KHÔNG GIAN D*-MÊTRIC 5 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Không gian D*-mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của không gianD* - mêtric.
1.2.1 Định nghĩa ([8]).Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và hàm
D ∗ :X 3 →Rthỏa mãn các điều kiện sau với mọix,y,z,a∈X
) ở đâyplà một hàm hoán vị củax,y,z;
+D ∗ (a,z,z)(bất đẳng thức tứ giác).
Khi đó, hàm D* được gọi là D* - mêtric trên X và cặp (X,D ∗ ) được gọi là không gian D* -mêtric.
1) Giả sửX là không gian mêtric với mêtricd Khi đó,
2) Giả sửX =R n ,D ∗ là hàm xác định trênX 3 cho bởi công thức
=¡° °x−y° ° p +° °y−z° ° p + kz−xk p ¢ 1 p với mọip∈R + Khi đó,D* làD* - mêtric trên X.
3) Giả sửX =R + ,D ∗ là hàm xác định trên X 3 cho bởi công thức
D ∗ (x,y,z)( 0 nếux=y =z max(x,y,z) nếu ngược lại
Khi đó,D* làD* - mêtric trênX.
1.2.3 Chú ý.Trong không gianD* - mêtric,D ∗ (x,x,y)=D ∗ (x,y,y).Thật vậy, theo bất đẳng thức tứ giác ta có
Do đó, từ(i) , (i i)ta cóD ∗ ¡ x,x,y¢
1.2.4 Định nghĩa ([8]).Giả sử(X,D ∗ )là không gianD* - mêtric Với r >0và x∈X,ta kí hiệu
0sao choB D ∗ (x,r)⊂A thì tập conAđược gọi làtập con D* -mở củaX.
2) Tập conAcủaX được gọi làD*-bị chặnnếu tồn tạir >0sao choD ∗ ¡ x,y,y¢
3) Dãy{x n }trongX được gọi làD*-hội tụđếnx và kí hiệu làx n
D ∗ (x n ,x n ,x)=D ∗ (x,x,x n )→0khin→ ∞, tức là, với mọi ε >0tồn tạin 0∈Nsao cho
∀n≥n 0⇒D ∗ (x,x,x n )0tồn tạin 0 ∈Nsao cho
Thật vậy, nếu có (*) thì với mọi n,m≥n 0 ta có
D ∗ (x n ,x,x)+D ∗ (x,x,x m )< ε 2 + 2 ε =ε. Ngược lại, nếu có (**) thì đặt m = n trong (**) ta có D ∗ (x n ,x n ,x) n 0).
4) Dãy{x n }trongX được gọi làdãy D*-Cauchy nói gọn làdãy Cauchy nếu với mỗi ε >0,tồn tại n 0 ∈N sao choD ∗ (x n ,x n ,x m )0 thì hình cầuB D ∗ (x,r)tâmx∈X,bán kínhr là tập con D*- mở của X.
Chứng minh.Giả sửz∈B D ∗ (x,r) Khi đóD ∗ (x,z,z)0 tồn tạin 1vàn 2∈Nsao cho với mọin≥n 1 ta cóD ∗ (x,x,x n )< ε 2 và với mọin≥n 2 ta cóD ∗ ¡ y,y,x n ¢
< ε 2 Nếu đặt n 0 = max{n 1 ,n 2 }thì với mọin≥n 0 theo bất đẳng thức tam giác ta có
1.2.9 Bổ đề ([8]) Giả sử(X,D ∗ )là không gian D*- mêtric Nếu dãy{x n }trong
X, D*- hội tụ đếnx thì{x n }là dãy Cauchy.
Chứng minh rằng dãy {x_n} hội tụ đến x và y, tức là với mỗi ε > 0, tồn tại n_0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n_0, ta có D*(x_n, x_n, x) < ε/2 Do đó, với mọi n, m ≥ n_0, theo bất đẳng thức tam giác, ta có thể khẳng định tính chất hội tụ của dãy này.
Vì vậy,{x n }là dãy Cauchy.
1.2.10 Định nghĩa ([8]).Giả sử(X,D ∗ )là không gianD*- mêtric.D* được gọi làliên tục tại ¡ x,y,z¢
∈X nếu từẪâ x n ,y n ,z n đà trongX 3 hội tụ tới¡ x,y,z¢ suy ra n lim→∞ D ∗ ¡ x n ,y n ,z n ¢
, trong đụ dọyẪâ x n ,y n ,z n đà trongX 3 hội tụ đến một điểm¡ x,y,z¢
HàmD* được gọi làliên tục trênX 3 nếu nó liên tục tại mọi¡ x,y,z¢
1.2.11 Bổ đề ([8]) Giả sử(X,D ∗ )là không gian D*- mêtric Khi đó, D* là hàm liên tục trênX 3
∈X 3 và (x n ,y n ,z n ) trongX 3 hội tụ đến¡ x,y,z¢
Từ đó suy ra rằng với mỗiε>0 tồn tại số tự nhiênn 0 sao cho với mọin≥n 0 ta có
Do đó, với mọin≥n 0 theo bất đẳng thức tam giác ta có
Do đó, với mọin≥n 0 ta có
D ∗ (x n ,y n x n )−D ∗ (x,y,z)