Tập b -mở trong không gian tôpô
Tập b -mở trên không gian tôpô
1.2.1 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô và A ⊂ X Tập A được gọi là tập b-mở nếu A⊂ Cl Int(A)
Nếu A là tập b-mở thì phần bù của A (ký hiệu là A c ) gọi là tập b-đóng.
1.2.2 Định nghĩa Giao của tất cả các tập b-đóng chứa A gọi là b-bao đóng của A, ký hiệu bCl(A) hay Cl b (A) Hợp tất cả các tập b-mở bị chứa trong A gọi là b-phần trong của A, ký hiệu là bInt(A) hay Int b (A).
1.2.3 Định nghĩa Họ tất cả các tập b-mở trong không gian tôpô (X, τ) được ký hiệu là BO(X, τ) Họ tất cả các tập b-đóng trong không gian tôpô (X, τ) được ký hiệu là BC(X, τ) Họ tất cả các tập b-mở chứa x ∈ X được ký hiệu là BO(X, x).
1.2.4 Ví dụ a)Mỗi tập mở trong không gian tôpô là tập b-mở trong không gian đó. b) Cho X = {a, b, c} và τ n∅, X,{a}o
. 1.2.5 Mệnh đề ([3]) (i) Hợp của họ tùy ý các tập b-mở là tập b-mở; (ii) Giao của một tập mở với một tập b-mở là một tập b-mở.
Chứng minh (i) Giả sử {A i } i∈I là các tập b-mở Ta sẽ chỉ ra S i∈I
Thật vậy, do với mỗi i : A i ⊂ Cl Int(A i )
(ii) Giả sử U là tập mở, V là tập b-mở Ta chỉ ra rằng U ∩V là tập b-mở. Xuất phát từ giả thiết
Khái niệm tập b-mở là cơ sở để định nghĩa các tập quan trọng, đóng vai trò then chốt trong việc trình bày khái niệm về các bD i-không gian (với i = 0, 1, 2) trong tương lai.
1.2.6 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, τ) được gọi là:(i) D-tập nếu tồn tại U, V ∈ τ, U 6= X sao cho A = U\V.
(ii) bD-tập nếu tồn tại U, V ∈ BO(X, τ), U 6= X sao cho A = U\V.
1.2.7 Nhận xét (i) Mỗi tậpb-mởU 6= X đều làbD-tập nếuA = U, V = ∅. (ii) Mỗi tập b-mở là một bD-tập Ngược lại không đúng.
1.2.8 Ví dụ Cho X = {a, b, c, d}, τ = {∅,{a},{a, d},{a, b, d},{a, c, d}}. Khi đó ,{b} là bD-tập nhưng không phải là b-mở.
BO(X, τ) = {∅, X,{a},{a, d},{a, b, d},{a, c, d},{a, b},{a, c},{a, b, c}} Khi đó thì U = {a, b} 6= X, V = {a, c} là các tập b-mở.
Khi đó S là bD-tập mà không phải là tập b-mở.
Như vậy ta có kết luận: Mở ⇒b-mở ⇒bD-tập,
Một số không gian tôpô
Trong mục này ta sẽ trình bày các khái niệm về b-R 0 -không gian, các b-T i - không gian (i = 0,1,2), các b-D i -không gian (i = 0,1,2) và mối quan hệ giữa các không gian này.
1.3.1 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) được gọi là b-R 0 -không gian nếu mỗi tập b-mở đều chứa b-bao đóng của mỗi tập một điểm.
1.3.2 Định nghĩa.Không gian tôpô (X, τ) được gọi là b-T 1 -không gian nếu mỗi cặp điểm x, y ∈ X, x 6= y có một tập b-mở U chứa x mà không chứa y, một tập b-mở V chứa y mà không chứa x.
1.3.3 Định nghĩa.Không gian tôpô (X, τ) được gọi là b-T 0 -không gian nếu mỗi cặp điểm phân biệt x, y của X tồn tại một tập b-mở của X chứa x mà không chứa y hoặc tồn tại một tập b-mở chứa y nhưng không chứa x.
1.3.4 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) được gọi là b-T 2 -không gian nếu với cặp điểm x, y phân biệt bất kỳ của X tồn tại U ∈ BO(X, x) và
1.3.5 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) được gọi là b-D 0 -không gian nếu với cặp điểm phân biệt bất kỳ x, y ∈ X tồn tại một bD-tập của X chứa x nhưng không chứa y hoặc chứa y nhưng không chứa x.
1.3.6 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) được gọi là b-D 1 -không gian nếu với cặp điểm phân biệt bất kỳ x, y ∈ X tồn tại một bD-tập chứa x nhưng không chứa y và một bD-tập chứa y nhưng không chứa x.
1.3.7 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) được gọi là b-D 2 -không gian nếu với cặp điểm phân biệt bất kỳ x, y ∈ X tồn tại cặp bD-tập phân biệt
1.3.8 Mệnh đề ([5]) Cho (X, τ) là không gian tôpô, i = 0,1,2 Khi đó có các tính chất:
Nếu (X, τ) là b-T i -không gian, thì nó cũng là b-D i -không gian Ngược lại, nếu (X, τ) là b-D i -không gian, thì nó cũng là b-D i−1 -không gian khi i khác 0 Tương tự, nếu (X, τ) là b-T i -không gian, thì nó cũng là b-T i−1 -không gian khi i khác 0 Cuối cùng, (X, τ) được coi là b-D 0 -không gian nếu và chỉ nếu (X, τ) cũng là b-T 0 -không gian.
Chứng minh (a) Ta chứng minh cho trường hợp i = 0, các trường hợp khác tương tự.
Giả sử (X, τ) là b-T 0 -không gian, khi đó với cặp điểm phân biệt bất kỳ x, y ∈ X, tồn tại tập b-mở U trong X mà x ∈ U, y ∈ U hoặc tập b-mở V trong X mà y ∈ V, x /∈ V.
Nếu U (hoặc V) là b-mở trong không gian X, thì U (hoặc V) được coi là bD-tập của X Điều này dẫn đến việc tồn tại một bD-tập U của X sao cho x thuộc U và y không thuộc U, hoặc tồn tại một bD-tập V của X sao cho x không thuộc V và y thuộc V Do đó, không gian (X, τ) được xác định là b-D 0 -không gian.
Trong trường hợp i = 1, chúng ta chứng minh rằng (X, τ) là b-D 1 -không gian Đối với hai điểm phân biệt x và y thuộc X, tồn tại bD-tập U chứa x mà không chứa y, cùng với bD-tập V chứa y mà không chứa x Do đó, (X, τ) được xác định là b-D 0 -không gian.
(c) Tương tự như chứng minh (b).
(d) Điều kiện cần Nếu (X, τ) là b-D 0 -không gian Khi đó với cặp điểm x, y phân biệt tồn tại bD-tập U 6= ∅ trong X sao cho x ∈ U, y /∈ U hoặc tồn tại bD-tập V 6= ∅ trong X sao cho x /∈ V, y ∈ V.
