Tập ω -đóng suy rộng chính quy
1.1.1 Định nghĩa Giả sử(X, τ )là một không gian tôpô vàAlà tập con của
(a) Điểm x ∈ X được gọi là điểm cô đọng (condensation) ([4]) của A nếu với mỗiU ∈ τ mà x ∈ U thì U ∩ Akhông đếm được;
(b) A được gọi là ω -đóng ( ω-closed) ([10]) nếu nó chứa tất cả các điểm cô đọng của nó.
Phần bù của tậpω-đóng được gọi là tậpω -mở ( ω -open).
1.1.2 Mệnh đề ([4]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là tậpω-mở nếu và chỉ nếu với mỗix ∈ Atồn tại tậpU ∈ τ sao cho x ∈ U và
Họ tất cả các tập con ω-mở của không gian (X, τ) ký hiệu bởi τ ω , đây là tôpô trênX mịn hơn τ
1.1.3 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là tập đóng suy rộng (g -đóng) nếu clA ⊆ U với mọi tập mở U mà A ⊆ U
Phần bù của tậpg-đóng được gọi là tậpg -mở.
Tôpôτ A nhắc đến trong luận văn chính là tôpô cảm sinh bởi τ trên A
1.1.4 Bổ đề ([5]) Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô và A là tập con củaX Khi đó
(b)(τ A ) ω = (τ ω ) A ω-bao đóng vàω-phần trong của tậpAđịnh nghĩa tương tựclA , intA và chúng được ký hiệu lần lượt làcl ω (A) , int ω (A)
1.1.5 Nhận xét ChoA , B là các tập con của không gian tôpô (X, τ ) Khi đó
(a) Hợp của họ tuỳ ý các tậpω -mở là tập ω -mở Do đó int ω (A) là tập ω -mở;
(b) Giao của họ tùy ý các tập ω-đóng là tập ω-đóng Do đó cl ω (A) là tập ω -đóng;
(c) Nếu Alà tập mở, thì A là tập ω -mở Do đó intA ⊂ int ω (A) ;
(d) NếuA là tập đóng, thìA là tập ω-đóng Do đó cl ω (A) ⊂ clA ;
1.1.6 Định nghĩa ([4]) Tập conA của không gian tôpô(X, τ ) được gọi là ω-đóng suy rộng (generalizedω-closed) viết gọn là gω -đóng nếu cl ω (A) ⊆ U với mọiU ∈ τ mà A ⊆ U
1.1.7 Định nghĩa ([16]) Tập conAcủa không gian tôpô(X, τ )được gọi là mở chính quy (regular open) nếuA = int(clA)
Phần bù của tập mở chính quy được gọi là tập đóng chính quy (regular closed) Một cách tương đương, tậpAlà đóng chính quy nếuA = cl(intA)
1.1.8 Nhận xét Mỗi tập mở chính quy là mở Mỗi tập đóng chính quy là đóng.
Tập con A của không gian tôpô (X, τ) được gọi là rg-đóng nếu nó chứa mọi tập mở chính quy U mà A là tập con của U, tức là phần bù của A luôn nằm trong U.
Tập con A của không gian tôpô (X, τ) được định nghĩa là ω-đóng suy rộng chính quy (rgω-đóng) nếu như với mọi tập mở chính quy U mà A thuộc U, thì tập lân cận của A, ký hiệu là clω(A), luôn nằm trong U.
Phần bù của tập ω-đóng suy rộng chính quy được gọi là tập ω -mở suy rộng chính quy (regular generalizedω-open) viết gọn là rgω -mở.
1.1.11 Định nghĩa ([13]) Tập con Acủa không gian tôpô (X, τ ) được gọi làω -c-đóng ( ω-c-closed) nếu tồn tại tậpB ⊂ A sao cho A = cl ω (B)
Dựa vào các định nghĩa và tính chất đã được xác định, chúng ta có thể rút ra mối liên hệ giữa tập rgω-đóng và các tập khác thông qua sơ đồ ω − c − đóng.
Xét R là tập hợp tất cả các số thực và Q là tập hợp tất cả các số hữu tỷ với tôpô τ = {∅, R, R−Q} Tập A = R−Q không phải là tập gω-đóng vì mặc dù A là tập mở và do đó cũng là ω-mở, nhưng phần bù của A trong R không hoàn toàn nằm trong A Hơn nữa, R là tập mở chính quy duy nhất chứa A, cho thấy A là tập rg ω-đóng.
