văn thạc sĩ Đại số và lý thuyết số: Các Ideal trong vành đa thức

Trong nội dung của luận văn, người viết sẽ xem xét các ideal trong vành đa thức K[x,...x„] trên trường K theo hai góc độ: ideal hiệu theo nghĩa thông thường của vành đa thức, và ideal xe

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

Mã số : 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DÁN KHOA HỌC

TS TRAN HUYEN

Thành phố Hồ Chi Minh - 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn vả giúp đỡ chân tình của TS Trần

Huyện, người thay đã gợi cho tôi những ý tưởng mới về dé tài mà bản thân chưa hè nghĩ đến Trong quá trình làm việc, thầy đã đưa ra những góp ý và lời khuyên quí báo, không chỉ về mặt chuyên môn, mà còn về cách thức làm việc, điều mà bấy lâu

nay ban thân cảm thấy còn nhiều thiếu sót Xin gửi lời cảm ơn chân thành va lòngbiết ơn sâu sắc nhất đến thay

Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thay cô khoa Toán trường Đại học

Su Phạm thành phố Hồ Chí Minh, cảm ơn những gì mà thay cô đã dạy cho tôi trên

giảng đường sư phạm.

Gia đình, bạn bè là nguồn động viên và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong những

lúc khó khăn nhất Bản thân cho rằng phải no lực thật nhiều để hoàn thành luận văn

mới mong đẻ đáp tắm chân tình của họ

Xin cảm ơn tất cả, chúc tất cả thật nhiều sức khỏe

TP Hồ Chí Minh — Thang 9 năm 2015

Nguyễn Văn Minh

Chương 1 KIÊN THỨC CHUAN BỊ 222 2S HH2 202 xe 3

UD) Vành:VàdBBÌ|: ::-:::z2i12i:2c42c201120123013321853505246326182490g9388553388526132456g23051354585257 3

12D: VQUHI(QILWC: 0222.2000/212221022212213010100230201202203253014)2)63)16319313153121915139531513163/5253025152357 6

Chương 2 CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC - 2-522ccczcccz 15

8Í Medevalldionmthitice: — (Neel BiG A cscs: cesssesseccsccossranseccocosssesseccoccosssarsracceosssusencccoce 15

2.2, CƠ:Sở'GrObner Của TAEAl).sisssisseisssisiesssesssoasacassacsscecssessseassosssacssaassecsiseassassecssaaasias 24

2.3 Cau trúc không gian véctơ của Ideal, -2-©2sz+2s+£cs+£zze£zzzrrzzrrzcrrecrsee 30

0 0 85TÀI LIEU THAM KHAO o.0.0.000ccccccsccssssssssssssssssssssvsssssusssssssesesssesssecsssesisecssesnnesenssseee 36

Vành đa thức nhiều biến K[x, x, ].

Ideal sinh bởi f,, , ƒ,.

Tập hợp tat cả các đơn thức sinh tối tiêu của ideal 7.

Từ khởi đầu của đa thức ƒ.

Đơn thức đầu của đa thức ƒ

LỜI NÓI ĐẦU

Vành đa thức là lớp vành đặc biệt trong lí thuyết Đại số giao hoán, bởi sự tường

minh của các phần tử, cũng như khả năng tính toán được của nó Ideal lại là khái niệm

quan trọng nhất đẻ nghiên cứu cấu trúc của vành Vì vậy việc nghiên cứu Các ideal trong vành da thức là cần thiết cho việc xem xét lớp vành đặc biệt này Trong nội dung của luận văn, người viết sẽ xem xét các ideal trong vành đa thức K[x, x„] trên trường K theo hai góc độ: ideal hiệu theo nghĩa thông thường của vành đa thức, và

ideal xem như là không gian vécto con của không gian véctơ K[x, x,] trên trường

K Việc xem xét đánh giá này nhất thiết phải dẫn đến việc nghiên cứu một lớp ideal

rat quan trọng của vành đa thức, đó là ideal đơn thức, nó cho phép xấp xi một ideal tùy

