Luận văn thạc sĩ Đại số và lý thuyết số: Các L hàm số học và định lý Dirichlet về các số nguyên tố

Năm 1837, Dirichlet đã chứng minh được một kết quả rất nỗi tiếng về sự phân bố của các nguyên tố mà các nhà toán học gọi nó là định lý Dirichlet về sự phân bố của các số nguyêntố.. Một t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

Nguyễn Minh Châu

LÝ DIRICHLET VE CAC SO

NGUYEN TO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC

Thành phố Hồ Chí Minh — 2016

Nguyễn Minh Châu

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC:

PGS.TS MY VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh — 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự hướng dẫn

khoa học của PGS.TS My Vinh Quang Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề

tai nay là trung thực và chưa công bố dưới bat kỳ hình thức nào trước đây.

Ngoài ra, trong luận văn có tham khảo và sử dụng một sé thông tin, tài liệu từ các

nguồn sách, tiêu luận được liệt kê trong danh sách các tài liệu tham khảo Nếu pháthiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toản chịu trách nhiệm về nội dung luận

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, bằng tất cả sự kính trọng của mình, tôi xin bay tỏ lòng biết ơn đến

PGS.TS My Vinh Quang — người Thay đã tận tình giảng day và hướng dẫn khoa họcgiúp tôi hoàn thành luận văn này tại Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Tôi

vô cùng may mắn khi được Thầy thường xuyên chỉ dẫn nghiêm túc cùng sự độngviên khích lệ dé có được sự tự tin và đam mê trong nghiên cứu và hoàn thành luận

văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy — cô khoa Toán — Tin Trường Dai học

Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho lớp Toán Đại số và lí thuyết sốK25 Xin được cảm ơn quý thầy — cô trong Hội đồng khoa học đã đọc và cho những

ý kiến xác đáng Xin cảm ơn phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt

quá trình học tập tại trường.

Tp.Hồ Chí Minh, Ngày 03 tháng 09 năm 2016

Học viên

Nguyễn Minh Châu

2.2 Chuỗi Dirichlet với hệ số đương - 2-2 2 +52 ££E£EE+E£EeEEEEErEerkerxee 15

2.3 Chuỗi Dirichlet thông thường ¿- ¿2-5252 SSS+2E£E£E++EE£Eezzxezxerxerxee l6

CHƯƠNG 3: CÁC L - HAM SO HỌC VÀ ĐỊNH LÝ DIRICHLET 18

3.1 Đặc trưng của nhóm Abel hữu hạn - 5 +5 +2 + E++veeeeeeeeerseeree 18

3.2 Các Zeta — hàm c+ct 1 E1 11211211211211211211211 2111111111111 crreu 24

3.3 9.0.5 28 3.4 Độ trù mật và định lý Dirichilet - - 5 22c 33+ E++*EEE+eEseeeseesesrezss 31

3.5 Một số Ứng CUI o.ceecessessessssssssssessscsussessessessessessessussessessessessessssessessesseeseeseess 34

3.6 Độ trù mật tự nhiên 2-2 £+S£+E£+E2EE+EE£E2EEE21121121121121121121 21 re 35

4800.0077 3SỶ.A ,ÔÔ 37TÀI LIEU THAM KHAO 2- 2-2 2s sSsSs£Ss£Ss£Ss£ss£ssessessesessesse 38

N(S ) - tap các số nguyên >1 mà có ước trong S

¢(n) - ham Euler của số nguyên dương n

Arg(z) - Argumen của số phức z

G= Hom(G,C') - tập hợp các đặc trưng của G

G(m)=(Z/ mZ) - nhóm nhân các phan tử kha nghịch của vành Z / mZ,

MỞ ĐẦU

Số nguyên tố là số rất quan trọng trong toán học, nó được sử dụng rộng rãi trongtoán học Từ xưa, các nhà toán học đã cố gắng nghiên cứu về nó như sự phân bó, tínhchất các số nguyên tố, sự liên quan của số nguyên tố với các số khác Năm 1837,

Dirichlet đã chứng minh được một kết quả rất nỗi tiếng về sự phân bố của các nguyên

tố mà các nhà toán học gọi nó là định lý Dirichlet về sự phân bố của các số nguyêntố

Có rất nhiều người đã chứng minh định lý Dirichlet bằng nhiều cách khác nhau

Một trong các chứng minh định lý Dirichlet là sử dụng các tính chat của các L — hàm

số học — một hàm đóng vai trò rat quan trọng trong lý thuyết só.

Trong luận văn này, tôi sẽ trình bày về các cách xây dựng L — hàm số học và

chứng minh định lý Dirichlet và một số ứng dụng của chúng

Luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ bản

Trong chương này sẽ giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ bản cần cho các

chương tiếp theo Chăng hạn như: các khái niệm, tính chất cơ bản trong SỐ học; một

số kiến thức cơ bản của giải tích phức, lý thuyết chuỗi

Chương 2: Chuỗi Dirichlet Trong chương này sẽ giới thiệu chuỗi Dirichlet và một số tính chất của nó để sử

dụng cho chương 3.

Chương 3: Các L— hàm số học và định lý Dirichlet

Đây là chương chính của luận văn Trong chương này sẽ trình bày cách xây

dựng, nêu các tính chất các Zeta — ham và L — hàm số học dựa vào đặc trưng của

một nhóm; ứng dụng của nó dé chứng minh định lý rất nỗi tiếng trong lý thuyết số

đó là định ly Dirichlet về sự phân bố của các số nguyên tố trong tập số tự nhiên

Vì thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn chắc không tránh khỏi những

thiếu sót Chúng tôi mong nhận được những đóng góp ý kiến của thầy — cô và các

bạn.

CHƯƠNG 1: CÁC KIÊN THỨC CƠ BẢN

1.1 Hàm Euler

Định nghĩa 1.1.1 Ham số ¢-Euler, ký hiệu bởi ó(n), của một số nguyên dương

n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n nguyên to cùng

nhau với n.

Mệnh đề 1.1.2 Cho n là số nguyên dương Giả sử n= p`p?° Pp" trong đó

p,„L=l;s là các số nguyên tô đôi một khác nhau Khi do:

Dinh nghĩa 1.2.1 (Thang du chính phương — thang du không chính phương) Cho

m là số nguyên dương và a số nguyên to cùng nhau với m Nếu dong dư thức

+? =a(modm) có nghiệm thì ta nói rằng a là một thang dư chính phương của m.

Ngược lại, nếu dong dư thức x =a (modm) không có nghiệm thì ta nói rằng a là

mot thang du không chính phương của m.

Định nghĩa 1.2.2 (Ký hiệu Legendre) Cho p là số nguyên to lẻ và a là một số tu

nhiên Ký hiệu Legendre ($] được định nghĩa như sau:

P

0 nếu p chia hết a

B = 1 néu a la thang du chinh phuong cua p

P —1 nếu ala thang du không chính phương cua p

Định nghĩa 1.2.3 Nếu n là số nguyên lẻ, đặt é(n),@(n) là phan tử của Z/2Z,

được định nghĩa bởi:

Định nghĩa 1.3.2 i) Ham ƒ được gọi là chỉnh hình tại z, nếu nó - khả vi tại

lân cận nào đó của điểm z, Ham f được gọi là chỉnh hình trên miễn D nếu nó

chính hình tại mọi điểm của D.

ii) Hàm ƒ (z) chỉnh hình tại điểm vô cùng nếu ham ø(z) = s() chinh hinh tai

x

diém z=0.

Mệnh dé 1.3.3 Nếu ƒ (w) là ham chỉnh hình trong D` và nếu g:D—>D" là

hàm chỉnh hình trong D thì hàm hop ƒ (g (z)) chỉnh hình trong D.

