Bài toán xuat phát
Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho m®t toán tu F : R → R Ta nói:
(ii) F đơn điắu giam neu F (x) ≥ F (y),∀x < y.
(iii)F đơn điắu tăng thnc sn neu
(iv)F đơn điắu giam thnc sn neu
(v) F đơn điắu neu F đơn điắu tăng hoắc đơn điắu giam.
F là hàm số liên tục từ R đến R Nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm, thì điều kiện cần và đủ để phương trình F(x) = 0 có nghiệm là hàm F phải đạt giá trị trái dấu tại hai điểm khác nhau trong miền xác định của nó.
F (x) = y (1.1) cú nghiắm duy nhat x ∈ R vỏi mői y ∈ R là:
Chỳng minh Đieu kiắn can:
Gia súng ngược lại F không đơn điệu trên khoảng (u, v) tồn tại u < v < x thỏa mãn F(u) < F(x) < F(v) Vì F liên tục, nên tồn tại z ∈ (u, v) sao cho F(z) = F(x) Điều này mâu thuẫn với tính duy nhất của nghiệm trong phương trình F(x) = y, do đó F là đơn điệu trên khoảng này.
Hàm số F liên tục và đơn điệu trên R chứng minh rằng F là một hàm ánh trên R Do đó, chúng ta cần phải xác minh điều này.
1.3 Toán tE trên R n Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho toán tu F : R n → R n Ta nói:
(F (x) − F (y)).(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R n (ii) F đơn điắu chắt neu
(iii)F đơn điắu manh neu ton tai c > 0
Bo đe 1.3.1.(Bo đe cơ ban) Gia su F : R n → R n liên tnc và ton tai r > 0 thóa mãn
Khi đú ton tai nghiắm cua phương trỡnh F (x) = 0 trong hỡnh cau đúng
Chúng minh Gia su ngưoc lai
|F (x)| F (x) đưoc xác đ%nh và do F (x) liên tuc nên g(x) liên tuc trên hình cau đóng B r Áp dung đ%nh lý điem bat đ®ng Brouwer ton tai x ∗ ∈ B r sao cho g(x ∗ ) = x ∗
Toán tu trên R n
Vắy ton tai x ∈ B r sao cho F (x) = 0.
-7- Đ%nh lý 1.3.1 Cho m®t toán tu F : R n → R n liên tnc và thóa mãn
F (x) = y cú nghiắm x ∈ R n vỏi mői y ∈ R n Hơn nua neu F đơn điắu chắt thỡ phương trỡnh cú nghiắm duy nhat.
Chúng minh Xét ánh xa
Vỡ F (x) liờn tuc nờn G(x) liờn tuc Mắt khỏc tự (1.2) suy ra vúi moi y ∈ R n co đ%nh ta có
Theo Bő đe 1.3.1 ton tai x ∈ B r sao cho
Hơn nua neu F đơn điắu chắt, gia su phương trỡnh cú hai nghiắm x 1 , x 2 ∈ R n phõn biắt thỡ (F (x 1) − F (x 2)).(x 1 − x 2) = 0, mõu thuan vúi tớnh đơn điắu chắt cna F
Vắy phương trỡnh F (x) = 0 cú nghiắm duy nhat.
1.4 Toán tE trên không gian Hilbert thEc Đ%nh nghĩa 1.4.1 Cho H là không gian Hilbert thnc M®t toán tu
T : H → H sao cho ǁuǁ lim H →∞ ǁT (u)ǁ H = ∞ đưac GQI là thúa món đieu kiắn bỳc yeu.
Toán tu trên không gian Hilbert thnc
-13- Đ%nh nghĩa 1.4.2 Cho H là không gian Hilbert thnc vái tích vô hưáng
(., ) H và cho m®t toán tu T : H → H Ta nói:
(ii) T đơn điắu chắt neu (T (x) − T (y), x − y) H > 0, ∀x, y ∈ H; x ƒ= y.
(iii)T đơn điắu manh neu ∃c > 0 sao cho
Nhắn xột 1.4.1 (i)De thay T đơn điắu manh thỡ T đơn điắu chắt và do đú T đơn điắu.
(ii) Tat ca cỏc toỏn tu đơn điắu manh đeu thúa món đieu kiắn bỳc yeu.
Chỳng minh Gia su T : H → H đơn điắu manh, khi đú ton tai c > 0 sao cho
(u, T (u) − T (0)) H ≥ cǁuǁ H (1.3) Áp dung bat đang thúc Schwartz ta có
Tù (1.3) và (1.4) ta có c.ǁuǁ 2 ≤ ǁuǁ H Σ ǁT (u)ǁ H + ǁT (0)ǁ H Σ
⇒ ǁT (u)ǁ H ≥ cǁuǁ H − ǁT (0)ǁ H ǁ lim H →∞ ǁT (u)ǁ H = ∞.
