Luận văn thạc sĩ Đại số và lý thuyết số: Các PI. đại số không có Nil - Ideal khác (0)

Như chúng ta đã biết nhà toán học Wedderburn đã chứng minh được "Định lý day đặc”,còn trong Pl.dai số ta có định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky, đã đặt nên móng trong việc xâydung câu trú

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HÒ CHÍ MINH

NGUYÊN ĐÌNH HIEN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TP.HÒ CHÍ MINH - NĂM 2003

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP.H6 CHÍ MINH

NGUYÊN ĐÌNH HIEN

CHUYEN NGÀNH : ĐẠI SỐ

MÃ SÓ : 1.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

MỤC LỤC

ESDDMIE)IAUE, 2 25255555555<556222214160022121100/22312000/2230100720144301022134190021234160023134160122311400:22111164122716101e |

CHƯƠNG |: MOT SO KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHAT VE VÀNH KHONG GIAO HOÁN 3

1,1): Cau trúc Radical (Jacobson) của WARE sisissssessssssssssssssssasssssssissssnssscsssviassasssvaassanssvinnsonenvas 31,2: MSt vành đặc ĐIỆN: cacooiioiipooiiioiipootdddtddtidtiititi4i351140081038113005810851130558135511305581185138 91.3 Mối quan hệ giữa các vành nửa đơn vành Artin vành đơn 255c25ccccccccce II

va 0 -:444.44 13CHƯƠNG2: CAC PI ĐẠI SÓ TREN VÀNH GIAO HOÁN CÓ DON VỊ 15

2.1 PL dai số trên vành EläDIRoBn:G0.đ0BIVI ssciccsssscsssssscessssessscassessssaccesassessseaczessesesezsasseaas 152.2 Dinh lý Kaplansky - Amitsur - LevitZzky : HH rớt 192:3 Pathe tam cits Gai 90 ma iÏftinpnoiniotuiiiioiiniininiiiintininiintititiottiiiitiittiiiitiitdiigttriea 30

CHƯƠNG 3: MOT SO KET QUA NGHIÊN CỨU CAC PI ĐẠI SO KHONG CÓ

NIL-IDBAL KHAC KHONG: sisssiisiiissiicciiissiciciniicnnininnniininnniimaimnainnna 34

3.1 Tông quan về lớp vành không có nil-ideal khác KhONg csscecssseecsssecessecsssecesseeessseee 343.2 Đồng nhất thức thực sự của đại số nguyên tỖ 222-2222c222zc2CEvrErrrrrrrrrrrrrrcee 393.3 PI.đại số không có ideal lũy linh khác 0 -22-222+2222xccEExeeEEkxrerrrrrrrrrrrrrrrrre 48

KET LUẬN - ST 11 1 1 1111111111311 11111111111 1111111111111 11111111 111111111111 rry 51

LOI CAM ON

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tôn kính Quý Thay, Cô trong tô Dai số Trường Đạihọc Sư phạm TP Hỗ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh đã trang

bị cho tôi đủ kiến thức làm nén tảng cho quá trình viết luận van nay, cùng toàn the Quy Thay, Cô

Khoa Toán, Phòng Khoa học Công nghệ & Sau Đại Học và Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP

TP.HO Chí Minh, cùng các bạn đồng nghiệp Trường Cao dang Sư phạm Binh Thuận, đã tạonhiều điều kiện thuận lợi dé tôi học tập và nghiên cứu hoan thành chương trình khoa học Tôi xinchân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đôi với thay PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướngdẫn, giúp đỡ, chỉ bảo trong quá trình xây dựng hoàn thành luận văn này

Quá trình xây dựng luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự động viên vẻ mat tinh than củacác học viên cao học khoa 11 Xin các anh, chị cùng toàn the các bạn ghi nhận noi đây một tamlòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất

Tác giả luận văn.

LOI MỞ DAU

Mục đích của luận văn này là: Từ các kết quả định lý Kaplansky-Amitsur-Levitiky trên

PI đại số nguyên thủy, mở rộng dan kết quả đó trên lớp các PI dai số không có nil-ideal khác

(0) và trên lớp các PI đại số không có ideal lầy linh khác (0) Đồng thời hệ thong lại một số kiếnthức cơ bản có liên quan, nhằm làm cơ sở lý luận cho việc trình bày các kết quả nghiên cứutrong luận vẫn nay.

Như chúng ta đã biết nhà toán học Wedderburn đã chứng minh được "Định lý day đặc”,còn trong Pl.dai số ta có định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky, đã đặt nên móng trong việc xâydung câu trúc đại số đơn, dong thời mở ra những phương hướng nghiên cứu mới trong toán học.Sau những kết quả quan trong Hày, nhiều nhà toán học trên thể giới đã phát triển và mở rộngcác kết quả này theo nhiều hướng khác nhau

Do phạm vì nghiên cứu của đề tài, trong luận văn này không thể đẻ cập hết được các

công trình nghiên cứu của các nhà toán học nói trên, mà luận văn chì trình bày những kết quả

nghiên cứu theo định hướng nói trên cho lớp PL dai số không có nil-ideal khác 0 và trên lớp các

PL đại số không có ideal lay linh khác (0) Tuy nhiên một số định lý, bồ đề và hệ quả ở chương Iluận văn bỏ qua phép chứng mình (do đặc điểm của chương 1) mà chỉ néu ra để vận dung, làm

cơ sở cho các phép chứng mình các kết quả ở chương 2 và chương 3

Nội dung luận văn được chia thành ba chương như sau:

CHUONG |: Một số khái niệm vả định lý vẻ vành không giao hoán.

Trong phan này chủ yếu trình bày một số khái niệm, định lý, bỗ đè cơ bản đã có sẵn về

vành không giao hoán nhằm đặt nền móng cơ sở lý luận cho các chương 2 va chương 3 như: cấu

trúc Radical Jacobson của một vành, khái niệm vành nửa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy và

mỗi quan hệ giữa chúng Đặc biệt là định lý day đặc của Wedderburn.

CHƯƠNG 2: PL Đại số trên vành giao hoán có đơn vi

Hệ thông hóa các kiến thức chung nhất vẻ PI.đại số trên một vành giao hoán Nội dung

cơ bản nhất trong chương nảy lả giới thiệu hai định lý có vị trí quan trọng, nhằm đặt nén móng,

định hướng cho việc mở rộng nghiên cứu trên các lớp PLđại số rộng hơn, đó là định lý

Kaplansky- Amitsur-Levitzky trên đại số nguyên thủy

CHƯƠNG 3; Một số kết quả nghiên cứu các PI đại số không có nil-ideal khác không.

Đầu tiên trình bày một sé kết quả nghiên cứu những đặc điểm đặc biệt về cấu trúc của lớp

vành không có nil-ideal khác (0), nhằm giúp chúng ta có một cách nhìn tong quan vẻ lớp vành

khá đặc biệt này và tiếp theo là trình bày các kết quả nghiên cứu theo hướng mở dan định lý

Kaplansky - Amitsur - Levitzky trên lớp các PL đại số rộng hon, đó là lớp PI.đại số không có

nil-ideal khác (0) và trên lớp các PI.đại số không có nil-ideal lũy linh khác (0)

Chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những sai sót Tác giả luận văn rat mong và sẽ

ghi nhận những ý kiến đóng góp quý báu của quý thay, cô cùng tat cả bạn bè gan xa

CHƯƠNG |: MỘT SO KHÁI NIEM VÀ TÍNH CHAT VE VANH KHÔNG

GIAO HOÁN.

Trong phan này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản đã có sẵn về vành không giao

hoán, nhằm đặt nên móng cơ sở lý luận cho các chương 2 và chương 3 như: cấu trúc Radical

Jacobson của một vành, khái niệm vành nứa đơn, vành đơn, vành nguyên thủy và mai quan hệ

giữa chúng Đặc biệt là định lý dày đặc của Wedderburn đặt nên móng, định hưởng và có nhiều

ứng dung cho việc nghién Cứu sau này.

1.1 Cấu trúc Radical (Jacobson) của vành:

Trong phần này ta kf liệu R là vành không giao hoán, M là R-module

1.1.1 Định nghĩa: Ta gọi Radical Jacobson của vành R là tập hợp các phan tử của R linhhoa được tất cả các module bất khả quy trên R Kt hiệu J(R) hoặc Rad(R)

Nếu R không có module bat khả quy, ta quy ước J(R) = R Khi đó ta gọi R là vành

Radical Như vậy theo định nghĩa ta có :

J(R) = (x €R/ Mx(0) với mọi M là R- module bắt khả quy}

Nhắc lai : M là R-module bat khả quy nếu MR # {0} và M không có module con thực sự

nào.

Đặt A(M) = {a € R/Ma =(0), M là R- module bat khả quy} Từ đó ta có thé định nghĩa

JR) theo cách khác: J(R) = 0, 4, Nhưng do A(M) là ideal hai phía của R Do vậy J(R) là

ideal hai phía của vành R Mặt khác, vì M được hiéu là R-mdule phải nên J(R) còn được gọi là

Radical phải tuy nhiên 2 khái niệm Radical phải và Radical trái này trùng nhau nên ta không

nhắn mạnh tính phải và trái của Radical

Sau đây ta đi mô tả cấu trúc Radical Jacobson của một vành không

giao hoán bằng các bỏ đề vả định lý

1.1.2 Bỏ đề: M là R-module bat khả quy khi và chi khi M đẳng cấu với Rúp ( vành

thương) trong đó p là ideal phải, tối đại, chính quy.

Nhắc lai: Ideal p phải là chính quy nếu 3 a € R: Wx € R thì x- ax€ p

Chứng minh: * (=) Gia sử M là là R-module bat khá quy => MR # (0)

Đặt S { u€ M/uR = (0)}, ta để đàng kiêm tra s là một module con của M Nếu § £0 suy

ra S= M (vì M là R-module bat khả quy), do đó MR = (0}.(!) mâu thuần Vay S = (0) Do đó

với Vu € M,u #0 thì uR + (0) Mà uR là mdule con của M và M bat khá quy cho nên uR = M.Nhu vậy với u € M cho trước và mỗi r € R ta có duy nhất một phan tứ ur € M Điều này.cho

phép ta thiết lập một ánh xạ ọ : R —» M, định bới công thức @(r) = ur

Ta dé dang kiểm là đồng cấu Mặt khác uR > M = ọ là toàn cau

Đặt p = ker @ thì p là ideal phải của R Ta chứng minh p là ideal phải tôi đại của R Thật

vậy, giá sử có ideal phải ơ của R chứa thực sự p Theo định lý Noether ta có: Im p= M = R/ p (

do @ toàn cầu) > a/p là module con của R/p khác (0) Do M bat khả quy nên R/p cũng bat khả

quy ơp = R/p > ø= R(!) Vậy ø là ideal phải tối đại

Từ đăng thức uR = M => 3a ER :ua =u => Vx€ R, uax = ux = u(x-ax) =0 => x-ax € ker p

=p > p là ideal phải, tối đại, chính quy.( ©) Ngược lại nếu p là ideal phải, tôi dai, chính quy của

R.Khi đó ta có: (R/p)R é (0) Thật vậy, giả sử (R/p)R =(0) = Vx ER, Vy ER > (y + p)x =0=

yx Ep Vậy p >R > p = R(!) Mau thuẫn Vậy (R/ p) R # (0) Do p tôi đại nên R/ p là R-module

bat khả quy > dpem

Nhân xét: Nếu vành R có đơn vị thì R không thé là vành Radical.

1.1.3 Định lý: J(R) = 9 @ : R)rong đó p chạy khắp mọi ideal tôi dai, chính quy, (p: R)

là ideal 2 phía lớn nhất của R nằm trong p

Nhắc lai:Cho p là ideal phải của R Ta định nghĩa: (p: R) = [x ER/Rx Cp )

Chứng minh: * Dé đàng ta kiểm được (p: R) là ideal hai phía của R

* Với VxE (p: R) > Rx € p= ax Ep, lại do p chính quy nên x-ax € p.

Do đó x € p Vậy (p: R) & p.

* (p: R) là ideal hai phía lớn nhất nằm trong p Thật vậy, giả sử p) là ideal hai phía nào

đó của R mà nằm trong p

Ta có: VX EP, D> Rxcp, cp>xe€E(p:R)=> pịc(p: R) Nếu p là ideal

phái, tôi đại, chính quy và giả sử M = R/ p Khi đó ta có:

A(M) =4x € R/(R/p)x = {Orh=ixeR/ VyeR:(y+p)x=0+p<© yxepŸ

={xe R/Vy eR, yxep l=‡xe R/Rxcp t=(p:R).

Như vậy: J(R) = (p: R).

1.1.4 Định ly:J(R) =/ p , với ø là ideal phải, toi đại, chính quy

Chứng minh: Theo định lý L3 tacó J(R)=£ (p : RNC Op=J(R)c Op.

Ta chứng minh bao ham ngược lại, dat T= p Với moi x € T, xét tập S{xy +y /y ER ).

Dé dang kiểm tra được s là ideal phải, chính quy của R (tính chính quy suy ra bằng cách lay a =

-x ) Do đó sẽ tồn tại một ideal phái, tối đại, chính quy po của R sao cho § C po

Ta sẽ chứng mình s = R bằng phương pháp phan chứng That vậy gia sử s £ R Với x €

T=f*pCpo X € Po > XY EPo Và Y + XY € Po

Suy ra Y € Po => R= Po (!) mau thuẫn với Po là ideal tôi đại Vay s = R

Do đó với mọi X € T=OpP > S={ xy +y/ye Rt=R Nhu vậy với

moi x € T luôn tồn tại wW € R thỏa xw + w = -x hay x + Ww + XWw = Ö.

Chú ý : Day fa một thuộc tính quan trọng của các phan tử thuộc T

Bây giờ ta chứng minh: 9 p C J(R) bing phương pháp phan chứng

Giá sử ngược lại T= p ¢ J(R) suy ra tôn tai module bat khả quy R không bị T linh hóa,tức là MT ‡ (0) > 3m € M: mT z (0) Ta dễ đàng thay mT là module con của M, cho nên mT =

M(doM bat khả quy) = ÄL€TT: mt= -m Lại do €T€R:tL+ š +ts =0 2m (+ sšs + (S) =0 7

mt + ms + mts = 0 > - m +ms - ms = 0 > m = 0 (!) mâu thuẫn với mT ¥ (0) Vậy T = ñ1 p 1(R).

Tóm lại (R) = p.

1.1.5 Định nghĩa: Phần tử a € R được gọi là twa chính quy phải nếu 3a’ € R sao cho a+a "+ aa’ = () Phần ura’ goi là tựa nghịch đảo phải của a

* Tương tự ta cũng định nghĩa phan tử tựa chính quy trai

Lưu ý: Nếu vành R có đơn vi 1, thì phần tử a € R là tựa chính quy phải khi và chỉ khi 1 +

a có nghịch đảo trong R.

Thật vậy, néu a tựa chính quy phải > Ja’ € R: a + a` taa’ =0 2 1] tata’ taae lol

+a)(1 ta’ y= l 2 dpem.

Ngược lại, nếu 1 + a có nghịch đảo phái x € R, tức là ( 14 a )x = 1 = (x -1) tax =0 Dat

a’ =x-ÌÏ ta có a` + a(a’ +1)" 0 >a ta’ taa’ = 0 = a là tựa chính quy phải.

# Một ideal phải của R được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó đều là tựa

chính quy Như vậy, từ phép chứng minh định lý 1-1-4 ta có J(R) là ideal tựa chính quy phải.

Tuy nhiên ta có kết quả mạnh sau đây:

1.1.6 Dinh lý: J(R) là ideal phái twa chính quy phải của R và nó chứa

mọi ideal phải tựa chính quy phải của R, do dé J(R) là ideal phải tựa chính quy phải lớn nhất

của R.

Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét: Các tựa nghịch dao trái và tựa nghịch dao phải

(nếu có) của một phan tử thuộc R thì trùng nhau

Thật vay, giả sử ae R có tựa nghịch dao phải b và có tựa nghịch đảo trái c, tức là:

{ a+b+ab=0 { ca+cb+cab=0 ca=ab q+c+ca=0 đb+cb+cabx0 —? | axb+abza+c+ca “” b=c š

* Bây gid ta chứng minh mọi ae J(R) thì a vừa tựa chính quy phải, vừa tựa chính quy trai.

Thật vậy, nêu ae J(R) = a là tựa chính quy phải > Ja’ € R: a+ a’ + aa’ = 0 (1) >a’ = -a - aa' >

a’ €1(R), đo J(R) là ideal phải và a € I(R) > a là tựa chính quy phái > 3a`ˆ€ R sao cho a’ + a” +a’ a’? = 0 Như vậy a’ có a là tựa nghịch dao trái và a’’ là tựa nghịch dao phải, do đó a = a”

(theo kết quả trên) > a + a’ +a’ a= 0 (2) Từ (1)và (2) = a € 1(R) vừa tựa nghịch đảo phải vừa

tựa nghịch đảo trái.

* Dé kết thúc việc chứng minh định lý, ta giả sử p 14 ideal phải, tựa chính quy phải bat kỳcủa R thì p € J(R) và giá sử ngược lại p ¢ J(R) = tôn tai module bat kha quy M sao cho Mp # 0

= 3m € M: mp #0 Vi mp là module con của module bat khải quy M nên mp = M = At Ep sao

cho mt = -m và t là tựa chính quy phải > SU ER tt t1U = 0 2 mít £ £ + 1U) = 0 2 m[ # mv

+ mtt’ = 0 Suy ra -m + mt’ - mt = 0 m = 0 > mp = 0 (!) mâu thuân với mp # 0 Vậy p S

J(R).

1.1.7 Phần tử lũy linh, ideal lũy linh và nil-ideal

* Phan tử a € R được gọi là phân tử lũy linh nếu 3n €N : a" =0

# Ideal phải (trái, 2 phía) của R được gọi lả lũy linh nêu 3n € NỈ sao cho ay.a; a„ = 0,

với a; € pi = 1,2,3 m; tức là 3n EN’: p” =0

# Tdeal phải (trai, 2 phía) của R được gọi là nil-ideal phải (trái, hai phía) nếu moi phản tửcủa nó đều lũy linh.

Nhận xét: 1)Ideal lũy lính thì nil-ideal, nhưng ngược lại không đúng.

2) Mọi phan tử lũy linh đều tựa chính quy

Thật vậy, giả sử a € R là phan tử lũy linh > 3n € NỈ : a”= 0

Đặt b=-a+t+a*-a'+ 4(-1)TM! aTM'=> ab=- a?+aÌ+ +(-1)®? am!

=b+ab=-a—=a+b+ab=0.

3) J(R) chứa mọi nil-ideal một phía.

1.1.8 Xây dung Radical Jacobson của một đại SỐ;

1.1.8.1 Khái niệm đại số trên một trưởng;

A được gọi là đại sé trên trưởng F nếu thỏa mãn các tiền đề sau:

a) A là một vành.

b) A là một không gian vecto trên trưởng F.

c) Với Va, b € A, Va e Fthì œ(ab) = (œa)b = a(ab)

Nếu A có đơn vị 1 thi (a.Dx = x(a.1) Vì (œ.1)x = a(x.) = a(x = x(a 1) 2 ø.] € C tâmcủa A với Vo € E.

1.1.8.2 Xây dung Radical Jacobson của một đại số: Việc xây đựng Radical Jacobson củamột đại số A được lặp lại một cách hoản toàn tương tự như việc xây dựng khái niệm này trênmột vành, nhưng chỉ có một lưu ý là khái niệm một ideal cla một đại số, thì nó vừa có cầu trúciđeal của một vành, vừa có cấu trúc một không gian vectơ con Vì vậy tác giả luận văn khôngtrình bày chỉ tiết các bước xây dựng Radical Jacobson của một đại số

Từ day một vấn dé được dat ra là: Nếu A là đại SỐ trên trường F Hat khái niệm Jyany(A}

và Digg; fA) chúng có quan hệ như thé nào với nhau ? Khi di

vào giải quyết vẫn dé này, một điều bat ngờ là dua đến cho chúng ta kết quả thật đẹp, nhở mội

nhận xét sau day:

Nếu A là một đại số trên trường F thì mọi ideal tối đại, chính quy của vành A(xem A như

là một vanh) cũng la không gian vectơ trên trưởng F That vậy, giả str p là ideal tối đại chính quycủa vành A và ø không là không gian vecto con trên trường F, suy ra Fp ‡ p và Fp là ideal phảicủa A > A =Fp + p (do p là tối đại) > A’ = (Fp +p) A G6 (Fp)A+pA © p Lại đo p chính

quy 3a€ A;: x- ax €p với Vx€ A.

Nhưng aX € i p>xepDAcp ViyA=p(!) mâu thuẫn với tính tối đại

của p Tóm lại p là không gian vecto con trên trưởng F Như vậy ta có Jyaon(A) = Jugi ;¿(Ä).

1.2 Một vành đặc biệt :

1.2.1 Vành nửa đơn;

1.2.1.1 Định nghĩa: Vanh R được gọi là vành nửa đơn (còn gọi là mia nguyên thủy) nếuJ(R)=0.

1.2.1.2 Định lý: Gia sử R là một vành thi R/I(R) là vành nửa đơn.

1.2.1.3 Định lý: Néu A là ideal hai phía của vành R thì J(A) = J(R) 0 A

Hệ qua: Nếu R là vành nửa đơn thi các ideal hai phía đều nửa don.

Chú ý rang: Hệ quả và định lý chỉ đúng cho các ideal hai phía trong trường hợp ideal

một phía thì hệ quả không còn đúng nữa.

1.2.2 Vành Artin.

1.2.2.1.Định nghĩa: Vanh R được gọi la vành Artin phải nếu mọi tập khác rong các ideal

phải của nó đều có phan tử tối tiểu

Đề ngắn gọn ta thường gọi vành Artin phải là vành Artin

Ta dé dàng suy ra kết quả sau: * Vành A là vành Artin khi và chỉ khi

moi day giảm các ideal phải của nó đều đừng sau hữu hạn bước

* Trưởng, thé và các vành hừu hạn déu là vành Artin

ở Tông trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin

* Anh đồng cấu của một vành Artin là vành Artin

Nhân xét: 1) Nếu R là vành Artin thi mọi nil-ideal ( một phía, hat phía) đều là lũy linh

2) Nếu vành R có ideal một phía lũy linh khác (0), thì sẽ có ideal hai phía lũy linh khác

(0).

1.2.2.3 Lũy đăng: Phần tứ e # 0 của vành R gọi là lũy đăng néu ese.

1.2.3 Vanh nguyén thay:

1.2.3.1 định nghĩa: Vanh R được gọi là vành nguyên thủy nêu nó có module bat khả quy

và trưng thành.

Nhân xét:

1) Nếu R là vành nguyên thiy và M là R-module bat khả quy, trung thành thì g : Ñ —»

E(M) định bởi, với Wr ER, g(r) = T, : M — M là một đơn cau Theo bồ dé Schur tập A = { ọ €E(M) / ø T, = T, ọ Wr ER } là một thể Khi đó M là một không gian vectơ trên A, với phép

nhân ngoài t :(À, A) =>» M, được xác định bởi 4t :ún, @) =(m ọ Kí hiệu A =C(M).

2) Nều R là vành nguyên thủy thi J(R) = (0) Như vậy mọi vành nguyên thủy đều là vành

nửa đơn.

3) Cho R là vành bắt kỳ, M là R-module bắt khá guy thì:

* A(M) là ideal 2 phía của R, khi đó R/A(M) là vành nguyên thủy.

* Với p là idealphải tôi đại, chính quy của R và M = Rip > A(M) = (p : R) là ideal hai

phía lớn nhất còn nam trong p =R ((p: R) là vành nguyên

thủy.Do vay (p: R) còn gọi được là ideal nguyên thủy.

1.2.3.2 Định lý: R là vành nguyên thủy khi và chỉ khi tôn tại ideal phải tối đại, chính quy

p của R sao cho (p : R) = (0) Nếu R là vành nguyên thúy, giao hoán thì R là một trưởng

1.2.4 Vành đơn: Vank R được gọi là vành đơn nếu RẺ # (0) và R không có ideal thực sự

nào Ví đụ - Một thể là vành đơn

1.2.5 Vành nguyên tổ: Vanh R được gọi là vành nguyên tổ nếu mọi a, b ER mà từ đẳng

thức aRb = 0 kéo theo a = 9 hoặc b = 0.

Ta có mệnh dé tương đương: ảnh R được gọi là vành nguyên tổ khi và chì khi ideal (0)

là ideal nguyên tổ

1.3 Mối quan hệ giữa các vành nửa đơn vành Artin vành đơn.

(1) Nếu R là vành đơn có đơn vị I thì R là vành nửa đơn

Thật vậy, nêu R là vành đơn, khi đó hoặc J(R) = (0) hoặc J(R) = R

Như vậy: * Nếu xảy ra trường hợp J(R) = (0) thì R là nửa đơn

* Neu xảy ra trường hợp J(R) =(R) = R là vành Radical, điều này không thể

xây ra vì R có đơn vị |

(2) Nếu R là vành đơn và Artin thì R là vành nửa đơn

Thật vậy, vì R là vành đơn nên RỶ ‡ (0) và RẺ là ideal của R, do đó R = R Giả sử J(R) £

(0) = J(R) = R = RẺ Tương tự ta có [J(R)]° = RỀ ‡ (0) với Wn €N (1) Mat khác vì R là vành

Artin nên J(R) là lũy linh, tức là 3n € N: (1(R)]° = (0) (2) So sánh (1) & (2) ta có điều mâuthuần Vậy J(R) = (0) = R là vành nửa đơn

(3) Ñ là vành nguyên thủy thì R là vành nửa đơn Thật vậy, nếu R là vành nguyên thủy

= tốn tại ideal phải toi đại, chính quy p sao cho (p : R) = 0, mà J(R) = ñ (p : R) = (0) Vay R là

vành nữa đơn.

(4) Néu R vừa la vành đơn, vừa là vành nữa đơn thì R là vành nguyên thiy

That vay, Vì R 1a vành đơn nên R¿ (0) và không có ideal nào khác R và (0) Mà R là

vành nứa đơn nên J(R) = (0) (0) = ñ (p : R) với p chạy khắp tập ideal phải tối đại, chính quy

của R Ta có (p : R) là ideal cha R = hoặc (p : R) = (0) hoặc (p : R) = R Nếu (p: R) = R thì f1 (p

;:R) =R() vô lý > chỉ có (p : R) = (0) Vậy R là vành nguyên thủy.

Nhận xét: Vành nguyên thủy là vành nguyên tổ, ngược lại không đúng Dé kết thúc phần

này ta phải kẻ đến mot định lý khá mạnh được vận dung nhiều sau ndy.D6 là định lý day đặc

1.3.1 Dinh nghĩa tác động dày đặc: Vanh R được gọi la tác động dày đặc trong module M néu với mỗi hệ vector doc lap tuyển tính (vz}„¿ ex CẢM trên thé A và bat kp hé n vector{Wad n en CM thì ton tại r ER sao cho wị = vir, t = l,2,3, ,m

R-1.3.2 Định ly day đặc: Giá sử R là vành nguyên thủy, M là R-module bat khả quy vàtrung thành, néu A = C(M) thì R là vành day đặc các ghép biển đôi tuyến tính trong M trên A

1.3.3 Định lý: Giá sir R là vành nguyên thủy Khi đó với thé A nảo đó thi hoặc R = A,

(vành ma trận cấp nxn trên A) hoặc với Vm € NỈ tôn tại vành con S,, của R sao cho A,, là anh

đồng cau của S,,

1.4 Tổng trực tiếp con :

1.4.1 Các định nghĩa:

Ta gọi tích trực tiếp (hay tong trực tiếp toàn phân )} họ các vành {Ñ; }› e: là tập hop:

TÍ® =݃:!— UR, ⁄WA)eR;, vAel/

Kí hiệu m là phép chiều vành I] R, lên Rạ.

*Vanh R được gọi là tông trực tiếp con của họ các vành {Ry };e¡ nếu ton tại đơn cầu y:

R— TỊ% sao cho Rựïm = R;, VÀ € I.

Theo tài liệu Noncommutative của LN.Herstein, ban dich tiếng Nga NXB Mockba năm

1972 trang 54; ta có các kết quả sau:

1.4.2 Một số tính chất:

1.4.2.1 Mệnh đề: Gia sử R là vành, và họ các vành {R ; )¿ c¡, ©;: R —> Rạ là dong cau

vành và @:# >T] R, là đồng cau vành được thiết lap từ các dong cau vành ø; Đặt U¿ = Ker

q Khi đó œ là một cấu vành khi và chỉ khi Í] Uz= (0),

1.4.2.2 Dinh nghĩa: Vành Ñ gọi là không phân tích trực tiếp con được nếu giao của tat

ca các ideal khác (0) của R là một ideal khác (0).

1.4.2.3 Mệnh đề: Mới vành déu có thể biểu diễn tổng trực tiếp con các vành không phântích trực tiếp con được

Bây giờ chúng ta dé cập đến lớp vành - mà theo một nghĩa nào đó các vành này thỏamãn một điều kiện giao hoán cao hơn Chủ dé cho su hiện điện của một mi quan hệ đó trongviệc nghiên cứu các PL đại số Hướng nghiên cứa nội dung này chúng ta dựa vào kết quả của

định lý của Kaplansky.

Linh vực nay đã va dang được nghiên cứu theo nhiều hưởng khác nhau Ví du như

Amitsur, Levitzki đã bỏ ra nhiều công sức và đã đạt được nhiều kết qua nồi tiếng khi nghiêncứu bản chất của các đồng nhất thức trên lớp vành này

Đề dan dan làm rõ các ý tưởng trên đây, trong chương 2 sau đây, sẽ hệ thong hóa cáckién thức chun Hộ nhất về PI đại số trên một vành giao hoán có don vị Nội dung cơ ban trọng tâmchicong này là giới thiệu hai định lý có vị trí quan trọng, nhằm đặt nền móng, định hưởng cho

việc mo rộng nghiên cứu trên các lớp PLdại số rộng hơn, đó là định lý

Kaplansky-Amitsur-Levitzky trên dai so nguyên thủy.

CHƯƠNG 2: CAC PI ĐẠI SO TREN VANH GIAO HOAN CO DON VI.

2.1 PI đại số trên vành giao hoán có đơn vi :

Trong chương nay ta kí hiệu K là vành giao hoán có đơn vị 1, A là đại số trên K và trong

mục 2.1 này chủ yếu liệt kê các khái niệm như: đại số trên vanh giao hoán có đơn vị, đa thức,đồng nhất thức của một đại số và một số tinh chất vẻ đa thức

Định nghĩa: A được gọi là đại số trên K nêu thoa mãn các tiên dé sau:

a) A là một vành,

d) A là một không gian vecto trên K.

e) Với Va, b © A, Vk © K thì k(ab) = (ka)b = a(kb).

Nếu A có đơn vị 1 thi (k.1)x = x(k.1) Vì (k.1)x =k(1.x) =k(x.1) =x(k.L) k.I € C tâmcủa A với Vk € K.

Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi đếm được các phan tử x; , x;, , Khi đó X là tập tat

cả các phan tử có dang: 1, xy; x¿z x„, Các phan tử của vị nhóm X được gọi là các đơn thức

Hai đơn thức xạ; X42 Xi¢ = Xjp Xụ; Xị, nếu và chỉ néu il =j¡, iz =je, «

Phép nhân: l { x) X¿ X¿ } = (X; Xz Xie )Ì = Xị X¿ Xự còn phép nhân hai đơn thức

được định nghĩa (xj) Xj2 Xie) (Xjt Xz Xj2) = Ny Xia Mie App Xa eX pe»

Kí hiệu K{X} là đại số của vị nhóm X trên vành giao hoán có đơn vị K Ta gọi K{X) là đại số tự do sinh bởi tập đếm được các phan tử x, Tập đếm được các phan tử x; này gọi là cơ sởcủa K(X} Với A là một đại số bat kỳ và ánh xạ ø : X — A thì luôn tôn tại đồng cầu n : KỊX)—

A sao cho biểu đồ sau giao hoán: X i K{X}

o ` AI tị

1) Bậc của đơn thức œx*x?t x> (œ#0) lady + + Ane.

2) Bac của đa thức f € K[X] là bac lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f Bậc của đa

thức ƒ kí hiệu degf.

3) Bac theo Xt của đa thức fix; x:, xạ) là bậc của Xi khi xem fla đa thức theo bién

Xi, kí hiệu degyf.

4) Da thức ƒ € K[X] được gọi la thudn nhất theo Xi nêu tat cá các đơn thức của f đều có

cùng một bậc theo x;.

3) Đa thức f € KEY được gọt là hoàn toàn thuân nhất nếu ƒ thuần nhất theo mọi x,

6) Da thức f € K{X] được gọi là trộn đều theo x; néu x, có mặt trong mọi đơn thức của

của ƒ.

7) Da thức f € KEX] được gọt là tron đều néu nó tron đều theo mọi x;

8) Đa thức f € KEX] được gọi là tuyển tính theo x, nếu bác của x) trong mỗi đơn có mặt

trong £ đều bằng 1

9) Chiều cao của một đơn thức là bậc của nó trừ di số các biển có mặt trong đơn thức ấy

10) Chiều cao của đa thức fila chiều cao lớn nhất của các đơn thức trong £ được ký hiệu

ht(0).

11) Da thức ƒ € K[XỊ được gọi là da thuyền tính nếu nó tuyển tính theo mỗi biến x

2.1.2 Dinh nghia:

Giả sử A là đại số trên K, G là nhóm con của nhóm cộng A Mot da thức f € K{X] đượcgọi là G-giá trị nếu với Va, EA thi fla, , , Ap) € G

2.1.3 Dinh nghĩa: Gia sử Í(xị, X2, X%m ) € K[X] với | <i =m Đặt:

A, [[XI X›,.: Xm) SAK «or Met Xị + Aj Minter ov Xm)

-= UT His ccc¡ Xu) 5K Aas sp Ree Ape Xu: Ke

2.1.4 Một số kết qua:

2.1.4.1 Bồ đề: Moi da thức ƒ € K[X] là tong các đa thức được trộn đều ƒ, sao cho:

(1) deaf, S degf.

(2) h(ƒ) <= At.

(3) Nếu ƒ tuyển tính theo x; thì ƒ; cũng tuyến tính theo x;

(4) Với mọi đại số A và nhóm con của nhóm cộng A, nêu ƒ là G-giá trị thì các ƒ; cũng

Œ-giá trị.

Chứng minh: Gọi ty là số x; có mặt trong f nhưng không có mặt trong một đơn thức nào

đó của f Ta chứng minh bộ dé bằng phương pháp quy nạp theo tự

Nếu tr = 0 thi f là đa thức được trộn đều và hiển nhiên bé déu đúng

Nếu ty > 0, không mat tính tông quát ta có quyền chọn x; không có mặt trong một đơn

thức nào đó của f Đặt fy = f(0, x; Xm) và fp = f - fy Hiển nhiên ta có te < tr, tạ < ty Theogiả thiết quy nạp thì bô dé đúng cho f¡ và f›, suy ra bố dé đúng cho F

2.1.4.2 B6 đề: Nếu gla đem thức sao cho: degyg > 1 va x; không có mắt trong g, thì Aig

là tong của các don thức gK trong đỏ x„ x; có mặt trong gx và khi thay x; bởi x; thì gy trở thành

Chứng mình: Viết g dưới dang g(x), X2, Xm) = tx) h (1) trong đó t, h 14 các đơn thức sao

cho deg,¡ t =0, deg,;h > 0 Khi đỏ ta có :

A’ B(x), X2 vs Xm) = BCX, ‹ «5 Xi-ty Xi + Xj, Xivty- - » Xm)<E(XI ; X2, - - > Xm)

- EŒqI Xu Xi Xj eo Xiet oe o's Kem) = AX; + X)hỢX, - , Xp, Xị + Xjp Xin „» Xm}* (XI, X3, » Xm)- W(X, , X3, , Kiedy Xj» Xi oes + Xm) = (tx; + Ux(N(X) 2 Xi, Xa) + h(X., Xị, , Xu)+A/2h]- txih(X,, ,

Xi, «o's Xm)- D(X+, , Xj, , Xe) = tXIh(X:,., Xj, , Xa) + tXIhÍX¡+, , Xi

+s Xm) + tXị (A2h)+ txr(A,h)(2).

Hai hạng tử dau của biểu thức (2) có mặt cả x; và x; , hơn nữa nêu thay x; bởi x; thì trởthành g Bây giờ ta xét 2 hạng tử còn lại của biéu thức đó Nếu deg,¡h = | lúc này h tuyến tínhtheo x; nên Ajh = 0 Như vậy 2 hạng tử đang xét bằng 0 Do đó Ajg là tong của 2 đơn thức thỏa

mãn bô dé Nếu degg = 2 thì đeg¿h = 1, theo kết qua trên thì bộ để đúng với g Giả sử bô dé

đúng cho mọi don thức có bậc theo Xi nhỏ hơn n vả g là đơn thức có deg,ig = n Từ (1) > deg¿¿h

<n, theo giả thiết quy nạp >bé đề đúng cho h Từ (2) = bỏ dé đúng cho g

Nhờ kết quả bỏ dé trên ta để dàng suy ra kết qua dưới day:

2.1.4.3 Bo đề: Nếu ƒ được trộn đều, degyf >], degyf = 0 Thì :

(1) Ajf là được trộn đều

(2) deg Aif'Sdegf

(3) degy Ajf = deguf -I

(4) Ai Ai) < ht()

* Giả sử dai số A có đồng nhất thức thực sự, ta gọi A là PL đạt số.

2.2 Định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky :

Giả sử A là đại số nguyên thủy có một đồng nhất thức thực sự có bậc d, thì tâm € của A

là một trường, A là đơn và [A:CJ < fd/2}°

Trước het ta chứng minh một số bỏ dé sau đây:

2.2.1 Bỏ đề: Giá sứ fla dong nhất thức thực sự của A thì ton tại một đồng nhất thức thực

sự đa tuyến tính g của A sao cho deg g < deg ff

Chứng mình: Áp dụng kết qua bo dé 2.1.4.1 cho g = {0} và giả sử f là được trộn đều Nếu ht(f) = 0 => fda tuyến tính, lúc này ta chọn g = f Bây giờ ta xét ht(f) > 0 => 3x; :degyif > lvà ta

có thể gia sử rằng không có hệ số nào của f linh hóa A Ap dụng bo dé II.4.3 ta có Ajf là đồngnhất thức thực sự của A và ht (AjÐ < ht(Ð Sử dụng phép chứng minh quy nạp theo chiều cao củadong nhất thức ta có (dpem).

theo nhan xét trén ta chon duge tap gôm đ ma trận vuông cấp n thuộc

M,(K): (-€1) @12, €2, C23 - - }C (O11 C12, €2+,€2y Cain» Can

}-Từ (1) > nếu øụ; £1 thì 6() 6) e „a;= 0 thi p> đ„fxÊzaySx = Odo £ đồng nhấtthức trên M,(K) = f(€1) , C12, €¿2, €‡2i, = a ae Ö với k nao đó mà k <n 2 aey =a(tị Crk tụ) = eị (0eiy)ex; = O với Vi , j nên aM,(K) = 0(!) mâu thuần với giả thiết Mau thuẫn này

cho ta điều phải chứng minh

2.2.3.Bồ đề: Giá sứ F là một trường trên Kya V là không gian vector vô hạn chiêu trên Fthì đại số các pháp biến đổi tuyển tính EndeV không thỏa mãn đồng nhất thức thực sự

Chứng minh: Gọi fla đồng nhất thức trên EndrV có bậc là d Với bat kỳ phan tử x € V, ta

xét M là không gian con hữu hạn chiều của V chứa x sao cho 2[M:F] > d Đặt M' = V/ M và ta

xác định đại số con B (không có don vị) của EndrV như sau:

B = {o e EndzV \ ¥me M, o(m)eM và Ym eM , ø(m) = 0).

Theo định lý Wedderburn ta có B = M,(F) trong đó n =[M:E] Mặt khác đo f là đồng nhấtthức trên EndFV có bậc lả d, nên fla đồng nhất thức trên B có bậc là d = f là đồng nhất thức trên

Ma(E) có bậc là d < 2n Từ

khác biển nhiên ta có F © Ca (F) Vậy Ca (F) = E.

2.2.5 Bồ đề : Giá sử A là đại số con đơn của đại số E và B= Cg{A), thé thì C = BOA làtâm của A Nếu như đây a), az, a, CA là hệ C độc lập tuyến tính thì chứng cũng là hệ B - độc

lập tuyến tính

Chứng minh: Dat A° = A Trên A° ta xác định phép toán * như sau:

a*b = ba, Va,b € A”

Đặt Av = A @ A” va với phép nhân ngoài (a @ b)x = axb thi A là một Á? - module, hơnnữa A là một A° - module bat khá quy vả trung thành (do tinh don của A) Sự tác động của A*

lên A ta có thé mở rộng đến sự tác động của AS lên E sao cho m(bx) = b(mx) với m € A‘, b € B,

x €E O đây nêu m= © (6 ®h,) thì mx = ¥ (gi x bi) Mặt khác do A là một AÝ - module bat khaquy , rung thành va diy a) , a2, , a, C A là hệ độc lập tuyến tính trên trường C (C lả trường vì

do tính đơn của A).

Với bất kỳ j „ 1 <j < r ta xét day r phần tử dạng : 0 1j, 0 € A, kí hiệu 1; để chi phan

tử đơn vị LE A đứng 6 vị trí thử J trong day Khi

đó theo định ly day đặc sẽ tồn tại m; € AŸ sao cho m; a; = 1, mị a; = 0 nếu ¡ # j Xét đăng thức

¥ ba, =0.beB= ¥ ba, = ¥ Mba) =

ya (m; a;)(b,a;) = à m,(b,a;)a; = là (b,a,)(mja;) = b, aj + > ®a)(ma) =0

= bị a =0, = bị=0, Vj = lr,

Bây giờ ta trở lai việc chứng minh định l¥ Kaplansky - Amitsur.

Do A lả đại số nguyên thủy nên tôn tại A - module V bat khả quy , trung thành và thé A Khi đó A là đại số day đặc trong End, V Tổng quát hơn tâm hóa của A trong EndyV là tập Ai,gdm các tự đồng cau: x > ðx, 8 € A

Gia sử F trường con tối đại của A vả ta xét đại sỐ con A’ của EndgV sinh bởi Fy và A Docác phan tử của Fy giao hoán được với các phần tử của A nên A’ = FLA = AF, và FL Œ tâm củaA’ Do vậy A’ có thé xem là một đại số trên F (hoặc trên F,, ) Nếu ta xem V như là một không

gian vecto trên F thì A’ là một đại số con của EndrV

Ta cần chứng minh A’ day đặc trong EndrV Thật vậy, do A là đại số nguyên thủy và V làA-môdun bat khả quy, nên V =Ax với Vx€ V.x 40> V =F,V =FLAx © A’x Do đó V là A’ -

môđun bat khả quy Mặt lhacs giá sử c € EndgV giao hoán với mọi phan tử của A’ Thế thì cgiao hoán được với mọi a € A, cho nên c € AL Do F là trường con tối đại của A cho nên nó chứa

trong F¡ Bởi vậy End,'V = F và suy ra A’ day đặc trong EndrV.

Giá sử A có đồng nhất thức thực sự f bậc d Ta có thé xem fla đa tuyến tính Do A’ =

FLA là đại số trên F nên f là đồng nhất thức trên A’ Hiển nhiên ta có với mọi f € K[X] thì ánh

xạ biển: (l¡;.;.: lạ) >(1g:1;; ;Í„) € L = End,V là ánh xạ liên tục trên không gian Tôpô hữu hạn

chiều Vì f là đồng nhất thức trên A’, mà A’ day đặc trong L cho nên f bằng 0 trên L hay f là

[ V:F] = [V: A} [A:F] nên V là không gian hữu hạn chiều trên A Vì A là đại số đảy đặc trongEndxV, nên ta có A = End,V là đại số đơn

Giá sử {ay; a : ; a} C A là hệ C - độc lập tuyến tính (C là tâm cúa A), theo bé đề 2.2.5thì {ay; a2 : ; a,} là hệ F-độc lập tuyến tỉnh trong A’ = FA Do đó r < (đ/2]! Tức là [A:C| s[d/2]”.

2.2.6 Định lý (Amitsur-Levitzky):

Da thức chuẩn tắc S ›ạ là một đồn ig nhất thức của MAK)

Chứng minh: Trước hết ta có một vài nhận xét về đa thức chuẩn tắc S;

1) Sisi(Ris oy Xket) = S1} XiSkỆX os» Kiet» Kiet ys © ý Xken).

oa

2) SKC xy, Xe, vee Xe, ) = Sen(A)S;(Xì, , X).

3) Nếu i), in, , i, là các số khác nhau và | <j s k,0<r< k Gọi S’ là tổng các từ của

S(XỊ Xự,) CÓ XG) Xa Xịy Ở bên trái thì :

S = t XXX, Siy(X(20sX/¿2s ‡:X; ),

4) Giả sử r là số lẻ, O< r < k và gọi S là tông các từ trong Sy (Xị, xị ) có dạng + ayb

VỚI Y = Xị +¡ Xị +3 Xie còn a vả b la các đơn thức thì : S = Sy¿+¡ ( Xị.Xs, XiŸ- Xị<z+ls v