1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Các tập ∗ω -nửa đóng suy rộng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Tập ∗ω-nửa đóng 1.3 Tập ∗ω-nửa đóng suy rộng Các tập ∗ω -đóng suy rộng 12 21 2.1 Tập ∗ω-đóng suy rộng 21 2.2 Hàm ∗gω-liên tục 25 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 LỜI NÓI ĐẦU Từ khái niệm lý thuyết tôpô đại cương, đường tương tự hoá, khái quát hoá nhà toán học đề xuất khái niệm, phép toán, kết Năm 1963 N Levin giới thiệu lớp tập mở khơng gian tơpơ, tập nửa mở, tập nửa đóng Dựa kết hướng N Levin nhà toán học mở rộng nghiên cứu theo nhiều hướng khác Năm 1990 P Ayra T Nour dựa khái niệm tập đóng đưa khái niệm tập nửa-đóng suy rộng Năm 2005 K Al-Zoubi đưa khái niệm tập ω-đóng suy rộng Đồng thời sử dụng lớp tập để giới thiệu lớp ánh xạ g-liên tục, g-không giải được, gω-liên tục, gω-không giải Năm 2008 luận văn tốt nghiệp đại học hướng dẫn thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân tác giả đưa lớp tập ∗-nửa mở, ∗-nửa đóng số tính chất chúng Trên sở luận văn tốt nghiệp đại học luận văn thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Thu (Cao học giải tích 14), hướng dẫn thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu tài liệu thực đề tài Về tập ∗ω-nửa đóng suy rộng tập ∗ω-đóng suy rộng Mục đích luận văn tập trung nghiên cứu trình bày có hệ thống khái niệm tập ∗ω-nửa đóng suy rộng tập ∗ω-đóng suy rộng Qua mở rộng kết có khơng gian tơpơ cho lớp gồm tập đó, đồng thời xây dựng khái niệm hàm ∗gω-liên tục, ∗gω-khơng giải Với mục đích đó, luận văn chia làm hai chương Chương Các tập ∗ω-nửa đóng suy rộng Trong chương chúng tơi giới thiệu lớp tập ∗ω-nửa đóng suy rộng, lớp ánh xạ ∗ωgs-đóng, ánh xạ ∗ωgs-liên tục, số tính chất chúng Chương Các tập ∗ω-đóng suy rộng Trong chương giới thiệu lớp tập ∗gω-đóng suy rộng, hàm ∗gω-liên tục tính chất chúng Trong toàn luận văn quy ước không gian hiểu không gian tôpô không thoả mãn điều kiện tách trừ đề cập rõ ràng Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, thầy cô giáo khoa giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy tổ Giải tích khoa Tốn trường Đại học Vinh giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bạn bè, anh chị học viên Cao học khoá 16 chuyên ngành Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, lực hạn chế nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy bạn đọc góp ý để tác giả hồn thiện luận văn Vinh, tháng 12 năm 2010 Lê Thị Kim Yến CHƯƠNG CÁC TẬP ∗ω -NỬA ĐÓNG SUY RỘNG 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa Tập A ⊂ X gọi tập đóng suy rộng (generalized closed sets) viết gọn g-đóng cl(A) ⊆ U với tập mở U chứa A Họ tất tập đóng suy rộng khơng gian tơpơ (X, τ ) ký hiệu GC(X, τ ) Dễ thấy tập đóng tập g-đóng 1.1.2 Định nghĩa ([3]) Cho không gian tôpô (X, τ ) Ký hiệu D = {A : A ⊆ X A g-đóng } Với E ⊆ X, ta ký hiệu C ∗ (E) = {A : E ⊆ A, A ∈ D} 1.1.3 Định nghĩa ([4]) Cho (X, τ ) không gian tôpô A tập X Khi (i) Điểm x ∈ X gọi điểm cô đọng (condensation) A U ∈ τ mà x ∈ U tập U ∩ A tập khơng đếm (ii) Tập A gọi ω-đóng (ω-closed) chứa tất điểm đọng Phần bù tập ω-đóng gọi tập ω-mở Họ tất tập ω-mở không gian (X, τ ) ký hiệu τω , tôpô X mịn τ ω-bao đóng (ω-phần trong) tập hợp A định nghĩa tương tự cl(A) (tương ứng, int(A)) ký hiệu clω (A) (tương ứng, intω (A)) Tôpô τH nhắc đến luận văn tơpơ cảm sinh τ H 1.1.4 Bổ đề ([6], [7]) Cho A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi ta có (i) (τω )ω = τω (ii) (τA )ω = (τω )A (iii) Tập A ω-mở với x ∈ A tồn U ∈ τ cho x ∈ U U − A tập đếm 1.1.5 Nhận xét Chúng ta dễ dàng kiểm tra (i) Mỗi tập đóng tập ω-đóng clω (A) ⊂ cl(A) (ii) clω (A) tập ω-đóng nhỏ chứa A (iii) clω (A ∪ B) = clω (A) ∪ clω (B) 1.1.6 Định nghĩa ([4]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi ω-đóng suy rộng (viết tắt gω-đóng) clω (A) ⊆ U với U ∈ τ A ⊆ U Họ tất tập ω-đóng suy rộng khơng gian tơpơ (X, τ ) ký hiệu GωC(X, τ ) 1.1.7 Nhận xét Từ Định nghĩa 1.1.6 Nhận xét1.1.5 ta suy (i) Mỗi tập g-đóng tập gω-đóng (ii) Hợp hữu hạn tập gω-đóng tập gω-đóng 1.1.8 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, τ ) Ký hiệu Dω = {A : A ⊆ X A gω-đóng} Với E ⊆ X, ta ký hiệu Cω∗ (E) = {A : E ⊆ A, A ∈ Dω } 1.1.9 Định lý Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi Cω∗ tốn tử bao đóng Kuratowski X Chứng minh (i) Hiển nhiên ta có Cω∗ (∅) = ∅ (ii) Từ định nghĩa ta có E ⊆ X E ⊆ Cω∗ (E) (iii) Cω∗ (E) ∪ Cω∗ (F ) = Cω∗ (E ∪ F ) Thật vậy, giả sử A ∈ Dω mà E ∪ F ⊆ A Khi đó, E ⊆ A, F ⊆ A nên Cω∗ (E) ⊆ A, Cω∗ (F ) ⊆ A Vì Cω∗ (E) ∪ Cω∗ (F ) ⊆ {A : E ∪ F ⊆ A, E ∪ F ∈ Dω } = Cω∗ (E ∪ F ) Ngược lại, giả sử x ∈ Cω∗ (E ∪ F ), x ∈ / Cω∗ (E) ∪ Cω∗ (F ) tồn tập gω-đóng A1 , A2 với E ⊆ A1 , F ⊆ A2 x ∈ / A1 ∪ A2 Nhưng E ∪ F ⊆ A1 ∪ A2 A1 ∪ A2 tập gω-đóng (vì hợp hữu hạn tập gω-đóng tập gω-đóng), mâu thuẫn với x ∈ / Cω∗ (E ∪ F ) Vậy Cω∗ (E ∪ F ) = Cω∗ (E) ∪ Cω∗ (F ) (iv) Nếu E ⊆ A ∈ Dω Cω∗ (E) ⊆ A Cω∗ (Cω∗ (E)) ⊆ A (nhờ định nghĩa Cω∗ ) Từ ta có Cω∗ (Cω∗ (E)) ⊆ {A : E ⊆ A ∈ Dω } = Cω∗ (E) Suy Cω∗ (Cω∗ (E)) = Cω∗ (E) Vậy Cω∗ toán tử bao đóng Kuratowski 1.1.10 Định nghĩa ([3]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi tập ∗-đóng suy rộng (viết gọn ∗g-đóng) C ∗ (A) ⊆ U với tập mở U mà A ⊆ U 1.1.11 Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) gọi (i) ∗g-liên tục ([3]) f −1 (V ) tập ∗g-đóng (X, τ ) với tập V đóng (Y, σ) (ii) ∗g-khơng giải f −1 (V ) tập ∗g-đóng (X, τ ) với tập ∗g-đóng V (Y, σ) 1.1.12 Mệnh đề ([4]) Mọi tập g-đóng tập gω-đóng Chứng minh Gỉa sử A tập g-đóng U tập mở (X, τ ) cho A ⊆ U Khi đó, A tập g-đóng nên cl(A) ⊆ U Mặt khác, clω (A) ⊆ cl(A), ta suy clω (A) ⊆ U với U ∈ τ mà A ⊆ U Vậy A tập gω-đóng 1.1.13 Bổ đề Nếu E ⊆ X E ⊆ Cω∗ (E) ⊆ C ∗ (E) ⊆ cl(E) Chứng minh Vì tập đóng tập g-đóng, tập g-đóng tập gωđóng nên E ⊆ Cω∗ (E) ⊆ C ∗ (E) ⊆ cl(E) 1.1.14 Định nghĩa (i) Tập A gọi tập nửa mở tồn tập mở B cho B ⊆ A ⊆ clB (ii) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi tập ∗-nửa mở ([3]) tồn tập mở O X cho O ⊆ A ⊆ C ∗ (O) (iii) Không gian tôpô (X, τ ) gọi phản đếm địa phương tập mở khác rỗng không đếm (iv) Không gian tôpô (X, τ ) gọi T -không gian tập g-đóng tập đóng 1.1.15 Nhận xét Một tập ∗-nửa mở tập nửa mở 1.1.16 Định lý ([4]) Nếu (A, τA ) không gian phản đếm địa phương không gian (X, τ ) cl(A) = clω (A) Chứng minh Ta ln có clω (A) ⊂ cl(A) Do để chứng minh định lý ta cần chứng minh cl(A) ⊂ clω (A) Thật vậy, giả sử tồn x ∈ cl(A) − clω (A) Khi x ∈ / clω (A) nên tồn Wx ∈ τω cho x ∈ Wx Wx ∩ A = ∅ Chọn Vx ∈ τ cho x ∈ Vx Vx − Wx = Cx đếm Vì x ∈ cl(A) mà x ∈ Vx nên Vx ∩ A = ∅ Lúc ta có ∅ = Vx ∩ A ⊆ A ∩ (Wx ∪ Cx ) = (A ∩ Wx ) ∪ (A ∩ Cx ) = A ∩ Cx ⊆ Vx ∩ A Suy Vx ∩ A = Cx ∩ A ∈ τA Điều chứng tỏ tồn τA tập mở khác rỗng đếm Mâu thuẫn với giả thiết (A, τA ) phản đếm địa phương Vậy cl(A) = clω (A) 1.1.17 Hệ ([4])Giả sử (A, τA ) không gian phản đếm địa phương (X, τ ) Khi A ∈ GC(X, τ ) A ∈ GωC(X, τ ) Chứng minh Điều kiện cần Theo Mệnh đề 1.1.12 ta có tập g-đóng tập gω-đóng Do A ∈ GC(X, τ ) A ∈ GωC(X, τ ) Điều kiện đủ Giả sử A ∈ GωC(X, τ ) (A, τA ) không gian phản đếm địa phương (X, τ ) Khi ta cần A ∈ GC(X, τ ) Thật vậy, giả sử U tập bất kì, U ∈ τ A ∈ U Vì A ∈ GωC(X, τ ), nên clω (A) ⊆ U Do (A, τA ) không gian phản đếm địa phương (X, τ ), nên theo Định lý 1.1.16 ta suy clω (A) = cl(A) Do cl(A) ⊆ U Vậy A tập g-đóng 1.1.18 Chú ý Giả sử (X, τ ) T không gian, (A, τA ) không gian phản đếm địa phương (X, τ ) Khi ta có C ∗ (A) = cl(A) = clω (A) Chứng minh Thật vậy, (X, τ ) T -khơng gian tập đóng g-đóng trùng Vì C ∗ (A) = cl(A) Mặt khác, (A, τA ) không gian phản đếm địa phương (X, τ ) nên theo Định lý 1.1.16 ta có clω (A) = cl(A) Vậy C ∗ (A) = cl(A) = clω (A) 1.1.19 Mệnh đề ([6]) Nếu A tập gω-đóng (X, τ ) B ⊆ X Khi (i) clω (A) − A khơng chứa tập đóng khác rỗng (ii) Nếu A ⊆ B ⊆ clω (A), B ∈ GωC(X, τ ) Chứng minh (i) Giả sử ngược lại clω (A) − A chứa tập đóng khác rỗng C Khi A ⊆ X − C X − C tập mở (X, τ ) Vì A tập gω-đóng nên clω (A) ⊆ (X − C) hay C ⊆ X − clω (A) Do C ⊆ X − clω (A) ∩ clω (A) − A = ∅ Điều vô lý (ii) Giả sử U ∈ τ B ⊆ U Khi A ⊆ B ⊆ U Do A ∈ GωC(X, τ ), nên clω (B) ⊆ clω (clω (A)) = clω (A) ⊆ U Vậy B ∈ GωC(X, τ ) 1.2 Tập ∗ω-nửa đóng 1.2.1 Định nghĩa Tập A khơng gian tôpô (X, τ ) gọi tập ∗ω-nửa mở tồn tập mở V cho V ⊆ A ⊆ Cω∗ (V ) Tập tất tập ∗ω-nửa mở X ký hiệu ∗ωSO(X) 1.2.2 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A, B tập X Khi ( i) Nếu A tập ∗ω-nửa mở, A tập ∗-nửa mở (ii) Nếu x ∈ X {x} tập ∗ω-nửa mở, x tập mở (iii) Hợp tập ∗ω-nửa mở tập ∗ω-nửa mở Chứng minh (i) Giả sử A tập ∗ω-nửa mở không gian tôpô (X, τ ) Khi tồn tập mở V cho V ⊆ A ⊆ Cω∗ (V ) Mặt khác ta lại có Cω∗ (V ) ⊆ C ∗ (V ) nên V ⊆ A ⊆ C ∗ (V ) Vậy A tập ∗-nửa mở Từ Bổ đề 1.1.13 ta suy A tập nửa mở (ii) Giả sử x ∈ X {x} tập ∗ω-nửa mở Khi tồn tập mở U cho U ⊆ {x} ⊆ Cω∗ (U ) Suy U = {x} Vậy {x} tập mở (iii) Giả sử Ai tập ∗ω-nửa mở với i ∈ I, ta cần chứng minh Ui tập ∗ω-nửa mở Thật vậy, với i ∈ I Ai tập ∗ω-nửa mở i∈I nên tồn tập mở Ui cho Ui ⊆ A ⊆ Cω∗ (Ui ) Suy Cω∗ (Ui ) ⊆ Cω∗ ( Ui ⊆ i∈I Ai ⊆ i∈I Ui ) i∈I i∈I Ui tập ∗ω-nửa mở Vậy i∈I 1.2.3 Định nghĩa Cho (X, τ ) không gian tôpô A tập X Tập A gọi ∗ω-nửa đóng X − A tập ∗ω-nửa mở Tập tất tập ∗ω-nửa đóng X ký hiệu ∗ωGC(X) Giao tất tập ∗ω-nửa đóng chứa A gọi ∗ω-nửa bao đóng A ký hiệu ∗-sclω (A) 1.2.4 Định lý Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) x ∈ X Khi x ∈ ∗-sclω (A) U ∩ A = ∅ với tập ∗ω-nửa mở U chứa x Chứng minh Để chứng minh định lý ta chứng minh ∗sclω (A) = {y ∈ X | U ∩ A = ∅ với tập ∗ ω-nửa mở U chứa y} Đặt F1 = {y ∈ X | U ∩ A = ∅ với tập ∗ ω-nửa mở U chứa y} 10 Giả sử F tập ∗ω-nửa đóng X cho F = X A ⊆ F Khi (X − F ) ∩ A = ∅ Lấy x ∈ X mà x ∈ / F , (X − F ) tập ∗ω-nửa mở chứa x Mà (X − F ) ∩ A = ∅ nên x ∈ / F1 Do F1 ⊂ F với F tập ∗ω-nửa đóng chứa A Suy F1 ⊆ ∗-sclω (A) Ngược lại, lấy x ∈ ∗-sclω (A) Nếu x ∈ / F1 tồn tập ∗ω-nửa mở V chứa x cho V ∩ A = ∅ Vì tập X − V tập ∗ω-nửa đóng chứa A x ∈ / X − V , nên x ∈ / ∗-sclω (A) Điều mâu thuẫn với cách lấy x Suy x ∈ F1 Vì ta có ∗-sclω A ⊆ F1 Vậy F1 = ∗-sclω (A) 1.2.5 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Nếu A tập ∗ω-nửa đóng, tồn tập đóng F cho intF ⊆ A ⊆ F Chứng minh Giả sử A tập X Nếu A tập ∗ω-nửa đóng X − A tập ∗ω-nửa mở Theo định nghĩa, tồn tập mở U X cho U ⊆ X − A ⊆ Cω∗ (U ) Do X − Cω∗ (U ) ⊆ A ⊆ X − U Vì Cω∗ (U ) ⊆ cl(U ) nên X − cl(U ) ⊆ X − Cω∗ (U ) ⊆ A ⊆ X − U Suy X − cl(U ) ⊆ A ⊆ X − U , mặt khác X − cl(U ) = int(X − U ) nên int(X − U ) ⊆ A ⊆ X − U Đặt F = X − U F tập đóng Vậy intF ⊆ A ⊆ F 1.2.6 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, A ⊂ X Khi ∗-sclω (A) tập ∗ω-nửa đóng bé chứa A Chứng minh Từ Định nghĩa 1.2.3 ta cần chứng minh ∗-sclω (A) tập ∗ω-nửa đóng Thật vậy, ta có ∗-sclω (A) = {F | F ∗ ω-nửa đóng chứa A}, X − ∗-sclω (A) = X − = Theo Mệnh đề 1.2.2 ta có nên {F | F ∗ ω -nửa đóng chứa A} {X − F | F ∗ ω -nửa đóng chứa A} {X − F | với F ∗ ω -nửa đóng chứa A} tập ∗ω-nửa mở Vì ta suy X − ∗-sclω (A) tập ∗ω-nửa mở Vậy ∗-sclω (A) tập ∗ω-nửa đóng 17 Ngược lại, giả sử với S ⊂ Y tập mở U chứa f −1 (S), tồn tập ∗ωgs-mở V chứa S cho f −1 (V ) ⊂ U Lấy F tập đóng X O tập mở Y cho f (F ) ⊂ O Khi f −1 ((X −f (F )) ⊂ X −F X −F tập mở Do tồn tập ∗ωgs-mở V cho Y − f (F ) ⊂ V f −1 (V ) ⊂ X − F Suy F ⊂ X − f −1 (V ) Từ suy f (F ) ⊂ Y − V Mặt khác, từ Y −O ⊂ Y −f (F ) Y −f (F ) ⊂ V , ta suy f (F ) ⊂ Y − V ⊂ O Từ Y −V tập ∗ωgs-đóng ∗-sclω (f (F )) ⊂ ∗-sclω (Y −V ) ⊂ O ta suy ∗-sclω (f (F )) ⊂ O Vậy f (F ) tập ∗ωgs-đóng Suy f ánh xạ ∗ωgs-đóng 1.3.18 Định lý Nếu ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ ∗ωgs-đóng ∗-gsclω f (A) ⊂ f cl(A) Chứng minh Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) f ánh xạ ∗ωgs-đóng Khi đó, cl(A) tập đóng nên theo định nghĩa ánh xạ ∗ωgs-đóng tập f (cl(A)) tập ∗ωgs-đóng f (A) ⊂ f (cl(A)) Vậy ta có ∗-gsclω (f (A)) ⊂ f (cl(A)) 1.3.19 Định lý Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ liên tục ∗ωgsđóng Khi đó, A tập g-đóng (X, τ ) f (A) tập ∗ωgs-đóng (Y, σ) Chứng minh Giả sử f (A) ⊂ O, với O tập mở Y Khi A ⊂ f −1 (O) Từ f ánh xạ liên tục ta suy f −1 (O) tập mở X Vì A tập g-đóng nên cl(A) ⊂ f −1 (O) Do ta có f (cl(A)) ⊂ O Từ f (A) ⊂ f (cl(A)) ta suy ∗-sclω (f (A)) ⊂ ∗-sclω (f (cl(A)) Mặt khác, f ánh xạ ∗ωgs-đóng, nên f (cl(A)) ∗ωgs-đóng, suy ∗-sclω (f (cl(A)) = f (cl(A)) Vì O tập mở chứa f (cl(A)) nên ∗-sclω (f (cl(A)) ⊂ O Điều kéo theo ∗-sclω (f (A)) ⊂ O Vậy f (A) tập ∗ωgs-đóng 1.3.20 Nhận xét (i) Nếu ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ ∗ωgsđóng (A, τA ) không gian phản đếm địa phương (X, τ ) 18 ∗-gsclω f (A) ⊂ f clω (A) (ii) Nếu ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ ∗ωgs-đóng, (A, τA ) không gian phản đếm địa phương (X, τ ) X T khơng gian ∗-gsclω f (A) ⊂ f C ∗ (A) 1.3.21 Định lý Gỉa sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ đóng, h : (Y, σ) → (Z, η) ánh xạ ∗ωgs-đóng Khi h ◦ f : (X, τ ) → (Z, η) ánh xạ ∗ωgs-đóng Chứng minh Giả sử F tập đóng khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi f ánh xạ đóng nên f (A) tập đóng (Y, σ) Mặt khác h ánh xạ ∗ωgs-đóng nên tập h(f (F )) tập ∗ωgs-đóng (Z, η) Vì (h ◦ f )(F ) = h(f (F )) nên h ◦ f ánh xạ ∗ωgs-đóng Điều phải chứng minh 1.3.22 Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ ∗ωgs-mở với tập mở U (X, τ ) ta có f (U ) tập ∗ωgs-mở (Y, σ) 1.3.23 Định lý Cho ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) điều kiện sau (i) f ánh xạ ∗ωgs-mở (ii) f int(A) ⊂ ∗-gsintω f (A) (iii) Với x ∈ X tập mở U chứa x tồn tập ∗ωgs-mở V chứa f (x) cho V ⊂ f (U ) (iv) Với tập B ⊂ X ta có f −1 (∗-gsclω (B)) ⊂ cl(f −1 (B)) Khi ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử f ánh xạ ∗ωgs-mở Khi intA tập mở nên f (intA) tập ∗ωgs-mở Mặt khác, intA ⊂ A nên f (intA) ⊂ f (A) Suy f (intA) ⊂ ∗-gsintω (f (A)) (ii) ⇒ (iii) Giả sử x ∈ X U tập mở chứa x Khi f (intU ) = f (U ) ⊂ ∗-gsintω (f (U )) Mà ta ln có ∗-gsintω (f (U )) ⊂ f (U ) Do f (U ) = ∗-gsintω (f (U )) Đặt V = ∗-gsintω (f (U )) Khi V tập ∗ωgsmở cần tìm 19 (iii) ⇒ (iv) Giả sử B ⊂ Y x ∈ f −1 (∗-gsclω (B)) Nếu x ∈ / cl(f −1 (B)), x ∈ U = X − cl(f −1 (B)) Khi U mở nên từ (iii) tồn tập ∗ωgs-mở V cho f (x) ∈ V ⊂ f (U ) Từ V ⊂ f (U ) ⊂ f (X − f −1 (B)) ⊂ Y − B Suy B ⊂ Y − V Vì Y − V tập ∗ωgs-đóng nên ∗-gsclω (B) ⊂ Y − V Vậy f (x) ∈ / ∗-gsclω (B) Trái với giả thiết Vì ta có điều phải chứng minh 1.3.24 Định lý Giả sử ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ ∗ωgs-mở B ⊂ Y, F tập đóng chứa f −1 (B) Khi tồn tập ∗ωgs-đóng V cho B ⊂ V f −1 (V ) = F Chứng minh Giả sử F tập đóng X cho f −1 (B) ⊂ F Suy X − F tập mở Do f (X − F ) tập ∗ωgs-nửa mở Mặt khác f −1 (B) ⊂ F , nên X − F ⊂ X − f −1 (B) Suy f (X − F ) ⊂ Y − B Vậy Y − f (X − F ) tập ∗ωgs-đóng chứa B f −1 (Y − f (X − F )) = X − (X − F ) = F Lấy V = Y − f (X − F ) Ta có điều phải chứng minh 1.3.25 Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) gọi ∗ωgs-liên tục f −1 (V ) tập ∗ωgs-đóng X với tập V đóng Y 1.3.26 Định lý ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) ∗ωgs-liên tục nghịch ảnh tập mở tập ∗ωgs-mở Chứng minh Điều kiện cần Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ∗ωgs-liên tục U tập mở (Y, σ) Khi Y − U tập đóng nên f −1 (Y − U ) = X − f −1 (U ) tập ∗ωgs-đóng Vậy suy f −1 (U ) tập ∗ωgs-mở Điều kiện đủ Giả sử U tập mở (Y, σ) Ta có f −1 (U ) tập ∗ωgs-nửa mở (X, τ ) Ta cần chứng minh f : (X, τ ) → (Y, σ) ∗ωgs-liên tục Thật vậy, giả sử V tập đóng Y Khi Y − V tập mở Y Vì f −1 (Y − V ) = X − f −1 (V ) giả thiết điều kiện đủ 20 f −1 (Y − V ) tập ∗ωgs-mở X Suy f −1 (V ) tập ∗ωgs-đóng X Vậy ta có điều phải chứng minh 1.3.27 Định lý Nếu ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ ∗ωgs-liên tục, h : (Y, σ) → (Z, η) ánh xạ liên tục ánh xạ h ◦ f : (X, τ ) → (Z, η) ánh xạ ∗ωgs-liên tục Chứng minh Giả sử B tập đóng (Z, η) Khi h liên tục nên h−1 (B) đóng Y Vì f ánh xạ ∗ωgs-liên tục nên f −1 (h−1 (B)) tập ∗ωgs-đóng Mà (h ◦ f )−1 (B) = f −1 (h−1 (B)) nên h ◦ f ánh xạ ∗ωgs-liên tục 1.3.28 Định lý Cho f : (X, τ ) → (Y, σ) điều kiện sau (i) f ánh xạ ∗ωgs-liên tục (ii) Với x ∈ X tập mở V cho f (x) ∈ V tồn tập ∗ωgs-mở U chứa x cho f (U ) ⊂ V (iii) f ∗gsclω (A) ⊂ cl f (A) với tập A ⊂ X (iv) ∗gsclω f −1 (B) ⊂ f −1 cl(B) với tập B ⊂ Y Khi ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử f ánh xạ ∗ωgs-liên tục, x thuộc vào X V tập mở cho f (x) ∈ V Khi ta có x ∈ f −1 (V ) Vì V tập mở Y nên ta có Y − V tập đóng Y Mặt khác theo (i) ta có f −1 (Y − V ) = X − f −1 (V ) tập ∗ωgs-đóng X Suy f −1 (V ) tập ∗ωgs-mở X Đặt U = f −1 (V ) Vậy U tập ∗ωgs-mở cần tìm (ii) ⇒ (iii) Giả sử A ⊂ X y = f (x) ∈ f (∗-gsclω (A) Nếu y ∈ / cl(f (A)) suy y ∈ Y − cl(f (A)) = V Vì V tập mở nên theo (ii) tồn tai tập ∗ωgs-mở U chứa x cho f (U ) ⊂ V Do f (U ) ⊂ V ⊂ X − f (A) suy U ⊂ f −1 (U ) ⊂ X − A, hay A ⊂ X − U Điều chứng tỏ x∈ / ∗-gsclω (A) Mâu thuẫn với giả thiết f (x) ∈ f (∗-gsclω (A)) (iii) ⇒ (iv) Gỉa sử B ⊂ Y , ta có f −1 (B) ⊂ X Theo (iii) ta có f (∗-gsclω (f −1 (B))) ⊂ cl(f −1 (B) Suy f (∗-gsclω (f −1 (B))) ⊂ cl(B) Vậy ∗-gsclω (f −1 (B)) ⊂ f −1 (cl(B)) 21 CHƯƠNG CÁC TẬP ∗ω -ĐĨNG SUY RỘNG 2.1 Tập ∗ω-đóng suy rộng 2.1.1 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi ∗ω-đóng A = Cω∗ (A) Phần bù tập ∗ω-đóng gọi tập ∗ω-mở Họ tất tập ∗ω-đóng (X, τ ) ∗ωC(X, τ ) Tập A không gian tơpơ (X, τ ) gọi ∗ω-đóng suy rộng (viết tắt ∗gω-đóng) Cω∗ (A) ⊆ U với U ∈ τ A ⊆ U Ký hiệu họ tất tập ∗gω-đóng (X, τ ) ∗GωC(X, τ ) Họ tất tập ∗g-đóng (X, τ ) ∗GC(X, τ ) 2.1.2 Nhận xét (i) Mỗi tập ∗g-đóng tập ∗gω-đóng, tập ∗ω-đóng tập ∗gω-đóng (ii) Mỗi tập g-đóng tập ∗gω-đóng (iii) Giả sử (A, τA ) khơng gian phản đếm địa phương (X, τ ) Khi A ∈ GωC(X, τ ) A ∈ ∗GωC(X, τ ) (iv) Tập A ∗ω-mở với x ∈ A tồn U ∈ τ cho x ∈ U U − A tập đếm Chứng minh (i) Giả sử A tập ∗g-đóng U tập mở (X, τ ) cho A ⊆ U Khi ta có C ∗ (A) ⊆ U Mặt khác Cω∗ (A) ⊆ C ∗ (A), nên suy Cω∗ (A) ⊆ U với U ∈ τ A ⊆ U Vậy A tập ∗gω-đóng Mỗi tập ∗ω-đóng tập ∗gω-đóng hiển nhiên 22 (ii) Vì tập g-đóng tập ∗g-đóng nên tập g-đóng tập ∗gω-đóng (iii) Giả sử (A, τA ) không gian phản đếm địa phương (X, τ ) Vì A ∈ GωC(X, τ ) nên A ∈ GC(X, τ ) Theo (ii) ta có A ∈ ∗GωC (iv) Tương tự Bổ đề 1.1.4 2.1.3 Mệnh đề Nếu A tập ∗gω-đóng (X, τ ) B ⊆ X Khi (i) Cω∗ (A) − A khơng chứa tập đóng khác rỗng (ii) Nếu A ⊆ B ⊆ Cω∗ (A) B ∈ ∗GωC(X, τ ) Chứng minh (i) Giả sử ngược lại Cω∗ (A) − A chứa tập đóng khác rỗng C Khi A ⊆ X − C X − C tập mở (X, τ ) Vì A tập ∗gω-đóng nên Cω∗ (A) ⊆ X − C hay C ⊆ X − Cω∗ (A) Do C ⊆ (X − Cω∗ (A)) ∩ (Cω∗ (A) − A) = ∅ Điều vô lý (ii) Giả sử U ∈ τ B ⊆ U Khi ta có A ⊆ B ⊆ U Do A ∈ ∗GωC(X, τ ) B ⊂ Cω∗ (A), nên Cω∗ (B) ⊆ Cω∗ (Cω∗ (A)) = Cω∗ (A) ⊆ U Vậy B ∈ ∗GωC(X, τ ) 2.1.4 Định lý Giả sử (X, τ ) không gian phản đếm địa phương Khi (X, τ ) T1 -khơng gian tập ∗gω-đóng tập ∗ω-đóng Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X T1 -không gian Ta phải chứng minh tập ∗gω-đóng tập ∗ω-đóng Thật vậy, giả sử A tập ∗gω-đóng (X, τ ) ta chứng minh Cω∗ (A) = A Quả vậy, giả sử ngược lại tồn x ∈ Cω∗ (A) − A Khi theo Mệnh đề 2.1.3 ta suy {x} khơng tập đóng Điều mâu thuẫn với X T1 -không gian Vậy Cω∗ (A) = A, hay A tập ∗ω-đóng Điều kiện đủ Giả sử ngược lại x ∈ X {x} khơng tập đóng Khi A = X − {x} không tập mở A tập ∗gω-đóng (do có tập mở chứa A X) Từ giả thiết ta suy A tập ∗ω-đóng, {x} tập ∗ω-mở Vì tồn U ∈ τ cho x ∈ U U − {x} đếm 23 Chứng tỏ U tập mở khác rỗng đếm (X, τ ) Điều mâu thuẫn với giả thiết (X, τ ) phản đếm địa phương Từ Định lý 2.1.4 ta có Hệ sau 2.1.5 Hệ Giả sử (X, τ ) không gian phản đếm địa phương T1 -khơng gian Khi ta có ∗GωC(X, τ ) = ∗ωC(X, τ ) 2.1.6 Mệnh đề Nếu A ∈ ∗GωC(X, τ ) B tập đóng (X, τ ) A ∩ B ∈ ∗GωC(X, τ ) Chứng minh Giả sử U tập mở (X, τ ) cho A ∩ B ⊆ U Đặt W = X − B Khi ta có U ∩ W ∈ τ U ∩ W ⊇ (A ∩ B) ∪ (X − B) = (A ∪ (X − B)) ∩ (B ∪ (X − B)) = A ∪ (X − B) ⊇ A hay A ⊆ U ∩ W ∈ τ Vì A ∈ ∗GωC(X, τ ), A ⊆ U ∩ V , nên Cω∗ (A) ⊆ U ∩ V Từ ta có Cω∗ (A∩B) ⊆ Cω∗ (A)∩Cω∗ (B) ⊆ Cω∗ (A)∩cl(B) ⊆ Cω∗ (A) ⊆ U ∩ V ⊆ U 2.1.7 Định nghĩa Một tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi ∗ω-mở suy rộng (viết gọn ∗gω-mở ) phần bù X − A tập ∗gω-đóng (X, τ ) 2.1.8 Định lý ([6]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A tập X Khi mệnh đề sau tương đương (i) A ω-đóng (X, τ ) tương đương với A đóng (X, τω ) ; (ii) A ∈ GC(X, τω ); (iii) A ∈ GωC(X, τω ) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Hiển nhiên tập đóng tập g-đóng (ii) ⇒ (iii) Suy từ Mệnh đề 1.1.12 (iii) ⇒ (i) Giả sử A ∈ GωC(X, τω ) Để chứng minh A tập ω-đóng (X, τ ) ta phải clω (A) = A Hiển nhiên A ⊆ clω (A) Để chứng minh (iii) ⇒ (i) ta cần chứng minh x ∈ / A x ∈ / clω (A) Thật vậy, giả sử x ∈ / A A ∈ GωC(X, τω ) Khi U = X − {x} tập ω-mở chứa A Vì có 24 tập mở thuộc τ chứa A X X − (X − {x}) = x đếm được, nên nhờ Bổ đề 1.1.4 ta có (clω )ω (A) = clω (A) ⊆ U Vì x ∈ / U nên x ∈ / clω (A) 2.1.9 Định lý Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, A tập X Khi mệnh đề sau tương đương (i) A đóng (X, τω ); (ii) A ∈ GC(X, τω ); (iii) A ∈ ∗GC(X, τω ); (iv) A ∈ ∗GωC(X, τω ) Chứng minh (i) ⇔ (ii) Suy từ Định lý 2.1.8 (ii) ⇒ (iii) Hiển nhiên tập g-đóng tập ∗g-đóng (iii) ⇒ (ii) Giả sử A ∈ ∗GC(X, τω ) U tập thuộc vào τω mà A ⊆ U Khi ta có C ∗ (A) ⊆ U , C ∗ (A) = {F, A ⊆ F F tập g-đóng (X, τω )} Vì tập g-đóng (X, τω ) tập đóng (X, τω ), nên C ∗ (A) = {F, A ⊆ F F tập đóng (X, τω )} = clω (A) Vậy clω (A) ⊆ U với U ∈ τω Suy A ∈ GC(X, τω ) (iii) ⇒ (iv) Suy từ Nhận xét 2.1.2(i) (iv) ⇒ (iii) Giả sử A ∈ ∗GωC(X, τω ) U tập mở thuộc τω cho A ⊆ U Khi ta có Cω∗ (A) ⊆ U , Cω∗ (A) = {F, A ⊆ F F tập gω-đóng (X, τω )} Từ Định lý 2.1.8 ta suy tập gω-đóng (X, τω ) tập g-đóng (X, τω ), nên Cω∗ (A) = {F, A ⊆ F F tập g-đóng (X, τω )} = C ∗ (A) Vậy C ∗ (A) ⊆ U với U ∈ τω A ⊆ U Suy A ∈ ∗GC(X, τω ) 2.1.10 Mệnh đề Nếu A ∈ ∗GωC(X, τω ) A ∈ ∗GωC(X, τ ) Chứng minh Giả sử A ∈ ∗GωC(X, τω ), U tập mở thuộc τω mà A ⊆ U Khi ta có Cω∗ (A) ⊆ U Để chứng minh A ∈ ∗GωC(X, τω ) ta phải chứng minh Cω∗ (A) ⊆ U với U ∈ τ A ⊆ U Thật vậy, τω 25 mịn τ nên U mở τ U mở τω Do Cω∗ (A) ⊆ U với U ∈ τ A ⊆ U Vậy A ∈ ∗GωC(X, τ ) Từ dễ dàng suy được, A ∈ ∗GC(X, τω ) A ∈ ∗GωC(X, τ ) 2.2 Hàm ∗gω-liên tục 2.2.1 Định nghĩa Một hàm f : (X, τ ) → (Y, σ) gọi (i) ∗gω-liên tục f −1 (V ) ∈ ∗GωC(X, τ ) với tập đóng V (Y, σ) (ii) ∗gω-khơng giải f −1 (V ) ∈ ∗GωC(X, τ ) với tập V ∈ ∗GωC(Y, σ) (iii) ∗ω-liên tục f −1 (V ) ∈ ∗ωC(X, τ ) với tập đóng V (Y, σ) (iv) ∗ω-không giải f −1 (V ) ∈ ∗ωC(X, τ ) với tập V ∈ ∗ωC(Y, σ) Từ định nghĩa ta suy ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ) - ∗gω-liên tục (∗gω-không giải được) f −1 (V ) ∈ ∗GωC(X, τ ) với tập mở (∗gω-mở) V (Y, σ) - ∗ω-liên tục (∗ω-không giải được) f −1 (V ) ∈ ∗ωC(X, τ ) với tập mở (∗ω-mở) V (Y, σ) 2.2.2 Nhận xét (i) Mọi hàm g-liên tục hàm ∗g-liên tục (ii) Nếu (X, τ ) T -khơng gian hàm ∗g-liên tục hàm g-liên tục (iii) Giả sử (X, τ ) T1 -không gian không gian phản đếm địa phương Khi đó, hàm f : (X, τ ) → (Y, σ) ∗gω-liên tục f ∗ω-liên tục ngược lại (iv) Giả sử (X, τ ) (Y, σ) T1 -không gian không gian phản đếm địa phương Khi đó, hàm f : (X, τ ) → (Y, σ) ∗gω-khơng giải f ∗ω-không giải ngược lại 2.2.3 Mệnh đề Mọi hàm ∗g-liên tục, hàm g-liên tục hàm ∗ω-liên tục hàm ∗gω-liên tục 26 Chứng minh Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) hàm ∗g-liên tục, V tập đóng (Y, σ) Khi ta có f −1 (V ) tập ∗g-đóng (X, τ ) Theo Nhận xét 2.1.2(i) ta có tập ∗g-đóng tập ∗gω-đóng nên f −1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Vậy f hàm ∗gω-liên tục Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) hàm g-liên tục, theo Nhận xét 2.2.2(i) f hàm ∗g-liên tục Lại theo điều vừa chứng minh Mệnh đề 2.2.3 ta có f hàm ∗gω-liên tục Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) hàm ∗ω-liên tục V tập đóng (Y, σ) Khi ta có f −1 (V ) tập ∗ω-đóng (X, τ ) Theo Nhận xét 2.1.2(i) ta có tập ∗ω-đóng tập ∗gω-đóng nên f −1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Vậy f hàm ∗gω-liên tục 2.2.4 Định nghĩa ([6]) Cho hàm f : (X, τ ) → (X, σ) Khi hàm fωω : (X, τω ) → (Y, σω ) (tương ứng fω : (X, τω ) → (Y, σ); f ω : (X, τ ) → (Y, σω )) liên kết với f định nghĩa sau: fωω (x) = f (x) (tương ứng fω (x) = f (x); f ω (x) = f (x)) với ∈ X 2.2.5 Định lý Cho hàm f : (X, τ ) → (Y, σ) Khi mệnh đề sau tương đương (i) fωω hàm liên tục (ii) fωω g-liên tục (iii) fωω ∗g-liên tục (iv) fωω ∗gω-liên tục (v) fωω ∗gω-không giải (vi) fωω g-không giải (vii) fωω ∗g-không giải Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử fωω hàm liên tục, V tập đóng (Y, σω ) Khi (fωω )−1 (V ) tập đóng (X, τω ) Suy (fωω )−1 (V ) tập g-đóng (X, τω ) Vậy fωω hàm g-liên tục (ii) ⇒ (i) Giả sử fωω hàm g-liên tục V tập đóng (Y, σω ) Khi (fωω )−1 (V ) tập g-đóng (X, τω ) theo Định lý 2.1.8 (fωω )−1 (V ) tập đóng (X, τω ) Vậy fωω hàm liên tục 27 (i) ⇒ (iii) Giả sử fωω hàm liên tục, V tập đóng (Y, σω ) Khi (fωω )−1 (V ) tập đóng (X, τω ) Theo Định lý 2.1.9 ta có (fωω )−1 (V ) tập ∗g-đóng (X, τω ) Vậy fωω hàm ∗g-liên tục (iii) ⇒ (i) Giả sử fωω hàm ∗g-liên tục, V tập đóng (Y, σω ) Khi (fωω )−1 (V ) tập ∗g-đóng (X, τω ) Theo Định lý 2.1.9 (fωω )−1 (V ) tập đóng (X, τω ) Vậy fωω hàm liên tục (i) ⇒ (iv) Giả sử fωω hàm liên tục, V tập đóng (Y, σω ) Khi (fωω )−1 (V ) tập đóng (X, τω ) Theo Định lý 2.1.9 (fωω )−1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τω ) Vậy fωω hàm ∗g-liên tục (iv) ⇒ (i) Giả sử fωω hàm ∗gω-liên tục, V tập đóng (Y, σω ) Khi (fωω )−1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τω ) Theo Định lý 2.1.9 (fωω )−1 (V ) tập đóng (X, τω ) Vậy fωω hàm liên tục (i) ⇒ (v) Giả sử fωω hàm liên tục, V tập ∗gω-đóng (Y, σω ) Theo Định lý 2.1.9 V tập đóng (Y, σω ) Vì fωω liên tục nên (fωω )−1 (V ) tập đóng (X, τω ) lại theo 2.1.9 ta có (fωω )−1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τω ) Vậy fωω hàm ∗gω-không giải (v) ⇒ (i), (i) ⇔ (vi) (vii) ⇔ (i) Chứng minh tương tự 2.2.6 Định lý Cho hàm f : (X, τ ) → (Y, σ) Khi (i) fω hàm ∗gω-liên tục ∗g-liên tục (ii) fω hàm ∗gω-khơng giải f hàm ∗gω-không giải (iii) fω hàm ∗g-liên tục f hàm ∗gω-liên tục Chứng minh (i) Giả sử fω hàm ∗gω-liên tục, V tập đóng (Y, σ) Khi fω−1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τω ) Theo Định lý 2.1.9 fω−1 (V ) tập ∗g-đóng (X, τω ) Vậy fω hàm ∗g-liên tục Cũng theo Định lý 2.1.9 ta có, tập ∗g-đóng (X, τω ) tập ∗gω-đóng Do fω ∗g-liên tục fω ∗gω-liên tục (ii) Giả sử fω hàm ∗gω-không giải được, V tập ∗gω-đóng (Y, σ) Khi fω−1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τω ) Theo Mệnh đề 2.1.10 tập ∗gω-đóng (X, τω ) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Do f hàm ∗gω-không giải 28 (iii) Giả sử fω hàm ∗g-liên tục, V tập đóng (Y, σ) Khi đó, fω−1 (V ) hàm ∗g-đóng (X, τω ) Theo Mệnh đề 2.1.10 tập ∗g-đóng (X, τω ) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Do f hàm ∗gω-liên tục 2.2.7 Mệnh đề Mọi hàm ∗gω-không giải hàm ∗gω-liên tục Chứng minh Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) hàm ∗gω-không giải được, V tập đóng (Y, σ) V tập ∗gω-đóng (Y, σ) Vì f hàm ∗gω-khơng giải nên f −1 (V ) tập ∗gω-đóng (Y, σ) Vậy f hàm ∗gω-liên tục 2.2.8 Mệnh đề Nếu f : (X, τ ) → (Y, σ) hàm ∗gω-liên tục, với ∈ X với tập V mở (Y, σ) mà f (x) ∈ V tồn tập ∗gω-mở U (X, τ ) cho x ∈ U f (U ) ⊆ V Chứng minh Giả sử x ∈ X V tập mở (Y, σ) chứa f (x) Đặt U = f −1 (V ) Vì f ∗gω-liên tục nên suy f −1 (V ) = U tập ∗gω-mở (X, τ ) cho x ∈ U f (U ) ⊆ V 2.2.9 Định lý Giả sử (X, τ ) không gian phản đếm địa phương T1 -khơng gian Khi f : (X, τ ) → (Y, σ) hàm ∗gω-liên tục f hàm ∗ω-liên tục Chứng minh Giả sử f hàm ∗gω-liên tục, V tập đóng (Y, σ) Khi f −1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Theo Hệ 2.1.5 ta có f −1 (V ) tập ∗ω-đóng (X, τ ) Vậy f ∗ω-liên tục 2.2.10 Định lý Cho f : (X, τ ) → (Y, σ) g : (Y, σ) → (Z, η) hai hàm Khi (i) g ◦ f ∗gω-liên tục g-liên tục f ∗gω-liên tục (ii) g ◦ f ∗gω-không giải g f ∗gω-không giải (iii) g ◦ f ∗gω-liên tục g ∗gω-liên tục f ∗gω-không giải 29 Chứng minh (i) Giả sử V tập đóng (Z, η) Ta cần chứng minh g ◦ f −1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Thật vậy, ta có g ◦ f −1 (V ) = f −1 (g −1 (V )), mà g liên tục nên g −1 (V ) tập đóng (Y, σ) f ∗gω-liên tục nên f −1 (g −1 (V )) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Vậy g ◦ f hàm ∗gω-liên tục (ii) Giả sử V tập ∗gω-đóng (Z, η) Ta cần chứng minh g ◦ f −1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Thật vây, ta có g ◦ f −1 (V ) = f −1 (g −1 (V )) mà g hàm ∗gω-không giải nên g −1 (V ) tập ∗gωđóng (Y, σ),và f hàm ∗gω-không giải nên f −1 (g −1 (V )) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Vậy g ◦ f hàm ∗gω-không giải (iii) Giả sử V tập đóng (Z, η) Ta cần chứng minh g ◦ f −1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Thật vậy, ta có g ◦ f −1 (V ) = f −1 (g −1 (V )) Mà g hàm ∗gω-liên tục nên g −1 (V ) ∗gω-đóng (Y, σ) f hàm ∗gω-không giải nên f −1 (g −1 (V ) tập ∗gω-đóng (X, τ ) Vậy g ◦ f hàm ∗gω-liên tục 30 kết luận Sau một trình nghiên cứu, tham khảo nhiều tài liệu khác nhau, hướng dẫn tận tình Thầy giáo PGS TS NGƯT Trần Văn Ân, thu số kết sau 1) Hệ thống lại số khái niệm tính chất tập ω-đóng, ω-đóng suy rộng, ∗-nửa mở, ∗-nửa đóng, hàm ∗g-liên tục 2) Đưa khái niệm Cω∗ , từ xây dựng khái niệm tính chất của: Các tập ∗ω-nửa đóng, ∗ω-nửa đóng suy rộng, ∗ω-đóng, ∗ω-đóng suy rộng Lớp hàm ∗ωgs-liên tục, ∗gω-liên tục, ∗gω-khơng giải 3) Tìm mối liên hệ tập ∗ω-nửa mở, ∗-nửa mở, ∗ω-nửa đóng, ∗ωgs-đóng, ∗ωgs-mở, tập đóng, g-đóng, ∗g-đóng, ∗gω-đóng Điều thể Mệnh đề 1.2.2, Nhận xét 1.3.7, Nhận xét 1.3.11 4) Tìm mối liên hệ hàm ∗g-liên tục, g-liên tục, ∗ω-liên tục, ∗gω-liên tục (không giải được) thể Nhận xét 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Định lý 2.2.5, Định lý 2.2.6, Mệnh đề 2.2.7 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân (2007), Bài giảng tôpô đại cương, Trường đại học Vinh [2] J L Kelly (1973), Tôpô đại cương, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp [3] Lê Thị Kim Yến (2008), Về tập ∗-nửa đóng suy rộng, Luận văn tốt ngiệp đại học, Trường Đại học Vinh [4] Nguyễn Thị Thu (2008), Về tập ω-nửa đóng suy rộng tập ω-đóng suy rộng, Luận văn Thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [5] N Levin (1970), Generalized closed sets in topology, Rend Cirs Math Palermo, 19, 89-96 [6] K Al- Zoubi (2005),On generalized ω-closed sets, Inter J.Math.and Math Sci.,13, 2011- 2021 [7] K Al- Zoubi and B Al - Nashef (2003), The topology of ω-open subsets, Almanasah, 9, 169 - 179 ... thực đề tài Về tập ? ?ω-nửa đóng suy rộng tập ∗ω -đóng suy rộng Mục đích luận văn tập trung nghiên cứu trình bày có hệ thống khái niệm tập ? ?ω-nửa đóng suy rộng tập ∗ω -đóng suy rộng Qua mở rộng kết... chất tập ω -đóng, ω -đóng suy rộng, ∗-nửa mở, ∗-nửa đóng, hàm ∗g-liên tục 2) Đưa khái niệm Cω∗ , từ xây dựng khái niệm tính chất của: Các tập ? ?ω-nửa đóng, ? ?ω-nửa đóng suy rộng, ∗ω -đóng, ∗ω -đóng suy. .. nên suy Cω∗ (A) ⊆ U với U ∈ τ A ⊆ U Vậy A tập ∗gω -đóng Mỗi tập ∗ω -đóng tập ∗gω -đóng hiển nhiên 22 (ii) Vì tập g -đóng tập ∗g -đóng nên tập g -đóng tập ∗gω -đóng (iii) Giả sử (A, τA ) không gian phản