Luận văn thạc sĩ Đại số và lý thuyết số: Các kí hiệu số học và ứng dụng

Các kết quả có được trong luận văn là trung thực, nếu có gì sai phạm tôi xin chịu trách nhiệm theo quy định của pháp luật... LỜI CẢM ƠNTrong quá trình học tập và rèn luyện tại Trường Đại

Trần Thị An

CÁC KI HIEU SO HỌC VA UNG DỤNG

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

Thành phố Hồ Chí Minh — 2017

Trần Thị An

CÁC KI HIEU SO HỌC VA UNG DỤNG

Chuyên ngành: Dai số va lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC

PGS.TS MY VINH QUANG

Thành pho Hỗ Chí Minh — 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi làm Các thông tin trích dẫn trong

luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc và được phép công bố Các kết quả có được

trong luận văn là trung thực, nếu có gì sai phạm tôi xin chịu trách nhiệm theo

quy định của pháp luật.

Thành phó Hồ Chí Minh tháng 04 năm 2017

Trần Thị An

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và rèn luyện tại Trường Đại học Sư phạm Thành

phố Hồ Chí Minh, tôi đã được Quý Thầy Cô cung cấp cho tôi những kiến thức

chuyên sâu, giúp tôi trưởng thành trong học tập và nghiên cứu khoa học Tôi xin

gửi lời biết ơn đến tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt thời

gian học tại trường.

Tôi xin gửi lời cảm on sâu sắc đến PGS.TS My Vinh Quang, Thay đãtận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn Từ đó, tôi

đã học hỏi thêm được nhiều kiến thức và kinh nghiệm về nghiên cứu khoa học.

Tôi xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thay Cô trong Hội đồng Bao

vệ Luận văn Thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, đưa ra những lời nhận xét và đánh

giá luận văn, giúp tôi hoàn thiện nội dung luận văn.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Quí Thầy Cô công tác tại phòng Sau Đại

học của trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện

thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời tri ân Cha Mẹ, người thân, bạn bè luôn ủng hộ độngviên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học

Thanh pho Hỗ Chi Minh tháng 04 năm 2017

Trần Thị An

CHƯƠNG 1: CÁC KIÊN THỨC CƠ BẢN 2 2¿©+222xz+£zzcczxce 2

LL Trung Attu han ooo 2

1.2 Một số định nghĩa va tính chất của chuẩn trên trường - 31.3 Chuan phi Archimede - ¿- ¿+ 2+ E+EE+E£+E££E£EeEEeEEeEEerkrrxrrxrrerree 4

1.4 Xây dựng trường p-adic Q„ ccceeihehreririrre 6

1.5 Vành các số nguyên p-adic ÔÔÔÔÔÔÒÔ 7

1.6 Khai triển p-adic của một phần tử trong Q ốc 8

1.7 Bồ đỀ Hensel ceccccccccsssecesscsessssesecscsesecsvsvcessvsececsesecassvsusassesnsassesecanscacavevees 9

1.8 Phuong trimh p-adic 1 a 10

CHUONG 2: Ki HIEU LEGENDRE VA LUAT THUAN NGHICH BAC

0-1 12 2.1 Bình phương trong Fý, -:-c- 5c 25+ S*#E#Eeerkekrrrrrrerrrrrrree 12

2.2 Thang dư bậc hai và kí hiệu Legendre - 55+ + *s++ssss+sexsesss 12

2.3 Luật thuận nghịch bậc hai 2-2-5552 £+EE‡EEEEE£EEEEEEEEerrrrrrerkees 14

CHƯƠNG 3: Ki HIỆU HIL/BERT - 2© +£2E££EE£+2E£+2zxezzxeerxcee 24

3.1 Mô tả nhóm MÃ ¬ 24

(Vy3.2 Các tính chất địa phương của kí hiệu Hilbert - 2 2 s2 2 e2 3l3.3 Sự tồn tại của các số hữu tỉ với các kí hiệu Hilbert -2- «=2 38

KET LUẬN - 2-52-5222 E2EEEEE2211211211112112112111111111 111111 43 TÀI LIEU THAM KHÁO 2 2© £+E£+EE£EE£EEEEEEEEEEEEEeEkrrrkrrrrees 44

— = = a”

Mô

MOT SO KI HIỆU

Y nghiaTap số tự nhiên

Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong Q

Trường thang dư của trường F (F, =Z/ pZ).

