Không gian Sobolev
Không gian hàm L p (Ω), 1 ≤ p < ∞
Đ%nh nghĩa 1.1 L p (Ω) là không gian Banach các hàm đo đưoc u xác đ%nh trên
Ω, nhắn giỏ tr% thnc và p - kha tớch sao cho
Chuan đưoc đ%nh nghĩa trong không gian L p (Ω) là
|u(x)| p dx , trong đú |u(x)| là giỏ tr% tuyắt đoi cna u(x).
Khi p = +∞, L ∞ (Ω) là khụng gian Banach cỏc hàm b% chắn trờn Ω vúi chuan
||u|| ∞ = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M hau khap nơi trong Ω}.
Khi p = 2, L 2(Ω) là không gian Hilbert vói tích vô hưóng
(f, g là các hàm bình phương kha tích) Neu a ∈ L ∞ (Ω) và f, g ∈ L 2(Ω) thì
Không gian W l,p (Ω) ( 1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
Đ%nh nghĩa 1.2 Vói ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có
Khi đó, chuan cna u(x) ∈ W l,p (Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi
Nhắn xột 1.2 Gia su Ω ⊂ R n ; l ∈ N; 1 ≤ p < +∞ thỡ W l,p (Ω) là mđt khụng gian Banach.
W 1,2 (Ω) = u ∈ L 2(Ω); D 1 u ∈ L 2(Ω) Không gian W 1,2 (Ω) đưoc trang b% tích vô hưóng
Khi đó W 1,2 (Ω) là không gian Hilbert.
Chương 1 Các kien thúc chuan b
W m,p (Ω) ⊂ W l,p (Ω). Chương 1 Các kien thúc chuan b
Không gian W l,p (Ω) ( 1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
C 0 ∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), u(x) có giá compact}. b) Không gian W l,p (Ω) Đ%nh nghĩa 1.3 Không gian W l,p (Ω) vói 1 ≤ p < +∞ là bao đóng cna C ∞ (Ω)
0 0 trong chuan cna không gian W l,p (Ω).
Nhắn xột 1.4 i)Đoi vúi cỏc hàm u(x) ∈ W 1,p (Ω), v(x) ∈ W 1,p j (Ω) ta cú trong đó 1 + 1
Ω Ω uv x i dx, p p J ii)Hai chuan tương đương trong W 1,p (Ω)
Hai chuan là tương đương, neu ton tai c 1 , c 2 ∈ R ∗ + sao cho c 1 ||u|| ≤ |||u||| ≤ c 2 ||u||. iii)Hai chuan sau là tương đương trên W l,p (Ω) n
Chuan cna W 1,2 (Ω) xác đ%nh boi n
Chuan mói tương đương là
Ω i,j= 1 a ij (x)u x i u x j dx, trong đó a ij = a ji , c 1 | ξ| 2 n i,j=
Không gian Holder
Không gian C(Ω), C l (Ω)
Trong không gian C l (Ω) xác đ%nh chuan
Không gian C 0,γ (Ω)
Đ%nh nghĩa 1.5 C 0,γ (Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tuc trong Ω vói |u| γ,Ωxác đ%nh
Chuan cna C 0,γ (Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi
Không gian C l,γ (Ω)
Đ%nh lý Leray-Schauder
Đ%nh lý Arzelá-Ascoli
Gia su (X, d) là m®t không gian metric compact và C(X) là không gian vecto các hàm liên tuc f : X → R.
Không gian C(X) được định nghĩa với chuẩn ǁfǁ = max{|f(x)|, x ∈ X}, trong đó khoảng cách giữa hai hàm f và g được xác định bởi σ(f, g) = ǁf − gǁ = max{|f(x) − g(x)|, x ∈ X} Định nghĩa 1.7 cho biết rằng một hàm trong C(X) được gọi là liên tục đồng đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho |f(x) − f(y)| < ε khi |x − y| < δ.
MQI x, y ∈ X thoa mãn d(x, y) < δ và vói MQI f ∈ F.
H Q F đưoc GQ i là b% chắn đeu neu ton tai hang so M sao cho
Định lý 1.1 (Định lý Arzelá-Ascoli) khẳng định rằng trong một không gian compact (X, d), một tập con F của C(X) sẽ là tập compact nếu F bị chặn và liên tục đồng bộ Điều này có nghĩa là với mọi hàm số f thuộc F, giá trị tuyệt đối của f(x) không vượt quá một hằng số M cho mọi x thuộc X.
1.3.2 Đỏnh giỏ Schauder đoi vỏi nghiắm cua phương trỡnh elliptic tuyen tính cap hai
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày định lý Schauder liên quan đến đánh giá chuẩn |u|_{2,γ,Ω} cho nghiệm u(x) của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét định lý sau Σ.
