Một số định lý ergodic đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng

Biến cố và xác suất

1.1.1 Định nghĩa Cho Ω là một tập tùy ý khác rỗng Một họ A gồm các tập con của Ω được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện sau

(iii) Nếu A n ∈ A với mọi n = 1,2, , thì

A n ∈ A.Khi đó cặp (Ω,A) được gọi là một không gian đo.

1.1.2 Định nghĩa Cho không gian đo (Ω,A) Ánh xạ P : A → R được gọi là độ đo xác suất trên A nếu thỏa mãn ba điều kiện sau

(i) P(A) ≥ 0 với mọi A ∈ A (tính không âm);

(iii) Nếu A n ∈ A với mọi n = 1,2, , A i ∩A j = A i A j = ∅ (i 6= j), thì

P(A n) (tính cộng tính đếm được).

Không gian xác suất được định nghĩa là bộ ba (Ω, A, P), trong đó Ω là một tập không rỗng, A là một σ-đại số các tập con của Ω, và P là một độ đo xác suất trên A Trong đó, Ω đại diện cho không gian các biến cố sơ cấp, còn σ-đại số A được gọi là σ-đại số các biến cố.

Mỗi A ∈ A được gọi là một biến cố, biến cố A = Ω\A ∈ A được gọi là biến cố đối của biến cố A.

Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn AB = ∅ thì được gọi là xung khắc.

1.1.4 Tính chất Giả sử A, B, A n , n ≥ 1 là những biến cố Khi đó,

4 Nếu A ⊂B thì P(B \ A) =P(B) −P(A) và do đó P(A) ≤ P(B).

7 (Tính liên tục của xác suất).

(i) Nếu {A n , n ≥ 1} ⊂ A là dãy đơn điệu tăng, nghĩa là A 1 ⊂A 2 ⊂ ⊂ A n ⊂ , thì n−→∞lim P(A n) =P(

(ii) Nếu {A n , n ≥ 1} ⊂ Alà dãy đơn điệu giảm, nghĩa là A 1 ⊃A 2 ⊃ ⊃ A n ⊃ , thì n−→∞lim P(A n) =P(

Tính đầy đủ và sự mở rộng đầy đủ của không gian xác suất

1.2.1 Định nghĩa Không gian xác suất (Ω,A,P) được gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu B ∈ A, P(B) = 0 thì A ∈ A với mọi A ⊂B.

Chúng tôi giới thiệu sự mở rộng đầy đủ của một không gian xác suất, trong đó (Ω,A, à) là một không gian xác suất và A1 là một σ-đại số con của A Không gian xác suất (Ω,A1, à1) được coi là không đầy đủ, với à1 là hạn chế của độ đo à trên A1.

N := {A ⊂Ω : tồn tại B ∈ A sao cho A ⊂ B và à(B) = 0},

A 2 := σ{A 1 ,N }(σ-đại số bé nhất chứa tất cả các phần tử của A 1 vàN). Khi đó, ta có thể chứng minh được rằngA 2 = {A∪B : A∈ A 1 , B ∈ N }. Hàm à 2 : A 2 → [0,1] xỏc định bởi à 2 (A ∪ B) = à 1 (A), với A ∈ A 1 ,

B ∈ N Khi đú, (Ω,A 2 , à 2 ) là một khụng gian xỏc suất đầy đủ.

Không gian xác suất \((\Omega, A_2, P_2)\) được xây dựng trên không gian xác suất \((\Omega, A_1, P_1)\) được gọi là sự mở rộng đầy đủ của không gian xác suất trước đó Trong đó, σ-đại số \(A_2\) được xem là σ-đầy đủ của σ-đại số \(A_1\).

Biến ngẫu nhiên và các khái niệm, tính chất liên quan

Biến ngẫu nhiên F-đo được được định nghĩa khi F là một σ-đại số con của A và ánh xạ X : Ω → R là F-đo được Điều này có nghĩa là với mọi B ∈ B(R), X phải thỏa mãn tính chất F-đo được.

