ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯƠNG MINH PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TỒN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số : 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2016 Mục lục Mở đầu Các kiến thức cần chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev Wm (Ω) 1.2 Không gian Holder Không gian Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) Định lý Leray-Shauder 1.3 1.4 Nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn 2.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng bị chặn 2.2 Tính nghiệm toán Dirichlet miền đủ nhỏ 2.3 Đánh giá bên miền gradient nghiệm suy rộng (ess max |∇u|) 11 2.4 2.5 2.6 24 27 Ω 12 18 21 2.7 Đánh giá toàn miền gradient nghiệm suy rộng Đạo hàm cấp hai nghiệm suy rộng Đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp nghiệm suy rộng ( |u| ,α,Ω , ≥ ) Độ lớn nghiệm suy rộng toàn miền 30 33 2.8 Tính giải tốn Dirichlet 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Lí thuyết phương trình elliptic tuyến tính nhiều nhà khoa học nghiên cứu cụ thể, chi tiết đầy đủ Đã đưa vào định nghĩa lớp nghiệm suy rộng phương trình gồm hàm có đạo hàm cấp thoả mãn đẳng thức tích phân miền Các phương trình elliptic tuyến tính sau có lịch sử phát triển lâu dài, có khác biệt so với phương trình tuyến tính số hệ phương trình phụ thuộc vào ẩn hàm chí đạo hàm cấp ẩn hàm Vì khái niệm nghiệm suy rộng đưa vào có số cách khác biệt Luận văn nhằm mục đích trình bầy lý thuyết nghiệm suy rộng bị chặn phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn Bố cục luận văn bao gồm phần Mở Đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Chuẩn bị kiến thức không gian Banach, cụ thể là, không gian Sobolev, không gian Holder, Định lý Leray-Schauder số kết cần thiết khác trình bày chương để làm sở cho việc phát triển chương Chương Giới thiệu lớp phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn nghiệm suy rộng chúng Tính nghiệm toán Dirichlet miền đủ nhỏ Tiếp theo nghiên cứu đánh giá bên miền toàn miền gradient ngiệm suy rộng bị chặn Đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp đạo hàm cấp cao nghiệm suy rộng Độ lớn nghiệm suy rộng Cuối cùng, tính giải tốn Dirichlet nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày dựa theo " Linear and Quasilinear Elliptic equations" Ladyzhenskaya, Olga A and Ural’tseva, Nina N, (1968) Nhân dịp này, tác giả xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người giúp đỡ, đạo tận tình, chu đáo cho tác giả q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Phòng Sau đại học, thầy giáo tồn thể cán bộ, cơng nhân viên Khoa Tốn - Cơ - Tin học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình thầy cơ, bạn cho luận văn Chương Các kiến thức cần chuẩn bị Trong chương này, cung cấp số kiến thức để phục vụ cho việc xây dựng nội dung chương sau Dưới kí hiệu thường dùng luận văn • N = {1, 2, } tập hợp số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } tập hợp số nguyên không âm, R tập số thực, C tập số phức • En : Không gian Euclid n−chiều, ≤ n ∈ N, x = (x1 , , xn ) kí hiệu điểm thuộc En • Ω : kí hiệu miền bị chặn En , cụ thể tập mở liên thơng tùy ý, chứa hình cầu có bán kính đủ lớn • S : kí hiệu biên Ω ¯ : kí hiệu bao đóng Ω, tức Ω ¯ = Ω ∪ S •Ω • Ω : kí hiệu miền thực nằm Ω, khoảng cách Ω S ln dương • Kρ : kí hiệu hình cầu bán kính ρ En ; χn = mesK1 • Ωρ = Kρ ∩ Ω n • x = (x1 , , xn ), chuẩn |x| = i=1 1/2 x2i Tất hàm ước lượng luận văn thực, trừ đề cập cụ thể Giả sử u(x) hàm x, 1/2 n ∇u(x) = ux (x) = (ux1 (x), , uxn (x)); |∇u| = (uxi ) i=1 ν, µ, ε, δ, δk , θ, γ kí hiệu cho số dương ν(t), µ(t) kí hiệu cho hàm liên tục không tăng, không giảm t ≥ Một hàm u(x) gọi có giá compact Ω triệt tiêu lân cận biên Ω Giá hàm đo u(x) định nghĩa suppu = {x ∈ Ω|∀ρ > m{y ∈ Kρ (x) ∩ Ω|u(y) = 0} > 0} Điều kiện (A) Chúng ta nói biên S miền Ω (hoặc phần S1 nó) thỏa Điều kiện (A) tồn hai số dương a0 θ0 cho, hình cầu tùy ý có tâm S (tương ứng, S1 ), bán kính ρ ≤ a0 với ˆ ρ Ωρ = Kρ ∩ Ω, bất đẳng thức sau xảy phần liên thơng Ω ˆ ρ ≤ (1 − θ0 )mesKρ mesΩ 1.1 Không gian Sobolev Wm (Ω) 1.1.1 Không gian Lm (Ω), ≤ m < ∞ Lm (Ω) kí hiệu khơng gian Banach gồm tất hàm u(x) đo xác định Ω m - khả tích Chuẩn không gian xác định sau 1/m u Lm (Ω) m |u| dx = Ω Khi m = ∞, ký hiệu L∞ (Ω) = {u : Ω → C|ess max |u(x)| < +∞} Ω đó, ess max |u(x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Ω||u(x)| > M } = 0} Ω Ở đây, tính đo tính khả tích hiểu theo nghĩa Lebesgue Các phần tử Lm (Ω) lớp hàm tương đương Ω 1.1.2 Không gian Wm (Ω); ≤ m < ∞, ∈ Z+ Không gian Sobolev Wm (Ω) không gian bao gồm hàm suy rộng u(x) ∈ Lm (Ω) mà đạo hàm suy rộng Dα u ∈ Lm (Ω), |α| ≤ Khí đó, chuẩn u(x) ∈ Wm (Ω) định nghĩa    u Wm (Ω) |u|m + = 1/m |D(α) u|m  dx |α|=1 (α) Ω đó, α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Z+n , |α| = α1 + α2 + + αn , α Dα u = Dα1 Dα2 Dαnn u, Dj j = ∂ αj α , ∂xj j j = 1, 2, ˚ (Ω); ≤ m < ∞, ∈ Z+ 1.1.3 Không gian W m ˚ (Ω) với ≤ m < +∞ bao đóng C ∞ (Ω) Không gian Sobolev W m chuẩn khơng gian Wm (Ω) Kí hiệu: ˚m (Ω) = C ∞ (Ω) W Khi ˚m (Ω) = {u(x) : u(x) ∈ Wm (Ω), Dα u|S = 0; |α| W 1.2 − 1} Không gian Holder