Các kiến thức chuẩn bị
Phương trình hàm tuyến tính
1.1.1 Phương trình hàm tuyến tính tổng quát
Phương trình hàm tổng quát có dạng:
Phương trình F (x, ϕ(x), ϕ(f1(x)), , ϕ(fn(x))) = 0 chứa hàm ẩn ϕ và các hàm đã biết, trong đó chỉ số n biểu thị bậc của phương trình Do đó, phương trình hàm bậc 1 sẽ có dạng cụ thể.
Phương trình hàm tuyến tính tổng quát có dạng ϕ(f(x)) = g(x)ϕ(x) + h(x), trong đó ϕ là hàm chưa biết, f và g là các hàm đã cho Khi h ≡ 0, phương trình này trở thành ϕ(f(x)) = g(x)ϕ(x).
(1.2) được gọi là phương trình hàm tuyến tính thuần nhất tổng quát.
Hầu hết các phương trình tuyến tính quan trọng, bao gồm phương trình Schröder và phương trình Abel, đóng vai trò quan trọng trong toán học Phương trình Schröder có dạng σ(f(x)) = s.σ(x), trong đó s là một thừa số vô hướng Trong khi đó, phương trình Abel có dạng α(f(x)) = α(x) + A, với A khác không là một phần tử cố định trong miền giá trị của α, thường được xét trong trường hợp A = 1 do tính tuyến tính của phương trình.
Nếu ϕ và σ là các nghiệm của phương trình (1.2), thì kϕ + lσ (với k, l là hằng số) cũng là một nghiệm của phương trình này Điều này cho thấy rằng nếu (1.2) có nghiệm, thì sẽ có vô số nghiệm khác nhau Các nghiệm này tạo thành các họ nghiệm, trong đó các nghiệm trong cùng một họ chỉ khác nhau bởi một hằng số nhân.
1.1.2 Dãy các xấp xỉ liên tiếp
Xét F(X) là tập hợp tất cả các tự ánh xạ của tập X đã cho Do toán tử hợp 0 ◦ 0 có tính chất kết hợp trên F(X), nên (F(X), ◦) tạo thành một nửa nhóm với phần tử đơn vị id X Các luỹ thừa f^n, với n ∈ N và f là một phần tử của F(X), được gọi là dãy xấp xỉ liên tiếp của f.
Cho X là không gian tôpô Hausdorff và f : X → X là một hàm có các f n liên tục Nếu với một x ∈ X mà dãy (f n (x)) n∈N hội tụ tới x 0 ∈ X thì x 0 là điểm cố định của f.
Cho X là một không gian tôpô và f : X → X là một hàm bất kỳ Gọi x 0 là một điểm cố định của f Tập hợp
Điểm cố định x₀ của hàm f được gọi là điểm hút nếu nó thuộc miền hút A f (x₀), tức là lim n→∞ fⁿ(x) = x₀ với mọi x ∈ X Điều này có nghĩa là điểm hút x₀ sẽ thu hút các xấp xỉ liên tiếp từ mọi điểm trong lân cận của nó Định lý này được trích từ các nghiên cứu của Fatou và Barna.
Cho f là một tự ánh xạ liên tục của không gian tôpô X và cho x 0 ∈ X là một điểm cố định của f Khi đó
⊂ A f (x 0 ) (b) A f (x 0 ) là một tập mở nếu x 0 là hút.
Giả sử ta (1.5) có và với mọi f : X → X là hàm nửa liên tục trên bên phải Nếu f(x) < x; ∀x ∈ X\ {0} (1.6) thì với mọi x ∈ X, dãy (f n (x)) n∈ N là dãy giảm và n→+∞ lim f n (x) = 0 (1.7)
Hơn thế, nếu 0 < f (x) < x với ∀x ∈ X\ {0} thì ∀x ∈ X\ {0}, dãy {f n (x)} n∈N là dãy giảm nghiêm ngặt.
Do tính nửa liên tục trên bên phải của f cùng với (1.6) ngụ ý rằng f(0) = 0 Vì vậy, f (x) ≤ x; ∀x ∈ X ⇒ f n+1 (x) = f(f n (x) ≤ f n (x); ∀x ∈ X.
Nếu chúng ta có l = lim n→∞ f n (x) > 0, với x ∈ X thì l = lim x→∞ f n+1 (x) = lim x→∞ f n (x)) ≤ f (l) < l là một mâu thuẫn vì vậy ta có (1.7) Tính giảm nghiêm ngặt là hiển nhiên. Định lí 1.1.4.
Giả sử với (1.5) và xét một không gian mêtric (T, ρ) Giả sử rằng ánh xạ f : X×T → X liên tục vàf (x, t) < x, ∀(x, t) ∈ {X\{0}}×T Đặt g t (x) = f (x, t), (x, t) ∈
N tiến tới 0 hầu đều đối với (x, t) ∈ X × T. Định lí 1.1.5.
Cho X là một tập con đóng của K N chứa gốc Xét ánh xạ liên tục f : X → X sao cho |f (x)| < |x|, ∀x ∈ X\{0} Khi đó, sự hội tụ của (1.7) là hầu đều trên X.
Xét các giả thiết sau:
(i) f là một ánh xạ từ đoạn thực X = [0, a] vào chính nó với 0 < a ≤ ∞.
0 là hai dãy số dương và s ∈ (0, 1) sao cho cả hai dãy với các số hạng p n = x n+1 x n − s, q n = y n+1 y n − s, n ∈ N0 đều tiến tới 0 khi n → ∞ Nếu p n , q n ∈ (−s, 1 − s), n ∈N0 và
|p n − q n | < ∞ (1.8) thì n→∞ lim x n y n tồn tại và thuộc (0, ∞) (1.9) Hơn nữa, nếu hiệu p n − q n , n ∈N0 có dấu không đổi thì từ (1.9) suy ra (1.8) Định nghĩa 1.1.7.
Chúng ta ký hiệu R là họ các hàm đo được r : X →R + sao cho δ
0 r(x) x dx < ∞, δ ∈ (0, a) và với mọi α ∈ (0, 1) tồn tại β ∈ (1, ∞) sao cho hoặc r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.10) hoặc r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.11) Định lí 1.1.8.
Với các giả thiết (i) và (ii), nếu f là hàm liên tục, s ∈ (0, 1) và p(x) = O(r(x)) khi x → 0 với r ∈R thì với mọi x ∈ X\{0} giới hạn n→∞ lim f n (x) s n tồn tại và thuộc khoảng (0, ∞). Định lí 1.1.9.
Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn, với hàm f liên tục, s nằm trong khoảng (0, 1) và p là hàm đơn điệu, thì với mọi x thuộc tập X, tồn tại giới hạn ϕ(x) = lim n→∞ f n (x) s n Kết quả là ϕ có thể bằng 0, vô hạn, hoặc nằm trong khoảng (0, ∞) cho mọi x trong X Trường hợp ϕ nằm trong khoảng (0, ∞) xảy ra khi và chỉ khi δ thỏa mãn một điều kiện nhất định.
0 p(x) x dx hội tụ với δ ∈ (0, a). Định lí 1.1.10.
Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn với s=1, f là hàm liên tục và x→0 lim sup − x 1 t p(x)
= c ∈ (0, ∞)) thì với mọi d > C (tương ứng 0 < d < c) và với mọi x ∈ X\ {0} chúng ta có: f n (x) ≥ dtn 1 1/t (tương ứng f n (x) ≤ dtn 1 1/t
) với n ∈ N đủ lớn Hơn nữa, nếu f là hàm tăng thì với trường hợp sau bất đẳng thức f n (x) ≤ (dtn) −1/t đúng đều với z ∈ X ∩ [0, x].
1.1.3 Định lý Banach - Schauder Định lí 1.1.11.
Cho f là một tự ánh xạ của không gian metric đầy đủ (X, ρ) với điều kiện ρ(f(x), f(y)) ≤ θ.ρ(x, y) cho mọi x, y ∈ X và θ ∈ (0, 1) Khi đó, f có duy nhất một điểm cố định x₀ ∈ X, và miền hút của x₀ trùng với toàn bộ không gian X.
Cho X là một tập không rỗng, lồi và compact trong một không gian Banach, khi đó mọi tự ánh xạ liên tục trên X đều có một điểm cố định.
1.1.4 Các ánh xạ liên hợp
Chúng ta xét phương trình liên hợp: ϕ (f (x)) = g (ϕ(x)) (1.12)
Các ánh xạ f : X → X và g : Y → Y được gọi là liên hợp nếu tồn tại nghiệm song ánh ϕ : X → Y của phương trình (1.12).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai trường hợp quan trọng của phương trình Schröder và phương trình Abel Phương trình Schröder được biểu diễn bởi σ(f(x)) = S.σ(x), với S thuộc K N x N, trong khi phương trình Abel là α(f(x)) = α(x) + A, với A thuộc K N Điều này chỉ ra rằng hàm f liên hợp với một hàm tuyến tính g(y) = S.y Thêm vào đó, phương trình Bottcher được mô tả bởi β(f(x)) = [β(x)]^p, với g(y) = y^p và N = 1.
Các phương trình (1.13) và (1.15) được coi như các hàm giao hoán dạng: ϕ (f (x)) = f (ϕ(x)) (1.16)
Các tính chất của quan hệ liên hợp
Trong nhiều trường hợp, việc biến đổi hàm f thành g chỉ cần thực hiện cục bộ quanh điểm ξ ∈ X, thường là một điểm cố định của f Sau đó, chúng ta sẽ tìm nghiệm khả nghịch cục bộ cho phương trình (1.17).
Giả sử X là một lân cận của ξ = 0 ∈ K N, chúng ta có thể đặt ξ tại gốc toạ độ mà không mất tính tổng quát Hàm ϕ : X → X sẽ được coi là khả nghịch địa phương quanh gốc O nếu điều kiện detϕ 0 (0) 6= 0 được thỏa mãn.
Hơn nữa, để giữ lại điểm cố định ξ = 0 của f, chúng ta giả sử ϕ(0) = 0 (1.19)
Chúng ta giới thiệu khái niệm liên hợp trơn: Định nghĩa 1.1.13.
Các hàm f : X → X và g : X → X được gọi là các hàm C r – liên hợp nếu tồn tại một hàm ϕ có đạo hàm xác định và liên tục tới cấp r ≥ 1 trong một lân cận của gốc trong R N, thoả mãn các điều kiện (1.18), (1.19) và (1.17) trong lân cận của gốc.
Mỗi hàm trong lớp các hàm theo định nghĩa 1.1.13 tạo thành một nhóm dưới phép toán của các hàm thành phần Điều này dẫn đến việc mỗi quan hệ liên hợp trở thành một quan hệ bắc cầu Do đó, nếu f và g cùng liên hợp với hàm h: X → Y, thì chúng cũng sẽ liên hợp với nhau.
Cho X là một lân cận của gốc trong K N và cho các hàmf : X → X và g : X → X khả vi tại 0, f (0) = 0, g(0) = 0 Nếu f và g hoặc C r – liên hợp hoặc A – liên hợp thì ma trận f 0 (0) và g 0 (0) cũng liên hợp, vì thế chúng có cùng dạng Jordan chuẩn tắc.
Chứng minh. Đạo hàm hai vế (1.17) chúng ta được: ϕ 0 (f(x)).f 0 (x) = g 0 (ϕ(x)).ϕ 0 (x)
Vì thế khi thay x = 0 theo (1.18) ta có: f 0 (0) = C −1 g 0 (0).C Ở đó C = ϕ 0 (0) điều này có nghĩa là các ma trận f 0 (0) và g 0 (0) liên hợp.
1.1.5 Các chuỗi liên hợp hình thức
Hai chuỗi lũy thừa hình thức phức (FPSs) f và g được gọi là liên hợp hình thức nếu tồn tại một FPS ϕ khả nghịch sao cho ϕ ◦ f = g ◦ f, tức là f = ϕ −1 ◦ g ◦ ϕ Nếu ba chuỗi này có bán kính hội tụ dương, thì f và g được gọi là liên hợp giải tích.
Nếu f là một FPS có dạng: f(x) = x +
Có nghiệm hình thức duy nhất dạng: λ 0 (x) = b m x m +
X m+1 c n x n (1.22) nghiệm tổng quát của (1.21)được cho bởi λ(x) = c.λ 0 (x), ở đó c là hằng số bất kỳ. Định nghĩa 1.1.16.
(1) FPS λ 0 cho bởi công thức (1.22) được gọi là logarit lặp của FPS f cho bởi (1.20) và được ký hiệu bởi f ∗ hoặc logit(f ).
(2) Số m − 1 (trong (1.22)) được gọi là giá trị lặp của f, Ký hiệu: valit(f ).
Nghiệm của phương trình tuyến tính
1.2.1 Nghiệm đơn điệu của phương trình tuyến tính
Xét phương trình: ϕ ( f (x)) = g(x).ϕ(x) (1.23) với các giả thiết sau:
(ii) f : X → X là hàm tăng, liên tục và 0 < f (0) < x trên X.
(iii) g : X →R là hàm dương trên X.
Nếu giả thiết (i)→(iii) được thoả mãn và ϕ : X →R là một nghiệm của phương trình (1.23) thì hoặc ϕ = 0 hoặc ϕ > 0 hoặc ϕ < 0.