Do ∅ 6= U (hoặc ∅ 6= V) là bD-tập nên U = E\F với E, F ∈ BO(X, τ).
Ta chọn E 6= ∅, F = ∅⇒U = E Vậy (X, τ) là b-T 0 -không gian. Điều kiện đủ Nếu (X, τ) là b-T 0 ⇒(X, τ) là b-D 0 Hiển nhiên
Chúng ta đều biết rằng, trong không gian tôpô có tính chất sau đây:
"Không gian tôpô X là T 1 -không gian khi và chỉ khi với mọi x ∈ X, {x} là tập đóng".
Câu hỏi được đặt ra là: Tính chất tương tự như thế có đúng hay không khi áp dụng cho b-T 1 -không gian?
1.3.9 Định lý Không gian tôpô (X, τ) là b-T 1 -không gian khi và chỉ khi với mọi x ∈ X, {x} là tập b-đóng.
Chứng minh Giả sử (X, τ) là b-T 1 -không gian Lấy x ∈ X, nếu y ∈ X và y 6= x thì tồn tại U ⊂ X, U là b-mở sao cho y ∈ U, x /∈ U Khi đó
U ⊂X\{x}⇒X\{x} là b-mở ⇒{x} là b-đóng. Đảo lại, giả sử với mỗi x ∈ X, {x} là b-đóng Lấy y, z ∈ X, y 6= z Suy ra
X\{y} và X\{z} là các tập b-mở. Đặt U = X\{y}, V = X\{z} thì U, V là các tập b-mở và ta cũng suy ra được z ∈ U, y ∈ U, y /∈ V, z /∈ V Vậy (X, τ) là b-T 1 -không gian.
Về các ánh xạ và Λ b -tập suy rộng
Λ b -tập suy rộng và ánh xạ b -liên tục, b -không giải được
Từ nay về sau (X, τ), (Y, σ) và (Z, ν) được quy ước là các không gian tôpô không thỏa mãn tiên đề tách, trừ khi nó được nêu thành giả thiết.
2.1.1 Định nghĩa.Ánh xạ f : (X, τ) → (Y, σ)được gọi là b-liên tục (tương ứng b-không giải được) nếu với mọi A ∈ σ (tương ứng A ∈ BO(Y, σ)) thì f −1 (A) ∈ BO(X, τ).
Hoặc tương đương: f là b-liên tục (tương ứng b-không giải được) nếu và chỉ nếu mỗi tập đóng (tương ứngb-đóng)Acủa(Y, σ)thìf −1 (A) ∈ BC(X, τ).
2.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa suy ra rằng, mỗi ánh xạ từ không gian tôpô
X vào không gian tôpô Y là ánh xạ b-không giải được thì cũng là ánh xạ b-liên tục.
Khi đó thìBO(X, τ) = {∅, X,{b, c, d},{b},{a, b},{b, c},{b, d},{a, b, c},{a, b, d}}. Xét ánh xạ f : X→X cho bởi f(a) = d, f(b) = b, f(c) = a, f(d) = c.
Ta có: f −1 (∅) =∅ ∈ BO(X, τ) f −1 (X) = f −1 ({a, b, c, d}) = {c, b, d, a} = X ∈ BO(X, τ) f −1 ({b}) ={b} ∈ BO(X, τ) f −1 ({a, b}) = {c, b} ∈ BO(X, τ) f −1 ({b, c, d}) = {b, a, c} ∈ BO(X, τ)Vậy f là ánh xạ b-liên tục. b) Cho các không gian tôpô như sau:
. Xét ánh xạ đồng nhất f : (X, τ) →(Y, σ) Khi đó f là ánh xạ b-không giải được.
Thật vậy, ta có: BO(X, τ) n
Theo cách xác định ánh xạ f như trên ta suy ra f −1 (∅) = ∅ ∈ BO(X, τ) f −1 (Y) = Y = X ∈ BO(X, τ) f −1 ({a}) = {a} ∈ BO(X, τ) f −1 ({a, b}) ={a, b} ∈ BO(X, τ) f −1 ({a, c}) ={a, c} ∈ BO(X, τ).
Vậy f là ánh xạ b-không giải được.
Dưới đây là một số kết quả về tính bảo toàn của ánh xạ b-liên tục, tương ứng với b-không giải được, trong bD-tập và b-D 1-không gian đã được định nghĩa trong chương 1.
2.1.4 Định lý ([5]) Nếu f : X → Y là một toàn ánh b-liên tục (tương ứng là một toàn ánh b-không giải được) và S là một D-tập (tương ứng bD-tập) của Y thì f −1 (S) là bD-tập của X.
Chứng minh Vì S là D-tập của Y (tương ứng là bD-tập của Y) nên với
Do f là một ánh xạ nên f −1 (S) = f −1 (U\V) = f −1 (U)\f −1 (V).
Vì f là toàn ánh và U 6= Y nên f −1 (U) 6= X.
Mặt khác, do f là b-liên tục (tương ứng là một toàn ánh b-không giải được) nên f −1 (U), f −1 (V) ∈ BO(X, τ).
Theo định nghĩa của bD-tập suy ra f −1 (S) là bD-tập của X
2.1.5 Định lý ([5]) Nếu Y là b-D 1 -không gian và f : X → Y là một song ánh b-không giải được Khi đó X là b-D 1 -không gian.
Giả sử Y là b-D 1-không gian và x, y ∈ X với x khác y Do f là một hàm song ánh và Y là b-D 1-không gian, tồn tại các bD-tập U và V của Y sao cho f(x) thuộc U, không thuộc V, và f(y) thuộc V, không thuộc U.
Theo Định lý 2.1.4 thì f −1 (U) và f −1 (V) là các bD-tập của X đồng thời x∈ f −1 (U), y ∈ f −1 (V) và x /∈ f −1 (U), y /∈ f −1 (V).
2.1.6 Định lý ([5]) Không gian tôpô X là b-D 1 -không gian nếu với x, y ∈
X, x 6= y tồn tại toàn ánh b-liên tục (tương ứng toàn ánh b-không giải được) f : X →Y, trong đó Y là b-D 1 -không gian, thỏa mãn f(x) 6= f(y). Chứng minh Lấy x, y ∈ X, x 6= y Theo giả thiết tồn tại toàn ánh b-liên tục (tương ứng toàn ánh b-không giải được) f từ X vào b-D 1 -không gian Y sao cho f(x) 6= f(y) Suy ra tồn tại các bD-tập tương ứng U, V của Y sao cho f(x) ∈ U, f(x) ∈/ V và f(y) ∈ V, f(y) ∈/ U.
Theo Định lý 2.1.4 và 2.1.5 thì f −1 (U) và f −1 (V) là các bD-tập của X đồng thời x∈ f −1 (U), y ∈ f −1 (V) và x /∈ f −1 (V), y /∈ f −1 (U).
