Luận văn thạc sĩ phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

Không gia n W 1 , 0 ( Q T ) v à W ˚ 1 , 0 ( Q T )

Không gian L 2 (Ω)

Đ%nh nghĩa 1.1.1 [9] Mđt tắp E cỏc phan tu trựu tưang đưac GQI là mđt khụng gian tuyen tớnh đ%nh chuan thnc (hoắc phỳc) neu:

1 E là mđt khụng gian tuyen tớnh vỏi phộp nhõn vỏi cỏc so thnc (hoắc phỳc);

2 Vái MQI phan tu u ∈ E có m®t so thnc (đưac GQI là chuan cua phan tu và kớ hiắu là ǁuǁ) thúa món cỏc tiờn đe sau:

(a) ǁuǁ ≥ 0, ǁuǁ = 0 chs vái phan tu không;

(b) ǁu + vǁ ≤ ǁuǁ + ǁvǁ, bat đang thúc tam giỏc; (c) ǁλuǁ ≤ |λ| ã ǁuǁ.

Ta đưa vào khụng gian như vắy mđt metric tn nhiờn: khoang cỏch ρ(u, v) giua hai phan tu u và v đưoc xác đ%nh boi ρ(u, v) = ǁu − vǁ.

Dãy {u_n} các phần tử của E được gọi là hội tụ trong E nếu ||u_n - u|| → 0 khi n → ∞, và ký hiệu là u_n → u Tập E_J ⊂ E được gọi là tập mật khắp nơi trong E nếu bất kỳ phần tử nào của E cũng là giới hạn theo chuẩn E của các phần tử trong E_J.

Dãy {u_n} ∞ n=1 được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu khoảng cách giữa các phần tử u_p và u_q tiến tới 0 khi p và q tiến tới vô cùng Nếu dãy Cauchy {u_n} ∞ n=1 có giới hạn là phần tử u thuộc không gian E, thì không gian E được gọi là không gian đu Trong trường hợp này, khoảng cách giữa u_n và u sẽ tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng.

M®t không gian tuyen tính đ%nh chuan đay đn đưoc GQI là không gian

Banach, ta kớ hiắu là B MQI khụng gian ta xột tự đõy tro đi là đay đn và trự mắt.

Chúng ta sẽ nghiên cứu một trường hợp cụ thể trong các không gian Banach, cụ thể là không gian Hilbert, ký hiệu là H Theo định nghĩa 1.1.6, không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là không gian Hilbert nếu với mọi u, v ∈ X, xác định một số GQI là tích vô hạn của u và v thỏa mãn các tiên đề sau.

4 (u, u) ≥ 0, (u, u) = 0 chs vái phan tu không u = 0. Đ%nh nghĩa 1.1.7 [6] Không gian tien Hilbert đu GQI là không gian Hilbert.

Chuan cna phan tu u, kớ hiắu ǁuǁ đưoc xỏc đ%nh boi: ǁuǁ = (u, u).

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm không gian Hilbert, bao gồm các yêu cầu cần thiết và những đặc điểm nổi bật của nó Chúng ta sẽ sử dụng không gian B để làm rõ hơn về các khía cạnh này.

Vói hai phan tu u, v bat kì trong H, ta có bat đang thúc Cauchy,

Bunhiacopski, Schwarz (ta se GQI đơn gian là bat đang thúc Cauchy):

Ngoài việc xem xét hội tụ mạnh trong không gian H, chúng ta cũng cần chú ý đến hội tụ yếu Định nghĩa 1.1.8: Dãy {u_n} hội tụ yếu đến phần tử u trong H nếu

Nếu dãy {u_n} hội tụ đến u trong không gian H, thì để chứng minh sự hội tụ này, ta cần chỉ ra rằng (u_n - u, v) → 0 khi n → ∞ với mọi v thuộc V Điều này cho thấy rằng dãy {u_n} không thể hội tụ đến u nếu không thỏa mãn điều kiện này Nếu {u_n} hội tụ đến u theo chuẩn trong H, thì nó sẽ hội tụ đến u Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Nếu {u_n} hội tụ đến u và ||u_n|| → ||u||, thì {u_n} sẽ hội tụ mạnh đến u Định lý 1.1.1 cho biết rằng nếu {u_n} hội tụ đến u trong H, thì lim n→∞ u_n = u và lim n→∞ ||u_n|| = ||u||, với điều kiện rằng mọi dãy đều bị giới hạn.

Không gian Hilbert và bất kỳ không gian con đóng nào của nó đều có tính chất là đn đoi vói s n h®i tu yeu Đ%nh nghĩa 1.1.9 Trong khi đó, một tập M trong không gian Banach B được gọi là tiệm cận compact (hay tiệm cận compact trong B) nếu M chứa một dãy vô hạn các phần tử.

M có chúa m®t dãy con h®i tn Neu giái han cua tat ca các dãy con thu®c ve M, thì M đưac GQI là compact. ǁ ǁ ≤ ǁ ǁ

Tắp M cua H là một tập hợp compact yếu và có đặc điểm là nút b% chắn Tất cả các hàm thống kê được định nghĩa trên miền Ω của không gian Euclidean R^n đều có thể được xác định thông qua một tích phân hữu hạn, với chuẩn L^p (Ω) được tính toán.

Không gian Banach L^p(Ω) được hình thành với p ≥ 1, là một không gian tách biệt và có chuẩn xác định Đây là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong phân tích hàm và lý thuyết không gian.

Mặt phẳng L^p(Ω) không chỉ là một hàm số với các tính chất đã nêu, mà còn là một lớp các hàm số tương đương với nó trên Ω, tức là những hàm số trùng với nó hầu hết ở khắp mọi nơi trên Ω Tuy nhiên, để dễ dàng hơn trong việc hiểu, chúng ta sẽ xem xét các phần tử trong L^p(Ω) như các hàm xác định nghĩa trên Ω.

Ta cú the lay vớ du cỏc tắp trự mắt khap nơi trong L p (Ω):

• MQI hàm kha vi vụ han, MQ i đa thỳc, hoắc cỏc đa thỳc vúi hắ so huu ti;

• tắp C˙ ∞ (Ω) cỏc hàm kha vi vụ han vúi giỏ compact thuđc vào Ω

Không gian L 2(Ω) là m®t không gian Hilbert thnc vói tích vô hưóng:

Chỳng ta đe cắp đen mđt so cỏc bat đang thỳc se su dung thưũng xuyờn.

‚ Σ n vúi bat kỡ dang bắc hai khụng õm a ij ξ i ξ j vúi a ij = a ji và cỏc so thnc tựy ý: ξ 1 , , ξ n , η 1 , , η n p Σ

• bat đang thúc Cauchy vói ε: ε 2 1 2

2ε|b| , vói MQI ε > 0 và a, b bat kì.

Tù các bat đang thúc hàm chúng ta có các bat đang thúc cu the trong L 2(Ω)

Trưòng hop tőng quát cna bat đang thúc này là bat đang thúc tam giác cho các phan tu cna L p (Ω): ǁu + vǁ p,Ω ≤ ǁuǁ L p (Ω) + ǁvǁ L p (Ω) (p ≥ 1).

Vói không gian L 2(Ω) bao gom các hàm vectơ u = (u 1 , , u N ) vói u i ∈

L 2(Ω), bat đang thúc Cauchy có dang:

Ve trái cna nó là modul cna tích vô hưóng cna u và v, ve phai là tích các chuan cna u và v.

Mặt toán tuyến tính A xác định trên mặt tập D(A) cần hợp mọi phần tử u ∈ D(A) với một phần tử v ∈ H nhất định, thường viết là v = Au hoặc v = A(u) Định nghĩa 1.1.11 Nếu đang thực hiện: A(λu₁ + u₂) = λA(u₁) + μA(u₂) với mọi u₁, u₂ thuộc D(A), thì ta nói A là tuyến tính (với giả thiết D(A) là mặt tập tuyến tính).

Toán tử A được định nghĩa là liên tục trong miền D(A) nếu với mọi dãy \( u_n \) hội tụ đến \( u_0 \), thì \( Ax_n \) cũng hội tụ đến \( Ax_0 \) Hơn nữa, nếu tồn tại một hằng số \( c \) sao cho với mọi \( u \) thuộc D(A), ta có \( \|Au\| \leq c \|u\| \), thì A được gọi là toán tử bền vững trong D(A) Cuối cùng, toán tử A được coi là liên hợp nếu với mọi \( u, v \) thuộc không gian H, điều kiện nhất định được thỏa mãn.

(Au, v) = (u, Av). Đ%nh nghĩa 1.1.15 [9] Toán tu A đưac GQI là hoàn toàn liên tnc neu nó bien tắp b% chắn bat kỳ thành mđt tắp tien compact.

Đao hàm suy r®ng

Với hai hàm số u(x) và v(x) tùy ý, khả vi vô hạn trong miền Ω trong R^n, và v(x) thỏa mãn điều kiện biên (tức là v ∈ C˙ ∞ (Ω)), chúng ta có thể áp dụng phương pháp tách phân tùng để phân tích.

Ω 1 n 1 n Đ%nh nghĩa 1.1.16 [4, 9] Cho Ω là m®t mien trong không gian R n M®t hàm so ω k 1 k n ∈ L 1(Ω) đưac GQI là đao hàm suy r®ng cap k cua u(x) ∈ L 1(Ω) neu:

Kớ hiắu hàm ω k k là ∂ k u/∂x k 1 ∂x k n , hoắc D k u Cỏch kớ hiắu thỳ nhat se

1 n 1 n không gây ra sn hieu lam vì neu u ∈ C k (Ω) thì ω k k = ∂ k u/∂x k 1 ∂x k n Rõ

1 n ràng là khỏi niắm này là mđt phan mo rđng cna khỏi niắm cő đien ve đao hàm riêng liên tuc cna dang ∂ k u/∂x k 1 ∂x k n

Neu hàm u(x) có đao hàm thông thưòng liên tuc cap k thì nó có đao hàm suy r®ng cap k.

Tùy thuộc vào nghĩa đạo hàm, có thể thấy rằng hàm u(x) chỉ có một đạo hàm suy rộng Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo cách thông thường.

Tính chat 1.1.1 [4] M®t hàm có đao hàm suy r®ng cap k trong mien Ω thì nó cũng có đao hàm suy r®ng cap k trong mien Ω J ⊂ Ω.

Tính chat 1.1.2 [4] Neu u 1 và u 2 có đao hàm suy r®ng trong Ω thì c 1 u 1 + c 2 u 2 có đao hàm suy r®ng trong Ω và:

Tính chat 1.1.3 [4] Neu v là m®t đao hàm suy r®ng cap l cua u và ω là m®t đao hàm suy r®ng cap k cua v thì ω là m®t đao hàm suy r®ng cap l + k cua u.

Đạo hàm suy rộng là khái niệm liên quan đến việc xác định đạo hàm theo nhiều biến, cụ thể là k biến x1, x2, , xk Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất của đạo hàm cổ điển, nhưng không phải tất cả Đặc biệt, sự tồn tại của đạo hàm suy rộng cấp k không đảm bảo sự tồn tại của đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k Định lý 1.1.3 cho biết rằng nếu Ω là một miền trong không gian Rn và ΩJ là một miền con của Ω với khoảng cách giữa ΩJ và ∂Ω lớn hơn d > 0, thì một số điều kiện sẽ được áp dụng.

Chúng minh Gia su θ(x) ∈ C˚ ∞ (R n ) là m®t hàm không âm sao cho: θ(x) = θ(−x), θ(x) = 0 neu |x| > 1 và ∫

0, |x| ≤ 1, vói hang so c thích hop.

Do 0 < h < d và x ∈ Ω J , hàm θ(x − y)/h ∈ C˚ ∞ (Ω) đoi vói x ∈ Ω J , nên su dung đ%nh nghĩa đao hàm suy r®ng ta đưoc:

Chúng ta kết thúc phần này bằng cách trích dẫn một tiêu chuẩn đơn giản và hữu ích cho sự tồn tại của các đạo hàm suy rộng của một hàm u(x) Định lý 1.1.4 chỉ ra rằng nếu f(x) là một hàm khả tích trên miền Ω, thì nếu u(x) có thể xấp xỉ bằng một dãy hàm u_s(x) (với s = 1, 2, ), mà dãy này liên tục cấp k, thì khi s tiến tới vô cùng, hàm u(x) sẽ hội tụ.

∂x k n ≤ c thì hàm u có đao hàm suy r®ng

Ket qua này van đúng vái hàm u s (x) ∈ L p (Ω) và có đao hàm suy r®ng cùng dang, hơn nua các đao hàm liên tnc.

Chúng minh đ%nh lý có the tìm thay o [8].

Không gia n W 1 , 0 ( Q T ) v à W ˚ 1 , 0 ( Q T )

Gia su Ω là mđt mien trong R n và T là mđt hang so dương Kớ hiắu:

Q T = Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )} và GQI là tru vói chieu cao

2 2 Đ%nh nghĩa 1.1.17 [9] W 1,0 (Q T ) là không gian bao gom tat ca các hàm u(x, t) ∈ L 2(Q T ) sao cho ton tai tat ca các đao hàm suy r®ng ∂u/∂x i , i = 1, 2, , n trong L 2(Q T ).

Vói tích vô hưóng đưoc xác đ%nh như sau:

W 1,0 (Q T ) là m®t không gian Banach Hơn nua, nó là không gian Hilbert vói tớch vụ hưúng xỏc đ%nh như trờn và ta kớ hiắu chuan trong W 2 (Q T ) là ǁãǁ W

1,0 (Q T ). Đ%nh nghĩa 1.1.18 [4] Ta kớ hiắu W˚ 1,0 (Q T ) là khụng gian con đúng cua W 1,0 (Q T

) 2 2 vỏi chuan ǁãǁ W 1,0 (Q T ) bao gom tat ca cỏc hàm trơn u(x, t) ∈ W 1,0 2 (Q T ) triắt tiêu gan biên S T = ∂Ω × (0, T ).

Nghĩa là, u(x, t) ∈ W˚ 1,0 (Q T ) khi và chs khi ton tai m®t dãy {u k (x, t)} ∞ ⊂

= {(x, t) ∈ Q T : dist {(x, t), S T } < δ}, δ là so dương đu bé, và u k → u trong W 1,0 (Q T ) khi k → ∞.

Không gian W˚ 1,0 (Q T ) là m®t không gian con riêng cna W 1,0 (Q T ), hien nhiên

2 2 công thúc tích phân tùng phan, u x i vdxdt = uv x i dxdt,

Q T Q T cũng đỳng cho hàm trơn v bat kỡ và vúi bat kỡ hàm trơn u nào triắt tiờu gan

Nếu \( v \) là hàm đúng theo chuẩn \( W^{1,0}(Q_T) \), thì hàm \( u \) cũng thuộc \( W^{\circ 1,0}(Q_T) \) Tuy nhiên, nếu cả \( u \) và \( v \) không thỏa mãn điều kiện trên biên \( S_T \), thì công thức này không còn đúng trong trường hợp tổng quát, dẫn đến việc không áp dụng được cho các tình huống khác.

W 1,0 (Q T ) Do đú u(x, t) ∈ W˚ 1,0 (Q T ) triắt tiờu trờn S T là đ%nh nghĩa tot.

Không gian W˚ 1,0 (Q T ) cũng là m®t không gian Hilbert

Kết thúc phần này, chúng tôi sẽ chứng minh một bộ đề nữ tiếng có thể được sử dụng để tiện nghi hóa việc giải quyết các nghiệm của các phương trình không ổn định.

Bo đe 1.1.1 [9] Cho y(t) khụng õm và liờn tnc tuyắt đoi trờn [0,T], và hau het

2 t ∈ [0, T ] thóa mãn bat đang thúc: dy(t) dt ≤ c 1(t)y(t) + c 2(t),

Nghiắm suy rđng cna bài toỏn biờn-giỏ tr% ban đau thỳ nhat đoi vói phương trình parabolic tuyen tính cap hai tőng quát

Phương trình parabolic

Chúng minh Ta nhân dy (t) ≤ c 1(t)y(t) + c 2(t) vói exp , − ∫ t c 1(τ )dτ ,, viet ket qua

Phương trình Mu ≡ Σ a ij u x i x j + Σ a i u x i + au = f trong R n+1, với a ij, a i, a là các hàm phụ thuộc vào biến x, được định nghĩa là parabolic tại điểm x0 nếu tồn tại một số điều kiện nhất định Cụ thể, điều kiện này liên quan đến các hệ số a ij (x0) và các đại lượng α ki, α lj, λ k (x0), δ l, cho phép xác định tính chất parabolic của phương trình tại điểm đó.

+ b(x 0 )u = f (x 0 ), (1.1.2) tai điem x 0 trong đó có m®t so λ k (x 0 ) ( CHQN λ n+1(x 0 )) bang 0, các so λ k (x 0 ) còn lai có cùng dau, và b n+1(x 0 ) ƒ= 0.

Chia (1.1.2) cho b n+1(x 0 ), ta đưoc m®t phương trình có dang: u y n+1 n

(x 0 )u y + ˜bu = f˜ (1.1.3) Đ%nh nghĩa 1.2.2 [4] Neu à k (x 0 ) < 0 (k = 1, ã ã ã , n) thỡ (1.1.3) đưac GQI là dang chuan.

Nếu \( Neu_k(x_0) > 0 \), thì bằng cách thay đổi hướng \( y_{n+1} \) và nhân với \(-1\), ta có được một phương trình ở dạng chuẩn Định nghĩa 1.2.3 cho biết phương trình (1.1.1) GQI là parabolic trên một miền nào đó nếu nó là parabolic tại MQI điểm của miền này.

Neu cỏc hàm số cna M là các hàm số trơn và neu (1.1.1) là parabolic trên miền, thì trong miền lõn cắn, cna một điểm bất kỳ, ta có thể rút GQN bằng cách thay đổi các biến không suy biến để có dạng: n n u y n+1 − Σ b ij (x)u y i y j + Σ b i (x)u y i + bu = f˜, (1.1.4) i,j=1 i=1 với dạng Σ n b ij ξ i ξ j xác định dương Σ λ (x ) u y yk Σ k k Σ.

Biến y và n+1 là những yếu tố quan trọng trong các bài toán vật lý Trong đó, biến y có vai trò là biến thời gian, thường được ký hiệu là t, trong khi các biến y1, y2, , yn đại diện cho các tọa độ không gian tại một điểm cụ thể Để hiểu rõ hơn về vấn đề này, chúng ta sẽ nghiên cứu các phương trình parabol có dạng nhất định.

Bảng vi phân đạo hàm các hàm a_ij, a_i và f_i (1.1.5) có thể được biến đổi về một phương trình dạng (1.1.4), và ngược lại, bảng vi phân đạo hàm b_ij (1.1.4) có thể được viết dưới dạng (1.1.5).

Ta có các bài toán cơ ban cho phương trình (1.1.5) :

(1) Bài toán Cauchy: Tìm m®t hàm u(x, t) thoa mãn (1.1.5) vói x ∈ R n và t > 0, và thoa món đieu kiắn ban đau khi t = 0 u | t=0= ϕ(x) (1.1.7)

Bài toán biên-giá được xác định trên miền Q_T = Ω × [0, T], với Ω là một miền trong R^n Mục tiêu là tìm hàm số u(x, t) thỏa mãn phương trình (1.1.5) trên Q_T, với điều kiện đầu là u|t=0= ϕ(x) cho x ∈ Ω và điều kiện biên là u|x∈∂Ω= ψ(s, t) cho mọi t ∈ [0, T].

Trong R n+1 mien Q T là mđt hỡnh tru, S T = S ì [0, T ] là mắt xung quanh và tắp {(x, t) : x ∈ Ω, t = 0} là mắt đỏy.

Bài toán biên-giá cho hàm u(x, t) trong miền Q T được thiết lập với các điều kiện biên tương ứng Cần tìm hàm thỏa mãn điều kiện (1.1.5) và các điều kiện biên (1.1.7) cùng (1.1.9), được thay thế bằng điều kiện biên thứ hai.

= χ(s, t), hoắc đieu kiắn biờn thỳ ba: ∂u

Chúng ta sẽ xem xét chi tiết các bài toán biên giá trị trong miền bền chắn Ω Bài toán thứ hai và thứ ba có thể được phân tích một cách tương tự Để thuần túy ta gia thiết Ω bền chắn, việc dễ dàng đưa ra giá trị này cho các miền bền chắn và không bền chắn là cần thiết Chúng ta cũng sẽ sử dụng quy ước rằng trong biểu thức có hai chỉ số giống nhau, chúng ta hiểu đó là tổng; ví dụ, khi viết a_i x_i, ta hiểu đó là Σ_{i=1}^{n} a_i x_i.

Nghiắm suy rđng cna bài toỏn biờn-giỏ tr% ban đau thú nhat đoi vói phương trình parabolic tuyen tính cap hai tőng quát

cua bài toán biên-giá tr% ban đau thÉ nhat đoi vái phương trình parabolic tuyen tính cap hai tong quát

Trong muc này ta se nghiên cúu bài toán:

(1 2 2 ) trờn mien b% chắn Ω vúi cỏc đieu kiắn a ij = a ji , n

(1.2.4) và vói đieu kiắn đeu cna parabolic ν ξ 2

≤ àξ 2 , ν, à là các hang so dương

(1.2.5) Trưóc tiên ta se chúng minh rang bài toán này có m®t nghiắm suy rđng trong

W 1,0 (Q T ), sau đó ta chi ra rang moi nghiắm như vắy thnc sn là thuđc

Để giải bài toán cân bằng năng lượng, chúng ta cần xác định các điều kiện cần thiết để thỏa mãn phương trình Cuối cùng, chúng ta sẽ đưa ra định lý duy nhất cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2) trong không gian W 1,0 (Q T) Định nghĩa 1.2.4 cho thấy rằng V 2(Q T) là không gian chứa các hàm u ∈.

W 1,0 (Q T ) vái chuan năng lưang: u Q T = ess sup

0≤t≤T ǁu(ã, t)ǁ L 2 (Ω) + ǁu x ǁ L 2 (Q T ) Đ%nh nghĩa 1.2.5 [9] Không gian con V˚ 2 (Q T ) cua V 2(Q T ) gom các phan tu cua

| Q huu han. Đ%nh nghĩa 1.2.6 [4] Không gian V 1,0 (Q T ) là m®t không gian con khác cua

V 2(Q T ), chúa tat ca các phan tu u ∈ V 2(Q T ) liên tnc manh theo t trong chuan cua L 2(Ω).

Nghĩa là ǁu(ã, t + ∆t) − u(ã, t)ǁ L 2 (Ω) → 0 khi ∆t → 0, đeu trờn đoan [0, T ].

2 2 2 Đ%nh nghĩa 1.2.7 [9] Ta GQI phương trình có dang: ǁu(ã, t)ǁ + ∫ (a u u

+ ∫ (fu − f u )dxdt (1.2.6) là phương trình cân bang năng lưang cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2)

Phương trình này có the thu đưoc bang cách tích phân tùng phan đang thúc:

∂x i và su dung đieu kiắn biờn u | S T = 0.

Kớ hiắu L 2,1(Q T ) là khụng gian đưoc trang b% chuan: ǁuǁ L 2,1 (Q T )

Theo định lý 1.2.1, các điều kiện từ (1.2.3) đến (1.2.5) được áp dụng, và hàm u ∈ V˚ 1,0 (Q T ) phải thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng (1.2.6) Do đó, chúng ta có thể xác định được các yếu tố thúc đẩy năng lượng.

Chỳng minh Tự cỏc đieu kiắn (1.2.3)-(1.2.5) và phương trỡnh cõn bang năng lưong (1.2.6) ta có:

Nhóm các so hang giong nhau, sau đó nhân ca hai ve vói 2 và thay ǁuǁ 2 bang ty 2 (t), và ǁu(.,

Ta đưoc bat đang thúc: boi y(t) ǁu(ã,

+ 2y(t) ǁfǁ L 2,1 (Q t ) + 2 ǁ f ǁ L 2 (Q t ) ǁu x ǁ L 2 (Q t ) ≡ j(t), (1.2.9) trong đú c = 2(2à 2 /ν + à) Tự đõy ta cú hai bat đang thỳc: y 2 (t) ≤ j(t) (1.2.10) và ǁu x ǁ L 2 (Q t )

Lay căn bắc hai ca hai ve cna (1.2.10) và (1.2.11), cđng cỏc ket qua cỏc bat đang

2 thúc lai sau đó làm tr®i ve phai theo cách sau:

2à 2 ν + à , (1.2.12) ta nhắn đưoc bat đang thỳc sau cho |u| Q t :

Chia nho đoan [0, t] thành nhung đoan con ∆1 = [0, t 1 /2], ∆2 = [t 1 /2, t 2],

, ∆ N , có đ® dài không vưot quá t 1 /2 Vói moi đoan này, ta có bat đang thúc dang (1.2.13) Neu đưa ǁu(ã, t)ǁ L 2 (Ω) ≤ |u| Q t vào tớnh toỏn, ta nhắn đưoc bat đang thúc năng lưong

Đối với bất kỳ t ∈ [0, T], có thể xác định c(t) theo t và các hệ số ν trong các phương trình (1.2.3) và (1.2.5) Công thức (1.2.14) cho thấy rằng Q t ≤ c(t) Σ ǁu(ã, 0)ǁ L 2 (Ω) + 2 ǁfǁ L 2,1 (Q t ) + 2 ǁfǁ L 2 (Q t ) Σ ≡ c(t)F(t) Định nghĩa 1.2.8 chỉ ra rằng nghiệm u(x, t) của bài toán (1.2.1)-(1.2.2) trong không gian W 1,0 (Q T) (hoặc trong không gian W ˚ 1,0 (Q T)) là một phần tử của không gian này.

Rừ ràng tắp cỏc nghiắm như vắy là tuyen tớnh.

Kớ hiắu W˚ m,l (Q T ) là khụng gian bao gom tat ca cỏc phan tu cna W˚ m,l (Q T )

Gia su {ϕ k (x)} ⊂ W˚ m (Ω) là mđt hắ trnc chuan trong L 2(Ω) sao cho bao đúng cna bao tuyen tớnh cna hắ này trong W˚ m (Ω) trựng vúi W˚ m (Ω) Kớ hiắu: 2 2

M N Ta có bő đe sau: k=1 d k (t)ϕ k (x) : d k ∈ W 1 (0, T ), d k (T ) = 0

Bo đe 1.2.1 [4] Gia su Ω là mđt mien (khụng nhat thiet b% chắn) trong R n Khi đú tắp hap M = S ∞

N =1 M N trự mắt trong khụng gian W˚ (Q T ). m,1

Chúng minh Ta xây dnng dãy {ψ k (x)} trnc chuan trong bang phương phỏp trnc giao húa Gram-Smith Kớ hiắu: Σ N

Ta se chỳng minh M ∗ trự mắt trong W˚ m,1 (Q T ).

Thắt vắy, lay hàm u(x, t) ∈ W˚ m,1 (Q T ) bat kỡ Ta bieu dien u(x, t) dưúi dang: u(x, t) Σ ∞ k=1 c k (t)ψ k (x), c k (t) p uψ k dx,

Kớ hiắu S p (x, t) = Σ ∞ k=1 c k (t)ψ k (x) Gia su c ∗ k (t) ∈ C˙ ∞ (0, T ), sao cho

Khi đó: G p ≤ ǁu − S p ǁ W m (Ω) + S p − S p ∗ W m (Ω) và S p ∗ ∈ M p ∗ Ta có: ǁu − SpǁW 2 m (Ω) ≤ 2(ǁuǁW 2 m (Ω) + ǁSpǁ W 2 (Ω)) ≤ 4 ǁuǁ W 2 (Ω).

Tương tn, ta có ∂S p ∗ /∂t → ∂u/∂t trong L 2(Q T ) khi p → ∞.

Như vắy, M ∗ trự mắt trong gian W˚ m,1 (Q T ).

W˚ m,1 (Q T ) Tự đú suy ra M trự mắt trong khụng Đ%nh lý 1.2.2 [9] Neu cỏc đieu kiắn (1.2.3)-(1.2.5) đưac thúa món, thỡ bài toỏn (1.2.1)-(1.2.2) cú ớt nhat mđt nghiắm suy rđng trong W˚ 1,0 (Q T ).

Chúng minh Đe chúng minh kha năng giai đưoc cna (1.2.1)-(1.2.2) trong W˚

1,0(Q T ) ta lay mđt hắ cơ ban {ϕ k (x)} trong W˚ 1,0 (Ω) và đe thuắn tiắn ta gia su chỳng là trnc chuan trong L 2(Ω).

Ta se tỡm nghiắm xap xi u N (x, t) cú dang u N (x, t) = Σ N c N (t)ϕ k (x) tù hắ lắp nờn boi cỏc moi liờn hắ:

= (f, ϕ i ) − (f i , ϕ ix i ), l = 1, ã ã ã , N, (1.2.16) và cỏc đieu kiắn ban đau: c N (0) = (ϕ, ϕ l ) (1.2.17)

Phương trình vi phân (1.2.16) mô tả một hệ thống gồm N phương trình vi phân tuyến tính với các điều kiện cận N (t) ≡ c N (t), với t = 1, , N Để giải quyết, chúng ta cần xác định hàm c N (t) liên tục và duy nhất trên khoảng (0, T) Các hệ số k (t) là các hàm số bậc chắc chắn theo t, và các hàm số liên quan được xác định từ các phương trình vi phân tuyến tính này Do đó, kết quả từ phương trình vi phân tuyến tính sẽ cho phép chúng ta xác định chính xác hàm c N (t).

[0, T ] Ta cú u N b% chắn mà khụng phu thuđc vào N

Để giải quyết bài toán, ta áp dụng thắt vắy và nhõn mọi phương trình cna (1.2.16) với N(t) thích hợp, kết hợp chúng từ 1 đến N Tiếp theo, ta thực hiện tích phân theo t từ 0 đến t ≤ T, và kết quả thu được là (1.2.6) với u = u N Như đã đề cập trước đó, từ (1.2.6) ta suy ra được (1.2.14).

+ u N (ã, 0) 2, Ω Mà u N (ã, 0) 2, Ω ≤ ǁϕǁ 2,Ω, do vắy ta có bat đang thúc:

|u | Q T ≤ c 1 , (1.2.18) vói c 1 là m®t hang so không phu thu®c vào N

Tù (1.2.18), có the cHQN m®t dãy con u N k (k = 1, 2, ) tù dãy u N

(N = 1, 2, ) h®i tu yeu trong L 2(Q T ) tói m®t phan tu u ∈ W˚ 1,0 (Q T ) Phan tu u(x, t) này là nghiắm suy rđng cna bài toỏn (1.2.1)-(1.2.2).

Thắt vắy, nhõn (1.2.16) vúi mđt hàm liền tục tuyết đối tự ý d l (t) vúi dd l /dt ∈ L 2(0, T ), d l (T ) = 0 Lấy tổng các phương trình thu được từ 1 đến N, sau đó lấy tích phân kết quả từ 0 đến T Tích phân từng phần theo t, ta nhận được đang thức.

Q T (f Φ − f i Φ i )dxdt, (1.2.19) có dang (1.2.15) trong đó Φ = Σ N d l (t)ϕ l (x).

Kớ hiắu M N là tắp cỏc hàm Φ vúi d l (t) cú tớnh chat như đó núi o trờn Theo bő đe trên S ∞ p=1 M p trự mắt trong khụng gian W˚ (Q T ).

Vói Φ ∈ M p co đ%nh trong (1.2.19), ta có the lay giói han cna dãy con u N k đã c HQN như trờn, tự N k ≥ p Ket qua ta nhắn đưoc (1.2.15) cho u, vúi η = Φ ∈ M p l l

M p trự mắt trong khụng gian W˚ 1,0 (Q T ), nờn (1.2.15) đỳng vúi MQI η ∈ W˚ 1,0 (Q T ), nghĩa là, u(x, t) thnc sn là mđt nghiắm suy rđng trong W˚

Nếu các giả thuyết (1.2.3) và (1.2.5) được thỏa mãn, thì bất kỳ nghiệm suy rộng nào của (1.2.1) và (1.2.2) trong không gian W 1,0 (Q T) cũng sẽ là nghiệm suy rộng trong không gian V˚ 1,0 (Q T) và là nghiệm duy nhất trong W 1,0 (Q T).

Chỳng minh Ta xột nghiắm suy rđng cna (1.2.1), (1.2.2) trong W 1,0 (Q T ) như là mđt nghiắm suy rđng trong L 2(Q T ) cna bài toỏn:

∂x i u | t=0= ϕ(x), u | S T = 0, vói f o trong (1.2.1) đưoc thay the bang f − b i u x i − au ≡ f˜ và f i đưoc thay the bang f i − a ij u x j + a i u − u x i ≡ f˜ i Đieu này có the vì f˜ ∈ L 2,1(Q T ), f˜ i ∈ L 2(Q T

), và (1.2.15) có the bien đői ve dang

Theo các đ%nh lý 2.2 (trang113) và 2.3 (trang 115) chương III cna [9], thì u(x, t) là nghiắm suy rđng cna bài toỏn trờn trong V 1,0 (Q T ), do vắy nú thuđc

)dxdt + 1 ǁu(x, 0)ǁ 2 , vúi MQI t ∈ [0, T ] và moi quan hắ này cú the viet lai dưúi dang (1.2.6). Đong thòi u(x, t) cũng thoa mãn

Và đang thúc này cũng đưoc viet dưói dang:

− trong đó η là m®t phan tu bat kì cna W 1,0 (Q T ) và t là m®t so bat kì trong

Ta có MQI nghiêm túc trong W˚ 1,0 (Q T) và cũng áp dụng cho cna (1.2.1)-(1.2.2) trong V ˚ 1,0 (Q T) Mỗi nghiêm cna (1.2.1)-(1.2.2) được xác định như một phần tử của V˚ 1,0 (Q T) thỏa mãn điều kiện (1.2.20) và phương trình năng lượng (1.2.6).

Ta se thay rang (1.2.1)-(1.2.2) khụng the cú hai nghiắm khỏc nhau trong

Thắt vắy, neu bài toỏn cú hai nghiắm u J và u JJ như vắy thỡ sai phõn cna chỳng: u = u J − u” cũng là mđt nghiắm suy rđng cna (1.2.1) - (1.2.2) trong

W˚ 1,0 (Q T) tương ứng với các điều kiện ban đầu là không và một số hạng tồn tại là không Từ những giả thuyết đã chứng minh, u thnc sn là một nghiêm suy ràng cho bài toán này trong V˚ 1,0 (Q T) Suy ra, (1.2.6) có vẻ phải là 0 nên đúng với u Từ đó, (1.2.14) với vẻ phải là 0 cũng đúng Do đó, u(x, t) = 0 chứng tỏ rằng u J ≡ u JJ.

Tự nhung lắp luắn liờn quan đen hai nghiắm suy rđng bat kỳ u J và u JJ cna (1.2.1)-(1.2.2) trong V˚ 1,0 (Q T ), vúi f, f i và ϕ phõn biắt Ta suy ra toỏn tu B gán

Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các đại lượng {f; f i; ϕ} trong không gian V ̇ 1,0 (Q T ), cho thấy rằng chúng là tuyến tính Phương trình cân bằng năng lượng (1.2.6) được xác định qua các hàm số cận (1.2.20) liên quan đến các hàm số f, f i và ϕ, như đã nêu trong Định lý 1.2.1.

M®t so sơ đo sai phân giai gan đúng bài toán biên-giá tr% ban đau

2.1 Hàm lưái Ti so sai phân

Trong chương này, các đao hàm riêng cna hàm so u(x) xác đ%nh trên mien Ω

(luụn đưoc gia thiet là b% chắn) đưoc kớ hiắu là ∂u/∂x i

Chia nho khụng gian Euclid R^n thành các mắt phang x_i = k_i h_i, với h_i > 0 cho i = 1, , n, trong đó k_i là số nguyên đại diện cho các hình hộp cơ bản ω(k) có thể được xác định bởi biểu thức k_i h_i.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các định nghĩa liên quan đến các nút lưới trong GQI Cụ thể, điều kiện x_i nằm trong khoảng (k_i + 1)h_i cho i từ 1 đến n được nêu rõ Định nghĩa 2.1.1 xác định rằng các điểm lưới ω (kh) được GQI là các nút lưới, trong khi định nghĩa 2.1.2 chỉ ra rằng các hàm so xác định tại các nút lưới, hay chính xác hơn là trên toàn bộ miền xác định của các hàm này, được gọi là các hàm lưới và ký hiệu là u_h Để đơn giản, chúng ta sẽ bỏ qua chỉ số h khi không có sự nhầm lẫn.

Xét các toán tu sai phân: u x i (x) =1 i

− h i e i )] , vói e i là véc tơ đơn v%

(Đoi vói các hàm lưói u h ta su dung các ký hiắu u x i và u x i thay vì u hx i và u hx i ). Đ%nh nghĩa 2.1.3 [9]

Toán tử sai phân đầu tiên GQI là tỉ số sai phân tiến của một hàm tại nút x_i, trong khi toán tử sai phân thứ hai GQI là tỉ số sai phân lùi của hàm tại nút x_i.

1 Neu u(x) kha vi liên tnc trên Ω thì u x i (x) và u x i (x) hôi tn đen ∂u(x)/∂x i khi h i → 0, (h®i tn đeu trên

MQI mien Ω J ⊂ Ω), hay các ts sai phân u x i và u x i xap xs vái đao hàm

2 αu x i + (1 − α)u x i cũng xap xs vái ∂u/∂x i vái MQI α.

) x j =u x x j i xap xi ∂ 2 u/∂x i ∂x j , mien là bieu thúc cuoi cùng ton tai. k ì

Bang cách tương tn, ta đ%nh nghĩa các ti sai phân u x i x i x j x j cna bắc bat

Khi các đạo hàm trong một phương trình vi phân được thay thế bằng các tiểu sai phân tương ứng theo các quy tắc đã mô tả, chúng ta nói rằng phương trình sai phân nhận được xấp xỉ với phương trình ban đầu.

Cỏc hắ so cna phương trình cũng có the đưoc thay the bang các hàm so nhat đ%nh h®i tu tói chúng khi h i

Tính chat 2.1.2 [9] Công thúc ts sai phân cua m®t tích

Tính chat 2.1.3 [9] Công thúc lay tőng tùng phan m−1 m h Σ u x (kh)v h (kh) = −h Σ u h (kh)v x (kh) + u h (mh)v h (mh) − u h (0)v h (0), (2.1.4) trong đó u h và v h là các hàm lưái bat kì tai các điem x = kh, k = 0, , m; còn

( ) x và ( ) x đưac tính theo (2.1.1) vái bưác lưái h i = h.

Chúng ta có thể chứng minh (2.1.4) bằng cách sử dụng biến đổi Abel; (2.1.4) cũng rõ ràng là một mệnh đề hằng qua cân bằng nhất thức h Σ m−1 w x (kh) = w h (mh) − w h (0) nếu ta đặt w h = u h v h và áp dụng (2.1.2).

M®t so sơ đo sai phân

Sơ đo sai phân an thú nhat

Sơ đo sai phân an thú nhat có dang:

Các phương trình sai phân (2.3.3) phai thoa mãn các lóp k = 1, 2, ,

N = [T/τ ] tai các điem trong cna lưói Ω h , nghĩa là tai các điem cna Ω h ; các phương trình (2.3.4) lay vói k = 0, 1, , N ; và phương trình (2.3.5) lay tai các điem cna

Ω h , trong đó vói ϕ h ta lay ϕ h | (kh)= ∆ −1 ∫ ω (kh ) ϕ(x)dx, ∆ h = h 1 h n

Các hàm so a ij∆ , , f ∆ đưoc hình thành tù các hàm so: a ij , , f đã biet như sau: h h a ij∆ | x=(kh),t=k τ ∆ −1 τ −1 ∫ k 0 τ ∫ a ij (x, t)dxdt,

(k 0 −1) ω (kh) và tương tn cho các hàm khác.

Nghiệm của các phương trình (2.3.3) đến (2.3.5) được xác định lần lượt bởi các lớp t = tk, bắt đầu với k = 1 Đối với mỗi lớp, chúng ta cần giải nghiệm đại số tuyến tính chứa nhiều phương trình và so sánh các giá trị u∆(k) với số điểm của các lớp Ωh Chúng ta sẽ thấy rằng chúng có nghiệm duy nhất với mọi τ nhỏ hơn một giá trị τ0 nào đó Điều này dẫn đến tính bền vững, đảm bảo rằng nghiệm của hệ phương trình đó tồn tại và sẽ đúng với từng bước lặp τ và h.

Các phương trình (2.3.4), (2.3.4) tương đương vói đang thúc:

[u t η ∆ + a ij∆ u x j η x i + b i∆ u x i η ∆ + a ∆ u ∆ η ∆ ] = ∆ h Σ f ∆ η ∆ , (2.3.6) vúi η ∆ là mđt hàm so bat kỡ trờn Ω h và triắt tiờu trờn S h Đang thỳc (2.3.6) thoa món tai MQI bắc t = t k , k = 1, , N

Tính duy nhất được chứng minh trong các lớp t k, với các điều kiện tương ứng được áp dụng Khi thay thế f ∆ và u ∆ (k − 1) bằng 0, ta có thể áp dụng các quy tắc trong lớp t k Trong trường hợp này, với η ∆ = u ∆, chúng ta có thể rút ra kết luận quan trọng.

Neu τ < (à 2 /4ν + à) −1 ≡ τ 0 thỡ (2.3.7) chi ra rang u ∆ (k) đong nhat triắt tiờu; nghĩa là, vúi τ < τ 0, hắ (2.3.3), (2.3.4) cú tớnh duy nhat nghiắm o lúp t k (k là bat kì, bat đau tù k = 1) vói bat kì f ∆ (k) và u ∆ (k − 1).

SE on đ%nh cua sơ đo

Ta se chỳng minh tớnh őn đ%nh cna sơ đo Thắt vắy.

Su dung cỏc đieu kiắn (1.2.3)-(1.2.5) thỡ: ǁu ∆(k)ǁ − ǁu ∆(k − 1)ǁ + ǁδu ∆(k)ǁ + 2ντ ǁu 2 x (k)ǁ

≤ 2àτ (ǁu x (k)ǁ ǁu ∆(k)ǁ + ǁu ∆(k)ǁ ) + 2τ ǁf ∆(k)ǁ ǁu ∆(k)ǁ

+ à 2 + 2à ν τ ǁu ∆(k)ǁ + 2τ ǁf ∆(k)ǁ ǁu ∆(k)ǁ , vói k = 1, , N , ǁu ∆ (k)ǁ 2

≡ ∆ h Σ sai phân tien. u 2 (k), ǁu x (k)ǁ 2 ≡ ∆ h Σ + u 2 (k) và u x là ti

2 (k) neu ta gia thiet u ∆ (k) = 0 bên ngoài Ω h

Bỏ qua các số hạng thứ ba và thứ tư ở vế trái và chia cả hai vế cho căn bậc đang thúc kết quả cho ǁu ∆(k)ǁ + ǁu ∆(k − 1)ǁ nếu tổng này là dương Thay biểu thức ǁu ∆(k)ǁ (ǁu ∆(k)ǁ + ǁu ∆(k − 1)ǁ) −1 vào vế phải bằng phần tử đơn v%, ta có: ǁu ∆ (k)ǁ ≤ (1 − cτ ) −1 ǁu ∆ (k − 1)ǁ + 2τ (1 − cτ ) −1 ǁf ∆ (k)ǁ.

Ω h x vói τ < (2c) −1 Bat đang thúc này đúng vói k sao cho ǁu ∆ (k)ǁ + ǁu ∆ (k − 1)ǁ 0 Suy ra k ǁu ∆ (k)ǁ ≤ (1 − cτ ) −k ǁu ∆ (0)ǁ + 2τ (1 − cτ ) −k+s−1 ǁf ∆ (s)ǁ s=

2,1,Q k k s= 1 ǁf ∆ (s)ǁ (đe có đieu này, ta đã su dung cτ < 1/2)

Lay tőng bat đang thúc ( 2.3.8) tù k = 1 đen k = m ≤ N và áp dung đánh giá ǁu ∆ ǁ o trên Ta đưoc: m m ǁu ∆ (m)ǁ 2 + ντ Σ ǁu x (k)ǁ 2 + Σ ǁδu ∆ (k − 1)ǁ 2

, m = 1, ã ã ã , N, (2.3.9) vúi c = à 2 /ν + 2à; τ ≤ (2c) −1 ; hang so c 1 chi phu thuđc vào ν,à và T ; δu ∆ (k− 1) u ∆ (k) − u ∆ (k − 1), và ǁf ∆ ǁ 2 τ m k=1.∆ Σ

Các bat đang thúc đẩy tính ổn định của các phương pháp phân tích mà không có bất kỳ sự hạn chế nào về bước lùi h i và τ, ngoại trừ τ ≤ (2c) −1.

(2.3.9) không the vưot quá hang so c 2 ≡ c 1

2 2,1,Q T Đang thúc (2.3.6) đúng tai các lóp t = t k , k = 1, , N suy ra đang thúc:

− ∫ ϕη˜ ∆ (0)dx = ∫ f η˜∆ dxdt, (2.3.10) vúi mđt hàm η ∆(k) triắt tiờu trờn S k và bờn ngoài Ω h vúi MQI k, và triắt tiờu tai cỏc bắc t = [T/τ ] và lún hơn.

Gia su rang hàm so u ∆(k) đưoc đ%nh nghĩa bang 0 bên ngoài Ω h vói MQI k

Trên S h bằng 0 theo (2.3.1), các hàm nội suy ∆, u x j, η ∆ và η x i đều bằng 0 bên ngoài Ω h Điều này dẫn đến giả thiết rằng tất cả các tích phân theo x được tính trên Ω.

Các hàm n®i suy hang so-tùng manh ( ) có dang: u ∆(x, t) = u (kh,(k 0 +1)τ ) trên các ô Q (k,k 0 )

Thnc hiắn lay giúi han trong (2.3.10) khi h i → 0, vì các giá trị η ∆ tại các điểm lưu ý của hàm trơn η(x, t) bị triệt tiêu trên lõn cắn của hình trụ Q T và mắt trên của nú.

Trên cơ so cna các giói han này và các Đ%nh lý o muc 2.1 cna chương này, ta suy ra sn h®i tu yeu trong W 1,0 (Q T ) cna các hàm n®i suy u J (x, t) túi nghiắm

Vỡ vắy, ta có thể đưa ra định lý 2.3.1, cho bài toán (2.3.1) và (2.3.2) thỏa mãn các điều kiện (1.2.3) đến (1.2.5) của chương 1, với f thuộc L²,¹(QT) và ϕ thuộc L²(Ω) Khi đó, sơ đồ sai phân (2.3.3) đến (2.3.5) xác định duy nhất một hàm lưới u ∆ với MQI τ ≤ (2à 2/ν + 4à).

−1 , và hàm nđi suy u J ∆ (ã, ã) cua nú hđi tn yeu trong L 2(Q T ) khi h i → 0 và τ

→ 0 tỏi nghiắm suy rđng u(ã, ã) ∈ W 1,0 (Q T ) cua bài toỏn (2.3.1) và (2.3.2) Cỏc đao hàm

Sơ đo sai phân an thú hai

Hắ (2.3.3)-(2.3.5) xỏc đ%nh u ∆ chỳa so an bang so cỏc nỳt lưúi trờn Ω h

Trong trường hợp này, số lượng các phương trình lún vúi n ≥ 2 khi h i nho, và hắ không phân chia thành các khối riêng biệt Để tìm nghiệm của hắ, yêu cầu phải có lượng kiến thức lớn và rất nhiều thời gian Do đó, một sơ đồ sai phân khác được đề xuất cho phương trình (2.3.1); từ đó, các yêu cầu giải toán được giảm đi đáng kể Giống như sơ đồ ở mục 2.3.1, sơ đồ này sẽ hội tụ khi τ và h i → 0 theo cách bất kỳ, nhưng sự hội tụ của nó là sự hội tụ mạnh.

Trong mục 2.3.1, chúng ta sẽ khám phá các yêu cầu cao hơn đối với u ∆ h®i tu ve u theo tiêu chuẩn yêu cầu Điều này có thể được chứng minh tương tự như cách chúng ta chứng minh sự hội tụ của sơ đồ trong các mục 2.3.3 đến 2.3.5 Chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa các mục 2.3.1, 2.3.2 và 2.3.11 để làm rõ hơn về vấn đề này.

Chia R n+1 thành cỏc ụ nho như mụ ta o đau cna muc 2.3, và thờm vào mắt cat t k+p/n = (k + p/n)τ, p = 1, 2, , n − 1, k = 0, 1, , N − 1 Ta se tớnh nghiắm u ∆ trờn MQI lúp t k+p/n theo sơ đo sau:

Cựng vúi đieu kiắn ban đau và đieu kiắn biờn: u k + p Σ | = 0, u ∆

Phương trình (2.3.11) cần thỏa mãn tại các lớp t k+p/n khi x là một nút trong miền Ω h (x ∈ Ω h) Để giải quyết vấn đề này, cần thực hiện các phép tính liên quan đến ma trận cơ bản, bao gồm cả việc tính toán ma trận nghịch đảo thông qua phương pháp truy đuổi Để chứng minh tính giải được của các hệ phương trình (2.3.11) và (2.3.12), cũng như tính ổn định và hồi tụ của sơ đồ sai phân, chúng ta cần tìm hiểu các điều kiện bền vững tương ứng với các hệ phương trình (2.3.7) đến (2.3.9).

Xột hắ thuan nhat tương ỳng vúi (2.3.11) tai cỏc bắc t = (k + p/n)τ cú dang Σ Σ

Công thức (2.3.13) được tách thành các hằng con riêng biệt, trong mỗi hằng con này các nút có thể lưỡng Ω h nằm trên một đường thang l p song song với trục x p Nếu nhân (2.3.13) với τ ∆ n pp∆ x p p∆ x p n n ∆ ∆ n và lấy tổng trên tất cả các nút Ω h nằm trong l p, ta thu được: τ −1 h p.

Sử dụng cụng thức (2.1.4) cho cặp (2.1) và xác định tiêu cự cặp u ∆(k + p/n) tại tất cả các điểm cặp l p ngoài trừ các điểm thuộc Ω h Từ các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) trong chương 1, và (2.3.14) suy ra u ∆ ≡ 0 nếu τ < (à 2 /4ν + à/n) −1 ≡ τ 0 (xem (2.3.7)) Do đó, ta chứng minh được tính duy nhất cặp tất cả các hằng số (2.3.11) với τ < τ 0.

Vúi tớnh b% chắn cỏc nghiắm, ta nhõn (2.3.11) vúi 2τ ∆ h u ∆(k + p/n) và lay tőng trên tat ca các nút cna Ω h , bien đői các bieu thúc bang cách su dung moi quan hắ

2τu ∆(k)δu ∆(k − 1) = u 2 (k) − u 2 (k − 1) + δ 2 u 2 (k), đã nói đen o muc 2.3.1, và (2.1.11) cna 2.1 ve dang sau:

Neu lay tőng tự p = 1 đen p = n và su dung cỏc đieu kiắn (1.2.3)-(1.2.5) chương 1, ta đưoc các bat đang thúc sau:

Cú thể tìm được tính bền vững từ các bất động thúc này Theo cách tương tự như mục 2.3.1, ta xác định bất động thúc ǁu∆(k)ǁ ≤ e2cT [ǁϕ(0)ǁ + 2τ ǁf∆ǁ2,1,Q k] (căn cho số hạng thứ hai ở phía trái của (2.3.16)) và (2.3.9) Để đơn giản hóa, giả sử f ∈ L2(QT) Khi đó, số hạng cuối cùng ở phía phải của (2.3.16) bền vững theo.

Bat đang thúc Cauchy ta thay

Moi so hang ǁu ∆(k + p/n)ǁ 2 , p = 1, , n − 1, cú the b% chắn boi so hang o ve trái cna (2.3.17).

Thay nhung giói han này vào ve phai cna (2.3.17) và đánh giá chúng, ta đưoc:

Do vắy, vúi cτ [n(n + 3)/2] ≤ 1/2 (chỳ ý o đõy n ≥ 2), ta đưoc:

Ngày 2 tháng 3 năm 2021, chúng ta đã loại bỏ số hạng thứ hai trong biểu thức ǁu ∆(k)ǁ 2 Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể xác định ǁu ∆(m)ǁ 2 trong các số hạng đã biết của biểu thức cận lượng.

, (2.3.22) trong đú c 1đưoc xỏc đ%nh boi ν, à, n và T Ta nhắn đưoc mđt ràng buđc tương tn cho cỏc bắc khụng nguyờn tự (2.3.21), (2.3.22), (2.3.19): u∆

+ p Σ 2 Σ ≡ c 2 F(m + 1), (2.3.23) k=0 p=1 m = 0, 1, , N + 1, p = 1, , n Lay tőng các bat đang thúc (2.3.16) và su dung (2.3.23) ta đưoc giói han muon tìm:

Để đảm bảo tính chính xác trong việc xác định hàm F(m + 1) theo công thức (2.3.23), cần tuân thủ điều kiện không vượt quá một hằng số nhất định được xác định bởi ϕ(x) và f(x, t) trong (2.3.24) Điều kiện này cho phép chúng ta dễ dàng chứng minh sự tồn tại của nghiệm trong không gian L²(QT - δ) với mọi δ > 0, liên quan đến các hàm u ∆ được tính toán theo (2.3.11) và (2.3.12) cho bài toán (2.3.1) và (2.3.2).

Sn h®i tu tot nhat cna u ∆ đen u(x, t) có the chúng minh như sau:

Để xây dựng hàm lũy thừa uˆ∆ từ u(x, t), ta áp dụng công thức (2.3.11) cho uˆ∆ với các số dư r ∆(k + p/n) ở phía phải, sau đó trừ đi (2.3.11) cho u ∆ Với v ∆ = uˆ∆ − u ∆, ta nhận được rằng (2.3.11) ở phía phải sẽ có số dư r ∆(k + p/n) thay cho (1/n)f ∆(k + p/n) Số dư này không cần nhỏ, nhưng tổng Σ n r ∆(k + p/n) → 0 khi τ → 0 và h i → 0 Điều này cho phép chúng ta có một giới hạn cho v ∆ ở phía bên trái của (2.3.24) khi τ → 0 và h i → 0, từ đó chứng minh được sự hội tụ của u ∆ đến u theo chuẩn tương ứng với phía trái của (2.3.24).

Sơ đo sai phõn hiắn cna (2.3.1), (2.3.2) khỏc vúi dang (2.3.3) o sn thay the u t bang u t , nghĩa là: u t (k) − (a ij∆(k)u x j (k)) x i + b i∆(k)u x i (k) + a ∆(k)u ∆(k) = f ∆(k), (2.3.25) u ∆(k) | S h =0= 0, k = 0, 1, , N, u ∆ | t=0= ϕ h (2.3.26)

Không gian R n+1 đưoc chia thành các ô cơ ban như o đau muc 2.3 Phương trình (2.3.25) phai thoa mãn vói t = t k = kτ , k = 0, 1, , N − 1, vói x ∈

Ω h Đe thuắn tiắn kớ hiắu cỏc hàm lưúi a ij∆ , , f ∆ tự a ij , , f như sau:

0 h và tương tn vói các hàm khác.

Từ công thức (2.3.25), ta có thể xác định giá trị u ∆ tại các điểm (x, t k + τ) nếu giá trị u ∆ đã biết tại các lớp t = t k Điều này cho thấy rằng việc xác định u ∆ có thể thực hiện một cách đơn giản và duy nhất thông qua công thức (2.3.25) và (2.3.26).

Để đảm bảo các nghiám u được thực hiện qua giới hạn cho một nghiám u (x, t) cna, cần phải đặt trên bước lùi cna t một cách hạn chế với dạng τ ≤ c i h 2 Điều này có thể được thể hiện rõ trong mục 6.2 chương VI, nơi mà các yêu cầu về việc hạn chế được đề cập một cách cụ thể.

Khi xét một phương trình parabolic một chiều, giả sử h = h và τ = ch² với c < (4nà)⁻¹, có thể áp dụng điều kiện tự điều kiện từ (1.2.5) trong chương 1 Nghiệm u ∆ được xác định trong giới hạn khi h.

Cho cỏc đieu kiắn (1.2.3)-(1.2.5) chương 1 đưoc thoa món, ϕ ∈ L 2(Ω), f

(ã, ã) ∈ L 2,1(Q T ) Ta nhõn (2.3.25) vúi 2τh n u ∆(k + 1) và lay tőng cỏc ket qua trờn tat ca cỏc nỳt cna Ω h (hay, trờn cỏc nỳt cna Ω h ) Tự moi quan hắ

2τu ∆(k)δu ∆(k − 1) = u 2 (k) − u ∆ 2 ∆ (k − 1) + δ 2 ∆ u 2 (k), đã nói đen o muc 2.3.1, và (2.1.11) ta bien đői đang thúc này ve dang ǁu ∆(k + 1)ǁ − ǁu ∆(k)ǁ + ǁδu ∆(k)ǁ

Viet tőng j 1(k) ≡ 2a ij∆(k)u x j (k)u x i (k + 1) thành: j 1(k) = a ij∆(k)u x j (k)[u x i (k) + δu x i (k)] + a ij∆(k)u x i (k + 1)[u x j (k + 1) − δu x j (k)]

Thay biểu thức j 1(k) vào (3.2.27) để chuyển về số hạng thứ ba của cna j 1(k) và các số hạng vúi b i∆ và a ∆ sang phía phải Sau đó, ta thực hiện chắn trên và chắn dưới của vé trỗi và vé phải đang thực hiện, sử dụng các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) trong chương 1, dẫn đến kết quả ǁu ∆(k + 1)ǁ 2 − ǁu ∆(k)ǁ 2 + ǁδu ∆(k)ǁ 2 + ντ ǁu x (k)ǁ 2 + ǁu x (k + 1)ǁ 2.

Ta viet m®t cách rõ ràng δu x i tai m®t nút (x, t k ) tùy ý cna lưói và giói han modul cna nó:

Thay the ràng buđc này vào ve phai cna (2.3.28) và thay 2à ǁu x (k)ǁ ǁu ∆(k

+ 1)ǁ trong (2.3.28) boi lưong lún hơn (ν/2) ǁu x (k)ǁ 2 +(2à 2 /ν) ǁu ∆(k + 1)ǁ 2 Tự ket qua này và sn rút GQN các so hang giong nhau trong (2.3.28), ta có: ǁu ∆(k + 1)ǁ

+ 2τ ǁf ∆(k)ǁ ǁu ∆(k + 1)ǁ , (2.3.30) trong đú ε = 1 − 4nàh −2 τ Đắt vào ti so h −2 τ đieu kiắn

1 − 4nàh −2 τ ≡ ε, (2.3.31) o đây ε là m®t so nào đó trong (0, 1) Tù (2.3.30) ta suy ra bat đang thúc mong muon m m ǁu ∆(m)ǁ 2 + ντ Σ ǁu x (k)ǁ 2 + ε Σ ǁδu ∆(k)ǁ 2 k=0

+ τ k=1 ǁf ∆(k) ǁ  , (2.3.32) trong đú c đưoc xỏc đ%nh boi ν, à và T và khụng phu thuđc vào u ∆(k) cũng như sn lna cHQN lưói.

Bài viết này đề cập đến việc sử dụng các phương trình sai phân để chứng minh và tính toán các yếu tố liên quan đến sự thay đổi của một biến số Cụ thể, các phương trình sai phân (2.3.25), (2.3.26) giúp ta hiểu rõ hơn về sự biến động của biến số (2.3.1), (2.3.2) trong các điều kiện nhất định (2.3.31) Việc này yêu cầu chúng ta phải tính toán thời gian τ một cách chính xác, từ đó xác định được sự cần thiết của các công thức tính toán dài hạn cho biến số tại một thời điểm cụ thể, ngay cả khi h là nhỏ.

Chỳng minh tương tn o muc 2.3.1 ta cú cỏc nđi suy u J ∆ cna cỏc nghiắm xap xi u ∆ hđi tu túi nghiắm u(x, t) cna bài toỏn (2.3.1), (2.3.2)

Phương pháp đề xuất nghiên cứu sơ đồ sai phân có thể áp dụng cho nhiều sơ đồ khác nhau Bằng cách sử dụng phương pháp này, chúng ta có thể dự đoán các kết quả một cách chính xác hơn.