Kí hiệu Legendre cua a trên p.

Kí hiệu Hibert của a va Ð trên k.

Tổng trực tiếp

Kết thúc phép chứng minh.

MỞ ĐẦU

Các kí hiệu số học cụ thể là các kí hiệu Legendre, kí hiệu Hilbert là các

công cụ quan trọng của lý thuyết số và chúng tham gia vào hầu hết các công

thức số học quan trọng Bởi vậy, chúng tôi chọn đề tài này với mong muốn tìm hiểu một cách kĩ hơn, một cách có hệ thống hơn các kí hiệu số học và ứng dụng.

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu các kí hiệu số học và ứng dụng của

chúng Luận văn chia làm 3 chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ bản

Nội dung chính của chương này là trình bày về một số các kiến thức cơbản về số học, về dạng toàn phương và các trường số p -adic Các kiến thức này

quan trọng cho chương sau.

Chương 2: Kí hiệu Legendre và luật thuận nghịch bậc hai

Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất của kíhiệu Legendre Đặc biệt là tìm ra một số cách chứng minh khác của luật thuận

nghịch bậc hai.

Chương 3: Kí hiệu Hilbert

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất của kí

hiệu Hilbert và đặc biệt là định lí về sự tồn tại của các số hữu tỉ với các kí hiệu

Hilbert đã cho trước.

Chương 1.

CÁC KIEN THỨC CƠ BAN

1.1 Trường hữu hạn

Định nghĩa 1.1.1 Cho K là một trường, | là đơn vi của #* Khi đó xảy ra một

trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu cấp của 1 trong nhóm (F,+) bang © (nghĩa là

n.1#0,Vn eÑÌ) thì ta nói đặc số của F bang 0, kí hiệu char(F)=0

Trường hợp 2: Nếu cấp của 1 trong nhóm (F,+) bằng p (nghĩa là p là số bé

nhất trong Ñ” để p.1=0) thì ta nói đặc số của F bằng p, kí hiệu char(F) = p.Chú ý, nếu trường hợp 2 xảy ra thì p luôn là sé nguyén tố Nhu vay, dac số củamột trường hoặc bằng 0 hoặc bằng số nguyên tố p

Bồ đề 1.1.2 Néu char(K) = p thì ánh xạ ø: K —>K”,xt> x” là một đăng cầu

với K? là trường con của K.

Định lí 1.1.3.

i Ddc số của một trường hữu hạn K là một số nguyên tổ p#0; Nếu

ƒ=l|K:F,] thì số các phần tử của K là q= pÏ

ii Cho p là một số nguyên tổ và q = pÏ,(ƒ >1) là một lũy thừa của p Cho Q là

một trường đóng đại số có đặc số p Khi đó, tôn tại duy nhất một trường con

F cua © có q phân tử Nó là tập hợp các nghiệm của da thức X" — X

iii Tat cả các trường hữu hạn có q = pÍ phan tử là dang cầu với Fi

Dinh lí 1.1.4 Cho p là một số nguyên tố, ƒ >1 là một số nguyên va q=p’.

Nhóm nhân F cua một trường hữu han F„ là một nhóm cyclic có cấp q—]

1.2 Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường

Định nghĩa 1.2.1 Cho F là một trường Ánh xạ :F +IR được gọi là một

chuân trên # nêu thỏa các điêu kiện sau:

1 |x|=0 VỚI moi xeF |x| =0<=> x=0,

1 |xv| =lall| VỚI moi x,yeF,

, VỚI mỌI x,yeF.

iii |x+ y|<|a|+|y

Ví dụ 1.2.2.

i F=Q hoặc F =R thì hàm giá trị tuyệt đối ||: F > R là chuẩn trên F và ta

gọi là chuẩn giá trị tuyệt đối

Mệnh đề 1.2.3 (Các tinh chất của chuẩn) Cho |s| là một chuẩn trên trường F

có đơn vil Với mọi xe F, ta có:

Nhận xét 1.2.4 Nếu F là trường hữu hạn thì trên F chỉ có duy nhất một chuẩn

là chuẩn tam thường

Định nghĩa 1.2.5 (Hai chuẩn tương đương) Cho : là hai chuân trên

1 k

trường # Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu {x„} là dãy Cauchy theo

, khi và chỉ khi {x,} là day Cauchy theo chuẩn

chuân "

——— 0 Nói

Chú ý rằng {x,} là dãy Cauchy theo chuẩn || nghĩa là Ix, —X,

cách khác với mọi € > 0, tôn tai ny ¢N, sao cho với mọi n,m > mạ, X„—X„|<£.

