số bất đẳng thức so sánh về moment giữa các biến ngẫu nhiên liên kết âm và các biến ngẫu nhiên độc lập
Kiến thức chuẩn bị
1.1.1 Định nghĩa [2] Họ hữu hạn {F i , i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu
Họ vô hạn {F i , i ∈ I} các σ -đại số con của F được gọi là độc lập nếu mỗi họ con của nó độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên X i , i∈ I được gọi là độc lập nếu họ các σ -đại số sinh bởi chúng {F(X i ), i ∈ I} là độc lập.
Họ các biến cố {A i , i ∈ I} ⊂ F được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên {I A i , i ∈ I} là độc lập.
1.1.2 Covariance Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên Khi đó, covari- ance của X và Y, ký hiệu là cov(X, Y), được định nghĩa bởi cov(X, Y) = E(X −EX)(Y −EY).
Rõ ràng là nếu X và Y độc lập thì cov(X, Y) = 0.
1.1.3 Bất đẳng thức Markov [2] Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, với mọi ε > 0 ta có
P(X ≥ ε) ≤ EX ε 1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev [1] Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ Khi đó nếu tồn tại DX thì với mọi ε > 0 ta có
Theo định nghĩa, dãy hữu hạn các biến ngẫu nhiên {X i ,1 ≤i ≤n} được gọi là liên kết âm nếu covariance giữa các hàm không giảm f và g của các biến trong các tập con rời nhau A và B là không dương, tức là cov{f(X i , i ∈ A), g(X j , j ∈ B)} ≤ 0 cho mọi cặp A và B thuộc tập {1, , n} Điều này có nghĩa là sự biến đổi của các biến trong tập A có thể làm giảm sự biến đổi của các biến trong tập B.
Một dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi, i≥ 1}được gọi là liên kết âm nếu với mọi n ≥ 1, dãy hữu hạn {X i ,1≤ i ≤ n} là liên kết âm.
Dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm có một tính chất rất quan trọng sau đây Tính chất này được chứng minh bởi Joag-Dev và Proschan [5].
1.1.6 Bổ đề [5] (Joag-Dev và Proschan) Giả sử {X i , i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, {A i , i ≥ 1} là dãy các tập con đôi một rời nhau của tập {1,2, }, f i : R |A i | → R, i ≥1, là các hàm không giảm theo tọa độ Khi đó dãy {f i (X j , j ∈ A i ), i ≥1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Để bước sang phần trình bày các kết quả chính của chương 1, chúng tôi đưa ra bốn tính chất trong giải tích cổ điển.
1.1.7 Bổ đề [6] Với mọi hàm lồi f, đạo hàm phải f + 0 luôn tồn tại và không giảm Hơn nữa, ta có f(b)−f(a) Z b a f + 0 (t)dt với mọi số thực a, b.
1.1.8 Bổ đề [6] Với mọi 1 < p ≤2 và với mọi số thực x ta có
1.1.9 Bổ đề [6] Với mọi số thực x ≥ 0 ta có ln(1 + x) ≥ x
3ln(1 + x) 1.1.10 Bổ đề (Kronecker) Giả sử {x n , n ≥ 1} là dãy các số thực và {b n , n ≥ 1} là dãy các số dương không giảm đến +∞: 0< b1 < b2 < < bn → ∞ Khi đó, nếu
Một số bất đẳng thức so sánh về moment giữa các biến ngẫu nhiên liên kết âm và các biến ngẫu nhiên độc lập
các biến ngẫu nhiên liên kết âm và các biến ngẫu nhiên độc lập
Bất đẳng thức so sánh về moment là công cụ hữu ích trong việc thiết lập các định lý giới hạn Trong quá trình chứng minh, các biến ngẫu nhiên ký hiệu có dấu ∗ được hiểu là độc lập và cùng phân phối với biến ngẫu nhiên ban đầu Cụ thể, X 1 ∗ , X 2 ∗ , , X n ∗ là các biến ngẫu nhiên độc lập, với X i ∗ có cùng phân phối với X i cho mọi i.
1.2.1 Định lý Giả sử {X i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, và {X i ∗ ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho với mỗi 1≤ i ≤ n, X i ∗ và Xi cùng phân phối Khi đó
X i ∗ (1.2) với mọi hàm lồi f Nếu f là hàm lồi không giảm, thì
Chúng ta sẽ chứng minh (1.2) bằng phương pháp quy nạp theo n Giả sử Y1 và Y2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập, với (Y1, Y2) độc lập và cùng phân phối với (X1, X2) Theo Bổ đề 1.1.7, ta có công thức f(X1 + X2) + f(Y1 + Y2) - f(X1 + Y2) - f(Y1 + X2).
