1 MỤC LỤC Mục lục 1 Sự tồn điểm bất động bốn không gian mêtric có thứ tự phận 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Sự tồn điểm bất động bốn không gian mêtric có thứ tự phận Sự tồn điểm bất động bốn không gian mêtric nón có thứ tự phận 11 2.1 Không gian mêtric nón 11 2.2 Sự tồn điểm bất động bốn không gian mêtric nón có thứ tự phận 15 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Năm 2006, G Bhaskar V Laksmikantham [4] đưa khái niệm điểm bất động đôi chứng minh số định lý tồn điểm bất động đôi không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Khái niệm điểm bất động ba giới thiệu nghiên cứu V Berinde M Borcut [3] vào năm 2011 Gần đây, E Karapinar ([7],[8]) đưa khái niệm điểm bất động bốn ánh xạ từ không gian tích X vào X nghiên cứu số định lý tồn điểm bất động bốn không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Năm 2007, Huang Long - Guang Zhang Xian [5] mở rộng lớp không gian mêtric cách thay tập hợp số thực R không gian Banach thực có thứ tự phận đưa khái niệm không gian mêtric nón Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động không gian mêtric nón nhiều người quan tâm, nghiên cứu thu nhiều kết Mục đích luận văn nghiên cứu số kết tồn điểm bất động bốn ánh xạ từ X vào X có tính đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric nón đầy đủ có thứ tự phận tìm ví dụ minh họa cho kết đạt Do đó, phần mở đầu, kết luận, luận văn trình bày hai chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị, kết không gian mêtric, thứ tự phận, ánh xạ đơn điệu hỗn hợp, điểm bất động bốn, mà cần luận văn Trình bày số kết tồn điểm bất động bốn ánh xạ co yếu không gian mêtric có thứ tự phận Trong chương 2, trình bày định nghĩa số tính chất không gian mêtric nón Sau đó, đưa số kết tồn điểm bất động bốn điểm bất động chung bốn ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric nón có thứ tự phận Đó toàn kết mục 2.2 Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo Khoa Toán Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy, cô giáo khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hoàn thành khóa học thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Nghệ An, tháng 09 năm 2013 Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Trong chương trình bày ngắn gọn số kết tồn điểm bất động, điểm chung bốn ánh xạ không gian mêtric có thứ tự phận 1.1 Một số khái niệm kết Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, thứ tự phận, ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp, điểm bất động bốn, điểm chung bốn, mà cần luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([2]) Cho tập hợp X Họ T tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện (i) ∅, X ∈ T ; (ii) Nếu Gi ∈ T , i ∈ I Gi ∈ T ; i∈I (iii) Nếu G1 , G2 ∈ T G1 ∩ G2 ∈ T Tập hợp X với tôpô T gọi không gian tôpô kí hiệu (X, T ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các phần tử thuộc T gọi tập mở Giả sử A ⊂ X , tập A gọi đóng X\A mở 1.1.2 Định nghĩa ([2]) Cho không gian tôpô X , tập U ⊂ X gọi lân cận x tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ U Cho không gian tôpô X , x ∈ X , U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ U(x) tồn V ∈ B(x) cho V ⊆ U 1.1.3 Định nghĩa ([2]) Dãy {xn } không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi đó, ta kí hiệu xn → x lim xn = x n→∞ 1.1.4 Định nghĩa ([2]) Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y , f gọi liên tục x ∈ X với lân cận V f (x), tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X tập hợp khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập X với mêtric gọi không gian mêtric kí hiệu (X, d) X 1.1.6 Định nghĩa Cho X không gian mêtric Một dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với > 0, tồn n0 ∈ N cho với n, m ∈ N mà m > n ≥ n0 d(xn , xm ) < Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Không gian mêtric gọi đầy đủ với dãy Cauchy X hội tụ Tập A ⊂ X gọi tập đầy đủ đầy đủ với mêtric cảm sinh từ không gian mêtric (X, d) Mọi tập đầy đủ không gian mêtric tập đóng Mọi tập đóng không gian mêtric đầy đủ tập đầy đủ 1.1.7 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ g : X −→ X gọi liên tục x ∈ X {xn } dãy X hội tụ tới x g(xn ) → g(x) 1.1.8 Định nghĩa Giả sử E không gian véctơ trường K = R K = C Hàm p : E → R gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện sau i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E p(x) = ⇔ x = 0; ii) p(λx) = |λ|p(x) với x ∈ E λ ∈ K; iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với x, y ∈ E Số p(x) gọi chuẩn véctơ x ∈ E Ta thường kí hiệu chuẩn x x Không gian véctơ E với chuẩn xác định gọi không gian định chuẩn, kí hiệu (E, ) 1.1.9 Mệnh đề Giả sử (E, ) không gian định chuẩn Khi đó, công thức d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E xác định mêtric E Ta gọi mêtric mêtric sinh chuẩn hay mêtric chuẩn Một không gian định chuẩn đầy đủ theo mêtric sinh chuẩn gọi không gian Banach 1.1.10 Định nghĩa Cho tập hợp X " " quan hệ hai X Quan hệ " " gọi quan hệ thứ tự phận X thỏa mãn điều kiện sau i) x x với x ∈ X ; ii) Nếu x y y iii) Từ x y, y x x = y với x, y ∈ X ; z suy x z với x, y, z ∈ X Tập X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận kí hiệu (X, ) Kí hiệu X không gian tích X × X × X × X Giả sử (X, ) tập thứ tự phận, (X, d) không gian mêtric Giả sử (u, v, r, t), (x, y, z, w) phần tử thuộc X , xét quan hệ thứ tự X sau (u, v, r, t) ta viết a b thay b  u    v (x, y, z, w) ⇔ r    t x y z w a Ta nói  u=x    v=y (x, y, z, w) = (u, v, r, t) ⇔ r=z    t = w Ta dễ dàng chứng minh hàm ρ : X × X → R xác định ρ((x, y, z, w), (u, v, r, t)) := d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t) mêtric X Ta nói (X , ρ) không gian mêtric xác định (X, d) 1.1.11 Định nghĩa ([8]) Cho (X, ) tập thứ tự phận ánh xạ F : X → X Ta nói F có tính đơn điệu hỗn hợp với x, y, z, w thuộc X ta có x1 , x2 ∈ X, x1 x2 ⇒ F (x1 , y, z, w) F (x2 , y, z, w), y1 , y2 ∈ X, y1 y2 ⇒ F (x, y1 , z, w) F (x, y2 , z, w), z1 , z2 ∈ X, z1 z2 ⇒ F (x, y, z1 , w) F (x, y, z2 , w), w1 , w2 ∈ X, w1 w2 ⇒ F (x, y, z, w1 ) F (x, y, z, w2 ) 1.1.12 Định nghĩa ([8]) Một phần tử (x, y, z, w) ∈ X gọi điểm bất động bốn ánh xạ F : X → X F (x, y, z, w) = x, F (x, w, z, y) = y, F (z, y, x, w) = z, F (z, w, x, y) = w 1.1.13 Định nghĩa ([7]) Cho (X, ) tập hợp thứ tự phận ánh xạ F : X → X , g : X → X Ta nói F có tính g - đơn điệu hỗn hợp X với x, y, z, w thuộc X ta có x1 , x2 ∈ X, g(x1 ) g(x2 ) ⇒ F (x1 , y, z, w) F (x2 , y, z, w), y1 , y2 ∈ X, g(y1 ) g(y2 ) ⇒ F (x, y1 , z, w) F (x, y2 , z, w), z1 , z2 ∈ X, g(z1 ) g(z2 ) ⇒ F (x, y, z1 , w) F (x, y, z2 , w), w1 , w2 ∈ X, g(w1 ) g(w2 ) ⇒ F (x, y, z, w1 ) F (x, y, z, w2 ) 1.1.14 Định nghĩa ([7]) Điểm (x, y, z, w) ∈ X gọi điểm chung bốn ánh xạ F : X → X g : X → X F (x, y, z, w) = g(x), F (x, w, z, y) = g(y), F (z, y, x, w) = g(z), F (z, w, x, y) = g(w) 1.1.15 Định nghĩa ([7]) Cho F : X → X g : X → X Các ánh xạ F g gọi giao hoán với X với x, y, z, w thuộc X ta có g(F (x, y, z, w)) = F (g(x), g(y), g(z), g(w)) 1.2 Sự tồn điểm bất động bốn không gian mêtric có thứ tự phận Mục trình bày số định lý tồn điểm bất động bốn, điểm chung bốn ánh xạ không gian mêtric có thứ tự phận Các định lý có tài liệu tham khảo ([7],[8]) nên không trình bày phần chứng minh Giả sử (X, ) tập hợp thứ tự phận, (X, d) không gian mêtric đầy đủ Đặt Φ1 :={φ : [0, +∞) → [0, +∞) : lim φ(t) > với r > lim+ φ(t) = 0} t→r t→0 Φ2 :={φ : [0, +∞) → [0, +∞) : φ(t) < t với ≤ t, lim φ(r) < t với ≤ t} r→t+ 1.2.1 Định lý ([8]) Cho F : X → X ánh xạ có tính chất đơn điệu hỗn hợp X tồn φ ∈ Φ1 cho với (x, y, z, w), (u, y, r, t) thuộc X mà (u, y, r, t) (x, y, z, w) ta có d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)] − φ( [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)]) Giả sử tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X thỏa mãn x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0 F (x0 , w0 , z0 , y0 ), z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0 F (z0 , w0 , x0 , y0 ) Khi đó, thỏa mãn hai điều kiện (a) F ánh xạ liên tục (b) X có tính chất - Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn x với n ∈ N, - Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn y với n ∈ N, F có điểm bất động 1.2.2 Hệ ([8]) Cho F : X → X ánh xạ có tính chất đơn điệu hỗn hợp X k ∈ [0, 1) Với (x, y, z, w), (u, y, r, t) thuộc X mà (u, y, r, t) (x, y, z, w) ta có k d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)] 10 Giả sử tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X thỏa mãn x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0 F (x0 , w0 , z0 , y0 ), z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0 F (z0 , w0 , x0 , y0 ) Khi đó, thỏa mãn hai điều kiện (a) F ánh xạ liên tục (b) X có tính chất - Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn x với n ∈ N, - Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn y với n ∈ N, F có điểm bất động 1.2.3 Định lý ([7]) Cho F : X → X ánh xạ giao hoán với g : X → X , F (X ) ⊂ g(X) F có tính chất g - đơn điệu hỗn hợp X , g(X) không gian đầy đủ X Giả sử tồn φ ∈ Φ2 cho với (x, y, z, w), (u, v, r, t) thuộc X mà (g(u), g(v), g(r), g(t)) (g(x), g(y), g(z), g(w)) ta có d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ φ( [d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v)) +d(g(z), g(r)) + d(g(w), g(t))]) tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X thỏa mãn g(x0 ) F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 ) F (x0 , w0 , z0 , y0 ), g(z0 ) F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 ) F (z0 , w0 , x0 , y0 ) Khi đó, thỏa mãn hai điều kiện (a) F ánh xạ liên tục (b) X có tính chất - Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn x với n ∈ N, - Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn y với n ∈ N, F g có điểm chung bốn 22 2.2.3 Hệ Giả sử X không gian mêtric nón đầy đủ, F : X −→ X ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn điều kiện sau 1) Tồn α1 , α2 , α3 , α4 ∈ [0; 1) cho α1 + α2 + α3 + α4 < với (x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X mà (u, v, r, t) d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) (x, y, z, w) ta có α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 d(z, r) + α4 d(w, t); 2) Tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X cho x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0 F (x0 , w0 , z0 , y0 ), z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0 F (z0 , w0 , x0 , y0 ); 3) F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn x với n ∈ N, ii) Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn y với n ∈ N Khi đó, F có điểm bất động bốn Trong Định lý 2.2.1, chọn α1 = α2 = α3 = α4 = α với α ∈ [0, 1) g ánh xạ đồng ta có hệ sau 2.2.4 Hệ Giả sử X không gian mêtric nón đầy đủ, F : X −→ X ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn điều kiện sau 1) Tồn α ∈ [0; 1) cho với (x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X mà (u, v, r, t) (x, y, z, w) ta có d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) α [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)]; 2) Tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X cho x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0 F (x0 , w0 , z0 , y0 ), z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0 F (z0 , w0 , x0 , y0 ); 3) F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn x với n ∈ N, 23 ii) Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn y với n ∈ N Khi đó, F có điểm bất động bốn 2.2.5 Định lý Cho F : X → X g : X → X ánh xạ thỏa mãn tính chất Định lý 2.2.1 Giả sử với (x, y, z, w); (u, v, r, t) thuộc X tồn a, b, c, d ∈ X cho (g(a), g(b), g(c), g(d)) so sánh với (g(x), g(y), g(z), g(w)) (g(u), g(v), g(r), g(t)) theo quan hệ thứ tự X thỏa mãn g(a) F (a, b, c, d), g(b) F (a, d, c, b), g(c) F (c, b, a, d), g(d) F (c, d, a, b) (2.16) Khi đó, ánh xạ F g có điểm bất động chung bốn, tức tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X thỏa mãn F (x0 , y0 , z0 , w0 ) = g(x0 ) = x0 , F (x0 , w0 , z0 , y0 ) = g(y0 ) = y0 , F (z0 , y0 , x0 , w0 ) = g(z0 ) = z0 , (2.17) F (z0 , w0 , x0 , y0 ) = g(w0 ) = w0 Chứng minh Rõ ràng theo chứng minh Định lý 2.2.1 tập điểm chung bốn F g khác rỗng Khi đó, giả sử (x, y, z, w), (u, v, r, t) hai điểm chung bốn F g Ta có F (x, y, z, w) = g(x), F (u, v, r, t) = g(u), F (x, w, z, y) = g(y), F (u, t, r, v) = g(v), F (z, y, x, w) = g(z), F (r, v, u, t) = g(r), (2.18) F (z, w, x, y) = g(w), F (r, t, u, v) = g(t) Theo giả thiết, tồn (a, b, c, d) ∈ X cho (g(a), g(b), g(c), g(d)) so sánh với hai điểm (g(x), g(y), g(z), g(w)), (g(u), g(v), g(r), g(t)) theo quan hệ thứ tự X thỏa mãn (2.16) nên ta giả sử (g(a), g(b), g(c), g(d)) (g(x), g(y), g(z), g(w) (2.19) 24 Chúng ta thiết lập dãy {an }, {bn }, {cn }, {dn } X sau Với n = 0, 1, a0 = a, b0 = b, z0 = c, d0 = d, g(an+1 ) = F (an , bn , cn , dn ), g(bn+1 ) = F (an , dn , cn , bn ), (2.20) g(cn+1 ) = F (cn , bn , an , dn ), g(dn+1 ) = F (cn , dn , an , bn ) Từ (2.19) suy (g(an ), g(bn ), g(cn ), g(dn )) (g(x), g(y), g(z), g(w)) ∀n = 0, 1, (2.21) Tương tự Định lý 2.2.1, ta chứng minh dãy {g(an )}, {g(bn )}, {g(cn )}, {g(dn )} hội tụ tới a , b , c , d n → +∞ Suy với c ∈ intP , tồn số tự nhiên nc cho với n ≥ nc ta có c d(g(an ), a ) , c , d(g(bn ), b ) (2.22) c d(g(cn ), c ) , c d(g(dn ), d ) Đặt δ0 := d(g(x), g(a0 )) + d(g(y), g(b0 )) + d(g(z), g(c0 )) + d(g(w), g(d0 )) Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh với n = 1, 2, d(g(x), g(an )) q n δ0 , d(g(y), g(bn )) q n δ0 , d(g(z), g(cn )) q n δ0 , d(g(w), g(dn )) q n δ0 , (2.23) 25 q := α1 + α2 + α3 + α4 Thật vậy, từ (2.1) (2.18), ta có d(g(x), g(a1 )) = d(F (x, y, z, w), F (a0 , b0 , c0 , d0 )) α1 d(g(x), g(a0 )) + α2 d(g(y), g(b0 )) + α3 d(g(z), g(c0 )) + α4 d(g(w), g(d0 )) qd(g(x), g(a0 )) + qd(g(y), g(b0 )) + qd(g(z), g(c0 )) + qd(g(w), g(d0 )) = qδ0 Suy d(g(x), g(a1 )) qδ0 Tương tự ta có d(g(y), g(b1 )) qδ0 , d(g(z), g(c1 )) qδ0 , d(g(w), g(d1 )) qδ0 Vậy (2.23) với n = Giả sử (2.23) với n ≥ 1, nghĩa d(g(x), g(an )) q n δ0 , d(g(y), g(bn )) q n δ0 , d(g(z), g(cn )) q n δ0 , d(g(w), g(dn )) q n δ0 (2.24) Ta chứng minh (2.23) với n + Từ (2.1), (2.18), (2.20) (2.24) ta có d(g(x), g(an+1 )) = d(F (x, y, z, w), F (an , bn , cn , dn )) α1 d(g(x), g(an )) + α2 d(g(y), g(bn )) + α3 d(g(z), g(cn )) + α4 d(g(w), g(dn )) α1 q n δ0 + α2 q n δ0 + α3 q n δ0 + α4 q n δ0 = (α1 + α2 + α3 + α4 )q n δ0 = q n+1 δ0 26 Suy d(g(x), g(an+1 )) q n+1 δ0 Tương tự, ta có d(g(y), g(bn+1 )) q n+1 δ0 , d(g(z), g(cn+1 )) q n+1 δ0 , d(g(w), g(dn+1 )) q n+1 δ0 Vậy (2.23) với n = 1, 2, Vì q ∈ [0; 1) nên q n → n → +∞ suy q n δ0 → n → +∞ Khi đó, với c ∈ intP , tồn số tự nhiên n0 cho với n ≥ n0 > ta có c (2.25) Chọn m = max{nc , n0 } Khi đó, với số tự nhiên n ≥ m, từ (2.22) q n δ0 (2.25) ta có d(g(x), a ) d(g(x), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), a ) = d(g(x), F (an , bn , cn , dn )) + d(g(an+1 ), a ) = d(F (x, y, z, w), F (an , bn , cn , dn )) + d(g(an+1 ), a ) α1 d(g(x), g(an )) + α2 d(g(y), g(bn )) + α3 d(g(z), g(cn )) + α4 d(g(w), g(dn )) + d(g(an+1 ), a ) α1 q n δ0 + α2 q n δ0 + α3 q n δ0 + α4 q n+1 δ0 + d(g(an+1 ), a ) = q n+1 δ0 + d(g(an+1 ), a ) c c + 3 c Vậy d(g(x), a ) c với c ∈ intP Áp dụng Bổ đề 2.1.5 (viii) ta có d(g(x), a ) = hay g(x) = a Tương tự, ta chứng minh g(y) = b , g(z) = c , g(w) = d Vậy ta 27 có (a , b , c , d ) = (g(x), g(y), g(z), g(w)) (2.26) Bằng phương pháp chứng minh ta chứng minh (a , b , c , d ) = (g(u), g(v), g(r), g(t)) (2.27) Từ (2.26), (2.27) ta suy (g(x), g(y), g(z), g(w)) = (g(u), g(v), g(r), g(t)) Đặt x1 := g(x), y1 := g(y), z1 := g(z), (2.28) w1 := g(w) Khi đó, từ tính chất giao hoán F g ta có g(x1 ) = g(g(x)) = g(F (x, y, z, w)) = F (g(x), g(y), g(z), g(w)) (2.29) = F (x1 , y1 , z1 , w1 ) Tương tự g(y1 ) = F (x1 , w1 , z1 , y1 ), g(z1 ) = F (z1 , y1 , x1 , w1 ), (2.30) g(w1 ) = F (z1 , w1 , x1 , y1 ) Suy (x1 , y1 , z1 , w1 ) điểm chung bốn F g Theo chứng minh ảnh điểm chung bốn F g qua ánh xạ g Do đó, từ (2.28), (2.29), (2.30) ta có x1 = g(x) = g(x1 ) = F (x1 , y1 , z1 , w1 ), y1 = g(y) = g(y1 ) = F (x1 , w1 , z1 , y1 ), z1 = g(z) = g(z1 ) = F (z1 , y1 , x1 , w1 ), w1 = g(w) = g(w1 ) = F (z1 , w1 , x1 , y1 ) 28 Do (x1 , y1 , z1 , w1 ) điểm bất động chung bốn F g Vậy luôn tồn điểm bất động chung bốn F g Nếu (x, y, z, w), (x , y , z , w ) điểm bất động chung bốn F g Khi x = g(x) = g(x ) = x , y = g(y) = g(y ) = y , z = g(z) = g(z ) = z , w = g(w) = g(w ) = w Suy ta có (x, y, z, w) = (x , y , z , w ) Vậy tồn điểm bất động chung bốn F g 2.2.6 Định lý Giả sử F : X −→ X , g : X −→ X , φ : P −→ P ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) φ không giảm, φ(t) so sánh với t ∞ j j=1 φ (t) hội tụ với t ∈ P; 2) g liên tục giao hoán với F , g(X) không gian đầy đủ X ; 3) F có tính g - đơn điệu hỗn hợp F (X ) ⊂ g(X); 4) Nếu (x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X mà (g(u), g(v), g(r), g(t)) (g(x), g(y), g(z), g(w)) d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) φ( [d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v)) + d(g(z), g(r)) + d(g(w), g(t))]); (2.31) 5) Tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X cho g(x0 ) F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 ) F (x0 , w0 , z0 , y0 ), g(z0 ) F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 ) F (z0 , w0 , x0 , y0 ); (2.32) Khi đó, F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn x với n ∈ N, 29 ii) Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn y với n ∈ N, F g có điểm chung bốn Chứng minh Từ F (X ) ⊂ g(X), thiết lập dãy {xn }, {yn }, {zn }, {wn } X sau g(xn+1 ) = F (xn , yn , zn , wn ), g(yn+1 ) = F (xn , wn , zn , yn ), (2.33) g(zn+1 ) = F (zn , yn , xn , wn ), g(wn+1 ) = F (zn , wn , xn , yn ), ∀n = 0, 1, Khi đó, từ (2.32), (2.33) tính g - đơn điệu hỗn hợp ánh xạ F , ta có g(x0 ) g(x1 ) g(x2 ) g(xn+1 ) = F (xn , yn , zn , wn ) ., g(y0 ) g(y1 ) g(y2 ) g(yn+1 ) = F (xn , wn , zn , yn ) ., g(z0 ) g(z1 ) g(z2 ) g(zn+1 ) = F (zn , yn , xn , wn ) ., g(w0 ) g(w1 ) g(w2 ) g(wn+1 ) = F (zn , wn , xn , yn ) (2.34) Với n = 0, 1, , đặt an := g(xn ), bn := g(yn ), cn := g(zn ), dn := g(wn ), δn := d(an , an+1 ) + d(bn , bn+1 ) + d(cn , cn+1 ) + d(dn , dn+1 ) (2.35) Từ (2.31), (2.33), (2.34) (2.35), với n = 0, 1, ta có d(an+1 , an+2 ) = d(g(xn+1 ), g(xn+2 )) = d(F (xn , yn , zn , wn ), F (xn+1 , yn+1 , zn+1 , wn+1 )) φ( [d(g(xn ), g(xn+1 )) + d(g(yn ), g(yn+1 )) + d(g(zn ), g(zn+1 )) + d(g(wn ), g(wn+1 ))]) = φ( [d(an , an+1 ) + d(bn , bn+1 ) + d(cn , cn+1 ) + d(dn , dn+1 )]) φ( δn ) (2.36) 30 Tương tự φ( δn ), φ( δn ), φ( δn ), d(bn+1 , bn+2 ) d(cn+1 , cn+2 ) d(dn+1 , dn+2 ) (2.37) ∀n = 0, 1, Từ (2.35),(2.36), (2.37) suy δn+1 φ( δn ) ∀n = 0, 1, (2.38) Vì φ ánh xạ không giảm nên φ( δn−1 ) δn φn ( δ0 ) ∀n = 1, 2, (2.39) Xét dãy {an } Với n = 1, 2, với p = 0, 1, , ta có d(an , an+p ) d(an , an+1 ) + d(an+1 , an+2 ) + + d(an+p−1 , an+p ) 1 φ( δn−1 ) + φ( δn ) + + φ( δn+p−1 ) 4 1 φn ( δ0 ) + φn+1 ( δ0 ) + + φn+p−1 ( δ0 ) 4 ∞ δ0 φj ( ) j=n ∞ j δ0 j=1 φ ( ) (2.40) ∞ j δ0 j=n φ ( ) → n → +∞ 4 Từ suy với c ∈ intP , tồn số tự nhiên n0 , cho với n ≥ n0 , Theo điều kiện 1), hội tụ Do với p = 0, 1, ∞ d(an , an+p ) δ0 φj ( ) j=n c Do {an } dãy Cauchy Tương tự, ta có {bn }, {cn }, {dn } dãy Cauchy g(X) Vì (g(X), d) đầy đủ nên tồn a, b, c, d thuộc g(X) 31 cho lim an = a, lim bn = b, n→∞ n→∞ lim cn = c, lim dn = d n→∞ (2.41) n→∞ Vì g liên tục nên lim g(an ) = g(a), lim g(bn ) = g(b), n→∞ n→∞ lim g(cn ) = g(c), lim g(dn ) = g(d) n→∞ (2.42) n→∞ Mặt khác, F g giao hoán với nên g(an+1 ) = g(g(xn+1 )) = g(F (xn , yn , zn , wn )) = F (g(xn ), g(yn ), g(zn ), g(wn )) (2.43) = F (an , bn , cn , dn ) Tương tự g(bn+1 ) = F (an , dn , cn , bn ), g(cn+1 ) = F (cn , bn , an , dn ), g(dn+1 ) = F (cn , dn , an , bn ) Giả sử F liên tục Khi đó, từ (2.41), (2.42) (2.43) ta có g(a) = lim g(an+1 ) n→∞ = lim F (an , bn , cn , dn ) = F (a, b, c, d) n→∞ Tương tự, ta có g(b) = F (a, d, c, b), g(c) = F (c, b, a, d), g(d) = F (c, d, a, b) Vậy (a, b, c, d) điểm chung bốn F g Giả sử X thỏa mãn i) ii) Khi đó, dãy {an } {cn } dãy tăng hội tụ, {bn } {dn } dãy giảm hội tụ Từ (2.41) ta có an a, bn b, cn c, dn d, ∀n = 0, 1, 32 Vì dãy {g(an )}, {g(bn )}, {g(cn )}, {g(dn )} hội tụ tới g(a), g(b), g(c), g(d) Do đó, với c ∈ intP , tồn số tự nhiên nc cho với n ≥ nc ta có c , c d(g(bn ), g(b)) , (2.44) c d(g(cn ), g(c)) , c d(g(dn ), g(d)) t với t ∈ P Thật vậy, tồn t0 ∈ P, < t0 d(g(an ), g(a)) Mặt khác, ta có φ(t) mà t0 φ(t0 ) từ tính không giảm φ suy t0 φn (t0 ) với n = 1, 2, Điều mâu thuẫn với tính hội tụ chuỗi ∞ n n=1 φ (t0 ) Đặc biệt, từ tính không giảm φ suy φ(0) = (nếu < φ(0) = t1 t1 < t1 = φ(0) φ( ) φ(t1 ) = mâu thuẫn) Với số tự nhiên n ≥ nc , từ (2.44) ta có d(g(a), F (a, b, c, d)) d(g(a), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), F (a, b, c, d)) = d(g(a), g(an+1 )) + d(F (an , bn , cn , dn ), F (a, b, c, d)) d(g(a), g(an+1 )) + φ( [d(g(an ), g(a)) + d(g(bn ), g(b)) + d(g(cn ), g(c)) + d(g(dn ), g(d))]) d(g(a), g(an+1 )) + [d(g(an ), g(a)) + d(g(bn ), g(b)) + d(g(cn ), g(c)) + d(g(dn ), g(d))] c c c c c + ( + + + ) 3 3 c Vậy d(g(a), F (a, b, c, d)) c với c ∈ intP Áp dụng Bổ đề 2.1.5 (viii), ta có d(g(a), F (a, b, c, d)) = hay F (a, b, c, d) = g(a) 33 Tương tự, ta chứng minh F (a, d, c, b) = g(b); F (c, b, a, d) = g(c); F (c, d, a, b) = g(d) Suy (a, b, c, d) điểm chung bốn F g Vậy thỏa mãn F liên tục X có tính chất i) ii) F g có điểm chung bốn Trong Định lý 2.2.6, chọn g ánh xạ đồng ta có hệ sau 2.2.7 Hệ Giả sử X không gian mêtric nón đầy đủ, F : X −→ X , φ : P −→ P ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) φ không giảm, φ(t) so sánh với t ∞ j j=1 φ (t) hội tụ với t ∈ P; 2) F có tính đơn điệu hỗn hợp; 3) Nếu (x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X mà (u, v, r, t) d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) φ( (x, y, z, w) d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t) ); 4) Tồn (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X cho x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0 F (x0 , w0 , z0 , y0 ), z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0 F (z0 , w0 , x0 , y0 ); Khi đó, F ánh xạ liên tục X có tính chất - Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn x với n ∈ N, - Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn y với n ∈ N, F có điểm bất động bốn 2.2.8 Nhận xét Hệ 2.2.2 suy từ Định lý 2.2.6 với việc lấy φ : P −→ P ánh xạ xác định φ(t) = αt với t ∈ P , α số thuộc [0, 1) 2.2.9 Ví dụ 34 1) Cho X = [0, +∞) với mêtric d(x, y) = |x − y|, với x, y ∈ X Xét quan hệ thứ tự xác định sau x, y ∈ X, x y⇔ x=y=0 x≤y x = y = x, y ∈ (0, +∞) ≤ quan hệ thứ tự thông thường R Nón P = [0, +∞) ⊂ E = R Xét F : X −→ X xác định F (x, y, z, w) = xyzw = xyzw = ∀x, y, z, w ∈ X Khi đó, kiểm tra tất cá điều kiện Hệ 2.2.3 thỏa mãn Áp dụng Hệ 2.2.3, suy F có điểm bất động bốn Dễ dàng (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) hai điểm bất động bốn F 2) Lấy X = R X ta xét quan hệ "≤" thông thường Giả sử P = {f ∈ C[a,b] : f } nón không gian Banach C[a,b] d : X × X → P hàm cho d(x, y)(s) = |x − y|es , ∀x, y ∈ X, ∀s ∈ [a, b] Khi đó, d mêtric nón X (X, d) không gian mêtric nón đầy đủ Giả sử F : R4 → R, g : R → R hai hàm cho x−y+z−w , ∀x, y, z, w ∈ R g(x) = x, ∀x ∈ R Cho hàm φ : P → P với φ(f ) = f, ∀f ∈ P F (x, y, z, w) = Khi đó, F, g, φ thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2.6 Do đó, F g có điểm chung bốn Dễ dàng kiểm tra (0, 0, 0, 0) điểm chung bốn F g 35 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu tồn tính điểm bất động bốn ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric nón đầy đủ có thứ tự phận Luận văn đạt kết sau Tìm hiểu trình bày lại cách có hệ thống khái niệm nón, không gian mêtric nón số tính chất không gian mêtric nón Đưa số kết tồn điểm bất động điểm chung bốn ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric nón có thứ tự phận Đó Định lý 2.2.1, 2.2.5, 2.2.6 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.3, 2.2.7 Đưa ví dụ minh họa 2.2.9 2.2.10 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Hải Yến (2012),Không gian mêtric nón với thứ tự phận tồn điểm bất động, Luận văn thạc sỹ toán học, Trường Đại Học Vinh [2] J Kelley (1973), Tôpô đại cương Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường dịch, NXB Đại Học Trung Học Chuyên Nghiệp, Hà Nội [3] V Berinde and M Borcut (2011), Tripled fixed point theorems for contractive type mapping in partially ordered metric space, Nonlinear Analysis, vol.74, no.15, pp 4889-4897 [4] G Bhaskar and V Laksmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Analysis, Appl 332, no.2, pp 1468-1476 [5] Huang Long - Guang and Zhang Xian (2007), Cone metric space and fixed point theorem of contractive mappings, J.Math Anal App 332.no.2, 1468-1476 [6] E Karapinar (2010), Couple fixed point theorems for nonlinear contractions in cone metric spaces, Computers and Mathematics with applications, doi:10.1016/j.camwa.2010.03.062 [7] E Karapinar (2011), Quartet Fixed Point Theorems For Nonlinear Contractions In Partially Ordered Metric Spaces, arXiv:1106.5472v1 [math.GN] [8] E Karapinar (2011), Quadruple fixed point theorems for weak φ - contractions, International Scholarly Research Network, ISRN Mathematical Analysis, volume 2011, Article ID 989423, 15 pages, doi:10.5402/2011/989423 [...]... SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất của không gian mêtric nón và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn, điểm chung bộ bốn của các ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận 2.1 Không gian mêtric nón Mục này trình bày khái niệm, ví dụ và một số tính chất của không gian. .. dãy trong X , xn → x, yn → y , zn → z , wn → w kéo theo F (xn , yn , zn , wn ) → F (x, y, z, w) 2.2 Sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận Mục này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn, điểm chung bộ bốn của các ánh xạ trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận Trong mục này, ta giả thiết (X, ) là tập sắp thứ tự bộ phận, (X, d) là không gian. .. và g có điểm chung bộ bốn Dễ dàng kiểm tra được (0, 0, 0, 0) là một điểm chung bộ bốn của F và g 35 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của điểm bất động bộ bốn của các ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric nón đầy đủ có thứ tự bộ phận Luận văn đã đạt được các kết quả sau đây 1 Tìm hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống các khái niệm về nón, không gian mêtric. .. nón và một số tính chất của không gian mêtric nón 2 Đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động và điểm chung bộ bốn của các ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận Đó là các Định lý 2.2.1, 2.2.5, 2.2.6 và các Hệ quả 2.2.2, 2.2.3, 2.2.3, 2.2.7 3 Đưa ra các ví dụ minh họa 2.2.9 và 2.2.10 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Hải Yến (2012) ,Không gian mêtric. .. d(y, z), ∀x, y, z ∈ X Tập X cùng với mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón và được kí hiệu là (X, d) hoặc X Từ định nghĩa trên ta nhận thấy khái niệm của không gian mêtric nón tổng quát hơn khái niệm không gian mêtric Bởi vì mỗi một không gian mêtric là một không gian mêtric nón trong trường hợp E = R và P = [0, +∞) 2.1.8 Ví dụ 1) Cho E = R2 và nón P = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}... quả ([1]) Cho P là nón trong không gian Banach E và {xn } là dãy trong X Nếu xn → x thì với mọi c ∈ intP , tồn tại n0 ∈ N sao cho d(xn , x) c với mọi n ≥ n0 2.1.13 Định nghĩa ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón Dãy {xn } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ intP , tồn tại n0 ∈ N sao cho d(xm , xn ) c với mọi m > n ≥ n0 2.1.14 Định nghĩa ([5]) Không gian mêtric nón (X, d) được gọi... (2.29), (2.30) ta có x1 = g(x) = g(x1 ) = F (x1 , y1 , z1 , w1 ), y1 = g(y) = g(y1 ) = F (x1 , w1 , z1 , y1 ), z1 = g(z) = g(z1 ) = F (z1 , y1 , x1 , w1 ), w1 = g(w) = g(w1 ) = F (z1 , w1 , x1 , y1 ) 28 Do đó (x1 , y1 , z1 , w1 ) là điểm bất động chung bộ bốn của F và g Vậy luôn luôn tồn tại điểm bất động chung bộ bốn của F và g Nếu (x, y, z, w), (x , y , z , w ) là 2 điểm bất động chung bộ bốn của F và... chỉ ra được rằng (0, 0, 0, 0) và (1, 1, 1, 1) là hai điểm bất động bộ bốn của F 2) Lấy X = R và trên X ta xét quan hệ "≤" thông thường Giả sử P = {f ∈ C[a,b] : 0 f } là nón trong không gian Banach C[a,b] và d : X × X → P là hàm được cho bởi d(x, y)(s) = |x − y|es , ∀x, y ∈ X, ∀s ∈ [a, b] Khi đó, d là mêtric nón trên X và (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ Giả sử F : R4 → R, g : R → R là hai hàm... đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ Tập con Y của không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong Y đều hội tụ tới điểm thuộc Y 2.1.15 Định nghĩa ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón i) Ánh xạ g : X −→ X được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu {xn } là dãy trong X và xn → x thì g(xn ) → g(x) ii) Ánh xạ F : X 4 −→ X được gọi là liên tục tại (x, y, z, w) ∈ X 4 nếu... xạ liên tục hoặc X có các tính chất i) Từ {xn } là dãy tăng và xn → x suy ra xn x với mọi n ∈ N, ii) Từ {yn } là dãy giảm và yn → y suy ra yn y với mọi n ∈ N Khi đó, F có điểm bất động bộ bốn Trong Định lý 2.2.1, nếu chọn α1 = α2 = α3 = α4 = α 4 với α ∈ [0, 1) và g là ánh xạ đồng nhất thì ta có hệ quả sau 2.2.4 Hệ quả Giả sử X là không gian mêtric nón đầy đủ, F : X 4 −→ X là ánh xạ có tính đơn điệu hỗn ... CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Trong chương trình bày ngắn gọn số kết tồn điểm bất động, điểm chung bốn ánh xạ không gian mêtric có thứ tự phận. .. y, z, w) 2.2 Sự tồn điểm bất động bốn không gian mêtric nón có thứ tự phận Mục trình bày số kết tồn điểm bất động bốn, điểm chung bốn ánh xạ không gian mêtric nón có thứ tự phận Trong mục này,... MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương trình bày định nghĩa, tính chất không gian mêtric nón số kết tồn điểm bất động bốn, điểm chung bốn ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp không gian mêtric nón có thứ tự