Giả sử ϕ(x₀) = 0 với x₀ ∈ X, theo (1.23) ta có ϕ(fₙ(x₀)) = 0 cho mọi n ∈ N₀ Do ϕ là đơn điệu, ϕ triệt tiêu trong đoạn [0; x₀], dẫn đến fₙ(x₀) → 0 khi n → +∞ (theo định lý 1.1.3) Ngược lại, nếu ϕ(x₁) ≠ 0 với x₁ ∈ X và x₁ > 0, theo phương trình (1.23) ta có ϕ(fₙ(x₁)) = 0 cho mọi n ∈ N₀, nhưng điều này mâu thuẫn với lim n→∞ fₙ(x₁) = 0 Do đó, ϕ phải bằng 0 hoặc khác 0 trên X, từ g > 0 suy ra ϕ có dấu không đổi với mọi dãy fₙ(x), x ∈ X Từ tính đơn điệu, ϕ giữ nguyên dấu trên toàn bộ X.
Với các giả thiết (i)→(iii) và: x∈X inf g(x) = 1 (1.24) thì hai nghiệm bất kỳ ϕ 1 , ϕ 2 của phương trình (1.23) sẽ sai khác một hằng số.
Cho ϕ 1 , và ϕ 2 là các nghiệm đơn điệu của (1.23), bổ đề 1.2.1 chỉ ra rằng nếu ϕ 2 là không đồng nhất bằng 0 trên x thì nó sẽ âm hoặc dương trên x.
* Nếu ϕ 2 = 0 thì ϕ 2 = 0.ϕ 1 ⇒ định lý đúng.
Nếu ϕ 2 khác 0, thì do ϕ là nghiệm của phương trình (1.23), ta có thể kết luận rằng −ϕ cũng là nghiệm Điều này cho phép giả định rằng ϕ 1 và ϕ 2 đều dương trên miền X Hơn nữa, từ (1.24), ta suy ra rằng g lớn hơn hoặc bằng 1 trên X, dẫn đến việc ϕ 1 và ϕ 2 là các hàm giảm trên miền X Đặt ω = ϕ ϕ 1.
2 thì ω : X →R và thỏa mãn phương trình: ω (f(x)) = ω(x) (1.25)
Với mọi x 0 ∈ X đặt X 0 = [f (x 0 ) , x 0 ] Theo tính đơn điệu của ϕ 1 và ϕ 2 chúng ta có ∀x 0 ∈ X:
Để chứng minh định lý với điều kiện k > 0 và K < ∞, ta cần chỉ ra k = K Giả sử k > K, ta chọn một hằng số c sao cho 1 < c^2 < Kk Theo (1.24), có thể chọn x₀ ∈ X sao cho g(x₀) < c Do đó, với mọi u, v ∈ X₀, nếu u < v thì ta có ω(v)ω(u) = ϕ₁(v)ϕ₂(u)ϕ₁(u)ϕ₂(v) ≤ ϕ₂(u)ϕ₂(v) ≤ ϕ₂(f(x₀))ϕ₂(x₀) = g(x₀) < c Khi chọn v = f(x₀), theo (1.25), ta có kết quả cần thiết.
Vì thế K k ≤ C 2 và do đó ϕ 1 = kϕ 2 Định lí 1.2.3.
Với giả thiết (i) → (iii) và n→∞ lim g (f n (x)) = 1 (1.27)
Nếu ϕ : X →R là một nghiệm đơn điệu của phương trình (1.23) thì: ϕ(x) = c lim n→∞
Y n=0 g(f n (x 0 )) g(f n (x)) (1.28) ở đó x 0 ∈ X là 1 điểm cố định tùy ý và c = ϕ(x 0 ).
Nếu ϕ khác 0, theo bổ đề 1.2.1, ϕ không đổi dấu trên X Giả sử ϕ dương và tăng, với x tùy ý trong X, từ (1.23) ta có ϕ(f^n(x)) = G^n(x)ϕ(x), n ∈ N Đặt y = max(x_0, x), từ định lý 1.1.3, tồn tại m ∈ N sao cho x_0, x nằm trong [f^m(y), y] Dựa vào tính đơn điệu của ϕ và (1.29), ta có kết quả mong muốn.
Từ (1.27) khi n → ∞ ta có: n→∞ lim ϕ (f n (x)) ϕ (f n (x 0 )) = 1; ∀x ∈ X (1.30) Dùng (1.29) cho x và x 0 theo (1.30) chúng ta thu được (1.28) với c = ϕ(x 0 ). Định lí 1.2.4.
Dưới giả thiết (i) → (iii) và khi hàm g đơn điệu với lim g(x) = 1 khi x→0, phương trình (1.23) sẽ có duy nhất một họ nghiệm đơn điệu ϕ : X → R Các nghiệm này được xác định bởi công thức (1.28), trong đó x0 ∈ X là một điểm cố định bất kỳ và c ∈ R là một hằng số tùy ý (tham số).
Chúng ta giả sử rằng g là hàm tăng (trong trường hợp khác chứng minh hoàn toàn tương tự) Chúng ta phải chứng minh dãy trong (1.28) hội tụ.
Cố định x 0 ∈ X bất kỳ, lấy một x ∈ X bất kỳ và đặt y = max(x 0 ; x), khi đó tồn tại m ∈N sao cho x 0 , x ∈ [f m (y), y] Vì thế f n (x 0 ), f n (x) ∈ [f n+m (y), f n (y)] với n ∈N 0 và g(f n+m (y)) n ≤ g(f n n (x 0 )) ≤ g(f n+m n (y)) với n ∈N0
Dãy G G n (x 0 ) n (x) bị chặn trên và dưới bởi các hằng số dương, theo (1.31) suy ra (1.27) Hơn nữa, dãy này là đơn điệu, với điều kiện g(f n (x 0 )) /g(f n (x)) ≥ 1 (hoặc ≤) cho mọi n ∈ N 0, kéo theo x 0 ≥ x (hoặc x 0 ≤ x).
Tích hữu hạn trong (1.28) hội tụ với mọi x ∈ X, và với c ∈ R, công thức (1.28) xác định một hàm không tầm thường trừ khi c=0 Hàm ϕ : X → R là đơn điệu nhờ vào tính đơn điệu của g và f là hàm tăng Có thể dễ dàng kiểm tra rằng ϕ thoả mãn phương trình (1.23), và tính duy nhất của nó được đảm bảo bởi định lý 1.2.3.
Xét phương trình: ϕ(f(x)) = ϕ(x) + h(x) (1.32) Ở đó (iv) h : X → R là một hàm số, với các giả thiết (i), (ii), và (iv) ta có các định lý sau: Định lí 1.2.5.
X h = 0 thì hai nghiệm đơn điệu bất kỳ của phương trình (1.32) trên X sai khác nhau một hằng số. Định lí 1.2.6.
Cho lim n→∞ h(f n (x)) = 0; ∀x ∈ X; nếu ϕ : X → R là một nghiệm đơn điệu của (1.32) thì: ϕ(x) = c −
[h(f n (x)) − h(f n (x 0 ))] (1.33) x 0 ∈ X là một điểm cố định tuỳ ý và c = ϕ(x 0 ) là một hằng số. Định lí 1.2.7.
Nếu hàm h là đơn điệu và giới hạn khi x tiến tới 0 của h(x) là 0, thì phương trình (1.32) sẽ có một họ nghiệm đơn điệu duy nhất ϕ : X → R Các nghiệm này được xác định bởi công thức (1.33), trong đó x₀ ∈ X là một giá trị cố định bất kỳ và c ∈ R là một hằng số tùy ý (tham số).
Xét phương trình tuyến tính tổng quát: ϕ(f (x)) = g(x)ϕ(x) + h(x) (1.34) Định lí 1.2.8.
Với giả thiết (i) → (iv) và cho g, h là các hàm tăng Hơn nữa, giả sử có điều kiện (1.31) và n→∞ lim h(f n (x))
= 0; ∀x ∈ X (1.35) thì ∀x 0 ∈ X tồn tại họ nghiệm ϕ : X → R của phương trình (1.34) là các hàm không âm và giảm trên [0; x 0 ], các nghiệm này cho bởi công thức: ϕ(x) = c.ϕ 0 (x) +
(1.36) Ở đó ϕ 0 (x) = lim n→+∞ [G n (x 0 )/G n (x)] và c ≥ 0 là một tham số.
Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (1.34) dưới dạng tích của các hàm thỏa mãn phương trình (1.23) và (1.32) Theo lập luận trong chứng minh của định lý 1.2.4, hàm ϕ 0 là nghiệm dương giảm của phương trình (1.23) Định nghĩa hàm bh : X → R với bh(x) = h(x)/ϕ 0 (f(x)), cho thấy bh là hàm tăng trên X Theo các phương trình (1.35) và (1.29) với ϕ được thay thế bởi ϕ 0, ta có n→+∞ lim bh(f n (x)) = lim n→+∞ h(f n (x)).
(1.37) là một nghiệm đơn điệu của phương trình: ϕ(f(x)) =b ϕ(x) + b bh(x)
Theo định lý 1.2.7, với c ≥ 0, hàm ϕ là hàm giảm và không âm trên khoảng (0; x 0] Do đó, hàm ϕ(x) = ϕ 0 (x) thỏa mãn phương trình (1.34) và cũng là hàm không âm, giảm trên (0; x 0] Công thức (1.36) được suy ra từ (1.37) và (1.29) khi thay thế ϕ bằng ϕ 0.
1.2.2 Nghiệm lồi (lõm) của phương trình tuyến tính
Chúng ta giả sử rằng:
(ii)f : X → X là lõm và tăng nghiêm ngặt,0 < f (x) < xtrên X và lim [f (x)/x] = 1.
Nếu các giả thiết (i) – (ii) được thỏa mãn thì: x→∞ lim f n+1 (x) − f n (x) f n+1 (y) − f n (y) = 1; ∀x, y ∈ X (1.39)
Chúng ta giả sử y ≤ x, để đơn giản các ký hiệu ta đặt: x n = f n (x); y n = f n (y), n ∈N (1.40)
Theo định lý 1.1.3, khi x_n tiến đến 0, tồn tại một số k ∈ N sao cho x_k ≤ y ≤ x Do f là hàm lõm, ta có f + 0 (x_n) ≤ f(x_n+1) - f(x_n) / (x_n+1 - x_n) ≤ f + 0 (x_n + 1), với f + 0 là đạo hàm bên phải Điều kiện (ii) cho thấy lim x→0 f + 0 (x) = 1, từ đó dẫn đến n→∞ lim (f(x_n+k) - x_n+k) / (f(x_n) - x_n).
(nhớ rằng f(x p ) = x p+1 ), điều kiện (ii) cũng ngụ ý rằng x → f (x) − x là một hàm âm và giảm trên X Từ x n ≤ y n ≤ x n+k chúng ta có:
Và (1.39) thu được từ (1.41) và (1.40).
Chúng ta thêm giả thiết:
(iii) h : X → R là hàm tăng và lõm (giảm và lồi) trên X và tồn tại giới hạn
Nếu các giả thiết (i) → (iii) được thoả mãn thì phương trình (1.38) có một họ nghiệm duy nhất lồi (lõm) ϕ : X →R được cho bởi công thức: ϕ(x) = c −
[h(f n (x)) − h(f n (x 0 ))] + Lα(x, x 0 ) (1.42) ở đó x 0 ∈ X là phần tử bất kỳ cố định và c ∈R là tham số.
Theo định lý 1.2.7 các chuỗi (xem (1.33) và (1.43)) ϕ(x) = b
[(h(x n ) − L) − (h(z n ) − L)]hội tụ trong X và tổng của chúng thoả mãn phương trình: ϕ(f(x)) =b ϕ(x) + (h(x)b − L)
Ứng dụng bổ đề 2.2.1 cho hàm ϕ theo (1.42) tồn tại và thỏa mãn phương trình (1.38) trên tập X, dẫn đến việc ϕ là hàm lồi (hoặc lõm) trên X nhờ vào tính chất của f và h Để chứng minh tính duy nhất, giả sử ϕ : X → R là một hàm lồi thỏa mãn phương trình (1.38), chúng ta sẽ chứng minh rằng ϕ được xác định bởi công thức (1.42) với một giá trị c nhất định.
Cố định một x 0 ∈ X và lấy x ∈ [f(x 0 ), x 0 ) thì z n+1 ≤ x n < z n , n ∈N và từ quan hệ tăng của ϕ đối với điểm (z n , ϕ(z n )) ta có: h(z n ) z n+1 − z n = ϕ(z n+1 ) − ϕ(z n ) z n+1 − z n ≤ ϕ(x n ) − ϕ(z n ) x n − z n tương tự: h(z n−1 ) z n − z n−1 = ϕ(z n ) − ϕ(z n−1 ) z n − z n−1 ≥ ϕ(x n ) − ϕ(z n ) x n − z n
Vì thế chúng ta thu được x n − z n z n − z n−1 h(z n−1 ) ≤ ϕ(x n ) − ϕ(z n ) ≤ α n (x, x 0 )h(z n ) (1.44)
Khi n tiến tới vô cùng, theo (2.20) và (iii), biểu thức bên phải của (1.44) sẽ tiến tới Lα(x, x 0 ) Giới hạn này cũng đạt được ở bên trái của (1.44) Dựa vào (1.43) và (2.20), với y = f −1 (x 0 ), ta có mối quan hệ x n − z n z n − z n−1 = α n (x, x 0 ) f n+1 (x 0 ) − f n (x 0 ) f n+1 (y) − f n (y) Áp dụng bổ đề 1.2.9 và 2.2.1 cho (1.44) và (1.43) khi n tiến tới vô cùng, ta nhận được giới hạn: n→∞ lim [ϕ(f n (x)) − ϕ(f n (x 0 ))] = Lα(x, x 0 ) (1.45).
