BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHÙNG THỊ HƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN D∗−MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHÙNG THỊ HƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN D∗−MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chuyên ngành Toán Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2015 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu KHÔNG GIAN D∗ −MÊTRIC 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian D∗ −mêtric 1.3 Tôpô không gian D∗ −mêtric 12 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN D∗ −MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 17 2.1 Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận 17 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian D∗ −mêtric có thứ tự phận 25 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điểm bất động chủ đề nghiên cứu quan trọng giải tích Nó có nhiều ứng dụng Toán học ngành kỹ thuật Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng cho lớp ánh xạ lớp không gian khác Năm 2006, Bhashkar Lakshmikantham [3] đưa khái niệm điểm bất động đôi chứng minh số định lý tồn điểm bất động đôi không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Vào năm 2007, Shaban Sedghi cộng [6] đưa khái niệm không gian D∗ −mêtric đạt số kết tồn điểm bất động không gian D∗ −mêtric Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động không gian D∗ −mêtric nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Vấn đề tồn điểm bất động đôi quan tâm nghiên cứu không gian mêtric, mêtric nón thu nhiều kết Có vấn đề đặt cách tự nhiên kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric mở rộng không gian D∗ −mêtric hay không? Luận văn tiếp cận vấn đề nhằm tìm hiểu không gian D∗ −mêtric nghiên cứu tồn điểm bất động đôi ánh xạ đơn điệu trộn không gian D∗ −mêtric có thứ tự phận Với mục đích đó, luận văn trình bày thành hai chương CHƯƠNG Không gian D∗ −mêtric Trong chương này, đầu tiên, nhắc lại số khái niệm không gian mêtric, không gian tôpô có liên quan tới nội dung luận văn Sau đó, trình bày khái niệm không gian D∗ −mêtric số tính chất tôpô không gian D∗ −mêtric CHƯƠNG 2: Sự tồn điểm bất động đôi không gian D∗ −mêtric có thứ tự phận Chương trình bày số kết tồn điểm bất động đôi không gian D∗ −mêtric có thứ tự phận Trong mục thứ chương này, trình bày lại số kết tài liệu [5] tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận Trong mục thứ hai, đưa số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn không gian D∗ −mêtric, Định lý 2.2.1, Hệ 2.2.2, Định lý 2.2.3 Các kết mở rộng kết [5] Luận văn hoàn thành bảo tận tình PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Giải tích, khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau Đại học trường Đại học vinh giúp đỡ có điều kiện thuận lợi Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè học viên lớp Cao Học 21 - Giải Tích Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN D∗ −MÊTRIC Chương trình bày khái niệm số tính chất không gian D∗ −mêtric 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục này, trình bày số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, ánh xạ liên tục, mà ta cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập hợp, hàm d : X × X → R gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau 1) d(x, y) ≥ 0∀x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y 2) [2)] d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, 3) [3)] d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Tập hợp X với mêtric d gọi không gian mêtric kí hiệu (X, d) hay X 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập khác rỗng τ họ tập X τ gọi tôpô X (X, τ) gọi không gian tôpô 1) 0/ X thuộc τ; 2) Hợp số tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ, 3) Giao hai phần thuộc τ thuộc τ Mỗi phần tử thuộc τ gọi tập mở X Một tập Y X gọi đóng X X\Y mở X 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Giả sử (X, τ) không gian tôpô, x ∈ X U ⊂ X.U gọi lân cận x tồn G ∈ τ cho x ∈ G ⊂ U Họ U tập X gọi sở lân cận x phần tử U lân cận x V lân cận x tồn U ∈ U cho U ⊂ V Không gian (X, τ) gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ x ∈ X tồn sở lân cận đếm Không gian (X, τ) gọi Hausdorff với x, y ∈ X mà x = y tồn lân cận U x lân cận V y cho U ∩V = / 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Giả sử (Xi , τi ) không gian tôpô (i = 1, n) X = X1 × X2 × × Xn Đặt τ ={G ⊂ X : ∀(x1 , x2 , , xn ) ∈ G ∃Ui ∈ τ1 , i = 1, n; (x1 , x2 , , xn ) ∈ U1 ×U2 × ×Un ⊂ G} Khi đó, τ tôpô X Ta gọi τ tôpô tích X (X, τ) gọi không gian tích X1 , X2 , , Xn Nếu không sợ nhầm lẫn ta viết X thay cho (X, τ) 1.1.5 Định nghĩa ([1]) Dãy {xn } không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X kí hiệu xn → x lim xn = x lân cận U x tồn số n→∞ tự nhiên n0 cho xn ∈ U với n ≥ n0 1.1.6 Định nghĩa ([1]) Giả sử X,Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X lân cận V f (x) tồn lân cận U x cho f (U) ⊂ V 1.2 Không gian D∗ −mêtric Trong mục này, trình bày định nghĩa, ví dụ, tính chất không gian D∗ −mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([6]) Giả sử X tập khác rỗng hàm D∗ : X −→ R thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z, a ∈ X 1) D∗ (x, y, z) ≥ 0; 2) D∗ (x, y, z) = x = y = z; 3) D∗ (x, y, z) = D∗ (p{x, y, z}) p hàm hoán vị x, y, z; 4) D∗ (x, y, z) ≤ D∗ (x, y, a) + D∗ (a, z, z) (bất đẳng thức tứ giác) Khi đó, hàm D∗ gọi D∗ −mêtric X cặp (X, D∗ ) gọi không gian D∗ −mêtric 1.2.2 Ví dụ ([6]) 1) Giả sử X không gian mêtric với mêtric d Khi đó, D∗ (x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(z, x)} D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x) hai D∗ −mêtric X 2) Giả sử X = Rn , D∗ hàm xác định X cho công thức D∗ (x, y, z) = ( x − y p + y−z p + z − x p) p với p ∈ R+ Khi đó, D∗ D∗ −mêtric X 3) Giả sử X = R+ , D∗ hàm xác định X cho công thức D∗ (x, y, z) = max(x, y, z) x = y = z ngược lại Khi đó, D∗ D∗ −mêtric X 1.2.3 Chú ý Trong không gian D∗ −mêtric, D∗ (x, x, y) = D∗ (x, y, y) Thật vậy, theo bất đẳng thức tứ giác ta có (i) D∗ (x, x, y) ≤ D∗ (x, x, x) + D∗ (x, y, y) = D∗ (x, y, y) Tương tự, ta có (ii) D∗ (y, y, x) ≤ D∗ (y, y, y) + D∗ (y, x, x) = D∗ (y, x, x) Do từ (i), (ii) ta có D∗ (x, x, y) = D∗ (x, y, y) 1.2.4 Định nghĩa ([6]) Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric Với r > x ∈ X, ta kí hiệu BD∗ (x, r) = {y ∈ X : D∗ (x, y, y) < r} gọi BD∗ (x, r) hình cầu mở tâm x, bán kính r X 1.2.5 Ví dụ ([6]) Giả sử X = R không gian D∗ −mêtric với D∗ (x, y, z) = |x − y| + |y − z| + |z − x|, với x, y, z ∈ X Khi đó, BD∗ (1, 2) = {y ∈ R : D∗ (1, y, y) < 2} = {y ∈ R : |y − 1| + |y − 1| < 2} = {y ∈ R : |y − 1| < 1} = (0, 2) 1.2.6 Định nghĩa ([6]) Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric A ⊂ X 1) Nếu với x ∈ A tồn r > cho BD∗ (x, r) ⊂ A tập A gọi tập D∗ −mở X + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) + 2d(yn , xn ) + β d(xn , yn ) + d(yn+1 , y) + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) ≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 ) + β [d(xn , x) + d(yn , y)] + d(yn+1 , y) + β d(x, y) ≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 ) Do + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) β [d(xn , x) + d(y, yn )] + d(yn+1 , y) (1 − β )d(x, y) ≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 ) → n → +∞ Vì < β < nên d(x, y) = 0, ta suy x = y 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian D∗ −mêtric có thứ tự phận Mục đưa số kết tồn điểm bất động đôi không gian D∗ −mêtric có thứ tự phận 2.2.1 Định lý Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric đầy đủ có thứ tự phận kí hiệu bới ≤ F : X × X −→ X Khi đó, 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn số không âm α, α1 , α2 , α3 , α4 cho α1 + α2 + α3 + α4 + α < D∗ (F(x, y),F(x, y), F(u, v)) ≤ α1 D∗ (x, x, u) + α2 D∗ (y, y, v) + α3 D∗ (x, u, F(x, y)) + α4 D∗ (y, v, F(y, x)) + αM((x, y); (u, v)) với (x, y) (u, v) ∈ X × X mà (x, y) ≤ (u, v) (u, v) ≤ (x, y), 25 (9)  + D∗ (u, u, F(u, v)) + D∗ (v, v, F(v, u))  ∗  ,  D (x, x, F(x, y)) ∗ (x, x, u) + D∗ (y, y, v) + D ∗ M ((x, y), (u, v)) = + D∗ (x, x, F(x, y)) + D∗ (y, y, F(y, x))  ∗   D (u, u, F(u, v)) + D∗ (x, x, u) + D∗ (y, y, v) 3) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X × X cho x0 ≤ F(x0 , y0 ) , y0 ≥ F(y0 , x0 ) (10) 4) F liên tục 4’) Từ {xn } dãy tăng (tương ứng giảm) X x0 → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng x ≤ xn ), với n = 1, 2, Thì F có điểm bất động đôi X × X Hơn thêm giả thiết điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đôi F Chứng minh Đặt x1 = F(x0 , y0 ) , y1 = F(y0 , x0 ) Từ (10) suy x0 ≤ x1 y0 ≥ y1 Đặt x2 = F(x1 , y1 ) , y2 = F(y1 , x1 ) Khi đó, F có tính đơn điệu trộn nên x2 = F(x1 , y1 ) ≥ F(x0 , y1 ) ≥ F(x0 , y0 ) = x1 Tương tự ta có y2 ≤ y1 Tiếp tục lý luận tương tự quy nạp ta xây dựng hai dãy {xn } , {yn } X cho: xn = F(xn−1 , yn−1 ) yn = F(yn−1 , xn−1 ), ∀n = 1, 2, 26 (11)        x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ (12) y0 ≥ y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn ≥ (13) Từ (12),(13) sử dụng điều kiện (9), với n = 1, 2, ta có D∗ (xn , xn ,xn+1 ) = D∗ (F(xn−1 , yn−1 ), F(xn−1 , yn−1 ), F(xn , yn )) ≤ α1 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + α2 D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ) + α3 D∗ (xn−1 , xn , xn ) + α4 D∗ (yn−1 , yn , yn ) + αM ∗ (xn−1 , yn−1 ); (xn , yn )) ≤ (α1 + α3 )D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + (α2 + α4 )D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ) + αD∗ (xn , xn , xn+1 ) Do đó, với n = 1, 2, ta có: D∗ (xn , xn , xn+1 ) ≤ α1 + α3 ∗ D (xn−1 , xn−1 , xn ) 1−α α2 + α4 ∗ + D (yn−1 , yn−1 , yn ) 1−α Tương tự ta chứng minh α2 + α4 ∗ D (xn−1 , xn−1 , xn ) D∗ (yn , yn , yn+1 ) ≤ 1−α α1 + α3 ∗ + D (yn−1 , yn−1 , yn ) 1−α ∀n = 1, 2, (14) (15) Từ (14)(15) suy D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (yn , yn , yn+1 ) α1 + α2 + α3 + α4 ∗ ≤ D (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ) 1−α (16) với n = 1, 2, α1 + α2 + α3 + α4 Đặt λ = Khi đó, từ α1 +α2 +α3 +α4 +α < suy λ ∈ [0, 1) 1−α 27 Từ (16) suy D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (yn , yn , yn+1 ) ≤ λ n [D∗ (x0 , x0 , x1 ) + D∗ (y0 , y0 , y1 )] (17) với n = 1, 2, Sử dụng bất đẳng thức tứ giác nhiều lần (17) ta có: D∗ (xn , xn , xn+p ) + D∗ (yn , yn , yn+p ) ≤ D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (yn , yn , yn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , xn+2 ) + D∗ (yn+1 , yn+1 , yn+2 ) + + D∗ (xn+p+1 , xn+p−1 , xn+p ) + D∗ (yn+p−1 , yn+p−1 , yn+p ) n n+1 ∗ n+p−1 ∗ (18) ≤ (λ + λ + + λ )(D (x0 , x0 , x1 ) + D (y0 , y0 , y1 )) p 1−λ = λn [D∗ (x0 , x0 , x1 ) + D∗ (y0 , y0 , y1 )] 1−λ n λ ≤ [D∗ (x0 , x0 , x1 ) + D∗ (y0 , y0 , y1 )] 1−λ với n = 1, 2, p = 0, 1, 2, Vì λ ∈ [0, 1) nên vế phải (18) tiến tới n −→ ∞, với p = 0, 1, 2, Do ta có D∗ (xn , xn , xn+p ) −→ 0, D∗ (yn , yn , yn+p ) −→ 0, n −→ ∞ với p = 0, 1, 2, Điều chứng tỏ {xn } {yn } dãy Cauchy Vì (X, D∗ ) đầy đủ nên tồn x y ∈ X cho xn −→ x yn −→ y Bây giờ, ta chứng minh (x, y) điểm bất động đôi F Giả sử F liên tục Khi đó, từ xn −→ x yn −→ y suy F(x, y) = lim F(xn , yn ) = lim xn+1 = x n→∞ n→∞ F(y, x) = lim F(yn , xn ) = lim yn+1 = y n→∞ n→∞ Do (x, y) điểm bất động đôi F 28 Giả sử điều kiện 4’) thoả mãn Khi đó, từ {xn } , {yn } dãy tăng, giảm hội tụ tới x, y tương ứng suy xn ≤ x , yn ≥ y , ∀n = 0, 1, Do sử dụng bất đẳng thức tứ giác (9) ta có D∗ (x, x, F(x, y)) ≤ D∗ (x, x, xn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , F(x, y)) = D∗ (x, x, xn+1 ) + D∗ (F(xn , yn ), F(xn , yn ), F(x, y)) ≤ D∗ (x, x, xn+1 ) + α1 D∗ (xn , xn , x) + α2 D∗ (yn , yn , y) (19) + α3 D∗ (xn , x, xn+1 ) + α4 D∗ (yn , y, yn+1 ) ∗ ∗ + D (x, x, F(x, y)) + D (y, y, F(y, x)) + αmin D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (xn , xn , x) + D∗ (yn , yn , y) + D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (yn , yn , yn+1 ) ∗ , D (x, x, F(x, y)) + D∗ (xn , xn , x) + D∗ (yn , yn , y) Vì xn → x, yn → y n → ∞ nên vế phải (19) tiến tới n → ∞ Do đó, từ (19) suy D∗ (x, x, F(x, y)) = Điều chứng tỏ F(x, y) = x Tương tự ta chứng minh F(y, x) = y Do (x, y) điểm bất động đôi F Cuối cùng, giả sử điểm bất động đôi F so sánh với Ta chứng minh điểm bất động đôi F Giả sử F có hai điểm bất động đôi (x, y) (x , y ) Khi (x, y) (x , y ) so sánh với nên ta giả thiết (x, y) ≤ (x , y ) Khi đó, theo điều kiện (9) ta có D∗ (x, x, x ) = D∗ (F(x, y), F(x, y), F(x , y )) ≤ α1 D∗ (x, x, x ) + α2 D∗ (y, y, y ) + α3 D∗ (x, x , x) + α4 D∗ (y, y , y) D∗ (y, y, y ) = D∗ (F(y, x), F(y, x), F(y , x )) 29 ≤ α1 D∗ (y, y, y ) + α2 D∗ (x, x, x ) + α3 D∗ (y, y , y) + α4 D∗ (x, x , x) Do ≤ D∗ (x, x, x ) + D∗ (y, y, y ) ≤ (α1 + α2 + α3 + α4 )[D∗ (x, x, x ) + D∗ (y, y, y )] Vì ≤ α1 + α2 + α3 + α4 < nên từ bất đẳng thức ta suy D∗ (x, x, x ) = D∗ (y, y, y ) = Do x = x ; y = y Vậy điểm bất động đôi F 2.2.2 Hệ ([8]) Giả sử (X, ≤) tập thứ tự phận, d mêtric X cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ F : X × X −→ X Với (x, y), (u, v) ∈ X × X, đặt  + d(u, F(u, v)) + d(v, F(v, u))   ,  d(x, F(x, y)) + d(x, u) + d(y, v) M((x, y), (u, v)) = + d(x, F(x, y)) + d(y, F(y, x))    d(u, F(u, v)) + d(x, u) + d(y, v)        Khi dó, 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn α, β > với α + β < cho β d(F(x, y), F(u, v)) ≤ αM((x, y), (u, v)) + [d(x, u) + d(y, v)] với (x, y), (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v) (u, v) ≤ (x, y); 3) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ F(x0 , y0 ) y0 ≥ F(y0 , x0 ); 4) F liên tục 30 (20) 4’) X có tính chất i) Nếu dãy không giảm {xn } X hội tụ tới x ∈ X xn ≤ x, ∀n; ii) Nếu dãy không tăng {yn } X hội tụ tới y ∈ X yn ≥ y, ∀n Khi F có điểm bất động đôi (x, y) ∈ X × X Hơn thêm giả thiết điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đôi F Chứng minh Ta xác định hàm D∗ : X → R công thức D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x)∀(x, y, z) ∈ X Khi đó, theo Bổ đề 1.3.5 (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric đầy đủ Với x, y, u, v ∈ X ta có M((x, y), (u, v)) ∗ ∗ + D (u, u, F(u, v)) + D (v, v, F(v, u)) ∗ 2 , = D (x, x, F(x, y)) ∗ ∗ 2 + D (x, x, u) + D (y, y, v) 2 ∗ ∗ + D (x, x, F(x, y)) + D (y, y, F(y, x)) ∗ 2 D (u, u, F(u, v)) 1 2 + D∗ (x, x, u) + D∗ (y, y, v) 2 + D∗ (u, u, F(u, v)) + D∗ (v, v, F(v, u)) ∗ = D (x, x, F(x, y)) , + D∗ (x, x, u) + D∗ (y, y, v) + D∗ (x, x, F(x, y) + D∗ (y, y, F(y, x)) D (u, u, F(u, v)) + D∗ (x, x, u) + D∗ (y, y, v) ∗ = M ∗ ((x, y), (u, v)) Thay biểu thức vào (20) thay d D∗ ta D∗ (F(x, y), F(x, y), F(u, v)) ≤ αM ∗ ((x, y), (u, v)) 31 + β ∗ D (x, x, u) + D∗ (y, y, v) với x, y, u, v ∈ X Bây giờ, ta dễ dàng kiểm tra tất điều kiện Định lí 2.2.1 thoả β mãn với α; α1 = α2 = ; α3 = α4 = Vậy kết luận Hệ suy từ Định lí 2.2.1 Chú ý Định lý 2.1.4 Định lý 2.1.5 trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.2 4) 4’) thoả mãn Do đó, kết [ ] trường hợp đặc biệt Định lý 2.2.1 2.2.3 Định lý Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric đầy đủ có thứ tự phận kí hiệu ≤ F : X × X −→ X Khi đó, 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn số không âm α1 , , α8 cho α1 + α2 + α3 + 2α4 + α6 + 2α7 + α8 < D∗ (F(x, y), F(x, y), F(u, v)) ≤ α1 D∗ (x, x, u) + α2 D∗ (y, y, v) + α3 D∗ (x, x, F(x, y)) + α4 D∗ (x, x, F(u, v)) + α5 D∗ (u, u, F(x, y)) (21) + α6 D∗ (u, u, F(u, v)) + α7 D∗ (x, u, F(u, v)) + α8 D∗ (y, v, F(y, x)) với (x, y) (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v) (u, v) ≤ (x, y); 3) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X × X cho x0 ≤ F(x0 , y0 ) , y0 ≥ F(y0 , x0 ); 4) F liên tục 32 (22) 4’) Từ {xn } dãy tăng (tương ứng giảm) X xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng x ≤ xn ) với n = 1, 2, F có điểm bất động đôi X × X Hơn thêm giả thiết điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đôi F Chứng minh Đặt x1 = F1 (x0 , y0 ), y1 = F(y0 , x0 ) Từ (22) suy x0 ≤ x1 y0 ≥ y1 Đặt x2 = F(x1 , y1 ), y2 = F(y1 , x1 ) Khi đó, F có tính đơn điệu trộn nên x2 = F(x1 , y1 ) ≥ F(x0 , y1 ) ≥ F(x0 , y0 ) = x1 Tương tự ta có y2 ≤ y1 Tiếp tục lý luận tương tự quy nạp ta xây dựng hai dãy {xn }, {yn } X cho: xn = F(xn−1 , yn−1 ), yn = F(yn−1 , xn−1 )∀n = 1, 2, (23) x0 ≤ x1 ≤ ≤ xn ≤ (24) y0 ≥ y1 ≥ ≥ yn ≥ (25) Từ (24), (25) sử dụng điều kiện (21), với n = 1, 2, ta có D∗ (xn , xn , xn+1 ) = D∗ (F(xn−1 , yn−1 ), F(xn−1 , yn−1 ), F(xn , yn )) ≤ α1 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + α2 D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ) + α3 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + α4 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn−1 ) + α5 D∗ (xn , xn , xn ) + α6 D∗ (xn , xn , xn+1 ) + α7 D∗ (xn−1 , xn , xn+1 ) + α8 D∗ (yn−1 , yn , yn ) = (α1 + α3 )D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + (α2 + α8 )D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ) + α6 D∗ (xn , xn , xn+1 ) + α4 [D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )] + α7 [D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (xn , xn , xn+1 )] 33 = (α1 + α3 + α4 + α7 )D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + (α2 + α8 )D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ) + (α6 + α4 + α7 )D∗ (xn , xn , xn+1 ) Do đó, với n = 1, 2, ta có α1 + α3 + α4 + α7 ∗ D∗ (xn ,xn , xn+1 ) ≤ D (xn−1 , xn−1 , xn ) − α4 − α6 − α7 α2 + α8 D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ) + − α4 − α6 − α7 Tương tự ta chứng minh α1 + α3 + α4 + α7 ∗ D∗ (yn , yn , yn+1 ) ≤ D (yn−1 , yn−1 , yn ) − α4 − α6 − α7 α2 + α8 D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ) + − α4 − α6 − α7 với n = 1, 2, (26) (27) Từ (26) (27) suy α1 + α2 + α3 + α4 + α7 + α8 − α4 − α6 − α7 ∗ [D (xn−1 , xn−1 , xn ) + D∗ (yn−1 , yn−1 , yn )] D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (yn , yn , yn+1 ) ≤ (28) với n = 1, 2, α1 + α2 + α3 + α4 + α7 + α8 Đặt λ = Khi đó, từ α1 +α2 +α3 +2α4 +α6 +2α7 + − α4 − α6 − α7 α8 < suy λ ∈ [0, 1) Từ (28) suy D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (yn , yn , yn+1 ) ≤ λ n [D∗ (x0 , x0 , x1 ) + D∗ (y0 , y0 , y1 )] với n = 1, 2, Sử dụng bất đẳng thức tứ giác nhiều lần (29) ta có D∗ (xn , xn , xn+p ) + D∗ (yn , yn , yn+p ) ≤ D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (yn , yn , yn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , xn+2 ) + + D∗ (xn+p−1 , xn+p−1 , xn+p ) 34 (29) + D∗ (yn+p−1 , yn+p−1 , yn+p ) ≤ (λ n + λ n+1 + + λ n+p−1 )[D∗ (x0 , x0 , x1 ) + D∗ (y0 , y0 , y1 )] p n1−λ D∗ (x0 , x0 , x1 ) + D∗ (y0 , y0 , y1 ) =λ 1−λ λn ≤ [D∗ (x0 , x0 , x1 ) + D∗ (y0 , y0 , y1 )] 1−λ (30) với n = 1,2, p = 0,1,2, Vì λ ∈ [0, 1) nên vế phải (30) tiến tới n → ∞ với p = 1, 2, Do đó, với p = 0, 1, 2, ta có D∗ (xn , xn , xn+p ) → n → ∞ D∗ (yn , yn , yn+p ) → n → ∞ Điều chứng tỏ {xn } {yn } dãy Cauchy Vì (X, D∗ ) đầy đủ nên tồn x y ∈ X cho xn → x yn → y Bây giờ, ta chứng minh (x, y) điểm bất động đôi F Giả sử F liên tục Khi đó, từ xn → x yn → y suy F(x, y) = lim F(xn , yn ) = lim xn+1 = x n→∞ n→∞ F(y, x) = lim F(yn , xn ) = lim yn+1 = y n→∞ n→∞ Do (x, y) điểm bất động đôi F Giả sử điều kiện 4’) thoả mãn Khi đó, từ {xn }, {yn } dãy tăng, giảm hội tụ tới x, y tương ứng Suy xn ≤ x , yn ≥ y , với n = 0, 1, 35 Do sử dụng bất đẳng thức tứ giác (21) ta có ≤ D∗ (x, x, F(x, y)) ≤ D∗ (x, x, xn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , F(x, y)) = D∗ (x, x, xn+1 ) + D∗ (F(xn , yn ), F(xn , yn ), F(x, y)) ≤ D∗ (x, x, xn+1 ) + α1 D∗ (xn , xn , x) + α2 D∗ (yn , yn , y) + α3 D∗ (xn , xn , xn+1 ) (31) + α4 D∗ (xn , xn , F(x, y)) + α5 D∗ (x, x, xn+1 ) + α6 D∗ (x, x, F(x, y)) + α7 D∗ (xn , x, F(x, y)) + α8 D∗ (yn , y, yn+1 )∀n = 1, 2, Vì xn → x, yn → y n → ∞ nên vế phải (31) tiến tới (α4 + α6 + α7 )D∗ (x, x, F(x, y)) n → ∞ Do từ (α4 + α6 + α7 ) < (31) suy D∗ (x, x, F(x, y)) = Điều chứng tỏ F(x, y) = x Tương tự ta chứng minh F(y, x) = y Do (x, y) điểm bất động đôi F Cuối cùng, giả sử điểm bất động đôi F so sánh với Ta chứng minh điểm bất động đôi F Giả sử F có hai điểm bất động đôi (x, y) (x , y ) Khi (x, y) (x , y ) so sánh với nên ta có giả thiết (x, y) ≤ (x , y ) Khi theo điều kiện (21) ta có D∗ (x, x, x ) = D∗ (F(x, y), F(x, y), F(x , y )) ≤ α1 D∗ (x, x, x ) + α2 D∗ (y, y, y ) + α3 D∗ (x, x, x) + α4 D∗ (x, x, x ) + α5 D∗ (x , x , x) + α6 D∗ (x , x , x ) + α7 D∗ (x, x , x ) + α8 D∗ (y, y , y) = (α1 + α4 + α5 + α7 )D∗ (x, x, x ) + (α2 + α8 )D∗ (y, y, y ) 36 D∗ (y, y, y ) = D∗ (F(y, x), F(y, x), F(y , x )) ≤ α1 D∗ (y, y, y ) + α2 D∗ (x, x, x ) + α3 D∗ (y, yx, y) + α4 D∗ (y, y , y) + α5 D∗ (y , y, y) + α6 D∗ (y , y , y ) + α7 D∗ (y , y, y) + α8 D∗ (x, x, x ) ≤ (α1 + α4 + α5 + α7 )D∗ (y, y, y ) + (α2 + α8 )D∗ (x, x, x ) Do ≤ D∗ (x, x, x ) + D∗ (y, y, y ) ≤ (α1 + α2 + + α8 )[D∗ (x, x, x ) + D∗ (y, y, y )] Vì ≤ α1 + +α8 < nên từ bất đẳng thức suy D∗ (x, x, x ) = D∗ (y, y, y ) = Do x = x , y = y Vậy điểm bất động đôi F 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau - Trình bày số khái niệm tính chất không gian D∗ −mêtric - Đưa số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn không gian D∗ −mêtric có thứ tự phận Đó Định lý 2.2.1, Hệ 2.2.2, Định lý 2.2.3, Hệ 2.2.2 kết tài liệu tham khảo [5] 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường (dịch), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] C T Aage and J N Salunke (2010), Some fixed points theorems in generalized D∗ −mêtric spaces, Applied sciences, 12, 1-13 [3] Bhaskar and V Laksmikantham (2006), Fixed point theorem in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Analysis, Appl 332, no 2, pp 1468 - 1476 [4] H L Ding and Luli (2011), Couple fixed point theorems in partially ordered cone metric spaces, Faculty of sciences and Mathematics, University of Ni, Serbia, 137-149 [5] B Samet and H Yazidi (2010), Couple fixed point theorems in partially ordered ε−drainable metric spaces, Preprint [6] S Sedghi, N Shobe and H Zhou (2007), A common fixed point theorem in D∗ −metric spaces, Fixed point theory and Application, 2007, 1-14 39 [...]... ε với mọi n ≥ n0 Do đó xn → x trong (X, D ) Vậy (X, D ) đầy đủ 16 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN D −MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric và không gian D mêtric có thứ tự bộ phận 2.1 Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận Mục này trình... d( x, y) = 0, ta suy ra x = y 2.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian D mêtric có thứ tự bộ phận Mục này đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian D mêtric có thứ tự bộ phận 2.2.1 Định lý Giả sử (X, D ) là không gian D mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận được kí hiệu bới ≤ và F : X × X −→ X Khi đó, nếu 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn. .. định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận 2.1.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ F : X × X → X Ta nói F có tính đơn điệu trộn nếu với x, y ∈ X ta có x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 ⇒ F(x1 , y) ≤ F(x2 , y), y1 , y2 ∈ Y, y2 ≤ y1 ⇒ F(x, y1 ) ≤ F(x, y2 ) 2.1.2 Định nghĩa ([5]) Ta gọi phần tử (x, y) ∈ X 2 là điểm bất động bộ đôi của... Nếu (X, d) là không gian mêtric thì công thức D (x, y, z) = d( x, y)+ d( y, z) + d( z, x); với mọi x, y, z ∈ X xác định một D mêtric trên X Hơn nữa nếu (X, d) đầy đủ thì (X, D ) đầy đủ Chứng minh D thấy D là D mêtric trên X Giả sử (X, d) đầy đủ và {xn } là d y Cauchy trong (X, D ) Ta cần chứng minh xn → x trong (X, D ) Vì {xn } là d y Cauchy trong (X, D ) nên với mọi ε > 0 tồn tại số tự nhiên... Nếu d y không giảm {xn } trong X hội tụ tới x ∈ X thì xn ≤ x, ∀n; ii) Nếu d y không tăng {yn } trong X hội tụ tới y ∈ X thì yn ≥ y, ∀n Khi đó F có một điểm bất động bộ đôi (x, y) ∈ X × X Hơn nữa nếu thêm giả thiết các điểm bất động bộ đôi của F so sánh được với nhau thì điểm bất động bộ đôi của F là duy nhất Chứng minh Ta xác định hàm D : X 3 → R bởi công thức D (x, y, z) = d( x, y) + d( y, z) + d( z,... (xn , yn , zn ) − D (x, y, z)| < ε, với mọi n ≥ n0 Do đó ta có lim D (xn , yn , zn ) = D (x, y, z) n→∞ Vậy D liên tục trên X 3 1.3 Tôpô trên không gian D mêtric Trong mục này, chúng tôi trình bày việc xây d ng tôpô trên không gian D mêtric mà nó được sinh ra từ D -mêtric và nghiên cứu một số tính chất của không gian D -mêtric với tôpô này Giả sử (X, D ) là không gian D -mêtric và ta viết... Tương tự, ta có d( F(y, x)y) ≤ d( F(y, x), yn+1 ) + d( yn+1 , y) = d( F(yn , xn ), F(y, x)) + d( yn+1 , y) Từ điều kiện trên ta có 2 + d( yn , yn+1 ) + d( xn , xn+1 ) 2 + d( yn , y) + d( xn , x) β + [d( yn , y) + d( xn , x)] 2 d( F(yn , xn ), F(y, x)) ≤ d( y, F(y, x)) Từ (7), ta có d( F(y, x), y) ≤ d( y, F(y, x)) 2 + d( yn , yn+1 ) + d( xn , xn+1 ) 2 + d( yn , y) + d( xn , x) 23 (7) β + [d( yn , y) + d( xn , x)] + d( yn+1... (19) suy ra D (x, x, F(x, y)) = 0 Điều này chứng tỏ F(x, y) = x Tương tự ta chứng minh được F(y, x) = y Do đó (x, y) là điểm bất động bộ đôi của F Cuối cùng, giả sử các điểm bất động bộ đôi của F so sánh được với nhau Ta chứng minh điểm bất động bộ đôi của F là duy nhất Giả sử F có hai điểm bất động bộ đôi là (x, y) và (x , y ) Khi đó vì (x, y) và (x , y ) so sánh được với nhau nên ta có thể giả thiết... , yn )) + β d( xn , yn ) + d( yn+1 , y) 24 2 + d( xn , xn+1 ) + d( yn , yn+1 ) 2 + 2d( yn , xn ) + β d( xn , yn ) + d( yn+1 , y) 2 + d( xn , xn+1 ) + d( yn , yn+1 ) ≤ d( x, xn+1 ) + d( yn , yn+1 ) 2 + β [d( xn , x) + d( yn , y)] + d( yn+1 , y) + β d( x, y) ≤ d( x, xn+1 ) + d( yn , yn+1 ) Do đó 2 + d( xn , xn+1 ) + d( yn , yn+1 ) 2 β [d( xn , x) + d( y, yn )] + d( yn+1 , y) (1 − β )d( x, y) ≤ d( x, xn+1 ) + d( yn , yn+1... ra D (x, x, x ) = D (y, y, y ) = 0 Do đó x = x ; y = y Vậy điểm bất động bộ đôi của F là duy nhất 2.2.2 Hệ quả ([8]) Giả sử (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận, d là một mêtric trên X sao cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và F : X × X −→ X Với mọi (x, y), (u, v) ∈ X × X, đặt  2 + d( u, F(u, v)) + d( v, F(v, u))   ,  d( x, F(x, y)) 2 + d( x, u) + d( y, v) M((x, y), (u, v)) = min 2 + d( x, ... D −MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương trình bày số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric không gian D mêtric có thứ tự phận 2.1 Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận. .. không gian D mêtric 12 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN D −MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 17 2.1 Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có. .. Vì < β < nên d( x, y) = 0, ta suy x = y 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian D mêtric có thứ tự phận Mục đưa số kết tồn điểm bất động đôi không gian D mêtric có thứ tự phận 2.2.1