. Đ%nh lý 1.2 (Đ%nh lý Schauder) Gia su Ω ⊂ R n là tắp mỏ b% chắn cú biờn
S ∈ C 2,γ vái γ ∈ (0, 1) Xét toán tu L xác đ%nh bái
Lu = a_ij(x)u_{x_i x_j} + b_i(x)u_{x_i} + c(x)u là biểu thức tổng quát cho một phương trình đạo hàm riêng Trong đó, a_ij(x), b_i(x) và c(x) là các hệ số phụ thuộc vào biến x, và u là hàm cần tìm Khi gộp các hệ số này vào một biểu thức, ta có thể hiểu rằng đây là cách tổng hợp các hệ số liên quan và thiết lập các tham số cần thiết cho mô hình toán học.
Gia su f ∈ C γ (Ω) và φ ∈ C 2,γ (Ω) Khi đú, nghiắm u(x) ∈ C 2,γ (Ω) cua bài toỏn Dirichlet thóa mãn đánh giá
0,γ,Ω), trong đú C là hang so phn thuđc n, γ, λ, à, Ω và khụng phn thuđc vào u.
1.3.3 Đ%nh lý Leray-Schauder ve điem bat đ®ng cua m®t HQ CÁC ánh xa
Dưới đây là định lý điểm bất động Leray-Schauder, được trình bày để chứng minh sự tồn tại nghiệm Định nghĩa 1.8 nêu rõ rằng cho hai không gian Banach B1 và B2, ánh xạ Φ: B1 → B2 là hoàn toàn liên tục nếu nó liên tục và biến compact tập bọc chắn trong B1 thành tập compact tương ứng trong B2 Định lý 1.3 (Định lý Leray-Schauder) khẳng định rằng giả sử H là không gian Banach đầy đủ và M là tập bọc, chắn trong H, thì M1 = M ∪ [0, 1] Khi đó, phương trình u = Φ(u, t) có ít nhất một nghiệm trong M với MQI t ∈ [0, 1] nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn.
(1) Φ(u, t) xác đ%nh và hoàn toàn liên tnc trên M1 ,
(2) Φ(u, t) liên tnc đeu theo t trên M1 ,
(3)Vỏi MQI t ∈ [0, 1] thỡ phương trỡnh (1.1) khụng cú nghiắm trờn biờn cua M, (4)Phương trỡnh (1.1) cú nghiắm vỏi t = 0.
Đ%nh lý Leray-Schauder ve điem bat đ®ng cna m®t HQ các ánh xa 9
Trong phan này se trình bày ve bài toán Dirichlet cho m®t phương trình elliptic á tuyen tính cap hai.
Vói x ∈ Ω ⊂ R n , xét phương trình dang bao toàn d
Lu ≡ dx (a i (x, u, u x )) + a(x, u, u x ) = 0 (1.2) vúi đieu kiắn biên u
Bài toán Dirichlet là bài toán tìm hàm u(x) thỏa mãn các điều kiện (1.2) và (1.3) Để nghiên cứu và giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ nhúng nó vào hệ phương trình khác.
= τϕ, (τ ∈ [0, 1]), (1.4) trong đó a i (x, u, u x , τ ), a(x, u, u x , τ ) là các hàm trơn cna τ trên [0, 1] thoa mãn a i (x, u, u x , 1) = a i (x, u, u x ), a(x, u, u x , 1) = a(x, u, u x ).
Ta cũng gia su thờm cỏc đieu kiắn sau đoi vúi cỏc hắ so đỳng vúi MQI x ∈ Ω, |u| ≤
≤ à(1 + |p| ) m (1.6) trong đú λ,à là cỏc hang so dương và m > 1 Khi đú, ta cú cỏc đỏnh giỏ tiờn nghiắm max |∇u(x, τ )| ≤
Phương trình elliptic á tuyen tính cap hai
Trong phan này se trình bày ve bài toán Dirichlet cho m®t phương trình elliptic á tuyen tính cap hai.
Vói x ∈ Ω ⊂ R n , xét phương trình dang bao toàn d
Lu ≡ dx (a i (x, u, u x )) + a(x, u, u x ) = 0 (1.2) vúi đieu kiắn biên u
Bài toán Dirichlet là việc tìm hàm u(x) thỏa mãn các điều kiện (1.2) và (1.3) Để nghiên cứu và giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ nhúng nó vào một hệ phương trình khác.
= τϕ, (τ ∈ [0, 1]), (1.4) trong đó a i (x, u, u x , τ ), a(x, u, u x , τ ) là các hàm trơn cna τ trên [0, 1] thoa mãn a i (x, u, u x , 1) = a i (x, u, u x ), a(x, u, u x , 1) = a(x, u, u x ).
Ta cũng gia su thờm cỏc đieu kiắn sau đoi vúi cỏc hắ so đỳng vúi MQI x ∈ Ω, |u| ≤
≤ à(1 + |p| ) m (1.6) trong đú λ,à là cỏc hang so dương và m > 1 Khi đú, ta cú cỏc đỏnh giỏ tiờn nghiắm max |∇u(x, τ )| ≤
Ω vúi cỏc hang so M 1 , M 2và β đưoc xỏc đ%nh tự cỏc đai lưong n, M, m, λ,à trong
(1.5), (1.6) Xột đ%nh lý ton tai nghiắm cho bài toỏn (1.4). Đ%nh lý 1.4 Gia su cỏc đieu kiắn sau đưac thúa món
(a)Vái x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và p bat kỳ, a i (x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) là các hàm đo đưac, a i (x, u, p, τ ) kha vi theo x, u, p và thóa mãn đieu kiắn (1.4), (1.5);
(b)Vái x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và |p| ≤ M 1 (M 1 là hang so trong đánh giá (1.7)), các hàm a , ∂a i
, a là các hàm liên tnc theo x, u, p, τ và thóa mãn đieu i ∂p j ∂u ∂x i kiắn Holder theo x, u, p vỏi so mũ α > 0 đeu theo τ ∈ [0, 1];
, ∂a i là các phan tu thu®c C 0,γ {x ∈ i ∂p j ∂u ∂x i
Ω, |u| ≤ M,|p| ≤ M 1 } liên tnc đeu theo tham so τ ∈ [0, 1].
(d)S ∈ C 2,γ , ϕ ∈ C 2,γ Đong thài, gia su rang nghiắm u(x, τ ) thúa món max |u(x, τ )| ≤ M ∀τ
∈ [0, 1] Khi đú, neu vỏi τ = 0, bài toỏn (1.4) cú nghiắm thỡ (1.4) se cú ớt nhat mđt nghiắm u(x, τ ) ∈ C 2,γ (Ω)∀τ ∈ [0, 1].
Ta viet lai phương trình (1.2) dưói dang
Lu ≡ a ij (x, u, u x )u x i x j + A(x, u, u x ) = 0 trong đó và a ij (x, u, p) = ∂a i ( x, u, p )
Khi áp dụng định lý 1.4, chúng ta có thể khẳng định tính tồn tại của nghiệm cho bài toán (1.2) và (1.3) Định lý 1.5 đưa ra các điều kiện cần thiết để đảm bảo rằng các nghiệm này được thỏa mãn.
(a)Vái x ∈ Ω và u, p bat kỳ, các hàm a i (x, u, p), a(x, u, p) là các hàm đo đưac, a i (x, u, p) kha vi theo x, u, p và các bat đang thúc (1.8), (1.9) đưac thóa mãn;
, a liên tnc Holder vái so mũ γ > 0 theo x, u, p trên tắp i ∂p j ∂u ∂x i {x ∈ Ω, |u| ≤ M,|p| ≤ M 1 };
} và p bat kỳ, các hàm a (x, u, p), a(x, u, p) trong đú M 1 cú đưac tự đỏnh giỏ tiờn nghiắm max |∇u| ≤ M 1
Khi đú, bài toỏn biờn (1.2), (1.3) cú ớt nhat mđt nghiắm thuđc C 2,γ (Ω).
Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai
Hắ phương trỡnh elliptic ỏ tuyen tớnh cap hai Bài toỏn Dirichlet12
Hắ phương trỡnh elliptic ỏ tuyen tớnh cap hai
Vúi x ∈ Ω ⊂ R n , xột hắ phương trỡnh dang
(2.1) trong đó u là hàm véc tơ N phan tu u 1
u 2 a ij (x, u), b i (x, u, p) và b l (x, u, p) là cỏc hàm vụ hưúng thoa món đieu kiắn a ij (x, u) = a ji (x, u), λ|ξ| 2 ≤ a ij (x, u)ξ i ξ j ≤ à|ξ| 2 ; λ,à = const > 0, (2.2)Khi đú hắ (2.1) là hắ phương trỡnh elliptic ỏ tuyen tớnh cap hai.
Bài toán Dirichlet
Bài toán Dirichlet liên quan đến phương trình (2.1) yêu cầu tìm hàm vector u(x) xác định trên miền Ω, sao cho thỏa mãn phương trình (2.1) và điều kiện biên u| S = ϕ| S, với ϕ(x) thuộc C 2,γ (Ω) và S là biên của miền Ω.
2.2 Đỏnh giỏ chuan Holder cua đao hàm cap l cua nghiắm qua các đ® lán và đao hàm cap m®t cua nó
Trong phan này ta se xột hắ phương trỡnh tőng quỏt hơn hắ (2.1) a ij (x, u)u l + a l (x, u, u x ) = 0, l = 1, 2, , N (2.4) trong đó u là hàm véc tơ N phan tu u 1
Hàm \( a_{ij}(x, u) \) và \( a_l(x, u, p) \) là các hàm vụ thuộc điều kiện (2.2) Theo đó, chúng ta có định lý 2.1 Giả sử \( u(x) \) là một nghiệm của phương trình (2.4) và \( a_{ij}(x, u) \) khả vi theo \( x_k \) và \( u_l \) trên miền.
R{x ∈ Ω, |u| ≤ M = max |u(x)|, p ≤ max |∇u|} đong thài a (x, u), ∂a ij
, a l (x, u, p) là cỏc hàm đo đưac b% chắn bái M trong ij
∂u l 2 mien trên Khi đó, ton tai γ ≥ 0 sao cho chuan |u x l | γ,Ω J vái l = 1, 2, , n; Ω J ⊂ Ω đưac đánh giá bái hang so phn thu®c vào các đai lưang n, M 1 , M 2 , λ và khoang cách tù Ω J tái biên S.
Neu thờm đieu kiắn u ∈ C 2,0 (Ω), u| S = 0 và S ∈ C 2 thỡ cỏc chuan |u x | γ,Ω vỏi l = 1, 2, , n b% chắn bỏi hang so phn thuđc vào n, N, M, M 1 , M 2 , λ và
S Hang so γ đưac xác đ%nh bái các giá tr% n, N, M, M 1 , M 2 , λ và tính chat cua biên S ChÚng minh Do a ij (x, u) là hàm kha vi theo x k và u l nờn ta cú the viet lai hắ (2.4) dưúi dang bao toàn trong đó
Tự gia thiet tiờn nghiắm M = max |u(x)| và M 1 = max |∇u| ta thu đưoc đỏnh giỏ x i x j
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic ỏ tuyen tớnh cap hai
Chương 2 Bài toỏn Dirichlet cho hắ phương trỡnh elliptic ỏ tuyen tớnh cap hai
Khi đú moi phương trỡnh cna hắ (2.5) là phương trỡnh dang bao toàn Theo Đ%nh lí 15.1, Chương 3, [2] thì vói moi u l (x), l = 1, 2, , N ta có the đánh giá chuan
|u l (x)| 1,γ,Ω J trong đó Ω J ∈ Ω theo các đai lưong
1 1 ij x∈Ω,|u(x)|≤M ∂x k ∂u l x và hang so elliptic λ(M ) xác đ%nh tù bat đang thúc λ(|u|)|ξ| 2 ≤ a ij (x, u)ξ i ξ j ≤ à(|u|)|ξ| 2 (2.6)
Q Bõy giũ ta se xột hắ phương trỡnh (2.4) theo tựng phương trỡnh đđc lắp. Theo ket qua cna Đ%nh lí 12.1, Chương 3, [2] ta có đánh giá |u(x)| k,α,Ω(k ≥
2) vúi l = 1, 2, , N Ta phỏt bieu ket qua này cho hắ (2.4) như sau Đ%nh lý 2.2 Gia su u(x) là mđt nghiắm cua hắ phương trỡnh (2.4) thuđc lỏp C k+2,0 (Ω) (k ≥ 0) và hắ (2.4) thúa món đieu kiắn elliptic (2.2). Hơn nua, a ij (x, u), a l (x, u, p) ∈ C k,γ (R), vái R đưac mô ta như trong phát bieu cua Đ%nh lí 2.1 Khi đó chuan |u| k+2,γ,Ω J vái Ω J ⊂ Ω đưac đánh giá theo các đai lưang n, N, M, M 1 , |u| 1,γ,Ω” (Ω J ⊂ Ω” ⊂ Ω), khoang cách tù Ω J tái biên cua Ω” và các chuan |a ij (x, u)| k,γ,R , |a l (x, u, p)| k,γ,R
Neu thờm đieu kiắn u(x) ∈ C k+2,γ (Ω), u| S = 0, S ∈ C k+2,α thỡ chuan |u| k+2,γ,Ω không vưat quá m®t hang so xác đ%nh bái n, N, M, M 1 , |u| 1,γ,Ω , |a ij (x, u)| , |a l (x, u, p)| và biên S.
2.3 Đánh giá chuan Holder cua an hàm
Trong phan này đe đỏnh giỏ đưoc chuan |u| γ,Ω vúi u(x) là nghiắm cna hắ (2.1) ta can phai gia su cỏc đieu kiắn sau đỳng vúi MQI x ∈ Ω, |u| ≤ M và p bat kỡ λ(M )|ξ| 2 ≤ a ij (x, u)ξ i ξ j ≤ à(M )|ξ| 2 , (2.7)
∂u l trong đó b(x, u, p) = (b 1 (x, u, p), b 2 (x, u, p), , b N (x, u, p)); s(M ) là đai lưong đn bộ đưoc xỏc đ%nh boi n, N, M, λ(M ) và à(M ) trong (2.7) và (2.8); P (p, M ) → 0 khi
Ta sẽ xem xét định lý 2.3, trong đó giả sử u(x) thuộc C²(Ω) là nghiệm của bài toán (2.1) với các điều kiện đi kèm (2.7) - (2.10) đúng với mọi x ∈ Ω, và |u| ≤ M Đối với p bất kỳ, nếu thỏa mãn điều kiện (2M + 10N)s(M) < λ, thì với mọi tập con J ⊂ Ω, tồn tại một đánh giá cho chuẩn.
Có tồn tại hai số dương \( a_0 \) và \( \theta_0 \) sao cho với bất kỳ hình cầu \( K_\rho \) có tâm nằm trên biên \( S \) và bán kính \( \rho \leq a_0 \), thì thể tích \( \text{mes} \, \Omega J_\rho \) của miền giao \( \Omega_\rho \equiv K_\rho \times \Omega \) đều thỏa mãn \( \text{mes} \, \Omega J_\rho \leq (1 - \theta_0) \text{mes} \, K_\rho \) Từ đó, có thể xác định một ước lượng cho \( |u|^{\gamma,\Omega} \) theo các tham số \( n, N, M, \lambda(M), a(M), s(M), P(p, M), |u|^{\beta,S}, a_0, \theta_0 \), trong đó \( \gamma \) được xác định từ các tham số này.
ChÚng minh Đe có đánh giá cho |u| γ,Ω J theo các haΣng so trên, ta can chi ra
Không mat tính tőng quát, đe đơn gian ta gia su 0 ≤ u l ≤ 1 vói l = 1, 2, ,
(u r ) 2 , l = 1, , N. r=1 Đe tiắn trỡnh bày, ta ký hiắu hàm so w l (x) = ϕ l (u(x)) vúi l = 1, 2, , N
Xét tích phân ± ± 1,2 vụ hưúng cna hắ phương trình (2.1) với vúi vộc tơ −η(x) thuộc W 0 (Ω) Thực hiện lây tớch phân hai ve trên miền Ω và áp dụng công thức tích phân từng phần cho ve trái, ta thu được kết quả ∫ Σ a.
− b Σu η − bηΣ dx = 0 (2.11) nghiắm u(x) thuđc lúp hàm B N 1 Ω,
CHQN hàm η(x) = (2u + 10Ne l )Φ(x), trong đó Φ(x) ∈ W 1,2 (Ω) và e l là véc tơ đơn v% cna không gian véc tơ N− chieu có thành phan thú 0 l khác 0. x j ∂x j i x i
Tiep tuc c HQN Φ(x) = ζ 2 (x) max{2(w − k)ζ 2 ; 0}, vói k là so bat kì và ζ(x) là hàm trơn cú giỏ compact nhắn giỏ tr% thuđc [0; 1] trong hỡnh cau K ρ ⊂ Ω.
∫ Σ 2a ij u x u x (w l − k)ζ + a ij w w l ζ 2 Σ dx trong đó
Su dung đieu kiắn elliptic (2.7) ta cú đỏnh giỏ ve trỏi cna (2.13)
− k)ζ 2 + |∇w l | 2 ζ 2 Σ dx (2.14) Đe đỏnh giỏ ve trỏi, ta su dung đieu kiắn (2.3) thu đưoc
|c + ζ | ≤ (2M + 10N )[s(M ) + P (p, M )](1 + |p| ) ket hop vói gia thiet cna đ%nh lí ve s(M ) ta có |c l ζ 2 | ≤ λ|p| 2 + c 1, trong đó c 1 là hang so xác đ%nh theo P (p, M ).
Su dung đánh giá này ta thu đưoc bat đang thúc i
+ + + trong đó γ J đưoc xác đ%nh tù các hang so trong gia thiet
CHQN k thoa mãn max w l −k = max w −k ≤ δ = λ
2γ J ta thu đưoc bat đang thúc sau
Bat đang thúc (2.15) chúng to u(x) ∈ B N 1 Ω,
, , δ, 1 Σ đã đưoc đ%nh nghĩa trong [1] Khi đó, theo Đ%nh lí 8.2, Chương 2, [2], ta đánh giá đưoc |u| γ,Ω J vói
Ω J ⊂ Ω bang mđt hang so phu thuđc vào n, N, M, λ(M ), à(M ), s(M ), và P
(p, M ) Tương tn trong (2.13), ta cHQN K ρ là hình cau bat kì giao vói biên S. Khi đú, đỏnh giỏ (2.15) cũng đỳng vúi k thoa món đieu kiắn k ≥ max w(x), k ≥ max w(x) − k
J b% chắn boi đai lưong xỏc đ%nh tù các hang so đã nêu trong đ%nh lí.
2.4 Đỏnh giỏ đđ lỏn đao hàm cap mđt cua nghiắm trờn biờn Đe đánh giá max |∇u| ta can gia thiet biên S ∈ O 2 Ta đi xét đ%nh lí sau Đ%nh lý 2.4 Gia su u(x) là mđt nghiắm cua hắ phương trỡnh (2.1) trong khụng gian C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) thúa món u| S = 0 Đong thài hắ phương trỡnh (2.1) thúa món cỏc gia thiet (2.7), (2.8) và (2.9) Khi đú max |∇u| b% chắn bỏi mđt hang so phn thuđc vào n, N, M = max |u|, λ(M ), à(M ), s(M ), P (p, M ) ỏ trong cỏc gia thiet trên và biên S.
ChÚng minh Do u(x) triắt tiờu trờn biờn S nờn ta cú l
∂ν là đao hàm theo véc tơ pháp tuyen ν cna biên S.
CHQN x 0 ∈ S và r = 1, 2, , N sao cho r = max i=1,2, ,N l max
Không mat tính tőng quát, ta gia su rang
Lay đao hàm theo véc tơ pháp tuyen cna biên S ta đưoc
Theo hắ phương trỡnh (2.1) ta có
Xét v r , φ(y) là các hàm xác đ%nh boi phương trình w r = φ(v r ) thoa mãn φ J (y)
The vào trong (2.16) ta nhắn đưoc phương trỡnh a (x, u)v r φ JJ
⇔ −a ij (x, u)v x i x j − φ J a ij v x i v x j + φ J a ij u x i u x j = b i v x i + φ J c r Áp dung các gia thiet (2.8), (2.9) cho các hàm c r , b i ta có đánh giá r φ JJ r r 2
CHQN s sao cho (2M + 1)s ≤ λ, tù (2.17), thu đưoc bat đang thúc
− a v r v r ≤ c[φ J |∇v r | 2 + 1], (2.18) ij x i x j φ J ij x i x j r trong đó c là hang so đã biet Tù đây c HQN φ(y) = λ(M ) ln(1 + y) ta có c
Ta xột hàm chắn ψ(x) = me −νΦ(x), trong đó Φ(x) là hàm nhắn giỏ dương trong miền Ω, triết tiểu tại x₀ và thỏa mãn điều kiện |∇Φ(x)| ≥ υ > 0 trong Ω Với các hằng số m và υ, ta có thể xác định HQN lớn sao cho
Khi đó vói hàm v r (x) + ψ(x), theo (2.19) ta có
Do đú, nú đat giỏ tr% lún nhat trờn biờn S Mắt khỏc max(v r + ψ) = max ψ = ψ(x 0),
Tù gia thiet ban đau cna chúng minh, ta có đánh giá
Vắy ta cú đieu phai chỳng minh.
2.5 Đỏnh giỏ đđ lỏn đao hàm cap mđt cua nghiắm trờn toàn mien r
Trong phần trước, chúng ta đã đánh giá được giá trị tối đa của |∇u| trên biên S Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm kiếm đánh giá cho nó trên miền Ω Theo định lý 2.5, giả sử u(x) thuộc C²(Ω) là nghiệm của phương trình (2.1) với các giả thiết đi kèm từ (2.7) đến (2.10) đúng với mọi x ∈ Ω, và |u| ≤ M với p bất kỳ Khi đó, nếu thỏa mãn điều kiện (2M + 10N)s(M) < λ, thì trên miền Ω, giá trị tối đa của u sẽ được đảm bảo.
Ω J thuđc vào cỏc hang so n, N, M, λ(M ), à(M ), s(M ) và P (p, M ) và mes Ω.
Neu gia thiet thờm u ∈ C 2 (Ω), S ∈ O 2 và u = 0 thỡ max |∇u| b% chắn bỏi hang so phn thuđc vào n, N, M = max |u|, λ(M ), à(M ), s(M ), mes Ω và biờn S
Chúng tôi chứng minh rằng trong nghiên cứu (2.11), hàm ζ(x) được định nghĩa là −(u x k ξ) x k (k = 1, 2, , n), trong đó ξ(x) là hàm khả vi liên tục cấp hai trên miền Ω và ξ(x) cùng đạo hàm riêng cấp một đạt tiêu chuẩn trên biên S Khi đó, chúng tôi thu được tổng n phương trình và áp dụng công thức tích phân từng phần, từ đó có được kết quả cần thiết.
C HQN ξ(x) = 2V s ζ 2 vúi ζ(x) là hàm trơn, cú giỏ compact và nhắn giỏ tr% thuđc đoan [0, 1] trờn hỡnh cau K ρ ⊂ Ω cũn V s là lũy thựa bắc s cna hàm V
Su dung cỏc gia thiet cho hắ so (2.7) - (2.10) ta thu đưoc đỏnh giỏ sau tự (2.20) λ ∫
.V s+1 |∇ζ| 2 + V s+2 ζ 2 + |∇ζ| 2 Σ dx, (2.21) vúi c(s) là hang so xỏc đ%nh theo s Mắt khỏc,
CHQN u 0 là giá tr% cna hàm u(x) tai tâm cna hình cau K ρ , theo Đ%nh lí 2.3, ta có max |u − u 0 | ≤ cρ α (α > 0).
Lay ρ đn nho sao cho cc(s)ρ α < 1 Khi đú tự bat đang thỳc (2.22) ta nhắn đưoc
| ζ + V |∇ζ| ]dx, (2.23) trong đó hang so c 1xác đ%nh tù c, c(s), ρ α
Tù bat đang thúc (2.23) và (2.21) ta có đánh giá λ
Các bat đang thúc (2.23) và (2.24) đúng vói MQI s = 0, 1, 2, Ket hop vói viắc
V s+1 dx ≤ c(s, Ω J ) (2.25) vúi Ω J ⊂ Ω, s = 0, 1, Đắt w(x) = V (x)ζ 2 = |∇| 2 ζ 2 trong đú ζ(x) là hàm xác đ%nh trên hình cau K ρ ⊂ Ω bat kì.Xét phương trình
]dx = 0, trong đú Lu là ve trỏi cna hắ phương trỡnh (2.1) cũn A θ là tắp cỏc điem x ∈ Ω J thoa mãn w(x) > θ ≥ 0 Theo Đ%nh lí 3.1, Chương 4, [2] ta có đánh giá
A θ trong đó s lón hơn 0, nho tùy ý và c(s) → ∞ khi s → 0 Áp dung Bő đe 5.2, Chương 2, [2], hàm w(x) b% chắn trờn mien Ω J boi hang so xỏc đ%nh boi s, c G và ǁwǁ L 1 (Ω J )
Theo Đ%nh lớ 4.1, ta đắt M 2 = max |∇u|.
Tiep tuc ta se chúng minh (2.25) cũng đúng vói phan giao cna hình cau K ρ và mien Ω Vói s ≥ 1, trong (2.20) thay ξ(x) xác đ%nh boi
2 ta cũng thu đưoc các đánh giá tù (2.21) đen (2.24), tù đó chúng minh đưoc (2.25) Vúi s = 0, đắt ξ(x) 2 2
2ζ 2 , V (x) ≥ M 2 + 1 tương tn ta cũng chúng minh đưoc (2.25)
Như vắy ta đó chỳng minh đưoc cỏc đỏnh giá
2.6 Đ%nh lý ton tai nghiắm cua bài toỏn Dirichlet
Trờn cơ so cỏc đỏnh giỏ tiờn nghiắm thu đưoc o cỏc muc trưúc, ta se xem xột sn ton tai nghiắm cna bài toỏn Dirichlet đoi vúi hắ (2.1)
Lu ≡ a ij (x, u)u l + b i (x, u, u x )u l + b l (x, u, u x ) = 0, (2.1) trong đó u = (u 1 , u 2 , , u N ) t là an hàm,a ij , b i và b l là các đai lưong vô hưóng, a ij thoa món đieu kiắn (2.2).
Ta se xem hắ trờn như trưũng hop đắc biắt cna HQ cỏc hắ phương trỡnh sau vúi τ = 1 :
L τ (u) ≡ (1 − τ )L 0(u) + τ L(u) = 0, (2.29) trong đó tham so τ ∈ [0, 1] và L 0 = ∆u − u, ∆ là toán tu Laplace.
Theo điều kiện (2.29), chúng ta có thể xác định rằng tích vô hướng của véc tơ 2u với biểu thức này sẽ dẫn đến một biểu diễn cụ thể Điều kiện này yêu cầu rằng b l (x, u, p)u l phải nhỏ hơn hoặc bằng -c1 |u|^2 + c2, trong đó c1 là hằng số dương và c2 không âm.
Gia su v(x) đat giá tr% lón nhat tai điem trong x 0cna Ω Khi đó, ta có
Theo gia thiet (2.30), ta có
Như vắy, vúi gia thiet (2.30), nghiắm cő đien u(x, τ ) cna (2.29) b% chắn đeu khi τ ∈ [0, 1] Cu the ta có max |u(x, τ )| ≤ M = max{max |u|, c 2
Bây giò ta xét bài toán Dirichlet (2.1), (2.3) vói ϕ = 0 Ta viet lai HQ các hắ phương trỡnh (2.29) dưúi dang
Do đó, ta suy ra Σ i
Tù các đánh giá (2.32) và (2.34) − (2.37), theo Đ%nh lí 2.5, ta thu đưoc max |∇u(x, τ )| ≤ M 1 , ∀τ ∈ [0, 1] (2.38)
Định lý 2.6 mở rộng định lý Dirichlet với ϕ = 0, khẳng định rằng nếu các bất đẳng thức (2.30) đúng với mọi x ∈ Ω, u và p bất kỳ, đồng thời các bất đẳng thức (2.7) - (2.10) thỏa mãn điều kiện s(M)(2M + 10N) < λ cho mọi x ∈ Ω, |u| ≤ M (với M được xác định trong đánh giá (2.32)) và p bất kỳ, thì các hàm b i (x, u, p) và b(x, u, p) phải liên tục theo kiểu Holder với số mũ β.
R{x ∈ Ω, |u| ≤ M, |p| ≤ M 1}, trong đó M 1 được xác định trong đánh giá (2.38) Nếu S ∈ C 2,β và u là nghiệm của phương trình (2.1), thì nghiệm u ít nhất thuộc C 2,β (Ω) Nếu thêm điều kiện a_ij, b_i, b thuộc lớp C k,β (R) với k ≥ 1 và S ∈ C k+2,β, thì nghiệm u(x) sẽ thuộc C k+2,β (Ω).
ChÚng minh Tù gia thiet cna Đ%nh lý và các đánh giá (2.32), (2.38), theo Đ%nh lý 2.1, ton tai γ ∈ (0, 1) và hang so M 2sao cho
Vúi moi hàm vộc tơ v(x) co đ%nh, ta xột hắ phương trỡnh tuyen tớnh tương úng vói (2.33) như sau
= 0, w = 0 (2.40) vói l = 1, 2, , N, w(x) = (w 1 (x), w 2 (x), , w N (x)) là an hàm Xét ánh xa tương úng vói phương trình thú l Φ l (v, τ ) : M × [0, 1] → C 2,γβ (Ω)
. x i x j x i S trong đú M là tắp hop cỏc hàm v(x) thoa món cỏc bat đang thỳc max |v(x)| ≤ M + s,max |∇v(x)| ≤ M 1 + s,|v x | γ,Ω ≤ M 2 + s, (2.41) vói s là so thnc dương bat kỳ.
Do v(x) ∈ M ⊂ C 1,γ (Ω) nờn v x ∈ C γ (Ω) Ket hop vúi gia thiet ve cỏc hắ so cna hắ phương trỡnh (2.1), ta cú
B J l (x) = B l (x, v, v x , τ ) là các hàm thuộc lớp C γβ (Ω) Biên S ∈ C 2,β ⊂ C 2,γβ nên theo định lý tồn tại nghiệm đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, phương trình này có nghiệm duy nhất w l (x) ∈ C 2,γβ Do đó, ước lượng Φ l (v, τ ) hoàn toàn xác định Áp dụng định giá Schauder cho phương trình này, ta thu được kết quả cần thiết.
|w l (x)| 2,γβ,Ω ≤ C(max |w| + |B J l (x)| γβ,Ω), (2.42) trong đú C = const Cỏc so hang o ve phai b% chắn do đỏnh giỏ o trờn và gia thiet ve hắ so cna đ%nh lý Do đú |w l (x)| 2,γβ,Ω b% chắn đeu
Theo đ%nh lý Arzelỏ-Ascoli, tắp cỏc hàm w l (x) trong C 2,γβ (Ω) là compact tương đoi trong khụng gian C 1,γ hay Φ l (v, τ ) hoàn toàn liờn tuc trờn tắp M × [0, 1].