ý bằng ideal đơn thức, trong nhiều trường hợp từ cấu trúc của nó có thể nhận thông tin

ngược trở lại về ideal ban đầu

Nội dung của luận văn bao gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương nay phân ra làm 2 tiết là vành - ideal và vành đa thức, nhằm mục dich

cung cấp những kiến thức cơ bản phục vụ cho chương sau Định lí Hilbert về cơ sở có

ý nghĩa quan trọng với ideal trong vành đa thức cũng được đưa ra trong chương này,

đồng thời giới thiệu khái niệm thứ tự từ, giúp cho việc sắp xếp các đơn thức trong một

đa thức.

Chương 2 Các ideal trong vành đa thức

Chương này là nội dung chính của luận văn, được phân ra làm 3 tiết

2.1 Ideal don thức — Ideal khởi đầu

Trình bày định nghĩa và các tính chat cơ bản của ideal đơn thức, ideal khởi dau.

2.2 Cơ sở Gröbner của ideal Trình bày định nghĩa cơ sở Gröbner và các loại cơ sở Gröbner của ideal, dựa vào

đặc tính ban dau của cơ sở Gröbner của ideal để đánh giá đặc điểm của ideal ban đầu

2.3 Cầu trúc không gian véctơ của ideal

Đưa ra một hệ đa thức độc lập tuyến tính, chứng minh hệ đa thức này năm trong

một ideal nao đó la cơ sở của ideal Trinh bảy định lí Macaulay về hệ đại điện cơ sởcủa không gian véctơ R/J trên trường K - phan bù của ideal 7

Luận văn đề cập đến vành đa thức trên trường Do đó, khi không nói gì thêm ta

hiệu là vành đa thức trên trường.

Chương 1 KIÊN THỨC CHUÁN BỊ

Chương này trình bay một so kiên thức thiết yêu nhất phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau.

1.1 Vành và Ideal

Một số khái niệm về vành được nhắc lại sơ lược qua các định nghĩa sau day.

Định nghĩa 1.1.1: Vành là một tap hợp R#@ được trang bị phép toán cộng “+”:

(a,b) a+b và phép toán nhân **.”: (a,b) ab thoa mãn các tính chat sau:

(i) — Đối với phép cộng, R là một nhóm giao hoán.

(ii) _ Phép nhân có tính chất kết hợp tức là với mọi a,b.e Â:

a(b.c) = (a.b}.c

(ii) Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi a,b,c € R:

a.(b +c) = ab+ ae và (b+c).a=bat+ca

Phan tử không của vành được kí hiệu là 0 Đề cho tiện thông thường ta viết ab thay

cho tích ab R được gọi là vành có đơn vị nếu nó chứa phan tử ] thỏa mãnal=la=a với mọi aE R Khi cần nhấn mạnh vành R ta dùng kí hiệu Og, để chỉcác phan tứ không và don vị cua Ñ R được gọi la vành giao hoán nếu với mọi

a.beR, ab=ba Từ đây về sau, khi nói đến vành R ta luôn hiểu là vành giao hoán,

có đơn vị.

Định nghĩa 1.1.2: Cho # là một vành và a e # Phan tử a được gọi là

(i) ude của không nếu #0 và tôn tại 0# R sao cho ab =0,

(H) — khả nghịch (hoặc đơn vi) nếu tồn tại cE R sao cho ac=1

Vành R không chứa ước của 0 được gọi là miền nguyên.

Định nghĩa 1.1.3: Một tập con SCR đóng đối với phép cộng và phép nhân của R

được gọi là vành con néu nó chứa phan tử 1 của R và bản thân nó cùng với các phép

toán cảm sinh lập thành một vành.

Định nghĩa 1.1.4: Cho /: —> Š là ánh xa cia hai vành Khi đó f được gọi là đồng

cấu nều các điều kiện sau thỏa mãn đối với mọi a,b eR:

(i) f(a+b)= ƒ(a)+ f(b).

