Biến ngẫu nhiên và các tính chất liên quan
Cho không gian xác suất (Ω,F, P) ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu X là ánh xạ đo được, tức là với mọi a ∈ R thì
1.1.2 Hàm phân phối xác suất
Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F(x) = P(X < x), x ∈ R được gọi là hàm phân phối xác suất của X.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có các tính chất sau:
2 Liên tục trái: với mọi x 0 ∈ R, F(x 0 ) = lim x→x − 0
1 Hai biến ngẫu nhiênX 1 và X 2 được gọi làđộc lập nếu với mọi a 1 , a 2 ∈ R ta có
2 n(n ≥ 2) biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n được gọi là độc lập nếu với mọi a1, a2, , an ∈ R ta có
3 Dãy các biến ngẫu nhiên {X n n ≥ 1} được gọi là độc lập đôi một nếu
2 biến ngẫu nhiên bất kì của dãy độc lập.
4 Dãy các biến ngẫu nhiên {X n n ≥ 1} được gọi là độc lập nếu mọi tập con hữu hạn các biến ngẫu nhiên của dãy độc lập.
Kỳ vọng không nhắc lại quá trình xây dựng tích phân Lebesgue cho hàm đo được không âm Tập hợp L1 bao gồm tất cả các đại lượng ngẫu nhiên X: Ω → R khả tích Lebesgue.
|X|dP < ∞. Đặt X + = max(X,0), X − = max(−X,0) Khi đó
X = X + −X − Nếu có ít nhất X + ∈ L 1 , hoặc X − ∈ L 1 , thì ta gọi số
X − dP là kì vọng (hay giá trị trung bình) của X.
Các tính chất của kì vọng
1 Nếu C là hằng số thì EC = C
2 Nếu a, b ∈ R và X, Y ∈ L 1 thì E(aX +bY) = aEX +bEY.
3 Nếu X, Y ∈ L 1 và X ≤Y (h.c.c.) thì EX ≤ EY.
6 Nếu {X n ;n≥ 1} ⊂ L 1 và X ∈ L 1 thỏa mãn 0 ≤Xn ↑ X thì EXn ↑ EX.
7 Nếu X và X độc lập và X, Y ∈ L 1 thì E(XY ) =EX.EY.
1.1.1 Mệnh đề 1 Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối
Tổng quát hơn, nếu g : R →R là hàm Borel sao cho g(X) khả tích Lebesgue thì
1.1.5 CovarianceGiả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên Khi đó, covariance của X và Y, ký hiệu là Cov(X, Y) được định nghĩa bởi
Rõ ràng là nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y) = 0.
Các biến ngẫu nhiên liên kết âm và kiến thức chuẩn bị
Tính độc lập là một đặc điểm quan trọng của các biến ngẫu nhiên, và nhiều khái niệm phụ thuộc đã được đề xuất để giải thích các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế Năm 1981, Alam và Saxena đã giới thiệu khái niệm liên kết âm giữa các biến ngẫu nhiên.
Dãy hữu hạn các biến ngẫu nhiên {X i ,1 ≤i ≤n} được gọi là liên kết âm khi điều kiện cov{f(X i , i∈ A), g(X j , j ∈ B)} ≤ 0 được thỏa mãn với mọi cặp tập con rời nhau A, B của tập {1, , n} Điều này áp dụng cho mọi hàm không giảm theo tọa độ f : R |A| → R và g : R |B| → R, với điều kiện covariance trong công thức này tồn tại.
Một dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên {X i , i ≥ 1} được gọi là liên kết âm nếu với mọi n ≥ 1, dãy hữu hạn {X i ,1≤ i ≤ n} là liên kết âm.
Năm 1983, Joag-Dev và Proschan đã chỉ ra rằng nhiều phân phối quan trọng trong thống kê, như phân phối đa thức, phân phối nhiều chiều siêu hình học, phân phối Dirichlet và phân phối chuẩn, đều có tính chất liên kết âm.
Dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm có một tính chất rất quan trọng sau đây Tính chất này được chứng minh bởi Joag-Dev và Proschan [10].
Bổ đề của Joag-Dev và Proschan chỉ ra rằng, với dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm {X i , i ≥ 1} và dãy các tập con đôi một rời nhau {A i , i ≥ 1}, cùng với các hàm không giảm theo tọa độ f i : R |A i | → R, thì dãy {f i (X j , j ∈ A i ), i ≥ 1} cũng là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm Trước khi trình bày các kết quả chính của chương 1, chúng tôi sẽ chứng minh bốn tính chất cơ bản trong giải tích cổ điển.
