BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI XUÂN MÃI VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI XUÂN MÃI VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 Cán hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian b-mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian b-mêtric Về tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu co yếu suy rộng không gian b-mêtric 11 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu 11 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Kannan suy rộng 23 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích Nó có nhiều ứng dụng Toán học nhiều ngành khoa học kĩ thuật khác Kết quan trọng lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) Người ta mở rộng nguyên lý cho nhiều kiểu ánh xạ nhiều loại không gian Có điều cần lưu ý ánh xạ co (kiểu Banach) không gian mêtric liên tục Từ đó, nảy sinh vấn đề mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho ánh xạ không liên tục Để giải vấn đề này, vào năm 1968, Kannan [5] vào năm 1972, Chatterjea [2] đưa khái niệm ánh xạ co kiểu Kannan ánh xạ co kiểu Chatterjea chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ không gian mêtric đầy đủ Sau đó, vào năm 2009, Choudhury [3] đưa khái niệm ánh xạ co kiểu Chatterjea suy rộng (hay ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea) chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ không gian mêtric đầy đủ Cũng theo hướng mở rộng nguyên lý Banach kiểu này, vào năm 2003, Kirk cộng [8] giới thiệu khái niệm ánh xạ co xyclic nghiên cứu tồn điểm bất động không gian mêtric Từ đến nay, vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thoả mãn điều kiện co nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Năm 2012, Karapinar cộng [6] đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea co yếu kiểu Chatterjea suy rộng không gian mêtric đầy đủ Vào năm 1993, Czerwik [4] đưa khái niệm không gian b-mêtric nghiên cứu tồn điểm bất động không gian Trong thời gian gần đây, vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian b-mêtric nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu [7], [9], [12] Để tập dượt nghiên cứu khoa học tìm hiểu lý thuyết điểm bất động, tiếp cận vấn đề nhằm nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu suy rộng không gian b-mêtric, mở rộng số kết tài liệu [6], [10], [11] cho không gian b-mêtric Với mục đích đó, luận văn có nhan đề “Về tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu suy rộng không gian b-mêtric” trình bày thành hai chương Chương một, trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn số tính chất Sau đó, trình bày khái niệm không gian b-mêtric, số ví dụ tính chất không gian b-mêtric cần dùng luận văn Chương hai, mục thứ nhất, trình bày khái niệm ánh xạ co co yếu kiểu Kannan, kiểu Chatterjea không gian mêtric Sau đó, đưa khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan, kiểu Chatterjea không gian b-mêtric đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ không gian b-mêtric Ở mục thứ hai, đưa khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Kannan suy rộng không gian b-mêtric Tiếp theo, đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ không gian b-mêtric Các