Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian banach (tt)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THỦY

LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 9460106

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, năm 2018

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học: 1 PGS.TS Lê Văn Thành

2 GS TSKH Nguyễn Duy Tiến

Phản biện 1: PGS.TS Ngô Hoàng Long

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Phản biện 2: TS Lê Hồng Sơn

Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh

Phản biện 3: PGS.TS Phan Đức Thành

Hội Toán học Nghệ An

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường

Tại Trường Đại học Vinh Vào hồi 8h00’ ngày 30 tháng 01 năm 2019

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin – Thư viện Nguyễn Thúc Hào

thuộc Trường Đại học Vinh

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳng địnhtrung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối hội tụ theo mộtnghĩa nào đó về kì vọng của các biến ngẫu nhiên đó Trong nhiều năm gần đây,luật số lớn vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu Luật sốlớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên và nhiềulĩnh vực khác Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lýthuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn

1.2 Logic tự nhiên của sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xácsuất đã dẫn đến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển Một trongnhững hướng tổng quát đó là từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiênnhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử nhận giá trị trong không gianBanach, hoặc từ các kết quả đã có đối với dãy mở rộng sang các kết quả đối vớimảng hai hay nhiều chỉ số các phần tử ngẫu nhiên Có rất nhiều câu hỏi đượcđặt ra như “từ các kết quả cho dãy một chỉ số đã có, liệu rằng có thể thiết lậpđược các kết quả tương tự cho mảng nhiều chỉ số không?”, “phương pháp chứngminh các kết quả cho dãy một chỉ số có vận dụng được trong trường hợp mảngnhiều chỉ số không?”, Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số định lýgiới hạn dạng luật số lớn mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trịtrong không gian Banach thực khả li Các kết quả thu được đối với mảng hai chỉ

số có thể tổng quát thành mảng nhiều chỉ số bằng phương pháp hoàn toàn tươngtự

1.3 Bên cạnh các dạng hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xácsuất, hội tụ theo trung bình, trong lý thuyết xác suất ta còn xét đến hội tụ đầy

đủ theo trung bình Hội tụ đầy đủ theo trung bình là một dạng hội tụ mạnh hơn

hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình Tuy nhiên, các kết quả về sự hội tụ nàychưa thật phong phú.

1.4 Xác suất trên không gian Banach là một hướng nghiên cứu quan trọng của

lý thuyết xác suất Có rất nhiều định lý giới hạn đúng trong không gian thựcnhưng không còn đúng trong không gian Banach

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mìnhlà: “Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng cácphần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach”

2 Mục đích nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu

số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banachtương đương với nhau Bên cạnh đó, luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội

tụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn Luận án cũng nghiên cứuđiều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tửngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối Cuối cùng, chúng tôi trình bày cácdạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng một trong các bất

phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phânphối, độc lập không cùng phân phối và độc lập đôi một cùng phân phối nhận giátrị trong không gian Banach thực khả li

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ theo trung bình và

sự hội tụ đầy đủ đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không

gian Banach thực, khả li với giả thiết độc lập và độc lập đôi một Đồng thời,luận án cũng nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển như

phần tử ngẫu nhiên độc lập Sau đó, chúng tôi vận dụng dạng tổng quát của bất

các phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp độc lập nghiên cứu tài liệu, seminar theonhóm dưới sự chủ trì của thầy hướng dẫn, và trao đổi với các nhà khoa họctrong và ngoài nước Các công cụ chủ yếu sử dụng trong luận án là các bất đẳngthức cực đại như bất đẳng thức de Acosta, bất đẳng thức Lévy, bất đẳng thức

đẳng thức đối xứng mạnh Đặc biệt, luận án sử dụng phương pháp dãy con,phương pháp xấp xỉ, và phương pháp đối xứng hóa để chứng minh các kết quả

về luật số lớn và sự hội tụ của mảng các phần tử ngẫu nhiên

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiêncứu về luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ, và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối vớimảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứusinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan về luận án