1.2.3 Bổ đề Với mọi hàm lồi f, đạo hàm phải f + 0 luôn tồn tại và không giảm Hơn nữa, ta có f(b)−f(a) Z b a f + 0 (t)dt với mọi số thực a, b.
1.2.4 Bổ đề Với mọi 1< p ≤ 2 và với mọi số thực x ta có
Chứng minh Ta chỉ cần xét 1 < p < 2, vì trường hợp p = 2 là hiển nhiên. Khi x > 0, ta dễ chứng minh được với 1 < p < 2 thì
Do đó, bổ đề được chứng minh cho trường hợp x ≥ 0.
Khi x ≤ 0, đặt t = −x ≥0, ta cần phải chứng minh rằng f(t) = 1−pt+ 2 2−p t p − |1−t| p ≥ 0 với mọi t ≥ 0.
Tính đạo hàm f 0 (t) (tách hai trường hợp t ≥ 1 và 0 ≤ t < 1), ta dễ thấy f 0 (t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0 Do đó, f(t) ≥ f(0) = 0 với mọi t ≥ 0 Bổ đề hoàn toàn được chứng minh.
1.2.5 Bổ đề Với mọi số thực x ≥0 ta có ln(1 +x) ≥ x
1.2.6 Bổ đề (Bổ đề Kronecker) Giả sử {x n , n ≥ 1} là dãy các số thực và {b n , n ≥ 1} là dãy các số dương tăng ngặt đến +∞: 0 < b 1 < b 2 < < b n → ∞ Khi đó, nếu
Các bất đẳng thức đối với tổng các biến ngẫu nhiên liên kết âm 8
Trong mục này, chúng tôi trình bày các kết quả chính của Chương 1, trong đó có một định lý thiết lập bất đẳng thức so sánh về moment giữa các biến ngẫu nhiên liên kết âm và các biến ngẫu nhiên độc lập Bất đẳng thức này là công cụ hữu ích để thiết lập các định lý giới hạn như luật mạnh số lớn, luật logarithm lặp và bất đẳng thức Berry-Esseen Khi chứng minh các kết quả, chúng tôi mặc định rằng các biến ngẫu nhiên ký hiệu với dấu ∗ là độc lập và cùng phân phối với biến ngẫu nhiên ban đầu.
X 1 ∗ , X 2 ∗ , , X n ∗ là các biến ngẫu nhiên độc lập, X i ∗ có cùng phân phối với X i với mọi i.
1.3.1 Định lý Giả sử {X i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, và {X i ∗ ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho với mỗi
1≤ i ≤ n, X i ∗ và X i cùng phân phối Khi đó
(1.3.1) với mọi hàm lồi f Nếu f là hàm lồi không giảm, thì
Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n Giả sử Y1 và Y2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập, và (Y1, Y2) độc lập và cùng phân phối với (X1, X2) Theo Bổ đề 1.2.3, ta có công thức f(X1 + X2) + f(Y1 + Y2) − f(X1 + Y2) − f(Y1 + X2).
Vì f + 0 (x+t) và I(x > t) là hàm không giảm theox với mỗi t, nên f + 0 (X1+t) và I(X 2 > t) là liên kết âm Theo định lý Fubini, ta có
Cov(f + 0 (X 1 +t), I(X 2 > t))dt ≤ 0 (1.3.3) Điều này chứng minh (1.3.1) cho trường hợp n= 2.
Giả sử (1.3.1) đúng với n−1 ≥2 Ta đặt
Theo giả thiết quy nạp, ta có g(x) ≤Ef(x+ n−1
Theo Bổ đề 1.2.2, ta có S n−1 và X n là hai biến ngẫu nhiên liên kết âm Do đó, theo (1.3.4) ta suy ra
X i ∗ ). Điều này chứng tỏ (1.3.1) đúng với n. Để chứng minh (1.3.2), ta ký hiệu
1≤i≤kSb i Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi n và với mọi số thực a và b
Ef(max(a, b+ max(0, M n ))) ≤Ef(max(a, b + max(0,Mc n ))) (1.3.5)
Thật vậy, giả sử (1.3.5) đúng Khi đó, ta ký hiệu g1(x) = Ef max{x, x + max{0, max
2≤k≤n(Sk −X1)}} Điều này kéo theo g 1 (x) ≤ Ef max{x, x+ max{0, max
Bổ đề 1.2.2 kéo theo rằng X 1 và max{0,max 2≤k≤n (S k −X 1 )} là liên kết âm.
= Ef(Mc i ). Điều này có nghĩa là (1.3.2) đúng.
Bây giờ ta chứng minh (1.3.5) bằng phương pháp quy nạp theo n Dễ thấy rằng X 1 và max(0, X 2 ) là liên kết âm, M 2 = X 1 + max(0, X 2 ), và h(x) := f(max(a, b+ max(0, x)))
= max(f(max(a, b)), f(b+ x)) là hàm lồi Theo (1.3.1) ta có
Ef(max(a, b+ max(0, M1))) = Eh(X1 + max(0, X2))
= Ef(max(a, b + max(0,Mc 2 ))). Điều này chứng minh (1.3.5) cho trường hợp n= 2.
Giả sử (1.3.5) đúng đối với n−1 ≥ 2 Đặt
1≤i≤n−1(Sb i+1 −X 1 ∗ ), và u(x) sup> maxna, b+ max{0, x+ max{0, M 1 (n−1)}}o.
Theo giả thiết quy nạp, ta có u(x) ≤Ef maxna, b+ max{0, x+ max{0,Mc 1 (n−1)}}o.
Theo Bổ đề 1.2.2, ta suy ra X 1 và M 1 (n−1) là liên kết âm Do đó
≤Ef max{a, b+ max{0, X 1 ∗ + max{0, M 1 (n−1) ∗ }}} (theo (1.3.1))
≤Ef max{a, b+ max{0, X 1 ∗ + max{0,Mc1(n−1)}}}
Định lý 1.3.2 chứng minh rằng nhiều bất đẳng thức quen thuộc liên quan đến tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, như bất đẳng thức Rosenthal và Kolmogorov, vẫn giữ nguyên tính đúng đắn ngay cả khi áp dụng cho tổng các biến ngẫu nhiên có liên kết âm.
Giả sử p ≥ 1, {X i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm với kỳ vọng EX i = 0 và E|X i | p < ∞ cho mọi i Đồng thời, {X i ∗ ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, trong đó mỗi X i ∗ và X i có cùng phân phối.
1.3.3 Định lý Giả sử p ≥ 1, {X i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm thỏa mãn EX i = 0, EX i 2 < ∞ với mọi i Đặt S k = P k i=1 X i và
B n = P n i=1 EX i 2 Khi đó với mọi x > 0, a >0 và 0 < α < 1
SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
Trong chương này, chúng tôi trình bày các ứng dụng của kết quả từ Chương 1, bao gồm hai mục chính về sự hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c.) và sự hội tụ đầy đủ của tổng các biến ngẫu nhiên liên kết âm Các kết quả trong Chương 2 là mới và mở rộng kết quả chính của Matula [14] Cụ thể, Mục 2.1 không chỉ mở rộng mà còn trở về kết quả chính của Kuczmaszewska [12] khi các trọng số đồng nhất bằng 1, mặc dù chúng tôi chỉ xem xét trường hợp các biến ngẫu nhiên cùng phân phối để đơn giản hóa tính toán Trong khi đó, Kuczmaszewska [12] nghiên cứu trường hợp rộng hơn khi các biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên theo trung bình Giả sử {X n , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên, ta có thể dễ dàng chứng minh tập hợp này.
C = {ω : Xn(ω) hội tụ } là tập đo được.
Ta nói, dãy {X n , n ≥1} hội tụ hầu chắc chắn nếu
Khi đó X là một biến ngẫu nhiên và ta ký hiệu sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy {X n , n ≥ 1} là
Ta nói dãy {X n , n ≥ 1} hội tụ đầy đủ đến 0 nếu
Khi đó ta ký hiệu
Theo Bổ đề Borel-Cantelli (xem Nguyễn Văn Quảng [1]), nếu X n →c 0, thì
→ 0 Ngược lại, nếu dãy {X n , n ≥ 1} độc lập và Xn h.c.c.
2.1 Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên liên kết âm
Trong mục này ta thiết lập định lý hội tụ Loève (xem Chow và Teicher
[5], tr 117) đối với các biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong mục này, giả sử
X là biến ngẫu nhiên và c là hằng số dương, ta ký hiệu
Mệnh đề sau đây là định lý hội tụ ba chuỗi Kolmogorov đối với dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm Kết quả này thuộc về Matula [14].
2.1.1 Mệnh đề Giả sử {X i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm Nếu với c > 0 nào đó, ba chuỗi P∞ i=1EX i (c) , P∞ i=1V arX i (c) ,
P∞ i=1P(|X i |> c) hội tụ, thì chuỗi P∞ i=1X i hội tụ h.c.c.
Từ Mệnh đề 2.1.1, ta thu được kết quả sau đây Định lý 2.1.2 mở rộng Hệ quả 2 trong Chow và Teicher [5, tr 117] sang trường hợp liên kết âm.
2.1.2 Định lý Giả sử {X i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm có kỳ vọng bằng 0 Nếu
Chứng minh Theo bất đẳng thức Markov, ta suy ra
Vì EX i = 0 với mọi i ≥1, nên
Theo (2.1.1) và (2.1.2) ta lại có
Từ (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) và Mệnh đề 2.1.1, ta suy ra kết luận của định lý.
Kết quả chính của Mục 2.1 là Định lý 2.1.3 Kết quả này mở rộng Định lý 1 của Matula [14].
2.1.3 Định lý Giả sử {X i ,1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm có và với các hằng số 0 < α i ≤ 2 nào đó,
Ngoài ra, ta giả sử EXi = 0 trong trường hợp 1 ≤ αi ≤ 2 Khi đó chuỗi
Chứng minh Trước hết, ta giả sử rằng 1 ≤α i ≤2 với mọi i ≥ 1, khi đó
Do đó, từ (2.1.5) ta suy ra (2.1.1) được thỏa mãn Theo Định lý 2.1.2, ta suy ra điều cần chứng minh.
Bây giờ ta giả sử 0 < αi < 1 với mọi i ≥ 1 Khi đó
Mặt khác, theo bất đẳng thức Markov ta lại có
Từ (2.1.6), (2.1.7) và Mệnh đề 2.1.1, ta suy ra kết luận của định lý.
Cuối cùng, ta xét trường hợp tổng quát 0 < α i ≤ 2 với mọi i ≥ 1 Đặt
Ngoài ra, ta đặt β i α i nếu i ∈ I,
Khi đó 1 ≤β i ≤ 2, 0< γ i < 1, EY i = 0 với mọi i ≥1,
Theo phần chứng minh ban đầu, ta suy ra hai chuỗi P∞ i=1Yi và P∞ i=1Zi hội tụ h.c.c Nhưng vì
(Y i +Z i ), nên ta suy ra kết luận của định lý.
Hệ quả của luật mạnh số lớn Loève áp dụng cho trường hợp liên kết âm cho thấy khi α i = 2 với mọi i ≥ 1, định lý này trở thành luật mạnh số lớn Kolmogorov Kết quả này là sự mở rộng Định lý 1 trong nghiên cứu của Chow và Teicher từ trường hợp độc lập sang trường hợp liên kết âm.
Giả sử {b n , n ≥ 1} là một dãy hằng số dương với giới hạn lim n→∞ b n = ∞ Đồng thời, {X i ,1≤ i ≤n} là dãy các biến ngẫu nhiên có liên kết âm, với các hằng số 0 < α i ≤ 2.
Ngoài ra, ta giả sử EX i = 0 trong trường hợp 1≤ α i ≤ 2 Khi đó ta thu được luật mạnh số lớn n→∞lim n
Chứng minh Từ (2.1.8), áp dụng định lý 2.1.3, ta suy ra chuỗi
X i bi hội tụ hầu chắc chắn Do đó, áp dụng bổ đề Kronecker, ta thu được (2.1.9).
Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên liên kết âm
biến ngẫu nhiên liên kết âm
Năm 2010, Kuczmaszewska đã nghiên cứu sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm và chứng minh được những kết quả quan trọng trong lĩnh vực này.
2.2.1 Định lý Giả sử {X n , n ≥1} là một dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm và X là một biến ngẫu nhiên thỏa mãn
Xét dãy {X n , n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên trung bình bởi biến ngẫu nhiên X, với điều kiện P(|X i | > x) = CP(|X| > x) cho mọi x > 0 và n ≥ 1 Giả sử αp > 1 và α > 1/2, đồng thời khi p ≥ 1, ta có thêm giả thiết EX n = 0 cho mọi n Dưới các điều kiện này, các phát biểu sau sẽ là tương đương.
Trong phần này, chúng tôi sẽ phân tích sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên liên kết âm Trước tiên, cần thiết phải trình bày bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.2.2 nêu rõ rằng, với giả thiết α > 0, p ≥ 1 và một dãy các biến ngẫu nhiên {X i , i ≥ 1} có cùng phân phối với E|X 1 | p < ∞, khi α ≤ 1, cần có thêm điều kiện EX1 = 0 Đối với một mảng các hằng số {a ni ,1≤ i ≤ n, n ≥1} thỏa mãn n, các điều kiện này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và xác định các tính chất của dãy biến ngẫu nhiên.
Chứng minh Chú ý rằng với mọi n ≥1, ta có n −α n
Nếu α > 1, thì ta thấy kết luận của bổ đề được suy ra từ (2.2.2) Nếu
(vì αp ≥ 1). Bên cạnh đó, ta lại có n −α n
Vì E|X 1 | p < ∞, nên ta có n→∞lim E(|X 1 | p I(|X 1 | > n α )) = 0.
Bổ đề đã được chứng minh hoàn toàn, và định lý sau đây khẳng định sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên liên kết âm Khi a ni ≡ 1, kết quả này đã được Kuczmaszewska chứng minh.
Điều kiện cùng phân phối đã được mở rộng để bao gồm cả điều kiện bị chặn ngẫu nhiên Trong bài viết này, chúng tôi chỉ tập trung vào trường hợp cùng phân phối nhằm giảm bớt độ phức tạp trong tính toán.
Giả sử {X n , n ≥1} là dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, cùng phân phối với α > 1/2, 1 ≤ p < 2, αp ≥ 1, và EX1 = 0 khi α ≤ 1 Các phát biểu sau đây là tương đương.
X i=1 a ni X i | > εn α < ∞ với mọi ε > 0 và với mọi mảng các hằng số {a ni , n ≥ 1,1 ≤ i ≤ n} thỏa mãn n
Chứng minh Trước hết ta chứng minh (i) kéo theo (ii) Ta ký hiệu a + ni = max{a ni ,0} và a − ni = max{−a ni ,0}.
Khi đó, a ni = a + ni −a − ni
Do đó, ta chỉ cần chứng minh
Như vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng a ni ≥ 0 với mọi n≥ 1, i≥ 1 Với mỗi n ≥1, ta ký hiệu
Y ni = X ni −EX ni , S nj j
Khi đó, với mọi ε > 0, ta có
Bây giờ ta sẽ lần lượt đánh giá từng số hạng ở (2.2.4).
Với mọi n ≥1, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
Kết hợp điều này và (2.2.3), ta suy ra n
Theo Bổ đề 2.2.2, ta có
Từ (2.2.4)-(2.2.6), để thu được (ii), ta chỉ cần chứng minh rằng
Theo cách đặt, ta có dãy {a ni X ni ,1≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm Kết luận (2.2.7) được suy ra từ đánh giá sau đây.
(theo bất đẳng thức Chebyshev)
Như vậy, (ii) hoàn toàn được chứng minh Để chứng minh chiều (ii) kéo theo(i), ta chỉ cần chọna ni ≡1, và ứng dụng kết quả của Kuczmaszewska [12].
2.2.4 Chú ý (i) Nếu p ≥2, thì Định lý 2.2.2 vẫn còn đúng nếu (2.2.3) được thay thế bởi n
Phương pháp chứng minh trong Kuczmaszewska [12] yêu cầu αp phải lớn hơn 1, ngay cả khi 1 ≤ p < 2 Vì lý do này, chúng ta không thể xem xét trường hợp thú vị khi α = 1/p, như được thể hiện trong hệ quả dưới đây.
2.2.5 Hệ quả Giả sử {X n , n ≥1} là một dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, cùng phân phối Giả sử 1 ≤p < 2, và EX 1 = 0, E|X 1 | p < ∞ Khi đó n→∞lim
Chứng minh Cho a ni ≡ 1, α = 1/p, và
T n Pn i=1X i n 1/p Theo Định lý 2.2.3 (phần (i) kéo theo (ii)), với mọi ε > 0, ta có
1≤j≤2 i |T j | > ε2 (i+1)/p Điều này có nghĩa là max 1≤j≤2 i |T j |
2 (i+1)/p hội tụ đầy đủ về 0 Do đó, theo Bổ đề Borel-Cantelli, ta suy ra i→∞lim max 1≤j≤2 i |T j |
Với mỗi n ≥1, ta giả sử 2 i−1 < n ≤ 2 i Khi đó
Do đó, ta suy ra kết luận của hệ quả.
2.2.6 Chú ý Trong trường hợp có trọng số, nói chung ta không thể nhận được luật mạnh số lớn n→∞lim
Pj i=1a ni X i , n ≥1} không tăng Chi tiết về điều này được minh họa qua ví dụ sau đây.