Nhưng (1.46), (1.45) thực chất là (1.42) với c = ϕ(x 0 ) và ϕxác định duy nhất (sai khác một hằng số) trong [f(x 0 ), x 0 ) và vì thế theo (1.46) nó cũng đúng trên toàn bộ X.
Xét phương trình thuần nhất: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) (1.47)
(ii) f : X → X liên tục, tăng và 0 < f (x) < x trong X, hàm x → f (x)/x đơn điệu trên X và lim x→0 h f(x) x i
(iii) g : X → R là hàm dương, liên tục, đơn điệu trên X và thoả mãn lim x→0 g(x) = g 0 , 0 < g 0 < ∞.
Với các giả thiết (i)-(iii) và g 0 = 1 mọi nghiệm dương đơn điệu ϕ : X → R của phương trình (1.47) là các hàm thay đổi chậm.
1.2.3 Nghiệm liên tục của phương trình tuyến tính Định lí 1.2.12.
Cho X = (0; a], 0 < a ≤ ∞ và Y là một không gian Banach trên K Giả sử rằng các hàm f : X → X, g : X →K, h : X → Y liên tục trên X, f là hàm tăng nghiêm ngặt, 0 < f (x) < x trên X và g(x) 6= 0 trên X Nếu x 0 ∈ X là một điểm bất kỳ cố định và X 0 = [f(x 0 ); x 0 ] thì với mọi hàm ϕ 0 : X 0 → Y thoả mãn điều kiện: ϕ 0 (f(x 0 )) = g(x 0 ).ϕ 0 (x 0 ) + h(x 0 ) (1.48)
Có thể mở rộng duy nhất lên X tới một nghiệm ϕ : X → Y của phương trình: ϕ(f(x)) = g (x).ϕ(x) + h(x) (1.49)
Vì vậy, ϕ là liên tục trên X nếu ϕ 0 liên tục trên X 0.
(i) X = (0; a], 0 < a ≤ ∞ và Y là một không gian Banach trên K.
(ii) Các hàm f : X → X, g : X → K liên tục trên X Hơn thế 0 < f (x) < x và g(x) 6= 0 trên X\{0}.
(iii) f tăng nghiêm ngặt trên X.
Sử dụng phép quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng nếu ϕ : X → Y là nghiệm của phương trình (1.50) thì: ϕ(f n (x)) = G n (x).ϕ(x), x ∈ X, n ∈N (1.51) Ở đó:
Chúng ta phân biệt ba trường hợp:
(A) Giới hạn G(x) = lim n→∞ G n (x) tồn tại, liên tục và khác không trên X.
(B) lim n→∞ G n (x) = 0 liên tục đều trên một đoạn con của X.
(C) Hoặc là (A) hoặc là (B) xảy ra. Định lí 1.2.13.
Giả sử các giả thiết (i) và (ii) được thỏa mãn, và trong trường hợp (A) xảy ra, nghiệm liên tục tổng quát ϕ : X → Y của phương trình (1.50) được xác định bởi công thức ϕ(x) = y.
G(x) , (1.53) Ở đó y ∈ Y là bất kỳ Vì vậy phương trình (1.50) có một họ nghiệm duy nhất.
Phương trình Schr¨ oder và Abel
Phương trình Schr¨ oder
2.1.1 Nghiệm đơn điệu của phương trình Schr¨ oder Định lí 2.1.1.
Cho X = [0; a] , 0 < a ≤ ∞ và giả sử rằng f : X → X là liên tục và tăng nghiêm ngặt trên X, 0 < f (x) < x trong X\ {0}, hàm x → f (x)/x đơn điệu trên X\ {0} và x→0 lim f(x) x = s(0 < s < 1) thì phương trình Schr¨oder: σ(f(x)) = s.σ(x) (2.1) có duy nhất một họ nghiệm σ : X →R sao cho hàm x → σ(x)/x là đơn điệu trên X\ {0}, các nghiệm này cho bởi công thức: σ(x) = c lim n→∞ f n (x) f n (x 0 ) (2.2) Ở đó c là hằng số thực bấy kỳ và x 0 là một điểm cố định tuỳ ý trong X\ {0}.
Nếu 0 ∈ X thì σ(0) = 0 theo (2.1) phù hợp với (2.2)
Vì vậy, hàm σ : X → R là một nghiệm của phương trình (2.1), với điều kiện rằng ϕ(x) = σ(x) x, x ∈ X\ {0} là đơn điệu khi và chỉ khi ϕ là nghiệm đơn điệu của phương trình ϕ(f (x)) = s.x f (x) ϕ(x) (2.3) trong X\ {0} Do đó, nghiệm đơn điệu của phương trình (2.3) được xác định theo định lý 1.2.4 với G n (x) = s n /f n (x).
2.1.2 Nghiệm lồi của phương trình Schr¨ oder
Xét phương trình Schr¨oder: σ(f (x)) = sσ(x) (2.4) Định lí 2.1.2.
Nếu hàm số f : X → X là lồi hoặc lõm và tăng nghiêm ngặt trên X\{0}, đồng thời lim x→0 [f(x)/x] = s (với 0 < x < 1), thì phương trình (2.4) sẽ có duy nhất một họ nghiệm σ : X → R, là một hàm lồi hoặc lõm trên X Các nghiệm này được xác định bởi công thức σ(x) = c lim n→∞ f^n(x) / f^n(x₀), trong đó c là hằng số bất kỳ và x₀ là một điểm bất kỳ trong X\{0}.
Hàm tỷ số f(x)/x là đơn điệu khi f là hàm lồi hoặc lõm Theo định lý 2.1.1, các hàm (2.5) là nghiệm của phương trình (2.4) với điều kiện σ(x)/x là hàm đơn điệu Tất cả các hàm f_n (n ∈ N) đều là các hàm lõm hoặc lồi, do đó σ được xác định bởi công thức (2.5) cũng thuộc loại này.
Hơn nữa, do nghiệm σ : X → R của (2.4) là lõm hoặc lồi nên σ(x)/x là đơn điệu và kéo theo tính duy nhất.
2.1.3 Nghiệm khả vi của phương trình Schr¨ oder
Chúng ta sẽ chứng minh một định lý về các nghiệm khả vi σ : X →R của phương trình Schr¨oder: σ(f (x)) = sσ(x) (2.6)
(ii) f : X → X thuộc lớp C 1 trên X, 0 < f (x) < x, f 0 (x) > 0 trên X\ {0} và f 0 (x) = s + O(x δ ), x → 0, δ > 1, 0 < s < 1.
Nếu f ∈ C 2 trên X và f 0 (0) = s thì quan hệ tiệm cận (ii) tất nhiên được thoả mãn. Định lí 2.1.4.
Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn, phương trình (2.6) sẽ có một nghiệm duy nhất σ : X → R thuộc lớp C 1 trên X với điều kiện σ 0 (0) = 1 Nghiệm này được xác định bởi công thức σ(x) = lim n→∞s −n f n (x) và là hàm tăng nghiêm ngặt trên X, đồng thời thoả mãn điều kiện σ 0 (x) = 1 + O(x δ ) khi x tiến tới 0.
Trước hết chúng ta chú ý rằngσ(0) = 0với bất cứ nghiệmσ : X →Rnào của (2.6). Hơn thế, phương trình (2.6) có nghiệm σ thuộc lớp C 1 trên X sao cho σ 0 (0) = 1 nếu và chỉ nếu phương trình: ϕ(f (x)) = s f 0 (x) ϕ(x) (2.9)
Có nghiệm liên tục ϕ : X →R sao cho ϕ(0) = 1 Rõ ràng, ta có σ(x) = x
Từ f 0 (x) = s + O(x δ ), ta suy ra f (x) = sx + O(x 1+δ ) và s/f 0 (x) = 1 + O(x δ ) khi x → 0 Áp dụng định lý 1.2.17 vào phương trình (2.9), ta chứng minh rằng nghiệm liên tục ϕ : X →R với ϕ(0) = 1 tồn tại và duy nhất Điều này cũng áp dụng cho nghiệm thuộc lớp C 1 của (2.6) trên X với σ 0 (0) = 1 Để chứng minh (2.8), ta sử dụng công thức bσ(x) = 1 + x δ ϕ(x) với x b ∈ X\{0} và ϕ(0) = 0, liên kết nghiệm b σ thuộc lớp C 1 của (2.6) với nghiệm ϕ b thuộc lớp B của phương trình ϕ(fb (x)) = b g(x) ϕ(x) + b bh(x).
Theo định lý 1.2.16, với điều kiện |b g(0)| > 1, phương trình (2.10) có nghiệm duy nhất b σ trong lớp B Ngoài ra, nghiệm tương ứng của phương trình (2.6) cũng là duy nhất, với b σ thuộc lớp C 1 trên X.
0 (0) = 1 để b σ = σ Vì vậy nghiệm σ tìm được có tính chất (2.8).
Từ σ 0 (0) = 1, σ tăng nghiêm ngặt trên một lân cận của gốc và theo (2.6) nó cũng tăng nghiêm ngặt trên X.
Cuối cùng ta chứng minh công thức (2.7), lặp lại (2.6) bằng quy nạp ta thu được: σ(x) = s −n σ(f n (x)) = s −n f n (x)
Với x ∈ X\ {0} và n ∈N, vì thế (2.7) kéo theo khi lim n→∞ f n (x) = 0 và σ 0 (0) = 1, khi x = 0 thì (2.7) là tầm thường.
2.1.4 Nghiệm trơn của phương trình Schr¨ oder trong R N
Kết quả sau được giới thiệu trong Kuczma [14] Xét phương trình Schr¨oder: σ (f(x)) = Sσ(x) (2.11) Ở đó S ∈R N ×N , theo định lý 1.1.14 phương trình (2.11) có nghiệm trơn chỉ khi
S và f 0 (0) liên hợp (f 0 (0) = C.S.C −1 ) vì thế chúng ta có thể giả sử f 0 (0) = S. Giả sử rằng
(i) X là một lân cận của không trong R N và f : X → R N là hàm thuộc lớp C r , r ≥ 1, f (0) = 0, f 0 (0) = S, det(S) 6= 0.
Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thỏa mãn, các nghiệm đặc trưng s 1 , s 2 , , s N của S thỏa mãn 0 ≤ |s 1 | ≤ ≤ |s N | ≤ 1, điều kiện s q 1 1 ã ã ã s q N N 6= s i với i = 1, , N, q 1 , , q N ∈N 0 (2.12) ở đó
P j=1 q j = p, p = 2, , r được thỏa mãn và nếu |s N | r+δ < |s 1 | thì phương trình
(2.11) có duy nhất một nghiệm thuộc lớp C r là σ : U → R N trong lân cận U của gốc sao cho σ(0) = 0, σ 0 (0) = E và σ (r) (x) = σ (r) (0) + O
Theo định lý 2.1.5 với δ = 0, có sự tồn tại duy nhất nghiệm σ của phương trình (2.11) thuộc lớp C^r, thỏa mãn σ(0) = 0 và σ'(0) = E, dưới giả thiết rằng hàm f là hàm thuộc lớp C^r trên X, với f(0) = 0, f'(0) = S, và tỉ lệ |s_N|^r / |s_1| < 1 Điều kiện (2.12) cũng phải đúng với p = 2, , r (xem S Sternberg [26]) Định lý sau được trích dẫn từ Hartman [10] và Hartman [11], cụ thể là định lý 2.1.7.
Nếu giả thiết (i) được thỏa mãn với r ≥ 2 và |s k | < 1 (k = 1, , N), trong đó s k là các nghiệm đặc trưng của S, thì phương trình (2.11) có nghiệm σ : U → R N thuộc lớp C 1 trong lân cận U của gốc, với điều kiện σ 0 (0) = E.
Nếu không phải mọi nghiệm đặc trưng của S đều nằm bên trong hình tròn đơn vị thì chúng ta có định lý sau (xem Sternberg [27]) Định lí 2.1.8.
Nếu điều kiện (i) được thỏa mãn với r ≥ 2 và |s k | khác 1 cho k = 1, , N, trong đó s k là các nghiệm đặc trưng của S, thì nếu điều kiện (2.12) với p = 2, , r cũng được thỏa mãn, phương trình (2.11) sẽ có một nghiệm σ : U → R N thuộc lớp C ρ, với 1 ≤ ρ ≤ r, trong lân cận U của gốc và thỏa mãn σ 0 (0) = E Hơn nữa, giá trị ρ sẽ tiến tới vô cực khi r tiến tới vô cực, và ρ sẽ bằng vô cực khi r cũng bằng vô cực.
2.1.5 Nghiệm giải tích của phương trình Schr¨ oder Áp dụng định lý 1.2.21 vào phương trình Schr¨oder: σ(f(x)) = s.σ(x) (2.13) ta thu được một định lý nổi tiếng của G.Koenigs[13] Định lí 2.1.9.
