Một số kiến thức chuẩn bị
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến không gian tôpô, không gian mêtric và ánh xạ liên tục, được sử dụng trong luận văn Các kết quả này được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3].
1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ các tập con của X được gọi là tôpô trên X nếu thoả các điều kiện i) ∅ và X ∈τ; ii) Nếu G i ∈τ, i∈I thì S i∈IG i ∈τ; iii) Nếu G 1 , G 2 ∈τ thì G 1 ∩G 2 ∈τ.
Tập hợp X cùng vớiτ trên nó được gọi làkhông gian tôpôvà ký hiệu là (X, τ) hay đơn giản hơn là X.
Phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Phần tử thuộc τ được gọi là tập mở.
Giả sử A⊂X Tập hợp A được gọi là đóng nếuX\A là mở.
1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân cận của điểm x∈X nếu tồn tại tập mở V ⊂X sao cho x∈V ⊆A.
Cho không gian tôpô X, x ∈X, U(x) là họ của tất cả các lân cận của x.Họ B(x)⊂ U(x) được gọi làcơ sở lân cậntạixnếu với mọiU ∈ U(x)tồn tạiV ∈ B(x) sao cho V ⊂U.
1.1.3 Định nghĩa Dãy {x n } trong không gian tôpô được gọi là hội tụ tới x∈X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n 0 ∈N sao cho x n ∈U với mọi n≥n 0
Khi x tiến tới vô cực, ta có lim x→∞ x^n = x Không gian tôpô X được xem là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) với lực lượng đếm được Ngoài ra, không gian tôpô X được gọi là T2 - không gian hay không gian Hausdorff nếu cho hai điểm khác nhau x, y ∈ X, tồn tại các lân cận tương ứng U_x và U_y sao cho giao của chúng là rỗng, tức là U_x ∩ U_y = φ.
Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất.
1.1.5 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f :X →Y Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x∈X nếu với mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân cận
U củax sao cho f(U)⊂V Ánh xạ f được gọi làliên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.
Hàm d được gọi là mêtric trên tập X không rỗng nếu nó thỏa mãn ba điều kiện chính: Thứ nhất, d(x, y) phải lớn hơn hoặc bằng 0 cho mọi x, y thuộc X, và d(x, y) chỉ bằng 0 khi x bằng y Thứ hai, hàm d phải đối xứng, tức là d(x, y) bằng d(y, x) cho mọi x, y trong X Cuối cùng, điều kiện tam giác cũng cần được thỏa mãn, nghĩa là d(x, y) phải nhỏ hơn hoặc bằng tổng d(x, z) và d(z, y) cho mọi x, y, z thuộc X.
X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu là (X, d) hoặc X.
1.1.7 Định nghĩa Cho X là không gian mêtric Một dãy {xn} trong X gọi là dãy Cauchy nếu với mọi > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n và m ≥ n 0 thì d(x n , x m )<
Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy.
Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Tập con A⊆X được coi là đầy đủ nếu nó là đầy đủ theo mêtric cảm sinh Trong không gian mêtric, một tập con đầy đủ phải là tập đóng, và mọi tập con đóng của một không gian mêtric đầy đủ cũng sẽ là tập đầy đủ.
1.1.8 Định nghĩa Giả sử E là không gian vector trên trường K=R hoặc
K=C Hàm p : E −→ R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện sau i) p(x)≥0, ∀x∈E và p(x) = 0 khi và chỉ khi x= 0; ii) p(xλ) =|λ|p(x),∀x∈E,∀λ∈K; iii) p(x+y)≤p(x) +p(y),∀x, y ∈E.
Chuẩn của vector X ∈ E, ký hiệu là kxk, được gọi là số p(x) Không gian vector E có một chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn.
1.1.9 Mệnh đề Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức d(x, y) =kx−yk,∀x, y ∈E là một mêtric trên E.
Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn
Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn thì được gọi là không gian Banach.
1.1.10 Định lý Nếu E là không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn:x7−→kxk,∀x∈E, phép cộng(x, y)7−→x+y,∀(x, y)∈E×E và phép nhân với vô hướng:(λ, x)7−→λx, với mọi (λ, x)∈K× E là các ánh xạ liên tục.