Định lí 1.2.6 Cho F là một trường; „ là hai chuẩn trên trường F Các điều

1 k

sau là tưong đương:

¡Với mọi xeF, |x|, <1 khi và chỉ khi |x|, <1.

ii Với mọi xe F, || <1 khi và chỉ khi |x|, <1.

c

1°

x=

iii Tôn tai hăng số c>0 sao cho với mọi xe F, › x

iv Các tôpô sinh bởi |x|, va lat, la tring nhau.

V ¡ ttơng đương với „{

1.3 Chuẩn phi Archimede

Định nghĩa 1.3.1 Cho là một chuẩn trên trường F Chuan được gọi là

chuẩn phi Archimede trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện

iil’. x+ y|<max {|x yỊ}, với mọi x, y e F.

Chuan thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii?) được gọi là chuẩn Archimede

Ví dụ 1.3.2 Chuan tầm thường trên F là chuẩn phi Archimede Thật vậy:

Nếu x+ y=0 thi |x+z|=0 suy ra |x + y| <max {|x vị.

°

,

Nếu x+y #0 thì hoặc |x|#0 hoặc |y|#0, do đó |x+ y|=1< max{|x|.|y|)

Ví dụ 1.3.3 Nếu F là trường hữu hạn có ¿ phan tử với phần tử đơn vị là e thìchuẩn trên trường # là chuẩn phi Archimede Thật vậy:

kK ` ` k ` = ` —1 =

Nêu x=0 thì |x|=0 Còn nếu x0 thì x7 =e thi |x" =lx?1 =|e|=1 Do đó

|x|=1 Vay || là chuẩn tầm thường trên trường F va do đó nó là chuẩn phi

S r={xeF: |x—a|=r},

là các tập vừa dong vừa mo.

iii Mọi điểm thuộc hình cau đều là tâm của nó Nghĩa là với mọi be B,(r) suy

ra B(r)=B,(').

iv Day {x,}< F là day Cauchy khi và chỉ khi lim|x,., —x,|=0

v Cho {x,}la day Cauchy Khi đó nếu x, —>0 thì |x,|—>0 Còn nếu x, 0 thìx,

{x,} la day dừng Nghia la: ton tai N, với moi n= N, |x,|=|x

n+l X,

n+2

Định lí 1.3.5 (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede) Cho F

là một chuẩn trên F Các điều sau là tương đương:

là một trường,

i || là chuẩn phi Archimede

ii |2|<1

iii |n| <1, với mọi ne N ={n=n.1 | neÑ}

iv Tap N bi chan Nghia la, ton tại c>0: In| <c, với mọi nceN

Định nghĩa 1.3.6 Cho p là một số nguyên tố có định Với mỗi xeQ\{0}, ta

luôn có :

li v„(x+ y)2 min{v,,(x),v,(y)}.

Ménh dé 1.3.8 Cho 0 là một số thực thỏa 0< Ø<l và p là một số nguyên to.

Ánh xạ

„:Q->R

vp (x)

xh |x| =p ›

là một chuẩn phi Archimede trên Q với quy ước p” =0.

Mệnh đề 1.3.9 Với mỗi số nguyên to p, ta có chuẩn

Định lí 1.3.10 (Ostrowski) Mọi chuẩn không tam thường trên Q hoặc tương

đương với chuẩn : (p là số nguyên tô) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối

thông thường trên Q.

1.4 Xây dựng trường p-adic Ô „.

Theo định lí Ostrowski, ta thay mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương

ứ

P

đương với giá trị tuyệt đối thông thường |+| hoặc là chuẩn phi Archimede

là số nguyên tố) Mặt khác, ta biết rang làm đầy đủ Q theo |+| ta được trường số

thực R Làm day đủ Q theo „ ta Sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các

số p-adic ©„ là tương tự p-adic của trường số thực R Cụ thé ta xây dựng như

tất cả các dãy Cauchy trong Q theo chuẩn p Trên Š xét quan hệ tương đương

~ được cho như sau:

Với mọi {x,},(y,}Q, {x,}~ {y, } nếu và chỉ nếu lim|x, — y,

nao

=0.

