Luận văn thạc sĩ Đại số và lý thuyết số: Các số fibonacci và định lý lớn của fermat

Chăng hạn, dựa vào tính chất của day số Fibonacci, người ta có thể chứng minh được Định lý lớn Fermat đúng cho các SỐ nguyên tô Fibonacci.. Chính bởi vậy, Tôi quyết định chọn dé tai "Các

_— BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO | TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

_—— BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO |

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DÂN KHOA HỌC

PGS TS MY VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

LOI CÁM ON

Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thay hường dân PGS TS My Vinh Quang,

giảng viên trường Đại học Sư phạm Thành phó Hỗ Chí Minh — người đã tận tình giúp

đỡ và hướng dan tôi trong quá trình học tap, nghiên cứu và hoàn thiện luận van nay.

Tôi xin chân thành cảm ơn Trường, Phòng Sau đại học, các thay cô trong KhoaToán — Trường Dại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi

hoàn thành luận van nay.

Qua day, tôi cũng xin bay to long cam ơn đến gia đình, người thân và bạn bẻ đã

giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện báo cáo này.

TP Hỏ Chí Minh, ngày tháng năm 2017

TAC GIA LUẬN VAN

Nguyễn Hong Phúc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bài luận văn này do tôi thực hiện đưới sự hướng dân của PGS,

TS My Vinh Quang Nội dung có tham khảo, sứ dụng một số kết qua từ các sách, báo

được liệt kê trong tài liệu tham khảo Tôi xin chịu trách nhiệm về lưận văn của mình.

TP Hỗ Chí Minh, ngà! tháng nam 2017

TÁC GIÁ LUẬN VĂN

Nguyễn Hong Phúc

2.1 Giới thiệu số Fibonacci va số Lucas ccccccsccssscssesssssesssveseeresseoovansavenrevseevsavenvanvanvs 7

22.Tổng > [;) ¬_ &= - il

her |mea410|

2.3 Đồng dư thức đối với số Fibonacci ccscecsssessssesssseesssecsssecssssessssesssceeseceeeecesees 14

2rd: |MIOb(HTOMKIED 0E (DTF” nuyrnnrrerrnrrranbirtrtrrnirrntrainrnffSr9f0f9f9SSIPEPBSSHSEmP 23

2.5 Sự liên hệ với định lý lớn Ferrmat - c1 111211 12 11 1 12 re 26

Kết RINN tang ntitsiti8600001G561001634600346316134033660346591333054803846336386634833463380183486534633858334E 31

MỞ DAU

1 Lý do chọn đề tài

Day số Fibonacci {F.| xác định bởi f,=0.f,=l,F,=F,+F,, Day số

Fibonacci là một trong những dãy số nỗi tiếng nhất trong toán học do có nhiều ứng

dụng trong giải tích và trong lý thuyết số hiện đại Chăng hạn, dựa vào tính chất của

day số Fibonacci, người ta có thể chứng minh được Định lý lớn Fermat đúng cho các

SỐ nguyên tô Fibonacci

Chính bởi vậy, Tôi quyết định chọn dé tai "Các số Fibonacci và định lý lớn

Fermat” làm đê tại luận văn thạc sĩ Toán của minh, đề tim hiểu, nghiên cứu thêm về

các số Fibonacci và các đồng dư thức liên quan đến chúng, cũng như các ứng dụng

liên quan đến định lý lớn của Fermat

2 Mục đích đề tài

* Khảo sát, nghiên cứu các tính chất của các số Eibonacci.

* Biểu điển tổng các hệ số nhị thức »; qua các hang tử của số

her trod 10)

Fibonacci, từ đó rút ra một số đồng du thức liên quan đến số Fibonacci

* Tìm hiéu ứng dụng của các đồng dư thức trên liên quan đến lời giải cho định lý

lớn của Fermat.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Day số Fibonacci, dãy số Lucas L, và các tính chất của chúng

* Tổng các hệ nhị thức Š%` [;) và các đồng dư thức liên quan.

Aer [3đ 10)

4 Bồ cục luận văn

Bản luận văn “ CÁC SO FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CUA FERMAT”

gồm có mở dau, hai chương nội dung kết luận và tài liệu tham khảo

Chương |: KIÊN THUC CHUAN BỊ

Trong chương này, trình bày một số kiến thức chuan bị cần thiết cho chương sau

như các kiến thức về số học, các định lý về đồng dư và ký hiệu số học như ký hiệu

Legendre và Jacobi.

