Kiến thức chuẩn bị
Mục này giới thiệu các khái niệm cơ bản và kết quả cần thiết cho luận văn Trong luận văn, nếu không có giải thích bổ sung, các không gian sẽ được hiểu là không gian T1 và chính quy, trong khi các ánh xạ được coi là toàn ánh và liên tục.
1.1.1 Định nghĩa Giả sử P là họ các tập con của không gian tôpô X.
(1) Họ P được gọi là đếm được theo điểm (tương ứng hữu hạn theo điểm) nếu với mỗi a ∈ X thì
P a = {P ∈ P : a ∈ P} là tập đếm được (tương ứng là tập hữu hạn).
(2) Họ P được gọi là hữu hạn địa phương (tương ứng rời rạc, đếm được địa phương) nếu với mỗi a ∈ X thì tồn tại lân cận U của a sao cho
P 0 = {P ∈ P : P ∩U 6= ∅} là tập hữu hạn (tương ứng có không quá một phần tử, không quá đếm được).
(3) Họ P được gọi là sao-đếm được nếu mỗi P o ∈ P thì
Họ P = {P α : α ∈ Λ} được gọi là bảo tồn phép lấy bao đóng di truyền (HCP) nếu điều kiện cl(∪{B α : α ∈ Λ 0 }) = ∪{clB α : α ∈ Λ 0 } được thỏa mãn với mọi Λ 0 ⊂ Λ và B α ⊂ P α cho tất cả α ∈ Λ 0, trong đó clB đại diện cho bao đóng của tập B.
{P n : n ∈ N ∗ }, trong đó P n là họ có tính chất (p) với mọi n ∈ N.
(6) Không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu X được xác định bởi một phủ gồm các tập con compact.
1.1.2 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và P ⊂ X.
(1) Dãy{x n } được gọi là nằm trong P từ một lúc nào đó nếu x n −→ x và tồn tại m ∈ N sao cho
(2) Dãy {x n } được gọi là thường xuyên gặp P nếu có một dãy con nào đó của {x n } nằm trong P từ một lúc nào đó.
1.1.3 Định nghĩa Giả sử P là phủ của không gian tôpô X.
(1) P được gọi là lưới tại x nếu mỗi U mở trong X, x ∈ X đều tồn tại
P được gọi là lưới của X nếu nó là lưới tại mọi điểm x ∈ X.
(2) P được gọi là k-lưới của X nếu mỗi tập compact K và mỗi lân cận
V của K, tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ V, trong đó
P được gọi là cs-lưới của X nếu với mọi dãy {x n } trong X hội tụ tới x ∈ X, thì với mỗi lân cận U của x, tồn tại P ∈ P sao cho P ⊂ U và {x n } nằm trong P từ một thời điểm nhất định.
(4) X được gọi là ℵ-không gian nếu X có k-lưới σ-hữu hạn địa phương.
1.1.4 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, x ∈ X và P ⊂ X.
(1) Tập P ⊂ X được gọi là lân cận dãy của x nếu mọi dãy hội tụ đến x đều nằm trong P từ một lúc nào đó.
(2) Tập P ⊂ X được gọi là mở dãy trong X nếu P là lân cận dãy của mọi điểm thuộc P.
(3) X được gọi là không gian dãy nếu mỗi tập mở dãy của X là mở trong
(4) X được gọi là không gian paracompact nếu mỗi phủ mở của X tồn tại một các mịn hữu hạn địa phương mở.
1.1.5 Định nghĩa Giả sử P là phủ của không gian tôpô X.
P được gọi là cs-phủ (hay cs ∗ -phủ) khi mọi dãy hội tụ đều nằm trong P từ một thời điểm nhất định, tương ứng với việc thường xuyên gặp P, với P thuộc tập hợp P nào đó.
Tập hợp P được gọi là sn-phủ nếu với mỗi phần tử P trong P, P là lân cận dãy của một điểm x thuộc tập X Đồng thời, với mỗi điểm x trong X, tồn tại ít nhất một phần tử P trong P sao cho P là lân cận dãy của x.
(3) P được gọi là cfp-phủ của tập compact K ⊂ X nếu họ hữu hạn {K α : α ∈ J} các tập con đóng của K và {P α : α ∈ J} ⊂ P sao cho
P được gọi là cfp-phủ của X nếu bất kì tập con compact K nào của X đều tồn tại tập hữu hạn P ∗ ⊂ P sao cho P ∗ là cfp-phủ của K trong X.
{P x : x ∈ X} là phủ của X, thoả mãn hai điều kiện sau
(i) P x là lưới tại x với mỗi x ∈ X nghĩa là x ∈ ∩P x và mỗi lân cận
U của x tồn tại P ∈ P x sao cho P ⊂ U, trong đó ta viết ∩P x thay cho
(ii) Với mọi P 1 , P 2 ∈ P x , tồn tại P 3 ∈ P x sao cho P 3 ⊂P 1 ∩P 2 ;
(1) P được gọi là một sn-lưới của X nếu với mọi x ∈ X thì mỗi phần tử thuộc P x là lân cận dãy của x Khi đó ta cũng gọi P x là sn-lưới tại x.
Cơ sở yếu P của không gian X được xác định khi với bất kỳ tập con G ⊂ X và điểm x ∈ G, tồn tại một phần tử P ∈ P x sao cho P ⊂ G, thì G được coi là tập mở trong X Trong trường hợp này, P x được gọi là cơ sở lân cận yếu tại x, và mỗi phần tử của P x được xem là lân cận yếu của x.
1.1.7 Định nghĩa Giả sử {P n } là dãy các phủ của không gian tôpô X.
(1) {P n } được gọi là lưới sao-điểm của X nếu với mỗi x ∈ X thì {st(x,P n ) : n ∈ N} là lưới tại x trong X.
(2) {P n } được gọi là sn-lưới sao-điểm của X nếu với mỗi x ∈ X thì {st(x,P n ) : n ∈ N} là sn-lưới tại x trong X.
(3) {P n }được gọi là dãy các phủ trải được yếu của X nếu với mỗi x∈ X thì {st(x,P n ) : n ∈ N} cơ sở lân cận yếu của X.