Mệnh đề 1.3.4 Cho U là tập con mở của C và cho ƒ, là dãy các hàm chỉnh hình

trên U hội tụ déu về hàm ƒ trên mỗi tập compact Khi đó ƒ là chỉnh hình trong U

và đạo hàm ƒ, của ƒ, hội tụ đêu về đạo hàm f' cua ƒ trên mọi tập con compact

Chứng minh:

Ta chứng minh ngắn gọn sau đây:

Cho D là đĩa đóng chứa trong U và lay C bị chặn Theo công thức Cauchy, ta có

Định nghĩa 1.3.6 (Điểm bat thường)

i) Z, được gọi là điểm bat thường của ƒ nếu ƒ không chỉnh hình tai LÊ

li) z, được gọi là điểm bắt thương cô lập của ƒ nếu ton tại một lân cận bán kính

5 >0 sao cho trong lân cận đó của hàm ƒ không có điển bat thườngn ào khác.

iii) z, được gọi là điểm bat thường cot yêu nêu không ton tại số nguyên n dương

sao cho lim(z—z,) f(z)=A#0.

iv) 2, được gọi la diém bat thường bo được của f néu lim f (z) ton tai.

Ito

sa a ` , ` sa a ` , ` I

v) Điểm bat thưởng của f tai z =% là diém bat thường của ham f Ế tại 4w = ()

w

Dinh nghia 1.3.7 (Điểm cực) z, được gọi là điểm cực bậc n của hủ (z) nếu ton

tại số nguyên n dương sao cho

i) Nêu chuối Yb, hội tụ thi chuối Ya, hội tu.

it) Neu chuối Ya, hội tu nhưng chuối >.laj phản kỳ thì ta nói chuối Ya, la

wel net axel

ban hoi tu.

Mệnh dé 1.4.4 Cho (a,) là day giảm, a, >0,lima, =0 Cho (b,), là day bắt

Aw

ky Gia sứ có hãng số C >0 sao cho với mọi neN, <C Khi đó chuỗi > a,b,

hội tu và tổng § = Ya, thoa Ñ | = Ca,.

asl

Định nghĩa 1.4.5 (Day ham) Cho một day với các phan tir là các hàm số:

xác định trên tập DCR nào đó.

Ta gọi dãy trên là dãy hàm số hay đơn giản là day hàm và ký hiệu là { if (x)}

Định nghĩa 1.4.6 Day ham | f,} được gọi là hội tự điểm về hàm số ƒ trên D

neu với mọi xe D và mọi e >0 tổn tai N >0 sao cho với moi số tự nhiên n> N

ta có | (x)- f(x) <£ Khi đó ta viết f > f.

Định nghĩa 1.4.7 Day ham số { f (x)} được gọi là hội tu đều trên D về hàm số

fix) néu Ve > 0,3n, EN, Vn 2 n,, 0x € D:|f,(x) = f (x)| <£.

Định nghĩa 1.4.8 Cho day ham { f (x)} xác định trên tập DR Tổng hình

thire:

F(x)+ f(x) +4 f (x)+ <> £(x)

goi là chuối ham số (hay chuối hàm trên D).

Định nghĩa 1.4.9 (Sự hội tu cua chuối hàm) Với mọi n eÏÑ, ƒ:IcEBE, chuối

ham tương ứng ký hiệu là ›» if Nếu với phan tử xe 1, chuỗi số pa (3) hội tụ thi

Mệnh đề 1.4.10 Cho chuỗi hàm ¥ ƒ (x) xác định trên D Nếu chuối Ÿ` £ (x)

hội tụ tại mọi xe D thì tổng của nó là một hàm số f (x) nào đó Tổng này được

xúc định bởi:

f(x)=limS, (x)

trong đó S, (x) là tông riêng

S.(x)=#(x)+£(x)+ +/,()

tap D, S là tông cua no Ta nói răng chuối hàm hội tụ đêu trên D nêu day tông riêng

{S,} hội tụ déu về hàm S trên D

Mệnh đề 1.4.13 (Tiêu chuẩn Cauchy về hội tu déu của chuối hàm) Chuối ham

> F(x) hội tự đều trên D khi và chỉ khi:

Khi đó chuối hàm hội tụ tuyệt đối và đêu trên D

Định nghĩa 1.4.15 (Chuối lity thừa) Chuối lity thừa là chuối có dang

Sa( x—x,}`, x, là tâm của chuỗi.

Mệnh dé 1.4.16 Cho chuỗi lay thừa là chuỗi có dang Ÿ`a,(x—x,)` Giả sử

i) Chuỗi Sa, (x—x,}ˆ hội tự về hàm u trên (x,— Rix, +R).

at

it) Chuỗi Ya, (x—x%, } phán kỳ khi |x = x,| >R.

iti) Hàm u khả vi và u'(x)= ina, (x—x,)"",Wxe(x, — Rix, + R).

Dinh nghĩa 1.4.17 (Chuối Taylor của ham số) Gia sie ƒ :(a;b) > là hàm kha

ví mọi cấp tại x, 6(a:b) Chuối có dang:

yi) (x-x} =f (%) J th ( —x,)+ Lo), —X,) +

gọi là chuỗi Taylor của f tại x,.

Bồ đề 1.4.18 (bố đề Abel) Cho (a, ).(b,) là hai day Đặt:

Khi d6 ta có:

Chứng minh:

Ta có: $= Sa, =4 b + b3 a,b,

Thay a =A_ _—=A_ ta được:

Sw = a,b, + (A wai), =4,b, +S ALb b- SA b,

Reomel

newt ‘~§ nere’-1

=a,b,+ 2, A, b+A,,b, => A, ,b.,=A,,b,+ 3, A, b- >A, b+ A.b,

.—% n~re+| nmn

CHƯƠNG 2: CHUOI DIRICHLET

2.1 Chuỗi Dirichlet

Định nghĩa 2.1.1 Cho (2Ã, ) là day tăng các sô thực tiên den + Ta giả sử rang

2, >0 Chuối Dirchlet với số mũ (A) là chuối có dang

(b) 2, =n Bang cách đặt ¢ =e *, chuỗi trở thành chuỗi lũy thừa

Mệnh đề 2.1.3 Néu chuối ƒ (z)= “* hội tụ tại z =z, thì nó hội tụ đều trong

mọi miền có dạng R ( zZ- Z) > 0, Arg (z -% ) <a voia< 5°

(Ở đây và tat cả về sau, R(z) được hiểu là phân thực của số phức z.)

Chứng minh:

Ta có thé thực hiện phép tịnh tiến với z nên ta có thé giả sử rằng z„ =0 Theo giả

thiết chuỗi Ð a, hội tụ Ta phải chứng minh chuỗi hội tụ đều trên mọi miễn

R(z)20, |z|/ R(z)<

Lay e >0 Từ chuỗi Sa, hội tụ, tồn tại số N thỏa nếu m,m'> N, ta có |4, wl sé

(ký hiệu như ở bô dé 1.4.10) Áp dụng bé dé 1.4.10 với b, =e *", ta được

Suy ra: chuỗi hội tụ đều Oo

Hé qua 2.1.4: Nếu chuỗi f hội tụ tại z=z„ thì chuối f hội tụ với mọi z thỏa

(Ta xem @,© như nửa mặt phăng mở.)

Nếu nửa mặt phăng hội tụ được cho bởi R(z)> p, ta nói ring p là hoành độ hội

tụ của chuỗi được xét.

(Trường hợp Ø,Ê thì tương ứng là = +, =~—%®).

Nira mặt phang hội tụ của chuỗi > Ia, le * được gọi là nửa mat phang hội tụ tuyệt

đối của ƒ hoành độ hội tụ được ký hiệu là ø' Nếu A, =n (chuỗi lũy thừa), khi đó

ø=p' Điều này không đúng trong trường hợp tông quát Ví dụ đơn giản chuỗi L:

L(z)=1-1/3' +1/5' -1/7' +

tương ứng ø=0, p” =1 mà ta sẽ thay ở phan sau

Hệ quả 2.1.6: f(z) hội tự về f(z,) khi zz, trong miền:

Ta xét a, Ta nhân ƒ với e“° và cho z tiền đến +00 Theo sự hội tụ đều thấy rằng

ef tiến đến a, nên a, =0 Tiếp tục tương tự cho các hệ số còn lại O

2.2 Chuỗi Dirichlet với hệ số dương

Mệnh đề 2.2.1 Cho ƒ = ae" là chuỗi Dirichlet mà có các hệ số thực a >0.

Giả sử ƒ hội tu trong miễn R (z)>/ø.øeÌE, và hàm ƒ có thể mở rộng thành hàm

chỉnh hình trong lân cận của điểm z= p Khi đó ton tại số e >0 thỏa ƒ hội tu trong

miễn R(z)> p-e

(Một cách khác, miễn hội tụ của f bị chặn boi các điểm kỳ dj của f trên trục thực.)

Chứng minh:

Sau khi thay z bởi z — Ø ta có thé giả sử rằng ø =0 Từ f là chỉnh hình với R(z) >0

va trong lân cận của 0, nó chỉnh hình trong đĩa \z — | <l+£, với £ >0 Trong trường

hợp này thì chuỗi Taylor hội tụ trong đĩa này Theo mệnh đề I.3.2, đạo hàm cấp p

của / được cho bởi công thức

chuỗi này hội tụ.

Nhung (—1)” f°" (1)= 5 Ara là chuỗi hội tụ với số hạng dương.

Do đó chuỗi đôi với số hạng đương

(-s)= ya, —(I+e£)} A’e*

m P5

hội tụ Sắp xếp lại các số hạng, ta được

e)= Dae” Ln (ite) 4

=5 aete =) ae

điều nay cho thay rằng chuỗi Dirichlet đã cho hội tụ tai z=—£ do đó cũng hội tu

trong miền R(z)>-e O

2.3 Chuỗi Dirichlet thông thường

Đây là trường hợp A, =Inn Chuỗi có dang tương ứng

_ “nh

Mệnh đề 2.3.1 Néu a, bị chặn thi ƒ hội tụ tuyệt đổi trong miễn R(s) >]

Chứng minh:

Do a, bj chặn nên tồn tại M >0 sao cho \a,| <M.

Khi đó: 3 » n’ Lư ơnwel ¬ Ì

—>| hội tụ.

Do R(s)>1 nên Ls

‘he )

Vậy £ hội tụ tuyết đối trong miền io >1 oO

Ménh đề 2.3.2 Néu tổng riêng A, = Ya, bị chan thi f hội tu (có thể không tuyệt

đối) trong miễn R(s) >0

Cho G là nhóm Abel hữu han theo phép nhân.

Định nghĩa 3.1.1 Đặc trưng của G là một dong cấu của G vào nhóm nhân các

số phức Ö`,

Tập tat cả các đặc trưng của G tạo thành nhóm Hom(G.C') mà ta ký hiệu là G.

Ta gọi G là đối ngẫu của G

Vi du 3.1.2: Gia sit G là nhóm cyclic cấp n sinh bởi s Nếu z:G =>” là đặc

trưng của G, phan tử w= x(s) thỏa mãn w* =1, nghĩa là w căn bậc n của đơn vị.

Ngược lại mỗi căn bậc n của đơn vị w xác định đặc trưng của G theo cách s” > w#,

Do đó ta thấy rang ánh xạ ¿ > Z(s) là một đăng cấu của G vào nhóm /¿„ các căn

bậc n của đơn vị Trong trường hợp này G là nhóm cyclic cấp n

Mệnh đề 3.1.3 Cho H là nhóm con cua G Mọi đặc trưng của H đều được mở

rong thanh đặc trưng của G.

Chứng minh:

Ta sử dụng quy nap theo cấp (Œ: #7) của H trong G

«Nếu (G:H)=1 thì H =G thì hiển nhiên đúng

« Nếu (G:H)=k=2, gia sử mệnh dé đúng với các nhóm con K của G thỏa

(G:K)<k.

Lay x là phan tử của G không nằm trong H và lay ø >1 là số nguyên nhỏ nhất

thỏa x' EH Lay x là một đặc trưng của H và đặt r = z(x`) Do C là nhóm chia

được nên có thê chon phân tử wel’ thỏa w" =f.

Đặt H' =(H x) là nhóm con của G sinh bởi H và x; mỗi phan tử h'e #7' có thé

viết dưới dang: h'=hx" voiae#,heH

Dat:

x (h’)= x(h)w

cách đặt trên không phụ thuộc vào cách biêu diễn hx” của h' và y':H'->C' là đặc

trưng của H' mở rộng của 7 Thật vay, giả sử ta có h'—=ñ,x°* =h,x”, trong đó

Chú ý: Phép toán thu hẹp xác định một đồng cầu

Ø0:G->H

và từ mệnh dé 3.1.3 thấy rằng p là toàn cấu Hơn nữa, hạt nhân của p là tập tất cả

các đặc trưng của G tam thường trên H; do đó nó là đăng cau đến nhóm (G/ HÌ là

đối ngẫu của G/H Từ đó có dãy khớp:

{}>(G/H)>G>H ¬{.

Mệnh đề 3.1.4: Vhóm G là nhóm abel hữu hạn có cùng cấp với G

Chứng minh:

Sử dụng quy nạp theo cấp n của G

e© Trường hợp n=1 là hiên nhiên

© Nếu ø >2 chọn nhóm con cyclic không tầm thường H của G Theo chú ý trên,

cấp của G bằng tích của cấp nhóm # với nhóm (G /H ) Nhung cap của H (tương

ứng G/H) bang với cấp của đối ngẫu vì là nhóm cyclic (tương ứng G/H có cấp

hoàn toan nhỏ hơn n) Từ đó ta kết luận cấp của G bang tích cap của H với cấp G/H,

Do G và G có cùng cấp nên dé chứng minh £ là đăng cau ta chi cần chứng minh

£ là đơn cau, nghĩa là néu x ¢ G, x #1, ton tại đặc trưng 7 của G thỏa mãn x(x) #1

Bây giờ lay H là nhóm con cyclic của G sinh bởi x Rõ rang ton tại đặc trưng 7

của H thỏa Z(x)#l (như ví dụ 3.1.2) và theo mệnh dé 3.1.3 thấy rằng 7 mở rộng

thành đặc trưng của G; từ đó ta có điều phải chứng minh L]

Euler của m Phan tử thuộc đối ngẫu của G(m) được gọi là đặc trưng modul m; nó

có thé xem như là một ham, xác định trên tập các số nguyên tổ với m, với giá trị nằmtrong ©’, và thỏa mãn y(ab)= z(#) x(b) Ta có thé mở rộng đặc trưng 7 lên Z

bang cách đặt y(a)=0 nếu a không nguyên tổ với m

3) m= p với p là số nguyên tố khác 2 Nhóm G/p) là nhóm cyclic cấp p—l do

đó có đặc trưng duy nhất cap 2 là đặc trưng Legendre xb (=)

4) m=7.Nhom G(7) la nhóm cyclic cấp 6 do đó có hai đặc trưng cấp 3 liên hợp phức Một trong số chúng được cho bởi

z(x)=1 nếu x=+1(mod7)

z(x)=e?”? nêu x =+2(mod7)

z(x)=e'”” nêu x =+3(mod7)

Cac đặc trưng cap 2 liên hệ chat chẽ với đặc trưng Legendre Một cách chính xác

hơn thì:

Mệnh đề 3.1.9 Cho a là số nguyên không chia hết cho số chính phương khác |

và lay m= 4|a| Khi đó ton tại duy nhất đặc trưng y, modul m thỏa Z.(P)= B

P

với mọi số nguyên tô p không chia hết m Hơn nữa, 7? =1 và ÿ, #1 nếu a1.