Cho X ⊂C là một lân cận gốc, f : X →C là một hàm giải tích thoả mãn: f(0) = 0, f 0 (0) = s, 0 < |s| < 1 thì phương trình (2.13) có duy nhất một nghiệm LAS là σ thoả mãn σ 0 (0) = 1, nghiệm này cho bởi công thức: σ(x) = lim n→∞ s −n f n (x) (2.14)
Vì S(f 0 (0)) k = S k+1 6= 1, ∀k ∈ N, nên hệ (1.73) áp dụng cho phương trình (2.13) có nghiệm duy nhất Điều này dẫn đến sự tồn tại duy nhất của nghiệm LAS σ cho (2.13), được chứng minh từ định lý 1.2.21 Công thức (2.14) được thiết lập dựa trên lập luận tương tự như trong chứng minh định lý 2.1.4 (công thức (2.7)).
Nếu hàm khả nghịch σ thỏa mãn phương trình (2.13), thì nghịch đảo của nó ϕ = σ −1 cũng thỏa mãn phương trình Poincaré: ϕ(sx) = f(ϕ(x)) Trong trường hợp |s| = 1 và s không phải là căn của đơn vị, kết quả thu được từ định lý 1.2.23 Ngược lại, nếu s là căn của đơn vị, chúng ta có kết quả theo định lý 2.1.11.
Nếu các điều kiện của định lý 2.1.9 được thỏa mãn ngoại trừ việc s là căn bậc p của đơn vị, thì phương trình (2.13) sẽ có một nghiệm LASσ với σ(0) = 0 và σ'(0) = 1, nếu và chỉ nếu f_p = id, trong trường hợp này nghiệm này không phải là duy nhất.
Từ (2.13) ta có σ(f p (x)) = σ(x) Vì thế f p = id nếu σ là một nghiệm LAS khả nghịch của (2.13) Đảo lại, nếu f p = id và g : X →C là một hàm giải tích tuỳ ý thì: σ(x) = p−1
X i=0 s −i g(f i (x)) (2.15) là một nghiệm LAS của (2.13) Nếu g(0) = 0 và g 0 (0) = p −1 thì σ(0) = 0 và σ 0 (0) = 1.
Công thức (2.15) với g chạy qua các hàm giải tích tại gốc cung cấp nghiệm LAS tổng quát cho phương trình khi f p = id Mọi nghiệm σ có thể được biểu diễn dưới dạng (2.15) với g(x) = p −1 σ(x).
Phương trình Abel
2.2.1 Nghiệm lồi của phương trình Abel
Chúng ta giả sử rằng:
(ii)f : X → X là lõm và tăng nghiêm ngặt,0 < f (x) < xtrên X và lim x→0 [f (x)/x] = 1.
Nếu các giả thiết (i)-(ii) được thoả mãn thì ∀x, y ∈ X tồn tại giới hạn α(x, y) = n→∞ lim α n (x, y), ở đó: α n (x, y) = f n (x) − f n (y) f n+1 (x) − f n+1 (y) (2.20) và với mọi y cố định thuộc X hàm α (., y) thoả mãn phương trình Abel: α(f (x), y) = α(x, y) + 1 (2.21)
Chúng ta xem xét lại ký hiệu (1.40) với x ∈ [f(x); y), từ đó suy ra y n+1 ≤ x n ≤ y n Do f là hàm lõm, sai phân của nó sẽ giảm, cụ thể là f (y n+1) − f(y n) / (y n+1 − y n) ≥ f(x n) − f(y n) / (x n − y n) Điều này dẫn đến 0 < α n+1 (x, y) ≤ α n (x, y) với α n (x, y) = (x n − y n) / (y n+1 − y n) và giới hạn (2.20) tồn tại trong [f(y); y] Đối với các giá trị khác của x trong X, kết quả hội tụ được xác định từ đẳng thức α n (f(x), y) = α n (x, y) + (f n+1 (x) − f n (x)) / (f n+1 (y) − f n (y)), và từ bổ đề 1.2.9 khi n → ∞, chúng ta thu được (2.21).
Chúng ta thu được từ định lý 1.2.10 định lý sau: Định lí 2.2.2.
Nếu giả thiết (i) và (ii) được thoả mãn, phương trình (2.22) sẽ có một họ nghiệm lồi duy nhất α : X → R Các nghiệm này được xác định bởi công thức α(x) = c + lim n→∞ (f n (x) − f n (x 0 )) / (f n+1 (x 0 ) − f n (x 0 )), với x 0 ∈ X là một điểm cố định bất kỳ và c ∈ R là một hằng số bất kỳ Hơn nữa, các nghiệm này giảm nghiệm ngặt trên X.
Trong bổ đề 2.2.1, đã chứng minh rằng sự phụ thuộc đơn điệu tồn tại Cụ thể, với mọi hàm f n là hàm tăng và f n+1 (x 0 ) < f n (x 0 ), ta có α được xác định bởi (2.23) là một hàm giảm, lồi, và nó sẽ là hằng hoặc giảm nghiêm ngặt trong lân cận của gốc, theo (2.22) Do đó, từ (2.22), ta kết luận rằng α là một hàm giảm nghiêm ngặt trên miền X.
2.2.2 Nghiệm khả vi của phương trình Abel
Xét nghiệm của phương trình Julia: λ(f(x)) = f 0 (x).λ(x) (2.24) trong lớp hàm
D = {ϕ : X → R , ϕ liên tục trên X và khả vi tạix = 0}
Chúng ta giả thiết rằng:
(ii) f : X → X thuộc lớp C 1 trên X, 0 < f (x) < x, f 0 (x) > 0 trên X\ {0} và f 0 (x) = s + O(x δ ), x → 0, δ > 1, 0 < s < 1.
(iii) f : X → X là lồi hoặc lõm và thuộc lớp C 1 trên X, 0 < f (x) < x và f (0) 6= 0 trên X\ {0}.
Chúng ta đặt s = f 0 (x 0 ) với 0 ≤ s ≤ 1 Chứng minh rằng λ ∈ D là nghiệm của phương trình (2.24) nếu và chỉ nếu ϕ(x) = λ(x)/x, với ϕ(0) = λ 0 (0), là nghiệm liên tục của phương trình ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) theo Định lý 2.2.3.
Với các giả thiết (i) và (ii), ta thay thế quan hệ tiệm cận bằng f 0 (x) = 1 − b(m + 1)x m + O(x m+δ ) khi x tiến đến 0, trong đó b, m, δ là các hằng số dương Dựa trên phương trình (2.24), tồn tại một họ nghiệm liên tục duy nhất λ : X → R, với λ(x) = x m+1 (c + O(x τ )), khi x tiến đến 0 và c thuộc R, trong đó τ = min(m, δ) Các nghiệm này được xác định bởi công thức λ(x) = c lim n→∞ [(f n (x)) m+1 /(f n ) 0 (x)].
Chúng ta định nghĩa λ(x) = x m+1 ϕ(x) với mỗi nghiệm λ : X → R của phương trình (2.24), có tương ứng một nghiệm liên tục ϕ : X → R của phương trình (2.25) sao cho ϕ(x) = c + O(x τ ) khi x tiến tới 0 Ở đây, g(x) được xác định là x m+1 f 0 (x)(f (x)) −m−1 cho x thuộc X\{0} và g(0) = 1 Hai nghiệm này có mối liên hệ với nhau theo công thức (2.29) Để giải phương trình (2.25) với g đã cho, ta nhận thấy rằng quan hệ (2.26) cho thấy f(x) = x − bx m+1 + O(x m+1+δ ).
Theo định nghĩa g(x) = 1 + O(x m+τ) khi x tiến tới 0, theo định lý 1.2.18 (xem thêm định lý 1.2.13), phương trình (2.25) sở hữu một họ nghiệm liên tục duy nhất ϕ: X → R Các nghiệm này được xác định bởi công thức ϕ(x) = c lim n→∞ n−1.
= c lim n→∞ x −m−1 (f n (x)) m+1 /(f n ) 0 (x) và chúng có tính chất ϕ(x) = c + O(x τ ), x → 0 Hàm λ xác định bởi (2.29) thoả mãn các điều kiện của định lý.
Xét phương trình Abel α(f(x)) = α(x) + 1 (2.31), có thể thấy rằng phương trình này không thể có nghiệm xác định tại điểm cố định của f, do đó 0 không thuộc tập X Chúng ta sẽ thay thế giả thiết (i) bằng một giả thiết khác.
Nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn, nghiệm của phương trình (2.31) có thể được xác định thông qua định lý 2.1.4, nhờ vào sự hỗ trợ của nghiệm khả vi từ phương trình Schrödinger.
Dưới các giả thiết (i’) và (ii), phương trình (2.31) có một nghiệm duy nhất α : X → R thỏa mãn điều kiện α(x) = log x/ log s + ϕ(x), trong đó lim x→0 ϕ(x) tồn tại và hữu hạn Các nghiệm này được biểu diễn bởi công thức α(x) = log σ(x)/ log s + c, với c ∈ R, trong đó σ : X ∪ {0} → R là một nghiệm thuộc lớp C 1 của phương trình (2.6).
Chúng ta có thể mở rộng không gian X lên X ∪ {0} bằng cách đặt f(0) = 0 Theo định lý 2.1.4, phương trình (2.6) có duy nhất một nghiệm thuộc lớp C^1, ký hiệu là σ: X ∪ {0} → R, thỏa mãn điều kiện σ'(0) = 1 Rõ ràng rằng hàm α được xác định bởi công thức (2.32) với c = 0 có đầy đủ các tính chất mong muốn.
Gọi α ˜ : X → R là một nghiệm khác của phương trình (2.31) với điều kiện ˜ α(x) = log log x s + ˜ ϕ(x) và α ˜ có giới hạn hữu hạn khi x → 0 Hàm ω(x) = ˜ α(x) − α(x) = ˜ ϕ(x) − ϕ(x) thỏa mãn phương trình ω(f (x)) = ω(x) và cũng có giới hạn hữu hạn tại 0, từ đó suy ra ω = const Điều này cho thấy nghiệm α là duy nhất, chỉ khác một hằng số Khi đạo hàm hai vế của (2.31), ta có α 0 (f(x)).f 0 (x) = α 0 (x).
Vì vậy phương trình Julia cũng có mối liên hệ với phương trình Abel Trong trường hợp s = 1 chúng ta có định lý sau. Định lí 2.2.5.
Giả sử (i’) và (ii) được thoả mãn nhưng quan hệ tiệm cận được thay thế bởi (2.26) thì phương trình (2.31) có một họ nghiệm duy nhất α : X → R thuộc lớp
C 1 trên X thỏa mãn điều kiện α 0 (x) = x −m−1 ϕ(x), với lim x→0 ϕ(x) tồn tại hữu hạn Các nghiệm giảm nghiêm ngặt trên X được xác định bởi công thức α(x) = c + lim n→∞ f n (x) − f n (x 0 ) f n+1 (x 0 ) − f n (x 0 ), trong đó x 0 ∈ X là điểm cố định và c là hằng số bất kỳ Hơn nữa, α 0 (x) có dạng −b −1 x −m−1 + O(x −m−1+τ) khi x tiến về 0, với τ = min(m, δ).
Chứng minh. Định lý này được chứng minh phác hoạ như sau Cố định một x 0 ∈ X và đặt α(x) = r x
Để xác định hằng số r trong phương trình Z x 0 dt λ(t) , (2.36), với λ : X → R được mô tả bởi (2.28) với c = 1, cần xem xét các tính chất đã nêu trong định lý 2.2.3 Các công việc tiếp theo cần được kiểm tra lại để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
- Sự hội tụ trong (2.28) là hầu đều trên X.
- Theo định lý 1.1.10, (2.26) và tính đơn điệu của f n ta có: n→∞ lim (nbm) 1/m f n (x) = 1, (2.37)
Theo công thức (2.28), ta có λ(x) = lim n→∞ h(nb m) −1−1/m /(f n) 0 (x) hội tụ hầu đều trong X Do đó, có thể hoán đổi ký hiệu lim với ký hiệu tích phân trong (2.36), dẫn đến α(x) = r lim n→∞ h(nb m) 1+1/m (f n(x) − f n(x 0)).
- Từ λ thoả mãn (2.24), chúng ta có α(f (x)) − α(x) = α(f (x 0 ))
- Theo (2.30) (xem (2.26)), (2.38) và (2.37) ta có α(f (x 0 )) = −rb.
- Trong (2.38) lấy r = −1/b chúng ta được (2.31).
- Công thức (2.34) với c = 0 có được bằng cách dùng (2.38) (r = −1/b) cho cả hai α(x) và α (f (x 0 )) = 1 và sau đó đưa chúng về dạng thương.
- Tính chính quy và đơn điệu của α được kéo theo từ (2.36) (r = −1/b).
Một số áp dụng liên quan
Các nghiệm chính
Trong nhiều ứng dụng của phương trình Schröder và Abel, nghiệm duy nhất thường được xác định thông qua phương pháp xấp xỉ liên tiếp của hàm f Theo G Szekeres, có một loại nghiệm đặc biệt được gọi là nghiệm chính của phương trình Schröder và Abel.
Chúng ta lấy X = [ 0; a| , 0 < a ≤ ∞ và f : X → X là một hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt, 0 < f (x) < x trong X\ {0}. Định nghĩa 3.1.1.
Giả sử giới hạn \( s := \lim_{n \to \infty} \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} \), với \( x \in X \setminus \{0\} \) tồn tại và không phụ thuộc vào \( x \) Nếu chọn \( x_0 \in X \setminus \{0\} \) và giới hạn \( \sigma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{f_n(x)}{f_n(x_0)} \), với \( x \in X \) tồn tại, dương và hữu hạn trong \( X \setminus \{0\} \), thì nó thỏa mãn \( \sigma(f(x)) = s \cdot \sigma(x) \) và được gọi là nghiệm chính của phương trình Schrödinger.
Nếu thêm x 1 ∈ X\ {0} và thay thế x 0 trong (3.3), ta sẽ nhận được một giới hạn khác với một hằng số nhân Do đó, nghiệm chính của phương trình Schröder là duy nhất, chỉ khác nhau bởi một hằng số.
Trong trường hợp tổng quát, các nghiệm chính gần gũi hơn với các nghiệm khác của (3.4) Các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại giới hạn (3.3) đã được trình bày trong định lý 2.1.1, 2.1.2 và bổ đề 1.2.11.
Nếu tồn tại giới hạn eσ(x) = lim n→∞ s −n f n (x), x ∈ X (3.5) thì giới hạn (3.3) tồn tại Điều ngược lại không đúng.
E Seneta [25] đã chứng minh được rằng điều kiện tồn tại của e σ, 0 < e σ < ∞ là sự hội tụ của tích phân: δ
(f(x) − sx) x −2 dx vớiδ ∈ X\ {0}(xem định lý 1.1.9) Công thức (3.5) được gọi là thuật toán Koenigs (xem định lý 2.1.4).
Bây giờ, cho (d n ) n∈ N là dãy các số thực bất kỳ mà: n→∞ lim
Cho dãy (d n ) có tính chất (3.6), nếu tồn tại giới hạn α(x) := lim n→∞
(f n (x) − f n (x 0 )) , x ∈ X\ {0} (3.7) ở đó x 0 ∈ X\ {0} thì nó thỏa mãn: α (f(x)) = α(x) + 1 (3.8) và nó được gọi là nghiệm chính của phương trình Abel (3.8).
Giới hạn (3.7) không phụ thuộc vào lựa chọn dãy (d n ) thỏa mãn (3.6) Khi thay thế x 0 trong (3.7) bằng x 1 ∈ X\ {0}, chúng ta nhận được một giới hạn khác với một hằng số cộng Do đó, nghiệm chính của phương trình Abel xác định khác với một hằng số cộng.
Nếu (3.6) đúng với d n = f n+1 (x 0 ) − f n (x 0 ), ở đó x 0 ∈ X\ {0} và nếu tồn tại giới hạn: α(x) = lime n→∞ f n (x) − f n (x 0 ) f n+1 (x 0 ) − f n (x 0 ) , x ∈ X\ {0} (3.9) thì nó là nghiệm chính của (3.8).
Công thức (3.9) được gọi là thuật toán Lévy Định lý 2.2.2 và 2.2.5 đưa ra các điều kiện để thuật toán Lévy có thể thực hiện được.
Hệ tiền Schr¨ oder
Cho X là một tập hợp và hàm f : X → X, các nghiệm σ : X → K của phương trình Schr¨oder: σ (f (x)) = s.σ(x) (3.10) là các hàm riêng (tương ứng với giá trị riêng s ∈K) của toán tử thay thế T (ϕ) = ϕ ◦ f xác định trong không gian các ánh xạ ϕ : X →K.
Để khử hằng số s trong biểu thức (3.10), chúng ta sẽ lặp lại biểu thức này n lần, sau đó nâng cả hai vế của (3.10) lên lũy thừa bậc n và so sánh các kết quả thu được Qua quá trình này, chúng ta sẽ đạt được một hệ thống các phương trình.
Hệ này được giới thiệu bởi Gy Targonski [28] với tên là hệ tiền Schr¨oder.
3.2.1 Hệ tương đương và các hàm tự đồng cấu
Hệ tiền Schroder (3.11) chỉ có ý nghĩa khi n ≥ 2, vì với n = 1, nó trở thành một đồng nhất thức Mọi nghiệm σ : X → K của phương trình (3.10) đều thỏa mãn các phương trình (3.11), nhưng điều ngược lại không đúng.
Hàm σ : X → K thỏa mãn phương trình (3.11) với n ≥ 2 nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm ω : X →K sao cho σ và ω thỏa mãn hệ các phương trình: σ (f(x)) = ω(x).σ(x) (3.12) và
Giả sử n ≥ 2, có thể thấy rằng (3.12) và (3.13) suy ra (3.11) Ngược lại, nếu hàm σ : X → K thỏa mãn (3.11), ta định nghĩa ω(x) = σ(f(x)) / σ(x) khi σ(x) ≠ 0 và ω(x) = 0 trong trường hợp ngược lại Từ (3.11), nếu σ(x) = 0 thì suy ra σ(f(x)) = 0, do đó (3.12) được xác định bởi ω : X → K Hơn nữa, nếu σ(x) = 0, thì ω(x) = ω(f(x)) = 0 và (3.13) cũng đúng; nếu σ(x) ≠ 0 thì
Đẳng thức [ω(x)] n = σ(f(x)) n σ(x) n = σ (f n (x)) σ(x) cho thấy rằng σ (f n (x)) = ω(x) ω f n−1 (x) σ(x) theo (3.12) Đối với n = 2, phương trình (3.13) trở thành ω(x) = ω (f(x)) (3.14), điều này chứng tỏ rằng (3.13) đúng với mọi n ≥ 2 Do đó, theo định lý 9.2.1, nếu (3.11) thỏa mãn với n = 2 thì nó cũng sẽ thỏa mãn với n ≥ 2.
Nghiệm của (3.14) được gọi là các hàm tự đồng cấu Cấu trúc của chúng được xác định bởi cấu trúc quỹ đạo của X dưới ánh xạ f. Định lí 3.2.2.
Cho X, Y là các tập hợp bất kỳ và f : X → X là một hàm bất kỳ Hàm ω : X → K được coi là thỏa mãn phương trình (3.14) nếu và chỉ nếu nó là hằng số trên các quỹ đạo của f.
Cho x, y ∈ X, x ∼ f y (xem mục 1.1) thì tồn tại p, q ∈ N 0 sao cho f p (x) = f q (y) Vì vậy chúng ta thu được từ (3.14) ω(x) = ω (f p (x)) = ω (f q (x)) = ω(y).
Chú ý 3.2.3. Định lý 3.2.1 và 3.2.2 vẫn còn đúng khi ta thay K bởi một trường (giao hoán)
F Chúng ngụ ý rằng nếu X rút gọn về một quỹ đạo đơn dưới ánh xạ f thì hệ (3.11) và phương trình (3.10) là tương đương Nhưng nếu X bao gồm nhiều hơn một quỹ đạo thì (3.10) và (3.11) là không tương đương với một số lớn các lớp hàm (Kuczma [14]).
3.2.2 Sự tương đương của phương trình Schr¨ oder và hệ tiền
Nếu chúng ta giới hạn lớp các hàm được nghiên cứu trong hệ (3.11), thì (3.11) và (3.10) có thể trở thành tương đương Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày hai định lý để chứng minh điều này Giả sử rằng:
(i) X ⊂K là một lân cận của gốc.
(ii) f : X → X là một hàm sao cho f (0) = 0 và f 0 (0) tồn tại.
Trước hết chúng ta xét lớp hàm khả vi tại gốc. Định lí 3.2.4.
Nếu các giả thiết (i), (ii) được thỏa mãn và f (x) 6= 0 với mọi x ∈ X\ {0}, k→0 lim f k (x) = 0 với mọi x ∈ X thì hàm σ : X → K thỏa mãn hệ (3.11), có đạo hàm hữu hạn σ 0 (0) 6= 0 cũng thỏa mãn (3.10) với s = f 0 (0).
Chúng ta có σ(x) 6= 0 trong X\ {0} Cho σ(x 0 ) = 0 (x 0 ∈ X\ {0}) ngụ ý rằng σ f k (x 0 )
Hàm ω(x) = σ(f(x)) / σ(x) với mọi x ∈ X \ {0} thỏa mãn phương trình (3.14), theo định lý 3.2.1 Điều này dẫn đến việc ω(x) = ω f k (x), và điều kiện σ(0) = 0 sẽ xác định giá trị của hàm này, có thể bằng không hoặc vô hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết đã đưa ra.
, x ∈ X\ {0} , k ∈N (3.15) Chúng ta có với mọi x ∈ X\ {0} ω f k (x)
= 1 theo đẳng thức đầu tiên trong (3.16).
Nếu σ(0) = 0 thì từ đẳng thức thứ hai trong (3.16) ta thu được lim k→∞ ω f k (x)
= f 0 (0) Theo (3.15) trong cả hai trường hợp ω là hằng số trên X\ {0} và σ thỏa mãn (3.10) với s = 1 hoặc s = f 0 (0) Theo tính liên tục của σ tại không (3.10) đúng trong toàn bộ X.
Nếu s = 1, thì σ trở thành một tự đẳng cấu liên tục tại điểm không, dẫn đến việc nó là hàm hằng trên X Điều này dẫn đến kết luận rằng σ 0 (0) = 0, mâu thuẫn với giả thiết, do đó s = f 0 (0) Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét lớp các hàm giải tích trên X theo Định lý 3.2.5.
Nếu các giả thiết (i) và (ii) được thỏa mãn, với f là hàm giải tích trên X, f(x) ≠ 0 (với x ≠ 0) và |f'(0)| < 1, thì một hàm giải tích σ: X → K thỏa mãn hệ (3.11) cũng sẽ thỏa mãn (3.10) với s = f'(0)q, trong đó q là bậc của 0 của σ tại gốc Nếu σ = 0, thì s có thể được chọn tùy ý.
Chọn r > 0 sao cho U = {x ∈K : |x| < r} ⊂ X và 0 < |f (x)| < |x| trong U \ {0}. Nếu σ(x 0 ) = 0 với x 0 ∈ U \ {0} thì σ f k (x 0 )
= 0, ∀k ∈N, theo định lý 1.1.5, σ = 0 trên X Rõ ràng trong trường hợp này (3.10) đúng với s bất kỳ.
Bây giờ giả sử rằng σ(x) 6= 0 trong U \ {0} ta viết σ(x) = x q ψ(x), q ∈N0 , ψ(0) 6= 0.
Và ta lại có ω(x) = σ (f(x)) /σ(x) trong U \ {0} thỏa mãn (3.14) Chúng ta có với mọi x ∈ U \ {0} ω(x) = lim k→∞ ωf k(x) = lim k→∞
Vì thế σ thỏa mãn (3.10) với s = f 0 (0) q trong U \ {0}, do σ là hàm giải tích nên(3.10) đúng trên toàn bộ X.
Hệ Schr¨ oder-Abel và các phương trình kết hợp
Trong mục này phương trình Schr¨oder và Abel sẽ xuất hiện cùng với phương trình kết hợp:
Chúng ta quan tâm tới các phương trình dạng (3.17) mà tồn tại duy nhất nghiệm
T là ánh xạ hình vuông đơn vị vào một khoảng đơn vị trong R, các kết quả giới thiệu ở đây được trích ra từ W.F.Darsow – M.J.Frank [9].
3.3.1 Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn
Chúng ta giới hạn ở việc xem xét một lớp nghiệm đặc biệt của (3.17) ĐặtX = [0; 1] và A ∗ = A\ {0} với A ⊂ X. Định nghĩa 3.3.1.
Hàm Archimedean T: X 2 → X là một nghiệm liên tục và tăng theo từng biến, thỏa mãn các điều kiện T(0, x) = T(x, 0), T(1, x) = T(x, 1) = x với mọi x ∈ X, và T(x, x) < x với mọi x ∈ (0, 1) Nếu một hàm Archimedean tăng nghiêm ngặt đối với mỗi biến trên X*, nó được gọi là hàm kết hợp hoàn toàn, viết tắt là “s.A”.
Mọi s.A T đều được cho bởi công thức (xem Aczél[1, § 6.2.2]):
(3.18) ở đó ϕ : X ∗ →R + là một song ánh giảm bất kỳ và ϕ được gọi là sinh của T.
Nếu ϕ là sinh của một s.A T, thì nó liên tục trên X ∗ và sinh ϕ sẽ được xác định sai khác một hằng số nhân Cho T là một s.A sao cho (3.18) đúng với các phần tử sinh ϕ 1 và ϕ 2, đặt φ = ϕ 2 ◦ ϕ −1 1 Do đó, φ :R + → R + là hàm giảm nghiêm ngặt và thỏa mãn phương trình Cauchy: φ(u + v) = φ(u) + φ(v), với u, v ∈R +, kéo theo φ = ku, k > 0 Từ đó, chúng ta có ϕ 2 = kϕ 1.
Chúng ta sẽ giới thiệu các khái niệm chéo và u – lớp của hàm Archimedean kết hợp T Cụ thể, hàm f(x) = T(x, x) với x ∈ X* được gọi là chéo của T Hàm f được xác định bằng cách thay y = x trong phương trình (3.18) Đáng chú ý, f này cũng liên quan đến phương trình Schröder: ϕ(f(x)) = 2ϕ(x) với x ∈ X*.
Tương tự, chúng ta cố định một u ∈ (0; 1) và đặt: g (x) = T (x, u) (3.21)
Khi đó g được gọi là u – lớp của T Không mất tính tổng quát, giả sử rằng ϕ(u) = 1 chúng ta thu được từ (3.18) (bằng cách thay y = u) phương trình Abel: ϕ (g (x)) = ϕ(x) + 1, x ∈ X ∗ (3.22)
Với u cố định thì chéo và u – lớp của s.A T có các tính chất sau.
(1) Một tự ánh xạ f trên X là chéo của một s.A T nếu và chỉ nếu nó tăng nghiêm ngặt trên X và 0 < f (x) < x trên (0; 1), f (0) = 0, f (1) = 1.
(2) Một tự ánh xạ g trên X là u – lớp của một s.A T nếu và chỉ nếu nó tăng nghiêm ngặt trên X, ánh xạ X vào [0; u] và 0 < g(x) < x trên X ∗ , g(0) = 0, g(1) = u.
Để chứng minh, điều kiện cần trong cả hai trường hợp là rõ ràng theo (3.19), (3.21) và định nghĩa 3.3.1 Đối với điều kiện đủ, nếu f là hàm thỏa mãn các điều kiện của định lý, chúng ta áp dụng chú ý 3.6.3 để tìm ra một nghiệm giảm nghiêm ngặt ϕ : X ∗ → R + của (3.20) sinh ra T Tương tự, chúng ta cũng có thể xác định điều kiện đủ cho trường hợp (2) Định lý 3.3.4.
Cho V là một tập con của X, T 0 và T là hai s.A với phần tử sinh tương ứng là ϕ và ϕ 0
(a) Giới hạn trên V của chéo của T 0 và T trùng nhau nếu và chỉ nếu ϕ 0 = σ 0 ϕ, ở đó: σ(2t) = 2.σ(t), t ∈ ϕ(V + ) (3.23)
(b) Cho u ∈ (0, 1) bất kỳ cố định, hạn chế trên V của u – lớp của T 0 và T trùng nhau nếu và chỉ nếu ϕ 0 (u) = ϕ(u) = 1 và ϕ 0 = α 0 ϕ, ở đó: α(t + 1) = α(t) + 1, t ∈ ϕ(V ∗ ) (3.24)
Để áp dụng công thức cho chéo của T, ta sử dụng f = ϕ −1 0 (2ϕ) (xem (3.20)) Đối với u – lớp của T, công thức g = ϕ −1 0 (ϕ + 1) được áp dụng (xem (3.22)), và với T 0, ta thay ϕ bằng ϕ 0.
3.3.2 Kết hợp các phương trình Schr¨ oder và Abel
Chúng ta cần xem xét các yếu tố liên quan đến s.A T khi cả chéo và u-lớp đã được xác định Một phần tử sinh của T phải đồng thời thỏa mãn phương trình Schrödinger và Abel Mục tiêu của chúng ta là thiết lập các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính duy nhất của s.A T dưới các hạn chế f và g đã được đưa ra.
Giả sử u ∈ X ∗ là cố định và có các ánh xạ T 0 và T với các phần tử sinh tương ứng là ϕ 0 và ϕ (với ϕ 0 (u) = ϕ(u) = 1) Các chéo của T 0 và T trùng nhau trên tập A ⊂ X, trong khi các u–lớp của T 0 và T trùng nhau trên tập B ⊂ X Theo định lý 3.3.4, hàm φ = ϕ 0 ϕ −1 phải thỏa mãn hai phương trình: φ(2x) = 2φ(x) với x ∈ ϕ(A ∗ ) và φ(x + 1) = φ(x) + 1 với x ∈ ϕ(B ∗ ) Chỉ có các nghiệm chung φ của hai phương trình này là đồng nhất cho A và B Để φ = id R +, điều kiện cần thiết là ϕ 0 = ϕ, tức là T 0 = T, và T sẽ được xác định duy nhất bởi các hạn chế của nó trên tập.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh một định lý quan trọng liên quan đến trường hợp khi A = X hoặc B = X Ký hiệu f 0 và f đại diện cho các chéo của T 0 và T, trong khi các u – lớp tương ứng được ký hiệu là g 0 và g Định lý 3.3.5 sẽ được trình bày để làm rõ hơn về mối quan hệ giữa các tập hợp này.
Nếu T 0 và T là các s.A thì một trong hai điều kiện sau sẽ ngụ ý rằng T = T 0 : (a) g 0 = g và f 0 (x) = f(x); ∀x ∈ A = [0; a] , 0 < a ≤ 1
(a) Hàm (3.25) thỏa mãn phương trình (3.26) trong ϕ(A ∗ ) = [ϕ(a), ∞) và phương trình (3.27) trong ϕ(X ∗ ) = R + Áp dụng phương trình (3.27), bằng quy nạp ta được φ(x + n) = φ(x) + n, x > 0, n ∈ N 0 và từ φ(1) = ϕ 0 ϕ −1 (1)
Từ (3.26) bằng quy nạp ta có: φ(x) = 2 −n φ(2 n x) (3.28)
Với x ≥ ϕ(a), n ∈N, ta cố định một số nguyên k ≥ ϕ(a) với bất kỳ số hữu tỷ nhị nguyên dương t = m.2 −n chúng ta có φ(t) = φ(t + k) − k = 2 −n φ (2 n (t + k)) − k =
2 −n φ(m + k.2 n ) − k = t dot +k ≥ ϕ(a)và m + k.2 n là một số nguyên Vì vậy, φ(t) = t trên một tập trù mật của R + Từ tính liên tục của φ (xem chú ý 3.3.2) ta suy ra điều phải chứng minh.
Bây giờ, điều kiện (3.26) được thỏa mãn trong R+ và (3.27) thỏa mãn trong [ϕ(b), ∞) Chọn một số nguyên dương k sao cho 2^k ≥ ϕ(b) Sử dụng (3.28) với x ≥ 0 và n ∈ N cùng với ϕ(1) = 1, từ (3.27) ta suy ra φ(m) = m với mọi m ≥ 2^k Cho t là số hữu tỷ nhị nguyên dương bất kỳ, chọn một số nguyên n ≥ k sao cho 2^n t ∈ N và 2^n t ≥ 2^k Do đó, φ(t) = 2^(-n) φ(2^n t) = 2^(-n) (2^n t) = t, từ tính liên tục của φ, ta có φ(x) = x với mọi x ≥ 0.
3.3.3 Sự tồn tại của các phần tử sinh
Chúng ta chuyển qua vấn đề về sự tồn tại của một Archimedean T trong tình huống sau.
Cho A và B là các đoạn con đóng của X với chou ∈ (0, 1) cố định Giả sử f: A → X và g: B → X là các hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt Câu hỏi đặt ra là: Điều kiện nào đảm bảo tồn tại một s.A T 0 sao cho f và g là các hạn chế của chéo f 0 và u–lớp g 0 của nó? Để trả lời, chúng ta sẽ tiến hành phân tích các điều kiện cần thiết.
Trước tiên, chúng ta cần tìm một ánh xạ liên tục, giảm nghiêm ngặt từ tập A ∗ ∪ f(A ∗ ) vào R + thỏa mãn phương trình (3.20) trong A* Sau đó, cần thiết lập một song ánh tăng σ từ tập ϕ (A ∗ ∪ f(A ∗ )) vào chính nó, thỏa mãn phương trình (3.23) trong ϕ(A ∗ ) Theo định lý 3.3.4, các T 0 mà nhận f là hạn chế của chéo f 0 được sinh ra bởi hàm ϕ 0 có hạn chế trên A ∗ ∪ f(A ∗ ) với dạng σ ◦ ϕ.
G là một mảnh của u – lớp g 0 của T 0 nếu và chỉ nếu phần tử sinh ϕ 0 của T 0 mở rộng giảm nghiêm ngặt lên X* của hàm α ◦ ϕ e, với ϕ e : B.
∗ ∪ g(B ∗ ) → R + là hàm liên tục, giảm nghiêm ngặt thỏa mãn (3.22) trong B ∗ và α là một tự ánh xạ tăng nghiêm ngặt của tập ϕ e (B
Nếu miền xác định của ϕ và ϕ e không chồng lấn, các hàm σ ◦ ϕ và α ◦ ϕ e có thể mở rộng thành phần tử sinh ϕ 0 của T 0 Tuy nhiên, khi các miền xác định chồng lấn, bài toán trở nên rất phức tạp và thường không thể giải được Chúng tôi sẽ trình bày một nghiệm của bài toán trong trường hợp A = B = [u, 1], trong khi các trường hợp khác đã được đề cập trong nghiên cứu của Darsow – Frank [9].
Các hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt f, g : [u, 1] → X tương ứng là các hạn chế của chéo và u–lớp của một s.A T.
Vì vậy, (xem định nghĩa 3.3.1) chúng cần phải thỏa mãn các điều kiện:
Theo lập luận từ chú ý 3.6.3, ta có A ∗ ∪ f(A ∗ ) = [f (u), 1] và tìm được hàm ϕ liên tục, giảm nghiêm ngặt xác định trên [f (u), 1] = [g(u), 1], thỏa mãn (3.20) trong [u, 1] với ϕ(u) = 1 Khi thay x = u và x = 1 vào (3.20), theo (3.29) ta có ϕ(g(u)) = 2 và ϕ(1) = 0 Như vậy, ϕ ánh xạ đoạn [g(u), 1] lên toàn bộ [0; 2] và [u; 1] lên X = ϕ(A) Xét các hợp σ ◦ ϕ với σ : [0; 2] → [0; 2] là các hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt thỏa mãn (3.23) trên ϕ(A) = X, hy vọng rằng một trong các hợp này sẽ là nghiệm của phương trình (3.22).
Vì thế,σ phải là một nghiệm tăng nghiêm ngặt từ [0, 2] vào chính nó của hệ Abel – Schr¨oder: σ(2x) = 2σ(x), x ∈ X (3.30) σ (h(x)) = σ(x) + 1, x ∈ X (3.31) Ở đó h là hàm liên hợp với g theo ϕ: h(x) = ϕ ◦ g ◦ ϕ −1
Hàm h là một hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt với h(0) = ϕ(g(1)) = ϕ(u) = 1 và h(1) = ϕ(g(u)) = 2, do đó h ánh xạ X lên khoảng [1;2] Từ đó, chúng ta đã chứng minh được định lý 3.3.6.
Cố định u ∈ (0; 1) và f, g : [u, 1] → X là các hàm liên tục và tăng nghiệm ngặt thoả mãn các điều kiện (3.29) Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(a) Tồn tại một s.A T có chéo và u–lớp khi hạn chế trên [u, 1] tương ứng bằng với f và g.
Hệ Abel và các phương trình vi phân có lệch
Chúng ta xét phương trình vi phân bậc một với lệch f (x) là:
Bằng cách thực hiện phép đổi biến x → t = ϕ(x), phương trình A(f) = 0 được chuyển đổi thành dạng khác với lệch g(t), trong đó g = ϕ ◦ f ◦ ϕ −1 Qua đó, chúng ta dẫn đến phương trình liên hợp (1.12), với ϕ là hàm khả nghịch và đủ trơn Nếu ta muốn có một lệch hằng g(t) = t + c, phương trình (1.12) trở thành phương trình Abel: α(f(x)) = α(x) + c Để tìm nghiệm α thích hợp, chúng ta sẽ áp dụng lý thuyết về các nghiệm khả vi.
Bây giờ chúng ta xét phương trình bậc n với k lệchf 1 (x), f 2 (x), , f k (x)làA n (f 1 , , f k ) =
0 Việc tồn tại một phép biến đổi α biến phương trình này thành phương trình dạng B n (g 1 , , g n ) = 0 với các lệch hằng số: g i (t) = t + c i , i = 1, , k; c i 6= 0. tương đương với việc tồn tại một nghiệm chung α của hệ các phương trình Abel đồng thời: α (f i (x)) = α(x) + c i , i = 1, , k, c i 6= 0 (3.37)
Hệ (3.37) sẽ được giải dưới các giả thiết sau:
(i) X ⊂R là một tập mở bị chặn hoặc một khoảng vô hạn.
(ii) f i : X → X thuộc lớp C n trên X, f i 0 (x) > 0, ∀x ∈ X, f i (x) 6= x trên X, f i (X) = X với i = 1, 2, , k, n ∈N.
3.4.1 Nhóm các phép biến đổi
Chúng ta giả thiết thêm:
(iii) Tồn tại một nghiệm chung α : X → R của (3.37) thuộc lớp C n trên X và α 0 (x) > 0 trên X.
Từ (iii) kéo theo rằng α(X) = R, lấy x 0 ∈ X, j ∈ {1, , k}
Và nhận xét rằng α là hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt trên X.
Các hàm f i có thể được nhúng vào nhóm các phép biến đổi một tham số được định nghĩa bởi công thức α −1 (α(x) + c), với c thuộc R Tất cả các hợp hữu hạn của f i và nghịch đảo của nó f i −1 cũng nằm trong nhóm này, và chúng ta ký hiệu tập hợp này là một nhóm.
Dễ dàng chứng minh được các tính chất sau của nhóm F.
Giả sử các giả thiết (i) – (iii) được thỏa mãn khi đó:
(a) Hai phần tử bất kỳ của F là giao hoán và F là một nhóm.
(b) Hai hàm bất kỳ của F mà bằng nhau tại một điểm của X thì đồng nhất trùng nhau.
Một câu hỏi đặt ra là tập hợp các điểm nằm trên đồ thị của hàm thuộc F là trù mật trong X 2 hay không Đặt
Chúng ta nhớ lại điều kiện trù mật đối với các tập con của R.
Giả sử rằng k ∈ N, k ≥ 2 và c i ∈R \ {0} , i = 1, , k Tập hợp
M = {x ∈R : x = s 1 c 1 + + s k c k , s i ∈ Z} (3.38) trù mật trong R nếu và chỉ nếu có ít nhất một thương c i /c j là số vô tỷ.
Nếu các giả thiết (i) – (iii) được thỏa mãn thì:
(a) Tập G trù mật trong X 2 nếu và chỉ nếu có ít nhất một cặp (i, j) với i, j ∈ {1, , k} sao cho thương c i /c j là số vô tỷ.
(b) Nếu G không trù mật trong X 2 thì có một hàm g : X → X thuộc lớp C n trên X sao cho g 0 (x) > 0, g(x) > x trên X và f i là các xấp xỉ liên tiếp của g, f i = g m i , m i ∈Z , i = 1, , k.
(a) phép biến đổi T : X 2 → R 2 , (x, y) → (α(x), α(y)) là một vi phôi do α 0 (x) > 0 trên X Vì vậy tập T(G) trù mật trong R 2 khi G trù mật trong X 2 Nhưng
: t ∈R , s i ∈Z là trù mật trong R 2 nếu và chỉ nếu tập
M được định nghĩa bởi (3.38) trù mật trong R Từ tính chất (3.37) ta có điều phải chứng minh.
(b) Nếu G không trù mất trong R 2 thì theo (a) có d > 0 sao cho c i = m i d với m i ∈Z Hàm g : X → X, g(x) = α −1 (α(x) + d) có các tính chất mong muốn. Theo khẳng định (b) của bổ đề 3.4.1, hàm H : G →R được cho bởi
H(x, y) = f 0 (x) ở đó f ∈F và f (x) = y (3.39) là định nghĩa tốt Nó có các tính chất sau.
Giả sử (i) – (iii) đúng Khi đó:
(a) Hàm H : G →Rđược xác định bởi (3.39)là dương trên G và thỏa mãn phương trình.
Tồn tại một hàm dương H* là mở rộng của H lên không gian X2, thuộc lớp C n−1 và thỏa mãn điều kiện (3.40) trên X2 Hơn nữa, H có một mở rộng duy nhất khi G trù mật trong X2.
(a) Tính dương của h được kéo theo từ (ii) và định nghĩa của nó Bây giờ, nếu (x, y), (y, z) ∈ G thì tồn tại h 1 , h 2 ∈ F sao cho h 1 (x) = y, h 1 (y) = z Vì vậy (h 1 ◦h 2 )(x) = z vàh 1 ◦h 2 ∈F, ở đó(x, z) ∈ G Theo tính chất(h 1 ◦ h 2 )
H ∗ (x, y) = α 0 (x)/α 0 (y) trên X 2, với α là hàm trong (iii) H* dương và thuộc lớp C n−1, đồng thời thỏa mãn (3.40) trên X 2 với (x, y) ∈ G sao cho f(x) = y, trong đó f ∈ F Do đó, f được biểu diễn như một hợp của các xấp xỉ liên tiếp của f i, với i = 1, , k Theo (iii), ta có α(f(x)) = α(x) + const.
Do đó H ∗ (x, y) = α 0 (x)/α 0 (f(x)) = f 0 (x) = H(x, y) tức là H ∗ | G = H Tính duy nhất là hiển nhiên.
3.4.2 Hệ các phương trình Abel đồng thời
Bổ đề 3.4.3 và 3.4.4 gợi ý cho sự tồn tại định lý sau đối với hệ (3.37) (xem Newman [21]) Định lí 3.4.5.
Nếu các giả thiết (i), (ii) được thỏa mãn Trong hai trường hợp sau sẽ tồn tại các hằng số c i 6= 0, i = 1, , k sao cho hệ (3.37) có nghiệm α : X → R thuộc lớp
C n trên X và thỏa mãn α 0 (x) > 0 trên X (tức là khẳng định (iii) đúng).
(a) Tồn tại hàm g : X → X thuộc lớp C n trên X, thỏa mãn g’(x) > 0, g(x) > x trên X và có các số nguyên m i 6= 0 sao cho f i = g m i , i = 1, , k.
(b) Tập G trù mật trong X 2 , hàm H : G → R xác định tốt theo (3.39) và có một mở rộng H ∗ : X 2 → R thuộc lớp C n−1 trên X 2 đồng thời thỏa mãn phương trình (3.40) trong X 2
(a) Từ định lý 1.2.20 chúng ta biết rằng phương trình Abel α (g(x)) = α(x) + 1
Có một nghiệm α : X → R thuộc lớp C n trên X thỏa mãn α 0 (x) > 0 trong X (nghiệm này chứa một hàm bất kỳ) Hàm α thỏa mãn hệ (3.37) với c i = m i từ đó chúng ta có: α (f i (x)) = α (g m i (x)) = α(x) + m i , i = 1, , k
Trước tiên, cần lưu ý rằng H* > 0 Theo (ii) và (3.39), H ∗ | G = H > 0, nếu H* không dương trong X2, sẽ tồn tại một điểm (u, v) ∈ X2 sao cho H*(u, v) = 0 Điều này dẫn đến việc theo (3.40) với (x, y) ∈ X2 bất kỳ.
H ∗ (x, y) = H ∗ (x, u)H ∗ (u, v)H ∗ (v, y) = 0 Đây là một mâu thuẫn Bây giờ chúng ta cố định x 0 , y 0 ∈ X và định nghĩa hàm ϕ : X →R như sau: α(x) = x
Khi đó, α thuộc lớp C n trên X, α 0 (x) > 0 trên X Chúng ta có α ◦ f i ◦ α −1 0
(t) = H ∗ (f i (x), y 0 ) f i 0 (x)/H ∗ (x, y 0 ), x = α −1 (t) (3.41) Nhận xét rằng f i ∈F do vậy theo (3.39) f i 0 (x) = H (x, f i (x)) = H ∗ (x, f i (x))
Hàm H* là một mở rộng của H Vì vậy, chúng ta thu được từ (3.41), từ H* thỏa mãn (3.40) (chúng ta lại đặt x = α −1 (t)) α ◦ f i ◦ α −1 0
(t) = t + d i Ở đó d i = α (f i (x 0 )) 6= 0 từ α(x 0 ) = 0, f i (x 0 ) 6= x 0 và α tăng nghiêm ngặt Vì vậy khẳng định (iii) đúng cho hệ (3.37) với c i = d i
Chú ý 3.4.6. Định lý 3.4.5 bao gồm các điều kiện để một phương trình vi phân có lệch với lệch biến có thể biến đổi về dạng khác với lệch hằng.
Phương pháp chuyển đổi các phương trình vi phân có lệch sang dạng đơn giản hơn được F Newman đề xuất, dựa trên việc tìm nghiệm trơn của các phương trình Abel và các kết quả của O Boruvka về nhóm các phép biến đổi một tham số Để tìm hiểu thêm về các phương trình hàm liên quan, có thể tham khảo các tài liệu của Bodewadt, Barvínek và Choczewski.
Hệ Schr¨ oder và đặc tính của chuẩn
Đặc tính của chuẩn theo các phương trình hàm và các kết quả trong mục này được trích dẫn theo J Matkowski [19].
3.5.1 Đặc tính của các chuẩn
Xét không gian l p gồm các dãy số thực hoặc phức khả tổng bậc p (p ≥ 1): l p =
Không gian này cùng với chuẩn: kxk =
! 1/p là một không gian Banach Chúng ta xét ϕ(t) = c.t p thì công thức trên trở thành: kxk ϕ = ϕ −1
Câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại hàm ϕ tăng nghiêm ngặt từ R+ vào chính nó, với điều kiện ϕ(0) = 0 và ϕ không phải là hàm lũy thừa, sao cho (3.42) xác định một chuẩn trong không gian l^p, bao gồm các dãy thực hoặc phức x mà ϕ- khả tổng.
Câu trả lời cho bài toán là không Bằng cách áp dụng tính chất tuyến tính của chuẩn trong (3.42), chúng ta có thể chuyển đổi vấn đề thành việc tìm nghiệm chung tăng nghiêm ngặt cho hai phương trình Schröder Chúng ta sẽ thực hiện các bước tiếp theo như sau:
Lấy dãy đầu tiên là x = (1, 1, 0, 0, ) và tiếp theo x = (1, 1, 1, 0, 0, ) với x_i = 0, ∀i ≥ 4 Từ ktxk ϕ = tkxk ϕ với t > 0, ta thu được từ (3.42): ϕ −1 (2ϕ(t)) = tα và ϕ −1 (3ϕ(t)) = tβ, trong đó α = ϕ −1 (2ϕ(1)) và β = ϕ −1 (3ϕ(1)) Do đó, ϕ −1 phải thỏa mãn hệ phương trình Schrödinger đồng thời trên (0, ∞): ϕ −1 (2t) = αϕ −1 (t) và ϕ −1 (3t) = βϕ −1 (t).
Hệ (3.43) chỉ có nghiệm là các hàm lũy thừa, điều này cho phép chúng ta xác định đặc tính của chuẩn trên không gian l p.
3.5.2 Hệ các phương trình Schr¨ oder đồng thời
Chúng ta sẽ giải hệ σ(at) = α.σ(t) σ(bt) = β.σ(t)
) t > 0 (3.44) Ở đó a, b, α, β là các hằng số thực dương, a 6= 1, b 6= 1. Định lí 3.5.1.
Cho logb/loga là số vô tỉ Nếu hàm đơn điệu nghiêm ngặt σ : (0, ∞) →R thỏa mãn hệ (3.44), thì tồn tại một c ∈R \ {0} sao cho σ(t) = ct^p với t > 0, trong đó p = log α/log a Hơn nữa, log α log a = log β log b.
(b) Nếu (3.47) đúng thì các hàm (3.45) với p đã cho theo (3.46) và bất kỳ c ∈ R sẽ thỏa mãn hệ (3.44) (và đơn điệu nghiêm ngặt khi c 6= 0 và p 6= 0).
Khẳng định (b) là hiển nhiên.
Giả sử rằng logb/loga là một số vô tỷ, và σ : (0, ∞) → R là nghiệm đơn điệu của phương trình (3.44) Sau khi thực hiện các biến đổi cần thiết, phương trình đầu tiên của hệ (3.44) có thể được chuyển đổi thành dạng (a −1 t) = σ −1 σ(t) với điều kiện a > 1 và b > 1.
Nếu chúng ta có σ(t 0 ) = 0 với t 0 ∈ (0, ∞) thì theo (3.44) ta cũng có σ(at 0 ) =
Trong bài viết này, chúng ta thấy rằng 0 = σ(t 0 ) cho thấy tính chất không khả nghịch của σ Điều này dẫn đến việc σ(1) không bằng 0, và để đơn giản hóa, chúng ta có thể giả định rằng σ(1) = 1 Nếu không, chúng ta sẽ xem xét σ/σ(1) thay vì σ.
Do σ tăng nghiêm ngặt trên (0, ∞), nên σ > 0 và σ(t) ≥ σ(1) = 1 với t ≥ 1 Nếu t₀ ∈ (0, 1), thì aⁿt₀ > 1 với n đủ lớn, dẫn đến σ(t₀) = σ⁻ⁿσ(aⁿt₀) > α⁻ⁿ > 0 Từ (3.44), ta có α = σ(a) > σ(1) = 1 và β = σ(b) > 1 với a > 1 và b > 1 Bằng cách lặp lại (3.44) và hợp các phương trình, ta thu được σ(aⁿbᵐt) = αⁿβᵐσ(t), với t > 0, m, n ∈ Z Khi thay t = 1, ta có σ(aⁿbᵐ) = σ(a)ⁿσ(b)ᵐ, m, n ∈ Z (3.48) Hệ số log(b)/log(a) là số vô tỉ.
D = {x ∈ (0, ∞) : x = a n b m , n, m ∈Z } trù mật trong (0, ∞)(nhận xét rằng a n b m = exp (n log a + m log b)và áp dụng tính chất 3.4.2) Với p cho bởi (3.46) ta có: α = σ(a) = a p (3.49)
Để hoàn thiện chứng minh, chúng ta cần chỉ ra rằng σ(b) = b p và từ (3.48) suy ra σ(t) = t p trên D Tính trù mật của D trong khoảng (0, ∞) cùng với tính đơn điệu của σ dẫn đến (3.45) với c = 1 Để đạt được kết quả này, ta xem xét hai dãy số hữu tỷ xấp xỉ trên và dưới của logb/loga: n→∞ lim p n q n = lim n→∞ r n s n = log b/log a (3.50) và a p n /q n < b < a r n /s n , n ∈N (3.51), trong đó p n , q n , r n , s n là các số nguyên dương (vì a, b > 1) Bất đẳng thức thu được từ (3.49), (3.48), (3.51) và tính đơn điệu của σ.
(a p ) p n = σ(a) p n = σ(a p n ) < σ(b q n ) = σ(b) q n tương tự ta có (a p ) r n > σ(b) s n Do đó:
(a p ) p n /q n < σ (b) < (a p ) r n /s n , n ∈N điều này và (3.50) ngụ ý rằng: σ (b) = (a p ) log a b = b p
Khi σ giảm nghiêm ngặt, lập luận tương tự vẫn được áp dụng Cuối cùng, (3.45) được suy ra từ tính thuần nhất của các phương trình (3.44) Chúng ta đã sẵn sàng để chứng minh định lý chính, cụ thể là Định lý 3.5.2.
Giả sử rằng ϕ : R + → R + là hàm tăng nghiêm ngặt và ϕ (0) = 0 Để l ϕ , k k ϕ là một không gian định chuẩn (với chuẩn (3.42)) thì điều kiện cần là có c > 0 và p ≥ 0 sao cho: ϕ(t) = c.t p với t ≥ 0.
Trong phần này, chúng ta xác định rằng ϕ −1 cần thỏa mãn hệ (3.43) trong R +, với a = 1, b = 3 và σ = ϕ −1 Do log2/log3 là vô tỷ, áp dụng định lý 3.5.1, ta có ϕ −1 (u) = du q, với u ∈ (0, ∞), d > 0 và q 6= 0 Vì ϕ(0) = 0, ta có ϕ(t) = ct p trong R +, với c = d −1/q và p = 1/q Do đó, (3.42) được quy về chuẩn thông thường trong l p, với p ≥ 1 Cuối cùng, ta kết luận rằng ϕ(t) = c.t p trong R +, với c > 0 và p ≥ 1.
Các chú ý
3.6.1 Nghiệm của hệ tiền Schr¨ oder
Các nghiệm của hệ phương trình Schrödinger không thỏa mãn các phương trình Schrödinger liên quan Để chứng minh điều này, hãy xem xét một tập X, một hàm f: X → X và một quỹ đạo C ⊂ X, trong đó có thể không chứa điểm cố định hoặc chứa một điểm cố định bậc chẵn Chúng ta định nghĩa hàm σ: X → R với σ(x) = (−1)^(p−q) đối với x ∈ C và σ(x) = 1 đối với x ∈ X\C, trong đó p và q là các số nguyên dương nhỏ nhất sao cho f^p(x) = f^q(x₀) với x₀ ∈ C là một điểm cố định đã cho.
Các phương trình (3.12) và (3.13) được thỏa mãn với hàm ω(x) có giá trị -1 trên C và 1 trên X\C Theo định lý 3.2.1, σ là nghiệm của phương trình (3.11), tuy nhiên, nó không thỏa mãn điều kiện (3.10) với bất kỳ giá trị s nào.
3.6.2 Các tự đẳng cấu tăng
Bài toán liên quan đến các tự đẳng cấu tăng đã được M Laczkovich và Sz Révesz giải quyết một phần Các ánh xạ giao hoán f1, , fn được xem xét từ một tập hợp nhất định.
A bất kỳ vào chính nóf i ◦f j = f j ◦f i Vớiϕ : A →R, đặt ∆ f ϕ
1 ∆ f n ϕ = 0 có ngụ ý rằng tồn tại các hàm ϕ i : A → R đẳng cấu với f i sao cho ∆ f i ϕ i = 0 và thoả mãn ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 + + ϕ n ?
Các tác giả đưa ra một câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi này trong các trường hợp sau:
(1) ϕ là hàm bị chặn và f i là các ánh xạ bất kỳ.
(2) ϕ ∈ L p , 1 ≤ p < ∞ và f i là các ánh xạ đo được với độ đo không dời rạc.
Trong không gian đo σ-hữu hạn (X, S, à), ϕ thuộc L ∞, và các hàm f i là các ánh xạ đo được Những ánh xạ này không chuyển đổi các tập có độ đo dương thành các tập có độ đo không.
Cho u ∈ [0, 1] và f : [u, 1] → [0, 1] là hàm tăng nghiêm ngặt sao cho 0 < f(x) < x trong (u, 1), f (1) = 1, f (0) = 0 (nếu u = 0).
Khi u = 0, phương thức mở rộng liên quan đến định lý 3.3.4 áp dụng cho phương trình Schrödinger ϕ(f(x)) = 2ϕ(x) Chọn một x₀ thuộc (0, 1) và định nghĩa xₖ = fᵏ(x₀), với Xₖ = [xₖ₊₁, xₖ] cho k thuộc Z.
X k Chọn một hàm giảm nghiêm ngặt ϕ 0 : X 0 → [1, 2] bất kỳ và mở rộng nó lên (0,1] bằng định nghĩa ϕ(x) = 2 k ϕ 0 f −k (x)
, x ∈ X k , k ∈Z , ϕ(1) = 0 Hàm (giảm nghiêm ngặt) ϕ : [0, 1] →R + thỏa mãn (3.52) và là phần tử sinh của một s.A T có chéo là f.
Khi u > 0, theo cùng cách thức cho ta một nghiệm liên tục, giảm nghiêm ngặt của (3.52) trên [u, 1) Những gì chúng ta cần là lấy x 0 = u và giả sử rằng [u, 1) =
(Trong cả hai trường hợp nghiệm thu được phụ thuộc vào một hàm bất kỳ).
3.6.4 Các phương trình vi phân có lệch Để minh họa cho quá trình quy các phương trình vi phân có lệch chúng ta đưa ra ví dụ sau (cái này theo F.Neuman [20]).
Phương trình vi phân y' (x) = k y (x^p) với x ∈ (1, ∞) và k ≠ 0, p ∈ (0, 1) có thể được biến đổi thành z' (t) = g(t) z(t + 1) thông qua phép đổi biến t = α(x), trong đó y(x) = z(t) = (z ∘ α)(x) với α(x) = - (log log x) / log p Một nghiệm của phương trình này là α(x^p) = α(x) + 1, với g(t) = -k log p exp[exp(-t log p) - t log p].
Chúng ta đưa ra một ví dụ mà trong đó định lý 3.4.5 được áp dụng (Neuman [21])
Ví dụ 2. a Phương trình vi phân: y 0 (x) = y(x 1/2 ) + y(x 4 ), x ∈ X = (1, ∞)
Trở thành một phương trình với lệch hằng t – 1 và t + 1 thông qua phép đổi biến t = α(x) Theo định lý 3.4.5(a), với f 1 (x) = x 1/2 và f 2 (x) = x 4, ta có f 1 = g −1 và f 2 = g 2, trong đó g : X → X, g(x) = x 2 Hàm α là nghiệm của phương trình α(x 1/2 ) = α(x) + 1, thuộc lớp C 2 trên X, với điều kiện α 0 (x) > 0 Phương trình vi phân được thiết lập là y 0 (x) = y(x 1/2 ) + y(x 3), với x thuộc X.
Có thể đưa ra phương trình với lệch hằng t − K₁ log 2, t + K₁ log 3, với K₁ > 0 Tập G = {(x, xₐ) : a = 2ᵖ 3ʳ, p, q ∈ Z, x ∈ X} là trù mật trong X² Hàm H được định nghĩa bởi H(x, y) = H(x, xₐ) = (xₐ)⁰ = a.xₐ⁻¹ trên G, bao gồm một mở rộng trơn H* lên X², được xác định bởi H*(x, y) = (y log y) / (x log x) với (x, y) ∈ X² Khi hợp nhất H* với biến đầu tiên, ta thu được α(x) = K₁ log log x + K₂, K₁ > 0, theo định lý 3.4.5(b), đây là phép biến đổi mong muốn.
Khẳng định của định lý 3.5.2 cũng đúng cho không gian L ϕ gồm các hàm ϕ-khả tích x : [0, 1] →R với chuẩn: kxk ϕ = ϕ −1
Vì vậy, không gianL ϕ thực chất là một không gianL p với p– chuẩn thông thường. Hơn nữa, để k k trong R N ; N ≥ 4 được cho bởi: kxk = ψ −1
Với ϕ, ψ : R + → R + , ψ là hàm tăng nghiêm ngặt là một chuẩn điều kiện cần là ϕ(t) = c 1 t p , ψ(t) = c 2 t p , c 1 , c 2 > 0, p > 1
3.6.7 Hệ phương trình Schr¨ oder
Hệ các phương trình Schr¨oder
( ϕ(x + p) = aϕ(x) ϕ(x + q) = bϕ(x) (3.53) đã được xem xét bởi W.E.Clark – A.MuKherjea [6] Các hằng số a, b là các số dương và p/q là số vô tỷ.
Nếu tồn tại nghiệm khác không ϕ :R → R của hệ (3.53) mà dương tại một điểm và bị chặn trên một khoảng, thì điều này dẫn đến a p = b q Ngược lại, khi a p = b q, mọi nghiệm đo được Lebesgue của (3.53) đều tương đương với ϕ(x) = c.a x/p.
3.6.8 Phương trình Schr¨ oder, Abel và phương trình vi phân
Các phương trình Schr¨oder và Abel được liên kết với các phương trình vi phân nonautonomous x (n + 1) = f n (x(n)) , x(0) = x như đã được chỉ ra bởi PH Diamond [7].
Trong tiên đề dưới đây chúng ta sẽ dùng dãy các xấp xỉ liên tiếp tổng quát với các số hạng
F 0 (x) = x, F n+1 (x) = F n (f n+1 (x)) , n ∈N (3.54) Ở đó f n+1 (x) thuộc miền xác định của F n , đặt U δ = {x ∈ C : |x| < δ} , δ > 0.
Cho f n : U δ → C là các hàm giải tích trong U δ , |f n (x)| < |x| , ∀x ∈ U δ \ {0} với các khai triển: f n (x) = s(n).x +
Và 0 < p ≤ |s(n)| ≤ r < 1, n ∈ N, p ≤ r Giả sử rằng dãy {f n (x)} n∈
N hội tụ đều trên U δ tới hàm f thì tồn tại giới hạn: σ(x) = lim n→∞ F n (x) n
Y j=1 s(j) −1 (3.55) là hội tụ đều trên U η ⊂ U δ và σ là một nghiệm giải tích của phương trình Schr¨oder σ (f(x)) = s.σ(x) trên U η ở đó s = f 0 (0) = lim n→∞ s(n).
3.6.9 Nửa nhóm các xấp xỉ liên tục
Phương trình Schröder σ(f(x)) = 1/2 σ(x) với f(x) = 1/2 (x + x²) cho x ∈ X = [0, 1] có nghiệm chính σ(x) = lim n→∞ 2ⁿ fⁿ(x), và σ(x) là hàm tăng nghiêm ngặt trên X Tương tự, hàm π(y) = lim n→∞ fⁿ(1 - 2/3ⁿ y) được xác định và giảm nghiêm ngặt trên R⁺, đồng thời thỏa mãn phương trình Poincaré π(3/2 y).
= f (π(y)) , y ∈ R + Cả hai hàm này có thể được dùng để xác định nửa nhóm các xấp xỉ liên tục (xem mục 1.7) chứa nửa nhóm rời rạc {f n , n ∈N } tức là F 1 t = σ −1 ◦ (2 −t σ) và F 2 t = π ◦
, t ∈R + Điều này gắn với bài toán đã được xem xét trong Karlin – McGregor [17].
Hai nửa nhóm sẽ đồng nhất trong (0, 1) nếu và chỉ nếu hàm
K(y) = y p σ (π(y)) , p = log 2/ log(3/2) (3.56) là hằng số Tuy nhiên, mặc dù K(y) = 1.213205784311 với mọi y > 0 nhưng giá trị của K(y) sẽ thay đổi với y từ số thập phân thứ 13 trở đi.
S Dubuc đã nghiên cứu một cách triệt để các tính chất của K trong trường hợp phức tổng quát, gọi K là hàm Karlin – McGregor Ông cũng đã giải thích hiện tượng thay đổi nhỏ của hàm (3.56).
3.6.10 Các phương trình Abel đồng thời
M.C.Zdun [29] đã xem xét các phương trình Abel đồng thời
Với x ∈ X = (0, a), 0 < a ≤ ∞ Trong trường hợp sau
(i) f và g là các đồng phôi giao hoán từ X vào X và f m (x) 6= g n (x) trên X, ở đó (m, n) ∈Z 2 \ {(0, 0)}
Tập L được định nghĩa là tập hợp các điểm giới hạn của C(x) = {f m ◦ g n (x) : m, n ∈ Z} với x thuộc X Theo nghiên cứu của Zdun [29], L không phụ thuộc vào X và có thể là một tập không đâu trù mật hoàn toàn hoặc L = [0, a].
Giả sử (i) đúng, thì tồn tại duy nhất một số vô tỷ s ∈ R sao cho hệ (3.57) có nghiệm liên tục ϕ : X → R Nghiệm liên tục này là duy nhất, chỉ khác nhau bởi một hằng số cộng, đồng thời nó đơn điệu và ánh xạ từ L ∩ X vào R Hơn nữa, nghiệm này khả nghịch nếu và chỉ nếu L = [0, a].
Trong luận văn này em đã trình bày những nội dung sau:
Bài viết tổng hợp kiến thức về tính chất nghiệm của phương trình hàm tuyến tính, từ đó áp dụng vào nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình Schröder và Abel Các tính chất chính quy của nghiệm như tính lồi (lõm), tính khả vi, tính đơn điệu, tính trơn và tính giải tích đã được trình bày chi tiết trong luận văn này.