1.1.13 Ví dụ ([13]) Cho X = {a, b, c, d} với tôpô được cho bởi họ τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}} Khi đó { a } không là tập rg-đóng Nhưng { a } là tập rg ω -đóng, do X hữu hạn và τ ω là tôpô rời rạc.
Mỗi tập gω-đóng và tập rg-đóng đều là tập rgω-đóng Giả sử A là tập gω-đóng trong không gian (X, τ) và U là một tập mở chính quy chứa A Theo Nhận xét 1.1.8, U là tập mở chứa A, dẫn đến clω(A) ⊂ U Vì vậy, A được xác định là tập rgω-đóng.
NếuAlà tập rg-đóng trong(X, τ ) và U là tập mở chính quy chứaA Khi đó ta cóclA ⊂ U Mặt khác ta luôn cócl ω (A) ⊂ clA do đó cl ω (A) ⊂ U Vậy
1.1.15 Định lý ChoAlà tập con rgω -đóng của (X, τ ) Khi đó cl ω (A) − A không chứa bất kỳ tập đóng chính quy khác rỗng nào củaX
Chứng minh Giả sử F là tập con đóng chính quy của (X, τ ) sao cho
Khi F là tập con của cl ω (A) trừ A, thì F cũng là tập con của X trừ A, dẫn đến A là tập con của X trừ F Vì A là tập rgω-đóng và X trừ F là tập con mở chính quy, nên cl ω (A) nằm trong X trừ F Từ đó, ta có F là tập con của X trừ cl ω (A) Điều này cho thấy F không giao với cl ω (A) và X trừ cl ω (A), từ đó kết luận F là tập rỗng Do đó, cl ω (A) trừ A không chứa bất kỳ tập đóng chính quy nào khác rỗng trong X.
1.1.16 Định lý Tập con A của (X, τ ) là rg ω-mở nếu và chỉ nếu F ⊆ int ω (A)với mọi tập con đóng chính quyF mà F ⊆ A
Chứng minh Giả sử Alà tập con rgω -mở của (X, τ ) , F là tập con đóng chính quy bất kỳ của (X, τ ) mà F ⊆ A Khi đó X − A là tập rg ω -đóng,
X − F là tập mở chính quy vàX − A ⊆ X − F Do đó ta cóX − int ω (A) = cl ω (X − A) ⊆ X − F kÐo theo F ⊆ int ω (A)
Ngược lại, nếu F ⊆ int ω (A) với mọi tập con đóng chính quy F mà
F ⊆ A và U là tập con mở chính quy bất kỳ màX − A ⊆ U ta có X − U là tập con đóng chính quy màX − U ⊆ A , do đó X − U ⊆ int ω (A) Suy ra
X − int ω (A) = cl ω (X − A) ⊆ U nên X − A là tập rg ω -đóng Vậy A là tập rgω -mở.
1.1.17 Bổ đề ([8]) Với mọi tập mở U của không gian tôpô (X, τ ) và với mọi A ⊆ X ta có cl(U ∩ A) = cl(U ∩ clA)
1.1.18 Định nghĩa Hai tập khác rỗngA , Bđược gọi là tách được nếuclA∩
1.1.19 Ví dụ ([13]) ChoX là tập không đếm được vàA , B , C , D là các tập con không đếm được củaX và họ {A, B, C, D}là một sự phân hoạch củaX với tôpôτ = {∅, X, A, B, A ∪ B, A ∪ B ∪ C }
Chọn x, y / ∈ A và x 6= y , khi đó H = A ∪ {x} và G = A ∪ {y} là các tập rgω-đóng do chỉ có một tập mở chính quy chứa H , G là X Nhưng
H ∩ G = A và A mở chính quy trong X , cl ω (A) 6⊆ A vì A không là tập ω-đóng kéo theoH ∩ Gkhông là tập rgω -đóng.
Do đó hợp của các tập rgω-mở không là tập rgω -mở.
1.1.20 Định lý ([13]) Nếu A và B là các tập rgω -đóng, thì A ∪ B là tập rgω -đóng.