Chương 2: CÁC SÓ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT

Trong chương nay, chúng tôi trình bày cách biểu diễn tông các hệ số nhị thức

> [;) qua các hạng tử liên quan đến số Fibonacci Như là hệ quả, chúng tôi thuker (mod 10)

được công thức cho thương Fibonacci F Ễ Ì

P=

iD}

/P Từ đó, chứng minh được rằng Dinh

lý lớn của Fermat trường hợp dau tiên sẽ đúng khi lũy thừa là số nguyên tố Fibonacci

Á ˆ Á

va so nguyên tô Lucas.

Chương 1 KIÊN THỨC CHUAN BI

1.1 Đồng dư thức

Định nghĩa 1.1.1.

Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a,b được gọi là đồng dư theo mô-đun

n nếu chúng có cùng số dư khi chia cho n Điều nay tương đương với hiệu a-b chia hết

thì ta có:

(a,+b,)=(a,+b,) (modn)

(a,-b,)=(a,+b,) (mod n) (a,b,)=(a,b,) (mod n)

a} =a’ (mod n) với k nguyên dương

Luật giản ước 1.1.3.

Nếu (a,b)=(a,.b) (modn) và (b,n)=1 (bn nguyên tố cùng nhau) thì

a,=a, (modn).

Nghịch đảo mô —dun 1.1.4.

Nếu số nguyên dương 7 và số nguyên a nguyên tô cùng nhau thì tồn tại duy nhất một số x € {0,1,2, 2-1} sao cho ax=1 (modn) , số x này được gọi là nghịch đảo

của a theo mô-đun 7.

1.2 Ký hiệu Legendre

Định nghĩa 1.2.1.

Cho p là số nguyên tổ lẻ và a là một số tự nhiên, thì ký hiệu Legendre B là:

p

0 nếu a chia hết cho p ;

(sÌ = 1 nếu a là thang dư bậc hai médun_p (nghĩa là tồn tại

ọ

số nguyên k sao cho k* = a (mod p));

—1 néu a không là bình phương môđun ø

é 2 =(-1)" i's _ Ikhi p=1 hoặc 7 (mod 8)

P =l khi p = 3 hoặc Š (mod 8)

° Với số nguyên tổ lẻ p bat kỳ,

3 =( yl 1 khi p =1 hoặc 11 (mod 12)

Pp) ~ |=l khi p =5 hoặc 7 (mod 12)

" -| 1 khi p =1 hoặc 4 (mod 5)

e _ Với số nguyên tố lẻ p bất kỳ,| —guy P i —I khi p =2 hoặc 3 (mod 5)

Với số nguyên tô lẻ p bat kỳ,

7 ) 7 Ikhi p =1,3,9,19,25 hoặc 27 (mod 28)

p) |-lkhi p=5,11,13,15,17 hoic 23 (mod 28)

e Nếu p,q là các số nguyên tố lẻ thì B = [Zl-»" "2Me-)0)

Pp q

Tính chat sau cùng được gọi 1a luật thuận nghịch bình phương

Ký hiệu Legendre được sử dụng trong tiêu chuân Euler do Euler chứng minh

được định nghĩa như sau;

Giả sử n > 0 là số tự nhiên lẻ và pƒ'pÿ: p/° là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Với số nguyên ø bất kỳ, ký hiệu Jacobi (£)-(£] 2 ] 4£) trong đó

Chương 2: CAC SO FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CUA FERMAT

2.1 Giới thiệu số Fibonacci và số Lucas

Đề thuận tiện về sau, chúng ta sẽ giới thiệu trong phan nảy các tính chất căn bancủa day số Fibonacci {F,} và dãy số đồng hành với nó-dãy số Lucas {L,}

Day số Fibonacci { F,} va day số Lucas {L,} được cho bởi công thức:

F„=0.E,=l,F,

nel =F,+F,, (n=L2,3 )

và

lạ=2,h=“LL„^=L +; (n=L243, ),

ta có công thức tong quát số hạng thứ n là:

Fr.=5 ~Ê` và L =a"+j" với g~1‡⁄5 ;_I=j5.

i Ta qui nap theo n.

Với n=1 thi F,,=F, (mod F,).

Giả sử mệnh dé đúng với + >1 Ta chứng minh mệnh đề đúng với n +1

Với L,=2F_,,-F, =2F,.+ F„ ta có:

reel

m(n-l}-l = Fr lim 1e —Í= 5 (Fea + Lay Vy)lye

=s[ F„„ (2E„„ + E„)+(2F 2 + Fo) Foe |

=F" F., (mod F,)

=F*! (mod F,).

ii Ta tiếp tục qui nap theo n

Với w =1 là hiển nhiên.

Giá sử mệnh đề đúng với >1 Ta chứng minh mệnh đề đúng với n+1

Gọi (FF, )=h thì hl F ALE SALE, ALP, =h12F,.

Nếu h lẻ thi AIF,

Nếu h chin=> F,,F, chẵn= F,,,F,,.L,,.L,, chan (vì 2 day số nảy luôn cùng chin

Liên quan đến đông dư thức, ta có định lý sau

Dinh lý 2.1.3.Cho p là số nguyên tổ

i Nếu p#2 thì F (s)=° (mod p)

r-j—}

PS

ii Lay Amn là những số nguyên dương Giả sử p* WF, ( nghĩa là p*\F, và

pe" 1F.) Khi đó pine pF,

mà £”—F,„.F.„=(—I)”” nên F,,.F,,,=0 (mod p)

Mặt khác, ta lại có :(p~—l,p+1)=1 nên =(F, ,.F „}= F„¡„„ = =1 (do Định lý

2.1.2).

Do đó chỉ có một trong hai chia hết cho p

Bây giờ, ta lay n= p+1,khido:

Trong trường hợp ngược lại thì #,, 0 (mod p).

ii Bởi phan ii của định lý 2.1.2, ta có:

KF, =nFF, (mod E2

m~] ° m

Vì m>I (plF,) (Fxf„)= F„a„=l, PoE, và p* 12, ta có:

— Ê (m-l]

pe" LE, ©p”hInE?1P_ & pin.

Hệ quả 2.1.4 Theo Định lý 2.1.3 thi bat kỳ luỹ thừa của số nguyên tổ nào cũng là ướccủa các số Fibonacci nào đó

Chứng minh

Cho d = pể p” (p, < p; < < p,) là dạng phân tích thành các thừa số nguyên

tổ, và giả sử rằng p* IF, với ¡=l,2, r Do F, là ước của Fy, nên pel, „;

với ¡=I, r và vì vậy dị mJ" Do đó mọi sô nguyên dương d đều là ước sô của

các sô Fibonacci nao đó.

22.Tổng > B

ter (=od 10)

Cho các số nguyên m>0, n>0 và r, ta định nghĩa:

VIÊN s(t va A„(r,n}= MT 2i „j„y — 2” VOi[] là hàm số phần nguyên.

Mệnh đề 2.2.1 Chom, n là những số nguyên dương và r,s, t là những số nguyên

thỏa r+s=0 (modm) và r+¢=2 (mod m) Nếu n lẻ thì khi đó

A„(r.n+2)=A„(s.n)+2A„(r.n)+A„(r.n).

Chứng minh

A„(sn)+2A„(nn)+A„(tn)

= Te + 2T: ›] 4e) + 1 ]— 42"

~ m (7-20 + 2 -ayoertesy T Íe—tvasm) ]— i

= mT 0u; 4s) + 2T yore) Ê Te (vaxa- se] ) _2m2

= HT” tua + syste) tT -yasnm * đổ anna) _ ane

BF „uy: +F "1122 = 2F gay: + Faye “Rg.sua Ítyusya = hyya+

3y aa+ đua = 2G prays + Geese = 2D pesyre — lạ «ay = 5 „sua

2h, aya Ê Faye = *Fig.ay› — Fi {m2 =h uy

2D yaya + luana = 2A pasya — hạaga =3 uy

Bởi mệnh dé 2.2.1 và giả thuyết qui nạp, chúng ta có

A(0p+2)= A(0.p)+2A„(0.p)+ Au(2,p)

= Lies gry nếu p=1 (mod 4)

- bys = Se Diya + 3L, 1 KG iy:

Diễu ay ching tỏ rằng định i 2.2.2 2đểng với re

2.3 3 Đằng dư thức đối với số Fibonacci

(mod p’) nếu p=l (mod 4)

(mod p?) nếu p=3 (mod4)

Allg

pK, (2p)=—pK, (4p)

(-I}” (Somme a, (9 _ (mod p*) nếu p=! (mod 4)

(-)“ MẸ js, an (mod p`Ì nếu =3 (mod 4)

+[A (0, p)—A,, (6, p)| = 449 sleeve L,

suiVê nếu p=1 (mod 4)

„¡2 nếu ps3 (mod4)

khi m = +] (mod 5);

4 «(f+3M4

+2.5 F, ive nếu p=1 (mod 4)

+[ Ayo (2.P)~ Au (4p) ]=442.5°""L, y nếup=3 (mod 4)

CC [a, +2m,, p)- Awa (8 ~2m,, P)|

[25] g¢p-1¥4 p -l 5

(q, (Xx) goi là thương số Fermat, nếu (x,p)=1 thì q, (x) nguyên)

(a) Néw p=1 (mod 4) thi

=(- (3 ]s-| of k, Or da,(9))-1 (mod p’)

P

— rf bo eg }

F, (tỳ =(-I 9g pK, (2p) (mod p`).

Pa [re

LMP

(b) Nếu p=3 (mod 4) thi

Vậy định lý đã được chứng minh xong.

Định lý 2.3.4 Cho p#2:5 là một số nguyên to Chúng ta có:

Bởi phan (i) của định lý 2.1.1, chúng ta có:

đua = 2F gatya — Fụ nan

đgaw = 2 guya — feaya = pave + Fụayas

SỨ nay = 2E psy ~ L, y-1w2?

2F say: = 21, say ~ L, p12 = 21, vụa + Esty"

Lai theo định lý 2.3.3:

C9 ( 5s (aK, (0) +4, (5)-K,(2P))-2]

Suy ra điều mà ta cần phải chứng minh.

Dinh lý 2.3.5 Cho p # 2:5 là một số nguyên tổ Khi đó:

va do đó pl Fy, hay plLy sự:

Định lý 2.4.1 Cho p=1hay9 (mod20) là một số nguyên tổ Khi đó:

DIF uy, nếu và chỉ nêu (-5””“ =(-tfr99 (mod p).

Chứng minh

Bởi định lý 2.1.1 chúng ta có:

3 (p=1/4 2 (prot ys

2F sawa — Fip-aye = Apaye = Hạ ga ~ 2(-1)" =5, ays † 2(-1)"".

Vi p=lhay9 (mod 20), p| F,,, uụ; theo như định lý 2.3.3.

Nếu pl Fy, thi pil vụ

(bởi vì Fy, ) và đo đó ( theo như điều kiện trên):Fy -nal-a

2F pata =0 =0 (mod p).

Nếu pl F,„ ụụ„ thì chúng ta có:

2 (prt

2K, sy =0 = 5.0° + 2(-1) (mod p).

Bây giờ thi rõ ràng rằng:

PVF aya S fyaya =(-1)""" (mod p).114

Nếu p=9 (mod20) thì khi đó x=p=4 (mod5), suy ra

x=2 hay =2 (mod 5) và do đó: B == =(y„_f 9m,

Giả sử x=2”w (2Ju).yv=2”v (2Jv) Bởi vì:

p p

bằng cách sử dụng ký hiệu Jacobi, chúng ta có:

Nếu z=l thì p=4u?+5v? =4.14+5.1=1 (mod8) và

z+(a+8)# =I+F =! (mod 2).

Nếu œ>2 thì p=2°%u?+5v° =0+5.1=5 (mod8) và

p`—l

PplF 3nails =0 (mod2)«>øz+/>2 @a+(a+f) © 4l xy.

2.5 Sự liên hệ với định ly lớn Fermat

Dịnh lý lớn Fermat (Fermat’s last theorem (FLT)): với œ=3,4,5, thì không có

nghiệm nguyên nào thỏa mãn phương trình

na

x"+y"=2", xyz #0.

Vi trường hop n=4 duoc giải quyết bởi Fermat, không mat tính tông quát

chúng ta chỉ cần xem xét FLT với những số mũ nguyên tô lẻ Lay p la mot sé nguyền

16 lẻ, néu x" + y" = 2" không có nghiệm nguyên với pt xyz thì chúng ta nói rằng

trường hop đầu của định lý lớn Fermat (FLT1) đúng cho số mũ p, ngược lại thì FLT!

không đúng với p.

Năm 1909 A Wieferich đã chứng minh rằng nêu 2”” #1 (mod p’) (p là một

số nguyên tổ lẻ) thì FLT1 đúng cho số mũ p Năm 1914 H S Vandiver đạt được kết quả sau:

Bồ đề 2.5.1 Néu FLT! không đúng với một số nguyên tổ lẻ p, thì chúng ta có:

(a) plq,(5), nghĩa là 5°" =1 (mod P).

; =0 (mod p).