kết mở rộng số kết [6], [10] [11] Ví dụ 2.2.12 Ví dụ 2.2.13 minh hoạ cho Định lí 2.2.2 chứng tỏ Định lí 2.2.2 mở rộng thực Định lí 2.9 [6] Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng, nhờ tác giả học tập nhiều điều bổ ích trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh Đồng thời tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, Tổ Toán trường THPT Phan Đình Phùng Quảng Bình tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập Tác giả xin cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo môn Toán Giải tích Thầy giáo, Cô giáo Khoa Sư phạm Toán học Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, bạn học viên lớp Cao học khóa 21 - Chuyên ngành Toán Giải Tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng nhiều hạn chế kiến thức thời gian nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 07 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất không gian b-mêtric làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, mà chúng cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập khác rỗng d : X x X −→ R Hàm d gọi mêtric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thoả mãn 1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x); 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Tập hợp X với mêtric d gọi không gian mêtric kí hiệu (X, d) X 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử {xn } dãy số thực bị chặn Khi đó, tồn inf sup{xn+k : k = 0, 1, } ∈ R sup inf{xn+k : k = 0, 1, } ∈ R n n Ta gọi inf sup{xn+k : k = 0, 1, }, sup inf{xn+k : k = 0, 1, } tương n n ứng giới hạn trên, giới hạn dãy {xn } n → ∞ kí hiệu tương ứng lim sup xn , lim inf xn n→∞ n→∞ Nếu dãy {xn } không bị chặn (không bị chặn dưới) ta đặt lim sup xn = +∞ (tương ứng, lim inf xn = −∞) n→∞ n→∞ Chú ý Trong tài liệu ta viết ∞ thay cho +∞ 1.1.3 Bổ đề ([1]) Với dãy số thực {xn }, ta có 1) lim inf xn ≤ lim sup xn ; n→∞ n→∞ 2) Tồn lim xn = a ∈ R tồn lim inf xn = a n→∞ n→∞ lim sup xn = a n→∞ 1.1.4 Bổ đề ([1]) Giả sử {xn } {yn } dãy số thực bị chặn Khi đó, ta có 1) lim sup(xn + yn ) ≤ lim sup xn + lim sup yn ; n→∞ n→∞ n→∞ 2) lim inf (xn + yn ) ≥ lim inf xn + lim inf yn n→∞ n→∞ n→∞ 1.1.5 Bổ đề Giả sử f : R −→ R hàm đơn điệu tăng liên tục, {xn } dãy bị chặn R Khi đó, ta có 1) lim sup f (xn ) ≤ f (lim sup xn ); n→∞ n→∞ 2) lim inf f (xn ) ≥ f (lim inf xn ) n→∞ n→∞ Chứng minh 1) Đặt un = sup{xn+k : k = 0, 1, } Khi đó, lim sup xn = inf un = lim un := α n n→∞ n→∞ xn ≤ un với n = 1, 2, Vì f đơn điệu tăng nên f (xn ) ≤ f (un ) với n = 1, 2, Từ bất đẳng thức suy lim sup f (xn ) ≤ lim sup f (un ) n→∞ n→∞ Mặt khác, f liên tục lim un = α nên n→∞ f (lim sup xn ) = f (α) = lim f (un ) = lim sup f (un ) n→∞ n→∞ n→∞ Kết hợp với (1.1) suy lim sup f (xn ) ≤ f (lim sup xn ) n→∞ n→∞ Khẳng định 2) chứng minh tương tự (1.1) 1.2 Không gian b-mêtric Trong mục này, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất không gian b-mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([4]) Giả sử X tập hợp khác rỗng số thực s ≥ Hàm d : X x X −→ [0, ∞) gọi b-mêtric với x, y, z ∈ X , ta có 1) d(x, y) = ⇔ x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x); 3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] (bất đẳng thức tam giác) Tập X