Bo đe 1.4.1 Cho H là m®t không gian Hilbert thnc, T : H → H là m®t toán tu liên tnc yeu và thóa mãn
Chỳng minh Đắt v = u ± tω (t > 0) The thỡ tự (1.5) suy ra ± (h − T (u ± tω), ω) H ≥ 0.
Vì T liên tuc yeu nên khi cho t ↓ 0 ta có ± (h − T (u), ω) H ≥ 0.
(h − T (u), ω) H = 0, ∀ω ∈ H. Đ%nh lý 1.4.1.(Zarantonello-1960) Gia su H là m®t không gian
Hilbert thnc, T : H → H là toỏn tu đơn điắu manh và liờn tnc Lipschitz, túc là ton tai L > 0 ǁT (u) − T (v)ǁ H ≤ Lǁu − vǁ H , ∀u, v ∈ H.
T (u) = h cú nghiắm duy nhat u ∈ H vỏi mői h ∈ H.
Chúng minh Xét ánh xa G : H → H, G(u) = u − t(T (u) − h) vói t > 0 đn nho đưoc co đ%nh.
De thay nghiắm cna phương trỡnh T (u) = h là điem bat đđng cna G và ngưoc lai.
Mắt khỏc tự tớnh đơn điắu manh và liờn tuc Lipschitz cna T ta cú
) ta có 1 2tc + t 2 L 2 < 1, khi đó G là ánh xa co và theo
L 2 đ%nh lí ánh xa co Banach ta có G có điem bat đ®ng duy nhat hay phương trình
T (u) = h cú nghiắm duy nhat u ∈ H vúi moi h ∈ H Đ%nh lớ đó đưoc chỳng minh. Đ%nh lý 1.4.2.(Lax-Milgram phi tuyen) Gia su H là m®t không gian
Hilbert thnc Gia thiet rang các phiem hàm thnc a : H×H → R và b : H →
(i) b(.) là tuyen tính liên tnc.
(ii) a(u, ) là tuyen tính liên tnc vái mői u ∈ H.
(iii)Ton tai L, c > 0 thóa mãn: a(u, u − v) − a(v, u − v) ≥ cǁu − vǁ 2 , ∀u, v ∈ H.
Khi đó phương trình a(u, v) = b(v), ∀v ∈ H cú nghiắm duy nhat u ∈ H.
Chúng minh Theo đ%nh lí Riesz, tù (i) và (ii) suy ra ton tai h, T (u) ∈ H sao cho b(v) = (h, v) và a(u, v) = (T (u), v) vói MQI v ∈ H.
Tự (iii) ta cú T là toỏn tu đơn điắu manh và liờn tuc Lipschitz vỡ
Theo đ%nh lí Zarantonello suy ra phương trình
T (u) = h cú nghiắm duy nhất u ∈ H với mọi h ∈ H, dẫn đến phương trình a(u, v) = b(v) cho mọi v ∈ H có nghiắm duy nhất u ∈ H Định lý này được chứng minh theo định lý 1.4.3 (Lax-Milgram) trong không gian H.
Hilbert thnc Gia thiet rang các phiem hàm thnc a : H×H → R và b : H →
R thúa món cỏc đieu kiắn sau:
(i) b(.) là tuyen tính liên tnc.
(ii) a(., ) là song tuyen tính liên tnc.
(iii)a thúa món đieu kiắn bỳc, nghĩa là ton tai c > 0 thúa món a(u, u) ≥ cǁuǁ 2 , ∀u ∈ H.
Khi đó phương trình a(u, v) = b(v), ∀v ∈ H cú nghiắm duy nhat u ∈ H.
Chúng minh Ta suy trnc tiep tù đ%nh lí trên vì lúc này: a(u, u − v) − a(v, u − v) = a(u − v, u − v) ≥ cǁu − vǁ 2 , ∀u, v ∈ H.
∈ H. Đe phuc vu cho viắc chỳng minh đ%nh lớ tiep theo chỳng ta can chỳng minh mắnh đe sau.
Mắnh đe 1.4.1 Cho H là mđt khụng gian Hilbert thnc và S : H → H là toỏn tu liờn tnc và đơn điắu manh Khi đú
Chúng ta cần chứng minh rằng S(H) là không gian metric liên thông, và nếu S(H) vừa mở vừa đóng trong H, thì S(H) = H Điều này xảy ra vì không gian metric H chỉ có một tập con duy nhất vừa mở vừa đóng, đó chính là H Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng S(H) là tập đóng.
Bo đe 1.4.2 Cho D là mđt tắp đúng trong khụng gian Hilbert H, S : D → H là mđt toỏn tu liờn tnc và đơn điắu manh Khi đú S(D) là tắp đúng trong H.
Chúng minh Cho {u n } +∞ ⊂ D sao cho S(u n ) → h(n → +∞) Do S là toỏn tu đơn điắu manh nờn ton tai c > 0 sao cho cǁu n − u m ǁ 2 ≤ (u n − u m , S(u n ) − S(u m ))
Hilbert H nên ton tai u 0 ∈ D sao cho: u n → u 0
Do đú {u n } là dóy Cauchy trong D, mà D là tắp đúng trong khụng gian
Mắt khỏc S là toỏn tu liờn tuc, ta cú S(u n ) → S(u 0) nờn h = S(u 0) ∈
S(D) là tập đúng trong H Để chứng minh S(H) mở, cần chứng minh một điều kiện liên quan đến tính liên tục Lipschitz.
Bo đe 1.4.3 Cho D là mđt tắp con cua khụng gian Hilbert thnc H,
H là m®t toán tu thóa mãn ǁV (u) − V (v)ǁ H ≤ ǁu − vǁ H , vái u, v ∈ D.
Khi đó ton tai toán tu W : H → H sao cho ǁW (u) − W (v)ǁ H ≤ ǁu − vǁ H , vái u, v ∈ H.
Chỳng minh GQI Φ là tắp hop cỏc toỏn tu W : DomW → H cú mien xác đ%nh DomW chúa D sao choǁW (u) − W (v)ǁ H ≤ ǁu − vǁ H
Ta đưa vào Φ mđt quan hắ như sau: neu W 1 và W 2 là hai phan tu cna Φ thì
W 2 khi và chi khi DomW 1 ⊂ DomW 2
Khi đú "≤" là mối quan hệ giữa các tập hợp, nếu F là một tập hợp con của một tập hợp lớn hơn thì toàn bộ phần tử trong F đều có liên quan đến phần tử trong Φ Theo định lý Zorn, nếu mỗi tập con của một tập hợp có phần tử cực đại thì tập hợp đó tồn tại ít nhất một phần tử cực đại W trong Φ.
Ta can chúng minh DomW = H Gia su ngưoc lai ton tai u 0 ∈ H \
DomW , ta se chúng minh ton tai v 0 ∈ H sao cho ǁv 0 − W (u)ǁ H ≤ ǁu 0 − uǁ H (u ∈ DomW ).
Khi đú bang cỏch đắt
Ta thu đưoc toán tu W˜ : DomW ∪ {u 0 } −→ H thoa mãn
Đối với không gian Hilbert H, ta có bất đẳng thức W˜ | DomW = W ǁW˜ (u) − W˜ (v)ǁ H ≤ ǁu − vǁ H Điều này mâu thuẫn với tính chất của không gian con W Để kết thúc chứng minh, ta chỉ ra rằng tồn tại v0 Gọi B là một tập con hữu hạn của DomW.
B n là hắ thong cỏc tắp con huu han B cna DomW đưoc chỳa trong hỡnh cau đúng {u ∈ H : ǁuǁ H ≤ n}, n ∈ N Đắt A n = T
Ta se chúng minh rang A = ∅, đieu đó se hoàn tat chúng minh.
Trưúc tiờn ta se chỳng minh A B ƒ= ∅ Thắt vắy, gia su ton tai tắp
Khi đú H f là khụng gian con cna H và dimH f ≤ 2m Vúi moi ω ∈ H f đắt h(ω) = max
Tồn tại v₀ ∈ Hf sao cho h(v₀) ≤ 1 dẫn đến v₀ ∈ AB, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng h(ω) > 1 ∀ω ∈ Hf Hơn nữa, hàm h là hàm liên tục trên Hf và có giới hạn lim ǁωǁH → ∞ h(ω) = ∞ (ω ∈ Hf) Do đó, tồn tại ω₀ ∈ Hf sao cho
Ta đánh so lai u 1 , u 2 , , u m sao cho
De thay ω 0 thu®c vào bao loi cna {W (u 1), , W (u k )} Neu không ta se tỡm đưoc ω 1 ∈ H f trong mđt lõn cắn
Do đú h(ω 1) < h(ω 0) đieu này mõu thuan vúi h(ω 0) = min h(ω) Vỡ vắy ton ω∈H f tai c 1 , , c k sao cho k ω 0 = c j W (u j ), c j ≥
1 Đắt z j = ω k 0 − W (u k j ), zˆ j = u 0 − u j , 1 ≤ j ≤ k Khi đú ta cú k k Σ c j z j = Σ c j (ω 0 − W (u j )) = ω 0 Σ c j − Σ c j W (u j ) = 0,
Vắy A B ƒ= ∅ vúi moi tắp huu han B ∈ DomW
Mắt khỏc A B và A n là cỏc tắp compact yeu (b% chắn và đúng yeu) nờn
A n ∅ vói moi n ∈ N. Áp dung quá trình trên m®t lan nua ta thu đưoc A = ∅
Bõy giũ ta chỳng minh S(H) là tắp mo trong H.
Bo đe 1.4.4 Cho D ⊂ H là mđt tắp mỏ; S : D → H là mđt toỏn tu liờn tnc và đơn điắu manh Khi đú S(D) là mđt tắp mỏ cua H.
Chúng minh Đe chúng minh bő đe này ta chi can chúng minh vói S đơn điắu manh trong trưũng hop c = 1 nghĩa là
(u − u 1 , S(u) − S(u 1)) H ≥ ǁu − u 1 ǁ H Đắt F (u) = S(u) − u Khi đú F là toỏn tu đơn điắu, thắt vắy vúi k k Σ Σ
Trong bài viết này, chúng ta xem xét không gian ǁu − u 1 ǁ H trên D và S −1 liên tục trên R Giả sử S không đơn ánh, điều này dẫn đến việc Kớ hiắu R = S(D) Từ tính đơn điệu mạnh của S, ta suy ra rằng S là đơn ánh tồn tại u 1 =ƒ u 2 sao cho S(u 1) = S(u 2).
(vụ lý) Vắy S là đơn ỏnh.
Xét ánh xa ngưoc S −1 : R → D, ta có vói MQI ω ∈ R ton tai u ∈ D sao cho S −1 (ω) = u Gia su {ω n } +∞ là m®t dãy h®i tu đen ω trong R, áp dung bat đang thúc Schwartz ta có ǁS −1 (ω n ) − S −1 (ω)ǁ 2 ≤
Suy ra ǁS −1 (ω n )−S −1 (ω)ǁ H ≤ ǁω n −ωǁ H Cho n → +∞ thì ǁω n −ωǁ H → 0 nờn ǁS −1 (ω n ) − S −1 (ω)ǁ H → 0 Vắy S −1 liờn tuc trờn R.
Vúi moi v ∈ R đắt K(v) = S −1 (v) − F (S −1 (v)) Lay v 1 , v ∈ R sao cho v = S(u), v 1 = S(u 1) Khi đó u = S −1 (v); u 1 = S −1 (v 1) và
Mà F đơn điắu nờn suy ra ǁv − v 1 ǁ H ≥ ǁK(v) − K(v 1)ǁ H Áp dung Bő đe
1.4.3 ton tai K 1 là mo r®ng cna K trên H và thoa mãn
Nên ta có T (v) = u = S −1 (v) vói MQI v ∈ R và R ⊂ T −1(D).
Cho u₀ ∈ D, với S(u₀) = v₀ ∈ R, ta có T(v₀) = S⁻¹(v₀) = u₀ Vì T là hàm liên tục, nên tồn tại một lân cận U(u₀) quanh u₀ và một lân cận V(v₀) quanh v₀ sao cho T(V(v₀)) ⊂ U(u₀) Điều này cho thấy tính liên tục của T.
R = S(D) là tắp mo Đe chỳng minh T −1(D) ⊂ R ta chi can chỳng minh vói moi v ∈ T −1(D) ta có v = S(T (v)) Gia su ngưoc lai ton tai v ∈
T −1(D) sao cho u = T (v) ta có ǁv − S(u)ǁ H > 0.
Do S liên tuc nên F liên tuc Vói s = ǁv − S(u)ǁ H > 0, ton tai d > 0 sao cho B(u, d) ⊂ D và u 1 ∈ B(u, d) ta có ǁF (u) − F (u 1)ǁ H = ǁS(u) − u − S(u 1) + u 1 ǁ H
CHQN t > 0 đn nho sao cho ǁt(v−S(u))ǁ H
Ta có ǁu − u 1 ǁ H = ǁt(v − S(u))ǁ H < d suy ra u 1 ∈ B(u, d) ⊂ D và
2 t, đieu này mâu thuan vói t > 0 Do đó vói MQI v ∈ T −1(D) ta có Σ
T −1(D) = R = S(D) cho thấy mối liên hệ giữa các toán tử trong không gian Hilbert Mắt khỏc T liên tục dẫn đến S(D) là tắp mo Theo định lý 1.4.4 của Pavel Drábek và Jaroslav Milota, nếu H là không gian Hilbert và T: H → H là toán tử liên tục, đơn điệu và thỏa mãn điều kiện bậc yêu cầu, thì những đặc điểm này sẽ được đảm bảo trong phân tích toán học.
Hơn nua neu T là toỏn tu đơn điắu chắt thỡ vỏi mői h ∈ H phương trỡnh
T (u) = h (1.8) là một công thức duy nhất Để chứng minh tính duy nhất này, ta cần sử dụng một phương pháp phân tích Tính duy nhất được suy ra từ tính đơn điệu của hàm số (T (u1) − T (u1, u2)), với u là hai giá trị trong công thức (1.8) và u1 − u2 > 0.
Nhưng vỡ T (u 1) = T (u 2) = h nờn suy ra vụ lý Vỡ vắy u 1 = u 2. Đe chỳng minh sn ton tai nghiắm cna (1.8) vúi moi h ∈ H ta chỳng minh theo hai bưóc:
Bưác 1 Xét toán tu T n : H → H, n ∈ N xác đ%nh boi
Vỡ T là toỏn tu đơn điắu nờn vúi moi n ta cú T n là toỏn tu đơn điắu manh Thắt vắy, vúi MQI u, v ∈ H ta cú
Khi đú ỏp dung Mắnh đe 1.4.1 ta cú vúi moi h ∈ H, ton tai u n ∈ H sao
Bưỏc 2 Ta se chỳng minh rang {u n } ∞ n=1 là dóy b% chắn trong H Thắt vắy, gia su {u n } ∞ n=1 là dóy khụng b% chắn Suy ra ton tai dóy con
{u n k } ∞ k=1 sao cho lim k→∞ ǁu n k ǁ H = ∞ Tự tớnh đơn điắu cna T ta cú ǁhǁ
Suy ra nǁu n ǁ H ≤ ǁhǁ H + ǁT (0)ǁ H , nờn { un n } là dóy b% chắn Áp dung
1 đ%nh lý Eberlain - Smulyan ton tai dãy con { u n k n
Tù (1.9) ta có T n k (u n k ) n u n k + T (u n k ) = h Suy ra T (u n k ) ~ h − ω.
Mà mđt dóy hđi tu yeu thỡ b% chắn suy ra {T (u n k )} ∞ k=1 là dóy b% chắn
(đieu này mõu thuan vúi đieu kiắn bỳc yeu cna T ) Vắy ta cú
{u n } ∞ n=1 là dãy b% chắn, suy ra nu n → 0, T (u n ) → h(n → +∞), và áp dung đ%nh lý Eberlain
- Smulyan, ta có dãy con {u m k } ∞ k=1 ⊂ {u n } ∞ n=1 sao cho u m k ~ u 0
Ta se chỳng minh T (u 0) = h Thắt vắy, vúi moi v ∈ H và k ∈ N ta cú
Suy ra (ω, h − T (u 0 + λω)) H ≤ 0 Cho λ → 0 + và tù tính liên tuc cna T và cna tích vô hưóng trong H ta có
Vì (1.10) đúng cho ca ω và −ω do đó
Hắ qua 1.4.1 (Pavel Drỏbek, Jaroslav Milota [7]) Cho H là khụng gian Hilbert thnc, T : H → H là toỏn tu liờn tnc và đơn điắu manh Khi đú vái mői h ∈ H phương trình
T (u) = h cú nghiắm duy nhat Cho T (u 1) = h 1 và T (u 2) = h 2 Khi đú
1 ǁu 1 − u 2 ǁ H ≤ cǁh 1 − h 2 ǁ H vái c > 0 (chs phn thu®c vào T ) Cn the, neu T (u n ) = h n , T (u 0) = h 0 và h n → h 0 thì u n → u 0
Chỳng minh Áp dung Mắnh đe 1.4.1 ta suy ra sn ton tai nghiắm cna phương trình T (u) = h vói moi h ∈ H.
Xột tớnh duy nhat nghiắm, gia su phương trỡnh T (u) = h cú hai nghiắm u 1 ƒ= u 2 Khi đó ta có
Vắy phương trỡnh cú nghiắm duy nhat.
Cho T (u 1) = h 1 và T (u 2) = h 2 Áp dung bat đang thúc Schwartz ta có
1.5 Toán tE trên không gian Hilbert thEc tách đưac Đ%nh lý 1.5.1.(Brouwer, Minty)
Cho X là không gian Hilbert thnc tách đưac và cho m®t toán tu
F : X → X liờn tnc yeu, đơn điắu và thúa món
Khi đó phương trình ǁxǁ lim X →∞ ( F ( x ) , x
F (x) = y cú nghiắm x ∈ X vỏi mői y ∈ X Hơn nua, neu F đơn điắu chắt thỡ phương trỡnh cú nghiắm duy nhat.
Chúng minh Vì X là không gian Hilbert tách đưoc nên ton tai m®t cơ so trnc chuan {e k }
Xét HQ các phép chieu
Toán tu trên không gian Hilbert thnc tách đưoc
1.5 Toán tu trên không gian Hilbert thnc tách đưoc
Tự tớnh đơn điắu và liờn tuc yeu cna F suy ra
Do đú F n là toỏn tu đơn điắu Và vúi moi dóy x k → x trong X n , ta cú
Vắy F n liờn tuc trờn khụng gian vộc tơ huu han chieu X n
Vúi MQI y ∈ X cho trưúc, đắt y n = P n y ∈ X n ta cú ǁy n − yǁ X = ǁ k=n+
| → 0 (n → ∞) nờn ton tai M > 0 thoa món ǁy n ǁ X < M ∀n Mắt khỏc tự (1.11) ton tai r > 0 sao cho
Suy ra vói MQI x n ∈ X n sao cho ǁx n ǁ X = r ta có
Theo Bő đe cơ ban 1.3.1 phương trình ǁ − ǁ
F n (x n ) = y n luụn cú nghiắm x n ∈ X n thoa món ǁx n ǁ X ≤ r.
Vì X là không gian Hilbert nên ton tai dãy con {x n k } cna dãy {x n } sao cho x n k ~ x 0 ∈ X.
Ta se chỳng minh x 0 là nghiắm cna phương trỡnh F (x) = y Thắt vắy, vúi MQI z ∈ X, đắt z n = P n z ∈ X n Ta cú
Cho n → ∞ ta có z n → z và x n ~ x 0 trong X suy ra
(y − F (z), x 0 − z) X ≥ 0 ∀z ∈ X (1.12) Áp dung Bő đe 1.4.1 ta suy ra F (x 0) = y.
SE ton tai nghiắm cua bài toỏn biờn đoi vái phương trình elliptic không tuyen tính
2.1.1 Phương trình đao hàm riêng Đ%nh nghĩa 2.1.1 Cho U là mđt tắp con mỏ cua R n , k ≥ 1 là mđt so nguyên M®t bieu thúc có dang
F (D k u(x), D k−1 u(x), , Du(x), u(x), x) = 0 (x ∈ U )(2.1) đưac GQI là phương trình đao hàm riêng cap k Trong đó
F : R n k × R n k−1 × × R n × R × U −→ R và u : U −→ R là m®t hàm chưa biet.
Ta nói rang phương trình (2.1) giai đưac neu tìm đưac tat ca các hàm so u thoa mãn (2.1).
27 Đ%nh nghĩa 2.1.2 (i)Phương trình đao hàm riêng (2.1) đưac g QI là tuyen tính neu nó có dang a α (x)D α u = f (x).
Trong đó a α (x), f (x) là các hàm đã cho Phương trình này đưac
GQI là thuan nhat neu f ≡ 0.
(ii) Phương trình đao hàm riêng (2.1) đưac GQI là nua tuyen tính neu nó có dang a α (x)D α u + a 0(D k−1 u, , Du, u, x) = 0.
(iii) Phương trình đao hàm riêng (2.1) đưac GQI là tna tuyen tính neu nó có dang a α (D k−1 u, , Du, u, x)D α u + a 0(D k−1 u, , Du, u, x)
(iv) Phương trình đao hàm riêng (2.1) đưac GQI là phi tuyen hoàn toàn neu nó phn thu®c không tuyen tính vào đao hàm cap cao nhat.
2.1.2 Không gian Sobolev Đ%nh nghĩa
M®t so kien thúc chuan b%
Phương trình đao hàm riêng
Đ%nh nghĩa 2.1.1 Cho U là mđt tắp con mỏ cua R n , k ≥ 1 là mđt so nguyên M®t bieu thúc có dang
F (D k u(x), D k−1 u(x), , Du(x), u(x), x) = 0 (x ∈ U )(2.1) đưac GQI là phương trình đao hàm riêng cap k Trong đó
F : R n k × R n k−1 × × R n × R × U −→ R và u : U −→ R là m®t hàm chưa biet.
Ta nói rang phương trình (2.1) giai đưac neu tìm đưac tat ca các hàm so u thoa mãn (2.1).
27 Đ%nh nghĩa 2.1.2 (i)Phương trình đao hàm riêng (2.1) đưac g QI là tuyen tính neu nó có dang a α (x)D α u = f (x).
Trong đó a α (x), f (x) là các hàm đã cho Phương trình này đưac
GQI là thuan nhat neu f ≡ 0.
(ii) Phương trình đao hàm riêng (2.1) đưac GQI là nua tuyen tính neu nó có dang a α (x)D α u + a 0(D k−1 u, , Du, u, x) = 0.
(iii) Phương trình đao hàm riêng (2.1) đưac GQI là tna tuyen tính neu nó có dang a α (D k−1 u, , Du, u, x)D α u + a 0(D k−1 u, , Du, u, x)
(iv) Phương trình đao hàm riêng (2.1) đưac GQI là phi tuyen hoàn toàn neu nó phn thu®c không tuyen tính vào đao hàm cap cao nhat.
Không gian Sobolev
(Ω) là đao hàm suy r®ng cap α cua u neu u(x)D α ϕdx = (−1) | α|
Không gian W k,p (Ω)vái 1 ≤ p < ∞ là không gian bao gom các hàm
Khi p = 2, khụng gian W k,p (Ω) = W k,2 (Ω) ký hiắu là H k (Ω) Như vắy
Trong H k (Ω) ta đưa vào tích vô hưóng
|α|≤k và chuan sinh boi tích vô hưóng
, vói MQI u, v ∈ H k (Ω), ǁuǁk = (u, v) = Σ (Dαu, Dαu) = Σ ǁDαuǁ 2 2
Không gian H 1 (Ω) đưoc trang b% tích vô hưóng
∇u(x)∇v(x)dx, vói chuan tương úng ǁuǁ 2
Không gian W k,p (Ω)vái 1 ≤ p < ∞ là bao đóng cua C ∞ (Ω) trong chuan
0 0 cua không gian W k,p (Ω). Đắc biắt H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω) Khụng gian H 1 (Ω) đưoc trang b% chuan cam
Không gian Hilbert H¹(Ω) và H¹(Ω) được xác định bởi tích vô hướng, tạo thành một cấu trúc toán học quan trọng Định lý 2.1.1, hay còn gọi là định lý Vet, khẳng định rằng với mỗi hàm u thuộc W¹,p(Ω), tồn tại một hàm tuyến tính liên tục T sao cho T(u) cũng thuộc không gian này.
L p (∂Ω) Cho Ω là mien có biên Lipschitz Khi đó ton tai m®t và chs m®t toán tu và thoa mãn tính chat sau
W 1,p (Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω) : Tu = 0 trong L p (∂Ω)}. Đ%nh lý này cung cap cho chúng ta m®t cách hieu khác ve không gian
W 1,p (Ω), đú là khụng gian cỏc hàm thuđc W k,p (Ω) và triắt tiờu trờn ∂Ω.
Thay vì nói Tu = 0 trong L p (∂Ω) ta thưòng dùng
”u = 0 trên ∂Ω theo nghĩa cna vet” nhưng chúng ta thưòng viet u = 0 trên ∂Ω. Đ%nh nghĩa 2.1.7.(Không gian H −1 (Ω))
Khụng gian đoi ngau cua H 1 (Ω) đưac kớ hiắu là H −1 (Ω) Núi cỏch khỏc
H −1 (Ω) là không gian các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên H 1 (Ω).
Vì H 1 (Ω) ⊂ L 2 (Ω) nên L 2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω) Hơn nua, vói f ∈ H −1 (Ω) thì f H −1 = sup ǁuǁ≤1
Trong không gian Hđong nhat L²(Ω), ta có thể thấy rằng H¹(Ω) được bao gồm trong L²(Ω), và L²(Ω) lại nằm trong H⁻¹(Ω) đối với u thuộc H¹(Ω) Điều này cho thấy mối quan hệ liên tục và trực tiếp giữa các không gian này.
Toán tu −∆
Ta kớ hiắu −∆ là toỏn tu
−∆ : H 1 (Ω) → H −1 (Ω) (2.2) xác đ%nh theo công thúc
Ta chú ý rang vói ∀u, v ∈ C(−∆u, v) = 2 (Ω) thì
N v cos(x i , v)dS n ∫ Σ i=1 i là toán tu Laplace.
Cho λ 1 ∈ R xác đ%nh boi λ 1 u∈ inf ƒ=
Sau đây ta se chúng minh sn ton tai cna λ 1 Xét toán tu A : H 1 (Ω) →
Trong không gian H 1 (Ω), toán tử A(u, v) được định nghĩa bởi tích phân Ω u(x)v(x)dx, với u, v thuộc H 1 (Ω) Toán tử này là toán tử dương, liên hợp và compact, nhờ vào tính chất nhúng H 1 (Ω) vào L 2 (Ω) là compact Áp dụng định lý Courant-Fischer, ta có dãy các vectơ riêng {u_i} trong H 1 (Ω) tương ứng với các giá trị riêng {λ_i} đơn điệu giảm khi i → +∞, tức là λ_1 ≥ λ_2 ≥ ≥ λ_i > 0, với λ_i → 0 khi i → +∞ Giá trị riêng lớn nhất được xác định bởi λ_1 = max{(Au, u) : ||u||_H 1 (Ω) = 1, u ∈ H 0 (Ω)}.
Neu vói moi λ có m®t hàm u ƒ= 0, u ∈ H 1 (Ω), sao cho
1 Đieu này tương đương vúi đắc trưng sau cna λ 1
Ω u(x)v(x)dx, ∀v ∈ H 1 (Ω) (2.5) thì λ là m®t giá tr% riêng và u là hàm riêng tương úng cna bài toán giá tr% riêng
Khi đó (2.5) tương đương vói bài toán giá tr% riêng
Do đó giá tr% riêng cna bài toán (2.6) là m®t dãy tăng
Lay λ 1 là giá tr% riêng đau cna toán tu −∆ ta có đieu phai chúng minh.
1 và √ λ là hang so nho nhat thoa mãn bat đang thúc trên nên nó là hang so nhúng tot nhat cna phép nhúng H 1 (Ω) ‹→ L- 2 (Ω).
M®t so đ%nh lí
0 Đ%nh lý 2.1.2.(Đ%nh lí nhúng).
Vái m 1 , m 2 ∈ Z + , m 1 ≥ m 2 ta có các phép nhúng liên tnc
(ii) H m 1 (Ω) ‹→ H m 2 (Ω) ‹→ L 2 (Ω). Đ%nh nghĩa 2.1.8 Cho Ω là mđt tắp mỏ trong R n Mđt hàm g : Ω ì R → R đưac GQI là hàm Caratheodory neu:
(i) Vái MQI s ∈ R hàm x −→ g(x, s) là đo đưac trên Ω.
(ii) Vái hau het x ∈ Ω hàm s −→ g(x, s) là liờn tnc trờn R Kớ hiắu: g ∈ CAR(Ω ì R). Đ%nh nghĩa 2.1.9 Cho hàm g ∈ CAR(Ω × R) và m®t hàm u : Ω → R.
Hàm G(u) : Ω → R xác đ%nh bái G(u)(x) = g(x, u(x)) đưac GQI là hàm Nemytski. Đ%nh lý 2.1.3 Cho g ∈ CAR(Ω×R) và p, q ∈ [1, ∞) Neu ton tai r ∈
L q (Ω) và c ∈ R sao cho |g(x, s)| ≤ r(x) + c|s| q vái hau het x ∈ Ω và MQI s ∈ R thì:
(ii) G là ánh xa liên tnc tù L p (Ω) → L q (Ω).
(iii)G bien cỏc tắp b% chắn trong L p (Ω) thành cỏc tắp b% chắn trong L q (Ω).
Sau đây, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp toán tử đơn điệu để khảo sát sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cho bài toán Dirichlet và Neumann với các phương trình elliptic cấp hai tuyến tính Nội dung chính của phương pháp này sẽ được trình bày chi tiết.
0 0 p khụng gian Sobolev H 1 (Ω) hoắc H 1 (Ω) dang pháp là đưa các bài toán biên đang xét ve m®t phương trình toán tu trong
T (u) = 0 là nghiệm cần thiết cho phương trình toán tử đang xét Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm cho phương trình toán tử bằng cách chứng minh toán tử T là toán tử đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu chắc thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
2.2 Bài toán Dirichlet đoi vái phương trình elliptic cap 2 nEa tuyen tính
2.2.1 Bài toán Dirichlet đoi vái phương trình elliptic cap 2 nEa tuyen tính.
Gia su Ω là mien b% chắn cú biờn trơn ∂Ω trong R n Trong Ω ta xột bài toán Dirichlet
Trong đó g ∈ CAR(Ω × R) và gia thiet rang:
(i)Hàm g(x, s) thoa món đieu kiắn tăng sau đây
|g(x, s)| ≤ r(x) + c|s|, r ∈ L 2 (Ω), r(x) > 0, c > 0 (2.8) (ii)Hàm g(x, s) là hàm đơn điắu giam theo s, hau khap nơi vúi x ∈ Ω, tỳc là
Bài toán Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap 2 nua tuyen tính
Bài toán Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap 2
Vắy vúi MQI λ < 0 ta cú T là toỏn tu đơn điắu manh trong H 1 (Ω). Áp dung Hắ qua 1.4.1 ta cú đieu phai chỳng minh.
2.3 Bài toán Neumann đoi vái phương trình elliptic cap 2 nEa tuyen tính
2.3.1 Bài toán Neumann đoi vái phương trình elliptic cap 2 nEa tuyen tính phn thu®c tham so.
Gia su Ω là mien b% chắn cú biờn trơn ∂Ω trong R n , g ∈ CAR(Ω ì R).