P

Kí hiệu: Q, = Sy = tu) :{x,} Cauchy trong Q theo ,) Ta sẽ trang bị hai

phép toán cộng và nhân cho Q p để nó trở thành một trường

Phép cộng: Với mọi x={x,}, y={y,}€Q, x+y={x,+y,}.

Phép nhân: Với moi x={x,}, y={y,}eQ, x.y={x„.y,}.

nghĩa là trường thang du của (© „, „) là F, =Zjp”.

1.6 Khai triển p-adic của một phần tử trong Q ph

Định nghĩa 1.6.1 Với mọi a,beZ, ta nói a=b (modp”) khi và chỉ khi

a—b:p".

Mệnh đề 1.6.2 Với mọi a,beZ, Khi đó a=b (modp") khi và chỉ khi

l¿—»,| <p”.

Bồ đề 1.6.3 Néu xeQ, và |x| <1 thì với mọi neÑ, tôn tai reÑ sao cho

|x - r| <p" Hon nữa, số r có thé chọn trong tập {0,1, 2, ,p" — l}.

Định lí 1.6.4 Cho xeQ,, x <1 Khi do, x có một dai diện la {a,} = thỏa

P

mãn các điều kiện sau:

i a, EZ, O<a, <p", (n=1,2 ).

ii a, =a,,, (mod p"), (n=1,2,3 ).

Sau day, ta sẽ đi khai triển p-adic của x trong Q >

i Với xeQ„„, |x > <1, theo Dinh lí 1.5.4 tồn tai day Cauchy {a,} trong Q

thỏa hai điều kiện a,€Z, O<a,<p" (n=1,2, ) và a, =a,,, (mod p"),

n=1,2, để x ={a,} Khi đó, với mỗi ø e Ñ ta có khai triển p-phân

p-adic của x trong Z,.

ii Với x không thỏa điều kiện Ix, <1 thi ta sé nhân x với một số p”

thích hợp sao cho x’ =x.p” thỏa man Ix", <1 Khi đó x= 5 b„p" SUY ra

Bồ đề 1.7.1 (Hensel) Cho da thức ƒ(x) = cạ +ex+ +c„x" €Z [x], c, #0 và

ƒŒ)=œ+2e,x+ +ne,x"” là đạo hàm của nó, néeN Nếu ton tại phan tử

Ay € Z, thỏa điều kiện:

ƒ(4,)=0 (mod p)

f'(ay) #0 (mod p)

thi ton tai duy nhất a eZ , sao cho f(a)=0 va a=a, (mod p)

Bồ đề 1.7.2 (Hensel mở rộng) Cho đa thức ƒ (x) =cạ +c,x+ +c„x" €Z [x],

c, #0 và ƒ(x)=c,+2c,x+ +ne,x"" là đạo hàm của nó, neÑ Nếu ton tại

phan tử a, eZ „ thỏa điều kiện:

f'(a)) = 0 (mod p”) f'(ay) #0 (mod p””")

f (ay) =0 (mod p“”*')

thi ton tai duy nhất một số a eZ, sao cho f(a)=0 va a=a, (mod pM").

Định lí 1.7.3 (M6 ta căn của I trong Q ,) Cho p là số nguyên tổ lẻ Khi đó với

mọi 1<i< p—] tốn tại duy nhất é, EQ, thoa Liên =1 và

¿mm =i (mod p)

Do đó, tập các căn bậc p—\ cua I trong Q, la: U4

={ỗ›Š» sốpl}-Tập các căn cua I trong Q, chính la U„, (hay xeQ„, x"`=1<© x? t=1),

Định lí 1.7.4 (Mô ta căn cua I trong Q,) Tập các căn cua I trong Q, là {£1}

nghĩa là nếu xeQ, va ton taine N* để x" =1 thì x= +I

1.8 Phương trình p-adic

Định nghĩa 1.8.1 Nếu ƒ EZ [X,,X,, X,,] là một đa thức với hệ số trong

Z, và nếu n là một số nguyên dương, ta kí hiệu đa thức f, với hệ số trong Z./p"Z suy từ ƒ bằng cách rút gọn (mod p").