với b-mêtric gọi không gian b-mêtric với tham số s, nói gọn không gian b-mêtric kí hiệu (X, d) X Chú ý 1) Từ sau, nói tới không gian b-mêtric ta hiểu tham số s ≥ 2) Từ định nghĩa không gian mêtric không gian b-mêtric ta thấy rằng, không gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian b-mêtric s = Ví dụ sau cho thấy rằng, lớp không gian b-mêtric thực rộng lớp không gian mêtric 1.2.2 Ví dụ 1) ([4]) Giả sử (X, ρ) không gian mêtric d : X x X −→ [0, ∞) hàm cho d(x, y) = (ρ(x, y))2 ∀x, y ∈ X Khi đó, d b-mêtric với s = 2) ([4]) Giả sử X = R R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm d : R x R −→ [0, ∞) d(x, y) = |x − y|2 ∀x, y ∈ R Khi đó, d b-mêtric với s = (theo 1)) d không mêtric R d(1, −2) = > = d(1, 0) + d(0, −2) 3) ([7]) Cho X = {0, 1, 2} hàm d : X x X −→ [0, ∞) xác định d(0, 0) = d(1, 1) = d(2, 2) = d(0, 1) = d(1, 0) = d(1, 2) = d(2, 1) = d(2, 0) = d(0, 2) = m ≥ m [d(x, z) + d(z, y)] với x, y, z ∈ X Do đó, (X, d) m không gian b-mêtric với tham số s = ≥ Tuy nhiên, m > bất đẳng thức tam giác thông thường không Khi đó, d(x, y) ≤ (X, d) không gian mêtric 1.2.3 Định nghĩa ([4]) Giả sử {xn } dãy không gian b-mêtric (X, d) Dãy {xn } gọi b-hội tụ (nói gọn hội tụ) tới x ∈ X kí hiệu xn → x lim xn = x với ε > 0, tồn số tự nhiên n→∞ n0 cho d(xn , x) < ε với n ≥ n0 Nói cách khác, xn → x d(xn , x) → n → ∞ Dãy {xn } gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho d(xn , xm ) < ε với n, m ≥ n0 Không gian b-mêtric gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ 1.2.4 Bổ đề Giả sử {xn } dãy không gian b-mêtric (X, d) xn → x ∈ X Khi đó, ta có 1) {xn } dãy Cauchy; 2) x nhất; 3) ([9]) d(x, y) ≤ lim inf d(xn , y) ≤ lim sup d(xn , y) ≤ sd(x, y) với n→∞ s n→∞ y ∈ X 28 Nếu s > từ (2.31) suy s2 α1 < 1, bất đẳng thức điều mâu thuẫn Nếu s = từ α1 < bất đẳng thức điều vô lí Nếu xqn ∈ Ai , xrn ∈ Ai+1 chứng minh tương tự ta có điều mâu thuẫn Như khẳng định (A) chứng minh Bây giờ, ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử ε > Khi đó, theo khẳng định (A) tồn số tự nhiên n1 cho với r, q ∈ N mà r q ≥ n1 , r − q ≡ 1(mod m) d(xr , xq ) < ε 2s (2.41) Mặt khác, từ (2.35) suy tồn số tự nhiên n2 cho d(xn , xn+1 ) < ε 2msm ∀n > n2 (2.42) Với n ≥ n0 = max{n1 , n2 }, với p = 0, 1, tồn k ∈ {1, 2, , m} cho p − k ≡ 0(mod m), k ≤ p Khi đó, (n + p − k + 1) − n ≡ 1(mod m) Do đó, theo (2.41), ta có d(xn , xn+p−k+1 ) < ε 2s (2.43) Từ bất đẳng thức tam giác (2.42) suy d(xn+p−k+1 , xn+p ) ≤ sd(xn+p−k+1 , xn+p−k+2 ) + s2 d(xn+p−k+2 , xn+p−k+3 ) + · · · + sk−1 d(xn+p−1 , xn+p ) ε ε ≤ (k − 1)sm−1 < m 2ms 2s (2.44) Từ (2.43) (2.44) suy rằng, với n ≥ n0 p = 0, 1, , ta có d(xn , xn+p ) ≤ s[d(xn , xn+p−k+1 ) + d(xn+p−k+1 , xn+p )] < ε Do đó, {xn } dãy Cauchy Vì (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ nên xn → z ∈ X (khi n → ∞) Từ cách xây dựng {xn } f ánh xạ cyclic suy rằng, với i = 1, 2, , m tồn dãy {xin } dãy {xn } cho {xin } ⊂ Ai Vì Ai đóng X xin → z nên z ∈ Ai với i = 1, 2, , m Do đó, z ∈ ∩m i=1 Ai 29 Bây giờ, ta chứng minh z điểm bất động f Vì z ∈ Ai với i = 1, 2, , m nên theo điều kiện (2.33), với n = 1, 2, , ta có d(f z, xn+1 ) = d(f z, f xn ) ≤ α1 d(z, xn ) + α2 d(z, f z) + α3 d(z, xn+1 ) + α4 d(xn , xn+1 ) + α5 d(xn , f z) − ϕ(α2 d(z, f z), α3 d(z, xn+1 ), α4 d(xn , xn+1 ), α5 d(xn , f z)) Vì xn → z nên từ bất đẳng thức này, Bổ đề 1.2.4 Bổ đề 1.2.5 suy d(f z, z) ≤ (α2 + sα5 )d(z, f z) s − ϕ α2 d(z, f z), 0, 0, lim inf α5 d(xn , f z) n→∞ Kết hợp với α2 + sα5 ≤ suy s ϕ α2 d(z, f z), 0, 0, lim inf α5 d(xn , f z) = n→∞ Do đó, α2 d(z, f z) = α5 lim inf d(xn , f z) = n→∞ Nếu α2 = d(z, f z) = 0, tức z = f z z điểm bất động f Nếu α2 = 0, α5 = từ d(z, f z) ≤ lim inf d(xn , f z) = n→∞ s suy d(z, f z) = Do đó, z điểm bất động f Giả sử α2 = α5 = Khi đó, từ d(f z, z) ≤ (α2 + sα5 )d(z, f z) = s suy d(f z, z) = Do đó, z điểm bất động f Cuối cùng, giả sử y điểm bất động f Vì f ánh xạ cyclic nên y ∈ ∩m i=1 Ai Do đó, theo điều kiện (2.33), ta có d(y, z) = d(f y, f z) ≤ α1 d(y, z) + α2 d(y, y) + α3 d(y, z) + α4 d(z, z) + α5 d(z, y) − ϕ(α2 d(y, y), α3 d(y, z), α4 d(z, z), α5 d(z, y)) = (α1 + α3 + α5 )d(y, z) − ϕ(0, α3 d(y, z), 0, α5 d(z, y)) 30 Từ α1 + α3 + α5 ≤ s3 α1 + s4 α3 + s4 α5 ≤ tính chất ϕ suy rằng, α3 α5 = d(y, z) = 0, tức y = z Giả sử α3 = α5 = Khi đó, từ d(y, z) ≤ α1 d(y, z) α1 < suy d(y, z) = 0, tức y = z Vậy z điểm bất động f 2.2.3 Hệ (Định lí 2.1.7) Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am tập đóng khác rỗng X cho X = ∪m i=1 Ai f : X −→ X ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Khi đó, f có điểm bất động z ∈ ∩m i=1 Ai Chứng minh Vì f : X −→ X ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea nên tồn α ∈ 0, ϕ ∈ F1 cho điều kiện (2.2) thoả 2s mãn Ta xác định hàm ϕ1 : [0, ∞)4 −→ [0, ∞) công thức ϕ1 (a, b, c, d) = ϕ b d , α α ∀(a, b, c, d) ∈ [0, ∞)4 + ϕ(a, c), Vì ϕ ∈ F1 nên ϕ nửa liên tục dưới, ϕ b d , α α = ⇔ b = d = ϕ(a, c) = ⇔ a = c = Từ suy yn tn , + ϕ(xn , zn ) n→∞ α α yn t n ≥ lim inf ϕ , + lim inf ϕ(xn , zn ) n→∞ n→∞ α α 1 ≥ϕ lim inf yn , lim inf tn α n→∞ α n→∞ lim inf ϕ1 (xn , yn , zn , tn ) = lim inf ϕ n→∞ + ϕ lim inf xn , lim inf zn n→∞ n→∞ = ϕ1 lim inf xn , lim inf yn , lim inf zn , lim inf tn n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ ϕ1 (x, y, z, t) = ⇔ ϕ y t , α α = ϕ(x, z) = ⇔ x = y = z = t = Như vậy, ϕ1 ∈ F2 Đặt α1 = α2 = α4 = 0, α3 = α5 = α 31 Khi đó, theo (2.2), với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 (i = 1, 2, , m), ta có d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)] − ϕ(d(x, f y), d(y, f x)) 1 αd(x, f y), αd(y, f x) = α[d(x, f y) + d(y, f x)] − ϕ α α − ϕ(0.d(x, f x), 0.d(y, f y)) = α1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f y) + α5 d(y, f x) − ϕ1 (α2 d(x, f x), α3 d(x, f y), α4 d(y, f y), α5 d(y, f x)) Ta dễ dàng kiểm tra điều kiện lại Định lí 2.2.2 thoả mãn Do đó, theo Định lí 2.2.2, f có điểm bất động z ∈ ∩m i=1 Ai 2.2.4 Hệ (Định lí 2.1.4) Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am tập đóng khác rỗng X cho X = ∪m i=1 Ai f : X −→ X ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan Khi đó, f có điểm bất động z ∈ ∩m i=1 Ai Chứng minh Vì f : X −→ X ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan nên 1 , ϕ ∈ F1 cho điều kiện (2.1) thoả tồn α ∈ 0, s mãn Ta xác định hàm ϕ1 : [0, ∞)4 −→ [0, ∞) công thức a c , + ϕ(b, d), ∀(a, b, c, d) ∈ [0, ∞)4 α α a c Vì ϕ ∈ F1 nên ϕ nửa liên tục dưới, ϕ , = ⇔ a = c = α α ϕ(b, d) = ⇔ b = d = Từ suy ϕ1 (a, b, c, d) = ϕ xn zn , + ϕ(yn , tn ) n→∞ α α xn zn ≥ lim inf ϕ , + lim inf ϕ(yn , tn ) n→∞ n→∞ α α 1 ≥ϕ lim inf xn , lim inf zn α n→∞ α n→∞ lim inf ϕ1 (xn , yn , zn , tn ) = lim inf ϕ n→∞ + ϕ lim inf yn , lim inf tn n→∞ n→∞ = ϕ1 lim inf xn , lim inf yn , lim inf zn , lim inf tn n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 32 ϕ1 (x, y, z, t) = ⇔ ϕ x z , = ϕ(y, t) = ⇔ x = y = z = t = α α Như vậy, ϕ1 ∈ F2 Đặt α1 = α3 = α5 = 0, α2 = α4 = α Khi đó, theo (2.1), với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 (i = 1, 2, , m), ta có d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)] − ϕ(d(x, f x), d(y, f y)) 1 αd(x, f x), αd(y, f y) = α[d(x, f x) + d(y, f y)] − ϕ α α − ϕ(0.d(x, f y), 0.d(y, f x)) = α1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f y) + α5 d(y, f x) − ϕ1 (α2 d(x, f x), α3 d(x, f y), α4 d(y, f y), α5 d(y, f x)) Mặt khác, ta có α1 = < α1 + α2 + 2sα3 + α4 = 2α ≤ 1, s3 α1 + s4 α3 + s4 α5 = ≤ 1, α2 + sα5 = α ≤ s Như điều kiện Định lí 2.2.2 thoả mãn Do đó, theo Định lí 2.2.2, f có điểm bất động z ∈ ∩m i=1 Ai 2.2.5 Hệ Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am m tập đóng khác rỗng X f : ∪m i=1 Ai −→ ∪i=1 Ai ánh xạ cyclic Khi đó, tồn số không âm β1 , β2 , , β5 cho β1 + β2 + 2sβ3 + β4 < 1, (2.45) s3 β1 + s4 β3 + s4 β5 < 1, β2 + sβ5 < s (2.46) (2.47) 33 d(f x, f y) ≤ β1 d(x, y) + β2 d(x, f x) + β3 d(x, f y) + β4 d(y, f y) + β5 d(y, f x) (2.48) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m; Am+1 = A1 f có điểm bất động ∩m i=1 Ai Chứng minh Từ (2.45), (2.46) (2.47) suy tồn số không âm α1 , α2 , , α5 cho ≤ α1 < điều kiện (2.30), (2.31), (2.32) thoả mãn αi > βi , ∀i = 1, 2, , Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞)4 −→ [0, ∞) công thức ϕ(a, b, c, d) = 1 (α2 − β2 )a + (α3 − β3 )b α2 α3 1 + (α4 − β4 )c + (α5 − β5 )d, α4 α5 ∀(a, b, c, d) ∈ [0, ∞)4 Khi đó, ϕ liên tục từ αi > βi với i = 2, 3, 4, suy ϕ(a, b, c, d) = a = b = c = d = Do đó, ϕ ∈ F2 Từ (2.48) suy d(f x, f y) ≤ β1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f y) + α5 d(y, f x) − ϕ (α2 d(x, f x), α3 d(x, f y), α4 d(y, f y), α5 d(y, f x)) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f y) + α5 d(y, f x) − ϕ (α2 d(x, f x), α3 d(x, f y), α4 d(y, f y), α5 d(y, f x)) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m; Am+1 = A1 Như điều kiện Định lí 2.2.2 thoả mãn Do đó, f có điểm bất động ∩m i=1 Ai 2.2.6 Hệ Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ, f : X −→ X Khi đó, tồn số không âm α1 , α2 , , α5 cho s3 α1 + α2 + s4 α3 + α4 + s4 α5 < 1, s (2.49) 34 d(f x, f y) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f y) + α5 d(y, f x) ∀x, y ∈ X (2.50) f có điểm bất động X Chứng minh Theo điều kiện (2.50), ta có d(f y, f x) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(y, f y) + α3 d(y, f x) + α4 d(x, f x) + α5 d(x, f y) ∀x, y ∈ X (2.51) Từ (2.50) (2.51) suy α3 + α5 α2 + α4 d(x, f x) + d(x, f y) 2 α4 + α2 α5 + α3 + d(y, f y) + d(y, f x) ∀x, y ∈ X 2 d(f x, f y) ≤ α1 d(x, y) + (2.52) Đặt α3 + α5 α2 + α4 , β3 = β5 = 2 Khi β1 , β2 , β3 , β4 , β5 số thực không âm từ (2.49) suy β1 = α1 , β2 = β4 = β1 + β2 + 2sβ3 + β4 < 1, s3 β1 + s4 β3 + s4 β5 < 1, β2 + sβ5 < s Mặt khác, lấy A1 = A2 = · · · = Am = X từ (2.52) suy f thoả mãn (2.48) Như điều kiện Hệ 2.2.5 thoả mãn Do đó, f có điểm bất động X Trong Hệ 2.2.6, lấy s = ta nhận Hệ sau 2.2.7 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, f : X −→ X Khi đó, tồn số không âm α1 , α2 , , α5 cho α1 + α2 + α3 + α4 + α5 < (2.53) 35 d(f x, f y) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f y) + α5 d(y, f x) ∀x, y ∈ X (2.54) f có điểm bất động X 2.2.8 Hệ ([11], Theorem 3.1) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am , Am+1 = A1 tập đóng khác rỗng X m f : ∪m i=1 Ai −→ ∪i=1 Ai ánh xạ cyclic Khi đó, tồn số thực 1 a ∈ [0, 1), b ∈ 0, , c ∈ 0, cho với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 2 1, 2, , m điều kiện sau thoả mãn d(f x, f y) ≤ ad(x, y); (2.55) d(f x, f y) ≤ b[d(x, f x) + d(y, f y)]; (2.56) d(f x, f y) ≤ c[d(x, f y) + d(y, f x)] (2.57) f có điểm bất động ∩m i=1 Ai Chứng minh Vì (X, d) không gian mêtric đầy đủ nên không gian b-mêtric đầy đủ với s = 1) Nếu điều kiện (2.55) thoả mãn ta đặt β1 = a ∈ [0, 1), β2 = β3 = β4 = β5 = Khi β1 , β2 , β3 , β4 , β5 số thực không âm Ta có β1 + β2 + 2sβ3 + β4 = a < 1, s3 β1 + s4 β3 + s4 β5 = a < 1, β2 + sβ5 = < s d(f x, f y) ≤ β1 d(x, y) + β2 d(x, f x) + β3 d(x, f y) + β4 d(y, f y) + β5 d(y, f x) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m; Am+1 = A1 36 Như điều kiện Hệ 2.2.5 thoả mãn Do đó, f có điểm bất động ∩m i=1 Ai 2) Nếu điều kiện (2.56) thoả mãn ta đặt β1 = β3 = β5 = 0, β2 = β4 = b ∈ 0, Khi β1 , β2 , β3 , β4 , β5 số thực không âm Ta có β1 + β2 + 2sβ3 + β4 = 2b < 1, s3 β1 + s4 β3 + s4 β5 = < 1, β2 + sβ5 = b < s d(f x, f y) ≤ β1 d(x, y) + β2 d(x, f x) + β3 d(x, f y) + β4 d(y, f y) + β5 d(y, f x) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m; Am+1 = A1 Như điều kiện Hệ 2.2.5 thoả mãn Do đó, f có điểm bất động ∩m i=1 Ai 3) Nếu điều kiện (2.57) thoả mãn ta đặt β1 = β2 = β4 = 0, β3 = β5 = c ∈ 0, Khi đó, β1 , β2 , β3 , β4 , β5 số thực không âm ta dễ dàng kiểm tra điều kiện Hệ 2.2.5 thoả mãn Vậy f có điểm bất động ∩m i=1 Ai 2.2.9 Hệ ([10], Theorem 7) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am , Am+1 = A1 tập đóng khác rỗng X m f : ∪m i=1 Ai −→ ∪i=1 Ai ánh xạ cyclic Khi đó, tồn số thực không âm a, b, c cho a+b+c [d(1, f 1) + d(1, f 2) + d(2, f 1) + d(2, f 2)] 3 3 −ϕ , , 0, = − ϕ , , 0, 2 2 với ϕ ∈ F2 Như f không thoả mãn điều kiện co Hệ 2.2.11 Do đó, Hệ 2.2.11 không áp dụng cho f 40 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Trình bày số khái niệm, tính chất không gian bmêtric Dựa vào khái niệm ánh xạ co co yếu kiểu Kannan, kiểu Chatterjea không gian mêtric, đưa khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan, kiểu Chatterjea không gian b-mêtric đưa vài kết tồn điểm bất động ánh xạ không gian b-mêtric, Định lí 2.1.4, 2.1.7 Hệ 2.1.5, 2.1.6, 2.1.8, 2.1.9, 2.1.10 Các kết mở rộng số kết [6] Đưa khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Kannan suy rộng không gian b-mêtric vài kết tồn điểm bất động ánh xạ không gian b-mêtric, Định lí 2.2.2 Hệ 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, 2.2.10, 2.2.11 Các kết mở rộng số kết [6], [10], [11] Đưa Ví dụ 2.2.12, 2.2.13 để minh hoạ cho Định lí 2.2.2 chứng tỏ kết mở rộng thực Định lí 2.9 [6] 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, Tập 1, Nhà xuất giáo dục [2] S K Chatterjea (1972), Fixed point theorems, C.R Acal Bulgre Sci 25, 727–730 [3] B S Choudhury (2009), Unique fixed point theorem for weak Ccontractive mappings, Kathmandu University Journal of Science, Engineering and Technology, Vol 5, No 1, 6–13 [4] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric space, Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostraviensis, Vol 1, No 1, 5–11 [5] R Kannan (1968), Some results on fixed points, Bull Calcutta Math Soc 60, 71–76 [6] E Karapinar and H K Nashine (2012), Fixed point theorems for cyclic Chatterjea type contractions, Journal of Applied Mathematics, Vol 2012, Article ID 165698, 15 pages doi: 10.1155/2012/165698 [7] M Kir and H Kiziltunc (2013), On some well known fixed point theorems in b-metric space, Turkish Journal of Analysis and Number theory, Vol 1, No 1, 13–16 [8] W A Kirk, P S Srinivasa and P Vreramani (2003), Fixed points for mappings satisfying cyclical contractive conditions, Fixed Point Theory, Vol 4, No 1, 79–89 42 [9] Z Mustafa, J R Roshan, V Parvaneh and Z Kadelburg (2014), Fixed point theorems for weakly T -Chatterjea and weakly T -Kannan contractions in b-metric spaces, Journal of Inequalities and Applications, Vol 1, No 46, 1–14 [10] M A Petric (2010), Some results concerning cyclical contractive mappings, General Mathematics, Vol 18, No 4, 213–226 [11] M Petric and B Zlatanov (2010), Fixed point theorems of Kannan type for cyclic contractive conditions, Anniversity International Conference REMIA, Plovdiv, Bulgaria, 187–194 [12] W Sintunavarat, S Plubtieng and P Katchang (2013), Fixed point result and applications on a b-metric space endowed with an arbitrary binary relation, Fixed point theory and applications, 1, 284–296 [...]... TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU VÀ CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic thoả mãn điều kiện co yếu và co yếu suy rộng trong không gian b-mêtric 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu Trong mục này, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan,... suy ra f thoả mãn (2.26) Như vậy các điều kiện của Hệ quả 2.1.8 được thoả mãn Vậy khẳng định của Hệ quả này được suy ra từ Hệ quả 2.1.8 2.2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea và Kannan suy rộng Trong mục này, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea và Kannan suy rộng và đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ này trong. .. = 1, 2, , m Nhận xét Trong Định nghĩa 2.1.3, nếu (X, d) là không gian mêtric, 1 A1 = A2 = · · · = Am = X và α = thì ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan 2 13 trở thành ánh xạ co yếu kiểu Kannan, ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea trở thành ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea 2.1.4 Định lí Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m i=1... Kannan, kiểu Chatterjea và đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ này trong không gian b-mêtric 2.1.1 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian mêtric Ánh xạ f : X −→ X được gọi là 1) ([5]) Co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ 0, 1 2 sao cho với mọi x, y ∈ X , ta có d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)] 