Không gian các tập đóng và phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng

Không gian tôpô

Giả sử X 6= ∅ Một họ τ các tập con của X gọi là tôpô trên X nếu có các tính chất

Khi đó, cặp (X, τ) được gọi là không gian tôpô.

Giả sử (X, τ) là không gian tôpô Khi đó, mỗi tập U ∈ τ được gọi là tập mở. Phần bù của tập mở được gọi là tập đóng.

Hợp tất cả các tập mở nằm trong A được gọi là phần trong của A, ký hiệu là intA.

Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ) Khi đó tập con đóng bé nhất của X chứa A được gọi là bao đóng của A, ký hiệu là A hoặc clA.

Tập A ⊂ X được gọi là tập trù mật trong X nếu A = X.

1.1.1 Định lý Tập A là trù mật trong X khi và chỉ khi với mọi tập mở U khác rỗng trong X thì U ∩A 6= ∅.

Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian khả ly (tách được) nếu nó có một tập con đếm được trù mật.

Họ B(⊂ τ) được xem là cơ sở của không gian tôpô (X, τ) nếu mọi tập mở trong X có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của một số tập thuộc B.

Họ B(⊂ τ) được coi là một cơ sở của không gian tôpô (X, τ) nếu và chỉ nếu với mọi tập A mở và mọi điểm x thuộc A, tồn tại một lân cận U x của x trong B.

Giả sử (X, τ) là không gian tôpô Một họ {G s } s∈S các tập mở của X được gọi là phủ mở của X nếu S s∈S

Không gian tôpô (X, τ) được xem là không gian compact nếu từ mọi phủ mở {G_s} s∈S của X có thể trích ra một phủ con hữu hạn Cụ thể, với mỗi phủ mở {G_s} s∈S, tồn tại một tập con S_0 = {s_1, , s_k} ⊂ S sao cho X được bao phủ bởi các tập G_{s_i} với i thuộc {1, 2, , k}.

G s i Tập con A ⊂X được gọi là tập compact nếu nó là không gian compact đối với tôpô cảm sinh.

Không gian tôpô(X, τ)được gọi là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X (x 6= y) tồn tại các tập mở Ux chứa x và Uy chứa y sao cho Ux∩Uy = ∅.

Trong không gian Hausdorff, mọi tập compact đều là tập đóng.

Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian compact địa phương nếu với mọi x ∈ X, tồn tại lân cận U của x sao cho U là tập compact của X.

Không gian mêtric

Giả sử X 6= ∅ Một ánh xạ d : X × X −→ R được gọi là mêtric (khoảng cách) trên X nếu i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X. ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y. iii) d(x, y) = d(y, x), ∀ x, y ∈ X. iv) d(x, y) ≤d(x, z) +d(z, y), ∀ x, y, z ∈ X.

Khi đó cặp (X, d) được gọi là không gian mêtric.

Giả sử (X, d) là không gian mêtric, x ∈ X và r là số thực dương Khi đó, tập hợp

S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} được gọi là hình cầu mở tâm x, bán kính r Tập hợp

S[x, r] = {y ∈ X :d(x, y) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng tâm x, bán kính r.

Tập hợp U ⊂ X được gọi là tập mở nếu với mọi x ∈ U, tồn tại r > 0 để

Mỗi không gian mêtric (X, d) đều thỏa mãn các tiên đề (τ1)−(τ3) của không gian tôpô, điều này cho thấy rằng các tập mở S(x, r) ⊂ U có thể được kiểm tra trực tiếp Vì vậy, ta có thể kết luận rằng mọi không gian mêtric đều là một không gian tôpô.

Giả sử (X, d) là không gian mêtric Ta nói dãy {x n , n ≥ 1} ⊂ X hội tụ về x ∈ X khi n → ∞ nếu d(x n , x) →0 khi n → ∞ Ký hiệu x n → x (khi n → ∞).

1.2.1 Định lý Nếu (X, d) là không gian mêtric thì tập F ⊂ X là tập đóng khi và chỉ khi với mọi dãy {x n , n ≥ 1} ⊂ F mà x n → x thì x ∈ F

1.2.2 Định lý Giả sử (X, d) là không gian mêtric, A ⊂ X Khi đó, x ∈ A khi và chỉ khi tồn tại dãy {x n , n ≥ 1} ⊂ A sao cho xn →x (khi n → ∞).

1.2.3 Định lý Tập A ⊂ X là tập trù mật trong không gian mêtric (X, d) khi và chỉ khi với mọi x ∈ X, tồn tại dãy {x n , n ≥ 1} ⊂ A sao cho xn → x (khi n → ∞).

Giả sử (X, d) là không gian mêtric Dãy {x n , n ≥ 1} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản), nếu với mọi > 0, tồn tại N sao cho d(xm, xn) < với mọi m, n ≥N.

Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ.

Tập A⊂ X trong không gian metric (X, d) được coi là compact nếu mọi dãy {x n , n ≥ 1} ⊂ A đều có một dãy con {x n k , k ≥ 1} ⊂ A hội tụ đến một điểm thuộc A Hơn nữa, nếu (X, d) là không gian compact, thì mọi tập con đóng của nó cũng sẽ là tập compact.