Chứng minh Giả sửU là tập mở chính quy sao choA ∪ B ⊂ U Khi đó
A ⊂ U và B ⊂ U Vì A , B là rg ω -đóng nên cl ω (A) ⊂ U , cl ω (B) ⊂ U Suy racl ω (A ∪ B) = cl ω (A) ∪ cl ω (B) ⊂ U Vậy A ∪ B là rg ω -đóng.
1.1.21 Định lý ([13]) ChoAlà tập con rgω -đóng của (X, τ ) Nếu B ⊆ X sao choA ⊆ B ⊆ cl ω (A) , thì B cũng là tập rgω -đóng.
Nếu B là tập con của(X, τ ) và Alà tập con rgω-mở sao cho int ω (A) ⊆
B ⊆ A thì B cũng là tập rgω -mở.
Chứng minh Giả sử A là tập con rgω -đóng của (X, τ ) sao cho A ⊆
B ⊆ cl ω (A) Khi đó ta có cl ω (A) ⊆ cl ω (B ) ⊆ cl ω (cl ω (A)) = cl ω (A) nên cl ω (A) = cl ω (B) Nếu U là tập mở chính quy bất kỳ chứaB thì U cũng chứa
A nên cl ω (A) = cl ω (B) ⊆ U Vậy B là tập rg ω -đóng.
Phần còn lại chứng minh tương tự.
1.1.22 Định lý Nếu Alà tập con rgω -đóng của (X, τ ) , thì cl ω (A) − A là tập rgω -mở.
Giả sử A là tập con rgω-đóng của (X, τ) và F là tập con đóng chính quy với F ⊆ cl ω (A) − A Theo Định lý 1.1.15, ta suy ra F = ∅ và F ⊆ int ω (cl ω (A) − A) Do đó, theo Định lý 1.1.16, cl ω (A) − A là tập rg ω-mở.
1.1.23 Bổ đề ([4]) NếuY là không gian con mở của không gian X và A là tập con củaY , thì cl ω|Y (A) = cl ω (A) ∩ Y
1.1.24 Bổ đề ([13]) Nếu A là tập con mở chính quy và rgω -đóng của (X, τ ) , thì A là tập ω-đóng trong X
Chứng minh Để chứng minhA là tập ω-đóng ta chứng minhcl ω (A) = A Thật vậy, doAmở chính quy,A ⊆ A và Alại là tập rgω -đóng nên cl ω (A) ⊆
A Mà A ⊆ cl ω (A) Suy ra cl ω (A) = A Vậy A là tập ω-đóng trongX
1.1.25 Định lý ChoY là không gian con mở của không gianX và A ⊆ Y NếuA là tập rg ω-đóng trong X , thì A là tập rg ω-đóng trong Y
Chứng minh Giả sửU là tập mở chính quy củaY sao cho A ⊆ U Khi đó
U = V ∩ Y , với V là tập mở chính quy củaX Do A là tập rg ω-đóng trongX nêncl ω (A) ⊆ V Nhờ Bổ đề 1.1.23 ta cócl ω|Y (A) = cl ω (A)∩Y ⊆ V ∩Y = U
Do đóA là tập rg ω-đóng trongY
1.1.26 Hệ quả ([13]) Nếu A là tập mở chính quy, rgω -đóng và B là tập ω-đóng của không gian X , thì A ∩ B là tập rg ω -đóng.
Giả sử U là tập mở chính quy sao cho A ∩ B ⊆ U, ta cần chứng minh cl ω (A ∩ B) ⊆ U Vì A là tập mở chính quy và rgω-đóng, theo Bổ đề 1.1.24, A là tập ω-đóng, do đó cl ω (A) = A Đồng thời, theo giả thiết, cl ω (B) = B Hơn nữa, vì A là rg ω-đóng và A ⊂ U, nên cl ω (A) ⊂ U.
U Do A ∩ B ⊆ A nên cl ω (A ∩ B) ⊆ cl ω (A) Mặt khác A ∩ B ⊆ B nên cl ω (A ∩ B) ⊆ cl ω (B) Suy ra cl ω (A ∩ B) ⊆ cl ω (A) ∩ cl ω (B ) ⊆ cl ω (A) ⊂ U VậyA ∩ B là tập rg ω -đóng.
1.1.27 Định lý ChoA là tập rg ω-đóng Khi đó A = cl ω (int ω (A)) nếu và chỉ nếucl ω (int ω (A)) − Alà tập đóng chính quy.