1.1.11 Định lý Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó, với mỗi a ∈E và mỗi λ∈K, λ 6= 0 các ánh xạ x7−→x+a, x7−→λx,∀x∈E là các phép đồng phôi E lên E.
Quan hệ ≤ trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận nếu thỏa mãn ba điều kiện: Thứ nhất, với mọi phần tử x thuộc X, x luôn nhỏ hơn hoặc bằng chính nó (x≤x) Thứ hai, nếu x nhỏ hơn hoặc bằng y và y nhỏ hơn hoặc bằng x, thì x phải bằng y (x=y) Cuối cùng, nếu x nhỏ hơn hoặc bằng y và y nhỏ hơn hoặc bằng z, thì x cũng nhỏ hơn hoặc bằng z (x≤z).
Tập hợp X cùng một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận và kí hiệu (X,≤) hoặc X.
Nón trong không gian Banach
Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của nón trong không gian Banach.
Một nón trong không gian Banach E trên trường số thực R là một tập con P thỏa mãn các điều kiện sau: P phải là một tập đóng, không rỗng và không chỉ chứa phần tử 0; với mọi a, b ∈ R (a, b ≥ 0) và x, y ∈ P, thì ax + by cũng thuộc P; và nếu x ∈ P và -x ∈ P, thì x phải bằng 0.
1.2.2 Ví dụ 1) Trong không gian các số thực R với chuẩn thông thường, tập
2) Giả sử E =R 2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂R 2 Khi đó, P là nón trong E.
3) Giả sử C [a,b] là tập hợp tất cả các hàm nhận giá trị thực liên tục trên [a, b].
Ta đã biết C [a,b] là không gian Banach với chuẩn kf k= sup x∈[a,b] kf(x)k,∀f ∈C [a,b]
Trên C [a,b] có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định với f, g∈C [a,b] , f ≤g ⇔f(x)≤g(x),∀x∈[a, b]. Đặt
Khi đó, P thoả mãn 3 điều kiện i) P là tập đóng, P 6=∅ và P 6={0} ; ii) Với a, b∈R , a, b ≥ 0 và mọi f, g ∈P ta có
Do đó af +bg∈P; iii) Với f ∈P và −f ∈P thì f = 0.
Vậy P là một nón trên E.
Cho P là một nón trong không gian Banach E, trong đó quan hệ thứ tự được định nghĩa như sau: x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P Chúng ta ký hiệu x < y khi x ≤ y và x khác y, đồng thời ký hiệu x y khi y − x thuộc vào intP, với intP là phần trong của P.
1.2.3 Định nghĩa ([6]) Cho P là một nón trong không gian Banach E Nón
Nón chuẩn tắc P được định nghĩa là tồn tại một số thực K > 0 sao cho với mọi x, y thuộc E và 0 ≤ x ≤ y, ta có kxk ≤ Kkyk Hằng số chuẩn tắc của P là số thực dương K nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này.
Bổ đề trong không gian Banach E chỉ ra rằng nếu P là nón, với a, b, c ∈ E và α là số thực dương, thì có một số tính chất quan trọng Đầu tiên, nếu ab và bc thì ac; nếu a ≤ b và bc thì ac; nếu ab, cd thì a + cb + d Hơn nữa, αintP nằm trong intP, và với mỗi δ > 0 và x ∈ intP, tồn tại 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ Đối với các điểm c1, c2 ∈ intP, có tồn tại d ∈ intP sao cho c1 d và c2 d Tương tự, với c1, c2 ∈ intP, tồn tại e ∈ intP sao cho ec1 và ec2 Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0 Nếu a ≤ λa với a ∈ P, 0 < λ < 1 thì a = 0 Cuối cùng, nếu 0 ≤ x_n ≤ y_n với mỗi n ∈ N và lim x→∞ x_n = x, lim x→∞ y_n = y thì 0 ≤ x ≤ y.
Phép cộng liên tục cho thấy intP + intP ⊂ intP Nếu a, b thuộc intP, thì a - b và c - b cũng thuộc intP Do đó, a - c = c - b + b - a thuộc intP + intP ⊂ intP, từ đó suy ra ac Ngoài ra, vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP Cuối cùng, ta nhận thấy intP + P = S x ∈ P.
Tập hợp (x + intP) là tập mở, và P là nón, do đó suy ra x + intP ⊂ P, dẫn đến P + intP ⊂ intP Nếu a ≤ b và b c thì b − a ∈ P và c − b ∈ intP, từ đó suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP, hay c − a ∈ intP Vậy a c Hơn nữa, với a và c, ta có b − a ∈ intP và d − c ∈ intP, dẫn đến b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP, từ đó suy ra a + c b + d Cuối cùng, với mỗi δ > 0 và x ∈ intP, ta chọn số tự nhiên n > 1 sao cho δ nkxk < 1, và với γ = δ nkxk, thỏa mãn 0 < γ < 1 và kγxk ≤ kγkkxk ≤ δ nkxk ≤ δ n < δ Cuối cùng, chọn δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ) ⊂ intP, trong đó B(0, δ) = {x ∈ E : kxk < δ}.
Do tính hút của B(0, δ) tồn tại m > 1 sao cho c1 ∈ mB(0, δ) và c2 ∈ mB(0, δ), suy ra -c1 ∈ mB(0, δ) và -c2 ∈ mB(0, δ), đồng thời mc1 - c2 ∈ intP Đặt d = mc1 - c2, d thoả mãn (vi) Chọn δ0 > 0 sao cho c1 + B(0, δ0) ⊂ intP và c2 + B(0, δ0) ⊂ intP, với B(0, δ0) = {x ∈ E : kxk < δ0} Do tính hút của B(0, δ0) tồn tại m > 0 sao cho c1 ∈ mB(0, δ0) và c2 ∈ mB(0, δ0), suy ra -c1 ∈ mB(0, δ0) và -c2 ∈ mB(0, δ0), đồng thời mc1 - c1 ∈ intP và mc2 - c2 ∈ intP Đặt e = mc1 - c1 + mc2 - c2, e thoả mãn (vii) Giả sử x ∈ intP, từ giả thiết suy ra a ≤ xn với mọi n = 1, 2, , do đó xn - a ∈ P với mọi n = 1, 2, Vì kxn k = kxk n → 0 nên xn → 0, do đó xn - a → -a Mặt khác, vì dãy {xn - a} ⊂ P và P đóng trong E nên -a ∈ P, do đó a và -a ∈ P, vì P là nón nên a = 0 Vì a ≤ λa nên λa - a ∈ P hay (λ - 1)a ∈ P Do 0 < λ < 1 nên 1 - λ > 0, từ đó suy ra -a = λ - 1.
Nếu −λa ∈ P hay −a∈ P, thì a và −a∈P Do P là nón nên a = 0 Đối với bất kỳ x, y nào thỏa mãn x n ≤ y n, ta có y n −x n ∈ P Khi đó, lim n→∞(x n −y n ) ∈ P do P đóng Hơn nữa, lim n→∞x n →x và lim n→∞y n = y, suy ra lim n→∞(y n −x n ) = y−x, từ đó ta có y−x∈P và x ≤ y.
Bổ đề 1.2.5 cho rằng trong không gian Banach E, nếu P là nón và {x_n} là dãy trong P với x_n → 0, thì với mọi c ∈ int P, tồn tại n_0 ∈ N sao cho x_n ∈ c với mọi n ≥ n_0 Hơn nữa, nếu P là nón chuẩn tắc, điều ngược lại cũng đúng.
Giả sử {x n} là dãy trong P và x n → 0 Với mọi c ∈ intP, do intP là tập mở, tồn tại δ > 0 sao cho c + B(0, δ) ⊂ intP Nếu x ∈ E và kxk < δ, thì c − x ∈ intP Với δ > 0 đã xác định, tồn tại n 0 ∈ N sao cho kx n k < δ với mọi n > n 0.
Suy ra c−x n ∈intP với mọi n > n 0 Do đó x n c với mọi n≥n 0
Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho xn c Gọi K là hằng số chuẩn tắc của P Với mỗi e >0, chọn c∈E sao cho 0c và Kkck< e.
Khi đó, từ giả thiết tồn tại n 0 ∈N sao cho x n c, ∀n≥n 0
Vì P là chuẩn tắc với hằng số K nên kxk ≤Kkck< e, ∀n ≥n 0
Không gian D ∗ - mêtric nón
Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của không gian D ∗ - mêtric nón.
1.3.1 Định nghĩa ([4]) Cho E là một không gian Banach Giả sử X là tập khác rỗng và D ∗ :X×X×X →E là hàm thoả mãn các điều kiện sau i)D ∗ (x, y, z)≥0; ii) D ∗ (x, y, z) = 0 khi và chỉ khi x=y=z; iii)D ∗ (x, y, z) =D ∗ (x, z, y) =D ∗ (y, z, x) = D ∗ (z, x, y) = D ∗ (z, y, x) = D ∗ (y, x, z),∀x, y, z ∈
X (hàm đối xứng ba biến). iv) D ∗ (x, y, z)≤D ∗ (x, y, a) +D ∗ (a, z, z) (bất đẳng thức tứ giác.)
Khi đó, hàm D ∗ được gọi là D ∗ - mêtric nón trên X và cặp (X, D ∗ ) được gọi là không gian D ∗ - mêtric nón.
1.3.2 Nhận xét ([4]) Nếu (X, D ∗ ) là một không gian D ∗ - mêtric nón thì
Trong không gian D∗-mêtric nón (X, D∗), một dãy {x n} được coi là hội tụ đến x ∈ X nếu với mỗi c ∈ intP tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi m, n > n0, D∗(x m, x n, x) < c Điều này được ký hiệu là x n → x hoặc lim n→∞ x n = x Ngoài ra, các điều kiện sau là tương đương: dãy {x n} hội tụ đến x nếu và chỉ nếu với mọi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho D∗(x m, x n, x) < c với mọi n ≥ n0.
Bổ đề 1.3.5 nêu rằng trong không gian D ∗ -mêtric nón (X, D ∗ ), nếu một dãy {xn} hội tụ đến hai điểm x và y, thì hai điểm này phải trùng nhau, tức là x = y Điều này khẳng định rằng giới hạn của dãy {xn} nếu tồn tại thì là duy nhất.
Trong không gian D∗-mêtric nón (X, D∗), một dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ intP, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi m, n, l > n0, khoảng cách D∗(xm, xn, xl) nhỏ hơn c.
1.3.7 Định nghĩa ([4]) Giả sử (X, D ∗ ) là một không gianD ∗ - mêtric nón Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không gian D ∗ - mêtric nón đầy đủ.
Bổ đề 1.3.8: Giả sử {x_n} là một dãy trong không gian D*-mêtric nón (X, D*) Dãy {x_n} được gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu với mỗi c thuộc intP, tồn tại n0 thuộc N sao cho với mọi n, m ≥ n0, ta có D*(x_n, x_m) < c.
Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ.
Giả sử với mỗi c∈intP tồn tại n0∈N sao cho
Khi đó, với mọi n, m và l ≥n 0 ta có:
D ∗ (xn, xm, x l )≤D ∗ (xn, xn, xm) +D∗(xn, xn, x l )2c.
Vì vậy {x n } là dãy Cauchy
1.3.9 Bổ đề Cho{x n } là dãy Cauchy trong không gianD ∗ - mêtric nón (X, D ∗ ). Nếu {xn} có một dãy con {xn k} hội tụ tới x thì {xn} hội tụ tới x.
Chứng minh Giả sử c∈intP Khi đó tồn tại n 0 ∈N sao cho
Trong không gian D∗-mêtric nón (X, D∗) và (X0, D∗), ánh xạ f: X → X0 được xem là D∗-liên tục trên X, hay nói ngắn gọn là liên tục, nếu với mọi điểm x ∈ X và dãy {xn} trong X hội tụ đến x, thì dãy {f(xn)} cũng hội tụ đến f(x).
1.3.11 Nhận xét ([4]) Nếu x n → x trong không gian D ∗ - mêtric nón X thì mọi dãy con của dãy {x n } đều hội tụ về x∈X.
Một mêtric nón trên tập X được định nghĩa bởi hàm d: X×X → E, với các điều kiện sau: Thứ nhất, d(x, y) phải lớn hơn hoặc bằng 0 cho mọi x, y thuộc X, và d(x, y) chỉ bằng 0 khi x và y là giống nhau Thứ hai, hàm d phải đối xứng, tức là d(x, y) = d(y, x) cho mọi x, y thuộc X Cuối cùng, hàm d phải thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, nghĩa là d(x, y) phải nhỏ hơn hoặc bằng tổng d(x, z) và d(z, y) cho mọi x, y, z thuộc X.
Tập hợp X cũng với mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón và kí hiệu (X, d) hoặc X.
Không gian mêtric nón là khái niệm tổng quát hơn so với không gian mêtric, vì mọi không gian mêtric đều có thể được coi là không gian mêtric nón khi E = R và P = {x ∈ R: x ≥ 0}.
1.3.13 Định nghĩa ([6]) Giả sử{xn}là dãy trong không gian mêtric nón(X, d).
Dãy{x n }được gọi làhội tụtớix∈X và được kí hiệu bởix n →xhoặc lim n→∞x n =x nếu với mọi c∈intP tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n≥n 0 ta có d(x, x n )c.
1.3.14 Định nghĩa ([6]) Cho(X, d)là một không gian mêtric nón Dãy {xn} ⊂
Dãy Cauchy X được định nghĩa là dãy mà với mọi c ∈ intP, tồn tại một số tự nhiên N sao cho khoảng cách d(x_m, x_n) nhỏ hơn c với mọi m, n > N Một không gian metric nón (X, d) được coi là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy trong không gian này đều hội tụ.
1.3.15 Bổ đề ([6]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric nón Khi đó, công thức
D ∗ (x, y, z) =d(x, y) +d(y, z) +d(z, y), ∀(x, y, z)∈X 3 xác định một D ∗ - mêtric nón trên X Nếu (X, d) đầy đủ thì (X, D ∗ ) đầy đủ.
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN
D ∗ -MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN
Chương này trình bày kết quả về sự tồn tại của điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón và không gian D ∗ - mêtric nón có thứ tự bộ phận.
Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận
nón có thứ tự bộ phận.
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu một số kết quả liên quan đến sự tồn tại của điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận, dựa trên tài liệu tham khảo đã có ([5]).
2.1.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X,≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ F :X×X →X Ta nói F có tính đơn điệu trộn nếu với x, y ∈X ta có x 1 , x 2 ∈X, x 1 ≤x 2 ⇒F(x 1 , y)≤F(x 2 , y), y 1 , y 2 ∈X, y 2 ≤y 1 ⇒F(x, y 1 )≤F(x, y 2 ).
2.1.2 Định nghĩa Ta gọi phần tử (x, y)∈X 2 làđiểm bất động bộ đôi của ánh xạ F :X×X →X nếu F(x, y) = x và F(y, x) = y.
Nếu (X,≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận thì không gian tích X 2 có thứ tự bộ phận được xác định như sau
Giả sử hàm p:R×R→R được định nghĩa bởi p(x, y) = x cho mọi (x, y) thuộc R² Khi xem xét quan hệ ≤ trên R, hàm p có tính đơn điệu trộn và mọi điểm (x, y) thuộc R² đều là điểm bất động bộ đôi của p Cụ thể, với mọi x₁, x₂ thuộc R, nếu x₁ ≤ x₂ thì p(x₁, y) = x₁ ≤ x₂ = p(x₂, y) cho mọi y thuộc R Đồng thời, với mọi y₁, y₂ thuộc R, nếu y₁ ≤ y₂ thì p(x, y₁) = x = p(x, y₂) cho mọi x thuộc R.
Do đó, p có tính đơn điệu trộn.
Do đó, (x, y) là điểm bất động trong bộ đôi của p
2) Trên R ta xét mối quan hệ ≤ thông thường Khi đó, hàm
T(x, y) =x+y, ∀(x, y)∈R 2 không có tính đơn điệu trộn nhưng có điểm bất động duy nhất là (0,0).
Chứng minh Ta có T(0,1) = 1 < T(0,2) = 2 Do đó T không có tính đơn điệu trộn
2.1.4 Định lý ([5]) Cho (X,≤, d) là không gian mêtric nón đầy đủ và F :
X×X → X là ánh xạ có tính đơn điệu trộn trên X và thoả mãn các điều kiện sau: i) ∃α, β, γ ≥0 với 2α+ 3β+ 3γ