Luật số lớn đầu tiên được Bernoulli công bố vào năm 1713 Về sau kết quảnày được mở rộng bởi Poisson, Chebyshev, Markov và Khintchin Tuy nhiênphải đến năm 1909 luật mạnh số lớn được Borel phát hiện và kết quả này đượcKolmogorov hoàn thiện vào năm 1933 Sau đó kết quả này đã được mở rộngbởi Marcinkiewicz và Zygmund Đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị

thực, năm 1973 Smythe đã thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov Sau đó,luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng nhiều chỉ số cũng đượcnghiên cứu bởi Gut năm 1978, Klesov năm 1985 Trong luận án, chúng tôi tiếptục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trịtrong không gian Banach bất kì Cụ thể hơn, chúng tôi đã đưa ra điều kiện đểluật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau.

ra đầu tiên bởi Chow năm 1988 cho trường hợp dãy các biến ngẫu nhiên nhậngiá trị thực Năm 2006, các tác giả Rosalsky, Thành và Volodin đã thiết lập sự

giá trị trong không gian Banach Trong luận án, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu

đó, chúng tôi cũng nghiên cứu về điều kiện cần và đủ của sự hội tụ đầy đủ củatổng kép có trọng số của các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một

Các bất đẳng thức đánh giá xác suất đuôi của tổng các biến ngẫu nhiên đóngvai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất Chúng là chìa khóa để thiết lập luật

số lớn cũng như các định lý giới hạn khác Từ các bất đẳng thức cổ điển Etemadi,

giá trị trong không gian Banach Sau đó, năm 2013 các tác giả Li và Rosalsky

đã thiết lập dạng tổng quát của các bất đẳng thức cổ điển trên Trong luận án,chúng tôi nghiên cứu dạng tổng quát của các bất đẳng thức cổ điển này chotrường hợp mảng hai chỉ số Sau đó, chúng tôi vận dụng kết quả này để chứng

7.2 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận

chung và kiến nghị, Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án và Tàiliệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương.Chương 1 được dành để nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫunhiên độc lập, nhận giá trị trong không gian Banach thực, khả li Cụ thể hơn,chúng tôi đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảngcác phần tử ngẫu nhiên độc lập tương đương với nhau.

của mảng các phần tử ngẫu nhiên Chương 2 gồm hai mục Mục 2.1 đưa ra một

minh họa cho các kết quả chính Phản ví dụ thứ nhất chỉ ra hội tụ đầy đủ và hội

tụ theo trung bình không kéo theo hội tụ đầy đủ theo trung bình Phản ví dụthứ hai chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.3, chúng ta không thể làm yếu giả thiết độclập bởi giả thiết độc lập đôi một Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra điều kiện cần

và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lậpđôi một Ở mục này, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng trong Định lý2.2.2, ta không thể thay thế giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôimột, cùng phân phối bởi giả thiết độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi một phần tửngẫu nhiên bị chặn Các kết quả chính của chương là Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.3

và Định lý 2.2.2

Chương 3 được dành để nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức

phần tử ngẫu nhiên độc lập Sau đó, chúng tôi trình bày sự vận dụng dạng tổng

kéo theo luật mạnh số lớn Các kết quả chính của chương là các Định lý 3.2.1,3.2.2, 3.2.3, 3.2.4 và Định lý 3.3.2

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN

BANACH

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần

tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Chúng tôi đưa ra các điềukiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau Các kết quảchính của chương được viết dựa trên bài báo [1] Trong luận án này, nếu không

nhiên, ta luôn kí hiệu

Smn=

mX

i=1

nX

j=1

Xij, m ≥ 1, n ≥ 1.

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này, trình bày một số kiến thức chuẩn bị và các bổ đề để làm công cụ

để nghiên cứu nội dung chính của chương như: Định nghĩa các dạng hội tụ củamảng, chuỗi hai chỉ số các số thực, các dạng hội tụ của các phần tử ngẫu nhiên Trong mục này, chúng tôi giới thiệu bổ đề Borel-Cantelli hai chỉ số cho trườnghợp độc lập đôi một

1.1.1 Bổ đề (Bổ đề Borel-Cantelli cho mảng hai chỉ số)

(i) Nếu P∞m=1P∞n=1P(Amn) < ∞, thì P(lim sup Amn) = 0.

∞X

m=1

∞X

n=1

P(Amn ) = ∞,

thì

P(lim sup Amn ) = 1.

2.

tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi i ≥ 1 và với mọi vj ∈ E (1 ≤ j ≤ i),

E

iX

j=1

kvjkp

!1/p

{Xmn, m ≥ 1, n ≥ 1} nếu {Xmn0 , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập với {Xmn, m ≥ 1, n ≥ 1}, vàvới mọi m ≥ 1, n ≥ 1, {Xij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} cùng phân phối với {Xij0 , 1 ≤ i ≤

Trường hợp một chỉ số của Định lý 1.2.1 được chứng minh bởi de Acosta năm1981.

ngẫu nhiên độc lập

(i) Giả sử rằng

∞X

m=1

∞X

n=1

EkXmnk p

m αp n βp < ∞ với 1 ≤ p ≤ 2. (1.2.1)Khi đó,

m=1

∞X

1, n ≥ 1} với giả thiết là các phần tử ngẫu nhiên đối xứng

Pnj=1 (Xij− Xij0 )

Bổ đề thứ hai chỉ ra rằng nếu kXmnk ≤ mαnβ h.c.c., m ≥ 1, n ≥ 1 thì luật yếu

Bằng phương pháp chứng minh tương tự đã sử dụng trong chứng minh củaĐịnh lý 1.2.1, ta thu được Định lý 1.2.5 Kết quả này là một dạng của luật sốlớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập cùngphân phối nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li Định lý 1.2.5 đượcchứng minh bởi Giang năm 1995 và Mikosch, Norvaiˇsa năm 1987 Tuy nhiên,cách chứng minh của chúng tôi trình bày ở đây hoàn toàn khác với cách chứngminh của các tác giả trên

nhiên độc lập cùng phân phối sao cho E(kX11kplog+kX11k) < ∞ Khi đó,

Smn(mn) 1/p

P

nếu và chỉ nếu

S mn

Kết luận của Chương 1

Trong chương này, luận án đã đạt được những kết quả sau:

- Đưa ra được điều kiện cần và đủ để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đốivới mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach thực khả

li bất kỳ tương đương với nhau

- Trình bày cách chứng minh mới cho luật mạnh số lớn đối với mảng các phần

CHƯƠNG 2

SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Trong chương này, chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp

Smn/(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn/(mn) → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞.Chúng tôi cũng trình bày sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫunhiên độc lập đôi một, cùng phân phối Các kết quả chính của chương được viếtdựa trên hai bài báo [2,3]

2.1 Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

cho dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Năm 2006, các tác giả Rosalsky,

dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach Kết

(1 ≤ p ≤ 2) đã đưa ra một đặc trưng của không gian Banach Rademacher loại p.Trong mục này, chúng tôi sẽ mở rộng Định lý 1 và Định lý 3 của ba tác giả trênsang trường hợp mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên độc lập Sự mở rộng của

như trường hợp một chỉ số, trong khi đó sự mở rộng của Định lý 3 sang trườnghợp hai chỉ số phức tạp hơn rất nhiều Sự mở rộng này đòi hỏi phải chuyển mộtloạt các kết quả về luật số lớn từ một chỉ số sang hai chỉ số.

Trước tiên, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp

∞X

m=1

∞X

n=1

EkX mn − Xkp < ∞.

Khi đó ta kí hiệu Xmn c,L→ X.p

nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng Trong mục này, chúng tôi đưa ra

mãn Vmn→ Xc và Vmn → XLp khi m ∨ n → ∞, nhưng Vmnc,L9p X

giả trên sang trường hợp mảng hai chỉ số Kết quả này đưa ra một đặc trưng của

khẳng định sau là tương đương

∞X

m=1

∞X

c,L p

Định lý tiếp theo là kết quả chính của mục này Trong định lý này, ta chỉ ra

Nếu

Smn(mn) (p+1)/p

2.1.4 Nhận xét Năm 2006, Rosalsky, Thanh và Volodin thiết lập Định lý 2.1.3

trường hợp mảng hai chỉ số phức tạp hơn nhiều so với trường hợp một chỉ số.Đặc biệt, chúng tôi phải sử dụng bất đẳng thức cực đại Etemadi đối với mảnghai chỉ số

Chứng minh của Định lý 2.1.3 bao gồm nhiều bước Vì vậy chúng ta sẽ chianhỏ nó ra hai bổ đề Bổ đề đầu tiên đưa ra điều kiện cần và đủ để luật mạnh sốlớn Smn/(mn) → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞ trong đó {Xmn, m ≥ 1, n ≥ 1} là các phần

tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng

i=m+1

2nX

j=n+1

Xij > εmn

!

< ∞ với mọi ε > 0. (2.1.6)

độc lập nhưng không có giả thiết đối xứng

2.1.6 Bổ đề Cho {Xmn, m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lậpnhận giá trị trong không gian Banach E Khi đó,

Smn

khi và chỉ khi

Smnmn

i=m+1

2nX

j=n+1

Xij > εmn

!

< ∞ với mọi ε > 0. (2.1.9)

2.1.7 Nhận xét Năm 2014, Son, Thang và Dung đã chứng minh một kết quả

hơn, các tác giả trên đã chứng minh được rằng với mảng các phần tử ngẫu nhiên{X mn , m ≥ 1, n ≥ 1} nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li, điều kiện

1 (mn)(p+1)/p k≤m, l≤nmax kSklkc,L→ 0p với 1 ≤ p ≤ 2kéo theo

1

mn k≤m, l≤nmax kSklk → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞.

Kết quả của các tác giả trên và kết quả của chúng tôi là không so sánh đượcvới nhau Chứng minh của chúng tôi cũng hoàn toàn khác với chứng minh ba tácgiả trên Hơn nữa, trong mục này chúng tôi cũng chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.3,

làm yếu hơn bằng giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một

2.2 Sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một nhận giá trị trong không gian Banach

Trong mục này, chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tửngẫu nhiên độc lập đôi một Kết quả chính của mục này là Định lý 2.2.2

Trước khi trình bày kết quả về sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số cácphần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, chúng ta phát biểu và chứng minh một kết

quả tương ứng cho mảng các biến ngẫu nhiên Sau đó, dùng phương pháp xấp xỉ

và kết quả về các biến ngẫu nhiên, ta thu được kết quả tương ứng cho các phần

tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

E |X|plog+|X|
< ∞, (2.2.1)thì với mọi ε > 0, ta có

kX

i=1

lX

j=1

amnij Xij −EXij

i=1

nX

j=1

a2mnij ≤ Cmn với mọi m ≥ 1, n ≥ 1. (2.2.3)

Bây giờ ta sẽ trình bày kết quả chính của mục này Định lý sau đây thiết lập

sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôimột, cùng phân phối

ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối Nếu

EX = 0, E kXkplog+kXk
< ∞, (2.2.4)thì với mọi ε > 0, ta có

∞

X

m=1

∞X

n=1

(mn)p−2P max

k≤m, l≤n

kX

i=1

lX

j=1

amnijXij > εmn

!

< ∞, (2.2.5)

1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} thỏa mãn (2.2.3), thì ta thu được (2.2.4)

Bây ta trình bày kết mục Định lý sau thiết lập

sự hội tụ đầy đủ tổng kép có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôimột,...

sự hội tụ đầy đủ tổng kép có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôimột, phân phối

ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối Nếu

EX = 0, E kXkplog+kXk
<... kXkplog+kXk
< ∞, (2.2.4)thì với ε > 0, ta có

∞

X

m=1

∞X