Chứng minh Giả sử A là tập rg ω -đóng Nếu A = cl ω (int ω (A)) thì cl ω (int ω (A)) − A = ∅ do đó cl ω (int ω (A)) − Ađóng chính quy.
Ngược lại, giả sửcl ω (int ω (A))−Ađóng chính quy Vìcl ω (A)−A chứa tập đóng chính quycl ω (int ω (A))−A, nên nhờ Định lý 1.1.15 ta cócl ω (int ω (A))−
1.1.28 Bổ đề ([4]) Cho (X, τ ) và (Y, σ) là hai không gian tôpô Khi đó (τ × σ) ω ⊆ τ ω × σ ω
1.1.29 Định lý Nếu A ì B là tập con rgω -mở của (X ì Y, τ ì σ) thì A là tập con rgω -mở của (X, τ ) và B là tập con rgω -mở của (Y, σ)
Giả sử A và B là tập con rgω-mở của (X, Y, τ, σ), với F_A là tập con đóng chính quy của (X, τ) và F_B là tập con đóng chính quy của (Y, σ) sao cho F_A ⊆ A và F_B ⊆ B Khi đó, F_A ∩ F_B là tập đóng chính quy trong (X × Y, τ × σ) và F_A ∩ F_B ⊆ A ∩ B Từ giả thiết A ∩ B là tập rgω-mở trong (X × Y, τ × σ) và theo Bổ đề 1.1.28, ta suy ra F_A ∩ F_B ⊆ int_ω(A × B) ⊆ int_ω(A) × int_ω(B) Do đó, F_A ⊆ int_ω(A) và F_B ⊆ int_ω(B).
Do đóA , B là các tập rgω -mở. Điều ngược lại của Định lý trên không đúng, thể hiện qua Ví dụ sau
1.1.30 Ví dụ ([13]) Cho X = Y = R với tôpô thông thường τ và A = {{R−Q} ∪ [ √
2; 5]} , B = (1; 7) Khi đó A và B là các tập con rgω -mở ( ω - mở) của(R, τ ) , A ì Bkhông là tập rgω -mở trong (RìR, τ ì τ ) , do tập F = [ √
2; 3] ì [3; 5]là tập đóng chính quy chứa trongA ì B và F 6⊆ int ω (A ì B ) §iÓm( √
2; 4) ∈ int ω (A ×B ) , thì tồn tại tập mởU chứa √
2 và tập mở V chứa 4 sao cho(U ì V ) − (A ì B) là tập đếm được nhưng(U ì V ) − (A ì B)là tập không đếm được với mọi tập mởU chứa √
2và mọi tập mởV chứa 4.
ω - T 1
2 không gian suy rộng chính quy
1.2.1 Định nghĩa ([13]) Không gian (X, τ ) được gọi là ω - T 1
2 không gian suy rộng chính quy viết gọn là rgω - T 1
2 nếu mọi tập rgω-đóng trong (X, τ ) đều là tậpω -đóng.
1.2.2 Định lý Với mỗi không gian(X, τ ), các mệnh đề sau là tương đương
2; (b) Mỗi phần tửx ∈ X là đóng chính quy hoặc ω -mở.
Để chứng minh rằng (a) dẫn đến (b), giả sử x thuộc tập X Nếu tập {x} không phải là tập con đóng chính quy, thì X - {x} không phải là tập mở chính quy Do đó, tập X là tập mở chính quy duy nhất chứa X - {x}, từ đó suy ra rằng X - {x} là tập rg ω-đóng.
2 không gian, suy ra X − {x} là tập ω -đóng Vậy { x } là tập ω -mở.
(b) ⇒ (a) Giả sử Alà tập con rgω -đóng của (X, τ ) và x ∈ cl ω (A) Ta sẽ chỉ ra rằngx ∈ A
Nếu{ x }là đóng chính quy vàx / ∈ A thì x ∈ cl ω (A)−A Suy ra cl ω (A)−A chứa một tập đóng chính quy khác rỗng{ x } Điều này mâu thuẫn với Định lý 1.1.15 VËyx ∈ A
Nếu{ x } là tập ω -mở thì vì x ∈ cl ω (A) ta có tập ω -mở U = {x} thoả mãn
Vậy cả hai trường hợp ta đều có x ∈ A Do đó A = cl ω (A) Vậy A là tập ω -đóng.