2) ([2]) Co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈ 0, 1 2 sao cho với mọi 12 x, y ∈ X , ta... không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m i=1 Ai và f : X −→ X là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau 1) f là ánh xạ cyclic; 2) Tồn tại β ∈ 0, min 1 1 , 2 s sao cho d(f x, f y) ≤ β[d(x, f x) + d(y, f y)] (2.13) với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m, trong đó Am+1 = A1 Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩m i=1 Ai 1 1 1 1 , nên tồn tại. .. suy ra (1.2) 1.2.6 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và f : X −→ X 1) Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu mọi dãy {xn } trong X mà xn → x ta có f xn → f x, ở đây và sau này ta viết f x thay cho f (x) với mọi x ∈ X 2) Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f x = x 3) Tập con Y của X được gọi là đóng nếu mọi dãy {xn } ⊂ Y mà xn → x ∈ X thì x ∈ Y 11 CHƯƠNG 2 VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT... F1 Mặt khác, từ (2.13) suy ra f thoả mãn (2.1) Như vậy các điều kiện của Định lí 2.1.4 được thoả mãn Do đó, khẳng định của Hệ quả này được suy ra từ Định lí 2.1.4 2.1.6 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m i=1 Ai và f : X −→ X là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau 1) f là ánh xạ cyclic; 1 2) Tồn tại α ∈ 0, và ϕ ∈ F1 sao... gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m i=1 Ai và f : X −→ X 1 là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea với hằng số α ∈ 0, 4 Khi đó, 2s m f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩i=1 Ai Chứng minh Lấy x0 ∈ X và đặt f xn = xn+1 , với mọi n = 0, 1, Khi đó, nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn0 +1 = xn0 thì ta có xn0 +1 = f xn0 = xn0 Do đó, xn0 là điểm bất động. .. z Vậy z là điểm bất động duy nhất của f Vì 0 < 2α ≤ 2.1.8 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m i=1 Ai và f : X −→ X là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau 1) f là ánh xạ cyclic; 22 2) Tồn tại β ∈ 0, 1 2s4 sao cho d(f x, f y) ≤ β[d(x, f y) + d(y, f x)] (2.26) với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m, trong đó Am+1... (2.12) suy ra 1 d(z, f z) ≤ αd(z, f z) − ϕ(0, d(z, f z)) s 1 nên ϕ(0, d(z, f z)) = 0, suy ra d(z, f z) = 0, tức f z = z Vậy z s là điểm bất động của f Do α ≤ Cuối cùng, giả sử y cũng là điểm bất động của f Vì f là ánh xạ cyclic nên y ∈ ∩m i=1 Ai Do đó, ta có d(y, z) = d(f y, f z) ≤ α[d(y, y) + d(z, z)] − ϕ(d(y, y), d(z, z)) = 0 Do đó, d(y, z) = 0 hay y = z Vậy z là điểm bất động duy nhất của f ... GIAN b-MÊTRIC Trong chương này, đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thoả mãn điều kiện co yếu co yếu suy rộng không gian b-mêtric 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu Trong mục này,... Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Kannan suy rộng Trong mục này, đưa khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Kannan suy rộng đưa vài kết tồn điểm bất động ánh xạ. .. ∈ X gọi điểm bất động f f x = x 3) Tập Y X gọi đóng dãy {xn } ⊂ Y mà xn → x ∈ X x ∈ Y 11 CHƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU VÀ CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC