Định nghĩa
Cho Ω là một tập hợp khác rỗng Một lớp F các tập con của Ω được gọi là σ-đại số nếu thỏa mãn 3 điều kiện:
(3) Nếu A 1 , A 2 , , A n , ∈ F thì S∞ n=1A n ∈ F. Định nghĩa 1.1 Cho F là một σ-đại số trên tập Ω Hàm tập hợp P :
F → R được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện:
(3) Nếu A1, A2, , An, ∈ F ,Ai ∩Aj = ∅ với mọi i ̸= j, thì
P(A n ) Định nghĩa 1.2 Bộ ba (Ω,F,P), trong đó:
(1) Ω là một tập khác rỗng
(2) F là một σ-đại số trên tập Ω
P là một độ đo xác suất trên không gian xác suất F, trong đó mỗi phần tử A ∈ F được gọi là biến cố và P(A) là xác suất của biến cố A Theo quan điểm thống kê, khi thực hiện phép thử m lần và biến cố A xuất hiện n lần, tỉ số fm = m/n được gọi là tần suất xuất hiện của A Khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất f_n sẽ tiến đến một hằng số xác định, được gọi là xác suất của biến cố.
Khi số phép thử n lớn, tần suất f n có thể được xem như là xác suất xuất hiện của biến cố A Theo định nghĩa cổ điển, trong một thí nghiệm với n(Ω) < +∞ và các kết quả đồng khả năng, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) Do đó, xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A), được xác định bằng công thức cụ thể.
P(A) = n(A) n(Ω). Định nghĩa 1.5 Biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A¯, được xác định:
A¯ = Ω\A Điều này có nghĩa, biến cố đối của biến cố A là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
Ví dụ 1.1 Trong một hộp có 6 quả cầu xanh và 4 quả cầu Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu đỏ Tìm xác suất lấy được cả 2 loại quả cầu?.
Giải Gọi A là biến cố lấy được cả hai loại quả cầu Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = C 10 4 = 210.
Số phần tử của biến cố A là: n(A) = C 6 1 C 4 3 +C 6 2 C 4 2 +C 6 3 C 4 1 = 194.
Vậy xác suất cần tìm là:
Ví dụ 1.2 Một đoàn tàu có 3 toa Có 15 khách lên ngẫu nhiên 3 toa tàu. Biết mỗi toa chứa được 15 khách Tính xác suất để toa 1 có 4 khách?
Giải GọiA là biến cố "toa 1 có 4 khách" Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 3 15
Số phần tử của biến cố A là: n(A) =C 15 4 2 11 Vậy xác suất cần tìm là:
Trong một rổ cam có 12 quả, trong đó có 3 quả hỏng, nếu chia đều cho 3 người, mỗi người sẽ nhận 4 quả Để tính xác suất người thứ nhất nhận ít nhất 1 quả hỏng, chúng ta cần phân tích các khả năng nhận quả cam của người này.
Giải Gọi A là biến cố "người thứ nhất không có ít nhất một quả hỏng". Suy ra biến cố đối của A là A¯ "không có quả hỏng nào".
Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) =C 12 4 C 8 4 C 4 4
Số phần tử của biến cố A¯ là: n( ¯A) = C 9 4 C 8 4 C 4 4
Do đó xác suất biến cố A¯ là:
55. Vậy xác suất cần tìm là:
Trong một tình huống, một người gọi điện thoại nhưng quên mất hai chữ số cuối cùng, chỉ nhớ rằng hai chữ số này khác nhau Để tính xác suất gọi trúng số điện thoại chỉ với một lần bấm, cần xác định tổng số khả năng kết hợp của hai chữ số khác nhau trong dãy số điện thoại.
Chứng minh Gọi B là biến cố "quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi".
Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = A 2 10 = 90.
Số phần tử của biến cố B là: n(B) = 1.
Vậy xác suất của biến cố B là:
Trong bài toán này, chúng ta sử dụng các chữ số từ 0 đến 9 để tạo ra các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau Khi chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số đã lập, chúng ta cần tính xác suất để số đó có các chữ số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần từ trái qua phải Việc này yêu cầu phân tích số lượng các số thỏa mãn điều kiện sắp xếp và so sánh với tổng số các số có thể tạo ra.
Giải Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số đã cho là 9.9.8.7.6 = 27216.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là : n(Ω) = C 27216 1 = 27216.
Gọi A là biến cố "chọn được số mà các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần (theo thứ tự từ trái qua phải)".
Số phần tử của biến cố A là: n(A) =C 9 5 +C 10 5 = 378.
Vậy xác suất của biến cố A là:
Ví dụ 1.6 Có 4 nam 4 nữ xếp vào 2 hàng ghế, mỗi hàng có 4 ghế kê đối diện nhau Tính xác suất để nam nữ ngồi đối diện nhau?
Giải Ta có số phần tử của không gian mẫu là : n(Ω) = 8!.
Gọi A là biến cố "nam nữ ngồi đối diện nhau" Ta có :
Vị trí thứ nhất có 8 cách xếp, vị trí đối diện có 4 cách xếp.
Vị trí thứ hai có 6 cách xếp, vị trí đối diện có 3 cách xếp.
Vị trí thứ ba có 4 cách xếp, vị trí đối diện có 2 cách xếp.
Vị trí thứ tư có 2 cách xếp, vị trí đối diện có 1 cách xếp.
Số phần tử của biến cố A là: n(A) = (8.4.8.3.4.2).2.
Vậy xác suất của biến cố A là:
Trong một lớp học gồm 12 học sinh, có 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá và 3 học sinh trung bình, giáo viên dự định chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 3 học sinh để làm 4 bài tập khác nhau Câu hỏi đặt ra là xác suất để mỗi nhóm đều có ít nhất một học sinh giỏi và một học sinh khá.
Giải Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số đã cho là 9.9.8.7.6 Ta có số phần tử của không gian mẫu là : n(Ω) = C 12 3 C 9 3 C 6 3 C 3 3
Xếp 4 học sinh khá vào 4 nhóm khác nhau có 4! cách.
Trong việc xếp 5 học sinh giỏi vào 4 nhóm, có 1 nhóm gồm 2 học sinh giỏi Việc chọn nhóm này có 4 cách khác nhau Sau khi chọn ra 2 học sinh giỏi từ 5 học sinh giỏi, có C(5, 2) cách để thực hiện Tiếp theo, 3 học sinh giỏi còn lại sẽ được xếp vào 3 nhóm với 3! cách sắp xếp.
Xếp 3 học sinh trung bình vào 3 nhóm có 3! cách.
Gọi A là biến cố "chọn được nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá".
Số phần tử của biến cố A là: n(A) = 4!4.C 5 2 3!3!.
Vậy xác suất của biến cố A là:
Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B với P(B) > 0 Khi đó xác suất có điều kiện của A với điều kiện biến cố B xảy ra, kí hiệu P(A|B) xác định như sau
Trong một ví dụ về đấu thầu, một công ty tham gia hai dự án A và B với xác suất thắng thầu lần lượt là 0,6 và 0,7 Xác suất thắng thầu đồng thời cho cả hai dự án là 0,5 Để tính toán xác suất, trước tiên, ta cần xác định xác suất công ty thắng thầu dự án A khi đã biết công ty thắng thầu dự án B Tiếp theo, ta cũng cần tính xác suất công ty không thắng thầu dự án B khi đã thắng thầu dự án A.
Giải Gọi A, B là các biến cố công ty thắng dự án A, B Theo giả thiết
Các công thức tính xác suất
1.3.1 Công thức cộng xác suất
Cho n biến cố A 1 , , A n Khi đó:
Nếu các biến cố đôi một xung khắc đôi một với nhau thì
Ví dụ 1.9 Một lô hàng có 15 thiết bị, trong đó có 6 thiết bị do nhà máy
X sản xuất, 9 thiết bị do nhà máy Y sản xuất Người ta chọn ngẫu nhiên
Để kiểm tra tính xác suất của bốn thiết bị do cùng một nhà máy sản xuất, ta cần phân tích các khả năng Đầu tiên, xác suất để cả bốn thiết bị đều thuộc về nhà máy này có thể được tính toán dựa trên tỷ lệ sản xuất của từng nhà máy Thứ hai, để xác định xác suất có ít nhất một thiết bị được chọn từ nhà máy X, ta sẽ xem xét các trường hợp và áp dụng quy tắc xác suất bổ sung Việc nắm rõ các công thức và phương pháp tính toán sẽ giúp đưa ra kết luận chính xác về sự phân bố của các thiết bị.
Giải Gọi A, B là các biến cố chọn được do nhà X, Y sản xuất Ta có
A, B xung khắc. a/Xác suất cả 4 thiết bị do cùng 1 nhà máy sản xuất là:
455. b/ Gọi C là biến cố có ít nhất 1 thiết bị được chọn do nhà máy X sản xuất Ta có:
Trong một lớp học có 20 sinh viên, có 10 sinh viên biết tiếng Anh, 12 sinh viên biết tiếng Pháp, và 7 sinh viên thành thạo cả hai ngoại ngữ Khi chọn ngẫu nhiên một sinh viên, ta cần tính xác suất để sinh viên đó biết ít nhất một ngoại ngữ.
Giải Gọi A, B là các biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Anh, Pháp. Lúc đó xác suất cần tìm là:
1.3.2 Hai biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được coi là độc lập khi sự xảy ra hoặc không xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố còn lại Để tính xác suất của hai biến cố độc lập, ta sử dụng công thức nhân xác suất.
Cho 2 biến cố A, B với P(A) > 0 Khi đó ta có
P(A) ⇒ P(AB) = P(A)P(B|A) =P(B)P(A|B). Khi các biến cố A, B độc lập thì
Trong một tình huống có hai xạ thủ bắn vào một mục tiêu một cách độc lập, với xác suất bắn trúng lần lượt là 0,3 và 0,4, ta cần tính xác suất để cả hai xạ thủ đều bắn trúng mục tiêu Xác suất này có thể được tính bằng cách nhân xác suất bắn trúng của từng xạ thủ với nhau, cụ thể là 0,3 nhân với 0,4, cho ra kết quả xác suất mà cả hai xạ thủ cùng thành công trong việc bắn trúng mục tiêu.
Giải Gọi A, B là các biến cố để hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu Lúc đó xác suất cần tìm là:
Trong ví dụ này, có hai hộp chứa các chi tiết khác nhau: hộp thứ nhất có 10 cái ốc, trong đó có 6 cái tốt, và hộp thứ hai có 15 cái vít, với 9 cái tốt Khi lấy ngẫu nhiên một bộ phận từ mỗi hộp, cần tính xác suất để chọn được một bộ ốc vít tốt Giả sử rằng các bộ ốc vít này có cùng kích cỡ.
Gọi A và B lần lượt là các biến cố liên quan đến việc chọn ốc tốt từ hộp thứ nhất và chọn vít tốt từ hộp thứ hai Biến cố X được định nghĩa là việc chọn được một bộ ốc vít tốt.
Ta có X = A.B Vì A;B là các biến cố độc lập nên suy ra:
Trong một bài toán xác suất, ba xạ thủ bắn độc lập vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng lần lượt là 0,2, 0,3 và 0,4 Để tính xác suất mục tiêu bị trúng đạn, ta cần xác định xác suất ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng Xác suất không bị trúng của từng xạ thủ lần lượt là 0,8, 0,7 và 0,6 Từ đó, xác suất mục tiêu không bị trúng đạn là tích của các xác suất không trúng của từng xạ thủ Cuối cùng, xác suất mục tiêu bị trúng đạn sẽ là 1 trừ đi xác suất không bị trúng.
Giải Gọi Ai, i = 1; 2; 3 là các biến cố xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu. Suy ra biến cố A¯ i là biến cố xạ thủ i bắn không trúng mục tiêu.
Mục tiêu bị trúng đạn khi có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.
Gọi X là biến cố mục tiêu bị trúng đạn Suy ra X¯ là biến cố mục tiêu không bị trúng đạn Ta có X¯ = ¯A1.A¯2.A¯3.
2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.6 Cho không gian xác suất (Ω,F, P) Ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi A∈ B(R):
X −1 (A) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A} ∈ F Tập tất cả các giá trị của X được gọi là miền giá trị của X và kí hiệu là
Biến ngẫu nhiên là một đại lượng có khả năng nhận các giá trị khác nhau, tùy thuộc vào kết quả của một phép thử ngẫu nhiên.
Ví dụ 1.14 Gieo ngẫu nhiên 3 đồng xu.
- Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện Khi đó X là 1 biến ngẫu nhiên nhận giá trị 0,1,2,3.
Trong một ngày, số người đến mua hàng tại cửa hiệu tạp hóa M được ký hiệu là Y, với Y là một biến ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, và tiếp tục như vậy Định nghĩa 1.7 nêu rõ rằng đối với biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối của X, được ký hiệu là F_X(x), được xác định theo một cách cụ thể.
Phân phối rời rạc
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị X(Ω) Khi đó hàm p(x)
0, x /∈ X(Ω), được gọi là hàm khối xác suất.
Trong trường hợp X(Ω) = {x 1 ; xn} hữu hạn và pi = P(X = xi) ta có bảng phân phối xác suất
Ví dụ 1.15 Một lô sản phẩm có 12 sản phẩm, trong đó 8 sản phẩm chính và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Gọi X là số chính phẩm trong
2 sản phẩm lấy ra Tìm phân phối của X, xác định hàm phân phối và tính xác suất P(1 ⩽ X 0 thì
- Phân phối đều: Nếu X có phân phối đều trên đoạn [a, b] thì
- Phân phối mũ: Nếu X có phân phối mũ với tham số λ > 0 thì
- Phõn phối chuẩn: Nếu X cú phõn phối chuẩn với tham số à và σ 2 thỡ
2 Bất đẳng thức về kỳ vọng và phương sai
Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) Lúc đó, kỳ vọng E(X) được xác định bởi:
E(X) Z b a tf(t)dt và phương sai σ 2 (X) được xác định: σ 2 (X) Z b a
Các bất đẳng thức bổ sung i/ Bất đẳng thức Holder trong tích phân:
Vớif(x);g(x) là các hàm khả tích liên tục trên đoạn [a;b] vàp, q > 1thỏa
Dấu "=" xảy ra khi tồn tại hai số thực m, n khác 0 sao cho m|f(x)| p n|f(x)| q ii/ Bất đẳng thức Gruss trong tích phân:
Cho f, g : [a;b] −→R là các hàm khả tích trên [a;b] và thỏa điều kiện: ϕ ≤ f(x) ≤Φ;γ ≤ g(x) ≤ Γ,∀x ∈ [a;b] (b)
4(Φ−ϕ)(Γ−γ) iii/ Bất đẳng thức Chebyshev: Nếu các hàm f, g : [a, b] → R đơn điệu cùng chiều thì:
Chú ý i/ Kí hiệu L p [a, b] là không gian các hàm số f(x) xác định trên [a, b] với chuẩn ∥ ã ∥ p :
∥ f ∥ p = inf{λ : |f(x)| ≤λ} ii/ Phần dư tích phân trong công thức Taylor:
Tập giá trị của biến ngẫu nhiên có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, nhưng trong thực tế, giá trị này thường được giả định nằm trong các miền hữu hạn do các yếu tố như năng lực sản xuất, thời gian và tài chính Do đó, trong các kết quả tiếp theo, chúng ta giả thiết rằng X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong khoảng [a, b] hữu hạn Định lý 2.1 chỉ ra rằng nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục xác định trên [a; b] với hàm mật độ f(x), thì sẽ có một bất đẳng thức liên quan.
Từ đó Rb a f(t)dt= 1 và Rb a(t−E(X))f(t)dt = 0.
Do đó bất đẳng thức đầu tiên trong (2.1) được thiết lập.
Bất đẳng thức thứ 2 trong (2.1) được xuất phát từ kết quả cơ bản là αβ ≤ 1
4(α +β) 2 ;α, β ∈ R,với α = b−E(X);β = E(X)−a. Định lý 2.2 [7] Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục xác định trên [a;b] có hàm mật độ f(x) Lúc đó, nếu f ∈ L p [a;b], p > 1, ta có bất đẳng thức:
Chứng minh Bất đẳng thức đầu tiên trong (2.2) đạt được từ:
6 ∥f∥ ∞ Bất đẳng thức thứ 2 là hiển nhiên theo Bất đẳng thức Holder.
Bất đẳng thức (2.3) cho thấy rằng nếu m ≤ f ≤ M trên đoạn [a;b], thì m(t−a)(b−t) ≤ (t−a)(b−t)f(t) ≤ M(t−a)(b−t) Kết quả này được xác lập bằng cách tính tích phân trên đoạn [a;b] Để chứng minh bất đẳng thức (2.4), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức "Gruss" để thiết lập mối quan hệ cần thiết.
1 2 với g, h : [a;b] → R là các hàm sao cho các tích phân (2.6) tồn tại hữu hạn và γ ≤ h ≤ ϕ trên [a;b].
Chọn trong (2.6) h(t) =f(t);g(t) = (t−a)(b−t) sau đó cho:
Do đó (2.7) suy ra được rằng:
Định lý 2.3 chứng minh rằng, với biến ngẫu nhiên X và hàm mật độ xác suất f liên tục tuyệt đối trên khoảng [a;b], nếu f' thuộc L∞[a;b], thì các điều kiện liên quan đến hàm mật độ xác suất sẽ được thỏa mãn.
√5 60π∥f ′ ∥ 2 (b−a) 3 (2.9) Chứng minh Ta cú ôbất đẳng thức Chebyshevằ:
Trong điều kiện g, h: [a;b] → R được xác định trên đoạn [a;b], các tích phân liên quan phải tồn tại và hữu hạn, với h liên tục và h' ∈ L ∞ [a;b] Đặt h(t) = f(t) và g(t) = (t−a)(b−t) trong (2.10).
Chỳng ta suy ra phần 2 của định lý bằng ôbất đẳng thức Luspasằ như sau:
Bây giờ, hãy xem xét công thức (2.11) với h(t) = f(t) và g(t) = (t−a)(b−t) để chứng minh điều cần thiết Định lý 2.4 chỉ ra rằng nếu X là biến ngẫu nhiên và f : [a, b] → R là hàm mật độ của X, thì khi f (n) (n ≥ 0) liên tục tuyệt đối trên đoạn [a;b], sẽ có bất đẳng thức liên quan.
Trong đó ∥ ∥ p ; (1 ≤ p ≤ ∞) là các chuẩn thông thường trên [a;b], tức là:
Chứng minh Công thức Taylor với phần dư tích phân: f(t) n
Ta đặt t = (1ưu)a+ ub, ta có
(t−s) n f (n+1) (s)ds|dt=: M(a;b). Mặt khác, với mọi t ∈ [a;b] ta có:
≤ ∥f (n+1) ∥ ∞ (t−a) n+1 n+ 1 Theo bất đẳng thức Holder ta có:
Cuối cùng ta thấy rằng:
(n+ 2)(n+ 3). Vậy (2.12) đã được chứng minh.
3 Ứng dụng của các số đặc trưng
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên phản ánh giá trị trung bình của nó, mang lại ý nghĩa thú vị trong các trò chơi may rủi Trong những trò chơi này, nếu số tiền đặt cược trong mỗi ván không đổi, trò chơi được coi là công bằng khi kỳ vọng số tiền nhận được trong mỗi lần chơi bằng, lớn hơn hoặc nhỏ hơn số tiền đặt cược Để làm rõ hơn, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ.
Một người tham gia trò chơi may rủi với mức cược 10.000 đồng mỗi ván và tung hai đồng xu Nếu kết quả có i mặt sấp, người chơi sẽ nhận được (i + 1) * 5.000 đồng, với i = 1 hoặc 2 Ngược lại, người chơi sẽ mất tiền Câu hỏi đặt ra là liệu người này có nên chơi trò này thường xuyên hay không?
Giải Gọi X nghìn đồng là số tiền người này nhận được trong 1 lần chơi.
Ta có, X nhận các giá trị 1;10;15 Bảng phân phối của X là:
E(X) = Pp i x i = 8,75 (nghìn đồng) cho thấy số tiền kỳ vọng của người chơi thấp hơn số tiền đã đặt cược Điều này có nghĩa là nếu người này tiếp tục chơi, khả năng thua lỗ sẽ tăng lên Do đó, người chơi không nên tham gia trò chơi này thường xuyên.
Trong trò chơi này, người chơi có 3 bánh xe giống nhau, mỗi bánh được chia thành 6 phần và đánh số từ 1 đến 6 Người chơi sẽ đặt cược vào một ô cụ thể, và nếu số bánh xe quay trúng ô đã chọn, số tiền thắng sẽ gấp i lần số tiền đặt cược cộng với vốn gốc Ngược lại, nếu không trúng, người chơi sẽ mất số tiền đã đặt cược.
Đặt 10 nghìn vào ô số 6; nếu có 2 trong 3 bánh xe quay vào ô này, bạn sẽ nhận được 30 nghìn (20 nghìn cộng với 10 nghìn đã đặt) Ngược lại, nếu không có bánh xe nào quay trúng ô số 6, bạn sẽ mất 10 nghìn.
Phân tích sai lầm trong trò chơi này cho thấy rằng nhiều người lầm tưởng rằng với ba lần quay bánh xe, cơ hội thắng sẽ cao hơn Tuy nhiên, suy nghĩ này chỉ là một ảo tưởng Để hiểu rõ hơn về xác suất và khả năng thắng, bạn cần phải tính toán một cách chính xác.
Kết quả quay bánh xe sẽ tạo ra bộ 3 số (a, b, c) Mỗi bánh xe có 6 khả năng xảy ra (từ số 1 đến số 6), do đó tổng cộng có 6.6.6 = 216 trường hợp khác nhau của bộ (a, b, c).
Trường hợp 1:(a, b, c) khác nhau đôi một Số trường hợp của a là 6, của b là 5, của c là 4 Nên suy ra có 6.5.4 = 120 trường hợp.
Khi đó nếu đặt x đồng vào 1 ô nào đó, thì số trường hợp trúng là 1, còn
2 lần trật Nên số trường hợp trúng là 1.5.4.3 = 60 (nhân 3 cuối là có thể trúng lần 1,2,3).
Trường hợp 2:(a, b, c) đều giống nhau Số trường hợp xảy ra trong này là
Khi đó nếu đặt x đồng vào 1 ô nào đó, thì số trường hợp trúng là 1. Trường hợp 3:(a, b, c) có 2 trong 3 số giống Số trường hợp xảy ra trong này là 216−120−6 = 90
Khi đó nếu đặt x đồng vào 1 ô nào đó, thì số trường hợp trúng là:
Trong đó: trúng được 2x đồng là 1.1.5.3 = 15 trường hợp Trúng được x đồng là 1.5.1.3 = 15 trường hợp
Tổng kết lại : Nếu đặt x đồng thì lợi nhuận trung bình của chủ tiệm sẽ như sau:
Như vậy ta thấy nếu đặt x đồng thì thu được là 17x 216 lợi nhuận.
Ví dụ nếu 1 ngày khách đặt 500 nghìn đồng vào trò chơi thì lợi nhuận thu được của chủ tiệm là 39,35 nghìn đồng.
Tất cả các trò chơi may rủi đều đã được chủ tiệm tính toán kỹ lưỡng để đảm bảo lợi nhuận, đồng thời họ còn áp dụng nhiều chiêu trò để thu hút người chơi Vì vậy, lời khuyên dành cho bạn là nên cẩn trọng khi tham gia vào những trò chơi này, vì khả năng thua lỗ là rất cao.
Trong trò chơi gieo ba đồng tiền, người tham gia nhận được 500đ nếu xuất hiện 3 mặt sấp, 300đ cho 2 mặt sấp, và 100đ cho 1 mặt sấp Ngược lại, anh ta sẽ mất 900đ nếu toàn bộ là mặt ngữa Để xác định tính công bằng của trò chơi, cần xem xét liệu sau nhiều lần tham gia, người chơi có thể hòa vốn hay không.
Giải Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền nhận được khi anh ta tham gia trò chơi.
X(Ω) ={−900; 100; 300; 500}. Đăt A là biến cố "gieo lần thứ i xuất hiện mặt sấp" i ∈ {1; 2; 3}
Ta có bảng phân phối của X: Bảng phân phối của X là:
8 = 100 Vậy một ván chơi anh ta thắng 100 đồng Do đó trò chơi không công bằng.
Để tổ chức trò chơi gieo xúc xắc, người chơi sẽ tham gia ba lần và có các mức thưởng khác nhau tùy vào số lần xuất hiện mặt 1 Cụ thể, nếu xuất hiện mặt 1 cả ba lần, người chơi nhận 6 nghìn đồng; hai lần thì nhận 4 nghìn; một lần thì nhận 2 nghìn; và không có mặt 1 nào thì không được thưởng Để đảm bảo người tổ chức thu được lợi nhuận, cần xác định mức phí tham gia M nghìn đồng cho mỗi người chơi.
Giải Gọi X là số tiền còn lại sau mỗi lần tham gia trò chơi.
Ta có bảng phân phối xác suất của X như sau:
Do đó để trò chơi thu được lời thì E(X) > 0 hay M −1> 0 hay M > 1. Vậy M > 1 là giá trị cần tìm.