Trong không gian tôpô X, P(X) đại diện cho tập hợp tất cả các tập con của X Ánh xạ g từ N×X đến P(X) được gọi là ánh xạ phủ mở yếu đếm được, hay còn được viết tắt là CW C-ánh xạ.
(ii) g(n+ 1, x) ⊂ g(n, x) với mọi x ∈ X và với mọi n∈ N;
(iii) Tập con U của X là mở nếu với mỗi x ∈ U tồn tại n ∈ N sao cho g(n, x) ⊂ U.
1.1.9 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và P là phủ của X, với mỗi họ con F của P, ta kí hiệu
Int s (∪F) = {x ∈ X : ∪F là lân cận dãy của x}.
P được gọi là có tính chất (B) nếu với mọi x ∈ X, mọi lân cận U của x tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho
Các không gian sn-khả mêtric
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và tính chất của không gian sn-khả mêtric.
1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô.
(1) Không gian X được gọi là sn-khả mêtric nếu X có sn-lướiσ-hữu hạn địa phương.
(2) Không gian X được gọi là snf-đếm được nếu X có sn-lưới
P = ∪{P x : x ∈ X} sao cho mỗi P x là họ đếm được.
1.2.2 Bổ đề ([9]) Giả sử X là không gian tôpô.Khi đó các điều kiện sau là tương đương.
(1) X là không gian sn-khả mêtric.
(2) X có sn-lưới σ-rời rạc.
(3) X là không gian snf-đếm được và ℵ-không gian.
1.2.3 Định lý ([9]) Mỗi không gian có sn-lưới đếm được địa phương là không gian sn-khả mêtric.
Chứng minh Giả sử X là không gian có sn-lưới đếm được địa phương
Vì P là tập đếm được địa phương, mỗi P x cũng là tập đếm được, dẫn đến việc X trở thành không gian snf-đếm được Hơn nữa, P là sn-lưới, do đó P cũng là cs-lưới Cụ thể, nếu {x n } là một dãy trong X với x n → x và V là lân cận mở của x, thì
P là sn-lưới nên tồn tại P ∈ P x sao cho x ∈ P ⊂ V Từ P là lân cận dãy của x suy ra tồn tại n o ∈ N sao cho x n ∈ P với mọi n > n o Do đó
Vậy P là cs-lưới đếm được địa phương của X Theo [4] (Bổ đề 2.9) thì P là k-lưới Vì thếX là không gian snf-đếm được với k-lưới đếm được địa phương.
Do đó X là k-không gian với k-lưới đếm được địa phương nên X là ℵ-không gian Từ bổ đề 1.2.2 ta có X là không gian sn-khả mêtric.
1.2.4 Bổ đề ([9]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó (1)⇔ (2) ⇒(3), trong đó
(1) X có sn-lưới σ-đếm được địa phương.
(2) X là không gian snf-đếm được với cs-lưới σ-đếm được địa phương.
(3) X là không gian snf-đếm được với k-lưới σ-đếm được địa phương.
Chứng minh (1) ⇒ (2) Suy ra từ cách chứng minh định lí 1.2.3.
Giả sử X là không gian snf-đếm được với cấu trúc lưới σ-đếm được địa phương, tồn tại P = ∪{P n : n ∈ N ∗ } sao cho P là cấu trúc lưới và P n đếm được địa phương trong X Nếu K ⊂ X là tập compact và V là lân cận mở của K, thì với mỗi n∈ N ∗, chúng ta có thể xác định các đặc điểm liên quan đến tập hợp này.
Khi đó, từ P n đếm được địa phương và tính compact của K suy ra có thể giả thiết A n là tập đếm được Do đó A = ∪{A n :n ∈ N ∗ } là tập đếm được.
P i nào đó Thật vậy, giả sử ngược lại K *
P i với n ∈ N ∗ Với mỗi n ∈ N ∗ ta chọn x n ∈ K \ [ i m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V. Đặt P = P j , j ∈ N ∗ Ta chọn l > m sao cho n l > j Khi đó x n l ∈ P j Điều này mâu thuẫn với x n ∈ K \ [ i n 1, tồn tại P 2 ∈ P sao cho x n 2 ∈ P 2 và x n 2 ≠ x n 1 Qua quy nạp, ta xây dựng dãy con hội tụ {x n k} của L với x n k ∈ P k ∈ P cho mọi k ∈ N ∗ và x n k ≠ x n t nếu k ≠ t Tuy nhiên, {{x n k} : k ∈ N ∗} không bảo tồn bao đóng di truyền, mâu thuẫn với giả thiết P có tính chất HCP.
1.2.9 Bổ đề Nếu P là họ các tập con của không gian X có tính hữu hạn địa phương thì P có tính HCP.
Chứng minh Giả sử P là phủ hữu hạn địa phương và P o là họ con tuỳ ý của P Khi đó, P o có tính hữu hạn địa phương Với mỗi P ∈ P o lấy bất kì
Từ P o hữu hạn địa phương nên A là hữu hạn địa phương Ta sẽ chứng tỏ cl(∪A) = ∪{clA: A ∈ A}.
Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh cl(∪A) ⊂ ∪{clA :A ∈ A}.
Giả sử x ∈ cl(∪A) Từ tính hữu hạn địa phương của A suy ra tồn tại lân cận mở U của x sao cho
A x = {A ∈ A : A∩U 6= ∅} là tập hữu hạn Khi đó ta có
Mà x ∈ cl(∪A) =cl(∪(A \ A x ))∪cl(∪A x ) nên x ∈ cl(∪A x ) = ∪{clA :A ∈ A x }.
Vậy P có tính chất HCP.
1.2.10 Bổ đề ([11]) Mọi không gian compact có k-lưới đếm được theo điểm là khả mêtric.
1.2.11 Bổ đề Nếu X là không gian Fréchet thì mọi lân cận dãy của x ∈ X đều là lân cận của x.
Giả sử U là lân cận dãy của x ∈ X nhưng không phải là lân cận của x, dẫn đến x ∈ X \ U Từ định nghĩa không gian Fréchet, tồn tại dãy {x_n} ⊂ X \ U với x_n → x Do U là lân cận dãy của x, nên tồn tại n_0 ∈ N sao cho {x_n : n > n_0} ⊂ U, gây ra mâu thuẫn Do đó, U phải là lân cận của x.
1.2.12 Định lý Với không gian tôpô X hai điều kiện sau là tương đương.