Tập F của một không gian tôpô được gọi là tập có tính G δ nếu F là giao của đếm được các tập mở.

1.2.4 Định lý Trong không gian mêtric, mọi tập đóng đều có tính chất Gδ

Chứng minh Giả sử F đóng trong không gian mêtric (X, d) Với mỗi n ≥ 1, đặt

Khi đó, với mọi x ∈ G n , d(x, F) = a < n 1 Đặt r = n 1 −a > 0 thì d(y, F) ≤d(x, y) +d(x, F) < r +a = 1 n, ∀ y ∈ S(x, r) nên S(x, r) ⊂ G n Vậy G n mở Ta sẽ chứng minh F ∞

Thật vậy, với mọi x ∈ F ta có d(x, F) = 0 < n 1 với mọi n, nên x ∈ G n với mọi n, hay x ∈

G n thì x ∈ G n với mọi n ≥1, nên d(x, F) < n 1 Từ đó, với mọi n ≥ 1 đều có y n ∈ F sao cho d(x, y n ) < n 1 , nên lim n→∞d(x, y n ) = 0, chứng tỏ y n → x Mà F đóng nên x ∈ F Do đó

G n Từ đó suy ra F có tính chất G δ

Không gian Banach

Không gian vectơ E được gọi là không gian định chuẩn nếu tồn tại ánh xạ ||.|| :

Nếu đặt d(x, y) = ||x−y||, (x, y ∈ E) thì (E, d) là không gian mêtric.

Nếu E là không gian vectơ thực thì không gian định chuẩn (E,||.||) được gọi là không gian định chuẩn thực.

Không gian định chuẩn (E,||.||) được gọi là không gian Banach nếu (E, d) là không gian đầy đủ, trong đó d là mêtric sinh bởi chuẩn ||.||.

Nếu E là không gian vectơ thực và (E,||.||) là không gian Banach thì (E,||.||) được gọi là không gian Banach thực.

1) (R n ,||.||) là không gian Banach thực với chuẩn

2) Nếu 1 ≤ p≤ 2 thì (L p (Ω,F,P),||.||) là không gian Banach thực với chuẩn

||X|| = (E|X| p ) p 1 Giả sử E là không gian Banach thực Ký hiệu

E ∗ = {f : E →R, f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục}.

Ta gọi E ∗ là không gian liên hợp của E.

Với f ∈ E ∗ , chuẩn của f được xác định bởi công thức

Không gian con thực sự H của không gian định chuẩn E được gọi làsiêu phẳng trong E nếuF là một không gian con của E chứaH thì hoặcF = H hoặcF = E.

1.3.1 Định lý Nếu H là một siêu phẳng thì hoặc H đóng, hoặc H trù mật trong E.

1.3.2 Định lý Giả sử f ∈ E ∗ , f 6= 0 Khi đó

Tập lồi

Tập con C của không gian tuyến tính E được gọi là tập lồi nếu với mọi a, b ∈ C, α ∈ [0; 1] thì αa+ (1−α)b ∈ C.

(i) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi.

Bao lồi của tập A, ký hiệu là coA, là giao của tất cả các tập lồi chứa A Nếu A và B là các tập lồi và α là một số thực thuộc R, thì các tập hợp A + B, αA, và clA cũng đều là các tập lồi.

Cho A, B là 2 tập con của không gian vectơ E Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ X ∗ , f 6= 0 được gọi làtách A và B nếu f(a) ≤f(b) hoặc f(a) ≥ f(b), ∀ a ∈

A, ∀ b ∈ B Điều này tương đương với tồn tại α ∈ R sao cho f(a) ≤ α ≤ f(b)

Lúc đó ta nói siêu phẳng H := f −1 (α) = {x ∈ X : f(x) =α}, α ∈ K, tách A và B Nếu B = {x 0 } thì ta nói siêu phẳng H tách A và x 0

1.4.1 Định lý Nếu A và B là 2 tập hợp khác rỗng, lồi và A∩B = ∅ thì tồn tại một siêu phẳng tách A và B.

Không gian xác suất

1.5.1 Định nghĩa Giả sử Ω 6= ∅ và P(Ω) là họ tất cả các tập con của Ω Mỗi họ F ⊂ P(Ω) được gọi là một lớp.

Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là đại số nếu

A k ∈ F. Nếu thay điều kiện (iii) bởi điều kiện

(iv) Nếu A n ∈ F, với mọi n ≥ 1 thì

A n ∈ F thì F được gọi là σ− đại số.

1.5.2 Định lý 1 F là đại số khi và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện

2 F là σ− đại số khi và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện

(vii) Nếu A n ∈ F, với mọi n ≥ 1 thì

1.5.3 Định nghĩa Giả sử C ∈ P(Ω) Khi đó đại số (σ− đại số) bé nhất chứa C được gọi là đại số (σ− đại số) sinh bởi C, ký hiệu A(C)(σ(C)).

Giả sử (X, τ) là một không gian tôpô với X khác rỗng và τ là tập hợp các tập mở Khi đó, σ− đại số nhỏ nhất bao gồm các tập mở của X được gọi là σ− đại số Borel, ký hiệu là B(X).

1.5.4 Định nghĩa Giả sử Ω 6= ∅ và F là một σ− đại số các tập con của Ω Khi đó cặp (Ω,F) được gọi là không gian đo.

Giả sử cặp (Ω,F) là khụng gian đo Khi đú ỏnh xạ à : F −→ R được gọi là độ đo trên F nếu i) à(A) ≥ 0, ∀ A∈ F ii) à(∅) = 0 iii) Nếu A n ∈ F với mọi n ≥1 và A i ∩A j = ∅ với mọi i 6= j thì à(

Trong lý thuyết xác suất, mỗi tập A thuộc F được gọi là tập đo được, với độ đo của A được ký hiệu là à(A) Nếu độ đo tổng quát à(Ω) có giá trị hữu hạn (à(Ω) < ∞), thì à được xem là độ đo hữu hạn Đặc biệt, khi à(Ω) = 1, à được gọi là độ đo xác suất, thường được ký hiệu bằng chữ P.

Giả sử Ω không rỗng và F là một σ-đại số con của Ω với à là độ đo trên F Khi đó, bộ ba (Ω, F, à) được gọi là không gian đo được Đặc biệt, nếu à là độ đo xác suất P, thì (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất.

Khung gian đo được (Ω,F, à) được coi là đầy đủ khi σ−đại số F bao gồm tất cả các tập con có độ đo bằng 0 Một σ−đại số G ⊂ F được xem là đầy đủ nếu G cũng chứa tất cả các tập có độ đo bằng 0.

Ánh xạ đo được và phần tử ngẫu nhiên

1.6.1 Định nghĩa Giả sử (Ω 1 ,F 1 ), (Ω 2 ,F 2 ) là hai không gian đo. Ánh xạ X : Ω 1 → Ω 2 gọi la ánh xạ F 1 /F 2 đo được nếu với mọi B ∈ F 2 thì

Giả sử (Ω,F,P) là không gian xác suất đầy đủ, trong đó E là không gian Banach thực khả ly G được định nghĩa là một σ−đại số con của σ−đại số F, trong khi B(E) là σ−đại số các tập Borel của không gian E.

1.6.2 Định nghĩa Ta nói ánh xạX : Ω → E làphần tử ngẫu nhiên G− đo được, nếu nó là ánh xạ G/B(E) đo được (nghĩa là với mọi B ∈ B(E) thì X −1 (B) ∈ G).

Phần tử ngẫu nhiên F − đo được sẽ được gọi một cách đơn giản là phần tử ngẫu nhiên.

Nếu X là phần tử ngẫu nhiên G− đo được, thì X cũng là phần tử ngẫu nhiên Ngược lại, nếu X là phần tử ngẫu nhiên, thì họ σ(X) = (X −1 (B) : B ∈ B(E)) tạo thành σ−đại số con của σ−đại số F, được gọi là σ−đại số sinh bởi X Hơn nữa, σ(X) là σ đại số nhỏ nhất mà X đo được Vì vậy, X là phần tử ngẫu nhiên G− đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G.

1.6.3 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E được gọi là phần tử ngẫu nhiên rời rạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì

X được gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong đó |X(Ω)| là lực lượng của tập hợp X(Ω)).

1.6.4 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được gọi là hội tụ đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞), nếu Xn(ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞) với mọi ω ∈ Ω Ký hiệu Xn → X (khi n → ∞).

Định lý 1.6.5 khẳng định rằng nếu E1 và E2 là các không gian Banach thực khả ly, và T là ánh xạ đo được giữa B(E1) và B(E2), cùng với X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được từ không gian E1, thì ánh xạ T ◦ X cũng sẽ là một phần tử ngẫu nhiên G-đo được trong không gian E2.

1.6.6 Hệ quả Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G− đo được. Khi đó ánh xạ ||X|| : Ω → R là biến ngẫu nhiên G− đo được.

1.6.7 Định lý Ánh xạ X : Ω →E là phần tử ngẫu nhiên G− đo được khi và chỉ khi với mọi f ∈ E ∗ thì f(X) là biến ngẫu nhiên G− đo được.

1.6.8 Hệ quả Nếu {X n , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên G− đo được và

X n → X khi n→ ∞ thì X là phần tử ngẫu nhiên G− đo được.

Định nghĩa ánh xạ à : A → [0; +∞] được gọi là độ đo dương trên σ-đại số A nếu với mọi họ đếm được các tập đôi một không giao nhau {A k } k∈N, trong đó A k ∈ A với mọi k ∈ N, ta có à([ k∈N).

(ii) Tập X với σ− đại số A và độ đo dương à trờn A (hay bộ ba (X,A, à)) được gọi là không gian có độ đo.

(iii) Ta núi à là σ− hữu hạn nếu X là hợp của một họ đếm được cỏc tập cú độ đo hữu hạn.

(iv) Nếu với mọi A ∈ A thỏa món à(A) = 0 và với mọi A 0 ⊂ A ta cú A 0 ∈ A thỡ ta núi rằng σ− đại số A là à− đủ (tức là đủ theo độ đo à).

(v) Bộ ba (X,A, à) được gọi là một khụng gian cú độ đo đủ, σ− hữu hạn nếu à là độ đo dương σ− hữu hạn và A là à− đủ.

1.6.10 Định lý Giả sử (Ω,A) là không gian đo, X là không gian tôpô Khi đó, ánh xạ đơn trị f : Ω →X là đo được nếu f −1 (V) := {x ∈ Ω : f(x) ∈ V} ∈ A với mỗi tập mở V ⊂ X.

Định lý 1.6.11 khẳng định rằng nếu (Ω,A) là một không gian đo được và X là một không gian mêtric khả ly, thì ánh xạ f: Ω → X là đo được nếu nó là giới hạn theo điểm của một dãy ánh xạ đo được f k: Ω → X Cụ thể, điều này có nghĩa là với mọi ω ∈ Ω, ta có f(ω) = lim k→∞ f k(ω).

Thật vậy, vì X là không gian mêtric khả ly nên tồn tại tập điểm {x i : i ∈ N} trù mật trong X Khi đó, với mỗi tập mở V ⊂ X ta có f −1 (V) ={ω ∈ Ω : f(ω) ∈ V}

KHÔNG GIAN CÁC TẬP ĐÓNG VÀ PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TẬP ĐÓNG

Giả sử (X,||.|| X ) là không gian Banach với không gian liên hợp X ∗

Ta ký hiệu : 0 là phần tử đơn vị của X. θ = {0}.

R là tập hợp các số thực.

U là một hình cầu đơn vị mở trong X (U = B(0; 1) = {x ∈ X : ||x|| X < 1}).

K bc (X) = {A⊂ X :A đóng, bị chặn, lồi và A 6= ∅}.

Khi đó ta có định nghĩa về hai phép toán trên P 0 (X) như sau:

2.1.1 Định nghĩa Với mọi A, B ∈ P 0 (X), λ ∈ R, ta có

2.1.2 Nhận xét 1) P 0 (X) không phải là không gian tuyến tính với 2 phép toán trên Thậy vậy, lấy X = R và A = [0; 1] ∈ K kc (X) Khi đó không tồn tại tập

Thật vậy, nếu B 6= ∅ thì tồn tại b ∈ B Khi đó

Suy ra tập A không có phần tử đối, do đó P 0 (X) không tuyến tính.

2) Nếu A và B là các tập đóng thì nói chung A+ B không phải là tập đóng. Thật vậy, lấy

Ta thấy 0 ∈/ A+ B vì A là tập con của các số nguyên âm, B là tập con của các số không nguyên.

Mặt khác 1 n ⊂ A+B, mà n 1 → 0 Suy ra A+B không đóng.

*Ký hiệu : A⊕B = cl{a+b : a ∈ A, b ∈ B} với cl là bao đóng của A+B.

Trước hết ta chứng minh nếu A, B compact suy ra A+B compact.

Thật vậy, lấy dãy {z n } ⊂ A+B, suy ra tồn tại {x n } ⊂ A, {y n } ⊂ B sao cho x n +y n = z n

Vì A compact nên tồn tại {x n k } → x ∈ A khi k → ∞.

Vì B compact nên tồn tại {y n kl } ⊂ {y n k }, {y n kl } → y ∈ B khi l → ∞.

Từ đó, suy ra x n kl →x khi l → ∞ Do đó z n kl = x n kl +y n kl →x+y ∈ A+B khi l → ∞.

Bây giờ ta chứng minh nếu A, B lồi suy ra A + B lồi Thật vậy, lấy x, y ∈

2.1.3 Định nghĩa Nếu A, B ∈ P 0 (X), x ∈ X thì khoảng cách giữa x và A được định nghĩa d(x, A) = inf y∈Ad(x, y), x ∈ X, với d(x, y) =||x−y|| X

Khoảng cách Hausdorff giữa 2 tập A, B ∈ P 0 (X) được định nghĩa như sau

Đặc biệt chúng ta ký hiệu

2.1.4 Định lý Không gian (K b (X), H) là một không gian mêtric đầy đủ, hơn nữa

K k (X),K kc (X),K bc (X) là các tập con đóng của (K b (X), H).

Chứng minh +) Không gian (K b (X), H) là không gian mêtric.

Với A, B ∈ K b (X) thì 0 ≤ H(A, B) < ∞ Thậy vậy, vì A, B bị chặn nên tồn tại m > 0 sao cho ||A|| K ≤m, ||B|| K ≤ m.

Lấy a ∈ A Khi đó d(a, B) = inf y∈Bd(a, y) ≤inf d(a,0) +inf d(0, y) ≤ 2m.

Tương tự b ∈ B thì d(b, A) ≤ 2m Suy ra 0 ≤ H(A, B) < ∞.

(+) Từ định nghĩa ta có H(A, B) =H(B, A).

(+) Ta cần chứng minh với mọi A, B, C ∈ K b (X) thì

Thật vậy, lấy a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, ta có

||a−b|| X ≤ ||a−c|| X +||c−b|| X Lấy inf với b∈ B, ta có d(a, B) ≤ ||a−c|| X +d(c, B).

Lấy inf với c ∈ C, ta có d(a, B) ≤ d(a, C) + inf c∈Cd(c, B).

Vì inf c∈Cd(c, B) ≤ sup c∈C d(c, B) và lấy sup với a ∈ A, ta có sup a∈A d(a, B) ≤ sup a∈A d(a, C) + sup c∈C d(c, B)

Tương tự sup b∈B d(b, A) ≤ sup b∈B d(b, C) + sup c∈C d(c, A)

+) Không gian (K b (X), H) là một không gian đầy đủ Ta chứng minh rằng bất kỳ dãy Cauchy {A n } ⊂ K b (X), tồn tại A ∈ K b (X) sao cho H(An, A) → 0 khi n → ∞ Lấy

Trước tiên ta thấy A 6= ∅ Thật vậy, với mỗi ε > 0có một dãy tăng n(1) < n(2) j.Khi đó {x k : k ≥k0} ⊂

A n Do đó x ∈ A. Điều đó chứng tỏ rằng A đóng và bị chặn, do đó

Ta sẽ chứng minh rằng n→∞lim H(A n , A) = 0. Đầu tiên, ta lấy ε > 0 Khi đó tồn tại N ∈ N sao cho H(A k , A l ) < ε với mọi k, l ≥ N.

Với mỗi x ∈ A có một dãy tăng n(1) < n(2) < và x k ∈ A n(k) sao cho k→∞lim x k = x.

Như vậy có thể tìm được m ∈ N: n(m) ≥ N và ||x−x m || X < ε Ta có d(x, A k ) ≤ ||x−x m || X + d(x m , A k ) ≤ ||x−x m || X +H A n(m) , A k

Như vậy từ x ∈ A bất kỳ, ta có sup x∈A d(x, A k ) < 2ε với mọi k ≥ N. Điều này chứng tỏ n→∞lim sup x∈A d(x, A n ) = 0.

Tiếp theo ta chứng minh rằng n→∞lim sup y∈A n d(y, A) = 0, với mỗi n ≥n(1), trong đó n(1) thõa mãn (2.1.1).

Thật vậy, với mỗi y ∈ A n tồn tại x 1 ∈ A n(1) sao cho ||y −x 1 || X < ε Bắt đầu từ x 1 , ta cũng lấy x k ∈ A n(k) như thế, khi đó x := lim k→∞x k là tồn tại và x ∈ A.

Từ đó d(y, A) < 2ε Như vậy, với y ∈ A n tùy ý, ta có sup y∈A n d(y, A) ≤ 2ε, ∀ n≥ n(1).

Vậy ta đã chứng minh được n→∞lim H(An, A) = 0.

+) Ta chứng minh K k (X) là tập con đóng của (K b (X), H).

Lấy {A n } ⊂ K k (X) và H(An, A) → 0 khi n → ∞, có nghĩa là với bất kỳ ε > 0, tồn tại n0 sao cho H(An, A) < ε/2 với n ≥ n0 Đặc biệt, A ⊂ (ε/2)U + An0, cho thấy An0 là tập compact Từ đó, tồn tại một tập con hữu hạn F sao cho An0 ⊂ (ε/2)U + F Điều này dẫn đến A ⊂ εU + F, chứng minh rằng A là tập bị chặn hoàn toàn, và do đó A là tập compact tương đối.

+) Ta chứng minh K kc (X),K bc (X) là các tập con đóng của (K b (X), H).

Lấy dãy {A n } ⊂ K bc (X) và H(An, A) →0 khi n → ∞.

Ta chỉ phải chứng minh rằng A lồi.

Thật vậy với mỗi a, b ∈ A và 0 ≤ λ ≤ 1, cho c = λa+ (1−λ)b Dễ dàng chứng minh rằng, với bất kỳ n∈ N, ta có d(c, An) ≤ λd(a, An) + (1−λ)d(b, An) ≤ sup a∈A d(a, An).

Do đó, với bất kỳ n ∈ N, ta có sup a∈A∪{c} d(a, A n ) ≤sup a∈A d(a, A n ).

Khi đó ta có n→∞lim H(A n , A∪ {c}) = 0.

Do đó A = A∪ {c}, tức là c ∈ A Điều này chứng tỏ A lồi. Định lý đã được chứng minh.

2.1.5 Định lý Nếu X khả ly thì không gian (Kk(X), H) khả ly.

Chứng minh Lấy một tập con D đếm được trù mật trong X Gọi D là các tập con hữu hạn của D Khi đó D là tập đếm được.

Ta cần chứng minh D trù mật trong K k (X) Với mỗi K ∈ K k (X) và ε > 0, tồn tại x 1 , x 2 , , x l ∈ K sao cho

Vì D là tập trù mật trong X nên tồn tại K ε = (y 1 , y 2 , , y l ) ⊂ D sao cho

||x k −y k || X < ε, k = 1, l Rõ ràng K ε ∈ D Ta chứng minh H(K ε , K) < 2ε Thật vậy, với z ∈ K, ta có

||y k −z|| X ≤ ||y k −x k || X +||x k −z|| X Lấy inf với z ∈ K, ta có d(y k , K) ≤ ||y k −x k || X +d(x k , K).

Nếu x k ∈/ K, thì do K ∩B(x k , ε) 6= ∅ nên tồn tại t∈ K ∩B(x k , ε).

Mặt khác với mỗi x ∈ K, y ∈ K ε , x i ∈ N ε , i= 1, l, ta có

||x−y|| X ≤ ||x−x i || X +||x i −y|| X Lấy inf với y ∈ K ε , ta có d(x, Kε) ≤ ||x−xi|| X +d(xi, Kε).

Lấy inf với x i ∈ N ε , ta có d(x, K ε ) ≤ d(x, N ε ) +ε.

Vì x ∈ K nên tồn tại i 0 sao cho x ∈ B(x i 0 , ε) Suy ra

Do đó D trù mật trong (K k (X), H). Định lý đã được chứng minh.

2.1.6 Định lý Giả sử X ∗ là không gian liên hợp của không gian Banach X. Với f ∈ X ∗ , f 6= 0 ∗ và H α = f −1 (α) := {x ∈ X : f(x) = α} thì ta có d(x 0 , H α ) = |f(x 0 )−α|

+) Giả sử x 0 = 0 Khi đó d(x 0 , H α ) =d(0, H α ) = inf x∈H α ||x||.

||f|| X ∗ = 0. Đó là điều phải chứng minh.

Nếu α 6= 0 thì bằng cách chú ý rằng f α f(x)x

||f|| X ∗ +) Với bất kỳ x 0 ∈ X, chú ý rằng x 0 −H α = f −1 (f(x 0 )−α).

Thật vậy x 0 −H α ⊂ f −1 (f(x 0 )−α) Lấy y ∈ x 0 −H α , suy ra x 0 −y ∈ H α

Do đó f(x 0 ) − y = α nên f(x 0 ) − f(y) = α, suy ra f(y) = f(x 0 ) − α Vậy y ∈ f −1 (f(x 0 )−α).

Lấy x ∈ f −1 (f(x 0 )−α) Khi đó f(x) = f(x 0 )−α, suy ra f(x 0 )−f(x) = α. Nên f(x 0 −x) = α Do đó x 0 −x ∈ H α Mặt khác, ta có x = x 0 −(x 0 −x) suy ra x ∈ x 0 −H α

||f|| X ∗ Định lý được chứng minh.

2.1.7 Định lý Cho A ∈ K c (X) và α = d(0, A) > 0 Khi đó, tồn tại f ∈ S ∗ sao cho siêu phẳng f −1 (α) tách các tập lồi αU và A Đặc biệt α ≤ inf a∈Af(a) (2.4.1)

Chứng minh.Chú ý rằng A∩int(αU) =∅, int(αU) 6= ∅ Do đó tồn tại f ∈ S ∗ và β ∈ R sao cho siêu phẳng f −1 tách các tập lồi αU và A, tức là sup x∈αU f(x) ≤ β ≤ inf a∈Af(a) (2.4.2)

Từ (2.4.2) và (2.4.3), ta có được (2.4.1) và α ≤ β.

Mặt khác theo Định lý 2.1.6 ta có d(0, f −1 (β)) = |f(0)| −β

Như vậy α = β và siêu phẳng f −1 (β) tách các tập lồi αU và A. Định lý được chứng minh.

2.1.8 Nhận xét Từ (2.4.1), ta có α = inf a∈Af(a) (2.4.4)

Thật vậy, do bất đẳng thức f(a) ≤ ||f|| X ∗ ||a|| X = ||a|| X Từ đó suy ra a∈Ainf f(a) ≤ inf a∈A||a|| X = d(a,0) = α.

Kết hợp (2.4.1), ta suy ra α = inf a∈Af(a). Định lý được chứng minh.

**) Với mỗi A ∈ K(X), ta định nghĩa s(f, A) = sup a∈A f(a), f ∈ X ∗

Ký hiệu coA là bao đóng lồi của A.

(2) Cho {A, A n , n ∈ N} ⊂ K c (X) và A n → A theo khoảng cách Hausdorff Khi đó n→∞lim s(f, A n ) =s(f, A), f ∈ X ∗

(1) +) Với mỗi x ∈ coA, tồn tai cỏc dóy {x n },{y n } trong A và dóy {à n } trong [0; 1] sao cho n→∞lim(à n x n + (1−à)y n ) =x.

Chỳ ý rằng f(à n x n + (1−à)y n ) ≤ s(f(A)), với mỗi n Từ đú suy ra f(x) ≤ s(f, A), f ∈ X ∗

+) Ngược lại, lấy x ∈ (coA) C và ta có f(x) =s(f, A), f ∈ X ∗

Khi đó (coA) C là tập mở.

Ta lấy một hình cầu đóng U ε (x) = {y ∈ X : ||y −x|| X ≤ ε} sao cho

U ε (x)∩ coA = ∅ Suy ra tồn tại f ∈ X ∗ , β ∈ R sao cho f −1 (β) tách các tập lồi U ε (x) và coA.

Lấy −f thay cho f nếu cần thiết, ta có sup a∈A f(a) ≤ sup a∈coA f(a) ≤ β ≤ f(x)−ε.

Suy ra s(f(a)) ≤ f(x). Điều này mâu thuẫn với giả thiết Chứng tỏ x ∈ A, suy ra x ∈ coA.

Theo định nghĩa, với mỗia ∈ A n , tồn tạix ∈ Asao cho ||a−x|| X < d(a, A)+ n 1

Do đó, với mỗi f ∈ X ∗ , từ (1), ta có f(a) ≤ ||f|| X ∗ ||a−x|| X +f(x) ≤ ||f|| X ∗

+s(f, A) và lim n→∞sups(f, A) ≤ s(f, A). Tương tự ta có s(f, A) ≤ ||f|| X ∗

+s(f, A n ). Điều đó chứng tỏ s(f, A) ≤ lim n→∞sups(f, A n ). Đó là điều phải chứng minh.

2.1.10 Định lý Với mỗi A, B ∈ K bc (X) thì sup a∈A d(a, B) = sup{s(f, A)−s(f, B) : f ∈ S ∗ }.

Chứng minh +) Ta chứng minh sup a∈A d(a, B) ≤ sup{s(f, A)−s(f, B) : f ∈ S ∗ }

Lấy a ∈ A, theo Định lý 2.1.7, tồn tại f ∈ S ∗ sao cho d(a, B) = d(0, a−B) ≤ inf x∈a−Bf(x).

Giả sử α > 0, với mỗi 0 < ε < α, ta có a ∈ A sao cho 0 < a−ε < f(a)−β. Như vậy siêu phẳng f −1 (β) tách B và a vì thế d(a, f −1 (β)) < d(a, B).

Theo Định lý 2.1.6, ta có d(a, f −1 (β)) = |f(a)−β|

Như vậy, với 0< ε < α tùy ý, ta suy ra α ≤ sup a∈A d(a, B). Định lý được chứng minh.

2.1.11 Hệ quả Với mỗi A, B ∈ K bc (X), ta có

Chứng minh Từ Định lý 2.1.10 ta có sup{|f(x)| : x ∈ X} = sup{max{f(x),−f(x)}}

(trong đó f là hàm bất kỳ trên X).

Từ hệ quả trên ta có định lý sau

2.1.12 Định lý Với A, B, C, D ∈ P 0 (X), ta có

Chứng minh Lấy a, b, c, d từ A, B, C, D tương ứng, ta có

Tôpô Fell

(X,G) là không gian tôpô, A ⊂X, K là họ các tập compact của X.

2.2.1 Định nghĩa Tôpô Fell là tôpô có cơ sở là họ các tập F G , ∀ G ∈ G và

2.2.2 Định lý (i) Nếu X là không gian Hausdorff thì F compact trên không gian tôpô Fell và F K compact trên F, với mỗi K ∈ K.

(ii) Nếu X là không gian compact địa phương Hausdorff thì F là không gian compact Hausdorff và F 0 là không gian compact địa phương Hausdorff.

Nếu không gian X là không gian Hausdorff, thì X sẽ là không gian compact địa phương thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu và chỉ nếu không gian F 0 cũng là không gian compact địa phương và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai trong tôpô Fell.

(iv) Nếu X là không gian Hausdorff và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì

F 0 là không gian compact trên tôpô Fell nếu và chỉ nếu X là không gian compact.

Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng

Trong không gian xác suất (Ω, F, P), một ánh xạ X: Ω → F từ Ω vào không gian các tập con đóng F của X được gọi là hàm đa trị hoặc hàm nhận giá trị tập đóng.

Trước đây, F được xác định là họ các tập con đóng của không gian X, nhưng hiện tại, X là không gian Mêtric đầy đủ và khả ly Mục tiêu của chúng ta là xác định các tập đóng ngẫu nhiên trong X thông qua các hàm đa trị đo được, từ đó tạo nền tảng cho việc giới thiệu các khái niệm quan trọng liên quan đến tính đo được.

2.3.2 Định nghĩa Một ánh xạ X : Ω → F được gọi là Effros - đo được nếu

X − (G) ={ω : X(ω)∩G 6= ∅} ∈ F, với mỗi G ∈ G, tức là với mỗi tập mở G.

+) Effros σ− đại số trên F được sinh ra bởi họ F G , ∀ G∈ G.

+) Đôi khi, hàm đa trị Effros đo được gọi là đo được yếu, để phân biệt với đo được mạnh X thõa mãn X − (F) = {ω : X(ω)∩F 6= ∅} ∈ F, với tập đóng F bất kỳ.

2.3.3 Định nghĩa Một phần tử ngẫu nhiên ξ nhận giá trị trên X được gọi là lát cắt (đo được) của X nếu ξ(ω) ∈ X(ω), ∀ω ∈ Ω.

Họ tất cả các ξ của X được định nghĩa ở trên được ký hiệu là S(X).

2.3.4 Định lý (Định lý cơ bản về tính đo được của hàm đa trị)

Cho X là một không gian Mêtric khả ly Xét các phát biểu sau đây

(3) X − (G) ∈ F, với mỗi G ∈ G, Tức là X là Effros - đo được.

(4) Khoảng cách hàm ρ(ν, X) = inf{ρ(ν, x) : x ∈ X} gọi là một phần tử ngẫu nhiên với mỗi ν ∈ X.

(5) Tồn tại một dãy{ζ n } của lát cắt đo được củaX sao cho X = cl{ζ n , n ≥ 1}.

Khi đó, ta có các kết quả sau đây

(ii) Nếu X là không gian Polish (tức X là không gian mêtric đầy đủ, khả ly) thì

(iii) Nếu X là không gian Polish và không gian xác suất (Ω,F,P) là đầy đủ thì (1)-(6) là tương đương.

Một ánh xạ đo được X : Ω → F được gọi là một tập đóng ngẫu nhiên trong X.

Chúng ta giả định rằng X là không gian Polish và không gian xác suất (Ω,F,P) là đầy đủ Theo Định lý 2.3.4, tất cả các định nghĩa về tính đo được (1)-(6) là tương đương Do đó, X được coi là đo được nếu thỏa mãn ít nhất một trong các định nghĩa này.

2.3.5 Định nghĩa (σ− đại số sinh bởi X) σ− đại số FX sinh bởi tập đóng ngẫu nhiên X là σ− đại số sinh bởi các tập dạng X − (G) ={ω ∈ Ω : X(ω)∩ G6= ∅}, với G∈ G.

Rõ ràng, F X là σ− đại số bé nhất trên Ω, mà với nó X là Effros -đo được Nếu

X là không gian compact tương đối thì F X sinh bởi X − (K), K ∈ K.

Tính đo được của hàm đa trị đặc biệt.

Nếu X tập con ngẫu nhiên lồi, compact yếu của không gian Banach thì nó có thể đưa ra một tiêu chuẩn đơn giản về tính đo được của X.

2.3.6 Mệnh đề (tính đo được của hàm đa trị ngẫu nhiên lồi.)

Nếu không gian liên hợp X ∗ là khả ly, thì hàm đa trị có giá trị lồi và compact yếu sẽ được đo nếu và chỉ nếu không gian X là đo được vô hướng.

X được xác định h(X, u) := sup{(x, u) : x ∈ X} là một biến ngẫu nhiên với mỗi u ∈ X ∗ , trong đó (x, u) là ký hiệu giá trị của u lên x

Điều kiện cần để chứng minh là suy ra trực tiếp từ tính chất 5 của Định lý 2.3.4, dẫn đến h(X, u) = sup{(ζ n , u) : n ≥ 1} Điều kiện đủ được thiết lập bằng cách lấy B 1 ∗ là hình cầu đơn vị trong không gian đối ngẫu X ∗ Với mỗi z ∈ X, ta có ρ(z, X) = inf x∈X sup u∈B ∗ 1 hz−x, ui.

Như vậy x 7→ hz −x, ui là một hàm lõm và cả X và B 1 ∗ là các tập lồi, có thể đổi inf và sup.

Do đó ρ(z, X) = sup u∈B 1 ∗ hz, ui −sup x∈X hx, ui

[hz, u n i −hhX, u n i] là đo được, trong đó dãy {u n , n ≥ 1} là trù mật trong B 1 ∗ Định lý được chứng minh.

2.3.7 Định nghĩa Tập F ⊂ X gọi là tập chính quy nếu nó trùng với bao đóng của phần trong của nó (tức là F = cl(intF)).

Định lý 2.3.8 khẳng định rằng một hàm đa trị X nhận giá trị đóng và chính quy hầu như chắc chắn trong không gian Polish X sẽ là một tập đóng ngẫu nhiên, tức là X là Effros-đo được, nếu và chỉ nếu tập hợp {ω : x ∈ X(ω)} thuộc F đối với mọi x ∈ X.

Chứng minh. Điều kiện cần : Suy ra trực tiếp từ Định lý 2.3.4 Điều kiện đủ : Lấy một tập Q= {x n : n ≥1} đếm được trù mật trong X.

Với mỗi xn, An = {ω : xn ∈ X(ω)} ∈ F Khi đó, S n≥1

An = {ω : X(ω) 6= ∅} là đo được Vì vậy, không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng X(ω) 6= ∅ với mọi ω ∈ Ω.

Xác định một phần tử ngẫu nhiên ζ trong không gian mẫu X, với ζ(ω) nhận giá trị x1 nếu ω thuộc A1, x2 nếu ω thuộc A2 nhưng không thuộc A1, và x3 nếu ω thuộc A3 nhưng không thuộc A1 và A2 Do đó, ζ trở thành một lát cắt đo được của X Chúng ta có thể xác định một họ đếm được các lát cắt đo được, ký hiệu là ζn(ω).

Chú ý rằng cl(X ∩Q) =X, vì X là đóng, chính quy Khi đó X = cl{ζ n , n ≥ 1}, do đó X là Effrors -đo được theo Định lý 2.3.4. Định lý được chứng minh.

Luận văn đã thu được các kết quả chính sau đây:

1 Trình bày có hệ thống một số kiến thức của giải tích và xác suất.

1.1 Kiến thức cơ bản về không gian tôpô.

1.2 Kiến thức cơ bản về không gian mêtric.

1.3 Kiến thức cơ bản về không gian Banach.

1.4 Kiến thức cơ bản về tập lồi.

1.5 Kiến thức cơ bản về không gian xác suất.

1.6 Kiến thức cơ bản về ánh xạ đo được và phần tử ngâu nhiên.

2 Trình bày có hệ thống một số không gian các tập đóng và phần tử ngẫu nhiên nhân giá trị tập đóng.

2.2 Định nghĩa và các tính chất về tôpô Fell.

2.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng.

Hướng phát triển tiếp theo của luận văn là nghiên cứu các định lý giới hạn của dãy các biến ngẫu nhiên đa trị.