2.1.7 Định nghĩa Cho B là một tập con của không gian tôpô (X, τ) Ta xác định nghĩa các tập B Λ b và B V b như sau:
2.1.8 Vớ dụ Cho X = {a, b, c, d}, τ = {ỉ, X,{a, b},{b},{b, c, d}} Ta cú: BO(X, τ) = {ỉ, X,{b},{a, b},{b, c},{b, d},{a, b, c},{a, b, d},{b, c, d}};
2.1.9 Định nghĩa Cho B là một tập con của không gian tôpô (X, τ), B được gọi là Λ b -tập (tương ứng V b -tập) nếu B = B Λ b (tương ứng B = B V b ).
Từ Ví dụ 2.1.8 ta thấy:
Liệt kê hết ta có: Λ b = {∅, X,{b},{a, b},{b, c},{b, d},{a, b, c},{a, b, d},{b, c, d}},
2.1.11 Định nghĩa Trong không gian tôpô (X, τ), một tập con B của không gian (X, τ) được gọi là:
(i) g.Λ b -tập của (X, τ) nếu B Λ b ⊆F trong đó F ∈ BC(X, τ) và B ⊆ F. (ii) g.V b -tập của (X, τ) nếu B c là g.Λ b -tập của (X, τ).
Ký hiệu: S Λ b là họ tất cả các g.Λ b -tập của (X, τ), S V b là họ tất cả các g.V b -tập của (X, τ).
2.1.12 Mệnh đề ([6], [8]) Cho A, B và {B λ : λ ∈ Ω} là họ tùy ý các tập con của không gian tôpô (X, τ) Ta có các tính chất sau:
Chứng minh (a) B ⊆ B Λ b Rõ ràng theo định nghĩa ta có điều này.
Ta chứng minh ngược lại, nếu x /∈ B Λ b thì x /∈ A Λ b
Thật vậy, vì x /∈ B Λ b nên tồn tại tập b-mở O sao cho O ⊇ B mà x /∈ O.
Từ định nghĩa ta suy ra nếu B ⊆B Λ b thì B Λ b ⊆ (B Λ b ) Λ b
Ngược lại, nếu x /∈ B Λ b thì tồn tại G∈ BO(X, τ) sao cho B ⊆G vàx /∈ G.
B λ Λ b Dùng phương pháp phản chứng như sau:
B λ Λ b khi đó tồn tại O ∈ B(X, τ) sao cho O ⊆
B λ , x /∈ O Khi đó với mọi λ ∈ Ω ta có x /∈ B λ Λ b Vì thế x /∈ S λ∈Ω
B λ Λ b Đảo lại, giả sử tồn tại x ∈ X mà x /∈ S λ∈Ω
BO(X, τ) (với λ ∈ Ω) sao cho x /∈ O λ , B λ ⊆ O λ Lấy O = S λ∈Ω
Vậy ta có điều phải chứng minh.
(B λ ) Λ b Khi đó với mỗi λ ∈ Ω tồn tại tập G λ ∈
BO(X, τ) sao cho B λ ⊆G λ và x /∈ G λ Đặt G = S λ∈Ω
G λ thì G ∈ BO(X, τ);B ⊆ G; x /∈ G Suy ra x /∈ B Λ b , tức là ta thu được
B λ ta có điều cần chứng minh.
(e) Nếu A ∈ BO(X, τ) thì A = A Λ b Thật vậy, theo Định nghĩa 2.1.7 suy ra
∀A ∈ X : A ⊆A Λ b và do A ∈ BO(X, τ) nên A Λ b ⊆ A Tính chất được chứng minh.
Trước hết ta nhắc lại: B V b = S
Từ đó ta có: (B V b ) c = ∩{F c :F c ⊇B c , F c ∈ BO(X, τ)}= (B c ) Λ b
(g) B V b ⊆ B Theo Định nghĩa 2.1.7 điều này là rõ ràng.
Và từ (f) ta có (B c ) Λ b = (B V b ) c nên B c = (B V b ) c Vậy B = B V b
B λ Λ b Ta dùng phương pháp phản chứng như sau:
Giả sử tồn tại x ∈ X sao cho x /∈ T λ∈Ω
B λ Λ b Khi đó tồn tại λ ∈ Ω x /∈ B λ Λ b Suy ra tồn tại O ∈ BO(X, τ) mà O ⊇ B λ , x /∈ O.
Mệnh đề hoàn toàn được chứng minh
2.1.13 Nhận xét Trong trường hợp tổng quát, với các tập con A, B bất kỳ của không gian tôpô (X, τ) thì nói chung:
2.1.4 Ví dụ Cho X = {a, b, c, d}, τ = {∅, X,{a, b},{b},{b, c, d}} Ta có: Nếu A= {a}, B = {b, c, d} thì (A∩ B) Λ b = (∅) Λ b = ∅ nhưng
2.1.15 Bổ đề ([8]) Cho không gian tôpô (X, τ) Khi đó:
(i) ∅ và X là Λ b -tập cũng là V b -tập;
(ii) Mỗi Λ b -tập là một g.Λ b -tập;
(iii) Mỗi V b -tập là một g.V b -tập;
Để chứng minh rằng kết quả (i) là hiển nhiên, chúng ta sẽ chứng minh hai kết quả (ii) và (iii) bằng cách đưa ra một kết quả mạnh hơn Xét (X, τ) là một không gian tôpô.
(a) Tập con A trong X là Λ b -tập khi và chỉ khi nó là một g.Λ b -tập; (b) Tập con A trong X là V b -tập khi và chỉ khi nó là một g.V b -tập.
Ta chứng minh cho (a), còn (b) được chứng minh tương tự.
Nếu A là Λ b -tập thì rõ ràng do A ⊆ A Λ b (theo Mệnh đề 2.1.12 (a)) Vậy A cũng là g.Λ b -tập.
Giả sử A là g.Λ b -tập, chúng ta cần chứng minh rằng A là Λ b -tập, tức là A = Λ Λ b Để làm điều này, hãy xem xét trường hợp x ∈ A Λ b \A và chỉ ra sự mâu thuẫn Nếu x thuộc Λ Λ b \A, thì {x} sẽ là tập b-mở hoặc tập b-đóng.
Nếu {x} là b-mở thì X\{x} là b-đóng nhưng vì A ⊆ X\{x} ⇒ A Λ b ⊆
Nếu {x} là b-đóng thì X\{x} là b-mở Cũng từ A ⊆ X\{x} ⇒ A Λ b ⊆
Như vậy kết luận được S λ∈Ω
(v) Chứng minh tương tự (iv)
Kết quả sau đây là một điều kiện cần và đủ để một không gian làb-T 1 -không gian.
2.1.16 Bổ đề ([8]) Không gian tôpô (X, τ) là b-T 1 -không gian khi và chỉ khi mỗi tập con của nó là một Λ b -tập (hay V b -tập).
Bổ đề có thể phát biểu như sau: Cho không gian tôpô (X, τ), các tính chất sau đây là tương đương.
(b) Mỗi tập con của (X, τ) là Λ b -tập;
(c) Mỗi tập con của (X, τ) là V b -tập.
(a) ⇒ (c) Lấy A ⊂ X Do A = ∪{{x} : x ∈ A}, và {x} là b-đóng nên A là
V b -tập (do là hợp của các tập b-đóng).
(c) ⇒ (a) Với mỗi x ∈ X, theo giả thiết suy ra {x} là V b -tập hay x ∈
BC(X, τ) Nghĩa là {x} là b-đóng Vậy X là b-T 1 -không gian 2.1.17 Hệ quả ([8]) Mỗi b-T 1 -không gian là b-R 0 -không gian.
Giả sử (X, τ) là b-T1-không gian và G ∈ BO(X, τ) với x ∈ G, ta có bCl({x}) = {x} ⊂ G Theo Định lý 1.3.9, vì X là b-T1-không gian nên {x} là b-đóng Do đó, theo Định nghĩa 1.3.1, ta có thể kết luận rằng X là b-R0-không gian.
Ánh xạ g.Λ b -liên tục và ánh xạ g.Λ b -không giải được
2.2.1 Định nghĩa Cho f : (X, τ)→(Y, σ) là ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ) vào không gian tôpô (Y, σ) Khi đó
(i) f được gọi là g.Λ b -liên tục nếu f −1 (A) là g.Λ b -tập trong (X, τ) với mọi
(ii)f được gọi là g.Λ b -không giải được nếu f −1 (A) làg.Λ b -tập trong (X, τ) với mọi A là g.Λ b -tập của (Y, σ).
2.2.2 Bổ đề ([8]) Cho f : (X, τ)→(Y, σ) là ánh xạ b-liên tục giữa các không gian tôpô Khi đó f là g.Λ b -liên tục.
Chứng minh Do f liên tục nên với A ∈ σ nên f −1 (A) ∈ BO(X, τ) Theo
Bổ đề 2.1.12 (e) vì f −1 (A) = f −1 (A)Λ b hay f −1 (A) là Λ b -tập Theo Bổ đề 2.1.15 (b) thì f −1 (A) cũng là g.Λ b -tập Vậy f là g.Λ b -liên tục
2.2.3 Nhận xét Bổ đề trên chỉ là điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần.
Ánh xạ đồng nhất f : (X, τ)→(Y, σ) là g.Λ b -liên tục nhưng không phải là b-liên tục. Thật vậy
Suy ra {c} là Λ b -tập và do đó {c} là g.Λ b -tập.
Ta có: f −1 : (Y, σ)→(X, τ) là ánh xạ đồng nhất.
Do đó f −1 ({c}) ={c} là g.Λ b -tập nhưng {c} không phải là tập b-mở trong(X, τ).
2.2.4 Bổ đề ([8]) Cho f : (X, τ)→(Y, σ) là g.Λ b -không giải được Khi đó f là g.Λ b -liên tục.
Chứng minh rằng hàm f là g.Λ b -liên tục dựa trên việc nếu A là g.Λ b -tập trong Y và f −1 (A) là g.Λ b -tập trong X, thì A cũng phải là tập mở trong X Do đó, từ định nghĩa, ta có thể kết luận rằng f là g.Λ b -liên tục.
2.2.5 Nhận xét Bổ đề 2.2.4 cũng chỉ là điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần Thật vậy, phản ví dụ sau đây chứng tỏ điều đó.
Cho X = Y = {a, b, c}, τ = {∅,{a}, X} và σ = {∅,{a, b}, Y} ánh xạ đồng nhất f : (X, τ)→(Y, σ) là g.Λ b -liên tục nhưng không phải là g.Λ b -không giải được Vì từ {b}là g.Λ b -tập của (Y, σ), nghịch ảnh f −1 ({b}) ={b}không phải là g.Λ b -tập của (X, τ).
2.2.6 Định lý ([8]) (i) Một ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) là g.Λ b -không giải được nếu và chỉ nếu với mỗi g.Λ b -tập A của (Y, σ) thì nghịch ảnh f −1 (A) là g.V b -tập của (X, τ).
(ii) Một ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) là g.Λ b -liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi tập A đóng trong (Y, σ) thì nghịch ảnh f −1 (A) là g.V b -tập của (X, τ).
Để chứng minh tính chất của hàm f: (X, τ)→(Y, σ) là g.Λ b -không giải được, cần xác định điều kiện cần và điều kiện đủ Điều kiện cần cho thấy với mỗi g.Λ b -tập B của (Y, σ), thì f −1(B) là g.Λ b -tập của (X, τ) Hơn nữa, nếu A là g.V b -tập bất kỳ của (Y, σ), thì A c là g.Λ b -tập, dẫn đến f −1(A c) cũng là g.Λ b -tập, và từ đó suy ra f −1(A) là g.V b -tập Về điều kiện đủ, nếu A là g.Λ b -tập trong (Y, σ) và f −1(A) là g.V b -tập trong (X, τ), ta có thể khẳng định rằng f là g.Λ b -không giải được.
Gọi B làg.Λ b -tập bất kỳ của(Y, σ) thì B c làg.V b -tập Theo giả thiết f −1 (B c ) làg.V b -tập trong (X, τ) Cũng vì f −1 (B c ) = (f −1 (B)) c nên (f −1 (B)) c làg.V b - tập Do đó f −1 (B) là g.Λ b -tập Vậy f là g.Λ b -không giải được.
(ii) Chứng minh tương tự cho trường hợp f là ánh xạ g.Λ b -liên tục
2.2.7 Định nghĩa (i) Ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) được gọi là tiền-b-đóng nếu f(A) ∈ BC(Y, σ) với mỗi A∈ BC(X, τ).
(ii) Ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) được gọi là tiền-b-mở nếu f(A) ∈ BO(Y, σ) với mỗi A∈ BO(X, τ).
(iii) Một song ánh f : (X, τ)→(Y, σ) là tiền-b-mở nếu và chỉ nếu f là tiền-b-đóng.
2.2.8 Định lý([8]).Nếu một ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) là song ánh b-không giải được và tiền-b-đóng thì:
(i) Với mỗi g.Λ b -tập B của (Y, σ), f −1 (B) là g.Λ b -tập của (X, τ);
(ii) Với mỗi g.Λ b -tập A của (X, τ), f(A) là g.Λ b -tập của (Y, σ).
Giả sử B là g.Λ b -tập của (Y, σ) và f −1 (B) ⊆ F, với F là b-đóng trong (X, τ) Khi đó, B ⊆ f(F) và f(F) là b-đóng do f là tiền-b-đóng Vì B là g.Λ b -tập, nên B Λ b ⊆ f(F), dẫn đến f −1 (B Λ b) ⊆ F Hơn nữa, (f −1 (B)) Λ b ⊆ f −1 (B Λ b) ⊆ F, do đó f −1 (B) là g.Λ b -tập trong (X, τ).