(1) X là không gian sn-khả mêtric.
(2) X có {G n } là sn-lưới sao-điểm hữu hạn địa phương thoả mãn (i) G n+1 là cái mịn của G n với mỗi n∈ N;
(ii) G n là cfp-phủ với mỗi n∈ N.
Chứng minh (1) =⇒ (2) Vì X là sn-khả mêtric nên theo [11] (Bổ đề 2.2),
X có sn-lưới J = ∪{J n : n ∈ N}, với mỗi J n là một họ rời rạc các tập con đóng của X Từ đó, ta có thể viết J = ∪{J x : x ∈ X}, trong đó J x là sn-lưới tại x Đối với mỗi n = 1, 2,
Ta sẽ chứng minh {G n } là sn-lưới sao-điểm thoả mãn (i), (ii) Rõ ràng mỗi
G n là một phủ của X và G n+1 là cái mịn của G n với mỗi n ∈ N.
Giả sử x ∈ X và U là tập mở trong X chứa x Khi đó, vì ∪{J t : t ∈ X} là sn-lưới nên tồn tại P ∈ J x sao cho P ⊂U Do
∪{J n : n ∈ N}= ∪{J t : t∈ X} nên tồn tại n ∈ N sao cho P ∈ J n ⊂ P n Từ tính rời rạc của J n suy ra
Tập hợp J n ∩ J x = {P}, và vì x không thuộc K n, nên st(x,G n ) nằm trong P và P nằm trong U, với st(x,G n ) = ∪{G ∈ G n : x ∈ G} Do đó, {st(x,G n ) : n ∈ N} tạo thành một lưới tại x Với G n+1 là sự tinh tế của G n cho mỗi n ∈ N, ta có st(x,G l ) nằm trong st(x,G n ) ∩ st(x,G m) nếu l > max{n, m} Như vậy, {st(x,G n ) : n ∈ N} thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định nghĩa 1.1.6 Giả sử S là một dãy trong X, hội tụ tới x ∈ st(x,G n ) Khi J x ∩ J n không rỗng, tồn tại P ∈ J x ∩ J n, và vì P là lân cận dãy của x, nên S sẽ nằm trong P từ một thời điểm nào đó, dẫn đến S nằm trong st(x,G n) từ một thời điểm nào đó Nếu J x ∩ J n rỗng, thì đặt
Rõ ràng x ∈ U, và do J n rời rạc, tồn tại lân cận V 1 của x sao cho V 1 chỉ giao với nhiều nhất một phần tử của J n Điều này dẫn đến việc tồn tại lân cận V của x sao cho V ⊂ U, từ đó khẳng định U là lân cận của x Hơn nữa, U ⊂ st(x,G n) cho thấy S nằm trong st(x,G n) từ một thời điểm nào đó Do đó, st(x,G n) là lân cận dãy của x, và chúng ta có thể kết luận rằng {st(x,G n) : n ∈ N} là sn-lưới tại x Điều này chứng minh rằng {G n} là sn-lưới sao-điểm Với J n là họ rời rạc, P n trở thành họ hữu hạn địa phương, từ đó G n cũng là họ hữu hạn địa phương cho mỗi n Cuối cùng, G n là sn-lưới sao-điểm hữu hạn địa phương thỏa mãn điều kiện (i).
Bây giờ ta chứng minh G n là cfp-phủ Giả sử C là tập con compact của
Đối với mỗi x thuộc C, tồn tại một lân cận Vx của x sao cho Vx chỉ giao với tối đa một phần tử của Jn Từ tính compact của C, ta suy ra rằng C chỉ giao với một số hữu hạn các phần tử F1, F2, , Fk của Jn.
K = C \(∪{int C C j : j = 1,2, , k}\), trong đó int C C j là phần trong của C j trong C Từ giả thiết X là không gian metric có chiều sâu n-k, suy ra X có lưới σ-hữu hạn địa phương B Do đó, theo Bổ đề 1.2.9, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về cấu trúc của không gian này.
Các không gian sn-khả mêtric và ảnh compact thương của không
thương của không gian mêtric
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu khái niệm về các ánh xạ đặc biệt và các điều kiện cần thiết để không gian sn-khả mêtric có thể được coi là hình ảnh của một không gian mêtric thông qua các ánh xạ này.
1.3.1 Định nghĩa Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ với (X, d) là không gian mêtric f được gọi là π-ánh xạ nếu với mỗi y ∈ Y và U là lân cận của y thì d(f −1 (y), X \f −1 (U)) > 0.
1.3.2 Định nghĩa.Giả sửX, Y là các không gian tôpô Ánh xạf : X →Y.
(1) f được gọi là ánh xạ thương nếu f −1 (U) mở trong X thì U mở trong
(2) f được gọi là ánh xạ thương dãy nếu mọi dãy S hội tụ trong Y, tồn tại dãy L trong X sao cho f(L) là dãy con của S.
(3) f được gọi là ánh xạ phủ dãy nếu mỗi dãy {y n } hội tụ trong Y, tồn tại dãy {x n } hội tụ trong X sao cho x n ∈ f −1 (y n ) với mọi n ∈ N.
(4) f được gọi là σ-ánh xạ nếu tồn tại một cơ sở B của X sao cho f(B) là họ σ-hữu hạn địa phương của Y.
(5) f được gọi là ánh xạ compact nếu mỗi y ∈ Y,f −1 (y) là tập compact.
(6) f được gọi là ánh xạ 1-phủ dãy nếu mỗi y ∈ Y, tồn tại x ∈ f −1 (y) sao cho mọi dãy {y n } hội tụ tới y ∈ Y thì tồn tại dãy {x n } hội tụ tới x∈ X và x n ∈ f −1 (y n ) với mọi n∈ N.
1.3.3 Bổ đề ([4]) Nếu X là π-ảnh, thương dãy của không gian mêtric thì X có sn-lưới sao-điểm và vì thế X là snf-đếm được.
Chứng minh Giả sử f : M −→ X là π-ánh xạ thương dãy, (M, d) là không gian mêtric Đặt
Khi đó {P n } là sn-lưới sao-điểm của X Thật vậy, với x ∈ U mở trong X, vì f là π-ánh xạ nên tồn tại n ∈ N sao cho d(f −1 (x), M \f −1 (U)) > 1/n.