1.2.3 Định nghĩa ([6]) Không gian tôpô(X, τ )được gọi là phản đếm được địa phương nếu mỗi tập mở khác rỗng đều không đếm được.
Định lý 1.2.4 cho biết rằng trong không gian phản đếm được địa phương (X, τ), không gian này sẽ là T1 nếu mọi tập rgω-đóng đều là tập ω-đóng Để chứng minh điều này, giả sử x ∈ X và tập {x} không đóng Khi đó, ta có A = X − {x} không mở, dẫn đến A trở thành tập rgω-đóng, vì chỉ có một tập mở chính quy chứa nó.
A là tập ω-đóng, dẫn đến {x} là ω-mở Theo Mệnh đề 1.1.2, tồn tại U ∈ τ với x ∈ U và U - {x} đếm được, do đó U là tập mở không rỗng và đếm được với x ∈ X Điều này tạo ra một mâu thuẫn.
1.2.5 Định nghĩa ánh xạf : (X, τ ) −→ (Y, σ)được gọi là
(a) xấp xỉ đóng (approximately closed) ([7]) viết gọn là a-đóng nếuf (F ) ⊆ intA với mọi tập con đóng F của X và A là tập con g-mở của Y mà f (F ) ⊆ A ;
(b) xấp xỉ liên tục (approximately continuous) ([7]) viết gọn là a-liên tục nếu clA ⊆ f −1 (V )với mọi tập con mởV của Y và Alà tập con g-đóng của
(c) xấp xỉ ω-đóng (approximately ω-closed) ([13]) viết gọn là a-ω -đóng nếu f (F ) ⊆ int ω (A) với mọi tập con đóng chính quy F của X và A tập con rgω -mở của Y mà f (F ) ⊆ A ;
(d) xấp xỉω-liên tục (approximatelyω-continuous) ([13]) viết gọn là a-ω -liên tục nếu cl ω (A) ⊆ f −1 (V ) với mọi tập con mở chính quy V của Y và
Alà tập con rgω -đóng của X mà A ⊆ f −1 (V )
1.2.6 Ví dụ ([13]) Cho X = {a, b, c, d} với tôpô được cho bởi họ τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}} và f : (X, τ ) −→ (X, τ ) là hàm được xác định bởi f (a) = a , f (b) = d , f (c) = b , f (d) = c Khi đó f là a- ω -đóng.
Do X hữu hạn nên τ ω là tôpô rời rạc và f không là ánh xạ a-đóng, vì tập
A = {b, c} là tập g-mở và F = {c, d} là tập đóng thoả mãn f (F ) ⊆ A , nh ngf (F ) 6⊆ intA
Trong ví dụ này, cho không gian tôpô \( (X, \tau) \) với \( \tau = \{\emptyset, X, R - Q\} \) và hàm \( f: (X, \tau) \rightarrow (X, \tau) \) được xác định bởi \( f(x) = 0 \) cho mọi \( x \in X \), ta thấy rằng \( f \) là a-đóng Đối với tập đóng \( F \) bất kỳ của \( X \), chỉ có một tập g-mở chứa \( f(F) \) là \( X \) Tuy nhiên, \( f \) không phải là ánh xạ a-ω-đóng, vì tập \( A = Q \) là rgω-mở và \( F = R \) là tập đóng chính quy thoả mãn \( f(F) \subseteq A \), nhưng \( f(F) \) không nằm trong \( \text{int} \, \omega(A) = \emptyset \).
1.2.8 Định lý Không gian X là rg ω - T 1
2 không gian nếu và chỉ nếu với mọi không gianY thì ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là a- ω -liên tục.
Chứng minh Giả sử X là rg ω - T 1
2 không gian vàV là tập con mở chính quy củaY , Alà tập con rgω -đóng của X sao cho A ⊆ f −1 (V ) Vì X là rg ω - T 1
2 không gian nênA là tập ω-đóng, dó đóA = cl ω (A) Vì vậy cl ω (A) ⊆ f −1 (V ) vàf là a- ω -liên tục.
Ngược lại, giả sử f là a- ω -liên tục, A là tập con rgω-đóng khác rỗng của
X và Y là tập con của X với tôpô τ = {∅, Y, A} Ánh xạ f: (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ đồng nhất và được giả thiết là a-ω-liên tục Do A là tập con rgω-đóng trong X và mở trong Y, với điều kiện A ⊆ f⁻¹(A), ta suy ra rằng clω(A) ⊆ f⁻¹(A) = A.
Do đóA là tập ω-đóng trong X Vì vậy X là rg ω - T 1
Nếu tập hợp mở chính quy và tập hợp đóng chính quy của không gian X trùng nhau, thì mọi tập con của X đều là rg ω-đóng, dẫn đến tất cả chúng cũng là rg ω-mở.
Giả sử A là một tập con của X với A ⊆ U, trong đó U là tập mở chính quy Khi đó, U cũng là tập đóng chính quy, dẫn đến việc cl ω (A) ⊆ cl ω (U) ⊆ cl U = U Do đó, A được xác định là tập rg ω -đóng.
Nếu tập mở chính quy và tập đóng chính quy của không gian Y trùng nhau, thì hàm (X, τ) −→ (Y, σ) được gọi là a-ω-đóng Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu tập (F) là tập ω-mở cho mọi tập con đóng chính quy F của không gian X.
Giả sử f là a-ω-đóng, theo Bổ đề 1.2.9, tất cả các tập con của Y đều là rg ω-mở Do đó, với bất kỳ tập con đóng chính quy F của X, f(F) sẽ là tập rg ω-mở của Y Vì f là a-ω-đóng, ta có f(F) ⊆ int ω(f(F)), dẫn đến f(F) = int ω(f(F)), do đó f(F) là tập ω-mở Ngược lại, nếu f(F) là tập ω-mở và f(F) ⊆ A với mọi F đóng chính quy và A là rg ω-mở, thì f(F) = int ω(f(F)) ⊆ int ω(A), từ đó suy ra f là a-ω-đóng.
Nếu tập mở chính quy và tập đóng chính quy của không gian X trùng nhau, thì hàm f : (X, τ) −→ (Y, σ) được coi là a-ω-liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược f −1(V) là tập ω-đóng đối với mọi tập con mở chính quy V của không gian Y.
Chứng minh Tương tự Định lý 1.2.10.
Hàm rg ω -liên tục
1.3.1 Định nghĩa ánh xạf : (X, τ ) −→ (Y, σ)được gọi là
(a)ω-liên tục ([9]) nếuf −1 (V ) là tập ω -mở trong (X, τ ) với mọi tập mở V của(Y, σ) ;
(b)ω-không giải được ([3]) nếuf −1 (F ) là tập ω-đóng trong(X, τ ) với mọi tậpω -đóng F của (Y, σ) ;
(c) gω-liên tục ([4]) nếuf −1 (F ) là tập g ω -đóng của (X, τ )với mọi tập đóng
(d) gω-không giải được ([4]) nếuf −1 (F ) là tập g ω -đóng của (X, τ ) với mọi tập gω -đóng F của (Y, σ) ;
(e) R-ánh xạ ([11]) nếuf −1 (F ) là tập đóng chính quy trong(X, τ ) với mọi tập đóng chính quyF của (Y, σ)
1.3.2 Định nghĩa ánh xạf : (X, τ ) −→ (Y, σ)được gọi là
(a) gω-đóng ([4]) nếuf (F ) là tập g ω-đóng trong(Y, σ)với mọi tập đóngF của(X, τ ) ;
(b) rgω-đóng ([13]) nếuf (F ) là tập rg ω-đóng trong(Y, σ)với mọi tập đóng
(c) ro-bảo toàn ([13]) nếuf (V )là tập mở chính quy trong(Y, σ)với mọi tập mở chính quyV của (X, τ ) ;
(d) tiềnω-đóng ([13]) nếuf (F ) là tập ω -đóng của (Y, σ)với mọi tậpω -đóng
Xét tập hợp X = {a, b, c, d} với tôpô τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}} và hàm f : (X, τ) −→ (X, τ) được định nghĩa bởi f(a) = a, f(b) = b, f(c) = d, f(d) = c Hàm f là ro-bảo toàn vì tập hợp tất cả các tập mở chính quy của X là {∅, X, {a}, {b}} Ngược lại, nếu định nghĩa hàm g : (X, τ) −→ (X, τ) với g(a) = c, g(b) = d, g(c) = a, g(d) = b, thì g không phải là ánh xạ ro-bảo toàn.
1.3.4 Định nghĩa ([13]) ánh xạf : (X, τ ) −→ (Y, σ)được gọi là rgω -liên tục (rgω-không giải được) nếuf −1 (F ) là tập rg ω-đóng trong(X, τ ) với mọi tậpω -đóng (rg ω -đóng) F của (Y, σ)
1.3.5 Nhận xét ([13]) (a) Mỗi ánh xạ liên tục làω-liên tục và mỗi ánh xạ ω-liên tục là gω -liên tục;
(b) Mỗi ánh xạω-không giải được là ω -liên tục;
(c) Mỗi ánh xạ gω-không giải được là gω -liên tục;
(d) Mỗi ánh xạ rgω-không giải được là rgω -liên tục.
1.3.6 Định lý Cho(X, τ ) là rg ω - T 1
2 không gian và ánh xạf : (X, τ ) −→ (Y, σ) Khi đó
(a) Nếu f là g ω-liên tục thì f là ω -liên tục;
(b) Nếuf là rg ω-liên tục thìf là ω-không giải được;
(c) Nếu f là rg ω-liên tục thìf là g ω -liên tục;
(d) Nếuf là g ω-không giải được thìf là ω-không giải được;
(e) Nếu f là rg ω-không giải được thìf là ω-không giải được.
Giả sử A là tập con đóng của Y, thì f là ánh xạ gω-liên tục dẫn đến f⁻¹(A) là tập con gω-đóng của X Theo Định lý 1.1.14, f⁻¹(A) cũng là tập con rgω-đóng của X Do đó, trong không gian (X, τ), ta có tính chất rgω-T1.
2 không gian suy raf −1 (A) là tập con ω -đóng của X Vì vậy f là ánh xạ ω -liên tục.
(b) Giả sử A là tập con ω-đóng bất kỳ của Y Vì f là ánh xạ rgω -liên tục suy ra f −1 (A) là tập con rgω -đóng của X Do (X, τ ) là rg ω - T 1
2 không gian suy ra f −1 (A) là tập con ω -đóng của X Vì vậy f là ánh xạ ω-không giải được.
(c) Giả sử Alà tập con đóng bất kỳ của Y Suy ra A là tập ω-đóng trong
Y Vì f là ánh xạ rgω-liên tục suy ra f −1 (A) là tập con rgω -đóng của X Do
2 không gian suy raf −1 (A) là tập con ω -đóng của X Suy ra f −1 (A) là tập g ω-đóng trongX Vì vậy f là ánh xạ gω -liên tục.
(d) và (e) chứng minh tương tự (c).
1.3.7 Định lý Cho(Y, σ) là rg ω - T 1
2 không gian và ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) Khi đó
(a) Nếu f là ω-không giải được thìf là g ω-không giải được;
(b) Nếuf là g ω-không giải được thìf là rg ω-không giải được.
Chứng minh Tương tự Định lý 1.3.6
1.3.8 Định lý Chof : (X, τ ) −→ (Y, σ)là một toàn ánh, rgω-không giải được và tiền ω -đóng Nếu X là rg ω - T 1
2 không gian, thì Y cũng là rg ω - T 1
Chứng minh Giả sử A là tập con rgω -đóng của Y , do f là ánh xạ rgω - không giải được suy ra f −1 (A) là tập con rgω -đóng của X Vì X là rg ω - T 1
2 không gian suy raf −1 (A) là tập con ω -đóng của X Mặt khác f là toàn ánh và tiềnω -đóng nên f (f −1 (A)) = A là tập con ω -đóng của Y Vậy Y cũng là rgω - T 1
1.3.9 Định lý ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là g ω-đóng nếu và chỉ nếu với mỗi A ⊆ Y và mỗi tập mở U chứa f −1 (A) đều tồn tại một tập con gω -mở V của Y sao cho A ⊆ V và f −1 (V ) ⊆ U
Chứng minh Giả sử f là một ánh xạ gω -đóng, A ⊆ Y và U là một tập mở chứaf −1 (A) Khi đó V = Y − f (X − U )cũng là tập con gω -mở chứa A củaY và f −1 (V ) ⊆ U
Giả sử F là tập con đóng của X và H là tập con mở của Y với f(F) ⊆ H Khi đó, ta có f⁻¹(Y - f(F)) ⊆ X - F, và do X - F mở, tồn tại một tập con gω-mở V của Y sao cho Y - f(F) ⊆ V và f⁻¹(V) ⊆ X - F Từ đó, suy ra F ⊆ X - f⁻¹(V), dẫn đến f(F) ⊆ Y - V.