Cho Ω miền bị chặn ( giới nội ) Rn Ta định nghĩa số không gian : • Không gian C (Ω), C k (Ω) C (Ω) = {u : Ω → C|u liên tục Ω} C k (Ω) = {u : Ω → C|u khả vi liên tục đến cấp k} ¯ C k (Ω) ¯ • Khơng gian C (Ω), ¯ không gian hàm liên tục Ω ¯ với chuẩn C (Ω) |u|0,Ω = sup |u(x)| Ω ¯ = {u(x) ∈ C (Ω) ¯ : Dα u ∈ C (Ω), ¯ ∀|α| ≤ k} C k (Ω) với chuẩn |Dα u|0,Ω |u|k,Ω¯ = |α|≤k k ∈ Z+ ¯ • Khơng gian C 0,γ (Ω) |u(x) − u(y)| ¯ = {u(x) ∈ C (Ω); [u] C 0,γ (Ω) < +∞}, γ (γ),Ω = sup |x − y| x,y∈Ω x=y với < γ ≤ ¯ định nghĩa Chuẩn C 0,γ (Ω) |u|0,γ,Ω = |u|0,Ω + [u](γ),Ω ¯ • Không gian C k,γ (Ω) ¯ = {u(x) ∈ C k (Ω) : [Dα u](γ),Ω < +∞, ∀|α| = k}, C k,γ (Ω) ¯ định nghĩa Chuẩn C k,γ (Ω) [Dα u](γ),Ω |u|k,γ,Ω = |u|k,Ω + |α|=k ¯ ¯ O2 (Ω) • Lớp hàm O1 (Ω), ¯ ⊂ O1 (Ω) ¯ ⊂ C 0,1 (Ω) ¯ C 1,0 (Ω) ¯ gồm tất hàm u(x) thuộc C 0,1 (Ω) ¯ mà có vi phân cấp O1 (Ω) ¯ |u|1,0,Ω hữu hạn điểm Ω ¯ gồm tất hàm u(x) thuộc C 1,1 (Ω) ¯ mà đạo hàm cấp O2 (Ω) có vi phân cấp điểm Ω 1.3 Không gian Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) lớp tất hàm u(x) Wm (Ω) với ess max |u| ≤ Ω M cho, với u(x) −u(x), bất đẳng thức sau xảy hình cầu Kρ ⊂ Ω với σ ∈ (0, 1) : |∇u|m dx ≤ γ Ak,ρ−σρ m(1− nq ) σmρ m max(u(x) − k)m + mes1− q Ak,ρ Ak,ρ với k ≥ max u(x) − δ Kρ (1.1) Ak,ρ tập điểm x ∈ Kρ với u(x) > k Kρ−σρ hình cầu đồng tâm với Kρ Chúng ta giả sử bán kính hình cầu ρ (1.1), khơng vượt q số dương ρ0 Các tham số M, γ δ số dương tùy ý, < m ≤ n, q > n ≥ Ta có khẳng định sau : Nếu hình cầu Kρ , hàm u(x) thỏa mãn bất đẳng thức   m (u − k)m |∇ζ|m dx + (mesAk,ρ )1− q   |∇u|m ζ m dx ≤ γ  Ak,ρ (1.2) Ak,ρ với k ≥ max u − δ với hàm trơn không âm tùy ý ζ(x) triệt tiêu Kρ mặt Kρ , bất đẳng thức (1.1) xảy Kρ hình cầu đồng tâm tùy ý Kρ−σρ , σ ∈ (0, 1) Điều (1.1) theo sau (1.2) chọn ζ hàm đơn vị Kρ−σρ thỏa mãn bất đẳng thức |∇ζ| ≤ c/σρ 1.4 Định lý Leray-Shauder Mục giới thiệu Nguyên lý Leray-Schauder tồn điểm bất động họ ánh xạ phụ thuộc tham số, xem [2] ¯ bao đóng Định lý 1.4.1 Giả sử H không gian Banach M tập mở liên thông bị chặn M H Giả sử E tích Decartes H khoảng đóng [0 ≤ τ ≤ 1], phần tử E = H × [0, 1] cặp thứ tự (v, τ ), với v ∈ H, τ ∈ [0, 1] Đặt ¯1 = M ¯ × [0, 1] M Khi đó, phương trình u = Φ(u, τ ) (1.3) nghiệm Khi đó, giá trị tích phân miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω không vượt số xác định số M = ess max |u(x)|, m, µ(M ) ν(M ) (2.18) (2.19), khoảng cách từ Ω Ω tới S ¯ Thêm vào đó, S ∈ O2 u(x)|S = ϕ(x)|S , ϕ(x) ∈ O2 (Ω), giá trị tích phân (2.20) tồn miền Ω khơng vượt q số xác định M, m, µ(M ) ν(M ) (2.18) (2.19), chuẩn |ϕ|2,0,Ω , biên S Từ Định