Luận văn thạc sĩ Đại số và lý thuyết số: Các vành con của trường số hữu tỉ và một số tính chất đặc trưng

Trong lý thuyết đại số về vành giao hoán, các tài liệu tuy không nhằm mục đích nghiên cứu sâu về trường sé hữu tỉ nhưng chúng có môi quan hệ vớitrường số hữu ti có thé ké đến rất nhiêu t

Trần Thị Anh

CÁC VÀNH CON CUA TRUONG SO HỮU Ti

VA MOT SO TINH CHAT DAC TRUNG

Chuyên ngành : Dai số va lí thuyết số

Mã số : 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC

TS TRAN HUYEN

Thanh phố Hồ Chí Minh - 2015

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

U06 10005 l Chương 1 KIÊN THỨC CHUAN BỊ, 2-2 ©52+S£+£E+£Ee£EezEcrxerxeree 3

1.1 Một số khái niệm trong vành giao hoán 2 222 + s+£s+£s2 z2 3

2 4

1.3 Iđêan nguyên t6 và iđêan tôi đại - 2 s-5s+2E2E2EEeEkerkzrerrkerkees 6

1.4 Idéan nguyên sơ Iđêan bat khả quy - ¿2 s+csz£++x+zs+cxees 7

1.5 Vành chính Vành Note - c < xxx nHn HH ngư 10

1.6 Vành các thưƠng - - << +11 HH ngư 12

Chương 2 CÁC VANH CON CUA TRUONG SO HỮU TỈ 14

2.1 Dạng tổng quát của các vành con của trường số hữu tỉ - 14

2.2 Một số ví dụ cụ thé về vành con có đơn vị trong trường số hữu tỉ 20

2.3 Phần tử khả nghịch và phần tử bất khả quy của vành con có đơn vị

trong trường số hữu tỈ -2- 2+ ©5£+S<+Sk£SE 2E EEEEEEEEE 211211212121 re 23

2.4 Đặc trưng nhân tử hóa của các vành con có đơn vị trong trường sô

0001 :ỐỐẴÄẨÄắ 26

Chương 3 MỘT SÓ TÍNH CHÁT MỞ RỘNG TRONG VÀNH CON

CÓ DON VỊ CUA TRUONG SO HỮU TỈ - 313.1 Idéan trong các vành con có đơn vị của trường số hữu tỉ 31

3.2 Cac idéan nguyên tô và các idéan nguyên sơ trong các vành con có

đơn vị của trường số hữu tỈ :- 2-52 2+S£+E£+E£ESEEEEEEEEEEEEErrrrrerrees 33 KET LUẬN 2-52-5522 2EE2E1271211211211271211211211 1121.11.11 111cc 42

TÀI LIEU THAM KHẢO 22+++2222EE1%2++E222E221112222122221xecce 43

MỞ ĐÀU

Trường số hữu tỉ là một trong những trường số tiêu biểu và quen thuộc

của đại SỐ, đặc biệt là đại số giao hoán Nhiều nhà toán học đã thường xuyên sử

dụng những tính chất của trường số hữu tỉ hoặc tập con đặc biệt nào đó của nó

trong quá trình xây dựng lý thuyết hoặc giải quyết các bài toán ở các khía cạnh

khác nhau của đại sô.

Trong lý thuyết đại số về vành giao hoán, các tài liệu tuy không nhằm

mục đích nghiên cứu sâu về trường sé hữu tỉ nhưng chúng có môi quan hệ vớitrường số hữu ti có thé ké đến rất nhiêu tài liệu cúc các tác giả HideyukiMatsumura, R.Y Sharp, Atiyah Macdonal, Khi nghiên cứu về trường số hữu

tỉ thông dụng này, ta có thê vận dụng các tập con hoặc vành con của trường sốhữu ti Œ dé tìm hiểu giải quyết những bài toán trong đại số giao hoán Nhữngcâu hỏi tự nhiên đặt ra là: Tat cả các vành con của trường số hữu tỉ có thé mô tả

được không? Chúng có những tính chất đặc trưng nào?