Với n ∈ N, tồn tại m ∈ N sao cho m > 2n và P m là phủ của X Do đó tồn tại z ∈ M sao cho x ∈ f(B(z,1/m)) Rõ ràng f −1 (x)∩B(z,1/m) 6= ∅.
Do đó B(z,1/n) ⊂ f −1 (U) Thật vậy, giả sử ngược lại Khi đó tồn tại y ∈ B(z,1/n)∩(M \f −1 (U)).
Ta lấy t∈ f −1 (x)∩B(z,1/m) thì d(t, y) 6 d(t, z) +d(z, y) < 2/m 61/n. Điều này mâu thuẫn với giả thiết, do đó
Vậy st(x,P m ) ⊂U nên st(x,P n ) là lưới tại x.
Ta có st(x,P n ) và st(x,P m ) với m, n ∈ N Vì B(z,1/n) và B(z,1/m) là các tập mở nên B(z,1/n)∩ B(z,1/m) là tập mở, do đó tồn tại k ∈ N sao cho k > max{n, m} thì
Vì vậy P k = {f(B(z,1/k)) : z ∈ M} thoả mãn st(x,P k ) ⊂st(x,P n )∩st(x,P m ).
Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng st(x, Pn) là lân cận của dãy x Với x thuộc tập X và n thuộc tập N, giả sử S là một dãy hội tụ tới x Vì f là ánh xạ thương dãy, nên tồn tại một dãy con L hội tụ tới t thuộc f −1(x) trong M, sao cho f(L) là dãy con của S.
B = B(t, 1/n) và f(B) thuộc Pn Do B mở trong M và L nằm trong B từ một thời điểm nào đó, nên f(L) nằm trong f(B) và thuộc st(x, Pn) từ một thời điểm nhất định Do đó, S nằm trong st(x, Pn) từ một thời điểm nào đó, cho thấy st(x, Pn) là lân cận dãy của x Như vậy, Pn là sn-lưới sao-điểm.
Khi đó X là không gian snf-đếm được.
Giả sử f : X −→ Y là một ánh xạ và {y n } là dãy hội tụ tới y ∈ Y Nếu {B k } là lưới giảm tại x ∈ f −1 (y) trong X, và từ một thời điểm nào đó, {y n } nằm trong f(B k ) với mọi k ∈ N, thì sẽ tồn tại một dãy {x k } hội tụ tới x, sao cho {f(x k )} là dãy con của {y n }.
Giả sử {B k } là lưới giảm tại x ∈ f −1 (y) trong X và {y n } nằm trong f(B k ) với mọi k ∈ N Có tồn tại n k ∈ N sao cho y n ∈ f(B k ) với mọi n > n k, dẫn đến f −1 (y n )∩B k 6= ∅ với mọi n > n k Ta có thể giả sử 1 < n k < n k+1 với mọi k ∈ N Đối với mỗi n ∈ N, chọn x n ∈ f −1 (y n ) nếu n < n k và x n ∈ f −1 (y) ∩ B k nếu n k < n < n k+1 Do đó, {f(x n )} là dãy con của {y n } Cuối cùng, cần chứng minh rằng {x n } hội tụ đến x.
U là lân cận mở của x Khi đó tồn tại k ∈ N sao cho x ∈ B k ⊂ U Với mỗi n > n k , tồn tại k 0 > k sao cho n k 0 6n 6n k 0 +1
Vì vậy x n ∈ B k 0 ⊂ B k ⊂ U Vậy {x n } hội tụ tới x.
1.3.5 Định lý ([4]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó các điều kiện sau là tương đương.
(1) X là không gian sn-khả mêtric.
(2) X là σ-ảnh, thương dãy, compact của không gian mêtric.
(3) X là σ, π-ảnh, thương dãy của không gian mêtric.
Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử X là không gian sn-khả mêtric Khi đó theo Định lí 1.2.12, X có sn-lưới sao-đếm được hữu hạn địa phương {P n }.
Ta viết P n = {P α : α ∈ Λ n } với mọi n ∈ N, trong đó các {Λ n } là đôi một rời nhau Với mọi n= 1,2, ta đặt
Ta trang bị tôpô rời rạc cho mỗiΛ n , n ∈ N.Khi đó F n là hữu hạn địa phương.
Λ n là không gian rời rạc, do đó nó là không gian mêtric rời rạc cho mọi n thuộc N Hơn nữa, Z là không gian con của không gian tích Tychonoff Y n∈ N Λ n, vì vậy Z cũng được coi là không gian mêtric.
Ta sẽ chứng minh rằng mỗi điểm \( x_a \) là duy nhất Giả sử \( \{P_{\alpha_n} : n \in \mathbb{N}\} \) là lưới tại \( x_a \) và \( x_b \) Khi đó, \( \{x_a, x_b\} \subset P_{\alpha_n} \) với mọi \( n \in \mathbb{N} \) Nếu \( x_a \neq x_b \), thì tồn tại lân cận mở \( U \) của \( x_a \) sao cho \( x_b \notin U \) Vì \( \{P_{\alpha_n}\} \) là lưới tại \( x_a \) trong \( X \), nên tồn tại \( n_0 \in \mathbb{N} \) sao cho \( x_a \in P_{\alpha_{n_0}} \subset U \).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mâu thuẫn giữa việc suy ra x b không thuộc tập P α Điều này dẫn đến hai khả năng: x a có thể bằng x b hoặc x a là duy nhất Chúng ta định nghĩa ánh xạ f từ Z đến X với f(a) = x a, và nhận thấy rằng f là một ánh xạ toàn ánh và liên tục Cụ thể, đối với mọi x thuộc X, ánh xạ này đảm bảo tính chất liên tục.
Vì vậy tồn tại α n ∈ Λ n sao cho {x}= P α n với mọi n ∈ N Do đó
{P α n : n ∈ N} là lưới tại x ∈ X Đặt a = (α n ) ta có a ∈ Z và f(a) = x a Vậy f toàn ánh. Giả sử a = (α n ) ∈ Z vàf(a) = x a ,U là lân cận mở củax a Vì{P α n : n∈ N} là lưới tại x a ∈ X nên tồn tại k ∈ N sao cho x a ∈ P α k ⊂ U. Đặt
Khi đó V là lân cận mở của a và f(V) ⊂ P α k ⊂ U.
Bây giờ ta sẽ chứng minh f là σ-ánh xạ, compact và thương dãy.
(i) f là ánh xạ thương dãy.
Với x thuộc tập X và S là dãy hội tụ tới x, ta có thể xác định lân cận của x là st(x, Pn) với n thuộc N Từ một thời điểm nhất định, dãy S sẽ nằm trong lân cận st(x, Pn) Hơn nữa, vì Pn là hữu hạn theo điểm, tồn tại một dãy con S0 thuộc S sao cho S0 nằm trong P từ một thời điểm nào đó với mọi phần tử P thuộc Pn.
L o hội tụ tới x Với mỗi n ∈ N, chọn α n ∈ Λ n và dãy con L n ⊂ L o sao cho
L n ⊂L n−1 và L n nằm trong P α n ∈ P n từ một lúc nào đó Đặt a = (α n ) ∈ Y n∈ N Λ n ,
Khi đó {Z n } là cơ sở tại a và f(Z n ) = \ k 6 n
P α k sẽ tồn tại c 0 = (γ k 0 ) ∈ Z sao cho f(c 0 ) =y Với k ∈ N đặt γ k α n nếu k 6 n γ k 0 nếu k > n và đặt c = (γ k ) Do y ∈ \ n∈ N
Để xác định dãy L n nằm trong P α k từ một thời điểm nào đó với mọi k lớn hơn n, ta có thể khẳng định rằng L n thuộc f(Z n) từ một lúc nào đó Theo Bổ đề 1.3.4, tồn tại dãy {a n} hội tụ tới a, sao cho {f(a n)} là một dãy con của L Do đó, f là ánh xạ thương dãy.
(ii) f là ánh xạ compact.
Khi Γ n là tập hữu hạn, nó trở thành tập compact, dẫn đến Y n∈ N Γ n cũng là tập compact trong Y n∈ N Λ n Nếu a ∈ f −1 (x), thì f(a) = x, và do đó a có thể biểu diễn dưới dạng (α n ) với P α n là lưới tại x, tức là (α n ) thuộc Y n∈ N Γ n Ngược lại, nếu b = (β n ) thuộc Y n∈ N Γ n, thì P β n là lưới tại x, từ đó suy ra f(b) = x và b thuộc f −1 (x) Do đó, ta có f −1 (x) = Y n∈ N Γ n.
Mà Y n∈ N Γ n là tập compact nên f là ánh xạ compact.
(iii) f là σ-ánh xạ. Đặt
B(α 1 , α 2 , , α n ) ={b = (β k ) ∈ Z :β k = α k , k 6n}, trong đó(α n ) ∈ Z, n∈ N Khi đó {B(α 1 , α 2 , , α n )} là cơ sở củaZ Chứng minh tương tự (i) ta được f(B(α 1 , α 2 , , α n )) = \ k 6 n
Mặt khác F n là hữu hạn địa phương nên
{f(B(α 1 , α 2 , , α n )) : (α n ) ∈ Z, n∈ N} là σ-hữu hạn địa phương Vậy f là σ-ánh xạ.
Để chứng minh rằng ánh xạ f là π-ánh xạ khi f là ánh xạ compact, ta cần lưu ý rằng f −1(y) là tập compact cho mọi y ∈ X, từ đó suy ra f −1(y) là tập đóng Giả sử U là lân cận mở của y ∈ X, thì f −1(U) sẽ là tập mở trong Z do tính liên tục của f Điều này dẫn đến việc X \ f −1(U) là tập đóng, và ta có f −1(y) ∩ (X \ f −1(U)) = ∅.
Giả sử Z là không gian mêtric và f : Z −→ X là σ, π-ánh xạ, thương dãy Theo Bổ đề 1.3.3, ta có thể kết luận rằng X là snf-đếm được Để chứng minh rằng X có cs ∗ -lưới σ−HCP, chúng ta cần áp dụng Bổ đề 1.2.7.
Do f là σ-ánh xạ, tồn tại cơ sở B sao cho f(B) là σ-hữu hạn địa phương và theo Bổ đề 1.2.9, f(B) là σ-HCP Chúng ta sẽ chứng minh rằng f(B) là cs*-lưới Giả sử S là dãy hội tụ trong X và U là tập mở chứa x Vì f là ánh xạ thương dãy, nên tồn tại dãy L hội tụ tới a ∈ Z, với f(L) là dãy con của S, từ đó suy ra a ∈ f^(-1)(x) ⊂ f^(-1)(U).
B là cơ sở của Z nên tồn tại B ∈ B sao cho a ∈ B ⊂ f −1 (U).
Vì vậy L nằm B từ một lúc nào đó, do đó f(L) nằm trong f(B) từ một lúc nào đó Mà f(B) ⊂ f(f −1 (U)) = U.
Nên f(L) nằm trong U từ một lúc nào đó Suy ra S thường xuyên gặp f(B) ⊂ f(B) Vậy f(B) là cs ∗ -lưới của X.
1.3.6 Định lý ([9]) Với không gian tôpô X, các điều kiện sau là tương đương.
(1) X là không gian sn-khả mêtric.
(2) X là σ-ảnh, compact, phủ dãy của không gian mêtric.
(3) X là σ-ảnh, 1-phủ dãy của không gian mêtric.
Giả sử X là không gian sn-khả mêtric, theo Bổ đề 1.2.2, X có sn-lưới σ-rời rạc F Do X là chính quy, ta có thể giả định rằng các phần tử của F là các tập hợp đóng trong X.
F = ∪{B i : i ∈ N} = ∪{F x : x ∈ X}, trong đó mỗi B i là họ rời rạc các tập con đóng của X, còn F x là cơ sở yếu tại x Với mỗi i ∈ N, ta đặt
Khi đó P i là phủ hữu hạn địa phương của X và P là cs-lưới σ-hữu hạn địa phương của X Giả sử
P i = {P α :α ∈ Λ i }, trong đó P i khép kín với phép giao hữu hạn và
Với mỗi i ∈ N trên Λ i , ta xét tôpô rời rạc Khi đó Λ i là không gian mêtric. Đặt
Không gian g-trải và ánh xạ phủ dãy
Trong mục này, chúng tôi tìm hiểu về mối quan hệ giữa không gian g-trải và ảnh của một không gian mêtric qua các ánh xạ đặc biệt.
2.2.1 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian đối xứng.
(1) Dãy {x n } trong X được gọi là d-Cauchy nếu với mỗi ε > 0, tồn tại k ∈ N sao cho d(x n , x m ) < ε với mọi m, n > k.
(2) Không gian X được gọi là đối xứng Cauchy nếu mọi dãy hội tụ trong
2.2.2 Bổ đề ([6]) Giả sử X là không gian g-trải với CW C-ánh xạ g. Đặt γ n = {g(n, x) : x ∈ X}, n ∈ N. Khi đó
P = ∪{st(x, γ n ) : x ∈ X, n ∈ N} là cơ sở yếu của X.
2.2.3 Định lý ([7]) Với không gian X, các điều kiện sau là tương đương.
(2) X là không gian đối xứng Cauchy.
(3) X có dãy các phủ trải được yếu gồm các cs-phủ.
(4) X có dãy các phủ trải được yếu gồm các sn-phủ.
(5) X là ảnh của không gian mêtric qua π-ánh xạ thương, phủ dãy và phủ compact.
(6) X là ảnh của không gian mêtric qua π-ánh xạ thương, phủ dãy.
Chứng minh (1) =⇒(2) Giả sử X là không gian g-trải với CW C-ánh xạ g Từ Bổ đề 2.2.2, ta có
P = ∪{st(x, γ n ) : x ∈ X, n ∈ N} là cơ sở yếu của X Ta xác định ánh xạ d : X ×X −→ R bởi công thức d(x, y) ( 0 nếu x= y
Trong không gian chính quy X, khoảng cách d(x, y) luôn lớn hơn 0 cho mọi x, y thuộc X, và d(x, y) không bằng 0 nếu x khác y Nếu tồn tại P n thuộc st(x, γ n) với y nằm trong P n, thì P n cũng thuộc st(y, γ n) Điều này dẫn đến kết luận rằng y không thuộc st(x, γ n) khi và chỉ khi x không thuộc st(y, γ n), từ đó suy ra d(x, y) = d(y, x) cho mọi x, y trong X Hơn nữa, trong không gian g-trải, một tập U thuộc X là mở nếu với mỗi x trong U, tồn tại n thuộc N sao cho g(n, x) nằm trong U, tức là g(n, x) và (X \ U) không giao nhau Điều này tương đương với việc d(x, X \ U) lớn hơn 1/n với n lớn hơn 0.
Do đó d là symmetric trên X, nghĩa là X là không gian đối xứng.
Giả sử {x_n} ⊂ X hội tụ đến x, từ cơ sở yếu P trong X, với mỗi k ∈ N, tồn tại h ∈ N sao cho x_n ∈ g(k, x) với mọi n > h Chọn k ∈ N sao cho 1/k < ε với mọi ε > 0, dẫn đến tồn tại h ∈ N sao cho x_n ∈ g(h, x) với mọi n > h.
{x h , x h+1 , } ⊂ g(k, x) ∈ γ k Điều này chứng tỏ với mọi m, n > h ta có x n ∈ g(k, x) ∈ st(x m , γ k ).
Vậy {x n } là dãy d-Cauchy Do đó X là không gian đối xứng Cauchy.
Giả sử d là một metric đối xứng trên không gian X, với điều kiện mọi dãy hội tụ đều là dãy d-Cauchy Khi đó, với mỗi điểm x ∈ X và mỗi ε > 0, tồn tại một δ = δ(x, ε) > 0 sao cho nếu d(x, y) < δ và d(x, z) < δ thì d(y, z) < ε Ngược lại, nếu tồn tại x ∈ X và ε > 0 sao cho với mọi n ∈ N đều có x_n và y_n sao cho d(x, x_n) < n^(-1) và d(x, y_n) < n^(-1) nhưng d(x, y_n) > ε, thì điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu.
Khi đó d(z n , x) < n 1 với mọi n ∈ N Do đó z n −→x Mặt khác, từ d(x n , y n ) > ε với mọi n suy ra {z n } không là dãy d-Cauchy Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Bây giờ với mỗi x ∈ X và n∈ N, ta chọn δ = δ(x, n) > 0 sao cho từ d(x, y) < δ và d(x, z) < δ thì d(y, z) < n 1 và xác định ánh xạ g : N×X −→ P(X) với g(n, x) =B(x, δ(x, n)).
Hiển nhiên x ∈ g(n, x) ⊂ g(n+ 1, x) với mọi x ∈ X và n ∈ N Từ d là symmetric suy ra U ⊂ X là mở nếu với mọi x ∈ U đều tồn tại g(n, x) ⊂ U Do đó g là CW C-ánh xạ.
Cuối cùng, giả sử x và x n ∈ g(n, y n ) với mọi n Khi đó d(x, y n ) < δ(y n , n), d(x n , y n ) < δ(y n , n) với mọi n Do đó d(x, x n ) < n 1 với mọi n Điều này chứng tỏ x n −→ x Vậy
(2) =⇒ (3) Giả sử X là không gian đối xứng Cauchy Với mỗi n ∈ N, đặt
Thế thì st(x,P n ) = B(x, 1 n ) với mọi x ∈ X Vì thế {P n } là lưới sao-điểm của X.
Với mỗi dãy {x n } hội tụ tới x ∈ X, từ {x n } là dãy d-Cauchy và X là không gian đối xứng thì tồn tại m ∈ N sao cho d(x, x i ) < 1 n+ 1, d(x i , x j ) < 1 n+ 1 với mọi i, j > m Đặt
P = {x} ∪ {x i : i > m} là một phần tử thuộc P n, cho thấy mỗi P n là cơ sở phủ của không gian X Do X là không gian đối xứng, nó cũng là không gian dãy Với mỗi x ∈ X và n ∈ N, P n là cơ sở phủ của X, từ đó st(x,P n) được xác định là lân cận dãy của x Do đó, tập hợp {st(x,P k) : k ∈ N} tạo thành cơ sở lân cận yếu của x trong không gian X Như vậy, {P n} là dãy các phủ trải được yếu của X.
(3) =⇒ (4) Giả sử {P n } là dãy các cs-phủ trải được yếu của X Ta có thể giả thiết rằng P n+1 mịn hơn P n với mỗi n ∈ N Với x, y ∈ X, x 6= y, đặt t(x, y) =min{n : x /∈ st(y,P n )}.
Ta định nghĩa ánh xạ d : X ×X −→[0,+∞) cho bởi d(x, y) 0 nếu x = y
Chứng minh tương tự (1) ⇒(2) ta có d là symmetric trên X.
Với x, y ∈ X, x ∈ st(y,P n ) khi và chỉ khi t(x, y) > n Thật vậy, hiển nhiên nếu t(x, y) > n thì x ∈ st(y,P n ) Ngược lại, giả sử x ∈ st(y,P n ) nhưng t(x, y) 6n Từ P n mịn hơn P t(x,y) ta có st(y,P n ) ⊂ st(y,P t(x,y) ).
Mà x ∈ st(y,P n ) cho thấy x ∈ st(y,P t(x,y) ), điều này dẫn đến mâu thuẫn Từ đó, ta suy ra st(x,P n ) = B(x, 2 1 n) với mọi x ∈ X, n ∈ N, chứng minh rằng {P n } là lưới sao-điểm của X và (X, d) là không gian đối xứng Đặc tính của d thể hiện rằng với mỗi x ∈ X và ε > 0, tồn tại δ = δ(x, ε) > 0 sao cho với bất kỳ y, z ∈ X mà d(x, y) < δ và d(x, z) < δ thì d(y, z) < ε Nếu giả sử tồn tại ε o > 0 và hai dãy {y n }, {z n } trong X sao cho d(x, y n ) < 2 1 n và d(x, z n ) < 2 1 n nhưng d(y n , z n ) > ε o, thì {P n } là lưới sao-điểm dẫn đến {y n } và {z n } hội tụ tới x Bằng cách chọn k ∈ N sao cho 2 1 k < ε o, từ P k là cs-phủ của X, ta có {y m , z m } ⊂ P với m ∈ N nào đó và P ∈ P k, dẫn đến y m ∈ st(z m ,P k ) và suy ra t(y m , z m ) > k.
2 k < ε o Điều này mâu thuẫn với d(y n , z n ) >ε o
Với mỗi x ∈ X, n ∈ N, ta đặt δ = δ(x, n) sao cho với bất kì x, y ∈ X mà d(x, y) < δ và d(x, z) < δ thì d(y, z) < n 1 Đặt g(n, x) =B(x, δ(x, n)).
Vì P n là cs-phủ của X nên st(x,P n ) là lân cận dãy của x trong X Do đó g(n, x) cũng là lân cận dãy của x Đặt
Khi đó, mỗi F n là sn-phủ của X.
Để chứng minh rằng {F n} là lưới sao-điểm của không gian X, ta giả sử ngược lại rằng {F n} không phải là lưới sao-điểm của X Trong trường hợp này, sẽ tồn tại một điểm x thuộc tập G mở trong X và hai dãy {x n} và {y n} trong X sao cho x nằm trong g(n, y n) và x n nằm trong g(n, y n) \ G Do đó, dãy {x n} không hội tụ đến x, đồng thời có các khoảng cách d(y n, x) < δ(y n, n) và d(y n, x n) < δ(y n, n).
Thế thì d(x, x n ) < n 1 Do đó {x n } hội tụ tới x Ta có một mâu thuẫn.
Dễ thấy, X là không gian dãy Vì thế st(x,F n ) là lân cận dãy của x với mọi x ∈ X và n ∈ N Vậy {F n } là dãy các sn-phủ trải được yếu của X.
Giả sử {P n } là dãy các cấu trúc phủ trải được yếu của không gian X Chúng ta có thể giả định rằng P n+1 mịn hơn P n cho mỗi n thuộc N Tương tự, để chứng minh mối liên hệ giữa (3) và (4), chúng ta có thể định nghĩa một khoảng cách đối xứng d trên X sao cho st(x, P n) = B(x, 1).
2 n ) với mọi x ∈ X, n ∈ N Do đó (X, d) là không gian đối xứng.
Với mỗi dãy {x n } ⊂ X hội tụ tới x và ε > 0, tồn tại k ∈ N sao cho
2 k < ε Từ P k là cs-phủ của X, tồn tại P ∈ P k và l ∈ N sao cho
Nếu m, n >l thì x n , x m ∈ P nên x n ∈ st(x m ,P k ) Suy ra t(x n , x m ) > k Do đó d(x n , x m ) = 1
2 k < ε với mọi n, m > l Vậy {x n } là dãy d-Cauchy và X là không gian đối xứng Cauchy.
(4) =⇒(5) Giả sử {P n } là dãy các sn-phủ trải được yếu của X Với mỗi i ∈ N, đặt
P i = {P α : α ∈ Λ i }, trong đó Λ i được cho bởi tôpô rời rạc Đặt
Theo Định lý 1.3.5, trong không gian mêtric M, mỗi x α là duy nhất, và ánh xạ f : M −→ X được định nghĩa bởi f(α) = x α là toàn ánh và liên tục Chúng ta sẽ chứng minh rằng f là π-ánh xạ, thương, phủ dãy và phủ compact.
Với mỗi α = (α k ), β = (β k ) ∈ M, ta định nghĩa d(α, β) 0 nếu α = β max{ 1 k : α k 6= β k } nếu α 6= β
- d(α, β) > 0 với mọi α, β ∈ M; d(α, β) = 0 khi và chỉ khi α = β.
- Với α = (α k ), β = (β k ), γ = (γ k ) ∈ M, giả sử min{k : α k 6= β k } = k 1 suy ra α k = β k với mọi k < k 1 ; min{k : β k 6= γ k } = k 2 suy ra β k = γ k với mọi k < k 2
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử k 1 6 k 2 Khi đó α k = γ k với mọik < k 1
Suy ra d là khoảng cách trên M Vì tôpô trên M là tôpô cảm sinh từ tôpô tích thông thường của không gian rời rạc{Λ i : i ∈ N} Vì thế dlà mêtric trên
M Với mỗi tập con U mở trongX và x ∈ U, vì{P n }là lưới sao-điểm của X nên tồn tại n ∈ N sao cho st(x,P n ) ⊂U Mặt khác nếu α ∈ f −1 (x), β ∈ M mà d(α, β) < n 1 thì α i = β i với mọi i 6n Vì thế x ∈ P α n = P β n
Do đó d(f −1 (x), M \f −1 (U)) > 1 n. Vậy f là π-ánh xạ.
(ii) f là ánh xạ phủ dãy.
Giả sử dãy {x n} hội tụ tới x ∈ X Với mỗi i ∈ N, tồn tại α i ∈ Λ i sao cho P α i là lân cận dãy của x trong X Do đó, {x n} nằm trong P α i từ một thời điểm nào đó Vì {P i} là lưới sao-điểm của X, nên P α i là lưới tại x trong X Đặt β x = (α i) ∈ Y i∈ N Λ i.
Khi β x thuộc f −1 (x), với mỗi n thuộc N, ta định nghĩa α in = α i nếu x n thuộc P α i, và chọn α in thuộc Λ i sao cho x n thuộc P α in nếu x n không thuộc P α i Tồn tại n i thuộc N sao cho α in = α i với mọi n lớn hơn n i, do đó {α in} hội tụ tới α i Đối với mỗi n thuộc N, ta đặt β n = (α in) thuộc Y i thuộc N Λ i, thì β n thuộc f −1 (x n) và {β n} hội tụ tới β x Điều này chứng tỏ rằng f là ánh xạ phủ dãy.
(iii) f là ánh xạ thương.
Từ f là ánh xạ phủ dãy suy ra f là ánh xạ thương.
(iv) f là ánh xạ phủ compact.
Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng mỗi P_n là cfp-phủ của X Tương tự như trong chứng minh từ (3) đến (4), có thể định nghĩa ρ: X × X → [0,+∞) với ρ là đối xứng trên X, tạo thành không gian đối xứng (X, ρ) Nếu K là tập compact trong X, thì không gian con K cũng là đối xứng Do không gian compact đối xứng là khả mêtric, nên không gian con K cũng sở hữu tính chất này Đối với mỗi x ∈ K, tồn tại
Cho một điểm x ∈ K, ta có P x là lân cận của x, dẫn đến x ∈ Int K (P x ∩ K) Từ đó, {Int K (P x ∩ K) : x ∈ K} tạo thành một phủ mở cho không gian con K Điều này cho phép ta xác định một họ hữu hạn {K i : i ≤ l} các tập con đóng của K.
{Int K (P x i ∩ K) : i 6 l} ⊂ P n sao cho K = ∪{K i : i 6 l} và mỗi K i ⊂ Int K (P x i ∩ K) Vậy {P x i : i 6 l} là cfp-phủ của K trong X và mỗi P n là cfp-phủ của X.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ f là ánh xạ phủ compact Giả sử K là một tập compact trong không gian X Từ mỗi tập P_n là cfp-phủ của X, có thể tìm thấy một tập con hữu hạn P_n K sao cho
P n K là cfp-phủ của K trong X Do đó có tập hữu hạn {K α : α ∈ J n } các tập con đóng của K và
K = ∪{K α :α ∈ J n } và K α ⊂ P α với mọi α ∈ J n Hiển nhiên, mỗi K α là tập compact trong X. Đặt
- L ⊂ M Thật vậy, với mọi (α i ) ∈ L thì \ i∈ N
K α i thì {P α i } là lưới tại x∈ X nên (α i ) ∈ M.Vậy L ⊂M.
- L là tập compact Thật vậy, với mọi (α i ) ∈/ L thì \ i∈ N
K α i = ∅ Vì thế, tồn tại n o ∈ N sao cho n o
W = {(β i ) : β i ∈ J i , β i = α i ,1 6 i 6 n o } thì W là lân cận mở của (α i ) ∈ Y i∈ N
J i và W ∩ L = ∅ Do đó L là tập đóng trong Y i∈ N
J i là tập compact trong Y i∈ N Λ i nên L là tập compact trong M.
- f(L) =K Thật vậy, với mọi x ∈ K, với mỗi i ∈ N, lấy α i ∈ J i sao cho x∈ K α i ⊂ P α i
Khi đó f((α i )) = x Vậy K ⊂f(L) Hiển nhiên f(L) ⊂ K Nên K = f(L). Vậy f là ánh xạ phủ compact.
(6) =⇒(3) Giả sử f : M −→X là π-ánh xạ, thương, phủ dãy, (M, d) là không gian mêtric Với mỗi n∈ N, đặt
Khi đó {P n } là lưới sao-điểm của X Thật vậy, với mỗi x ∈ X và lân cận mở U của x, từ f là π-ánh xạ, tồn tại n ∈ N sao cho d(f −1 (x), M \f −1 (U)) > 1 n.
Lấy m ∈ N sao cho m > 2n Nếu z ∈ M và x ∈ f(B(z, m 1 )) thì f −1 (x)∩B(z, 1 m) 6= ∅.
Ta có mâu thuẫn Vì vậy B(z, m 1 ) ⊂ f −1 (U) Nên f(B(z, m 1 )) ⊂ U Do đó st(x,P m ) ⊂ U hay st(x,P m ) là lưới tại x Vậy {P n } là lưới sao-điểm của X.
Dễ thấy, X là không gian dãy Với mỗi n∈ N, từ B n là cs-phủ của M và ánh xạ phủ dãy bảo toàn cs-phủ nên P n là cs-phủ của X.
Luận văn đã đạt được các kết quả chính sau đây.
Dựa trên các tài liệu tham khảo, bài viết này hệ thống lại những vấn đề chính liên quan đến không gian sinh khả metric và không gian g-trải Nó cũng đề cập đến các điều kiện cần thiết để không gian sinh khả metric và không gian g-trải có thể được coi là hình ảnh của không gian metric thông qua một số ánh xạ phủ.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết các chứng minh cho một số kết quả quan trọng đã được đề cập trong tài liệu tham khảo nhưng chưa được chứng minh đầy đủ hoặc chỉ được trình bày một cách vắn tắt Cụ thể, chúng tôi sẽ tập trung vào các định lý như Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.5, Định lý 1.3.5, Định lý 1.3.6, cùng với Mệnh đề 2.1.4, Hệ quả 2.1.5 và Định lý 2.2.3 Các chứng minh này sẽ giúp làm rõ hơn các khái niệm và mối liên hệ trong lĩnh vực nghiên cứu của chúng tôi.