Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Mục này giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến không gian mêtric, thứ tự bộ phận, ánh xạ trong đơn điệu trộn, điểm bất động bộ bốn và điểm chung bộ bốn, những nội dung thiết yếu cho luận văn của chúng ta.
1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X Họ T các tập con của X được gọi là tôpô trên X nếu thoả các điệu kiện sau
(ii) Nếu G i ∈ T , i∈ I thì S i∈T G i ∈ T; (iii) Nếu G 1 , G 2 ∈ T thì G 1 TG 2 ∈ T.
Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và kí hiệu là (X,T) hay đơn giản là X.
Các phần tử củaX được gọi là điểm của không gian tôpô Các phần tử thuộc
T được gọi là tập mở Giả sử A ⊂X, tập A được gọi là tập đóng nếu X \A là mở.
1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho không gian tôpô X, tập U ⊂X, được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ U.
Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) là họ tất cả các lân cận của x Họ B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại
1.1.3 Định nghĩa ([1]) Dãy {x n } trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với mọi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ U với mọi n ≥ n0.
Khi đó, ta kí hiệu xn →x hoặc lim n→∞xn = x.
1.1.4 Định nghĩa ([1]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f: X → Y, f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận V của f(x), tồn tại lân cận
U của x sao cho f(U) ⊂ V Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.
1.1.5 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là tập hợp khác rỗng và d: X × X → R. Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn (i) d(x;y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x;y) = 0 ⇔ x = y;
Tập X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và kí hiệu(X;d) hoặc X.
1.1.6 Định nghĩa ([1]) Cho X là không gian mêtric Một dãy {x n } trong
X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε>0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n, m ∈ N mà m > n ≥n 0 thì d(x n ;x m ) < ε.
Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy, và không gian mêtric được xem là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ Tập con A ⊂ X được gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh từ không gian mêtric (X, d) Đặc biệt, mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, và mọi tập đóng của không gian mêtric đầy đủ cũng là tập đầy đủ.
1.1.7 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric Ánh xạ g:X → X được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu {x n } là dãy trong X và hội tụ tới x thì g(x n ) → g(x).
1.1.8 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X và ” ” là một quan hệ hai ngôi trên
X Quan hệ ” ” được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(ii) Nếu x y và y x thì x = y với mọi x, y ∈ X;
(iii)Từ x y và y z suy ra x z với mọi x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận và kí hiệu (X,).
Kí hiệu X 4 là không gian tích X ×X ×X ×X Giả sử (X,) là một tập sắp thứ tự bộ phận, (X, d) là không gian mêtric.
Giả sử (u, v, r, t), (x, y, z, w) là các phần tử bất kì thuộc X 4 , chúng ta xét quan hệ thứ tự trong X 4 như sau
u x v y r z t w trong đó ta viết a b thay b a.
Ta dễ dàng chứng minh được hàm ρ : X 4 ×X 4 →R xác định bởi ρ((x, y, z, w),(u, v, r, t)) :=d(x, u) +d(y, v) +d(z, r) +d(w, t) là một mêtric trênX 4 Ta nói (X 4 , ρ) là không gian mêtric xác định bởi (X, d).
1.1.9 Định nghĩa ([8]) Cho (X,) là một tập sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ
F : X 4 → X Ta nói F có tính đơn điệu trộn nếu với bất kì x, y, z, w thuộc X ta có x1, x2 ∈ X, x1 x2 ⇒ F(x1, y, z, w) F(x2, y, z, w), y 1 , y 2 ∈ X, y 1 y 2 ⇒ F(x, y 1 , z, w) F(x, y 2 , z, w), z1, z2 ∈ X, z1 z2 ⇒ F(x, y, z1, w) F(x, y, z2, w), w 1 , w 2 ∈ X, w 1 w 2 ⇒ F(x, y, z, w 1 ) F(x, y, z, w 2 ).
1.1.10 Định nghĩa ([8]) Một phần tử (x, y, z, w) ∈ X 4 được gọi là điểm bất động bộ bốn của ánh xạ F : X 4 →X nếu
Trong toán học, cho tập hợp có thứ tự (X,) và các ánh xạ F: X^4 → X, g: X → X, ta định nghĩa F có tính g-đơn điệu trộn trên X nếu với mọi phần tử x, y, z, w thuộc X, khi g(x1) g(x2) thì F(x1, y, z, w) ≤ F(x2, y, z, w); tương tự, nếu g(y1) g(y2) thì F(x, y1, z, w) ≤ F(x, y2, z, w); nếu g(z1) g(z2) thì F(x, y, z1, w) ≤ F(x, y, z2, w); và nếu g(w1) g(w2) thì F(x, y, z, w1) ≤ F(x, y, z, w2).
1.1.12 Định nghĩa ([7]) Điểm (x, y, z, w) ∈ X 4 được gọi là điểm chung bộ bốn của ánh xạ F : X 4 → X và g : X → X nếu
1.1.13 Định nghĩa ([7]) Cho F : X 4 → X và g : X → X Các ánh xạ F và g được gọi là giao hoán với nhau trên X nếu với mọi x, y, z, w thuộc X ta có g(F(x, y, z, w)) = F(g(x), g(y), g(z), g(w)).
Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không
trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận
Bài viết này giới thiệu một số định lý liên quan đến sự tồn tại của điểm trùng nhau và điểm bất động trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận Các định lý này đã được đề cập trong tài liệu tham khảo [7] và [8], vì vậy chúng tôi sẽ không trình bày phần chứng minh.
Giả sử (X,) là tập sắp thứ tự bộ phận, (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Đặt Φ1 := {φ : [0; +∞) → [0; +∞) : lim t→rφ(t) > 0với mọi r > 0và lim t→0 + φ(t) = 0}. Φ 2 := {φ : [0; +∞) →[0; +∞) : φ(t) < t với mọi 0 ≤ t, và lim r→t + φ(r) < t với mọi 0≤ t}.
1.2.1 Định lí ([8])Cho F : X 4 →X là ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trên
X và tồn tại φ ∈ Φ 1 sao cho với mọi (x,y,z,w), (u,v,r,t) thuộc X 4 mà
−φ([d(x, u) +d(y, v) +d(z, r) +d(w, t)]). Giả sử tồn tại (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) ∈ X 4 thỏa mãn: x 0 F(x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ), y 0 F(x 0 , w 0 , z 0 , y 0 ), z 0 F(z 0 , y 0 , x 0 , w 0 ), w 0 F(z 0 , w 0 , x 0 , y 0 ).
Khi đó, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện
(a) F là ánh xạ liên tục hoặc
- Từ {x n } là dãy tăng và x n →x suy ra x n x với mọi n ∈ N,
- Từ {y n } là dãy giảm và y n →y suy ra y n y với mọi n ∈ N, thì F có điểm bất động.
1.2.2 Hệ quả ([8])Cho F : X 4 →X là ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trên
X và k ∈ [0; 1) Với mọi (x, y, z, w),(u, v, r, t) thuộc X 4 mà
4[d(x, u) + d(y, v) +d(z, r) +d(w, t)]. Giả sử tồn tại (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) ∈ X 4 thỏa mãn x 0 F(x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ), y 0 F(x 0 , w 0 , z 0 , y 0 ), z0 F(z0, y0, x0, w0), w0 F(z0, w0, x0, y0).
Khi đó, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện
(a) F là ánh xạ liên tục hoặc
- Từ {x n } là dãy tăng và xn →x suy ra xn x với mọi n ∈ N,
- Từ {y n } là dãy giảm và yn →y suy ra yn y với mọi n ∈ N, thì F có điểm bất động.
1.2.3 Định lí ([7]) Cho F : X 4 → X là ánh xạ giao hoán với g : X →
X, F(X 4 ) ⊂ g(X) và F có tính chất g- đơn điệu trộn trên X, g(X) là không gian con đầy đủ của X.
Giả sử tồn tại φ ∈ Φ2 sao cho với mọi (x, y, z, w),(u, v, r, t) thuộc X 4 mà
4[d(g(x), g(u)) +d(g(y), g(v)) +d(g(z), g(r)) +d(g(w), g(t))]) và tồn tại (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) ∈ X 4 thỏa mãn g(x 0 ) F(x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ), g(y 0 ) F(x 0 , w 0 , z 0 , y 0 ), g(z 0 ) F(z 0 , y 0 , x 0 , w 0 ), g(w 0 ) F(z 0 , w 0 , x 0 , y 0 ).
Khi đó, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện
(a) F là ánh xạ liên tục hoặc
- Từ {x n } là dãy tăng và x n →x suy ra x n x với mọi n ∈ N,
- Từ {y n } là dãy giảm và y n →y suy ra y n y với mọi n ∈ N, thì F và g có điểm chung bộ bốn.
Về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian b -mêtric có thứ tự bộ phận
Trong chương này chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian b-mêtric có thứ tự bộ phận.
Không gian b -mêtric
Mục này cung cấp định nghĩa, ví dụ và các tính chất quan trọng của không gian b-metric Những kết quả này được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [6].
2.1.1 Định nghĩa ([6]) Giả sửX là tập khác rỗng vàs ≥ 1 Hàmd : X×X →
[0,+∞) được gọi b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X Ta có
3) d(x, y) ≤s[d(x, z) + d(z, y)], (bất đẳng thức tam giác).
Không gian b-mêtric được định nghĩa bởi một tập X và một b-mêtric d trên nó, ký hiệu là (X, d) hoặc X, với tham số s ≥ 1.
2) Từ định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric ta thấy rằng, không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric khi s = 1.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các không gian b-mêtric thực sự rộng hơn các lớp không gian mêtric.
2.1.3 Ví dụ ([6])1) Giả sử(X, p)là không gian mêtric vàd : X×X →[0,+∞) là hàm cho bởi d(x, y) = (p(x, y)) 2 , ∀x, y ∈ R.
Khi đó, d là b-mêtric với s = 2.
2) Giả sử X = R và trên R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm d : R×R → [0,+∞) bởi d(x, y) =|x−y| 2 , ∀x, y ∈ R. Khi đó, d là b-mêtric với s = 2 (theo 1) nhưng d không là mêtric trên R vì d(1,−2) = 9> 5 =d(1,0) +d(0,−2).
Dãy {x n } trong không gian b-metric (X, d) được gọi là b-hội tụ tới x ∈ X, ký hiệu là x n → x hoặc lim n→∞ x n = x, nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho d(x n , x) < ε với mọi n ≥ n 0 Điều này có nghĩa là x n hội tụ về x khi và chỉ khi d(x n , x) tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng.
Dãy {x n } được gọi dãy Cauchy nếu ε > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho d(x n , x m ) < ε với mọi n, m ≥ n 0
Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ.
2.1.5 Bổ đề ([6]) Giả sử {x n } là dãy trong không gian b-mêtric (X, d) và dãy {x n } → x ∈ X Khi đó,
1 sd(x, y) ≤ lim n→∞infd(xn, y) ≤ lim n→∞supd(xn, y) ≤ sd(x, y) với mọi y ∈ X.
Chứng minh 1) Vì x n → x nên với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho d(x n , x) < ε
Do đó, {x n } là dãy Cauchy.
2) Giả sử x n → x và x n → y Khi đó, d(x n , x) → 0 và d(x n , y) → 0 khi n→ ∞ Theo bất đẳng thức tam giác ta có d(x, y) ≤ sd(x n , x) +d(x n , y), ∀n= 1,2,
Do đó d(x, y) = 0 tức là x = y Vậy x là duy nhất.
Trong bất đẳng thức trên cho n → ∞ và sử dụng lim n→∞sup d(xn, x) = 0, ta được
1 sd(x, y) ≤ lim n→∞infd(x n , y) ≤ lim n→∞supd(x n , y) ≤ sd(x, y), với mọi y ∈ X Vậy ta có bất đẳng thức 3).
2.1.6 Bổ đề ([6]) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric, {x n } và {y n } là hai dãy trong X lần lượt hội tụ tới x và y Khi đó ta có bất đẳng thức sau
1 s 2 d(x, y) ≤ lim n→∞inf d(x n , y n ) ≤ lim n→∞sup d(x n , y n ) ≤ s 2 d(x, y) (1) Đặc biệt, nếu x = y thì lim inf n→∞ d(x n , y n ) = 0.
Chứng minh Theo bất đẳng tam giác ta có d(x, y) ≤sd(x n , x) +d(x n , y)
≤sd(xn, x) +s 2 [d(xn, yn) +d(yn, y)], ∀n = 1,2,
1 s 2 d(x, y)− 1 sd(xn, x)−d(yn, y) ≤ d(xn, yn), ∀n= 1,2, (2)
Vì x n → x và y n → y nên n→∞lim inf d(x n , x) = lim n→∞supd(x n , x) = lim n→∞d(x n , x) = 0, n→∞lim infd(y n , x) = lim n→∞supd(y n , x) = lim n→∞d(y n , x) = 0.
Do đó, lim n→∞inf hai vế của (2) ta được
1 s 2 d(x, y) ≤ lim n→∞inf d(x n , y n ), ∀n = 1,2, (3) Tương tự như trên, ta có d(x n , y n ) ≤ s[d(x n , x) +d(x, y n )]
Lấy lim n→∞sup hai vế của (4) ta được n→∞lim supd(x n , y n ) ≤ s 2 d(x, y) (5)
Trong không gian b-mêtric (X, d), ánh xạ f : X 4 → X được xem là liên tục nếu đối với mọi dãy {(x n , y n , z n , w n )} trong X 4, khi x n tiến tới x, y n tiến tới y, z n tiến tới z và w n tiến tới w, thì f(xn, yn, zn, wn) cũng tiến tới f(x, y, z, w) khi n tiến tới vô cùng.
Về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian b -mêtric có thứ tự bộ phận
gian b -mêtric có thứ tự bộ phận
Mục này trình bày các kết quả mới về sự tồn tại của điểm bất động bộ bốn và điểm chung bộ bốn của các ánh xạ trong không gian b-mêtric có thứ tự bộ phận Chúng tôi giả thiết rằng (X,) là tập sắp thứ tự bộ phận và (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1 Trên X 4, thứ tự bộ phận được xác định theo Định nghĩa 1.1.10.
2.2.1 Định lí ([]) Cho ánh xạ F : X 4 → X và g : X →X có tính g- đơn điệu trộn và thỏa mãn các điều kiện sau:
1) g liên tục và giao hoán với F, F(X 4 ) ⊂ g(X), g(X) là không gian con đầy đủ của X;
2) Tồn tại α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ∈ [0; 1) sao cho α 1 +α 2 +α 3 +α 4 < 1 s và với mọi (x, y, z, w),(u, v, r, t) ∈ X 4 mà
4) F là ánh xạ liên tục hoặc g đơn điệu và X có các tính chất
(i) Từ {x n } là dãy tăng và x n → x suy ra x n x với mọi n∈ N,
(ii) Từ {y n } là dãy giảm và y n →y suy ra y n y với mọi n ∈ N.
Khi đó, F và g có điểm chung bộ bốn.
Chúng ta chứng minh rằng từ F(X 4 ) ⊂ g(X), có thể thiết lập các dãy {x n }, {y n }, {z n }, {w n } trong X với các công thức g(x n+1 ) = F(x n , y n , z n , w n ), g(y n+1 ) = F(x n , w n , z n , y n ), g(z n+1 ) = F(z n , y n , x n , w n ), và g(w n+1 ) = F(z n , w n , x n , y n ) cho n = 0, 1, 2, Từ đó, kết hợp với tính chất g - đơn điệu của ánh xạ F, ta có các chuỗi g(x 0 ) g(x 1 ) g(x 2 ) g(x n+1 ) = F(x n , y n , z n , w n ), g(y 0 ) g(y 1 ) g(y 2 ) g(y n+1 ) = F(x n , w n , z n , y n ), g(z 0 ) g(z 1 ) g(z 2 ) g(z n+1 ) = F(z n , y n , x n , w n ), và g(w 0 ) g(w 1 ) g(w 2 ) g(w n+1 ) = F(z n , w n , x n , y n ) Đặt a n := g(x n ), b n := g(y n ), c n := g(z n ), d n := g(w n ), và δn := d(an, an+1) + d(bn, bn+1) + d(cn, cn+1) + d(dn, dn+1) cho mỗi n = 0, 1,
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh rằng với mọi n= 1,2, d(a n , a n+1 ) ≤ q n δ 0 , (2.6) d(b n , b n+1 ) ≤q n δ 0 , (2.7) d(c n , c n+1 ) ≤ q n δ 0 , (2.8) d(d n , d n+1 ) ≤q n δ 0 (2.9) trong đó q := α 1 + α 2 +α 3 + α 4
Suy ra (2.6) đúng với n = 1 Tương tự, ta chứng minh được (2.7),(2.8),(2.9) đúng với n= 1.
Giả sử (2.6),(2,7),(2.8),(2,9) đúng với n≥ 1, nghĩa là d(a n , a n+1 ) ≤ q n δ 0 ,d(b n , b n+1 ) ≤ q n δ 0 ,d(c n , c n+1 ) ≤ q n δ 0 ,d(d n , d n+1 ) ≤ q n δ 0
Bây giờ, ta chứng minh (2.6),(2.7),(2.8),(2.9) đúng với n+ 1 Ta có d(a n+1 , a n+2 ) = d(g(x n+1 ), g(x n+2 ))
Tương tư, ta chứng minh được (2.7),(2.8),(2.9) cũng đúng với n+ 1.
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng các dãy {a n }, {b n }, {c n }, {d n } là các dãy Cauchy trong (X).
Từ (2.6), với mọi n= 1,2, và mọi p = 0,1, ta có d(a n , a n+p ) ≤ sd(a n , a n+1 ) +s 2 d(a n+1 , a n+2 ) + + s p−1 d(a n+p−1 , a n+p )
Vìq := α1+α2+α3+α4 nên q ∈ [0; 1 s) Suy ra q n → 0→khi n →+∞ Do đó sq n 1
1−sqδ 0 → 0 khi n → +∞ Kết hợp với (2.10) suy ra với mọi p = 0,1, ta có n→∞lim d(a n , a n+p ) = 0.
Do đó {a n } là dãy Cauchy trong g(X) Tương tự, ta cũng có {b n },{c n },{d n } là các dãy Cauchy trong g(X) Vì (g(X), d) đầy đủ nên tồn tại a, b, c, d thuộc g(X) sao cho n→∞lim a n = a, lim n→∞b n = b, n→∞lim c n = c, lim n→∞d n = d (2.11)
Vì g liên tục nên n→∞lim g(a n ) =g(a), lim n→∞g(b n ) = g(b), n→∞lim g(cn) =g(c), lim n→∞g(dn) = g(d) (2.12)
Mặt khác, F và g giao hoán với nhau nên g(a n+1 ) = g(g(x n+1 )) = g(F(x n , y n , z n , w n ))
= F(a n , b n , c n , d n ) (2.13) Tương tự g(b n+1 ) = F(a n , d n , c n , b n ), g(cn+1) = F(cn, bn, an, dn), g(d n+1 ) = F(c n , d n , a n , b n ) (2.14) Giả sử F liên tục Khi đó, từ (2.11),(2.12),(2.13) ta có g(a) = lim n→∞g(a n+1 )
Như vậy (a, b, c, d) là điểm chung bộ bốn của F và g.
Giả sử g có tính đơn điệu (có thể giả thiết g đơn điệu tăng) và X thỏa mãn i) và ii).
Khi đó, các dãy {a n } và {c n } là các dãy tăng và hội tụ, {b n } và {d n } là các dãy giảm và hội tụ Từ (2.11), ta có a n a, b n b, c n c, d n d, ∀n= 0,1,
Vì g đơn điệu và các dãy {g(a n )},{g(b n )},{g(c n )},{g(d n )}, lần lượt hội tụ tới g(a), g(b), g(c), g(d) khi n →+∞ Nên g(a n ) g(a), g(b n ) g(b), g(c n ) g(c), g(d n ) g(d), với mọi n= 1,2,
Do đó, với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên nε sao cho với mọi n ≥nε ta có d(g(a n ), g(a)) < ε
2s. Suy ra với mọi n≥ n ε ta có d(g(a), F(a, b, c, d)) ≤sd(g(a), g(a n+1 )) +sd(g(a n+1 ), F(a, b, c, d))
= sd(g(a), g(an+1)) +sd(F(an, bn, cn, dn, F(a, b, c, d))
Do đó, ta có d(g(a), F(a, b, c, d)) = 0 hay F(a, b, c, d) = g(a) Tương tự, ta cũng chứng minh được
Do đó (a, b, c, d) là điểm chung bộ bốn của F và g.
Vậy nếu F liên tục hoặc X có các tích chất i) và ii) thì F và g luôn có điểm chung bộ bốn.
2.2.2 Hệ quả Cho ánh xạ g : X → X và ánh xạ F : X 4 → X có tính g-đơn điệu trộn và thỏa mãn các điều kiện sau
1) g liên tục và giao hoán với F, F(X 4 ) ⊂ g(X), g(X) là không gian con đầy đủ của X;
2) Tồn tại α ∈ [0; 1 s] sao cho với mọi (x, y, z, w),(u, v, r, t) ∈ X 4 mà (g(u),(g(v), g(r), g(t)) ≤(g(x),(g(y), g(z), g(w)) ta có d(F(x, y, z, w), F(u, v, r, t)) ≤ α
F là ánh xạ liên tục hoặc g có tính đơn điệu, với X có các tính chất sau: i) Nếu {x_n} là dãy tăng và x_n → x, thì x_n → x với mọi n ∈ N; ii) Nếu {y_n} là dãy giảm và y_n → y, thì y_n → y với mọi n ∈ N.
Khi đó, F và g có điểm chung bộ bốn.
4.Khi đó, các điều kiện trong Định lí2.2.1được thỏa mãn Do đó, F và g có điểm chung bộ bốn.
Trong Định lí 2.2.1, nếu chọn g là ánh xạ đồng nhất thì ta có Hệ quả sau đây.
2.2.3 Hệ quả Giả sử F : X 4 → X là ánh xạ có tính đơn điệu trộn và thỏa mãn các điều kiện sau
1) Tồn tại α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ∈ [0;1 s) sao cho α 1 +α 2 + α 3 +α 4 < 1 s và với mọi (x, y, z, w),(u, v, r, t) ∈ X 4 mà (u, v, r, t) ≤ (x, y, z, w) ta có d(F(x, y, z, w), F(u, v, r, t)) ≤α 1 d(x, u) +α2d(y, v)
F là ánh xạ liên tục nếu X có các tính chất sau: i) Đối với dãy tăng {x_n} với x_n → x, thì x_n → x với mọi n ∈ N ii) Đối với dãy giảm {y_n} với y_n → y, thì y_n → y với mọi n ∈ N.
Khi đó, F có điểm bất động bộ bốn.
Trong định lí 2.2.1, nếu chọn α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = α
4 với α ∈ [0;1 s) và g là ánh xạ đồng nhất thì ta có hệ quả sau
2.2.4 Hệ quả Giả sử F : X 4 → X là ánh xạ có tính đơn điệu trộn và thỏa mãn các điều kiện sau
1) Tồn tại α ∈ [0; 1 s) sao cho với mọi (x, y, z, w),(u, v, r, t) ∈ X 4 mà
F là ánh xạ liên tục nếu X có các tính chất sau: i) Nếu {x n} là dãy tăng và x n → x thì x n → x với mọi n ∈ N; ii) Nếu {y n} là dãy giảm và y n → y thì y n → y với mọi n ∈ N.
Khi đó, F có điểm bất động bộ bốn.
2.2.5 Định lí Cho F : X 4 → X và g : X → X là các ánh xạ thỏa mãn các tính chất trong Định lí 2.2.1 Giả sử với mọi (x, y, z, w),(u, v, r, t) ∈ X 4 luôn tồn tại a, b, c, d ∈ X sao cho
Khi đó, ánh xạ F và g có duy nhất một điểm bất động chung bộ bốn, tức là tồn tại duy nhất (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) ∈ X 4 thỏa mãn
Theo Định lý 2.2.1, tập hợp các điểm chung của bộ bốn F và g là khác rỗng Giả sử (x, y, z, w) và (u, v, r, t) là hai điểm chung thuộc bộ bốn này.
Theo giả thiết, tồn tại (a, b, c, d) ∈ X 4 sao cho (g(a), g(b), g(c), g(d)) so sánh được với hai điểm (g(x), g(y), g(z), g(w)), (g(u), g(v), g(r), g(t)) theo quan hệ thứ tự trong X 4 và thỏa mãn (2.16) nên ta có thể giả thiết
Chúng ta thiết lập các dãy {a n },{b n },{c n },{d n } trong X như sau Với n 0,1, a 0 = a, b 0 = b, c 0 = c, d 0 = d, g(a n+1 ) = F(a n , b n , c n , d n ), g(b n+1 ) =F(a n , d n , c n , b n ), (2.20) g(c n+1 ) = F(c n , b n , a n , d n ), g(d n+1 ) =F(c n , d n , a n , b n ).
(g(x), g(y), g(z), g(w)) ≤ (g(a n ), g(b n ), g(c n ), g(d n )), ∀n= 0,1, (2.21)Tương tự như trong Định lí 2.2.1, ta cũng chứng minh được các dãy {g(a n )},{g(b n )}, {g(c n )}, {g(d n )} lần lượt hội tụ tới a 0 , b 0 , c 0 , d 0 khi n →+∞.
Suy ra với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên nε sao cho với mọi n≥ nε ta có d(g(an), a 0 ) < ε
2. Đặt δ 0 := d(g(x), g(a 0 )) +d(g(y), g(b 0 )) +d(g(z), g(c 0 )) +d(g(w), g(d 0 )). Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh rằng với mọi n= 1,2, thì d(g(x), g(a n )) ≤q n δ 0 , d(g(y), g(b n )) ≤ q n δ 0 , d(g(z), g(c n )) ≤ q n δ 0 , (2.23) d(g(w), g(d n )) ≤ q n δ 0
Thật vậy, từ (2.1) và (2.18), ta có d(g(x), g(a 1 )) =d(F(x, y, z, w), F(a 0 , b 0 , c 0 , d 0 ))
Tương tự, ta cũng có d(g(y), g(b 1 )) ≤qδ 0 , d(g(z), g(c1)) ≤ qδ0, d(g(w), g(d 1 )) ≤ qδ 0 Vậy (2.23) đúng với n= 1 Giả sử (2.23) đúng với n ≥ 1, nghĩa là d(g(x), g(a n )) ≤q n δ 0 , d(g(y), g(b n )) ≤ q n δ 0 , d(g(z), g(c n )) ≤ q n δ 0 , (2.24) d(g(w), g(d n )) ≤ q n δ 0
Ta chứng minh (2.23) đúng với n+ 1 Từ (2.1),(2.18),(2.20),(2.24) ta có d(g(x), g(a n+1 )) =d(F(x, y, z, w), F(a n , b n , c n , d n )
= q n+1 δ 0 Suy ra d(g(x), g(an+1)) ≤ q n+1 δ0. Tương tự, ta có d(g(y), g(bn+1)) ≤ q n+1 δ0,d(g(z), g(c n+1 )) ≤ q n+1 δ 0 ,d(g(w), g(dn+1)) ≤ q n+1 δ0.
Vì q ∈ [0; 1) nên q n → 0 khi n → +∞ suy ra q n δ0 → 0 khi n → +∞ Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n≥ n0 > 0 ta có q n δ 0 < ε
Chọnm = max{n ε , n0} Khi đó, với mỗi số tự nhiên n ≥ m, từ (2.22) và (2.25) ta có d(g(x), a 0 ) ≤[d(g(x), g(a n+1 )) +d(g(a n+1 ), a 0 )]s
Từ đó suy ra d(g(x), a 0 ) = 0, tức là g(x) = a 0
Tương tự, ta cũng chứng minh được g(y) = b 0 , g(z) =c 0 , g(w) = d 0 Vậy, ta có
(a 0 , b 0 , c 0 , d 0 ) = (g(x), g(y), g(z), g(w)) (2.26) Bằng phương pháp chứng minh trên ta cũng có thể chứng minh được rằng
Từ (2.26) và (2.27) ta suy ra (g(x), g(y), g(z), g(w)) = (g(u), g(v), g(r), g(t)) Đặt x 1 := g(x), y 1 := g(y), z 1 := g(z), w 1 := g(w) (2.28) Khi đó, từ tính chất giao hoán của F và g ta có g(x 1 ) =g(g(x)) = g(F(x, y, z, w))
Suy ra (x 1 , w 1 , z 1 , y 1 ) cũng điểm chung bộ bốn của F và g Theo chứng minh trên thì ảnh của các điểm chung bộ bốn củaF và g qua ánh xạ g là bằng nhau.
Do đó, từ (2.28),(2.29),(2.30) ta có x 1 = g(x) = g(x 1 ) = F(x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ), y1 = g(y) =g(y1) =F(x1, w1, z1, y1), z 1 = g(z) = g(z 1 ) =F(z 1 , y 1 , x 1 , w 1 ), w1 = g(w) = g(w1) = F(z1, w1, x1, y1).
Do đó (x1, w1, z1, y1) là điểm bất động chung bộ bốn của F và g Vậy luôn tồn tại điểm bất động chung bộ bốn của F và g.
Nếu (x, y, z, w), (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) là hai điểm bất động chung bộ bốn của F và g thì x = g(x) =g(x 0 ) = x 0 , y = g(y) =g(y 0 ) = y 0 , z = g(z) = g(z 0 ) =z 0 , w = g(w) = g(w 0 ) = w 0
Vậy tồn tại duy nhất một điểm bất động chung bộ bốn của F và g.
2.2.6 Định lí Giả sử F : X 4 → X là ánh xạ có tính đơn điệu trộn và thỏa mãn các điều kiện sau
1) Tồn tại q ∈ [0;1 s) sao cho với mọi (x, y, z, w),(u, v, r, t) ∈ X 4 mà (x, y, z, w) ≤(u, v, r, t) ta có d(F(x, y, z, w), F(u, v, r, t)) ≤qmax{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}; (2.31)
3) F liên tục hoặc X có các tính chất
(i) Từ {x n } là dãy tăng trong X và x n → x ∈ X suy ra x n x với mọi n= 1,2,
(ii)Từ {y n } là dãy giảm trong X và y n → y ∈ X suy ra y n y với mọi n= 1,2,
Khi F có điểm bất động bộ bốn, nếu các điểm này có thể so sánh với nhau, thì điểm bất động bộ bốn của F sẽ là duy nhất.
Chứng minh Đặt x n+1 = F(x n , y n , z n , w n ), y n+1 = F(x n , w n , z n , y n ), z n+1 = F(z n , y n , x n , w n ), w n+1 = F(z n , w n , x n , y n ) (2.33) với mọi n= 0,1,2,
Khi đó, từ (2.32) và tính đơn điệu trộn của F suy ra, với mọi n= 0,1,2, ta có x n x n+1 , y n y n+1 , z n z n+1 , w n w n+1 (2.34) Với mọi n= 0,1,2, đặt max{d(x n , x n+1 ), d(y n , y n+1 ), d(z n , z n+1 ), d(w n , w n+1 )} = α n
Từ (2.33) và (2.34) suy ra với mọi n= 1,2, ta có
(x n−1 , y n−1 , z n−1 , w n−1 ) ≤ (xn, yn, zn, wn), (x n−1 , w n−1 , z n−1 , y n−1 ) ≤ (x n , w n , z n , y n ), (z n−1 , y n−1 , x n−1 , w n−1 ) ≤ (zn, yn, xn, wn), (z n−1 , w n−1 , x n−1 , y n−1 ) ≤ (z n , w n , x n , y n ).
Do đó, sử dụng điều kiện (2.31) ta có d(x n , x n+1 ) = d(F(x n−1 , y n−1 , z n−1 , w n−1 ), F(x n , y n , z n , w n ))
Tương tự, ta có d(yn, yn+1) ≤ qα n−1 ,d(z n , z n+1 ) ≤ qα n−1 ,d(wn, wn+1) ≤qα n−1 , ∀n= 1,2,
Tiếp theo, ta chứng minh {x n } là dãy Cauchy Từ cách xác định α n suy ra d(x n , x n+1 ) ≤ α n ≤ q n α 0 , ∀n = 1,2,
Do đó, với mọi n= 1,2, và với mọip = 0,1,2, sử dụng bất đẳng thức tam giác nhiều lần ta có d(x n , x n+p ) ≤sd(x n , x n+1 ) +s 2 d(x n+1 , x n+2 ) + +s p−1 d(x n+p−1 , x n+p )
Vì q ∈ [0; 1), nên vế phải của (2.35) tiến gần tới 0 khi n tiến tới vô cùng, dẫn đến việc {x n } là dãy Cauchy Tương tự, các dãy {y n }, {z n } và {w n } cũng được chứng minh là dãy Cauchy Trong không gian đầy đủ (X, d), tồn tại các điểm x, y, z, w ∈ X sao cho x n hội tụ về x, y n hội tụ về y, z n hội tụ về z, và w n hội tụ về w khi n tiến tới vô cùng.
Bây giờ ta chứng minh (x, y, z, w) là điểm bất động bộ bốn của F Giả sử F liên tục Khi đó, từ (2.36) ta có x n+1 = F(x n , y n , z n , w n ) →F(x, y, z, w) khi n→ ∞.
Sử dụng Bổ đề 2.1.5, từ x n+1 → x và x n+1 → F(x, y, z, w) suy ra x F(x, y, z, w) Tương tự ta chứng minh được y = F(x, w, z, y), z = F(z, y, x, w), w = F(z, w, x, y).
Do đó (x, y, z, w) là điểm bất động bộ bốn của F.
Giả sử X có các tính chất i) và ii) trong điều kiện 3) của Định lí Khi đó, từ (2.34) và (2.36) suy ra
Do đó sử dụng (2.31) ta có
≤sd(x, x n+1 ) +sqmax{d(x n , x), d(y n , y), d(z n , z), d(w n , w)}, (2.37) với mọi n = 1,2, Từ (2.36) và các Bổ đề 2.1.5, 2.1.6 suy ra vế phải (2.37) dần tới 0 khi n → ∞ Do đó d(x, F(x, y, z, w)) = 0, tức là x = F(x, y, z, w). Tương tự ta chứng minh được y = F(x, w, z, y), z = F(z, y, x, w), w = F(z, w, x, y).
Như vậy (x, y, z, w) là điểm bất động bộ bốn của F.
Cuối cùng, giả sử các điểm bất động bộ bốn của F là so sánh được với nhau.
Chúng ta chứng minh rằng điểm bất động bộ bốn của hàm F là duy nhất Giả sử có hai điểm bất động bộ bốn (x, y, z, w) và (u, v, r, t) của F, chúng có thể so sánh với nhau Không mất tính tổng quát, giả sử (x, y, z, w) ≤ (u, v, r, t) Bởi vì cả hai điểm này đều là điểm bất động, ta có các hệ thức: x = F(x, y, z, w), u = F(u, v, r, t), y = F(x, w, z, y), v = F(u, t, r, v), z = F(z, y, x, w), r = F(r, v, u, t), w = F(z, w, x, y), và t = F(r, t, u, v).
Vì (x, y, z, w) ≤(u, v, r, t) nên theo điều kiện 1) ta có d(u, x) =d(F(x, y, z, w), F(u, v, r, t))
Tương tự ta có d(y, v) ≤ qmax{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}, d(z, r) ≤ qmax{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}, d(w, t) ≤ qmax{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}.
Vì q < 1 nên bất đẳng thúc này chứng tỏ max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)} = 0.
Do đó d(x, u) = d(y, v) = d(z, r) = d(w, t) = 0, tức là(x, y, z, w) = (u, v, r, t).Vậy điểm bất động bộ bốn củaF là duy nhất. 2.2.7 Chú ý 1) Ta có α 1 d(x, u) +α 2 d(y, v) +α 3 d(z, r) +α 4 d(w, t) ≤ (α 1 + α 2 +α 3 +α 4 ) max{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)} qmax{d(x, u), d(y, v), d(z, r), d(w, t)}, trong đó q := (α 1 + α 2 +α 3 +α 4 ) ∈ [0, 1 s).
Do đó, từ Định lí 2.2.6 trực tiếp suy ra Hệ quả 2.2.3 và Hệ quả 2.2.4.
2) Vì không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric nên từ Hệ quả 2.2.4 suy ra Hệ quả 1.2.2.
Luận văn đã đạt được các kết quả chính sau đây
Nghiên cứu đã trình bày lại một số kết quả từ tài liệu tham khảo liên quan đến sự tồn tại của điểm bất động bộ bốn trong các ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn Những kết quả này được áp dụng trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận, góp phần làm sáng tỏ những đặc điểm quan trọng của các ánh xạ này trong toán học.
2 Trình bày lại định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gianb-mêtric.
Bài viết trình bày một số kết quả mới về sự tồn tại và tính duy nhất của điểm bất động bộ bốn, cũng như điểm bất động chung bộ bốn của các ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian b-metric có thứ tự bộ phận Các kết quả này được thể hiện qua các Định lý 2.2.1, 2.2.5, 2.2.6 và các Hệ quả 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4.
[1] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết và giải tích hàm tập 2, NXB Giáo Dục.
Lê Xuân Thành (2016) đã trình bày trong luận văn thạc sĩ Toán học của mình tại Trường đại học Vinh về sự tồn tại của điểm bất động bộ đôi trong không gian b-metric có thứ tự bộ phận Nghiên cứu này đóng góp vào lĩnh vực toán học, đặc biệt là trong lý thuyết không gian metric và các ứng dụng của nó.
[3] J Kelly (1973), Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần và Đinh Mạnh Tường (dịch) NXB Đại học và Trung Học Chuyên Nghiệp, Hà Nội.
[4] V Berinde and M Borcut (2011), Tripled fixed poits theorems for contrac- tive type mapping in partially ordered metric space, Nonlinear Analysis, Vol 74, No 15, pp 4889-4897.
[5] G Bhaskar and V Lakmikantham (2006), Fixed poits theorems in par- tially ordered metric spaces and applications,Nonlinear Analysis, Appl 332, No.2, pp 1468-1476.
[6] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math. Inform Univ Ostrav 1,5-11.
[7] E Karapinar (2011), Quartet fixed point theorems for nonlinear contrac- tions in partially ordered metric spaces, Arxiv: 1106.5472vl [math.GN]