Vìf + 0 (x+t)vàI(x > t)là hàm không giảm theoxvới mỗit, nênf + 0 (X1+t) và I(X2 > t) là liên kết âm Theo định lý Fubini, ta có
Cov(f + 0 (X1 +t), I(X2 > t))dt≤ 0 (1.4) Điều này chứng minh (1.2) cho trường hợp n = 2 Giả sử (1.2) đúng với n−1≥ 2 Ta đặt
Theo giả thiết quy nạp, ta có g(x) ≤ Ef(x+ n−1
Theo Bổ đề 1.1.6, ta có S n−1 và X n là hai biến ngẫu nhiên liên kết âm Do đó, theo (1.5) ta suy ra
X i ∗ ). Điều này chứng tỏ (1.2) đúng với n. Để chứng minh (1.3), ta ký hiệu
1≤i≤kSbi. Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi n và với mọi số thực a và b
Ef(max(a, b + max(0, M n ))) ≤ Ef(max(a, b+ max(0,Mc n ))) (1.6) Thật vậy, giả sử (1.6) đúng Khi đó, ta ký hiệu g 1 (x) sup> max{x, x+ max{0, max
2≤k≤n(S k −X 1 )}} Điều này kéo theo g 1 (x) ≤ Ef max{x, x+ max{0, max
Bổ đề 1.1.6 kéo theo rằng X 1 và max{0,max 2≤k≤n (S k −X 1 )} là liên kết âm Do đó
= Ef(Mc i ). Điều này có nghĩa là (1.3) đúng.
Bây giờ ta chứng minh (1.6) bằng phương pháp quy nạp theo n Dễ thấy rằng X 1 và max(0, X 2 ) là liên kết âm, M 2 = X 1 + max(0, X 2 ), và h(x) := f(max(a, b+ max(0, x)))
= max(f(max(a, b)), f(b+x)) là hàm lồi Theo (1.2) ta có
Ef(max(a, b+ max(0, M1))) = Eh(X1 + max(0, X2))
= Ef(max(a, b+ max(0,Mc 2 ))). Điều này chứng minh(1.6) cho trường hợp n = 2 Giả sử (1.6) đúng đối với n−1≥ 2 Đặt
1≤i≤n−1(Sb i+1 −X 1 ∗ ), và u(x) = Ef maxna, b+ max{0, x+ max{0, M 1 (n−1)}}o.
Theo giả thiết quy nạp, ta có u(x) ≤ Ef maxna, b+ max{0, x+ max{0,Mc 1 (n−1)}}o (1.8)
Theo Bổ đề 1.1.6, ta suy ra X 1 và M 1 (n−1) là liên kết âm Do đó
≤ Ef max{a, b+ max{0, X 1 ∗ + max{0, M 1 (n−1) ∗ }}} (theo (1.2))
≤ Ef max{a, b+ max{0, X 1 ∗ + max{0,Mc 1 (n−1)}}} (theo(1.8))
Định lý này đã được chứng minh hoàn toàn, cho thấy rằng bất đẳng thức quen thuộc đối với tổng các biến ngẫu nhiên độc lập vẫn áp dụng được cho tổng các biến ngẫu nhiên liên kết âm Cụ thể, điều này được thể hiện qua công thức Ef max{a, b + max{0, Mc n}}.
1.2.2 Bổ đề [3] Giả sử f(.) là hàm lồi không giảm trong[0,∞), với n≥ 1 và a ∈ R thì
Ef((M n −a) + ) ≤ 2Ef((S n −a) + )−f(0) trong đó S 0 = 0, S k = P k i=1 X i , M n = max
0≤k≤nS k Kết quả này được dùng để chứng minh Định lý 1.2.3 với f(x) = x, x ∈ [0,∞), a = 0, n≥ 1 nên
1.2.3 Định lý Giả sử 1 ≤ p ≤ 2, {X i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm thỏa mãn EX i = 0, E|X i | p < ∞ với mọi i, và {X i ∗ ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho với mỗi
1≤ i ≤ n, X i ∗ và X i cùng phân phối Khi đó
Chứng minh Xét f(x) = |x| p là hàm lồi không giảm trên [0,∞) Từ Định lý 1.2.1 có (1.2) trực tiếp suy ra (1.9) Ta kí hiệu f(x) = max(x,0) p , X i + = max(X i ,0), X i − = max(−X i ,0) Khi đó, X i X i + −X i −
Do đó, ta cần chứng minh
Bây giờ ta sẽ lần lượt đánh giá từng số hạng ở (1.12)
X i ∗ ,0) p (do Bổ đề 1.2.2) (1.13) Không mất tính tổng quát, ta có
Từ (1.13) và (1.14)ta thu được
Từ Bổ đề 1.1.8, ta dễ thấy
Từ(1.10 ) và (1.15 ) ta thu được (1.11 ). Định lý được chứng minh.
1.2.4 Nhận xét Từ định lý trên một số nhà khoa học đã nghiên cứu mở rộng trong trường hợp p≥ 2 như Su và Wang [8 ] đã chỉ ra rằng
E|X i | p o với p ≥ 2, Cp chỉ phụ thuộc vào p Đồng thời Zhao [9 ] cũng chỉ ra kết quả tương tự
1.2.5 Bổ đề Nếu {T i ,1 ≤ i ≤ n} là martingale trên không âm thì với
Chứng minh Từ kết quả của Stout [7 ] ta có
Bổ đề được chứng minh.
1.2.6 Định lý Giả sử {X i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm thỏa mãn EX i = 0, EX i 2 < ∞ với mọi i Đặt S k k
EX i 2 Khi đó với mọi x > 0, a > 0 và 0< α < 1,
Chứng minh Do (1.18) được suy ra trực tiếp từ (1.17), vì
Và (1.19) được suy ra trực tiếp từ (1.18) với trường hợp đặc biệt α = 1
2 nên ta cần chứng minh (1.17).
2, không mất tính tổng quát xét trường hợp B n ≤ xa (trường hợp B n > xa tương tự). Đặt t = a −1 ln(1 +xa/Bn),S˜i i
Trong bài viết này, chúng ta xem xét dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Y1, Y2, , Yn, với Yivàmin(Xi, a) có cùng phân phối cho i = 1, 2, 3, , n Từ đó, có thể suy ra rằng {min(Xj, a), 1 ≤ j ≤ n} tạo thành dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm.
S˜ i ) (theo bất đẳng thức Markov)
1≤i≤nU i )vàT i = exp(tU i −(e ta −1−ta)a −2 B i ).
Mà (e x −1−x)/x 2 là hàm không giảm của x ∈ R và EY i ≤ 0, tY i ≤ ta, chúng ta có
Ee tY i = 1 +tEY i + E e tY i −1−tY i
Mặt khác {T i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy martingale trên Từ Bổ đề 1.1.9
Từ (1.21) và (1.24) chứng minh được (1.17).
Do đó định lý được chứng minh.
mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm
Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c.) của tổng các biến ngẫu nhiên liên kết âm Định lý 2.1.3 trong chương 2 tương tự như Định lý 2.1 của A Gut và U Stadtmüller Ký hiệu C đại diện cho một hằng số dương, nhưng giá trị của hằng số này có thể khác nhau trong các lần xuất hiện khác nhau trong chương.
Giả sử {X n , n > 1} là dãy các biến ngẫu nhiên Khi đó, dễ chứng minh được tập
A= {ω : X n (ω) hội tụ} là tập đo được.
Ta nói, dãy {X n , n > 1} hội tụ hầu chắc chắn nếu
Khi đó X là biến ngẫu nhiên và ta ký hiệu sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy {X n , n > 1} là
2.1.1 Bổ đề (Bổ đề Borel- Cantelli [1]) Giả sử (A n ) là dãy biến cố bất kỳ.
2.1.2 Định lý Giả sử 1/2 < r ≤ 1, pr ≥ 1, p≥ 1 Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, cùng phân phối với EXn = 0, E|X n | p < ∞ Khi đó với ∀ε > 0,
Chứng minh Ta ký hiệu X n = X n I(|X n | ≤n r ) +X n I(|X n | > n r ) Theo giả thiết {X n , n ≥1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm.
X i | 2 (theo bất đẳng thức Chebyshev)
E(Xi −EXi) 2 (theo Định lý 1.2.3)
X i | > εn r ≤R 1 + R 2 ≤ 2CE|X n | p < ∞. Định lý được chứng minh.
Sau đây, chúng tôi trình bày kết quả tương tự của A Gut và U Stadtm¨uller
[4] trong trường hợp biến ngẫu nhiên liên kết âm với hàm cụ thể L(n) logn.
2.1.3 Định lý Cho {X, X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, dừng ngặt, đối xứng và đặt
→ 0 h.c.c khi n → ∞ khi và chỉ khi
Chứng minh Giả sử E(|X|log + (|X|)) < ∞, do các biến ngẫu nhiên liên kết âm đối xứng nên EX = 0 Ta ký hiệu an = log n n , X n 0 = XnI{|X n | ≤ an}, X n " = XnI{|X n | > an} và T n,n+a 0 n n+a n
Theo ký hiệu a n = log n n thì ν ≤ a n ⇐⇒ n≥ (1 +o(1))νlog + ν) (2.3)
2(logt) 2 là hàm không giảm nên ψ(t) = ϕ −1 (t) là hàm không giảm.
Chọn dãy số con {n k = exp(√
2k), k ≥ 1}, trong đó n k % ∞ khi k → ∞ và đặt n k = ψ(k).
Do hàm L(n) = logn là hàm tới hạn không giảm đến +∞ và n n k+1 k →1 khi k → ∞ nên với mọi η >0, chúng ta có a n k = nk logn k ≤ n k+1 −n k ≤ nk+1 log(k+ 1) ≤(1 +η)a n k (2.5)
Với k nguyên, ta có log n n k và k ≥ log l l, dẫn đến n k + 1 ≤ l ≤ n k + 1, từ đó suy ra ϕ(l)−1 ≤ k ≤ ϕ(l −1) Để chứng minh, ta xem T n 0 k ,n k + a n k là dãy con của T n,n + a 0 n, hội tụ hầu chắc chắn khi E(|X|log + (|X|)) < ∞, tức là η > 0.
Xét dãy chặt cụt sau
E(T n 0 k ,n k +a nk) 2 a 2 n k (theo bất đẳng thức Chebyshev)
X l 0 ) 2 (do tính đối xứng của các biến ngẫu nhiên liên kết âm)
Bây giờ ta chứng minh
Do E(|X|log + (|X|)) < ∞ nên áp dụng Bổ đề Borel- Cantelli
Giả sử 0 < η < 1, ta đặt n˜ k = n k +a n k Từ (2.5), với k đủ lớn ta có n k ≤n˜ k := n k (1 + 1 logn k ) ≤ n k (1 +η), a n k ≤a ˜ n k ≤a n k (1+η) ≤ (1 +η)a n k , ˜ n k+1 −n˜ k ≤ (n k+1 −n k )(1 + 1 lognk
≤P( max ˜ n k ≤n≤˜ n k+(1+3η) ank |S n −S n ˜ k | > δa n k ) + P( max n k ≤n≤n k+(1+η) ank | −Sn +Sn k | > δan k ) + P(|S n k +a nk −S n k | > δa n k )
Từ bất đẳng thức Markov,
≤C(1 +η)E|X n k +1 | < ∞, tương tự như R 1 và R 2 ta thu được
Do đó với bất kỳ δ >0,
Theo Bổ đề Borel-Cantelli (i) cho một số hữu hạn nên
P(|T n 0 k ,n k +a nk| > ηa n k ) < ∞ với mọi η >0 ta hoàn tất việc chứng minh
→0 h.c.c khi n → ∞. Đảo lại, giả sử
Khi n tiến tới vô cùng, xác suất 1 chỉ cho phép xảy ra một số hữu hạn các biến cố |X_n| > log(n) n, và những biến cố này là đối xứng và dừng ngặt Điều này được chứng minh thông qua Bổ đề Borel-Cantelli.
P(|X|> n logn) < ∞, điều này chứng tỏ
E(|X|log + (|X|)) < ∞. Định lý được chứng minh.
Nhận xét và ví dụ
Định lý trên mở rộng cho các hàm biến đổi chậm với biến ngẫu nhiên liên kết âm.
Ví dụ 1: Hàm biến đổi chậm L(n) = log logn,
→ 0 h.c.c khi n→ ∞ khi và chỉ khi
Ví dụ 2: Hàm biến đổi chậm L(x) = exp{(logx) α } với 0 < α < 2/3,
T n,n+ n exp{(log x) α } nexp{(logx) α } → 0 h.c.c khi n→ ∞ khi và chỉ khi