2.2.7 Ví dụ Giả sử 1 ≤ p < 2, α = 1/p, và xét dãy {X n , n ≥ 1} các biến ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0 sao cho với mọi n ≥ 1,
Khi sup n≥1 E|X n | 2 = 1 < ∞, theo Bổ đề 5.2.2 của Taylor, tồn tại một biến ngẫu nhiên X với E|X| p < ∞ sao cho dãy {X n , n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi X Giả sử {a ni , n ≥ 1,1 ≤ i ≤ n} là một mảng các hằng số với a ni = 0 cho mọi 1 ≤ i < n và a nn = n 1/2.
X i=1 a 2 ni = n, nghĩa là (2.2.3) đúng Theo Định lý 2.2.3 (phần (i) kéo theo (ii)), thì (2.2.9) đúng Bây giờ, ta xét Y n = X n /n 1/2 , n ≥ 1 Khi đó {Y n , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và
Theo Bổ đề Borel-Cantelli, ta có lim sup n→∞
Vì 1≤ p < 2, nên từ (2.2.10), ta thấy (2.2.8) không đúng.
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
Mở rộng định lý hội tụ của Loève cho các biến ngẫu nhiên liên kết âm, kết quả này phát triển từ nghiên cứu của Matula (1992) Bài viết thiết lập một định lý về sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên này.
Các hướng phát triển của luận văn:
Nghiên cứu bất đẳng thức cực đại Kolmogorov cho mảng nhiều chiều các biến ngẫu nhiên liên kết âm.
Mở rộng các kết quả đạt được ở Mục 2.2 cho trường hợp mảng nhiều chiều.
[1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Alam, K.; Saxena, K M Lal Positive dependence in multivariate distri- butions.Comm Statist A Theory Methods10 (1981), no 12, 1183–1196.
[3] Baek, J I; Park, S T Convergence of weighted sums for arrays of neg- atively dependent random variables and its applications J Theoret. Probab 23 (2010), no 2, 362–377.
[4] Bingham, N H.; Nili Sani, H R Summability methods and negatively associated random variables Stochastic methods and their applications.
[5] Chow, Y S; Teicher, H Probability theory Independence, interchange- ability, martingales Third edition Springer Texts in Statistics Springer- Verlag, New York, 1997 xxii+488 pp.
[6] Fu, K A; Hu, L H Moment convergence rates of LIL for negatively associated sequences J Korean Math Soc 47 (2010), no 2, 263–275.
[7] Hu, T C; Chiang, C Y; Taylor, R L On complete convergence for arrays of rowwise m-negatively associated random variables.Nonlinear Anal.71
[8] Huang, W A nonclassical law of the iterated logarithm for functions of negatively associated random variables.Stochastic Anal Appl 22 (2004), no 3, 657–678.
[9] Jing, B Y; Liang, H Y Strong limit theorems for weighted sums of negatively associated random variables J Theoret Probab 21 (2008), no 4, 890–909.
[10] Joag-Dev, K.; Proschan, F Negative association of random variables, with applications Ann Statist 11 (1983), no 1, 286–295.
[11] Ko, Mi-Hwa; Han, Kwang-Hee; Kim, Tae-Sung Strong laws of large num- bers for weighted sums of negatively dependent random variables J Ko- rean Math Soc 43 (2006), no 6, 1325–1338.
[12] Kuczmaszewska, A On complete convergence in Marcinkiewicz- Zygmund type SLLN for negatively associated random variables Acta Math Hungar 128 (2010), no 1-2, 116–130.
[13] Liang, H Y., Li, D L and Rosalsky, A Complete moment and integral convergence for sums of negatively associated random variables Acta Math Sin (Engl Ser.) 26 (2010), no 3, 419–432.
[14] Matula, P A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables Statist Probab Lett 15 (1992), no 3, 209– 213.
[15] Shao, Qi-Man A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables J Theoret. Probab 13 (2000), no 2, 343–356.
[16] Shao, Q M and Su, C The law of the iterated logarithm for negatively associated random variables Stochastic Process Appl 86 (1999), 139– 148.
[17] Shao, Q M and Yu, H (1996) Weak convergence for weighted empirical processes of dependent sequences Ann Probab 24, 2098–2127.
[18] Taylor, R.L Stochastic Convergence of Weighted Sums of Random Ele- ments in Linear Spaces, Lecture Notes in Mathematics; Springer-Verlag:Berlin, 1978; Vol 672.