Các kien thÉc chuan b%
Phương trình hàm tuyen tính
1.1.1 Phương trình hàm tuyen tính tong quát
Phương trình hàm tőng quát có dang:
Phương trình F (x, ϕ(x), ϕ(f1(x)), , ϕ(fn(x))) = 0 với ϕ là hàm chưa biết (hàm ẩn) và các hàm còn lại là các hàm đã cho, trong đó chỉ số n trong phương trình được gọi là bậc của phương trình Như vậy, phương trình hàm bậc 1 có dạng như sau:
Chương 1 Các kien thúc chuan b%
Phương trình hàm tuyến tính tổng quát có dạng ϕ(f(x)) = g(x)ϕ(x) + h(x), trong đó ϕ là hàm chưa biết và f, g là các hàm đã cho Trong trường hợp đặc biệt khi h ≡ 0, phương trình trở thành ϕ(f(x)) = g(x)ϕ(x).
(1.2) đưoc GQI là phương trình hàm tuyen tính thuan nhat tőng quát.
Hàm tuyến tính có liên quan đến phương trình Schröder và phương trình Abel Phương trình Schröder được biểu diễn dưới dạng σ(f(x)) = s.σ(x), trong đó s là một hằng số vô hướng Trong khi đó, phương trình Abel có dạng α(f(x)) = α(x) + A, với A ≠ 0 là một hằng số phụ thuộc vào miền giá trị của α; thường thì A được xét với giá trị A = 1 do tính chất tuyến tính của phương trình.
Nếu ϕ và σ là các nghiệm của phương trình (1.2), thì kϕ + lσ với k, l là hằng số cũng là một nghiệm của phương trình (1.2) Điều này cho thấy rằng nếu (1.2) có nghiệm, thì nó sẽ có rất nhiều nghiệm khác nhau Các nghiệm này tạo thành một tập hợp nghiệm, trong đó các nghiệm trong cùng một tập hợp sẽ khác nhau bởi một hằng số nhân.
1.1.2 Dãy các xap xi liên tiep
Xột F(X) là tập hợp tất cả các toán ảnh xa của một tập X cho trước Do toán tử hợp J ◦ J có tính chất kết hợp trên F(X), nên (F(X), ◦) là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là id X Các luỹ thừa f^n, n ∈ N với f là một phần tử trong F(X) được gọi là dãy sắp xếp liên tiếp của f.
Cho X là không gian tôpô Hausdorff và f : X → X là m®t hàm có các f n liên tnc Neu vái m®t x ∈ X mà dãy (f n (x)) n∈N h®i tn tái x 0 ∈ X thì x 0 là điem co đ%nh cua f.
Cho X là m®t không gian tôpô và f : X → X là m®t hàm bat kỳ GQI x 0 là mđt điem co đ%nh cna f Tắp hop
Điểm cố định x₀ của một miền hút cận x₀ trong không gian QI là điểm mà nếu thỏa mãn điều kiện x₀ thuộc tập A f(x₀), thì nó sẽ thu hút các điểm gần kề trong miền này Theo định lý trích dẫn từ Fatou và Barna, các điểm này có thể được xác định và liên kết chặt chẽ với cấu trúc của miền hút.
Cho f là m®t tn ánh xa liên tnc cua không gian tôpô X và cho x 0 ∈ X là m®t điem co đ%nh cua f Khi đó
(b) A f (x 0) là mđt tắp mỏ neu x 0 là hỳt.
Xét gia thiet Đ%nh lí 1.1.3.
Gia su ta (1.5) có và vái MQI f : X → X là hàm nua liên tnc trên bên phai Neu f (x) < x; ∀x ∈ X\{0} (1.6) thì vái MQI x ∈ X, dãy (f n (x)) n∈N là dãy giam và lim n→+
Hơn the, neu 0 < f (x) < x vái ∀x ∈ X\{0} thì ∀x ∈ X\{0}, dãy {f n (x)} n∈N là dóy giam nghiờm ngắt.
Do tính nua liên tuc trên bên phai cna f cùng vói (1.6) ngu ý rang f (0) = 0.
Neu chúng ta có l lim n→∞ f n (x) > 0, vói xX thì l = lim x→∞ f n+1 (x) = lim x→∞ f n (x)) ≤ f (l) < l là mđt mõu thuan vỡ vắy ta cú (1.7) Tớnh giam nghiờm ngắt là hien nhiên. Đ%nh lí 1.1.4.
Gia su vái (1.5) và xét m®t không gian mêtric (T, ρ) Gia su rang ánh xa f :
XìT → X liờn tnc và f (x, t) < x, ∀(x, t) ∈ {X\{0}}ìT Đắt g t (x) = f (x, t), (x, t) ∈
X × T thì dãy (g n (x)) tien tái 0 hau đeu đoi vái (x, t) ∈ X × T. t n∈N Đ%nh lí 1.1.5.
Cho X là mđt tắp con đúng cua K N chỳa goc Xột ỏnh xa liờn tnc f : X → X
∈ sao cho |f (x)| < |x|, ∀x ∈ X\{0} Khi đó, sn h®i tn cua (1.7) là hau đeu trên X.
Xét các gia thiet sau:
(i) f là m®t ánh xa tù đoan thnc X = [0, a] vào chính nó vói 0 < a ≤
Cho (x n ) n∈N 0 và (y n ) n∈N 0 là hai dãy so dương và s ∈ (0, 1) sao cho ca hai dãy vái các so hang p n = x n+1 − s, q n = y n+1 − s, n ∈ N0 đeu tien tái 0 khi n → ∞
|p n − q n | < ∞ (1.8) n=1 thì lim x n ton tai và thu®c (0, ∞) (1.9) n→∞ y n
Hơn nua, neu hiắu p n − q n , n ∈ N0 cú dau khụng đői thỡ tự (1.9) suy ra (1.8) Đ%nh nghĩa 1.1.7.
Chỳng ta ký hiắu R là HQ cỏc hàm đo đưac r : X → R + sao cho δ r(x) dx 0 hoắc ϕ < 0.
Nếu ϕ(x₀) = 0 với x₀ ∈ X, theo (1.23) ta có ϕ(fⁿ(x₀)) = 0 cho mọi n ∈ N₀ Vì ϕ là đơn điệu, nên fⁿ(x₀) → 0 khi n → +∞ (xem định lý 1.1.3) Hơn nữa, nếu ϕ(x₁) ≠ 0 với x₁ ∈ X và x₁ > 0, theo phương trình (1.23), ta có ϕ(fⁿ(x₁)) = 0 cho n ∈ N₀, nhưng điều này không thể xảy ra vì lim n→∞ fⁿ(x₁) = 0 Do đó, ϕ = 0 hoặc ϕ ≠ 0 trên X, tự g > 0 ⇒ ϕ có dấu không đổi với mọi dãy fⁿ(x), x ∈ X Từ tính đơn điệu, suy ra ϕ giữ nguyên dấu trên toàn bộ X.
Vái các gia thiet (i) → (iii) và: inf x∈ X g(x) = 1 (1.24) thỡ hai nghiắm bat kỳ ϕ 1 , ϕ 2 cua phương trỡnh (1.23) se sai khỏc mđt hang so.
Cho ϕ 1, và ϕ 2 là cỏc nghiắm đơn điắu cna (1.23), bő đe 1.2.1 chi ra rang neu ϕ 2 là khụng đong nhat bang 0 trờn x thỡ nú se õm hoắc dương trờn x.
* Neu ϕ 2 = 0 thì ϕ 2 = 0.ϕ 1 ⇒ đ%nh lý đúng.
Phương trình Schroder
2.1.1 Nghiắm đơn điắu cua phương trỡnh Schrăoder Đ%nh lí 2.1.1.
Cho X = [0; a] , 0 < a ≤ ∞ và gia su rang f : X → X là liên tnc và tăng nghiờm ngắt trờn X, 0 < f (x) < x trong X\{0}, hàm x → f (x)/x đơn điắu trên X\{0} và lim f (x) = s(0 < s < 1) thì phương trình Schr¨oder: x→0 x σ(f (x)) = s.σ(x) (2.1) cú duy nhat mđt HQ nghiắm σ : X → R sao cho hàm x → σ(x)/x là đơn điắu trờn X\{0}, cỏc nghiắm này cho bỏi cụng thỳc: σ(x) = c lim f n (x
(2.2) n→∞ f (x 0) á đó c là hang so thnc bay kỳ và x 0 là m®t điem co đ%nh tuỳ ý trong X\{0}
Neu 0 ∈ X thì σ(0) = 0 theo (2.1) phù hop vói (2.2)
Vỡ vắy, σ : X → R là mđt nghiắm cna (2.1) sao cho ϕ(x) = σ(x) , x ∈ X\{0} đơn điắu khi và chi khi ϕ là mđt nghiắm đơn điắu cna phương trỡnh: ϕ(f (x)) = f s.x
30 trong X\{0} Như vắy, nghiắm đơn điắu cna (2.3) đưoc xỏc đ%nh boi đ%nh lý 1.2.4 vói G n (x) = s n /f n (x).
Chương 2 Phương trình Schr¨oder và
2.1.2 Nghiắm loi cua phương trỡnh Schrăoder
Xét phương trình Schr¨oder: σ(f (x)) = sσ(x) (2.4) Đ%nh lí 2.1.2.
(ii’) f : X → X là loi hoắc lừm, tăng nghiờm ngắt trờn X\{0} và lim
[f (x)/x] s, (0 < x < 1) khi đú phương trỡnh (2.4) cú duy nhat mđt HQ nghiắm σ : X → R là mđt hàm loi hoắc lừm trờn X Cỏc nghiắm này cho bỏi cụng thỳc: f n (x) σ(x) = c lim n→∞ f n (x 0
(2.5) á đó c ∈ R là hang so bat kỳ và x 0 là m®t điem bat kỳ đưac CHQN trong X\ {0}. Chúng minh.
Hàm f(x)/x là hàm đơn điệu nếu f là hàm lồi hoặc lừm Theo định lý 2.1.1, có các hàm trong phương trình (2.4) sao cho σ(x)/x là hàm đơn điệu Đối với hàm f n (n ∈ N), các hàm lồi hoặc lừm cũng đảm bảo rằng σ cho bộ công thức (2.5) là đúng.
Hơn nua, do nghiắm σ : X → R cna (2.4) là lừm hoắc loi nờn σ(x)/x là đơn điắu và kộo theo tớnh duy nhat.
2.1.3 Nghiắm kha vi cua phương trỡnh Schrăoder
Chỳng ta se chỳng minh mđt đ%nh lý ve cỏc nghiắm kha vi σ : X → R cna phương trình Schr¨oder: σ(f (x)) = sσ(x) (2.6)
(ii) f : X → X thu®c lóp C 1 trên X, 0 < f (x) < x, f J (x) > 0 trên X\ {0} và f J (x) = s + O(x δ ), x → 0, δ > 1, 0 < s < 1.
Neu f ∈ C 2 trờn X và f J (0) = s thỡ quan hắ tiắm cắn (ii) tat nhiờn đưac thoa mãn. Đ%nh lí 2.1.4.
Khi các giả thuyết (i) và (ii) được thỏa mãn, phương trình (2.6) có một nghiệm duy nhất σ : X → R thuộc lớp C¹ trên X, với điều kiện σ J (0) = 1 Nghiệm này được biểu diễn bởi công thức: σ(x) = lim s −n f n (x) khi n tiến tới vô cùng, và là hàm tăng nghiêm ngặt trên X, thỏa mãn điều kiện σ J (x) = 1 + O(x δ ) khi x tiến tới 0.
Trưúc het chỳng ta chỳ ý rang σ(0) = 0 vúi bat cỳ nghiắm σ : X → R nào cna (2.6) Hơn the, phương trỡnh (2.6) cú nghiắm σ thuđc lúp C 1 trờn X sao cho σ J (0) = 1 neu và chi neu phương trình: s ϕ(f (x)) f J (x) ϕ(x) (2.9)
Khi xem xét hàm Tù f J (x) = s + O(x δ ), ta có thể rút ra rằng f (x) = sx + O(x 1+δ ) và s/f J (x) = 1 + O(x δ ) khi x tiến tới 0 Áp dụng định lý 1.2.17 vào phương trình (2.9), ta xác định rằng hàm liên tục ϕ : X → R tồn tại và duy nhất với điều kiện ϕ(0) = 1 Điều này cũng áp dụng cho nghiệm thuộc lớp C 1 trong phương trình (2.6) trên không gian X sao cho σ J (0).
= 1. Đe chúng minh (2.8) chúng ta tien hành như sau Công thúc:
^σ(x) = 1 + x ϕ^(x), x ∈ X\{0}, ϕ^(0) = 0 xem (1.60)) cna ^phương trình: ^ e đó:
Khi \( |g(0)| > 1 \), theo định lý 1.2.16, chúng ta suy ra rằng phương trình (2.10) có nghiệm duy nhất \( \sigma \) trong lớp B Nghiệm tương ứng với (2.6) cũng là duy nhất nhưng \( \sigma \) thuộc lớp C trên X và \( \sigma J(0) = 1 \) để \( \sigma = \sigma \) Do đó, nghiệm \( \sigma \) tìm được có tính chất (2.8).
Tự σ J (0) = 1, σ tăng nghiờm ngắt trờn mđt lõn cắn cna goc và theo (2.6) nú cũng δ
0 liờn ket nghiắm σ thuđc lúp C 1 cna (2.6) vúi nghiắm ϕ thuđc lúp B (vúi Y = R,
Cú nghiắm liờn tuc ϕ : X → R sao cho ϕ(0) = 1 Rừ ràng, ta cú σ(x) = ϕ(t)d t. s , neu x 0 tăng nghiờm ngắt trờn X.
Cuoi cựng ta chỳng minh cụng thỳc (2.7), lắp lai (2.6) bang quy nap ta thu đưoc: σ(x) = s −n σ(f n (x)) = s −n f n (x)Σ
Vói x ∈ X\ {0} và n ∈ N, vì the (2.7) kéo theo khi lim f n (x) = 0 và σ J (0) = 1, khi x = 0 thì (2.7) là tam thưòng.
2.1.4 Nghiắm trơn cua phương trỡnh Schrăoder trong R N
Ket qua sau đưoc giúi thiắu trong Kuczma [14] Xột phương trỡnh Schrăoder: σ (f (x)) = Sσ(x) (2.11) e đú S ∈ R NìN , theo đ%nh lý 1.1.14 phương trỡnh (2.11) cú nghiắm trơn chi khi
S và f J (0) liên hop (f J (0) = C.S.C −1 ) vì the chúng ta có the gia su f J (0) = S.
(i) X là mđt lõn cắn cna khụng trong R N và f : X → R N là hàm thuđc lúp C r ,
Neu cỏc gia thiet (i) và (ii) đưac thúa món, cỏc nghiắm đắc trưng s 1 , s 2 , , s N cua S thúa món 0 ≤ |s 1 | ≤ ≤ |s N | ≤ 1, đieu kiắn s q 1 ã ã ã s q N ƒ= s i vỏi i = 1, , N, q 1 , , q N ∈ N0 (2.12)
(2.11) cú duy nhat mđt nghiắm thuđc lỏp C r là σ : U → R N trong lõn cắn U cua goc sao cho σ(0) = 0, σ J (0) = E và σ (x) = σ (0) + O |x| , x → 0.
Cho δ = 0 tự đ%nh lý 2.1.5 thu đưac sn ton tai duy nhat nghiắm σ cua
Để xây dựng một hàm thuộc lớp C^r sao cho σ(0) = 0 và σ' (0) = E, với f là hàm thuộc lớp C^r trên X, điều kiện f(0) = 0 và f' (0) = S cần được thỏa mãn Hơn nữa, tỷ lệ |s_N| r / |s_1| phải nhỏ hơn 1, và điều kiện (2.12) phải đúng cho p = 2, , r Định lý này được trích dẫn từ các tài liệu của Hartman.
Neu gia thiet (i) đưac thóa mãn vái r ≥ 2 và |s k | < 1 vái k = 1, , N á đó s k là cỏc nghiắm đắc trưng cua S thỡ phương trỡnh (2.11) cú nghiắm σ : U →
R N thuđc lỏp C 1 trong lõn cắn U cua goc thúa món đieu kiắn σ J (0) = E. n→ ∞ δ
(r) (r) Σ δ r ≥ 1, f (0) = 0, f J (0) = S , deΣt(S) ƒ= 0. q j = p, p = 2, , r đưac thóa mãn và neu
Neu khụng phai MQI nghiắm đắc trưng cna S đeu nam bờn trong hỡnh tròn đơn v% thì chúng ta có đ%nh lý sau (xem Sternberg [27]) Đ%nh lí 2.1.8.
Nghiệm của hệ phương trình được thỏa mãn với r ≥ 2 và |s_k| = 1 cho k = 1, , N, trong đó s_k là các nghiệm đặc trưng của S Nếu điều kiện (2.12) được thỏa mãn với p = 2, , r, thì phương trình (2.11) có một nghiệm σ: U → R^N thuộc lớp.
C ρ , 1 ≤ ρ ≤ r trong lõn cắn U cua goc thúa món đieu kiắn σ J (0) = E Hơn nua, ρ → ∞ khi r → ∞ và ρ = ∞ khi r = ∞.
2.1.5 Nghiắm giai tớch cua phương trỡnh Schrăoder Áp dung đ%nh lý 1.2.21 vào phương trình Schr¨oder: σ(f (x)) = s.σ(x) (2.13) ta thu đưoc m®t đ%nh lý női tieng cna G.Koenigs[13] Đ%nh lí 2.1.9.
Cho X ⊂ C là mđt lõn cắn goc, f : X → C là mđt hàm giai tớch thoa món: f (0) = 0, f J (0) = s, 0 < |s| < 1 thỡ phương trỡnh (2.13) cú duy nhat mđt nghiắm LAS là σ thoa món σ J (0) = 1, nghiắm này cho bỏi cụng thỳc:
Với điều kiện Vỡ S(f J (0)) k = S k+1 ƒ= 1, ∀k ∈ N nờn hắ (1.73), phương trình (2.13) chỉ có một nghiệm duy nhất Do đó, tồn tại nghiệm duy nhất LAS σ cho phương trình (2.13) theo định lý 1.2.21 Công thức (2.14) được thu được từ lập luận mà chúng ta đã xây dựng trong chứng minh định lý 2.1.4, cụ thể là công thức (2.7).
Neu m®t hàm kha ngh%ch σ thoa mãn phương trình (2.13) thì ngh%ch đao cua nó ϕ = σ −1 thoa mãn phương trình Poincaré: ϕ(sx) = f (ϕ(x))
Trong trường hợp |s| = 1 và s không phải là căn căn đơn v%, kết quả thu được sẽ là tù định lý 1.2.23 Ngược lại, nếu s là căn căn đơn v%, chúng ta sẽ có kết quả theo định lý 2.1.11.
Gia su cỏc đieu kiắn cua đ%nh lý 2.1.9 đưac thoa món ngoai trự s là căn bắc p cua đơn v% thỡ phương trỡnh (2.13) cú mđt nghiắm LAS σ thoa món σ (0) = 0, σ J
(0) = 1 neu và chs neu f p = id và khi đú nghiắm này là khụng duy nhat.
Tự (2.13) cho thấy rằng σ(f p (x)) = σ(x) khi f p = id, với σ là một ánh xạ LAS khả nghịch Ngược lại, nếu f p = id và g : X → C là một hàm giải tích tùy ý, thì công thức p−1 σ(x) = s −i g(f i (x)) (2.15) cũng là một ánh xạ LAS khả nghịch Nếu g(0) = 0 và g J (0) = p −1, thì ta có σ(0) = 0 và σ J (0) = 1.
Cụng thức (2.15) cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về hàm giải tích tại gốc, giúp tổng quát hóa phương trình trong trường hợp f p = id Đặc biệt, MQI thể hiện σ dưới dạng (2.15) với g(x) = p −1 σ(x), mang lại cái nhìn sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các hàm.
Cho X ⊂ C là mđt lõn cắn cua goc, là mđt hàm giai tớch, f (0) = 0, s = f J (0) ƒ 0 Neu s khụng là căn cua đơn v% và σ 0 là mđt nghiắm LAS khụng tam thưàng cua phương trỡnh (2.13) thỡ σ j (0) ƒ= 0 và nghiắm LAS tőng quỏt cua (2.13) đưac cho bái công thúc σ(x) = c.σ 0(x) á đó c ∈ C là hang so bat kỳ.
Gia sư σ J 0(0) = 0, do s ƒ= 0 nên ta có σ 0(0) = 0 và σ 0(x) = x p ϕ(x), với p ≥ 1, ϕ(0) ƒ= 0 Do đó, ϕ(f (x)) = s(x/f (x)) ϕ(x) và khi thay x = 0, ta được ϕ(0) = ϕ(0).s 1−p, dẫn đến s 1−p = 1, từ đó chứng minh rằng σ J 0(0) ƒ= 0 G QI σ là mệnh đề nghiêm ngặt bất kỳ cna (2.13), với σ(0) = 0, và hàm ω = σ/σ 0 − c với c = σ J (0)/σ J 0(0) là mệnh đề hàm giải tích trong mệnh đề lõn cắn cna gốc và ω(0) khác 0 Hơn nữa, áp dụng (2.13) cho σ và σ 0, ta có ω(f (x)) = ω(x) trên X Tham khảo chú ý 2.1.13 để thấy rằng ω = 0, do đó σ = c.σ 0.
Dưái gia thiet cua đ%nh lý 1.2.25 thì phương trình ω (f (x)) = ω(x) chs có nghiắm LAS là hang so ω = ω(0) Vỡ neu ω(x) − ω(0) = x k Ω(x), k ∈ N,
Ω(0) ƒ= 0 thì (f (x)/x) k Ω (f (x)) = Ω(x) do s k Ω(0) = Ω(0) khi x → 0 và s k ƒ= 1 chúng ta có Ω(0) = 0, đây là m®t mâu thuan. Σ
Cho S là mđt ma trắn, S ∈ C NìN Chỳng ta ký hiắu hàm chưa biet là σ Như vắy ta cú phương trỡnh Schrăoder: σ(f (x)) = S.σ(x) (2.16)
Neu hàm f có điểm cố định tại gốc và khả vi tại đó, theo định lý 8.1.1, phương trình (2.16) có thể có nghiệm trơn chỉ nếu ma trận S và f J(0) là liên hợp tiếp, tức là f J(0) = C.S.C −1 Đặt σ = c.σ, chúng ta thu được σ là nghiệm của phương trình.
Vỡ vắy, trong phan tiep theo chỳng ta se gia su rang: f J (0) = S (2.17) Đe tỡm nghiắm giai tớch đ%a phương cna phương trỡnh Schrăoder trong C N chỳng ta gia su:
Cỏc nghiắm chớnh
Hầu hết các ứng dụng của phương trình Schröder và Abel đều xuất hiện nghiệm duy nhất được xác định bằng phương pháp xấp xi liên tiếp của hàm f Theo G Szekeres, chúng ta phân biệt một loại nghiệm đặc biệt được gọi là nghiệm chính của phương trình Schröder và Abel.
Chương 3 M®t so áp dnng liên quan
Chúng ta lay X = [ 0; a| , 0 < a ≤ ∞ và f : X → X là m®t hàm liên tuc, tăng nghiờm ngắt, 0 < f (x) < x trong X\{0}. Đ%nh nghĩa 3.1.1.
Chúng ta gia su rang giái han: s := lim f n+1 (x
) n , x ∈ X\{0} n→∞ f (x) ton tai và không phn thu®c vào x Lay x 0 ∈ X\{0}, neu giái han: f n (x) σ(x) = lim n→∞ f n (x 0
, x ∈ X (3.3) ton tai, dương và huu han trong X\{0} thì nó thóa mãn: σ (f (x)) = s.σ(x) (3.4) và nú đưac GQI là nghiắm chớnh cua phương trỡnh Schrăoder (3.4).
Khi thêm x 1 ∈ X\{0} vào vị trí cna x 0 trong phương trình (3.3), chúng ta sẽ thu được một hệ phương trình sai khác với một hằng số nhân Do đó, nghiệm chính của phương trình Schröder là duy nhất và khác với một hằng số.
Trong trường hợp tổng quát, các nghiêm chính được xem xét kỹ lưỡng hơn các nghiêm khác Các điều kiện cho sự tồn tại giới hạn được nêu rõ trong các mục 2.1.1, 2.1.2 và trong phần đề 1.2.11.
Neu ton tai giái han σ(x) = lim n→∞ s −n f
(x), x ∈ X (3.5) thì giái han (3.3) ton tai Đieu ngưac lai không đúng.
E Seneta [25] đó chỳng minh đưoc rang đieu kiắn ton tai cna σ, 0 < σ < ∞ là sn h®i tu cna tích phân: δ
0 vúi δ ∈ X\ {0} (xem đ%nh lý 1.1.9) Cụng thỳc (3.5) đưoc GQI là thuắt toỏn
Bây giò, cho (d n ) n∈N là dãy các so thnc bat kỳ mà:
Cho dãy (d n ) có tính chat (3.6), neu ton tai giái han α(x) :lim
1 (f n (x) − f n (x )) , x ∈ X\{0} (3.7) n→∞ d n á đó x 0 ∈ X\{0} thì nó thóa mãn: α (f (x)) = α(x) + 1 (3.8) và nú đưac GQI là nghiắm chớnh cua phương trỡnh Abel (3.8).
Để xác định sai khác của một hằng số cố định trong phương trình Abel, ta có thể sử dụng giới hạn (3.7) mà không phụ thuộc vào biến số cHQN Bằng cách thay thế x = 0 trong (3.7) bằng x1 ∈ X \ {0}, chúng ta có thể thu được một giới hạn sai khác với hằng số cố định ban đầu Do đó, việc nghiên cứu này cho thấy sự khác biệt trong phương trình Abel liên quan đến hằng số cố định.
Neu (3.6) đúng vái d n = f n+1 (x 0) − f n (x 0), á đó x 0 ∈ X\{0} và neu ton tai giái han: α(x) = lim f n (x) − f n (x 0) n+1(x 0) − f n (x 0)
, x ∈ X\{0} (3.9) thỡ nú là nghiắm chớnh cua (3.8).
Cụng thỳc (3.9) đưoc GQI là thuắt toỏn Lộvy Đ%nh lý 2.2.2 và 2.2.5 đưa ra cỏc đieu kiắn đe thuắt toỏn Lộvy cú the thnc hiắn đưoc.
Cho X là mđt tắp hop và hàm f : X → X, cỏc nghiắm σ : X → K cna phương trình Schr¨oder: σ (f (x)) = s.σ(x) (3.10) là các hàm riêng (tương úng vói giá tr% riêng s ∈ K) cna toán tu thay the T (ϕ) ϕ ◦ f xác đ%nh trong không gian các ánh xa ϕ : X → K.
Để khu hang số s trong (3.10), chúng ta cần lắp lại biểu thức (3.10) và nâng hai vé cna (3.10) lên lũy thừa bắc n Sau đó, chúng ta sẽ so sánh các kết quả thu được từ quá trình này.
[σ (f (x))] n = σ (f n (x)) [σ(x)] n−1 , n ∈ N (3.11) Hắ này đưoc giúi thiắu boi Gy Targonski [28] vúi tờn là hắ tien Schrăoder. ˜
3.2.1 Hắ tương đương và cỏc hàm tE đong cau
Hắ tien schroder (3.11) chỉ thị v% trong trường hợp n ≥ 2 (với n = 1 là một điều kiện đồng nhất) M QI nghiêm σ: X → K cần phương trình (3.10) đều thỏa mãn các phương trình (3.11), điều ngược lại là không đúng Định lý 3.2.1.
Hàm σ : X → K thóa mãn phương trình (3.11) vái n ≥ 2 neu và chs neu ton tai mđt hàm ω : X → K sao cho σ và ω thúa món hắ cỏc phương trỡnh: σ (f (x)) = ω(x).σ(x) (3.12) và
Giả sử n ≥ 2, từ các phương trình (3.12) và (3.13) có thể suy ra (3.11) Nếu hàm σ: X → K thỏa mãn điều kiện (3.11), thì định nghĩa ω(x) = σ(f(x)) / σ(x) được áp dụng khi σ(x) ≠ 0; còn nếu σ(x) = 0, thì ω(x) = 0 Từ (3.11), khi σ(x) = 0, ta có σ(f(x)) = 0 Do đó, (3.12) được xác định theo định nghĩa của ω: X.
→ K Hơn nua, neu σ(x) = 0 thì ω(x) = ω (f (x)) = 0 và (3.13) đúng, neu σ(x) ƒ= 0 thì
Theo (3.12), ngu ý rằng σ (f n (x)) = ω(x) ω f n−1 (x) dẫn đến (3.13) Với n = 2, phương trình (3.13) có dạng ω(x) = ω (f (x)) (3.14) Điều này cho thấy (3.13) đúng với mọi n ≥ 2 Do đó, theo định lý 9.2.1, nếu (3.11) thỏa mãn với n = 2, thì nó cũng sẽ thỏa mãn với n ≥ 2.
Nghiắm cna (3.14) đưoc GQI là cỏc hàm tn đong cau Cau trỳc cna chỳng đưoc xác đ%nh boi cau trúc quy đao cna X dưói ánh xa f Đ%nh lí 3.2.2.
Cho X, Y là cỏc tắp hap bat kỳ và f : X → X là mđt hàm bat kỳ Hàm ω : X
→ K thóa mãn phương trình (3.14) neu và chs neu nó là hang so trên các quy đao cua f.
Cho x, y ∈ X, x ∼ f y (xem muc 1.1) thì ton tai p, q ∈ N 0 sao cho f p (x) f q (y) Vỡ vắy chỳng ta thu đưoc tự (3.14) ω(x) = ω (f p (x)) = ω (f q (x)) ω(y).
Chú ý 3.2.3. Đ%nh lý 3.2.1 và 3.2.2 van còn đúng khi ta thay K bái m®t trưàng (giao hoán)
F Chúng ngn ý rang neu X rút GQN ve m®t quy đao đơn dưái ánh xa f thỡ hắ (3.11) và phương trỡnh (3.10) là tương đương Nhưng neu X bao gom nhieu hơn m®t quy đao thì (3.10) và (3.11) là không tương đương vái m®t so lán các láp hàm (Kuczma [14]).
3.2.2 SE tương đương cua phương trỡnh Schrăoder và hắ tien Schroder
Nghiên cứu cho thấy rằng các hàm (3.11) và (3.10) có thể tương đương với nhau Để chứng minh điều này, chúng tôi đưa ra hai định lý Giả sử rằng:
(i) X ⊂ K là mđt lõn cắn cna goc.
(ii) f : X → X là m®t hàm sao cho f (0) = 0 và f J (0) ton tai Trưóc het chúng ta xét lóp hàm kha vi tai goc. Đ%nh lí 3.2.4.
Neu các gia thiet (i), (ii) đưac thóa mãn và f (x) ƒ= 0 vái MQI x ∈ X\ {0}, lim f k (x) = 0 vỏi MQI x X thỡ hàm σ : X K thúa món hắ (3.11), cú đao hàm k→0 huu han σ J (0) ƒ= 0 cũng thóa mãn (3.10) vái s = f J (0)
Chúng ta có σ(x) ƒ= 0 trong X\{0} Cho σ(x 0) = 0 (x 0 ∈ X\{0}) ngu ý rang σ f (x 0) = 0 vói MQI k ∈ N0 và σ J (0) lim σ f k (x 0)Σ
Sự biến thiên của hàm khụng hoắc vụ han tựy theo σ(0) = 0 hay không, điều này mâu thuẫn với giả thuyết Theo định lý 3.2.1, hàm ω(x) = σ(f(x)) / σ(x) với mọi x ∈ X\{0} thỏa mãn phương trình (3.14) (tức là (3.13) với n = 2) Do đó, ω(x) = ω f k (x), x ∈ X\{0}, k ∈ N (3.15).
Chúng ta có vói MQI x ∈ X\ {0}
= 1 theo đang thúc đau tiên trong (3.16).
Khi Neu σ(0) = 0, ta có thể thu được lim k→∞ ω từ (3.16) Theo (3.15), trong cả hai trường hợp, ω là hằng số trên X\{0} và σ thỏa mãn (3.10) với s = 1 hoặc s = f J(0) Do đó, tính liên tục của σ tại không (3.10) là đúng trong toàn bộ bề mặt X.
Neu s = 1 thì σ se là mđt tn đang liên tục tại khụng, tức là hàm hạng trên X Điều này ngụ ý rằng σ J (0) = 0 mẫu thuẫn vui gia thiết, vì vậy s f J (0).
Bây giò chúng ta chuyen qua lóp các hàm giai tích trên X. Đ%nh lí 3.2.5.
Neu các gia thiet (i), (ii) đưac thóa mãn và f là m®t hàm giai tích trên
X, f (x) ƒ= 0, (x ƒ= 0), |f J (0)| < 1 Khi đó, neu m®t hàm giai tích σ : X → K thúa món hắ (3.11) thỡ nú thúa món (3.10) vỏi s = f J (0) q , ỏ đú q là bắc cua 0 cua σ tai goc, neu σ = 0 thì s là tùy ý.
C HQN r > 0 sao cho U = {x ∈ K : |x| < r} ⊂ X và 0 < |f (x)| < |x| trong U\ {0} Neu σ(x 0) = 0 vói x 0 ∈ U\ {0} thì σ f (x 0) = 0, ∀k ∈ N, theo đ
%nh lý 1.1.5, σ = 0 trên X Rõ ràng trong trưòng hop này (3.10) đúng vói s bat kỳ.
Bây giò gia su rang σ(x) ƒ= 0 trong U\ {0} ta viet σ(x) = x q ψ(x), q ∈ N0 , ψ(0) ƒ= 0 Và ta lai có ω(x) = σ (f (x)) /σ(x) trong U\ {0} thoa mãn (3.14). Chúng ta có vói MQI x ∈ U\ {0} Σ. f k+1 (x) Σ q ψ f k+1 (x)ΣΣ ω(x) = lim k→∞ ωfk(x) = lim k→∞ f k (x
Vì the σ thoa mãn (3.10) vói s = f J (0) q trong U\ {0}, do σ là hàm giai tích nên (3.10) đúng trên toàn b® X.
3.3 Hắ Schrăoder-Abel và cỏc phương trỡnh ket hap
Trong muc này phương trỡnh Schrăoder và Abel se xuat hiắn cựng vúi phương trình ket hop:
Chỳng ta quan tõm túi cỏc phương trỡnh dang (3.17) mà ton tai duy nhat nghiắm
T là ánh xa hình vuông đơn v% vào m®t khoang đơn v% trong R, các ket qua giúi thiắu o đõy đưoc trớch ra tự W.F.Darsow – M.J.Frank [9].
3.3.1 Các hàm Archimedean ket hap hoàn toàn
Chỳng ta giúi han o viắc xem xột mđt lúp nghiắm đắc biắt cna (3.17) Đắt X = [0; 1] và A ∗ = A\ {0} vói A ⊂ X.
Hàm Archimedean T: X² → X là một loại hàm liên tục, tăng theo từng biến và thỏa mãn điều kiện T(0, x) = T(x, 0), T(1, x) = T(x, 1) với mọi x ∈ X, đồng thời T(x, x) < x với mọi x ∈ (0, 1) Một hàm Archimedean được gọi là kết hợp hoàn toàn nếu nó tăng nghiêm ngặt đối với mọi biến trên X* Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn được viết tắt là “s.A”.
MQI s.A T đeu đưoc cho boi công thúc (xem Aczél [1, § 6.2.2]):
(3.18) o đó ϕ : X ∗ → R + là m®t song ánh giam bat kỳ và ϕ đưoc GQI là sinh cna T.