Lấy A là g.Λ b -tập của (X, τ) và f(A) ⊆ F với F là b-đóng của (Y, σ) Khi đó, A ⊆ f −1 (F) và f −1 (F) là b-đóng vì f là g.Λ b -không giải được Do f là tiền-b-mở và theo giả thiết f là song ánh, ta có (f(A)) Λ b ⊆ f(A Λ b ) ⊆ F.
Do đó f(A) là g.Λ b -tập trong (Y, σ)
2.2.9 Hệ quả ([8]) Nếu f : (X, τ)→(Y, σ) là song ánh, b-không giải được và tiền-b-đóng thì:
(i) Với mỗi g.V b -tập B của (Y, σ), f −1 (B) là g.V b -tập của (X, τ);
(ii) Với mỗi g.V b -tập A của (X, τ), f(A) là g.V b -tập của (Y, σ).
Để chứng minh, ta chỉ cần chứng minh (i), còn (ii) có thể chứng minh tương tự Giả sử B là g.V b -tập của (Y, σ), thì B c là g.Λ b -tập trong (Y, σ) Theo Định lý 2.2.8, ta có f −1 (B c ) là g.Λ b -tập trong (X, τ) Hơn nữa, f −1 (B c ) = (f −1 (B)) c, do đó (f −1 (B)) c là g.Λ b -tập trong (X, τ), từ đó suy ra f −1 (B) là g.V b -tập trong (X, τ).
2.2.10 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) được gọi là b-T 1
2-không gian nếu và chỉ nếu mỗi g.Λ b -tập của (X, τ) đều là V b -tập.
Kết quả sau đây nói lên tính bảo toàn của b-T 1
2-không gian qua ánh xạ b-không giải được thỏa mãn điều kiện trong Định nghĩa 2.2.7.
2.2.11 Mệnh đề ([8]) Cho ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) là song ánh b-không giải được và tiền-b-đóng giữa các không gian tôpô Nếu (X, τ) là b-T 1
2- không gian thì (Y, σ) cũng là b-T 1
Chứng minh Theo Định nghĩa 2.2.10, ta chỉ cần chứng minh rằng mỗi g.Λ b - tập của (Y, σ) là V b -tập Bây giờ lấy B là g.V b -tập của (Y, σ) Theo Hệ quả
2.2.9 thì f −1 (B) := H là g.V b -tập trong (X, τ) Nhưng (X, τ) là T 1
2-không gian nên H cũng là V b -tập Thế thì theo Định nghĩa 2.1.9 ta suy ra rằng
Suy ra B ⊆ B V b Lại theo Bổ đề 2.1.12 (g) ta có B V b ⊆ B Vậy B = B V b hay B là V b -tập trong (Y, σ)
2.2.12 Định nghĩa Ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) được gọi là g.Λ b -mở nếu f(A) là g.Λ b -tập trong (Y, σ) với mọi A là g.Λ b -tập trong (X, τ).
2.2.13 Định nghĩa (i) Ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) được gọi là b-đồng phôi nếu f là song ánh đồng thời f là b-không giải được và tiền-b-đóng.
(ii) Ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) được gọi là g.Λ b -đồng phôi nếu f là song ánh đồng thời f là g.Λ b -không giải được và g.Λ b -mở.
2.2.14 Bổ đề ([8]) Ảnh của một b-T 1
2-không gian qua một b-đồng phôi là b-T 1
Chứng minh Suy ra từ Định nghĩa 2.2.12, Hệ quả 2.2.9 và Mệnh đề 2.2.11.
Bổ đề sau đây là một kết quả hiển nhiên được suy ra từ định nghĩa.
2.2.15 Bổ đề ([8]) Mỗi b-đồng phôi là một g.Λ b -đồng phôi.
2.2.16 Nhận xét Nếu f : (X, τ)→(Y, σ) là một phép đồng phôi thì f là một b-đồng phôi, hơn nữa, ta thấy rằng mỗi phép đồng phôi là mộtg.Λ b -đồng phôi Điều kiện đảo nói chung không đúng.
Thật vậy, bây giờ ta xét các không gian tôpô như sau: Lấy X = Y {a, b, c} và T = n
Khi đó ánh xạ đồng nhất f : (X, τ)→(Y, σ) là g.Λ b -đồng phôi nhưng không phải là đồng phôi Do f −1 : (Y, σ)→(X, τ) không liên tục Vì với A = {a, c} ∈ τ nhưng (f −1 ) −1 (A) =f({a, c}) = {a, c} ∈/ σ.
2.2.17 Mệnh đề ([8]).(i) Nếu ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) là g.Λ b -không giải được, ánh xạ h : (Y, σ)→(Z, ν) là g.Λ b -liên tục thì tích h◦f : (X, τ)→(Z, ν) là g.Λ b -liên tục.
(ii) Nếu f : (X, τ)→(Y, σ) và h : (Y, σ)→(Z, ν) đều là g.Λ b -không giải được thì tích h◦f : (X, τ)→(Z, ν) là g.Λ b -không giải được.
Chứng minh (i) Gọi A là tập mở bất kỳ trong (Z, ν), do h : (Y, σ)→(Z, ν) là g.Λ b -liên tục nên h −1 (A) là g.Λ b -tập trong (Y, σ). ĐặtF = h◦f : (X, τ)→(Z, ν), ta cóF −1 (A) = (h◦f) −1 (A) =f −1 h −1 (A)
Lại theo giả thiết, f là g.Λ b -không giải được nên f −1 h −1 (A) là g.Λ b -tập trong (X, τ) do h −1 (A) là g.Λ b -tập trong (Y, σ) Từ đó ta có điều phải chứng minh.
(ii) Gọi A là g.Λ b -tập bất kỳ trong (Z, ν), do h : (Y, σ)→(Z, ν) là g.Λ b -không giải được nên h −1 (A) là g.Λ b -tập trong (Y, σ). ĐặtF = h◦f : (X, τ)→(Z, ν), ta cóF −1 (A) = (h◦f) −1 (A) =f −1 h −1 (A)
Trong bài viết này, chúng ta xem xét tập hợp \( A \) là g.Λ b -tập trong không gian \( (Y, σ) \) và hàm \( f \) không giải được Do đó, \( f^{-1} h^{-1}(A) \) trở thành g.Λ b -tập trong \( (X, τ) \) vì \( h^{-1}(A) \) là g.Λ b -tập trong \( (Y, σ) \) Kết luận rằng \( F^{-1}(A) (h \circ f)^{-1}(A) \) là g.Λ b -tập trong \( (X, τ) \), cho thấy rằng \( h \circ f \) là g.Λ b -không giải được từ \( (X, τ) \) vào \( (Z, ν) \) Điều này chứng minh được điều cần thiết.
Ánh xạ g.V b -đóng
Mục này dành cho việc trình bày khái niệm ánh xạ g.V b -đóng giữa hai không gian tôpô và một số tính chất quan trọng của ánh xạ này.
2.3.1 Định nghĩa Ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) được gọi là ánh xạ b-đóng nếu với mỗi tập đóng F của (X, τ) thì f(F) là tập b-đóng trong (Y, σ).
2.3.2 Định nghĩa Ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) được gọi là g.V b -đóng nếu với mỗi tập đóng F của (X, τ) thì f(F) là g.V b -tập trong (Y, σ).
2.3.3 Nhận xét Hiển nhiên mỗi ánh xạ b-đóng là ánh xạ g.V b -đóng Điều kiện ngược lại nói chung không đúng Thật vậy, ta xét ví dụ sau:
. Định nghĩa ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) cho bởi f(a) =c, f(b) = a và f(c) = b.
Khi f là g.V b-đóng nhưng không phải b-đóng, thì ảnh f({b, c}) = {a, b} không thuộc tập b-đóng trong không gian (Y, σ) Định lý sau đây được coi là điều kiện cần và đủ để xác định một ánh xạ giữa hai không gian tôpô là ánh xạ g.V b-đóng.
2.3.4 Định lý ([8]).Một ánh xạ f : (X, τ)→(Y, σ) là một ánh xạ g.V b -đóng khi và chỉ khi với mỗi S ⊂ Y và với mỗi tập mở U chứa f −1 (S), tồn tại một g.Λ b -tập V của Y sao cho S ⊂ V và f −1 (V) ⊂ U.
Chứng minh Điều kiện cần Lấy S là tập con của Y và lấy U là tập mở của
Vì U mở trong X nên U c đóng trong X Theo giả thiết, f là g.V b -đóng nên f(U c ) là g.V b -tập trong Y. Đặt V :f(U c )
Rõ ràng ta có V ⊂ f(U), S ⊂ V.Vậy tồn tại V là g.Λ b -tập trong Y, S ⊂ V, f −1 (V) ⊂U. Điều kiện đủ Lấy F là một tập đóng tùy ý của X Khi đó f −1 f(F) c
F c và F c là mở Từ giả thiết, có một tập V là g.Λ b -tập của (Y, σ) sao cho f(F) c
Suy ra f(F) = V c vì V c là g.V b -tập nên f(F) là g.V b -tập và do đó f là ánh xạ g.V b -đóng
2.3.5 Định lý ([8]) Cho f : (X, τ)→(Y, σ), h : (Y, σ)→(Z, ν) là hai ánh xạ sao cho h◦f : (X, τ)→(Z, ν) là ánh xạ g.V b -đóng Khi đó:
(i) Nếu f liên tục và toàn ánh thì h là g.V b -đóng;
(ii) Nếu h là b-đồng phôi thì f là g.V b -đóng.
Chứng minh.(i) LấyB là tập đóng củaY Từf −1 (B)là đóng trong(X, τ), (h◦ f) f −1 (B) là g.V b -tập trong (Z, ν) và do đó h(B) là g.V b -tập trong Z Từ đó suy ra h là ánh xạ g.V b -đóng.
(ii) Lấy F là một tập đóng trong (X, τ) Khi đó (h ◦f)(F) là một g.V b -tập trong (Z, ν) nên theo giả thiết và Hệ quả 2.2.9 suy ra h −1
(h ◦f)(F) là g.V b -tập trong (Y, σ) Từ đó suy ra h là đơn ánh, f(F) =h −1
(h◦f)(F) là g.V b -tập trong (Y, σ) Từ đó suy ra f là ánh xạ g.V b -đóng
2.3.6 Định lý([8]).(i) Nếu f : (X, τ)→(Y, σ) làg.V b -đóng vàh : (Y, σ)→(Z, ν) là b-đồng phôi thì h◦f : (X, τ)→(Z, ν) là ánh xạ g.V b -đóng;
(ii) Nếu f : (X, τ)→(Y, σ) là ánh xạ đóng và h : (Y, σ)→(Z, ν) là ánh xạ g.V b -đóng thì h◦f : (X, τ)→(Z, ν) là ánh xạ g.V b -đóng.
Chứng minh (i) Lấy F là tập đóng tùy ý trong (X, τ) Khi đó f(F) là g.V b - tập trong (Y, σ) Từ h là song ánh, b-không giải được và tiền-b-đóng nên theo
Hệ quả 2.2.9 thì (h◦f)(F) = h f(F) là g.V b -tập Điều đó chứng tỏ h◦f là ánh xạ g.V b -đóng.
(ii) Chứng minh hoàn toàn tương tự
2.3.7 Định lý ([8]) Cho (X, τ) là không gian tôpô, mỗi tập đơn điểm của
X là một g.Λ b -tập khi và chỉ khi A = A V b với mọi A ∈ BO(X, τ).
Chứng minh Điều kiện cần Lấy A là b-mở Lấy y ∈ A c thì {y} Λ b ⊂ A c theo giả thiết.
Dùng Mệnh đề 2.1.12 (d) ta có A c ⊇ Sn
= (A c ) Λ b Như vậy ta suy ra A c = (A c ) Λ b
Lại dựa vào Mệnh đề 2.1.12 (f) suy ra A = A V b
Tôpô liên kết và T V b -không gian
Ta nhắc lại các ký hiệu: Λ b là họ tất cả các Λ b -tập và V b là họ tất cả các
V b -tập trong không gian tôpô (X, τ).
Câu hỏi được đặt ra là: Λ b (hoặc V b ) có thể là tôpô trên X hay không? 2.4.1 Mệnh đề (X,Λ b ) và (X, V b ) là các không gian tôpô.
Chứng minh rằng ∅ và X là các Λ b-tập, do đó ∅, X ∈ Λ b Theo các Mệnh đề 2.1.12 và 2.1.15, hợp tùy ý các Λ b-tập là Λ b-tập, và giao của một Λ b-tập với một Λ b-tập cũng là Λ b-tập Do đó, Λ b tạo thành một tôpô trên X Tương tự, V b cũng được chứng minh là một tôpô trên X.
Trở lại với Bổ đề 2.1.16, cùng với Mệnh đề 2.4.1 ta có một khẳng định sau đây:
2.4.2 Mệnh đề Nếu (X, τ) là b-T 1 -không gian thì (X,Λ b ) và (X, V b ) là các không gian rời rạc.
Để chứng minh rằng (X, Λ b) là không gian rời rạc, ta cần chỉ ra rằng mọi tập con của nó đều là Λ b -tập, điều này được suy ra từ Bổ đề 2.1.16 Kết quả này cũng tương tự áp dụng cho (X, V b).
2.4.3 Định nghĩa.ChoB là một tập con bất kỳ của không gian tôpô(X, τ), ta định nghĩa:
Toán tử C Λ b còn gọi là toán tử Kuratowski trên không gian tôpô (X, τ).
2.4.4 Mệnh đề ([6]) Cho B là một tập con bất kỳ của không gian tôpô (X, τ) Khi đó ta có các tính chất sau:
(d) Cho {B λ : λ ∈ Ω} là một họ của (X, τ) Khi đó
(g) Nếu B là một Λ b -tập thì C Λ b (B) = B;
(h) Nếu B là một V b -tập thì Int V b (B) = B.