(ii) — f(aby= flay f(b).

(iii) f(lp)=1,.

Một đồng cau được gọi là đơn cau (tương ứng toàn cau, dang cau) nếu ánh xa đó là

đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh).

Ideal là khát niệm quan trong nhát dé nghiên cứu câu trúc của vành Nó đóng vai tro

như nhóm con chuẩn tắc trong lí thuyết nhóm.

Định nghĩa 1.1.5: Cho # là một vành Tập con / #@ của R được gọi là ideal nếu

thỏa mãn hai điều kiện:

(i) Với moi abel at+bel.

(H) Véimoiael vareR,rael.

Nếu I là ideal thì -a= (-Dael với mọi aél, Do đó ideal là nhóm con của nhómcộng R, và la vành con theo nghĩa rộng (tức không can điều kiện chứa 1), nhưng nói

chung không là vành con theo qui ước của chúng ta.

Nếu I # R thì ta gọi là ideal thực sự Chú ý rang 1=R khi và chỉ khi 1e R

Cho I là ideal của vành R Như trên đã nói I là nhóm con của nhóm R, do đó ta

được nhóm thương ÑÍI giao hoán Trên RII ta định nghĩa thêm phép nhân như

sau: (r + I\(s + H =(rs)+l! Định nghĩa này không phụ thuộc vào phép chọn phan tử

đại điện của lớp kê Dễ dang thứ lại rằng phép toán này cùng với phép cộng của nhám

thương RII lập thành một vành giao hoán có don vị với phan tứ là 0=0+7 và phần

tứ đơn vị là 1=1+l.

Định nghĩa 1.1.6: Cho / là ideal của vành R Vành R/J được gọi là vành thương

của vành R theo ideal 7.

Bồ dé 1.1.7: Cho 7 là ideal của vành R Khi đó ánh xạ f:R— R/T xác định bởi

f(r) =r+T là một toàn cấu vành Hơn nữa Kerf =/.

Hệ quả 1.1.8: Cho 7 là tập con của vành R Khi đó 7 là ideal của vành R nếu và chỉ

nếu tôn tại đồng cau f từ R vào một vành nao đó sao cho Kerf =1

Định lí 1.1.9 (định lí dang cấu): Cho f:R— S là đồng cầu vành Khi đó ƒ cảm sinh

một đăng cấu f :R/ Kerf —> Im ƒ xác định bởi

f(r) = f(r) vreR.

Sau đây la một lop ideal quan trong trong vành R, ideal hữu han sinh.

Bồ đề 1.1.10: Cho R là một vành và Ø # ACR Khi đó tập hợp

(A) ={na, + +r„a, In eÑ¿n, r, € Ria,, a, € A}

a: Ø £ ù

là ideal bé nhât chứa A.

Vì 0 là ideal bé nhất chứa @ nên ta qui ước (2) =0

Định nghĩa 1.1.11: Cho 7 là ideal của vành R Nếu A là tập hợp sao cho 7 = (A) thi

A được gọi là tập sinh (hay hệ sinh, cơ sở) của 7 và ta nói 7 là ideal sinh bởi A.

A được gọi là tập sinh tối tiêu của 7 nếu A là tập sinh của 7 và không chứa thực sự

một tập sinh khác của 7.

Ta nói ideal là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn

Định lí — Định nghĩa 1.1.12: Cho R là một vành Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Moi tap khac rong các ideal của R đều có phần tử cực đại (đối với quan hệ

bao hàm thức).

(ii) Mọi dây chuyên tăng các ideal

LEGh.€0E2 SF Gui

đều dừng sau hữu han bude, tức là tồn tại k dé 7, =1,,„=

(iii) Moi ideal của R đều hữu han sinh.

Một vành thỏa man một trong ba điều kiện trên được gọi là vành Noether.