Bây giờ chúng ta đã san sàng dé đưa ra định lý sau đây:

Định lý 2.5.2 Giả sử rằng FLT! không đúng với một số nguyên tổ lẻ p Khi đó:

§ I

K,(0)=0=4,„(5) (mod p) va K, (2p) =2K, (0)+>4, (5)=0 (mod p).

Do vay phan (í) của định lý 2.5.2 có thể để dàng suy ra từ định lý 2.3.5.

Đề chứng minh phần (ii) của định lý 2.5.2, chúng ta lưu ý rằng:

=i 2-1) °F ip =5F? cea +2(-1 IP (do dinh ly 2.1.1).

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh phan (ii)

Liên quan đến phan (iii) , chúng ta có:

Lay đe '~ Bởi hệ quả 2.1.4, d là ước số của một vài số Fibonacci đương nào

đó Lay n(d) là số nguyên đương bé nhất n sao cho đ là ước của F, Ta có:

d\F, ©aI(F F„„}<»4 Fina) <>(m,n(d))=n(d)<>n(d)im

Định lý 2.5.4 Lay p#2;5 là một số nguyên tổ Giá sử rằng p\|F., và p}m Khi đó:

n(p)= n(p’) nếu và chỉ nếu p° LE,

Ngược lại, p} Nếu n(p)#n(p*) thì pHF„ và vì vậy, theo định lý 2.1.3

thì p`JE_ hay poy

kh

Đề kết thúc chứng minh, ta lưu ý rằng p là ước của F és) ( theo phan (i) của định lý

2.1.3 ) và áp dụng chứng minh phần dau của chú ý 2.5.4.

Định lý 2.5.5 Cho m và n là hai số nguyên lớn hơn một Khi đó: F > F2F?

Myo Mya Meat

Dinh ly 2.5.7 Định lý Fermat (FLT1) đúng với moi số nguyên tổ lẻ có dang

Chứng minh

Giả sử rằng P= Fim IF woPy | là một số nguyên tổ lẻ Không mất tính

tông quát, chúng ta có thé lay các giá trị n, sao cho lạ Shy See, 1,

Bây gid, chúng ta có thé chắc rằng pil F„ „ CO Trong trường hợp

Hạ =n; = =n, =1, (*) là đúng ( vì khi đó p=F,, „ ) Trong những trường hợp

khác, ta sẽ đưa ra kết quả sau đề chứng minh cho (*)

E„ >E2 F2 >[F, F, Ï

mn, n,

Vậy là ta đã hoản thành chứng minh (*).

Vi FLT đúng cho các số mũ 3, 5 nên chúng ta giả thuyết rằng p>5 Theo kết quả ở

trên thì ply Vì ø(p)lumm, n, và Fy IF, nên chúng ta có pilF,, va vì vậy

KET LUAN

Luận văn trên đây đã nghiên cứu, khảo sát các tinh chat của các số Fibonacci và

# lễ 15A Đã BAL gs Pe ee eee n Z

các sé liên quan Lucas; việc biêu diễn các hệ số nhị thức » qua các hạng tử

Ker (tid 10}

của số Fibonacci, từ đó rút ra một số đồng dư thức liên quan đến số Fibonacci Từ việc

biểu điển tong các hệ số nhị thức >} BÌ ta thu được công thức cho thương

ter {mod 10} 4

5)

Fibonacci F , Ỉ p , dé rồi từ kết quả trên ta sẽ chứng minh được rằng: Dinh lý lớn

rl

Fermat trường hợp dau tiên sẽ đúng khi lũy thừa là số nguyên tô Fibonacci và số

nguyên tô Lucas.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 L E Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol I, Chelsea, New York 1952,

105, 393-396.

_G H Hardy and E M Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5" ed.,

Oxford Univ Press, Oxford 1981, 148-150.

3 E Lehmer, On the quartic character of quadratic units, J Reine Angew Math.

hey (ind en|

(1), J Nanjing Univ Biquarterly, in press.

10 Zhi-Hong Sun and Zhi-Wei Sun (Nanjing), Fibonacei numbers and Fermat's last

theorem, Acta Arithmetica, 1x.4 (1992).

13 -, Reduction of unknows in Diophan representations, Science in China

(Ser A) 35 (1992), 1-13.

14 H S Vandiver, Extension of the criteria of Wieferich and Mirimanoff in

connec-tion with Fermat's last theorem, J Reine Angew Math 144 (1914), 314-318.

15 D D Wall, Fibonacci series modulo m, Amer Math Monthly 67 (1960), 525-532.

16 H.C Williams, A note on the Fibonacci quotient F„„f p , Canad Math Bull 25

(1982), 366-370.