Chứng minh (a), (b), (c) và (f) suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 2.4.2.
(d) Giả sử tồn tại một điểm x ∈ X sao cho x /∈ S λ∈Ω
C Λ b (B λ ) Khi đó tồn tại các tập U ∈ Λ b sao cho S λ∈Ω
B λ ⊆ U đồng thời x /∈ U Suy ra với mỗi λ ∈ Ω ta có x /∈ C Λ b (B λ ) Vì vậy x /∈ S λ∈Ω
C Λ b (B λ ). Ngược lại, giả sử tồn tại x ∈ X nhưng x /∈ C Λ b (Bλ) Khi đó tồn tại các tập U λ ∈ Λ b , ∀λ ∈ Ω sao cho với mỗi λ ∈ Ω thì x ∈ U λ và B λ ⊆ U λ Đặt U = S λ∈Ω
U λ Theo Mệnh đề 2.1.12 ta có x /∈ U, S λ∈Ω
(e) Giả sử tồn tại một điểm x ∈ X nhưng x /∈ C Λ b (B) Khi đó ắt tồn tại tập con U ∈ Λ b sao cho x /∈ U, U ⊇ B.
Từ U ∈ Λ b nên suy ra được C Λ b (B) ⊆ U Do đó ta có x /∈ C Λ b
⊆C Λ b (B). Đảo lại, từ (a) thu được B ⊆ C Λ b (B), do đó C Λ b (B) ⊆C Λ b
Từ đó ta chứng minh được (e).
Mệnh đề hoàn toàn được chứng minh
2.4.5 Định nghĩa Cho (X, τ) là không gian tôpô, gọi C Λ b là toán tử Kuratowski trên X, B là một tập con bất kỳ của X Ký hiệu τ Λ b , ρ Λ b là họ các tập con B được xác định: τ Λ b = {B : B ⊆X, C Λ b (B c ) =B c } và ρ Λ b = {B : B ⊆ X, C Λ b (B) = B}.
2.4.6 Mệnh đề ([6], [8]) Cho không gian tôpô (X, τ) Khi đó
(d) Nếu BC(X, τ) = τ Λ b thì mọi Λ b -tập của (X, τ) đều là tập b-mở, tức là nếu BC(X, τ) =τ Λ b thì BO(X, τ) = Λ b ;
(e) Nếu mọi Λ b -tập của (X, τ) đều là tập b-đóng thì BO(X, τ) = τ Λ b ,tức là nếu Λ b ⊆ BC(X, τ) thì BO(X, τ) =τ Λ b
Theo Định nghĩa 2.4.4 và Mệnh đề 2.4.3, nếu A ⊂ X thì A ∈ τ Λ b khi và chỉ khi C Λ b (A c) = A c, tương đương với (Int V b (A)) c = A c, và do đó Int V b (A) = A Điều này dẫn đến A thuộc tập {B : B ⊂ X, Int V b (B) = B} Nếu B là một tập con của X, theo Mệnh đề 2.2.1 (e), ta có BO(X, τ) ⊂ Λ b và C Λ b (B) = ∩{U : B ⊂ U, U ∈ Λ b} ⊂ ∩{U : B ⊂ U, U ∈ BO(X, τ)} Do đó, C Λ b (B) ⊂ B Λ b.
Mặt khác, giả sử tồn tại x ∈ X, x /∈ C Λ b (B) Khi đó ắt tồn tại U ∈ Λ b sao cho B ⊂U, x /∈ U.
Từ U ∈ Λ b nên U = U Λ b Do đó U = ∩{V : V ⊃U, V ∈ BO(X, τ)}.
Như thế ắt tồn tại V ∈ BO(X, τ) : U ⊂ V, x /∈ V Lại vì B ⊂ V, x /∈ V nên x /∈ B Λ b Điều đó dẫn đến B Λ b ⊂ C Λ b (B) và vì vậy ta chứng minh được
B Λ b = C Λ b (B) với mọi tập con B của X.
Theo định nghĩa của Λ b và ρ Λ b ta thu được Λ b = τ Λ b
Do đó, theo Mệnh đề 2.4.3 (f) thì B c = (B V b ) c và B = B V b Điều đó suy ra B ∈ V b Và vì vậy nên τ Λ b ⊂V b
Dễ dàng nhận thấy τ Λ b ⊃ V b Vậy ta chứng minh được τ Λ b = V b
(d) Lấy B ∈ Λ b bất kỳ Theo (b), B ∈ ρ Λ b nên B c ∈ τ Λ b Từ giả thiết ta có
(e) Lấy A ⊆X và A ∈ τ Λ b Theo Định nghĩa 2.4.2 và Định nghĩa 2.4.4 ta có
= ∩{U : U ⊇ A c , U ∈ BO(X, τ)} = (A c ) Λ b Theo Mệnh đề 2.4.3 (f) ta có A = A V b , tức là A ∈ {B : B ⊆X, B = B V b }. Suy ra τ Λ b ⊂ {B : B ⊆ X, B = B Λ b }.
Ngược lại, nếu A ∈ {B : B ⊆ X, B = B V b } thì theo Bổ đề 2.1.15, A là một g.V b -tập Vì vậy A ∈ V b Suy ra τ Λ b ⊃ {B : B ⊆ X, B = B Λ b }.
Tóm lại ta chứng minh được τ Λ b = {B :B ⊆ X, B = B Λ b }.
Như vậy τ Λ b ⊆BO(X, τ). Đảo lại, nếu A ∈ BO(X, τ) thì theo (b) A ∈ Λ b Dựa vào giả thiết, A ∈
BC(X, τ) Theo (c) thì A ∈ τ Λ b Như vậy BO(X, τ) ⊆τ Λ b
Tóm lại, ta chứng minh được τ Λ b = BO(X, τ).
Mệnh đề đã được chứng minh
Theo Mệnh đề 2.4.5, τ Λ b và ρ V b là các tôpô được sinh bởi toán tử Kuratowski C Λ b, do đó chúng còn được gọi là tôpô liên kết trên không gian tôpô (X, τ) Định lý sau đây sẽ làm rõ hơn về cấu trúc của b-R 0 -không gian.
Mà một trong những tính chất đó là cơ sở để ta đi tìm mối quan hệ giữa b-R 0 -không gian và không gian (X, τ Λ b ).
2.4.7 Định lý ([8]) Cho không gian tôpô (X, τ), các tính chất sau là tương đương:
(ii) Với mọi tập A 6= ∅ và G ∈ BO(X, τ) sao cho A ∩ G 6= ∅, tồn tại tập F ∈ BC(X, τ) sao cho A∩F 6= ∅ và F ⊂ G;
(iii) Với mỗi G ∈ BO(X, τ) thì G = S
(iv) Với mỗi F ∈ BC(X, τ) thì F = T
Chứng minh (i)⇒(ii) LấyA 6= ∅, A ⊂ X và G∈ BO(X, τ)sao choA∩G 6∅ Khi đó tồn tạix ∈ A∩G Từ đó dẫn đến x ∈ G∈ BO(X, τ), bCl({x}) ⊂ G. Đặt F = bCl({x}) thì F ∈ BC(X, τ), F ⊂G và A∩F 6= ∅.
(ii) ⇒ (iii) Lấy G ∈ BO(X, τ) thì G ⊃ ∪{F ∈ BC(X, τ) : F ⊂ G} Lấy x ∈ G Khi đó tồn tại F ∈ BC(X, τ) sao cho x ∈ F và F ⊂ G.
{F ∈ BC(X, τ) : F ⊂ G}. (iii) ⇒ (iv) Hiển nhiên.
(iv) ⇒ (v) Lấy bất kỳ x ∈ X và y ∈ ({x}) Λ b Khi đó tồn tại V ∈ BO(X, τ) sao cho x ∈ V và y /∈ V, do đó bCl({y})∩V = ∅ Từ (d) ta suy ra được rằng
V ∩ (∩{G ∈ BO(X, τ) : bCl({y}) ⊂ G}) = ∅ và tồn tại G ∈ BO(X, τ) sao cho x /∈ G và bCl({y}) ⊂ G Suy ra bCl({y})∩ G= ∅ và y /∈ bCl({x}).
Cuối cùng ta thu được: bCl({x}) ⊂ ({x}) Λ b
(v) ⇒ (i) Lấy G ∈ BO(X, τ) và x ∈ G Lấy y ∈ ({x}) Λ b thì x ∈ bCl({y}) và y ∈ G Suy ra ({x}) Λ b ⊂ G Ta thu được x ∈ bCl({x}) ⊂({x}) Λ b ⊂ G.
Do đó (X, τ) là b-R 0 -không gian. Định lý được chứng minh
2.4.8 Mệnh đề ([8]) Nếu (X, τ) là b-R 0 -không gian thì (X, τ Λ b ) là T 1 - không gian và do đó cũng là b-T 1 -không gian.
Trong không gian b-R 0 (X, τ) theo Định lý 2.4.6, bất kỳ tập b-mở A nào đều có thể biểu diễn dưới dạng A = ∪{F : F ⊆ A, F c ∈ BO(X, τ)}, tức là A = A Λ b Theo định lý này, mỗi tập đơn {x} ⊂ X cũng là g.Λ b -tập.
Do đó ta có C Λ b ({x}) = {x} và do đó {x} là τ Λ b -đóng.
Do đó, mỗi tập đơn điểm {x} đều đóng trong (X, τ Λ b ) hay (X, τ Λ b ) là
2.4.9 Định lý ([6]) Nếu BO(X, τ) = τ Λ b thì (X, τ) là không gian rời rạc. Chứng minh Giả sử {x} không phải là tập b-mở trong (X, τ) Khi đó {x} là tập b-đóng trong (X, τ) Theo Mệnh đề 2.4.5 (c) thì {x} ∈ τ Λ b
Nếu {x} là tập b-mở trong (X, τ) thì {x} ∈ BO(X, τ) = τ Λ b Do đó, mỗi tập đơn điểm {x} đều là τ Λ b -mở.
Với A là tập con bất kỳ của (X, τ), do A = ∪{x : x ∈ A} nên A cũng là τ Λ b -mở Vậy (X, τ) là không gian rời rạc
2.4.10 Định nghĩa Không gian tôpô (X, τ) được gọi là T V b -không gian nếu mỗi tập τ V b -mở của (X, τ) đều là g.V b -tập.
Sau đây là điều kiện cần và đủ để một không gian là T V b -không gian Tiếp đó là mối quan hệ giữa b-T 1
2-không gian và T V b -không gian.
2.4.11 Định lý ([8]).Không gian tôpô (X, τ) là T V b -không gian khi và chỉ khi S V b = τ Λ b
Chứng minh Điều kiện cần TừX là T V b -không gian thì τ Λ b ⊆ S V b Để chứng minh điều kiện cần ta còn phải chứng minh rằng S V b ⊆ τ Λ b
Lấy B ∈ S V b thì Int V b (B) = B do B là g.V b -tập.
Từ Mệnh đề 2.4.5, B ∈ τ Λ b ⇒S V b ⊂ τ Λ b Do đó S V b = τ Λ b Điều kiện đủ Nếu S V b = τ Λ b thế thì mỗi tập τ Λ b -mở trong không gian tôpô (X, τ) đều là g.V b -tập.
Theo Định nghĩa 2.4.9 thì (X, τ) là T Λ b -không gian
2-không gian là một T V b -không gian.
Chứng minh rằng B là τ Λ b -mở dẫn đến B = Int V b (B) theo Mệnh đề 2.4.5 Từ đó, mỗi V b -tập là g.V b -tập theo Mệnh đề 2.1.15 (c), cho thấy Int V b (B) là V b -tập Do đó, ta có (Int V b (B)) V b = Int V b (B).
Thật vậy, lấy Ω V b = {B : B ∈ V b } Cũng theo Mệnh đề 2.1.15 (c) và giả thiết ta có Ω V b = S V b Từ Định nghĩa và Mệnh đề 2.1.12 (j) và Ω V b = S V b Ta có:
Từ Mệnh đề 2.1.12 (g) ta có Int V b (B)
Cuối cùng là tính di truyền của T V b -không gian qua phép g.Λ b -đồng phôi giữa hai không gian tôpô.
2.4.13 Định lý ([8]) Ảnh của một T V b -không gian qua một g.Λ b -đồng phôi là một T V b -không gian.
Chứng minh Trước hết ta nhắc lại σ Λ b = {B : B ⊆Y, C Λ b (B c ) = B c }.
Lấy f: (X, τ) → (Y, σ) là một g.Λ b -đồng phôi từ T V b -không gian (X, τ) vào không gian tôpô (Y, σ) Giả sử B là một tập σ Λ b -mở bất kỳ của (Y, σ) Khi đó, ta có thể khẳng định rằng B là g.V b -tập của (Y, σ), dẫn đến σ Λ b = S V b trong (Y, σ) Từ giả thiết này, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa các không gian tôpô.
Mặt khác, theo Mệnh đề 2.4.3 thì (f −1 (B)) c ⊆C Λ b ((f −1 (B)) c ).
Do đó f −1 (B) là tập τ Λ b -mở của (X, τ) Từ (X, τ) là T V b -không gian và f là g.Λ b -đồng phôi nên ta thu được B là g.V b -tập trong (Y, σ).
Do đó (Y, σ) là T V b -không gian
Nếu f là đồng phôi, thì f cũng đồng thời là b-đồng phôi và g.Λ b-đồng phôi Câu hỏi đặt ra là: Điều kiện nào đảm bảo rằng ảnh của một T V b-không gian qua phép đồng phôi vẫn là một T V b-không gian? Đây là một trong những vấn đề chúng tôi sẽ nghiên cứu trong thời gian tới.