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trả lời các câu hỏi trên thông qua tìm

hiệu các vành con của trường số hữu tỉ Qvéi cách nhìn là vành các thương của

miền nguyên Z theo tập con nhân §

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chúng tôi trình bày một số khái niệm và mệnh đề được sử dụng trong

chương 2 và chương 3.

Chương 2: Các vành con của trường số hữu tỉ

Trong chương nay, tôi lần lượt phân tích các kiến thức dé mô tả tất cả các

vành con trong trường số hữu tỉ, mô tả các phần tử khả nghịch, phan tử bat khả

quytrong các vành con đó.

Làm rõ một số tính chất đặc trưng của lớp vành con có đơn vị của trường

số hữu tỉ Ợ

Chương 3: Một số tính chất mở rộng.

Trình bày các idéan, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ đồng thời trình bày

về sự phân tích nguyên sơ của iđêan trong các vành con có đơn vị của trường số

hữu tỉ.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Huyén, người Thay đã

trực tiếp hướng dan, giúp đỡ tôi rất nhiều dé hoàn thành luận văn này

Đồng thời, tôi cũng xin chân thànhgửi lời cảm ơn đến các quý thay cô

trong tô bộ môn Đại số nói riêng và toàn thé quý thầy cô khoa Toán — Tin

trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung đã tận tình giảng

dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện

thuận lợi đề tôi hoàn thành luận văn này.

Thành phé Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015

Trần Thị Anh

Chương 1 KIÊN THỨC CHUAN BI

ˆ a se ^ ` +

1.1 Một số khái niệm trong vành giao hoán

Trong luận văn này, vành giao hoán R được nói đên là vành giao hoán

có đơn vị với kí hiệu phan tu đơn vị là 1 Dé cho thuận tiện, ta chỉ viết vành giao hoán R thay cho vành giao hoán có đơn vị R.

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành giao hoán, phan tra e R được gọi là ước

của không nêu tồn tại be R, b #0 sao cho ab =0,

Định nghĩa 1.1.2 Vành giao hoán R được gọi là miền nguyên nêu R

không tầm thường (R # {0} ) và R chỉ có 0 là ước của không

Định nghĩa 1.1.3 Cho R là vành giao hoán Phan tử ve Rduge gọi là phan tứ kha nghịch nếu ton tại ve Rsao cho uv=1 Nếu z khả nghịch thì sự

tồn tại của w là duy nhất Khi đó, » được gọi là nghịch dao của u

Kí hiệu: v=u

Định nghĩa 1.1.4 Cho R là vành giao hoán và a,b e R, phần từ a đượcgọi là liền kếr với phan tử b nếu tồn tại phan tử khả nghịch ø e R sao cho

a=bu.

Định nghĩa 1.1.5 Cho R là miền nguyên, phan tứ pe R được gọi là

phan tir bat khả quy của miền nguyên R khi p thỏa các điều kiện sau:

(i) p +0, p không khả nghịch;

(ii) Nếu p=ab, trong đó a,béR thì ¿ khả nghịch hoặc ø khả nghịch

Định nghĩa 1.1.6 Miền nguyên R được gọi là miễn nhân tứ hóa nêu thỏa

mãn hai điều kiện sau đây:

(i) Moi phần tử 0zøe# va a không khả nghịch đều có sự phân tích

thành tích hữu hạn của các phần tử bất khả quy, nghĩa là

a= PDỊP; D,.

trong đó p, p, p, là các phan tử bat khả quy của R

(ii) Nếu a có hai sự phân tích

A= P¡P;› ), = d4›-.-q, »

với f,s€ và pị,p,, P,„4,4,, q, là các phần tử bất khả quy của

R thì s=z và p, liên kết với g,, với i=1, ,5

Định nghĩa 1.1.7 Miền nguyên # được gọi là vành Oclit nếu có ánh xạ

ô:R\{0) ON

thỏa mãn các điều kiện sau:

() Néu b là ước của a và z0 thì ê(b)< Aa);

(ii) Với mọi đe Rvà bz0 luôn tồn tại cặp phần tử ¿,rcủa R sao

cho a=bq +r với O(r) < G(b) nếu r #0

Định nghĩa 1.1.8 Cho R là một miền nguyên Phần tử pe R được gọi là

phan tử nguyên tổ của R khi

(i) — p#0, p không khả nghịch;

(ii) Nếu p là ước của ab thì p là ước của a hoặc p là ước của b

trong đó a,be R.

1.2 lđêan

Định nghĩa 1.2.1 Cho 7 là idéan của vành giao hoán R Ta kí hiệu Yï là

radical của idéan Ƒ với

VI ={aeR:3neÑ,a" el}.

Dễ dàng chứng minh được VJ cũng là một iđêan của R.

Mệnh đề 1.2.2.R là vành giao hoán Iva J là các iđêan của R Khi đó

Định nghĩa 1.2.4 Cho 7,J là các iđêan của vành giao hoán R Ta định

nghĩa idéan thương

(I:J)={aR:aJ cl}.

Đặc biệt, khi 7 =0thì (0: 7) được gọi là linh tử hóa của 7.

Kí hiệu (0: J) = Ann,(J).

Định nghĩa 1.2.5 Cho ƒ :# —> Š là đồng cấu của các vành giao hoán

() J1a một iđêan của Sthì ƒ Ì(J) là một iđêan của # được gọi là thu

hep của iđêan J trên R Kí hiệu ƒ'(J)=J'.

(ii) — 7là một iđêan của R thì idéan f(/).S là idéan của Ssinh bởi (1)

được gọi là mở rộng của idéan J vào S Kíhiệu ƒ(1)S =1.

Mệnh đề 1.2.6.Giả thiết nhự 1.2.5 và cho I,.1,là các idéan của R, J,,J,

là các idéan của § Khi đó

(i) (+ÙL⁄=1+;

(ii) (Ly =I;

(iii) ŒịJ;)°=J°OJ%)

Mệnh đề 1.2.7.Cho f :R—S là đồng cau các vành giao hoán, I va J

lan lượt là idéan cua R và S Ta có

() Icl";

(ii) J”GJ;:

(iii) I°=I;

(iv) J“=J°.

1.3 Idéan nguyên tố và idéan tối dai

Định nghĩa 1.3.1 lđêan M của vành giao hoán R được gọi là idéan toi

đại khi và chỉ khi

(i) M là idéan thực sự cuaR;

(ii) Khong ton tại idéan 7 cua R thỏa M CICR.

Ménh dé 1.3.2

(i) Rla vành giao hoán không tam thường thì R có ít nhất một idéan

tối đại Do đó, mọi idéan thực sự của R đêu chứa trong mot idéan tối dai nào đó.

(ii) Idéan Icủa vành Rlà idéan toi đại khi va chỉ khi R!L là một

trưởng.

Định nghĩa 1.3.3 Idéan P là idéan nguyên tổ của vành giao hoán khi P

thỏa mãn:

(i) P là idéan thực sự của R;

(ii) Va,be Avà abeP thì aeP hoặc beP.

Tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R kí hiệu là Spec(R)

Mệnh đề 1.3.4 Idéan I của vành giao hoán R là nguyên tổ khi và chỉkhi R/I là một miễn nguyên

1.4 Iđêan nguyên sơ Idéan bat khả quy

Định nghĩa 1.4.1 Cho Q là một idéan của vành giao hoán R Ta nói

răng Q là idéan nguyên sơ của R khi

(i) Q laidéan thực sự cua R;

(ii) Với mọi øb€Ñ và abeQ nhưng a¢Q thì tồn tain e Nsao cho

b"eQ.

Điều kiện (ii) có thé thay thé bang

đi) Với moi abeÑ và abeQ thì aeQ hoặc be JQ.

Nhận xét 1.4.2 Mọi iđêan nguyên tổ và iđêan tối đại của vành R đều là

idéan nguyên sơ.

Mệnh đề 1.4.3 Cho ƒ : R —> S là dong cấu của các vành giao hoán va Q

là iđêan nguyên sơ của Š Khi đó, O° = ƒ ` (Q) là idéan nguyên sơ của R.

Mệnh đề 1.4.4 ChoQ Id idéan nguyên sơ của vành giao hoán R Khi đó,

P=do là một idéan nguyên to của R Hơn nữa, P là idéan nguyên tố nhỏ

nhất chứa Q.Ta gọi Q là P—nguyên so.

Định nghĩa 1.4.5 Cho 7 là idéan thực sự của R, 7 được gọi là có sự

phân tích nguyên sơ nêu I biéu điền được bằng phan giao của các iđêan nguyên

sơ của R, nghĩa là

ï=@@,e© ¬Q,.„,

trong đó ø„ Ñ' và @ là P- nguyên sơ,¿ =], m.

Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiêu nếu thỏa hai điều kiện

(i) — h., P, đôi một khác nhau:

(i) Ø#0,¡i=l

(=l

(Hý

Nếu 7 có sự phân tích nguyên sơ thì ta gọi 7 là iđêan phân tích được.

Nhận xét 1.4.6 Mọi idéan phân tích được đều có phân tích tôi tiêu

Định lý 1.4.7 (định lýthứ nhất về sự duy nhất của sự phân tích nguyên

sa).Cho I là idéan phan tích được của vành giao hoán R Gia sửl có hai sự

phân tích nguyên sơ tôi tiêu:

I=Ø,¬0, ¬0, với neN’, JQ, =P, ¡=l n

(ii) {PPP a(R Bk.

Hệ qua 1.4.8 Cho Ila idéan phản tích được của vành giao hoán R Sự phân tích nguyên sơ tôi tiêu cual như sau:

I=0,0,n ^0, , neNÑ`, JO, =P, với i=1 ,n

Khi đó tập hợp W.,B E) có n phân tử không phụ thuộc vào cách chọn sự

phân tích nguyên sơ toi tiểu, ta gọi tập này là tập các iđêan nguyên to liên kết

cua 1 Kí hiệu: ass,(1) ={B.P, P,}.

Dinh lý 1.4.9 (định lý thứ hai về sự duy nhất của sự phân tích nguyên

sơ) Gia sử I là iđêan phan tích được của vành giao hoán R với

ass,(1) ={R.B, P,)

Cho hai sự phân tích nguyên sơ tôi tiêu của Ì là:

I=0,^0,o ¬0,, neÑÏ với JO, =P, ¡=I, n

và - I=@j¬@tO ¬Q°, neNÑ' với JO! =P, ¡=1,

Khi đó néu P là iđêan nguyên tổ tôi tiểu chứa I thì Q,=Q! voi mọi iE {L "}

Mệnh dé 1.4.10 Cho Ƒ:R—>S là động cấu của các vành giao hoán, J

là idéan phán tích được của S Giả sử

JỞ=Øn0;o n¬0;, neN”, \@'=P, ¡=!1 n

là sự phân tích nguyên sơ của J thì

fi) J*=@ï¬a@;n nQ-, neN' Q* =P*, Vi=ln là sự phân

tích nguyên sơ của J“.

(ii) Nêu f là toàn câu và sự phân tích nguyên sơ của J là tôi tiêu thi

sự phân tích nguyên sơ của J“ cũng là tôi tiêu.

Định nghĩa 1.4.11 Cho 7 là idéan của vành giao hoán R 7 được gọi là

idéan bat kha quy khi I là idéan thực sự và J không thé biéu dién bởi phan giao

cua hai idéan chứa 7ƒ nghiêm ngặt.

Nói cách khác, 7 được gọi là iđêan bất khả quy claR khi 7c Rva nếu

L=l,£©1, với I,, I, là các idéan của thì J =/, hoặc / = /,.

1.5 Vành chính Vành Note

Định nghĩa 1.5.1 Miền nguyên R được gọi là vành chính nếu mọi idéan

của nó đều được sinh ra bởi một phân tử.

Định nghĩa 1.5.2 Cho R là vành giao hoán Ta gọi R là vành Note khi

và chỉ khi mọi day tăng các iđêan của R đều dừng, tức là với mọi day tăng các

idéan của R

l<i< Si,<

luôn tồn tại số tự nhiên k sao cho 7 , =1,., với mọi số tự nhiên ¿

Mệnh đề 1.5.3 Mọi vành Oclit đêu là vành chính

Mệnh đề 1.5.4 Mọi vành chính đêu là vành Note

Mệnh đề 1.5.5 Cho R là vành Note giao hoán Khi đó

(i) Moi idéan thực sự của R đêu biêu điện bởi phan giao của hữu hạn

các idéan bat kha quy cua R.

(ii) I là idéan bất khả quy của R thì I là idéan nguyên sơ

Chứng minh.

(i) Gọi Q là tập các idéan thực sự của # không biểu diễn được bằng phan

giao của hữu hạn iđêan bất khả quy

Gia sử Q4@ Do R 1a vành Note nên trong Q tổn tai ít nhất một phan

tử tối đại, ta gọi lđêan 7 là một phần tử tối đại của ©

Nếu 7 bat khả quy thì ta sẽ viết được 7 =7 “+7, tức là biêudiễn bởi phan giao

của hữu hạn các idéan bất khả quy của R suy ra J ¢Q (mâu thuẫn)

Do đó, 7 không bat khả quy, 7 là thực sự nên tổn tại idéan I,,1, của R sao cho

I=1,1,mà J C1, và C1, Điều này kéo theo 7,,7, là các iđêan thực sự của

R.

Theo cách chon / là phan tử tôi đại của Q nên I,£O và /,£Q Vì 1,,/, thực

sự nên 7,./, biểu diễn qua phần giao của hữu hạn các iđêan bất khả quy

Do đó, / biểu diễn qua phan giao của hữu hạn các iđêan bat khả quy (mâu thuẫn

với J là phần tử của Q).

Vậy Q=@, ta suy ra mọi iđêan thực sự của R đều biểu diễn bởi phan

giao của hữu hạn các idéan bat kha quy của R

(ii) Theo định nghĩa idéan bat kha quy thì 7 là iđêan thực sự của R

Giả sử a,b€# sao cho abel nhưng b ¢/ Ta có day tăng các idéan của R

(I:a)c(I:a?)c c(I:a?)c

ari

Vì R là vành Note nên tôn tai 2 Ñ sao cho (I:a")=(1:a""), với mọi ¡ e Ñ

Ta cần chứng minh / =(/ +a”°R)=(I+bR)

Hiển nhiên 7 c (7 +a"R) OU +bR).

Ta lay bat kỳ phan tử r c(1 + a"R) (1 +R), khi đó r có thé viết

r=g+a°c=h+bd, với g,he1l, c.deR,

suy ra

ra = ga+ca""' = ha + dab.

Vì ab, g, hel nên ta có ca”” = ha + dab — gael, suy ra ce(I:a"")=(I:a"),

kéo theo ce(I:a"), suy ra 4”e c1 Do đó r=g+a'cel, suy ra

(I+a"R)m(I+bR) cl.

Vì J bất khả quy, J=(/ +a"R)A(1 +bR) nên =(I +a"R) hoặc! =(1 +bR)

nhưng b¢/ nên J c/+bR Từ đó, suy ral = 1 +” kéo theo a" el.

Vậy 7 là idéan nguyên sơ.

Hệ qua 1.5.6 Mọi idéan thực sự của vành Note giao hoán R đâu có sựphân tích nguyên sơ Do đó, 1 có sự phân tích nguyên sơ tối tiểu

1.6 Vanh các thương

Định nghĩa 1.6.1 Tập con Scủa vành giao hoán Rduge gọi là ập con nhân của R nêu Š có các tính chat sau:

(i) le S;

(ii) Với mọi s,,s,éeSthi ss,eS.

Mệnh đề 1.6.2.5 /a tập con nhân của vành giao hoán R Ta định nghĩa

quan hệ trơng đương — trên RxS như sau:

(a,s) ~ (bt) © Jue Š: {(fa = sb)=0, V(a,s),(b.t)<RxS.

Khi đó quan hệ ~ là một quan hệ tương đương trên Rx S.

Mệnh đề 1.6.3.Cho $ là tập con nhân của vành giao hoán R

Goi RS” là tập hợp tất cả các lớp tương đương của quan hệ tương đương ~.

Khi đó RS" là vành giao hoán với phép cộng và phép nhân như sau:

0 1

RS"'cá phần tu không là i va phan tie don vi là rh

Ménh đề 1.6.4.Cho Sla tập con nhân của vành giao hoán R Anh xa

-l/3 xà Z ae tae a " :

f:R => RS" là dong cấu chiếu tự nhiên với ƒ (a}= T' Với mọi ae R.

I va J la các idéan của R Khi đó

(i) (IAJƒ=PƑJ?:

(i) (NT) =vr;

(iii) IS =RS' SINS #2.

Chương 2 CÁC VÀNH CON CUA TRUONG SO HỮU Ti

2.1 Dạng tong quát của các vành con của trường số hữu tỉ

Mệnh đề 2.1.1 Cho A là vành con bất kỳ của trường số hữu tỉ Q Gọi

15 Vậy M là vành con của Z.

Mệnh đề 2.1.2.Cho A là vành con bat kỳ của trường số hữu ti Q Gọi

tập hợp S$ = i" EN’ :3meZ,—eA, (m,n) = |} Khi đó § là tập con nhân Hon

Vậy S là tập con nhân của vành các số nguyên

dsao cho n= pd Vì me S nên tồn tại meZ sao cho “eA, (m,n)=1 Ta có

n

qe MB ea,

n on pd p

Vì (m,n)=1 nên (m, p)=1, suy ra peS.

Vay mọi ước nguyên tô của ø trong S$ đều thuộc S

Nhận xét 2.1.3.

(i) O€S:

(ii) — Theo kết quả của 2.1.1 và 2.1.2, tập $ các mẫu số của các phan

tử(phân số) tối giản trong vành con Acta trường số hữu tỉ @ là tập con nhâncủa Z, tập M các tử sé của các phần tửtôi giản trong vành con A của trường số

hữu tỉ Ÿ là vành con của 2 Dựa vào khái niệm vành các thương của vành giao

hoán R theo tập con nhân ®, ta thực hiện ý tưởng mô tả các vành con A của

vành số hữu tỉ @ ngay sau đây

Định lý 2.1.4 Cho M là vành con của Ö, Slà tập con nhân của © sao cho mọi ước nguyên tô củan đều thuộc S với neS Khi đó vành các thương

Đểchứng minh các vành thương A= M.S‘ là vành con của Q Ta sử

dụng tiêu chuân vành con.

Nếu A là một vành con bat kỳ của trường số hữu ti, thi A déu có dang

như trên Điều này đã được chứng minh rõ ràng qua 2.1.1, và 2.1.2

Nhận xét 2.1.5.

(i) — Mỗi vành conA=M.S ‘cua trường số hữu tỉ @ đều là vành con

của Z§”' Theo cách nhìn này, lớp các vành con có đơn vị của Œ

đều ở dang ZS ', trong đó S$ là tập con nhân có tính chất như

2.1.3 Từ đây ta bắt đầu nghiên cứu những tính chất của lớp vành

có đơn vị ZS" của trường số hữu ti Q

(ii) Việc xác định vành con 4$ `" phụ thuộc vào cách xác định tập con

nhân S$ có tính chat đã nêu

Với vành con A=ZS' = ‘2 :meZneSs \ Ta goi tap hop

nP(A)={peP:peS},

trong đó kí hiệu P là tập hợp số nguyên to Hiển nhiên P(A) là tập con của tập

hợp các số nguyên tố

Liệu có thể có sự tương ứng | - 1 giữa tập hợp các tập con của tập số

Nguyên tố và tập các vành con có đơn vị của trưởng số hữu tỉ hay không ?Câu

hoi sẽ được tra lời thông qua các mệnh đề dưới đây

Mệnh đê 2.1.6 Néu A,, A, la các vành con có đơn vị của trường số hữu ti

Ó mà P(A,)= P(A,) thì A, = A,.

Chứng minh.

Ta giả sửA,=2S;', A, =ZS;'.

Lay ae %, Ta có z là số nguyên đương nên luôn có sự phân tích

trong đó p, là các số nguyên tố, k, eNÑ.¡ =1 n

Do đó p, e P(A,) với mọi ¡ =1, 2 mà P(A,) = P(A,)nên ta có

p, € P(A.) © p, e P(A,),Vi=l,n

© p".p?" ph 6S,

eaeS,

Suy ra S, =S,.

Vay A, = A).

Mệnh đề 2.1.7 ChoT là tập con bat kỳ của tập số nguyên tổ Khi đó ton

tại vành con có đơn vị Á của trường số hữu tỉ sao cho P(A)=T.

Chứng minh.

Ta gọi S$ là tập các số tự nhiên sinh bởi các phan tử trong P(A) theo phép nhân

s~|senis=[]pineNty,eNp cr|

del

Dé dàng chứng minh được $ là tập con nhân có tinh chat mọi ước nguyên tố của

phan tử trong § đều thuộc $ đông thời tập các số nguyên tổ của $ bằng 7.Theo 2.1.4, ta có A=ZS"' là vành con có đơn vị của trường số hữu tỉ với

P(A)=T.

Hệ qua 2.1.8 Qua 2.1.6 và 2.1.7, ta nhận thấy tương ứng moi tập con của

tập hợp các so nguyên to cho ta một vành con có don VỆ của trường số hữu tỉ có

Chứng minh.

Dễ thay A, +A, cA

Lay pe Athi aeZ va be N* sao cho tôn tai i,j ¢ N sao cho

Ngược lai, A= A, + A, dé đàng suy ra P(A)= P(A,)U P(4,).

Trong trường hợp tông quát, ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp như sau:

e Vớin=2, (*) đúng.

e Giả sử (*) đúng với n=k tức là

A=A,+A,+ +A, © P(A)= P(A)U U P(A,).

Gọi A,,, là một vành con có đơn vị bat kỳ của trường số hữu ti Nếu A’ là vành

con của Q mà P(A’) = P(A,)©2 ©2 P(A,) C2 P(A, ,,).

Ta có

P(A’) = P(A) 2 2 P(A,) U P(A,,) = P(A) YU P(A,,,)

@ A'=A+A,,,

SAHA +A, 4+ 4 AL,

Suy ra (*) ding voi n=k +1.

Vậy (*) đúng với Vn 22.

Theo 2.1.8, môi tập con của tập số nguyên to cho ta một vành con có đơn

VỆ tương ứng của trường so hữu ti Sau đây ta xét một số vành con có đơn vị cụ théva xem xét các phan tử khả nghịch, các phán từ bat kha quy của các vành con đó.

2.2 Một số ví dụ cụ thể về vành con có đơn vị trong trường số hữu ti

Ví dụ 2.2.1 Trường hợp P(A) ={p} p là số nguyên tố Ta có

S={p'ieN}