Một số lớp ideal đặc biệt khác của vành R.

Định nghĩa 1.1.13: Ideal thực sự 7 của vành R được gọi là nguyên tô nếu abe] suy

ra aœl hoặc be Ideal thực sự 7 của vành R được gọi là cực đại (hay tối đại) nếu

nó không thực sự chứa trong một ideal J thực sự nào đó của R.

Bồ dé 1.1.14: Cho 7 là ideal thực sự của vành # Khi đó:

(i) — 7 làideal nguyên tổ khi và chỉ khi R/J là miền nguyên.

(ii) / là ideal cực đại khi va chỉ khi R// là trường.

Hệ qua 1.1.15: Trong một vành (giao hoán, có đơn vị) mọi ideal cực đại là nguyên tố.

Mệnh đề 1.1.16: Mọi vành không tầm thường đều chứa ít nhất một ideal cực đại

Hệ quả 1.1.17: Cho 7 là một ideal thực sự của vành ® Khi đó tn tại ít nhất một

ideal cực đại của R chứa J.

Định nghĩa 1.1.18: Ideal 7 được gọi là ideal bất khả qui nếu 7 không thẻ viết dưới

dang J =!,ÍÌ1, với 1,1, #! Nếu /=1,f1 f1, sao cho không có ideal I„j=Lr

nào có thé bỏ được, thì ta gọi phân tích này là phân tích tối giản

Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:

($»*)|$»~)-(Š~} với œ = aby.

¡na FT tu (a fok

Dinh nghĩa 1.2.1: Với hai phép toán cộng đa thức va nhân đa thức nêu trên có thé

kiểm tra tập tat cả đa thức lập thành vành giao hoán có phan tử đơn vị là đa thức 1.

Tập này được kí hiệu là R[x], được gọi là vành đa thức một biến trên #.

Sau khi định nghĩa được đa thức một biến, việc sắp xếp thứ tự các số hạng trong đơn

thức là can thiết nên xuất hiện khái niêm bậc đa thức

Định nghĩa 1.2.2: Bậc của đa thức khác 0

f(x) =a,x" + 44,x"

với a, #0,n 20 là ø Hệ tử a, được gọi là hệ tử cao nhất (hệ tử dau) của f(x).

Như vậy ta chỉ định nghĩa bậc của đa thức khác 0 Đổi với đa thức không ta bảo nó

không có bạc.

Định lí 1.2.3: Gia sử f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0.

(i) — Nếu bậc của f(x) khác bậc g(x), thì ta có:

Hệ quả 1.2.5: Nếu R là miền nguyên, thì R[x) cũng là miền nguyên.

Lop vành đa thức một biến trên một trường Có mot tính chất rất đặc trưng, đó là lớp

vành này thỏa mãn định li chia đa thức.

Định lí 1.2.6: Cho K là một trường và g(x) 1a đa thức khác 0 của K[x] Khi đó mọi

đa thức f(x) € K[x] có thé viết đưới dạng

F(x) = q(x)g(a) + r(x),

trong đó @(x),r(x)€ K|[x] và hoặc r(x) =0 hoặc bậc r(x) <bậc g(x) Hơn nữa g(x)

và r(x) được xác định duy nhất

Hệ qua 1.2.7: Vành đa thức K[x] trên một trường tùy ý là vành các ideal chính, nghĩa

là mọi ideal đều sinh bởi một đa thức

Chứng minh: Cho / ¢ K[x] là một ideal Nếu 7 =0 thì không có gì phải chứng

minh Giả sử 7 0 Chọn #0 là một đa thức có bậc bé nhất trong /\{0} Cho

f €1 tùy ý Theo định lí chia đa thức một biến ton tại g.r e K[x] để f =gh+r sao

cho =0 hoặc bậcr <bach Vì 7 là ideal, nên ghe và r= ƒ-ghel' Nếu r#0thì mâu thuẫn với cách chọn h Vậy f =gh tức là 7 c(h) Ngược lại vì he! nên (h) C1 Do đó 1=(h) n

Định nghĩa 1.2.8: Ước chung lớn nhất của các đa thức Fives f, € K[x] là đa thức h

sao cho:

(i) — h chia hết ƒ, / nghĩa là =q@h, ƒ, = Gh q, 4„ © K[x].

(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết ƒ ƒ thì p chia hết h.

Trong trường hợp đó ta viết h=UCLN(ƒ, ƒ„)

Mệnh đề 1.2.9: Cho ƒ, ƒ, e K[x] n>2 Khi đó:

(i) — UCLN(ƒ,, /f,) tôn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 của K

Gi) — (Jf /,)=(UCLN(ƒ, /,)).

(iii) Nếu n>3 thì UCLN(ƒ, ƒ_)=UCLN(UCLN(ƒ, f_.), f„)

Từ điều khẳng định (i) của mệnh dé trên suy ra, nếu chọn ước chung lớn nhất là đathức đơn, tức là đa thức có hệ sé dau là 1, thì nó được xác định duy nhất Như vậy,

nếu không nói gì khác, ta luôn hiểu hệ số dau của UCLN( Fis J- } đề 1.

Thuật toán 1.2.10: (Thuật toán Euclide) Dé tìm UCL(ƒ, g) ta thực hiện lần lượt các

phép chia đa thức một biến:

B Vành đa thức nhiều biến:

Cho R là một vành và xị x„ (221) là các biến Ta gọi đơn thức là một biêu thức

có dạng x° x'", trong đó (a,, 4,) EN" được gọi là bộ số mũ của đơn thức Nếu

Từ là biêu thức có dang @x* x*, trong đó @ eR được gọi là hệ số của từ Thông

thường các phần tử của R gọi là phần tử vô hướng Hai từ khác không Zx° x* và

/@xƒ`' xJ" là đồng dạng với nhau Như vậy có thé xem đơn thức là từ với hệ số là 1, và

phan tử vô hướng o là từ ø.1

Đề cho tiện ta kí hiệu x= (¡ x„),đ = (đ, 4,)€Ñ" và x? =x2 v Đa thức n

biển x, x„ trên vành # là một tông hình thức của các từ:

f= 3 a,x",

aN"

trong đó chi có một số hữu hạn hệ số ø, #0 Từ a,x" với #, #0 được gọi là từ của

đa thức f(x) và x” là đơn thức của f(x).

Hai đa thức f(x) = py ax” và g(x) = » 8,x' được xem là bằng nhau, nếu a,=8,

veh" qéN"

với moi ae Ni".

Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:

> a | “( b3 | =} (a, + B,)x’.

wa" want J aan’

Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:

vành R.

Cho (<m<n Bang cách xem môi từ axe trên Rone là từ

(oxy xe xe xế trên vành K[x,, X.|, có thé xem K[xc, X.| nhự là vành damel On

thức n—m biến x„ „ x, trên vành R[x,, x„], tức là

R[xị, , x„ | = R[xị, X„ |Í_X„ › X„ Ì

-Tương tự có thẻ xây dựng vành đa thức vô hạn biển R[x,:i 6H] Tuy nhiên moi da thức

cua vành này van là một đa thức hữu han biển O đây ta chi xem xét vành da thức hữu

deg f(x) = max{a, + +4, la, #0}.

Đối với đa thức một biến bậc tổng thê chính là bậc thông thường Đôi khi bậc tông thécủa đa thức nhiêu biến cũng được gọi tắt là bậc, nếu như không có sự hiểu nhằm nào

xay ra.

Mệnh dé 1.2.13: Nếu R là miễn nguyên thì vành đa thức R[x] cũng là miền nguyên.

Cho f(x) € R[x] Với mỗi ¡ < deg f(x) kí hiệu ƒ là tông tất cả các từ có bậc tông thé

là ¡ trong biéu điễn chính tắc của f(x) Khi đó

f(x) =f, tot fos

trong do p=deg f(x) va ⁄,# 0.