lý 2.3.1 2.5.1, có Định lý 2.5.2 Giả sử hàm (x, u, p) a(x, u, p) khả vi chúng thỏa ¯ |u| ≤ M, p tùy ý Khi đó, điều kiện (2.18), (2.19) (2.28) với x ∈ Ω, nghiệm suy rộng bị chặn tùy ý u(x) (2.1) với ess max |u| = M thuộc lớp Ω W22 (Ω ), Ω miền tùy ý nằm Ω; nghiệm u(x) thỏa phương trình (2.1) hầu khắp nơi Ω; ess max |∇u| hữu hạn không vượt Ω số phụ thuộc vào M, m, µ(M ), ν(M ) µ1 (M ) (2.18) (2.19), khoảng cách từ Ω tới S 2.6 Đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp nghiệm suy rộng ( |u| ,α,Ω , ≥ ) Giả sử nghiệm u(x) (2.1) thuộc lớp W22 (Ω) với đạo hàm cấp bị chặn Chúng ta chứng tỏ đạo hàm liên tục theo nghĩa Holder phương trình (2.1) elliptic u(x), tức bất đẳng thức sau thỏa mãn ∂ai (x, u(x), ux (x)) ξi ξj ≥ ν ∂uxj 30 n ξi2 , i=1 ν > (2.29) Nó đủ để giả sử hàm (x, u, p) khả vi tương ứng với argument x, u, p, hàm a(x, u, p) đo được, max x∈Ω ∂ai (x, u(x), ux (x)) ∂ai (x, u(x), ux (x)) ∂ai , , , a ≤ µ1 < ∞, ∂uxj ∂u ∂xj (2.30) với i, j = 1, , n Chúng ta thu định lí sau với β = min{α, q−n q } Định lý 2.6.1 Giả sử nghiệm u(x) (2.1) với thuộc lớp W22 (Ω), tức có ¯ Giả sử điều kiện (2.29) (2.30) đạo hàm cấp bị chặn Ω thỏa cho a Khi đó, đạo hàm uxi , i = 1, , n, thuộc lớp C 0,α (Ω) với mũ α > phụ thuộc vào max |∇u| số ν, µ1 điều Ω kiện (2.29) (2.30) Chuẩn |u|1,α,Ω bị chặn miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω theo đại lượng khoảng cách từ Ω tới S Thêm vào đó, u(x) thỏa điều kiện biên (2.12) với ϕ(x) ∈ Wq2 (Ω), q > n, S ∈ O2 , đạo hàm uxi , i = 1, , n, liên tục theo nghĩa Holder ¯ với mũ β > Ở đây, β u miền đóng Ω M1 , ν, µ1 , q, ϕ Wq2 (Ω) , 1,β,Ω phụ thuộc vào biên S Chú ý: Chúng ta thấy rằng, giảm điều kiện (2.30) a Đặc biệt, giả sử ∂ai (x, u(x), ux (x)) ∂ai , ,a ∂u ∂xj ≤ µ1 < ∞, (2.31) Lq (Ω) với q > n i, j = 1, , n Từ Định lí 2.6.1 2.5.1 có Định lý 2.6.2 Giả sử nghiệm suy rộng bị chặn u(x) (2.1) có đạo hàm ¯ |u| ≤ M = max |u(x)| |p| ≤ M1 = max |∇u(x)|, hàm bị chặn Với x ∈ Ω, Ω Ω 31 (x, u, p) a(x, u, p) khả vi tương ứng với x, u, p, hàm đạo hàm cấp chúng bị chặn số µ1 , (x, u, p) thỏa điều kiện tính elliptic ∂ai (x, u, p) ξi ξj ≥ ν ∂pj n ξi2 , ν > i=1 Khi đó, u(x) thuộc lớp C 1,α (Ω ) ∩ W22 (Ω ) với miền tùy ý Ω ⊂ Ω chuẩn C 1,α (Ω ) W22 (Ω ) bị chặn theo M, M1 , ν, µ1 khoảng cách từ Ω tới S ¯ ∩ W (Ω) Giả Định lý 2.6.3 Giả sử u(x) nghiệm (2.1) lớp C 0,1 (Ω) sử (2.1) u(x) elliptic (tức (2.29) thỏa) Giả sử (x, u, p) ∈ C −1,β (M) a(x, u, p) ∈ C −2,β (M), ¯ |u| ≤ M, |p| ≤ M1 } với M, M1 Định lý ≥ M = {x ∈ Ω, 2.6.2 Khi u(x) thuộc lớp C ,β (Ω), với miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω, chuẩn |u| ,β,Ω bị chặn số phụ thuộc theo M, M1 , |ai | −1,β,M , |a| −2,β,M , ν khoảng cách từ Ω tới S Thêm nữa, S∈C ,β u|S ∈ C ,β (S), chuẩn |u| ,β,Ω bị chặn số phụ thuộc vào số M, M1 , |ai | −1,β,M , |a| −2,β,M , ν, chuẩn |u| ,β,S biên S Như là, từ phần 2.1 đến 2.6, trình bày số kết cho nghiệm suy rộng bị chặn Phương trình (2.1) 32 Trong phần 2.1, chứng tỏ nghiệm suy rộng bị chặn u(x) lớp Wm1 (Ω) liên tục theo nghĩa Holder Chúng ta đưa bao chặn cho chuẩn Holder u(x) miền Ω ⊂⊂ Ω cho toàn miền Trong phần 2.3, chứng tỏ rằng, nghiệm có tích phân (2.20) hữu hạn miền Ω ⊂⊂ Ω, đại lượng max |∇u| bị chặn miền tùy ý Ω nằm Ω Từ dẫn tới, trường hợp đặc biệt, ta có u(x) thuộc W22 (Ω ) Thêm nữa, Định lý 2.6.1 nghiệm thuộc W22 (Ω ) miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω ⊂⊂ Ω có đạo hàm cấp bị chặn thuộc lớp C1,β (Ω ) điều kiện (2.29) (2.30) thỏa Cuối cùng, Định lý 2.6.3 chứng tỏ nghiệm trơn hơn, thực tế, thuộc lớp C ,α (Ω ) với ≥ 2, hàm (x, u, p) a(x, u, p) có tính trơn phù hợp Trong phần 2.5, chứng minh điều kiện nghiệm suy rộng bị chặn có đạo hàm cấp hai suy rộng tích phân (2.20) miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω (hoặc toàn miền) bị chặn đạo hàm 2.7 Độ lớn nghiệm suy rộng toàn miền Chúng ta chứng tỏ nghiệm suy rộng bị chặn phương trình (2.1) có tính chất nghiệm cổ điển phương trình elliptic, đặc biệt, chúng khoảng nhỏ, tính chất khả vi để làm tăng tính trơn hàm (x, u, p) a(x, u, p), cần đủ để đặt hạn chế kiểu (2.2), (2.3) bậc tăng trưởng (x, u, p) a(x, u, p), tương ứng 33 với |p| |p| → ∞ Nếu xét lớp nghiệm rộng hơn, chẳng hạn, nghiệm Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω), với q ≥ mn n−m , m ≤ n, điều kiện nghiệm khoảng nhỏ đòi hỏi phải có thêm hạn chế chặt chẽ bậc tăng trưởng a theo |p| Với nghiệm u(x) Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω), hạn chế sau Giả sử a thỏa bất đẳng thức (x, u, p)pi ≥ ν1 (|u|)|p|m − (1 + |u|)α1 )ϕ1 (x), sign(u) · a(x, u, p) ≤ (1 + |u|)α2 )ϕ2 (x) + (1 + |u|)α3 )ϕ3 (x)|p|m−ε (2.32) (2.33) Đơn giản hóa, giả sử ν1 số dương Khi đó, đại lượng α1 , ϕi ε phải thỏa mãn điều kiện • (1) n n+q ≤ ε ≤ m; • (2) ϕi ∈ Lri (Ω), r1 , r2 > n m ; r3 > i = 1, 2, 3,    n ε với ε ≥ 1,   nq qε+n(ε−1) với ε < 1; • (3) ≤ α1 < m n+q n − q r1 , ≤ α2 < m n+q n −1− q r2 , ≤ α1 < ε n+q n −1− q r3 Chúng ta chứng tỏ giả thuyết đủ để nghiệm suy rộng Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω) bị chặn để tất định lý phần 34 2.1-2.6 áp dụng cho nghiệm Chứng minh định lí sau dựa Định lý 2.5.1 Định lý 2.7.1 Giả sử u(x) nghiệm suy rộng Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω), n ≥ m > 1, q ≥ q ∗ = nm , n−m phương trình (2.1) giả sử ess max |u| = M0 < ∞ S Giả sử điều kiện (2.32), (2.33) thỏa cho (x, u, p) a(x, u, p), bất đẳng thức đó, tham số ε αi (i = 1, 2, 3) hàm ϕi (i = 1, 2, 3) thỏa điều kiện (1)-(3) Khi đó, ess maxΩ |u| bị chặn biểu thức theo u Lq (Ω) , M0 , ν1 , ε, αi , ϕ Lri (Ω) , i = 1, 2, 3, mesΩ Như đề cập, Định lý 2.7.1 cho phép áp dụng tất định lý phần 2.1-2.6 cho nghiệm suy rộng tùy ý Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω) Đặc biệt, giả thiết Định lý 2.7.1 thỏa mãn và a thỏa mãn bất đẳng thức (2.13) (2.14), định lý tính khoảng nhỏ cho nghiệm phương trình (2.1) lớp Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω) Chúng ta tới kết sau: Định lý 2.7.2 Giả sử hàm u(x), a thỏa mãn điều kiện Định lí 2.7.1, u(x) liên tục theo nghĩa Holder với mũ α > miền Ω, số mũ xác định theo đại lượng giống ess max |u| Định lý Ω 2.7.1 Với miền túy ý Ω ⊂⊂ Ω chuẩn |u|α,Ω bị chặn theo đại lượng tương tự khoảng cách từ Ω đến S Nếu thêm vào đó, S thỏa mãn điều kiện (A) u|S 35 thuộc lớp C β , |u|α,Ω , với α ≤ β, bị chặn theo số điều kiện Định lý 2.7.1, số a0 θ0 , β, mesΩ chuẩn |u|β,S u Lq (Ω) Giá trị khẳng định trực tiếp suy từ Định lý 2.7.1 2.1.1 trường hợp hàm ϕi , i = 1, 2, 3, (trong điều kiện Định lý 2.7.1) bị chặn Trong trường hợp tổng quát, chúng chứng minh u có ess maxΩ |u| bị chặn Tuy nhiên, lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.1.1, dễ dàng chứng tỏ u thuộc lớp Bm (Ω, M, γ, δ, q11 ) với q1 = min{mr1 , mr2 , εr3 } > n Trên sở Định lý 2.6.1 2.7.1, điều chứng minh giá trị khẳng định Định lý 2.7.2 2.8 Tính giải toán Dirichlet Trong phần này, nghiên cứu vấn đề tính giải tốn Dirichlet phương trình dạng Lu ≡ d (ai (x, u, ux )) + a(x, u, ux ) = dxi (2.34) miền túy ý Ω Các nghiệm phương trình (2.34) mà tìm phải thỏa biên S miền Ω điều kiện sau u|s = ϕ(x)|S 36 Xét toán n L0 u ≡ i=1 ∂ ∂xi | ∂u m−2 ∂u | ∂xi ∂xi =0 (2.35) u|S = ∂u m−2 ∂u hệ số, ˚ = | ∂x | ∂xi , i ˚ a=0 Bài toán (2.35) tồn hữu hạn nghiệm Xét phương trình Lτ u ≡ (1 − τ )L0 u + τ Lu, τ ∈ [0, 1] Ở đây, (x, u, ux , τ ) = (1 − τ )˚ + τ a(x, u, ux , τ ) = τ a Tương ứng toán Dirichlet Lτ (u) = u|S = τ ϕ|S, (2.36) τ ∈ [0, 1] Ta chứng minh tốn (2.36) có nghiệm với τ ∈ [0, 1] Việc điều kiện tồn nghiệm toán (2.36) dựa vào nguyên lý Leray-Schauder Trong Leray-Schauder, trước hết ta xây dựng ánh xạ Φ(v, τ ) Xét toán tuyến tính ∂ai (x, v, vx , τ ) wxi xj + A(x, v, vx , τ ) = 0, w|S = τ ϕ|S, ∂vxj 37 (2.37) với A(x, v, vx , τ ) = a(x, v, vx , τ ) + ∂ai (x, v, vx , τ ) ∂ai (x, v, vx , τ ) vxj + , ∂v ∂xj Tìm ánh xạ Φ(v, τ ) cách từ hàm v(x) biết ta tìm w(x) nghiệm phương trình (2.37) Tìm w(x) cách giải tốn Dirichlet cho phương trình (2.37) Bài tốn tuyến tính (2.37) có tồn nghiệm ( Theo chương [1] ) Nó xác định toán tử phi tuyến Φ(v, τ ) = w(x), Các điểm bất động tương ứng với ánh xạ Φ(v, τ ) nghiệm toán (2.36) Bài toán (2.36)tương đương với việc xác định nghiệm phương trình u = Φ(v, τ ) (2.38) Các Định lý 2.4.1 2.6.1 chứng tỏ rằng, chặn tiên nghiệm cho u(x, τ ), cần yêu cầu hàm (x, u, p, τ ) a(x, u, p, τ ) ¯ |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] p tùy ý: thỏa bất đẳng thức sau cho x ∈ Ω, n ν(1 + |p| ) m−2 ξi2 i=1 |a(x, v, p, τ )| + | m−2 ∂ai (x, v, p, τ ) ≤ ξi ξj ≤ µ(1 + |p|2 ) ∂pj n ξi2 , i=1 m ∂ai ∂ai | + |ai | (1 + |p|2 ) + | | ≤ µ(1 + |p|2 ) ∂u ∂xj (2.39) µ ν số dương m > Khi điều kiện thỏa mãn, theo Định lý 2.4.1 2.6.1 có 38 n max |∇u(x, τ )| ≤ M1 , Ω |uxi |β,Ω ≤ M2 , (2.40) i=1 số M1 , M2 β xác định đại lượng n, M, m, ν µ (2.39) Định lý 2.8.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: ¯ |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] p tùy ý, hàm (x, u, p, τ ) (a) Với x ∈ Ω, a(x, u, p, τ ) đo hàm (x, u, p, τ ) khả vi theo x, u, p chúng thỏa bất đẳng thức (2.39) ¯ |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] |p| ≤ M1 (với M1 số (b) Với x ∈ Ω, (2.40)), xác định Định lý 2.4.1), hàm , ∂ai ∂ai ∂ai , , , ∂pj ∂u ∂xj a liên tục theo x, u, p τ , đồng thời thỏa mãn điều kiện Holder theo x, u, p với mũ α > theo τ ∈ [0, 1] (c) Các hàm (x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) ∂ai ∂ai ∂ai , , ∂pj ∂u ∂xj ¯ |u| ≤ M, |p| ≤ M1 } liên tục theo với tư cách hàm C 0,α {x ∈ Ω, tham số τ ∈ [0, 1] ¯ ϕ ∈ C 2,α (Ω) ¯ (d) S ∈ C 2,α (Ω) Các điều kiện đảm bảo cho đánh giá tiên nghiệm bên áp dụng 39 Nguyên lý Leray- Shauder Chọn không gian Banach Chọn Ánh xạ ¯ H = C 1,β (Ω) M⊂H Φτ : M −→ M v ∈ M −→ w = Φ(v, τ ) ∈ M ¯ w(x) = Φ(v, τ ) ∈ C 2,α (Ω) Khi đó, ¯1 (1) (2) Φ(v, τ ) hoàn toàn liên tục, liên tục M n (3) Ta mở rộng max |v(x)| ≤ M +ε, Ω max |∇u(x, τ )| ≤ M1 +ε, Ω |uxi |β,Ω ≤ i=1 M2 + ε với ε > 0, biên M khơng chứa nghiệm phương trình (2.38) (4) Với τ = tốn (2.35) ln có hữu hạn nghiệm Ánh xạ Φ(v, τ ) thỏa mãn điều kiện định lý Ledray - Shauder Do đó, Theo Ngun lý Leray- Shauder Bài tốn (2.36) có nghiệm ¯ với τ ∈ [0, 1] u(x, τ ) ∈ C 2,α (Ω) Khi τ = ta có nghiệm tốn ban đầu 40 Kết luận Luận văn trình bày nghiên cứu phương trình elliptic cấp hai, đặc biệt lớp phương trình tuyến tính dạng bảo tồn Chương 1, chuẩn bị kiến thức không gian Banach, cụ thể là, không gian Sobolev , không gian Holder, không gian Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ), Định lý Leray-Schauder kết cần thiết để làm sở cho việc phát triển chương Chương 2, trình bày kết tính giải (địa phương) phương trình elliptic tuyến tính dạng bảo tồn Các kết trình bầy mục 2.1 đến 2.7, với định lý tính nghiệm miền đủ nhỏ, đánh giá độ biến thiên nghiệm bên miền biên miền Ω Bên cạnh đó, luận văn đưa đánh giá đạo hàm cấp cao nghiệm, từ dẫn đến tính giải tốn Luận văn trình bày lí thuyết kết quan trọng phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn Tuy nhiên, có số kết chưa đề cập hết luận văn Điều này, phần lượng tri thức phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn lớn, mà khả em có hạn Phần nữa, để đảm bảo tính ngắn gọn, súc tích luận văn, em chọn lựa trình bày vấn đề quan trọng kết bật Mặc dù cố gắng hết sức, luận văn nhiều sai sót Em mong 41 nhận góp ý thầy bạn để luận văn hoàn thiện 42 Tài liệu tham khảo [1] Ladyzhenskaya, Olga A and Ural’tseva, Nina N, (1968) Linear and quasilinear elliptic equations Academic Press, New York and London [2] Leray J and Schauder J Topologie et equations fonctionnelles Ann Ec N Sup., 51, 45-78 (1934) [3] Ladyzhenskaya, O A and N N Ural’tseva The variational problems and quasilinear elliptic equations with several independent variables Doklady Akad Nauk, USSR, 135, No.6, 1330-1334 (1960) [4] Ladyzhenskaya, O A and N N Ural’tseva Quasilinear elliptic equations variational problems with several independent variables Upekhi matematicheskikh nauk, XVI, No.1 (97), 19-90 (1961) [5] Ural’tseva, N N The regularity of solutions of many-dimensional elliptic equations and variational problems Doklady Akad Nauk, USSR, 130, No.6, 1206-1209 (1960) [6] Sobolev, S L Applications of functional analysis in mathematical physics Providence, Rhore Island, American Mathematical Society (1963) 43 [7] Smirnov, V I A course of higher mathematics Vol 5, Reading, Mass., Addison and Wesley (1964) 44 ... rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn 2.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn Nghiệm suy rộng bị chặn 2.2 Tính nghiệm toán Dirichlet... miền Các phương trình elliptic tuyến tính sau có lịch sử phát triển lâu dài, có khác biệt so với phương trình tuyến tính số hệ phương trình phụ thuộc vào ẩn hàm chí đạo hàm cấp ẩn hàm Vì khái niệm... 0, phương trình (1.3) có số hữu hạn (khác khơng) nghiệm M 10 Chương Nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn Trong phần này, trình bày nghiên cứu dạng đặc biệt phương