Một điểm x=(x,,x, x„) của (Z,)” được gọi là nguyên thủy nếu và chỉ

nếu x, khả nghịch và x, là không chia hết cho p Định nghĩa tương tự cho

những phan tử của (Z/ p"Z)”

Mệnh đề 1.8.2 Cho f° €Z [X,,X,, ,X,,] là các đa thức với hệ số nguyên

p-adic Khi đó, các điều sau là tương đương:

i f° có nghiệm chung trong (5 ,)°,

ii Với n >1, đa thức f° có một nghiệm chung trong (21! p"Z)".

Mệnh đề 1.8.3 Cho f° ¢Z ;l|X.›Ä; X„] là những đa thức thuân nhất với

hệ số nguyên p-adic Khi đó, các điều sau là tương đương:

i ƒ””có một nghiệm chung không tâm thường trong (Q „)”.

ii, f° có một nghiệm chung nguyên thiy trong (2 gỀ 5

iti, Với n>1, ƒ” có nghiệm chung nguyên thiy trong (51 p"Z)".

Bo đề 1.8.4 Cho ƒ Z2 [X] và ƒ là đạo hàm Cho xe%,,.n.k eZ sao cho 0<2k <n, ƒ(x)=0 (mod p"), v„(ƒ (x)) =k Khi đó ton tại y eZ, sao cho

f(x)=0 (mod pTM), v(ƒƑf(y))=k, y=x (mod p”*),

Định lí 1.8.5 Cho ƒ cZ,[X, X„], x=(x)e(Z„)", n,ke2 và j là số

nguyên sao cho OS j Sm Giá sử răng 0< 2k <n và

Ox

i

F(x) =0 (mod p") tà v, [2] =k.

Khi đó, ton tai y € (2 „)” sao cho f(y)=0 và y=x (mod pˆ?®)

Hệ quả 1.8.6 Cho đa thức f có hệ số trong Zz, và f(x) =0 (mod p”) với xe(Z,)" Khi đó, ton tại y €(Z,)" sao cho ƒ(y)=0 và y =x (mod p).

Hệ qua 1.8.7 Gia sứ p#2 và ae Cho ƒ(X)= ¥a,X,X , voi a, =a, làmột dang toàn phương với hệ số trong ®„ có định thức det(a,)là khả nghịch

Gia sử x, là nghiệm nguyên thủy của phương trình ƒ(x)=a (mod p) Khi đó

tôn tại x,€@, thỏa f(x,)=a và x, x, (mod p).

Định lí 2.1.1 Cho q là một lũy thừa nguyên tổ của p Khi đó,

i Néu p=2 thì tất cả các phan tử trong F, là bình phương.

ii Nếu p #2 thì bình phương của F là một nhóm con có chỉ số 2 trong F h

ii) Lay Q là một đóng đại số của F Nếu xe F và lay yeQ sao cho y°=x

thì ta có y#h= x'“°*2® =41 (vì x?!=1) Điều kiện cần và đủ để x là một bình

phương trong F, là yeF., có nghĩa là y” '=1 Do đó, FP? là hạt nhân của

xE>x'“”*, Hơn nữa, vì Ƒ` là nhóm cyclic cấp g—l nên chỉ số F? là 2 8

2.2 Thặng dư bậc hai và kí hiệu Legendre

Định nghĩa 2.2.1 Cho m là một số nguyên dương, số a được gọi là thang dư

bậc hai theo modulo m nếu (a,m) =1 và phương trình đồng dư xŸ =a (mod m)

có nghiệm Ngược lại ta nói a không là thang dư bậc hai theo modulo m.

Định nghĩa 2.2.2 Cho a là một số nguyên và p là một số nguyên tổ lẻ Kí hiệu

Legendre của a là hàm sô xác định như sau

0 Nếu pla

a

(=| =4l Néu a la thang dư bậc hai của p

ú —l Nếu a không là thang dư bậc hai của p.

Định lí 2.2.3 (Tiêu chuẩn Euler) Cho a là một số nguyên và p là một số

ml

nguyên to lẻ Khi đó (<) =a ` (mod p).

PpChứng minh Do p là số nguyên tổ lẻ va (a, p) =1, theo định lí Fermat ta có

Do đó, nếu a không là thang dư bậc hai thi a không thỏa mãn (3) nên nó thỏa

mãn (4) Theo định nghĩa của kí hiệu Legendre, ta có điều phải chứng minh.

Nếu ø là một số nguyên lẻ thì dé cho thuận tiện về mặt trình bày về sau, ta đặt e(n) và w(n) là các phân từ của 2/22 định nghĩa như sau:

Chứng minh (i), (ii), (iii) được suy ra từ Định lí 2.2.3 Bây giờ ta sẽ chứng

minh (iv) Nếu @ là một căn nguyên thủy bậc 8 của đơn vị trong bao đóng đại số

Q của F,, lấy phan từ y=a@+a' Khi đó: y =(a+a"y =ø°+ø”+2=2

(vì œÝ=—=I nên a@? +a =0) Ta có

yˆ=a”+a”,

Nếu p=+l (mod8) thì y" =a@+a"=y Do đó (2}-» ‘=1,

Nếu p=+5 (mod8) thì y’ =a°+a~ =ưz+- Lư" =+(a+a')=-y Do đó

-l là một thang dw bậc hai theo p nếu và chỉ nếu p 5l (mod4).

2 là một thang dư bậc hai theo p nếu và chỉ nếu p=+1 (mod8).

2.3 Luật thuận nghịch bậc hai

Cho p và / là hai số nguyên tổ khác nhau và khác 2 Khi đó ta có định lí sau gọi

là định lí của Gauss hoặc luật thuận nghịch bậc hai.

vậy, ở đây chúng tôi sẽ đưa ra ba cách chứng minh khác nhau cho luật thuận nghịch bậc hai.

Chứng minh cách thứ nhất của luật thuận nghịch bậc hai:

Cho Q là một bao đóng đại số của F„ và we) là một căn nguyên thủy bậc /

của đơn vị Nếu xe È; thi phần tử w* là một định nghĩa tốt vì w’ =1 Do đó, ta

Cách chứng minh thứ hai của luật thuận nghịch bậc hai

Trước hết ta cần kí hiệu sau đây.

Cho p là một sô nguyên tô khác 2 và S là một tập con của F, sao cho F, là hợp

việt as=e,(a)s, với e(4)=+l vas, ES.

Đề chứng minh luật thuận nghịch bậc hai, ta cần hai bỗ dé sau:

Bồ đề2.34.|S a) []e(@.

Chứng minh Xét ánh xa S$ > S,st 5, là một song ánh Vì nêu s vas’ là hai

phan tử khác thì s, #s (còn nếu s=>#' thì mâu thuẫn với cách chọn của S).

Bo đề 2.3.5 (Bồ đề lượng giác) Cho m là một số nguyên dương lẻ Khi đó

Sin?wnx 27E" =(-4) > H (sin* x—sin? 25},

= Xe cos” xi" sin*® x).

Suy ra sinmx= 3 Ci cosTM* xí" sinŸ x, Do đó, ta có :

Bay giờ, ta sẽ chứng minh luật thuận nghịch bậc hai.

Cho p và / là hai số nguyên tổ khác nhau và khác 2 Dat Ÿ={1 (p— D/2}

như trên, từ Bê dé 2.3.4 ta có

Vay tir (3) va (4) ta suy ra (2) =(-1)? 2 s)»

Cách chứng minh thứ ba của luật thuận nghịch bậc hai:

Đầu tiên, ta cần chứng minh hai bô đề sau đây.

Bỏ đề 2.3.6 (Bổ đề Gauss) Cho p là số nguyên tổ lẻ, a2, (a,p)=1 Đặt

Chứng minh Gọi 7;,7,, ,7, là các giá trị của z, vượt quá 2 Và Sy Spee là

a, =a, (modp) với j=l,2,

Khi đó, ta có

các giá tri còn lại Chúng nhận giá trị khác nhau và khác 0 Ta có

0<p—r,< pˆ2 với ¡=l, ,n và không có p—r, =s, Thật vậy, nếu p—r, =8,

thì =r =s, (mod p), s, =ua (mod p), 7, =va (mod p) dẫn tới wa =—va (mod p) Điều này mâu thuẫn với # #-—vw (mod p) Do vậy, ta có thê sắp thứ tự cho dãy

Sx52» /Ð)—y „/Pp—r, tương ứng nhận giá trị là 1,2, ,(p —1)/2 Ta có