Mệnh đề 1.2.14: Nếu R là miền nguyên, thì với mọi đa thức f(x), g(x) € REx] đều có

deg( f (x) g(x)) = deg f(x) + deg g(x)

va

deg( f(x) + g(x)) < max{deg f(x), deg g{x)}.

Hơn nữa, ta có bat đăng thức chặt khi và chỉ khi deg ƒ(x)=degg(x) và

đề roi = “ágeúv

-Hệ quả 1.2.15: Vanh đa thức K[x] trên trường K là miễn nguyên và bậc tổng thê của

đa thức thỏa mãn mệnh đề trên.

Mội trong những kết quả đẹp nhất và cơ ban nhất về vành da thức nói rằng mọi ideal

của vành da thức trên trưởng là hữu hạn sinh Đó là noi dung định li nội tiếng cua Hilbert về cơ sở.

Định lí 1.2.16: (định lí Hilbert về cơ sở) Cho R là vành Noether và x là tập n biến

Khi đó vành R[x] cũng là vành Noether.

Chứng minh: Qui nạp theo số biến, chỉ cần chứng minh cho vành một biến RỊx,|.

Cho

lọạcilc ci,e

là một day tăng các ideal của vành một biến Ri x,] Với mỗi ideal J va ic N, đặt

LUD) ={a, € Ra, , ,d„ € R: a,x} el}.

Rõ rang (1) là ideal của R Ta có

Lí) cL(,)c c L(,)G

và với mọi jel:

Lýữ,)< Lkứ,)c€ c< Lứ,)<

Vì R là vành Noether nên tôn tại p.qeN sao cho LL( ) là phan tử cực đại của họ

các ideal {L,(I,)1¡, j e N} Từ các day tăng trên suy ra với mọi (2 p và j2q ta có:

Ta sẽ chứng tỏ 7, = 7, neu j>r Giả sử ngược lại I, <1, Trong số các đa thức khác

0 của tập hợp /,\/, chọn đa thức có bậc nhỏ nhất, chăng hạn f(x,)=4, + +a,x"

VỚI - Ayn, ER, da v#0Ố VÌ ayeL(I)=L() nên ton — tại

g(4)=b,+ +b„ x tala" el Rõ ràng ƒ-g€l,\I, nhưng

deg(ƒ —g)<deg ƒ, mâu thuẫn với cách chọn ƒ Vậy J,=/, với mọi />:, hay

R[x,] là vành Noether 0

Hệ quả 1.2.17: Mọi ideal của vành đa thức K{+x]} trên trường K là hữu hạn sinh.

Giống như trường hợp một biến, dé sắp xếp các hạng tử của một da thức nhiều biển

TQ) khác không, ta sắp xếp theo thứ tự của các từ được gọi là thứ tự từ

Định nghĩa 1.2.18: Thứ tự từ < là một thứ tự toàn phan trên tập M tất cả các đơn

thức của K[x] thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Với mọi me M, lem.

(ii) Nếu m,m,,meM mà m,<m, thi mm, <mm,.

Từ định nghĩa trên ta thay ngay trên vành đa thức mét bién chi có một thứ tự từ Đó là

thứ tự xác định boi bậc đơn thức Dưới day ta sẽ thay có nhiều cách định nghĩa thứ tự

sẽ đừng (sau hữu han phan tử).

Mệnh đề 1.2.20: Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ngược lại mọi thứ tự tốt trên Mƒ thỏa điều

kiện (ii) của định nghĩa 1.2.18 là thứ tự từ.

Cho < là một thứ tự từ Sau khi đổi chi số các biển luôn có thể giả thiết

KF hy Đo ÁN:

Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng.

Định nghĩa 1.2.21: Thứ tự từ điển là thứ tự < xác định như sau:

` glen xx nếu deg(xƒ° vế*) < đee(xẾ: x”*) hoặc

deg(xí“ xế*) = deg(xÊ v^) và thành phan dau tiên khác không kể từ bên trái của

Định nghĩa 1.2.23: Thứ tự từ điền ngược là thứ tự <

“hex xác định như sau:

xí! ưết <„„ xÖ.x nếu deg( x") < deg(xZ x”) hoặc

" tựa

“

deg(x x%") = deg(x" x"") và thành phan đầu tiên khác không ké từ bên trái của

véctơ (a, = /, :, = đ,) là một số dương (Nói cách khác, x” x”* <„„ xà x”“ nếu

2

G,t+ +0,<f.+ +B, hoặc a,+ +@,=f,+-.+f, và ton tại O<i<n sao cho

a, = Ø, ư, = 8 nhưng a@,,, > Ø, )

Mệnh dé 1.2.24: Ba thứ tự kể trên là các thứ tự từ

Ví dụ:

+Trong cả ba thứ tự trên ta luôn có x, > x, > > +„.

+Với các đơn thức ba biến bậc tổng thê không quá 2, ta có:

#le( “*% “gles x; Sebi 1<

ice %2%3 Seer M5 Ấy 3 Ste XỊẦ; Spex xy.

Nhu vậy ba thứ tự trên là thực sự khác nhau.

Chú ý 1.2.25: Giả sir < là một thứ tự từ nào đó đã được xác định Từ nay về sau tacũng sẽ dùng nó dé kí hiệu gid thir ue (quan hệ chỉ thỏa mãn tính chat phan xạ và bắccầu) xác định trên tập hợp các từ của vành K[x] định nghĩa như sau: nếu

O0#a,BeEK và m,n là hai đơn thức sao cho msn (tương ứng <7) thì ta nói

ams $n (tương ứng am < Bn) Đương nhiên ta có ams Pm và Bm<am nhưng

am # $m Tuy nhiên khái niệm này rất tiện lợi cho việc trình bày sau này mà không

gây ra mâu thuẫn.

Chương 2: CAC IDEAL TRONG VANH ĐA THỨC

Trong chương này người viết có gắng làm rõ van dé được đặt ra, đó là nhìn nhận

các ideal trong vành đa thức nhiều biến K[x, x,] theo hai góc độ: ideal hiểu theo

định nghĩa thông thường trong vành đa thức KỊx, X, Ì, va ideal xem như là không gian véctơ con của không gian vécto K[X,, X,] trên trường K Việc nhìn nhận dựa vào khái niệm cơ sở của ideal, cơ sở theo nghĩa hệ sinh, quan trọng hon cả la cơ sở

Grébner của ideal, và cơ sơ theo nghĩa không gian véctơ Khái niệm quan trong giúp

chúng ta đạt được điều này, đó là ideal đơn thức

2.1 Ideal đơn thức — ideal khởi đầu

Trong vành da thức nhiều biến, có một lớp ideal rất đặc biệt là ideal đơn thức, vì

trong lí thuyết cơ sở Grébner cho phép xdp xi một ideal tity ý bang ideal đơn thức, matrong nhiều trường hợp từ cau trúc của nó có thé nhận thông tin ngược trở lại về idealban đầu

-” Fe

Nhắc lại răng x ={x, x„}, @=(@,, 4,)€N" và x° =x) x

Định nghĩa 2.1.1: Ideal I được gọi là ideal đơn thức néu nó sinh bởi các đơn thức.

Như vậy một ideal đơn thức có dang I= (x”:a = A) , trong đó AGN" Chú ý rằng

trong định nghĩa này không yêu cau tập A hữu hạn Những mệnh dé sau đây giúp

chúng ta có cdi nhìn rõ ràng về ideal đơn thức.

(i) Don thức x° chia hết cho đơn thức x” khi và chi khi tồn tại don thức xí

Sao cho x” = x°x” oo xf =x ep xP gle = x00" xe, SUY ra: