Không gian Sobolev
Không gian L p (Ω) , 1 ≤ p < +∞
Đ%nh nghĩa 1.1 L p (Ω) là không gian Banach gom các hàm đo đưoc u xác đ
%nh trên Ω và p - kha tích sao cho
Chuan cna L p (Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi
Ω trong đú |u(x)| là tr% tuyắt đoi hoắc mụ đun cna u(x).
Khi p = +∞, L ∞ (Ω) là khụng gian Banach cỏc hàm b% chắn trờn Ω vúi chuan
||u|| ∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hau khap nơi trong Ω}
Khi p = 2, L 2(Ω) là không gian Hilbert vói tích vô hưóng
(f, g là các hàm bình phương kha tích) Neu a ∈ L ∞ (Ω) và f, g ∈ L 2(Ω) thì
Không gian W l,p (Ω) ( 1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
Đ%nh nghĩa 1.2 Vói ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có
Khi đó, chuan cna u(x) ∈ W l,p (Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi
Nhắn xột 1.2 Gia su Ω ⊂ R n ; l ∈ N ; 1 ≤ p < +∞ thỡ W l,p (Ω) là mđt khụng gian Banach.
Không gian W 1,2 (Ω) đưoc trang b% tích vô hưóng
Chương 1 M®t so kien thúc chuan b
Khi đó W 1,2 (Ω) là không gian Hilbert.
W m,p (Ω) ⊂ W l,p (Ω). Chương 1 M®t so kien thúc chuan b
Không gian W l,p (Ω) ( 1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
C 0 ∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω}. b) Không gian W l,p (Ω) Đ%nh nghĩa 1.3 Không gian W l,p (Ω) vói 1 ≤ p < +∞ là bao đóng cna C ∞ (Ω)
0 0 trong chuan cna không gian W l,p (Ω).
Nhắn xột 1.4 i)Đoi vúi cỏc hàm u(x) ∈ W 1,p (Ω), v(x) ∈ W 1,p j (Ω) ta cú trong đó 1 + 1
Ω Ω uv x i dx, p p J ii)Hai chuan tương đương trong W 1,p (Ω)
Hai chuan là tương đương, neu ton tai c 1 , c 2 ∈ R ∗ + sao cho c 1 ||u|| ≤ |||u||| ≤ c 2 ||u||. iii)Hai chuan sau là tương đương trên W l,p (Ω) n
Chuan cna W 1,2 (Ω) xác đ%nh boi
Chuan mói tương đương là
Ω i,j= 1 a ij (x)u x i u x j dx, trong đó a ij = a ji , c 1 | ξ| 2 n i,j=
Không gian Holder
Đ%nh nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω)
Trong không gian C l (Ω) xác đ%nh chuan
Đ%nh nghĩa không gian C 0,α (Ω)
Đ%nh nghĩa 1.5 C 0,α (Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tuc trong Ω vói |u| (α),Ω xác đ%nh
Chuan cna C 0,α (Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi
Đ%nh nghĩa không gian C l,α (Ω)
Các đ%nh lý nhúng
Đ%nh nghĩa phép nhúng
Cho B 1 , B 2 là hai không gian Banach.
Ta núi rang B 1 nhỳng vào B 2 và kớ hiắu B 1 → B 2, neu vúi u ∈ B 1 thỡ u ∈ B 2 Đ%nh nghĩa 1.8 (Phép nhúng liên tnc)
Trong không gian Banach B₁, phép nhúng liên tục vào không gian Banach B₂ được ký hiệu là B₁ → B₂, nếu tồn tại hằng số c không phụ thuộc vào u ∈ B₁, sao cho ||u||B₂ ≤ c||u||B₁ Định nghĩa này được gọi là phép nhúng hoàn toàn liên tục.
M®t không gian Banach B 1 đưoc GQI là nhúng hoàn toàn liên tuc trong không gian Banach B 2, neu mđt tắp b% chắn trong B 1 là mđt tắp tien compact trong
Đ%nh lý nhúng vào L p (Ω)
Đ%nh lý 1.1 Gia su Ω là mien b% chắn và 1 ≤ p < q < +∞.
Khi đó, L q (Ω) ⊂ L p (Ω) và ánh xa nhúng j : L q (Ω) ›→ L p (Ω) là liên tnc.
Ta can chúng minh u L p (Ω) hay u dx < +.
∈ | | ∞ p ∫ ∫ Áp dung bat đang thúc Holder ta có Σ ∫ Σ q−p Σ∫
Tù công thúc (1.1) ta suy ra
Tù (1.2) chúng to ánh xa j : L q (Ω) ›→ L p (Ω) là liên tuc và q − p
1.3.3 Đ%nh lý nhúng cua không gian W l,p (Ω) Đ%nh lý 1.2 Cho Ω ⊂ R n là tắp b% chắn
Khi đó, ta có các khang đ%nh sau a) Neu lp < n và
Vái q < np n−pl , thì W l,p (Ω) nhúng liên tnc vào L q (Ω),
, thì W l,p (Ω) nhúng hoàn toàn liên tnc vào L q (Ω). p p p q q p − q p q p q
Vái β ≤ pl−n , thì W l,p (Ω) nhúng liên tnc vào C β (Ω),
Vái β < pl−n p p , thì W l,p (Ω) nhúng hoàn toàn liên tnc vào C β (Ω).
Đ%nh lý nhúng cna không gian W l,p (Ω)
Ta có bat đang thúc Young
Nhắn xột 1.5 i)Khi p = q = 2, bat đang thỳc (1.3) chớnh là bat đang thúc Cauchy.
1 1 ii)Thay a boi ε p a, b boi ε − p b, vói ε > 0 Khi đó (1.3) tro thành ε|a| p p ε − q | b| q q p − q
Vói u ∈ L p (Ω); v ∈ L q (Ω) và 1 + 1 = 1, ta có bat đang thúc Holder p
Nhắn xột 1.6 i)Khi p = q = 2 bat đang thỳc Holder tro thành bat đang thúc Schwarz
M®t so bat đang thúc
Đ%nh lý Fredholm đoi vói phương trình tuyen tính
Đ%nh nghĩa ánh xa compact
Đ%nh nghĩa 1.10 Cho V 1 , V 2là hai không gian tuyen tính đ%nh chuan. Ánh xa T : V 1 → V 2 đưoc GQI là compact neu T bien cỏc tắp b% chắn trong V 1 thành cỏc tắp tien compact trong V 2
Đ%nh nghĩa ánh xa liên hop
Định nghĩa 1.11: Cho T là toán tử tuyến tính bền vững trong không gian Hilbert H Khi đó, ánh xạ liên hợp T* cũng là toán tử tuyến tính bền vững trong H, được xác định bởi mọi cặp x, y thuộc H.
Nhắn xột 1.7 Neu T compact thỡ T ∗ cũng compact.
Đ%nh lý Fredholm trong không gian Banach
Đ%nh lý 1.3 Cho V là không gian tuyen tính đ%nh chuan.
T : V → V là ánh xa tuyen tính compact.
Khi đó, neu phương trình x − Tx = 0 duy nhat nghiắm, thỡ vỏi MQI y ∈ V , phương trỡnh x − Tx = y cú nghiắm duy nhat và toỏn tu (I − T ) −1 là toỏn tu b% chắn.
0 Đ%nh lý 1.4 Cho V là không gian tuyen tính đ%nh chuan.
T : V → V là ánh xa tuyen tính compact.
Khi đú, các giá trị riêng của nó đều được đưa ra và không có điểm tận cùng nào khác ngoài λ = 0 Mọi giá trị riêng khác đều có bậc hữu hạn.
Đ%nh lý Fredholm trong không gian Hilbert
Định lý 1.5 khẳng định rằng trong không gian Hilbert H, nếu T : H → H là ánh xạ compact, thì tồn tại một tập hợp Λ ⊂ R chứa các phần tử riêng λ = 0 Nếu λ khác 0 và λ không thuộc Λ, phương trình λx − T x = y và λx − T ∗ x = y sẽ có nghiệm duy nhất x ∈ H với mọi y ∈ H.
Neu λ ∈ Λ, không gian rőng cua ánh xa λI − T, λI − T ∗ có chieu dương xác đ
%nh và phương trình (1.4) là giai đưac khi và chs khi y trnc giao vái không gian rőng cua λI − T ∗ trong trưàng hap thú nhat và λI − T trong các trưàng hap khác.
Nghiắm suy rđng cna bài toỏn Dirichlet
Hắ phương trỡnh elliptic và bài toỏn Dirichlet
Vúi x ∈ Ω ⊂ R n , xột hắ phương trỡnh dang bao toàn
+ f, (2.1) ij x j i x i i x i ∂ x i o đây, u, f i và f là các hàm vecto N phan tu u 1 f i 1 f 1 u 2 f i 2 f 2 u = u N
; a ij (x) là hàm vô hưóng : a ij (x).u x j = a ij (x).E.u x j ;
A i (x), B i (x), B(x) là cỏc ma trắn vuụng cap N.
Gia su rang cỏc hắ so a ij cna hắ (2.1) thoa món bat đang thỳc n n i i,j=1 vói ∀x ∈ Ω; ∀ξ i ∈ R n
Khi đú hắ (2.1) là hắ phương trỡnh elliptic. b)Bài toán Dirichlet
Bài toỏn Dirichlet đoi vúi hắ phương trỡnh (2.1) là bài toỏn tỡm hàm vecto
21 u(x) trong Ω cna hắ phương trỡnh (2.1) và thoa món đieu kiắn biờn u| S = ϕ| S , (2.3) vói ϕ(x) ∈ W 1,2 (Ω).
Ta gia su thờm đieu kiắn im im im
||a i , b i || L q (Ω) , ||b || L q (Ω) < à; q > n (2.4) Vói MQI hàm f i (x), f (x) và ϕ(x) thoa mãn
Cỏc gia thiet f i , f, ϕ là can thiet đoi vúi sn ton tai cna nghiắm suy rđng thuđc
Nghiắm suy rđng
1.Nghiắm suy rđng cna hắ phương trỡnh elliptic
Hàm vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) đưoc GQI là nghiắm suy rđng cna hắ (2.1) neu vói MQI hàm vecto η(x) ∈ W (Ω), thoa mãn đang thúc tích phân Σ(a ij u x j + A i u − f i )η x i − (B i u x i + Bu − f )ηΣ dx = 0 (2.6)
2.Nghiắm suy rđng cna bài toỏn Dirichlet
Hàm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) đưoc GQI là nghiắm suy rđng cna bài toỏn Dirichlet neu u(x) là nghiắm suy rđng cna hắ phương trỡnh (2.1) và u(x) −ϕ(x) ∈ W 1,2 (Ω).
2.2 Bat đang thÉc cơ ban thÉ nhat SE ton tai và duy nhat cua nghiắm suy rđng
2.2.1 Bat đang thÉc cơ ban thÉ nhat
Xột bài toỏn (2.1), (2.3) thoa món cỏc đieu kiắn (2.2), (2.4), (2.5) Do hàm vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiắm suy rđng cna hắ (2.1), nờn
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic
22 hay, L(u, η) = (f i , η x i ) − (f, η), (2.7) vói η(x) ∈ W 1,2 (Ω) và thoa mãn u(x) − ϕ(x) ∈ W 1,2 (Ω).
Vói hàm này, tù đang thúc (2.7) ta thu đưoc
Hàm L(v, η) được định nghĩa như sau: L(v, η) = −L(ϕ, η) + (f i , η x i ) − (f, η), và từ (2.3) ta có v| S = 0, với v thuộc W 1,2 (Ω) Thay vì xem xét hàm u, chúng ta tìm hàm v thuộc W 1,2 (Ω) thỏa mãn điều kiện (2.8) Từ đó, chúng ta cũng suy ra được hàm u = v + ϕ là nghiệm của bài toán (2.1), (2.3).
Xét l(η) = −L(ϕ, η) + (f i , η x i ) − (f, η) (2.10) là phiem hàm tuyen tính trên W 1,2 (Ω).
Vói u ∈ W 1,2 (Ω), η ∈ W 1,2 (Ω) bat kì, cˆ(q, Ω) và c(q, Ω) là các hang so thì
Mắt khỏc, theo bat đang thỳc Holder ta cú
+à||ϕ|| L 2q (Ω) ||η|| L 2q (Ω) (2.14) Áp dung (2.12) vào (2.14) ta đưoc q−
Bưác 2 Chúng minh bat đang thúc cơ ban thú nhat vói các toán tu elliptic
Vói hàm v(x) ∈ W 1,2 (Ω) bat kì, ta có bat đang thúc
Xột hắ so B(x) cú dang vói
Trưóc het, ta đi xét bő đe sau
Bo đe 2.1 Gia su rang cỏc đieu kiắn (2.2), (2.4) thoa món Khi đú, vúi hàm v ∈ W 1,2 (Ω) bat kỳ thì
ChÚng minh Theo đieu kiắn elliptic (2.2) ta cú
(A i i − B i ) 2 + B + Σ v 2 Σ dx, (2.20) o đây, ε là so dương tùy ý. Áp dung bat đang thúc Holder cho hai phan tu cuoi trong tích phân ve phai bat đang thúc (2.20) ta đưoc
Tù bat đang thúc này và bat đang thúc (2.20) ta rút ra
||v|| 2 (2.21) Đắt ε = λ , bat đang thỳc (2.21) tro thành
Ket hop (2.17) và (2.22), rút ra
2M (2λ+1)c 2 (q)n , bat phương trình trên tro thành
Vắy bő đe đó đưoc chỳng minh xong.
Ta can su dung bat đang thỳc (2.19) đe đỏnh giỏ nghiắm suy rđng cna bài toán Dirichlet (2.1), (2.3).
Rút GQN hai ve cna bat đang thúc trên ta đưoc
Nhân ca hai ve cna bat đang thúc (2.23) vói 2, ta đưoc
(2.24) Đen đõy, ta cú the triắt tiờu đưoc phan tu ||v|| 2 o ve phai bat đang thỳc (2.24). a) Thắt vắy, vỡ v ∈ W 1,2 (Ω) nờn
Mà B − (x) = −B 0 Tù hai đieu này, (2.22) tro thành
Ω b) Trưũng hop ϕ ≡ 0, thỡ v ≡ u là nghiắm cna
(2.1) Khi đó (2.24) và (2.27) tương úng tro thành
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic
Khi đú, u = v + ϕ là nghiắm suy rđng cna bài toỏn (2.1), (2.3) thỡ (2.22) và (2.25) tro thành
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic
Trong các bậc đang thúc, hàm số c(q, Ω, ϕ, f, f) được cho bởi (2.16) và c1(q) được cho bởi (2.19) Bậc đang thúc (2.30) là bậc đang thúc cơ bản đối với nghiệm của bài toán (2.1), (2.3) Trong trường hợp ϕ ≡ 0, bậc đang thúc (2.28) là bậc đang thúc cơ bản duy nhất đối với nghiệm của bài toán Khi điều kiện δ < 1, ta có thể sử dụng các bậc đang thúc (2.29) và (2.31) Tiếp theo, ta chỉ ra rằng với n ≥ 3, trường hợp q = n vẫn giữ lại một số dạng cơ bản của bài toán Dirichlet.
Thắt vắy, gia su đieu kiắn (2.2) đưoc thoa món và
(2.33) vúi c J i (x), c J (x) là cỏc hàm b% chắn và c J i J (x), c JJ (x) tương ỳng thuđc L n (Ω) và L n (Ω)
Rõ ràng, trong trưòng hop tőng quát
M ε J trên ε J xác định bởi (2.32) và toán tử L Với toán tử L, ta có bất đẳng thức tương tự với (2.19) Việc rút ra bất đẳng thức này tương tự như việc suy diễn.
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic
ra bat đang thúc (2.19), cu the: ta can đánh giá các phan tu ve phai cna bat đang thỳc (2.20) bang viắc ỏp dung cỏc phương trỡnh (2.33).