Nếu F = A thì ta nói gọn X là biến ngẫu nhiên.

Khái niệm độc lập là một yếu tố quan trọng trong lý thuyết xác suất Để hiểu rõ hơn, giả sử X là một biến ngẫu nhiên.

A X = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} là một σ-đại số và được gọi là σ-đại số sinh bởi X.

1.3.3 Định nghĩa Họ hữu hạn {A i ,1 ≤ i ≤ n} các σ-đại số con của

A được gọi là độc lập, nếu

Họ vô hạn {A i , i∈ I} các σ-đại số con của A được gọi là độc lập, nếu mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.

Họ các biến ngẫu nhiên {X i , i ∈ I} được gọi là độc lập, nếu họ các σ-đại số sinh bởi chúng {A X i , i ∈ I} độc lập.

Họ các biến cố {A i , i ∈ I} được gọi là độc lập, nếu họ các biến ngẫu nhiên {IA i, i∈ I} độc lập, trong đó IA là ký hiệu hàm chỉ tiêu của A.

Họ các biến ngẫu nhiên {X i , i ∈ I} được gọi là độc lập đôi một, nếu

X i và X j độc lập với mọi i, j ∈ I và i 6= j.

Hàm phân phối là một đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên Sau đây là định nghĩa hàm phân phối.

1.3.4 Định nghĩa Giả sử X : Ω →R là biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số F X (x) = P(X ≤ x) = P(ω : X (ω) ≤ x) được gọi là hàm phân phối của X.

1.3.5 Định nghĩa Cho họ n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n Khi đó, bộ − →X = (X 1 , X 2 , , X n ) gọi là một vectơ ngẫu nhiên (n chiều) Đồng thời, hàm số n biến số F : R n → R xác định bởi

F(x 1 , x 2 , , x n ) =P(X 1 ≤x 1 , X 2 ≤ x 2 , , X n ≤ x n ) với mọi x 1 , x 2 , , x n ∈ R, gọi là hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên

1.3.6 Định nghĩa Dãy các biến ngẫu nhiên {X n : n ≥ 1} gọi là dừng nếu các vectơ ngẫu nhiên(X 1 , X 2 , , X n ) và (X 1+k , X 2+k , , X n+k )có cùng phân phối, với mọi n, k ≥ 1.

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là EX, được định nghĩa là tích phân Lebesgue của X theo độ đo P, với điều kiện tích phân này tồn tại.

1.4.2 Định nghĩa Nếu biến ngẫu nhiên X thỏa mãn E|X | p < ∞ (p > 0) thì ta nói X khả tích bậc p, đặc biệt nếu E|X | < ∞ thì

X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.

Biến ngẫu nhiên X được gọi là tựa khả tích (theo nghĩa Neveu) nếu

EX + < +∞ hoặc EX − < +∞, trong đó X + = max{X,0} và

1.4.3 Tính chất Giả sử C là hằng số thực và X, Y, X n , n ≥ 1 là các biến ngẫu nhiên Khi đó,

3 Nếu tồn tại EX thì E(CX ) = CEX.

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ±EY.

6 Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = EXEY.

7 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |X n | ≤ Y với mọi n ≥ 1,

EY < +∞ và X n → X thì X khả tích, E|X n − X| → 0 và EX n →EX khi n → ∞.

8 (Bất đẳng thức Markov) Giả sử thêm rằng X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, với mọi ε > 0, ta có

Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên

1.5.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω → R là biến ngẫu nhiên vàF là σ-đại số con của A Khi đó biến ngẫu nhiên Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của

X đối với σ-đại số F nếu

(i) Y là biến ngẫu nhiên F-đo được;

(ii) Với mỗi A ∈ F, ta có

1.5.2 Tính chất Giả sử các biến ngẫu nhiên sau đây đều có kỳ vọng và giả sử F là σ-đại số con của A Khi đó,

1 Nếu E|X | < ∞ thì tồn tại duy nhất Y = E(X |F ).

2 Nếu X = C (C là hằng số) thì

4 Với mọi hằng số a, b, ta có

5 Nếu A X và F độc lập thì E(X |F ) = EX.

7 Nếu X là F-đo được thì E(X |F ) = X.

8 (Tính chất hút) Nếu F 1 ⊂ F 2 thì

9 (Định lý hội tụ đơn điệu P Levi)

(i) Nếu dãy X n ↑ X và tồn tại n 0 ∈ N sao cho EX n − 0 < ∞ thì

(ii) Nếu dãy X n ↓ X và tồn tại n 0 ∈ N sao cho EX n + 0 < ∞ thì

10 (Bổ đề Fatou) Giả sử biến ngẫu nhiên Y khả tích Khi đó

(ii) Nếu X n 6 Y thì limE(X n|F) 6 E(lim X n|F) h c c.

11 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) Giả sử Y khả tích và |X n | < Y. Khi đó, nếu X n →X thì n→∞lim E(X n|F) = E( lim n→∞X n |F) =E(X |F ) h c c.

12 (Bất đẳng thức Jensen) Nếu ϕ là hàm lồi, X và ϕ(X) khả tích thì

Một số định lý ergodic đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng 18 2.1 Định lý ergodic đối với phép biến đổi bảo toàn độ đo 18 2.2 Định lý ergodic đối với phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận 22

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm không gian xác suất và biến ngẫu nhiên, đồng thời trình bày các phép biến đổi bảo toàn độ đo, các tập bất biến, cũng như các biến ngẫu nhiên bất biến và những kiến thức liên quan.

Trong toàn bộ luận văn, chúng tôi giả định rằng (Ω,A,P) là một không gian xác suất Ký hiệu B(R) đại diện cho σ-đại số các tập Borel trên R Những kiến thức trong chương này chủ yếu được lấy từ các tài liệu tham khảo [2, 7].

Chương này trình bày các nội dung liên quan đến biến ngẫu nhiên có giá trị thực Chúng ta cũng có thể áp dụng các phát biểu và tính chất tương tự cho biến ngẫu nhiên mở rộng nhận giá trị thực.

1.1 Biến cố và xác suất

1.1.1 Định nghĩa Cho Ω là một tập tùy ý khác rỗng Một họ A gồm các tập con của Ω được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện sau

(iii) Nếu A n ∈ A với mọi n = 1,2, , thì

A n ∈ A.Khi đó cặp (Ω,A) được gọi là một không gian đo.

1.1.2 Định nghĩa Cho không gian đo (Ω,A) Ánh xạ P : A → R được gọi là độ đo xác suất trên A nếu thỏa mãn ba điều kiện sau

(i) P(A) ≥ 0 với mọi A ∈ A (tính không âm);

(iii) Nếu A n ∈ A với mọi n = 1,2, , A i ∩A j = A i A j = ∅ (i 6= j), thì

P(A n) (tính cộng tính đếm được).

Không gian xác suất được định nghĩa bởi bộ ba (Ω, A, P), trong đó Ω là một tập không rỗng, A là σ-đại số các tập con của Ω, và P là độ đo xác suất trên A Tập Ω đại diện cho không gian các biến cố sơ cấp, trong khi σ-đại số A được gọi là σ-đại số các biến cố.

Mỗi A ∈ A được gọi là một biến cố, biến cố A = Ω\A ∈ A được gọi là biến cố đối của biến cố A.

Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn AB = ∅ thì được gọi là xung khắc.

1.1.4 Tính chất Giả sử A, B, A n , n ≥ 1 là những biến cố Khi đó,

4 Nếu A ⊂B thì P(B \ A) =P(B) −P(A) và do đó P(A) ≤ P(B).

7 (Tính liên tục của xác suất).

(i) Nếu {A n , n ≥ 1} ⊂ A là dãy đơn điệu tăng, nghĩa là A 1 ⊂A 2 ⊂ ⊂ A n ⊂ , thì n−→∞lim P(A n) =P(

(ii) Nếu {A n , n ≥ 1} ⊂ Alà dãy đơn điệu giảm, nghĩa là A 1 ⊃A 2 ⊃ ⊃ A n ⊃ , thì n−→∞lim P(A n) =P(

1.2 Tính đầy đủ và sự mở rộng đầy đủ của không gian xác suất

1.2.1 Định nghĩa Không gian xác suất (Ω,A,P) được gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu B ∈ A, P(B) = 0 thì A ∈ A với mọi A ⊂B.

Chúng tôi trình bày sự mở rộng đầy đủ của một không gian xác suất, trong đó (Ω,A, à) là một không gian xác suất và A1 là một σ-đại số con của A Không gian xác suất (Ω,A1, à1) được coi là không đầy đủ, với à1 là hạn chế của độ đo à trên A1.

N := {A ⊂Ω : tồn tại B ∈ A sao cho A ⊂ B và à(B) = 0},

A 2 := σ{A 1 ,N }(σ-đại số bé nhất chứa tất cả các phần tử của A 1 vàN). Khi đó, ta có thể chứng minh được rằngA 2 = {A∪B : A∈ A 1 , B ∈ N }. Hàm à 2 : A 2 → [0,1] xỏc định bởi à 2 (A ∪ B) = à 1 (A), với A ∈ A 1 ,

B ∈ N Khi đú, (Ω,A 2 , à 2 ) là một khụng gian xỏc suất đầy đủ.

Khụng gian xỏc suất (Ω,A 2 , à 2 ) được định nghĩa là sự mở rộng đầy đủ của khụng gian xỏc suất (Ω,A 1 , à 1 ) Trong đó, σ-đại số A 2 được xem là à-đầy đủ của σ-đại số A 1.

1.3 Biến ngẫu nhiên và các khái niệm, tính chất liên quan

Biến ngẫu nhiên F-đo được là ánh xạ X: Ω → R, trong đó F là một σ-đại số con của A Điều này có nghĩa là X phải là ánh xạ F-đo được, tức là với mọi B ∈ B(R), ánh xạ này thỏa mãn các điều kiện cần thiết.

Nếu F = A thì ta nói gọn X là biến ngẫu nhiên.

Khái niệm độc lập là một yếu tố quan trọng trong lý thuyết xác suất Định nghĩa cụ thể cho thấy rằng nếu X là một biến ngẫu nhiên, thì sự độc lập của các biến ngẫu nhiên này sẽ ảnh hưởng đến các tính toán xác suất liên quan.

A X = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} là một σ-đại số và được gọi là σ-đại số sinh bởi X.

1.3.3 Định nghĩa Họ hữu hạn {A i ,1 ≤ i ≤ n} các σ-đại số con của

A được gọi là độc lập, nếu

Họ vô hạn {A i , i∈ I} các σ-đại số con của A được gọi là độc lập, nếu mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.

Họ các biến ngẫu nhiên {X i , i ∈ I} được gọi là độc lập, nếu họ các σ-đại số sinh bởi chúng {A X i , i ∈ I} độc lập.

Họ các biến cố {A i , i ∈ I} được gọi là độc lập, nếu họ các biến ngẫu nhiên {IA i, i∈ I} độc lập, trong đó IA là ký hiệu hàm chỉ tiêu của A.

Họ các biến ngẫu nhiên {X i , i ∈ I} được gọi là độc lập đôi một, nếu

X i và X j độc lập với mọi i, j ∈ I và i 6= j.

Hàm phân phối là một đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên Sau đây là định nghĩa hàm phân phối.

1.3.4 Định nghĩa Giả sử X : Ω →R là biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số F X (x) = P(X ≤ x) = P(ω : X (ω) ≤ x) được gọi là hàm phân phối của X.

1.3.5 Định nghĩa Cho họ n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n Khi đó, bộ − →X = (X 1 , X 2 , , X n ) gọi là một vectơ ngẫu nhiên (n chiều) Đồng thời, hàm số n biến số F : R n → R xác định bởi

F(x 1 , x 2 , , x n ) =P(X 1 ≤x 1 , X 2 ≤ x 2 , , X n ≤ x n ) với mọi x 1 , x 2 , , x n ∈ R, gọi là hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên

1.3.6 Định nghĩa Dãy các biến ngẫu nhiên {X n : n ≥ 1} gọi là dừng nếu các vectơ ngẫu nhiên(X 1 , X 2 , , X n ) và (X 1+k , X 2+k , , X n+k )có cùng phân phối, với mọi n, k ≥ 1.

1.4 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên X, được ký hiệu là EX, là tích phân Lebesgue của X theo độ đo P, giả sử nó tồn tại Biến ngẫu nhiên X được định nghĩa trên không gian xác suất (Ω, A, P) và giá trị của nó thuộc vào không gian thực (R, B(R)).

1.4.2 Định nghĩa Nếu biến ngẫu nhiên X thỏa mãn E|X | p < ∞ (p > 0) thì ta nói X khả tích bậc p, đặc biệt nếu E|X | < ∞ thì

X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.

Biến ngẫu nhiên X được gọi là tựa khả tích (theo nghĩa Neveu) nếu

EX + < +∞ hoặc EX − < +∞, trong đó X + = max{X,0} và

1.4.3 Tính chất Giả sử C là hằng số thực và X, Y, X n , n ≥ 1 là các biến ngẫu nhiên Khi đó,

3 Nếu tồn tại EX thì E(CX ) = CEX.

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ±EY.

6 Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = EXEY.

7 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |X n | ≤ Y với mọi n ≥ 1,

EY < +∞ và X n → X thì X khả tích, E|X n − X| → 0 và EX n →EX khi n → ∞.

8 (Bất đẳng thức Markov) Giả sử thêm rằng X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, với mọi ε > 0, ta có

1.5 Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên

1.5.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω → R là biến ngẫu nhiên vàF là σ-đại số con của A Khi đó biến ngẫu nhiên Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của

X đối với σ-đại số F nếu

(i) Y là biến ngẫu nhiên F-đo được;

(ii) Với mỗi A ∈ F, ta có

1.5.2 Tính chất Giả sử các biến ngẫu nhiên sau đây đều có kỳ vọng và giả sử F là σ-đại số con của A Khi đó,

1 Nếu E|X | < ∞ thì tồn tại duy nhất Y = E(X |F ).

2 Nếu X = C (C là hằng số) thì

4 Với mọi hằng số a, b, ta có

5 Nếu A X và F độc lập thì E(X |F ) = EX.

7 Nếu X là F-đo được thì E(X |F ) = X.

8 (Tính chất hút) Nếu F 1 ⊂ F 2 thì

9 (Định lý hội tụ đơn điệu P Levi)

(i) Nếu dãy X n ↑ X và tồn tại n 0 ∈ N sao cho EX n − 0 < ∞ thì

(ii) Nếu dãy X n ↓ X và tồn tại n 0 ∈ N sao cho EX n + 0 < ∞ thì

10 (Bổ đề Fatou) Giả sử biến ngẫu nhiên Y khả tích Khi đó

(ii) Nếu X n 6 Y thì limE(X n|F) 6 E(lim X n|F) h c c.

11 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) Giả sử Y khả tích và |X n | < Y. Khi đó, nếu X n →X thì n→∞lim E(X n|F) = E( lim n→∞X n |F) =E(X |F ) h c c.

12 (Bất đẳng thức Jensen) Nếu ϕ là hàm lồi, X và ϕ(X) khả tích thì

1.6 Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết ergodic

1.6.1 Định nghĩa ([7]) (i) Một phép biến đổi T : Ω → Ω được gọi là đo được nếu T −1 (A) ∈ A, với mọi A ∈ A.

Một phép biến đổi T: Ω → Ω được gọi là bảo toàn độ đo nếu T là đo được và thỏa mãn P(T^(-1)(A)) = P(A) với mọi A ∈ A Khi đó, P được xem là độ đo T-bất biến.

(iii) Một tập A ∈ A được gọi là T-bất biến nếu T −1 (A) = A.

Một biến ngẫu nhiên f được gọi là T-bất biến khi f ◦T = f Phép biến đổi bảo toàn độ đo T : Ω → Ω được xem là ergodic nếu các tập T-bất biến chỉ có xác suất 0 hoặc 1 Điều này có nghĩa là với mọi A ∈ A, nếu T −1 (A) = A thì P(A) phải bằng 0 hoặc 1.

Phép biến đổi bảo toàn độ đo T : Ω → Ω được thể hiện đầy đủ dưới dạng T : (Ω, A, P) → (Ω, A, P), vì tính chất bảo toàn độ đo phụ thuộc vào σ-đại số và độ đo.

(2) Họ tất cả các tập T-bất biến lập thành một σ-đại số con của σ-đại số A Ta ký hiệu σ-đại số này là I T

(3) Nếu T 1 , T 2 : Ω → Ω là các phép biến đổi bảo toàn độ đo thì tích

Phép biến đổi T 1 ◦ T 2, hay T 1 T 2, là một phép biến đổi bảo toàn độ đo Đặc biệt, nếu T : Ω → Ω là một phép biến đổi bảo toàn độ đo, thì phép lặp T n (với n ∈ N) cũng sẽ giữ tính chất bảo toàn độ đo.

(4) Theo U Krengel [7, tr 5], biến ngẫu nhiên f là T-bất biến nếu và chỉ nếu f là I T -đo được.

(5) Với mọi dãy dừng các biến ngẫu nhiên {X n : n ≥1}, tồn tại phép biến đổi bảo toàn độ đo T sao cho X n (ω) = X(T n (ω)) h.c.c với mọi n≥ 1 (xem [5, Mệnh đề 6.11]).

(6) Theo U Krengel [7, tr 5], ta suy ra rằng nếu phép biến đổi

Tập hợp Ω được định nghĩa là bảo toàn độ đo và biến ngẫu nhiên f, với điều kiện f ◦ T = f h.c.c., sẽ dẫn đến sự tồn tại của một biến ngẫu nhiên T-bất biến f ∗ Biến ngẫu nhiên này cũng sẽ thỏa mãn điều kiện f ∗ = f h.c.c.

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ERGODIC ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU

NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ THỰC MỞ RỘNG

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định lý ergodic đối với các biến ngẫu nhiên tựa khả tích và nhận giá trị thực mở rộng.

2.1 Định lý ergodic đối với phép biến đổi bảo toàn độ đo Để chứng minh các kết quả chính, chúng ta cần bổ đề sau đây.

2.1.1 Bổ đề (Định lý ergodic Birkhoff cổ điển, xem [7]) Cho phép biến đổi bảo toàn độ đo T : Ω → Ω và cho biến ngẫu nhiên khả tích f : Ω →R Khi đó, n→∞lim

Bổ đề về định lý hồi qui Poincaré khẳng định rằng trong một không gian đo hữu hạn (Ω,A, à) với phép biến đổi bảo toàn độ đo T : Ω → Ω, thì đối với mỗi tập A thuộc A, xác suất để tồn tại một N ∈ N sao cho T^n(ω) không thuộc A với mọi n > N là bằng 0.

Với mỗi phép biến đổi T : Ω →Ω và mỗi biến ngẫu nhiên X nhận giá trị thực (hoặc, nhận giá trị thực mở rộng), trung bình Cesaro được ký hiệu bởi u n (ω) = 1 n n−1

X(T i (ω)), n ≥1, ω ∈ Ω. Để chứng minh cho kết quả chính Chúng tôi đưa ra mệnh đề sau.