− B i ) + A ]v dx Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic
L 2n (Ω) n−2 Đắt ε = λ , bat đang thỳc trờn tro thành
Mà v ∈ W 2,1 (Ω) nên theo bat đang thúc (2.12) ta có
Ket hop (2.36) và (2.37) ta có
(2.39) Đắt v = u − ϕ, bat đang thỳc trờn tro thành
Thay (2.16) vào bat đang thúc (2.40) ta đưoc
(2.41) Áp dung bat đang thúc Cauchy vào (2.41) ta rút ra
M J ||v|| 2 Đắt ε = 1 − δ 1 , đong thũi rỳt GQN hai ve bat phương trỡnh trờn ta thu đưoc ket qua
Vắy (2.42) chớnh là bat đang thỳc cơ ban thỳ nhat đoi vúi nghiắm suy rđng cna hắ phương trỡnh (2.1) trong W 1,2 (Ω) Q
Hắ qua 2.1 Neu ϕ ≡ 0 thỡ v ≡ u là nghiắm cna phương trỡnh (2.1)
Tự đõy, ta thay sn tương ỳng cna bat đang thỳc trờn vúi nghiắm suy rđng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) cna bat đang thúc (2.30)
) c 0 mes n Ω1 ≥ δ 2 > 0, (2.44) giu lai m®t so thành phan cna (2.1) vói Ω1 ⊂ Ω, tù (2.43) ta đưoc
Trong bài viết này, chúng ta xem xét sự tồn tại của nghiệm trong không gian W 1,2 (Ω) Cụ thể, điều kiện (2.45) tương tự như (2.26) được thỏa mãn trong hai trường hợp: (i) với miền Ω1 có độ đo nhỏ hơn hoặc (ii) với toán tử Lu−λu, trong đó λ ≥ λ0 Tuy nhiên, trong phần này, độ đo nhỏ của miền Ω1 và độ lún của λ0 không chỉ phụ thuộc vào a mà còn phụ thuộc vào εJ và MεJ.
2.2.2 SE ton tai và duy nhat cua nghiắm suy rđng
Tự bat đang thỳc cơ ban thỳ nhat đoi vúi nghiắm suy rđng cna hắ (2.1), áp dung các phương pháp như cna phan m®t phương trình, ta có các đ
Định lý Kiểu Fredholm về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cho phương trình (2.1) trong các điều kiện (2.2), (2.4) và (2.5) trên miền Ω b% chắn chỉ ra hai khả năng: i) Nếu phương trình (2.1) với f ≡ 0 và f_i ≡ 0 (i = 1, , n) có điều kiện biên ϕ ≡ 0, thì nghiệm không tồn tại; ii) Nếu phương trình (2.1) với f ≡ 0 và f_i ≡ 0 (i = 1, , n) có điều kiện biên ϕ ≡ 0, thì nghiệm duy nhất tồn tại trong tam giác u ≡ 0.
MQI hàm f, f i , ϕ trong W 1,2 (Ω), ton tai duy nhat nghiắm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) cua bài toán (2.1), (2.3).
ChÚng minh Ta đưa vào W 1,2 (Ω) m®t tích vô hưóng mói
Theo đieu kiắn elliptic (2.2) và c 1(q) + 4 ≤ 0, neu v ∈ W 1,2 (Ω) thỡ vói λ
Mắt khỏc, tự đieu kiắn (2.2) và (2.3) ta cú
2 ||v||à|∇ L 2q (Ω) , ket hop vói (2.15) ta có
Khi đó, chuan trong tích vô hưóng mói tương đương vói chuan trong W
1,2(Ω) Thay vỡ tỡm nghiắm u cna bài toỏn (2.1), (2.3), ta chi can tỡm hàm v u − ϕ tù (2.8), (2.9) Ta viet đong nhat thúc (2.8) dưói dang
− b i v x η − B + vηΣ dx = l(η), (2.48) vúi l(η) đưoc xỏc đ%nh như trong (2.10) Đắt l 1(v, η) Ω
Do gia thiet (2.15), ta nhắn đưoc
+||∇v|| L 2 (Ω) ||η|| L 2q (Ω) + ||v|| L 2q (Ω) ||η|| L 2q (Ω) Σ , (2.49) q−2 và theo (2.17), dan tói bat đang thúc q−
Tù đó, suy ra |l 1(v, η)| là m®t phiem hàm tuyen tính cna η trong W 1,2 (Ω) khi co đ%nh m®t phan tu tùy ý v(x) ∈ W 1,2 (Ω) Theo đ%nh lý Riesz, phiem hàm
|l 1(v, η)| đưoc bieu dien dưói dang
|l 1(v, η)| = [Av, η], ∀η ∈ W 0 (Ω), (2.51) o đú A là mđt toỏn tu b% chắn trong W 1,2 (Ω).
Bây giò, ta chúng minh A là m®t toán tu hoàn toàn liên tuc trong không gian
W 1,2 (Ω) Thắt vắy, gia su {v m (x)}, m = 1, 2, là mđt dóy hđi tu trong W
Do toỏn tu A b% chắn nờn {Av m }, m = 1, 2, , thuđc W 1,2 (Ω) Ngoài ra, do
W 1,2 (Ω) đưoc nhúng vào L p (Ω) vói p < 2n , là hoàn toàn liên tuc, nên các dãy
0 n−2 1,2 con {v m }, {Av m } h®i tu tói các phan tu v(x) và Au(x) trong
[Av l − Av m , Av l − Av m ] = l 1(v l − v m , Av l − Av m ) (2.53) Áp dung (2.49) vào ve phai (2.53) ta có
[Av l − Av m , Av l − Av m ] ≤ c ||v l − v m || L 2q (Ω) + ||Av l − Av m || L 2q (Ω) Σ
Do đó, {Av m } h®i tu trong W 1,2 (Ω) Tù đó, suy ra A là toán tu hoàn toàn liên tuc trong W 1,2 (Ω).
Vói các gia thiet cna ϕ, f, f thì ve phai cna (2.48) là hàm tuyen tính trong
W 1,2 (Ω) Do đó, vói MQI F ∈ W 1,2 (Ω) và η thì l(η) = [F, η] (2.54) Áp dung (2.51) và (2.54) vào đang thúc (2.48) ta có
Vói η ∈ W 1,2 (Ω) bat kỳ, (2.55) tương úng vói phương trình toán tu trong W
Do A là toán tu tuyen tính compact trong W 1,2 (Ω), nên theo đ%nh lý
Fredholm, phương trỡnh (2.56) cú nghiắm duy nhat v vúi F ∈ W 1,2 (Ω) bat kỳ neu phương trỡnh thuan nhat cú nghiắm duy nhat w ≡ 0.
Q Đ%nh lý 2.2 Ton tai mđt so đem đưac cỏc giỏ tr% λ = λ 1 , , trong mắt phang phúc λ sao cho bài toán
∂x (a ij u x j + A i u) + B i u x i + Bu = λu, u| S = 0, cú nghiắm khỏc khụng trong W 1,2 (Ω) Tắp hap tat ca cỏc giỏ tr% riờng {λ k } tao thành phő cua bài toán (2.1), (2.3) Mői giá tr% λ có b®i huu han và |λ k | →
2.3 Cỏc tớnh chat đ%nh tớnh cua nghiắm suy rđng
Trong phan này, ta se đỏnh giỏ max |u| Muon the, gia su rang cỏc đieu kiắn (2.2), (2.4) và đưoc thoa mãn.
Ngoài ra, ta gia thiet rang ϕ(x) ≡ 0, khi đó u| S = 0 (2.59)
Ta can chi ra rang neu u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiắm suy rđng cna (2.1) thỡ tớch phân là huu han.
Do u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiắm suy rđng cna bài toỏn (2.1) nờn nú thoa món đang thúc tích phân
Ω vói MQI hàm η(x) ∈ W 1,2 (Ω). Đắt η(x) = u(x)φ(x), vúi φ(x) là hàm bat kỡ sao cho u(x)φ(x) ∈ W 1,2 (Ω).
0 vói v(x) = |u(x)| 2 Ta xét hàm φ có dang φ(x) ≡ φ (r) (x) ≡ min{v(x), r}, r > 0.
+(B i u x i + Bu − f )uφ Σ dx (2.62) Theo đieu kiắn elliptic (2.2) thỡ a ij
Khi đó ta rút ra λ ∫ Σ |∇u| 2 φ (r) + 1
Ω i i,i,m i,m Đắt ε = λ , bat đang thỳc trờn tro thành
(b im ) 2 vφ (r) + |f|√ vφ (r) Σ dx (2.63) i,i,m i,m Áp dung bat đang thúc Holder cho các phan tu cna ve phai (2.52) ta có
Mắt khỏc, vúi hàm u ∈ W 1,2 (Ω) bat kỡ, ta cú bat đang thỳc
Tù hai bat đang thúc trên ta suy ra
(r) |∇u| dx + c ∫ ε vdx Áp dung các bat đang thúc trên vào bat đang thúc (2.51) ta thu đưoc ε ∫ Σ
(2.64) Áp dung đieu kiắn (2.4) vào bat đang thỳc (2.64) ta thu đưoc
L 4q (Ω) q+6 vói c 1 là bieu thúc phu thu®c vào r.
Cho r → ∞, φ (r) = |u| 2 , tích phân trên tro thành
Tớch phõn này vúi nghiắm suy rđng u ∈ W 1,2 (Ω) cna bài toỏn Dirichlet là huu han.
Để đánh giá giá trị cực đại của |u|, chúng ta sẽ áp dụng định lý 2.3, với giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4), và (2.58) đã được thỏa mãn Hơn nữa, cần lưu ý rằng hàm u(x) thuộc không gian W 1,2(Ω) và có các tích phân liên quan.
|u| |∇u| dx, (2.66) huu han Khi đú max u(x) b% chắn bỏi mđt hang so phn thuđc vào n, N, q, λ và à
Ω J trong (2.2), (2.4), (2.58), phn thu®c vào ||u|| L q (Ω) và khoang cách tù Ω J đen S.
Mắt khỏc, neu u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiắm suy rđng cua bài toỏn (2.1), (2.59) thỡ max |u(x)| b% chắn trờn bỏi mđt hang so phn thuđc vào n, N, q, λ,à trong
Gia su Ω J ⊂⊂ Ω. Đánh giá max |u| mà không su dung gia thiet u| S = 0 trên S vói tích phân (2.66) huu han. Đắt φ(x) = max{2[v(x) − k]ζ 2 (x), 0},
J Ω vói k ≥ 0 và ζ(x) là hàm trơn không âm thoa mãn 0 < ζ(x) < 1 khi x ∈ K ρ ⊂ Ω và bang 0 khi x ∈/ K ρ ⊂ Ω.
Tù đánh giá o phan trên ta thu đưoc λ
Theo đieu kiắn (2.4) và (2.58), ta thay ||D(x)|| L q (Ω) và ||E(x)|| L q (Ω) b% chắn. Khi đó,
L q− 2 2q (A k,ρ ) q k,ρ Đắt ε = λ , cựng vúi bat đang thỳc này, bat đang thỳc (2.67) tro thành
L 2q q−2 (Ω) n q L 2 (Ω) o đây q ≥ n vói n > 2 và q > 2 vói n = 2, c(q) là hang so phu thu®c vào q và n Thay u = ζ(v − k) ta có
Khi đó bat đang thúc (2.68) tro thành
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic
Vói MQI giá tr% cna ρ thoa mãn c c ρ 2( 1 − 1 ) ≤ 1
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic
1 2 n bat đang thúc (2.69) tro thành
Trong bat đang thúc này, k ≥ 1, hang so ρ thoa mãn bat đang thúc (2.70), và tắp K ρ ⊂ Ω γ là hang so đưoc xỏc đ%nh boi n, N, q(q > n), γ, mu trong
Theo Đ%nh lí 5.3, chương 2, [1], tù bat đang thúc (2.71) ta có the đánh giá max u(x) trong mien Ω J bat kỳ b% chắn trờn boi mđt hang so phu thuđc vào
Bưác 2 Đỏnh giỏ max |u(x)| vúi u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiắm suy rđng cna bài toỏn Dirichlet Đắt φ(x) = max{2[v(x) − k], 0}, và v = |u| 2 , k > 0.
Chúng minh tương tn như bưóc 1 ta thu đưoc ket qua
Theo Đ%nh lí 5.1, chương 2, [1], tù (2.72) ta đánh giá đưoc max |u(x)| b% chắn trờn boi mđt hang so phu thuđc vào n, N, q, λ và à trong (2.2), (2.4), (2.58), và q 2 n q
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic
Ta có đ%nh lý sau
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic
61 Đ%nh lý 2.4 Gia su rang cỏc đieu kiắn (2.2), (2.4), (2.58) thúa món hắ phương trỡnh (2.1) Khi đú, nghiắm suy rđng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) bat kỡ cua hắ
(2.1) cũng đánh giá đưac trên không gian C 0,α (Ω) vái α > 0 á đây, |u| α,Ω đưac đỏnh giỏ bang mđt hang so phn thuđc vào n, N, q, λ và à trong
(2.2), (2.4), (2.58), trên M = ess max |u|, và khoang cách tù Ω J đen S.
ChÚng minh Muon đỏnh giỏ |u| α,Ω , ta can chi ra rang nghiắm suy rđng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) cna hắ (2.1) thuđc lúp hàm B(Ω¯ , ).
Gia su u(x) ∈ W 1,2 (Ω) và M = max |u| < ∞. Đe đơn gian, gia su rang 0 ≤ u l (x) ≤ 1 vói l = 1, , N.
Ta cú the thay u l (x) trong hắ (2.1) bang hàm Đắt u l u l +
Gia su φ(x) là hàm b% chắn trong W 1,2 (Ω) và e i là vecto đơn v% cú đđ dài l Vúi η = 5Nφ(x)e i , đong nhat thúc (2.6) tro thành
Vói η = uφ(x), đang thúc (2.6) tro thành Σ(a ij u x j + A i u − f i )(u x i φ + uφ x i ) − (B i u x i + Bu − f )uφΣ dx = 0.
C®ng ve vói ve hai đang thúc trên ta đưoc
−(B i u x i + Bu − f )(uφ + 5Nφe )]dx = 0. Đắt w = 10uNe i Ta rỳt ra, w j = 10Nu x e i
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (B i u x i + Bu − f )(uφ + 5Nφe )]dx = 0 với φ(x) thuộc không gian W 1,2 (Ω) Đặt φ = max{2(w−k)ζ 2 ; 0}, trong đó k là một hằng số bất kỳ và ζ(x) là một hàm trơn có giá trị compact trong khoảng [0; 1] trong hình cầu K ρ ⊂ Ω Đồng thời, khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho biểu thức trên, ta thu được kết quả λ 2|∇u| 2 (w − k)ζ 2 + |∇w| 2 ζ 2 dx ≤ ε.
A k,ρ Σ(w − k) 2 |∇ζ| 2 + (D 2 + E)(w 2 + 1)ζ 2 Σ dx, (2.73) Đắt w = |u| 2 , bien đői (2.73) ta thu đưoc λ 2|∇u| 2 (w − k)ζ 2 + |∇w| 2 ζ 2 dx ≤ ε
Theo đieu kiắn (2.4) và (2.5), ta thay ||D(x)|| L q (Ω) và ||E(x)|| L q (Ω) b% chắn. Khi đó, i j i
L q− 2 2q (A k,ρ ) q k,ρ Đắt ε = λ , ket hop vúi bat đang thỳc (2.75) , bat đang thỳc (2.74) tro thành
A k,ρ vói c 1 là hang so. Áp dung bat đang thúc
Tù (2.77), bat đang thúc (2.76) tro thành
Vói MQI giá tr% cna ρ thoa mãn c c ρ 2( 1 − 1 ) ≤ 1
, (2.79) bat đang thúc (2.78) có dang
Khi đó, ta thu đưoc bat đang thúc
, (2.80) vói w = w l , l = 1, , N, k bat kỳ sao cho K ρ ⊂ Ω.o đây, γ là hang so phu thuđc vào n, q, λ,à trong (2.2), (2.4), (2.58) và M.
Chỳng minh tương tn, ta cũng thu đưoc bat đang thỳc (2.70) hoắc w = w l , l 1, , N Tù đây, ta thay u(x) thu®c lóp hàm
Theo Định lý 8.1 trong Chương 2 của tài liệu [1], ta có thể đánh giá |u| α,Ω J với Ω J thuộc Ω, dựa vào các hệ số phụ thuộc vào n, N, q, λ và các biểu thức trong (2.2), (2.4), (2.58) Đánh giá này cũng phụ thuộc vào M max |u| và khoảng cách từ Ω J đến các yếu tố liên quan.
S Vắy, đ%nh lí đưoc chúng minh xong Q
2.3.3 Đánh giá |u| 1,α,Ω J và ||u|| W 2,2 (Ω) Đe đỏnh giỏ |u| 1,α,Ω J trong Ω J ⊂ Ω bat kỳ, ta gia thiet rang nghiắm suy rđng u ∈ W 1,2 (Ω) cna hắ (2.1) cú đao hàm suy rđng cap hai và tớch phõn Σ |∇u| 4
) i =1 Σ ,j x i x j dx là huu han Gia su rang cỏc hắ so a ij , a mi , và f i là cỏc hàm kha vi thoa món bat đang thúc ∂a ij
Ta cũng gia su đieu kiắn elliptic (2.2) thoa món và
Lay vi phõn hắ (2.1) theo x k và viet dưúi dang
∂ Σ a (x)u ik + a ik;mj u mj + f ik Σ = 0 (2.83) e đây,
∂x i ij x j i i a ik;mj = δ k b im + a im δ k + ∂a ij δ m , i i j i j ∂x k i ik k i im m ∂f i
Các phương trình (2.83) với l = 1, , N và k = 1, , n có cấu trúc tương tự như (2.1) với các hàm u ik Chúng ta nhận thấy rằng các hệ số a ij (x), a ik; mj u mj (x) và f ik (x) đều thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 2.3 và 2.4 Do đó, các nghiệm u ik cũng thỏa mãn các tính chất được nêu trong Định lý 2.3 và 2.4.
Ta tiến hành xét định lý 2.5, trong đó giả sử các điều kiện (2.2), (2.82) và (2.83) được thỏa mãn Cho hàm u(x) thuộc không gian W 2,2 (Ω) là nghiệm suy ràng của hệ phương trình (2.1) với tích phân sau là hữu hạn: Σ |∇u|.
Khi đú, |u| l,α,Ω J vỏi α > 0, Ω J ⊂ Ω bat kỡ, b% chắn trờn bỏi mđt hang so phn thuđc vào n, N, M, q, λ, và à trong (2.2), (2.82) và (2.83), phn thuđc vào đai lưang và theo khoang cách tù Ω J đen
ChÚng minh Ta can tìm các đánh giá đoi vói ||u|| W 2,2 (Ω) và ||∇u|| L 4 (Ω) , gia thiet rang đieu kiắn elliptic (2.2)thoa món và cỏc hắ so cna hắ (2.1) b% chắn Khi đó
L 2 (Ω) ≤ à, q^ = max(q, 4). Đe đơn gian, ta gia thiet đieu kiắn biờn u| S = 0 (2.85)
Ta coi hắ (2.1) là tắp hop cỏc phương trỡnh cú dang o đây,
Theo Bő đe 8.1 Chương 3, [1], trong tùng phương trình (2.86), hàm u l , l = 1, , N kha vi liên tuc thì
Lay tőng tat ca các bat đang thúc này theo l = 1, , N ta có
(Ω) ≤ c Σ ||u|| 2 + ||F || 2 Σ , (2.87) vói c là hang so phu thu®c vào hàm cong trơn tùng manh S, phu thu®c vào cỏc hang so λ,à trong (2.2) và đai lưong o đây q > n.
Muon đánh giá ||u|| W 2,2 (Ω) , trưóc het ta đánh giá ||F || L 2 (Ω)
Theo bat đang thúc Holder thì
Chúng minh tương tn ta đưoc q−
||u|| L 2q (Ω) neu n ≤ 4, max |u| neu n = 2, 3. và c là hang so phu thuđc vào à và q trong (2.84)
Mắt khỏc, vúi u ∈ W 2,2 (Ω), ta cú
||∇u|| L 2q (Ω) + |u| ≤ ε||u|| W 2 (Ω) + c ε ||u|| L 2 (Ω) , (2.89) q−2 vói ε đn nho và c ε là hang so phu thu®c vào ε và Ω.
||u|| 2 ≤ c ||u||L (Ω) + + ||f|| , (2.90) vúi c là hang so phu thuđc vào n, N, q, λ,à trong (2.2) và (2.72) trờn S.
Nhân hai ve cna phương trình trên vói
Lay tőng hai ve vói l = 1, , n ta đưoc
Lay tích phân hai ve (2.91) trên Ω ta đưoc
Tích phân tùng phan ve trái đang thúc (2.92), ta có
Theo đieu kiắn (2.2), tự (2.93) ta rỳt ra λ ∫ |∇u| 4 dx ≤
∂f vúi c là hang so phu thuđc vào n, N, λ, à, q trong (2.2), (2.84) trờn S Q
2.4 Đỏnh giỏ tiờn nghiắm trong khụng gian Holder C l,α (Ω)
Ta xột hắ phương trỡnh tuyen tớnh cap hai dang khụng bao toàn
Lu ≡ a ij (x)u x i x j + B j u x j + B(x)u = f (x), (2.95) o đây u, f là các hàm vecto N phan tu; a ij (x) là các hàm vô hưóng a ij (x)u x i x j = a ij (x).E.u x i x j ;
B j (x), B(x) là cỏc ma trắn vuụng cap N.
Ta cũng gia thiet rang cỏc hắ so a ij (x) cna hắ (2.95) cũng thoa món đieu kiắn elliptic (2.2) n n λ Σ ε 2 ≤ a ij (x)ε i ε j ≤ à Σ
; λ,à = const > 0, i,j=1 i i,j=1 vói MQI x ∈ Ω; ε i ∈ R n Đoi vúi hắ (2.95) ta gia thiet thờm đieu kiắn
Tính giai đưoc cna bài toán Dirichlet trong không gian Holder C l,α (Ω) vói l ≥ 2 cna hắ (2.95), đưoc chỳng minh tương tn như trong phan mđt phương trình.
Ta đưa ra đỏnh giỏ tiờn nghiắm cho |u| l,β,Ω cna hắ (2.95). Đ%nh lý 2.6 Gia su hắ (2.95) thúa món đieu kiắn elliptic (2.2) Khi đú, vỏi u ∈ C l,α (Ω¯ ), 1 ≥ 2 ta có đánh giá
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức sau: |u| l,β,Ω ≤ c(l) Σ |f i | l−1,β,Ω + |f| l−2,β,Ω + |u| l,β,S + max |u| Σ, với l ≥ 2 Ở đây, c(l) được xác định bởi l và λ trong (2.2) cùng với các hệ số trong (2.95) Giá trị của c(l) trong bất đẳng thức (2.96) cũng được xác định bởi biên S trong không gian C l,β.
ChÚng minh Do đieu kiắn (2.96), ta viet hắ (2.95) dưúi dang bao toàn
Vói moi u k ∈ C l,α (Ω) cna phương trình (2.98) ta có
Neu ta mo rđng bieu thỳc |f˜ k | l−2,β,Ω trong bat đang thỳc này bang viắc ỏp dung các tính chat cna chuan C l,β
|v + w| |vw| l,β,Ω ≤ |v| l,β,Ω + |w| l,β,Ω , (2.100) l,β,Ω ≤ |v| l,β,Ω |w| l,β,Ω , và ket hop vói gia thiet (2.96) ta thu đưoc
Mắt khỏc, vúi u ∈ C l,β ta cú bat đang thỳc
|u| l−1,β,Ω ≤ ε|u| l,β,Ω + c(ε, l) max |u|, (2.102) vói ε là so dương bat kì và c(ε, l) → ∞ khi ε → ∞, u ∈ C l,β (Ω).
Lay tőng các ket qua trên vói k = 1, , N và c HQN ε đn nho, ta thu đưoc
2.5 Tính giai đưac cua bài toán Dirichlet trong không gian
Trong phần này, giả sử rằng các hàm số \(c\) thỏa mãn điều kiện (2.95) và (2.96) theo Định lý 2.7 Giả sử biên \(S \in C^{l,\beta}\), với \(l \geq 2\), và thỏa mãn các điều kiện (2.2) và (2.96) Chúng ta có hai khả năng: i) Phương trình (2.95) với \(f \equiv 0\) và điều kiện biên \(\phi \equiv 0\) có nghiệm không tồn tại trong miền tam giác \(u = 0\) ii) Phương trình (2.95) với \(f \equiv 0\) và điều kiện biên \(\phi \equiv 0\) có nghiệm duy nhất tồn tại trong miền tam giác \(u \equiv 0\) Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm \(u(x) \in C^{l,\alpha}(\Omega)\) cho bài toán (2.1), (2.3) Định lý 2.8 khẳng định rằng tồn tại một tập hợp các giá trị \(\lambda = \lambda_1, \lambda_2, \ldots\) trên mặt phẳng phức \(\lambda\), sao cho bài toán \(a_{ij} u_{x_ix_j} + B_i u_{x_j} + Bu = \lambda u, u|_S = 0\) có nghiệm khác không trong \(C^{l,\beta}(\Omega)\) Tập hợp các giá trị \(\{\lambda_k\}\) tạo thành phổ của bài toán (2.1), (2.3), với mỗi \(\lambda\) có bậc hữu hạn và \(|\lambda| \to \infty\) khi \(k \to \infty\).
Luắn văn đó trỡnh bày cỏc van đe chớnh sau đõy
- Các không gian Sobolev, Holder, đ%nh lý nhúng, đ%nh lý Fredholm ve tính giai đưoc cna phương trình tuyen tính trong không gian Banach và không gian Hilbert.
- Khỏi niắm nghiắm suy rđng đoi vúi hắ phương trỡnh elliptic cap hai dang bao toàn, tính giai đưoc Fredholm cna bài toán Dirichlet và các tính chat đ
%nh tính ve đ® trơn cna nó.
Đối với bài toán Dirichlet trong không gian Holder, chúng ta sẽ trình bày lúp nghiệm và các đặc điểm tiềm năng của nó Bài viết sẽ tập trung vào việc chứng minh định lý về tính giải được Fredholm, đồng thời phân tích các yếu tố liên quan đến không gian Holder và các đánh giá tiềm năng trong quá trình nghiên cứu.