Y −H ⊆ Y −f (F ) suy ra f −1 (Y −H ) ⊆ f −1 (Y −f (F )) ⊆ f −1 (V ) ⊆ X −F , do đóF ⊆ X − f −1 (V ) ⊆ X − f −1 (Y − f (F )) ⊆ X − f −1 (Y − H ) Vì vậy f (F ) ⊆ Y −V ⊆ H Do Y −V là tập g ω -đóng và cl ω (f (F )) ⊆ cl ω (Y −V ) ⊆
H kéo theo f (F ) là tập g ω -đóng Vậy f là ánh xạ gω -đóng.
1.3.10 Định nghĩa ([13]) ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) được gọi là gω -c- đóng (rgω-c-đóng) nếuf (A) là tập g ω -đóng (rg ω-đóng) trong(Y, σ) với mọi tậpω -c-đóng A của (X, τ )
1.3.11 Nhận xét Mỗi ánh xạ gω-c-đóng là gω-đóng và mỗi ánh xạ gω - đóng là rgω -đóng.
Định lý 1.3.12 khẳng định rằng nếu f : (X, τ) → (Y, σ) là một ánh xạ R và rgω -c-đóng, thì hình ảnh f(A) sẽ là tập rgω -đóng trong Y với mọi tập con rgω -đóng A của X Để chứng minh, giả sử A là tập con rgω -đóng của X và U là tập con mở chính quy của Y sao cho f(A) ⊆ U Vì f là R-ánh xạ, nên f^(-1)(U) là tập con mở chính quy của X và A ⊆ f^(-1)(U) Với A là tập rgω -đóng, ta có clω(A) ⊆ f^(-1)(U), từ đó suy ra f(clω(A)) ⊆ U Hơn nữa, do clω(A) là tập ω-c-đóng và f là ánh xạ rgω -c-đóng, nên f(clω(A)) cũng là tập rgω -đóng, dẫn đến clω(f(A)) ⊆ clω(f(clω(A))) ⊆ U.
Vậyf (A)là tập con rgω-đóng trongY
1.3.13 Định lý Giả sử f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là toàn ánh, ro-bảo toàn và ω-không giải được Nếu B là tập rg ω-đóng trong Y , thì f −1 (B) là tập rgω-đóng trong X
Giả sử G là một tập con mở chính quy của X với điều kiện f −1 (B) ⊆ G, thì ta có B ⊆ f (G) Do f là ánh xạ ro-bảo toàn, nên f (G) cũng mở chính quy Với B là tập rg ω-đóng, suy ra cl ω (B) ⊆ f (G) và f −1 (cl ω (B)) ⊆ G Vì f là ω-không giải được, f −1 (cl ω (B)) trở thành tập ω-đóng và thỏa mãn cl ω (f −1 (cl ω (B))) = f −1 (cl ω (B)) Do đó, ta có cl ω (f −1 (B)) ⊆ cl ω (f −1 (cl ω (B))) ⊆ G, dẫn đến kết luận f −1 (B) là tập rg ω-đóng trong X.
1.3.14 Định lý Giả sử f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là ánh xạ a-ω -đóng và ω - không giải được Nếu A là tập rg ω-đóng trong Y , thì f −1 (A) là tập rg ω - đóng trongX
Chứng minh Giả sửA là tập rg ω-đóng trongY và f −1 (A) ⊆ U với U là tập mở chính quy củaX Khi đó ta cóX − U ⊆ X − f −1 (A) ⊆ f −1 (Y − A) vàf (X −U ) ⊆ Y −A Vì f là a- ω-đóng ta suy raf (X −U ) ⊆ int ω (Y −A) =
Xét tập Y − cl ω (A), ta có X − U ⊆ X − f −1 (cl ω (A)) và f −1 (cl ω (A)) ⊆ U Do f là hàm ω-không giải được, nên f −1 (cl ω (A)) là tập ω-đóng Từ đó, suy ra f −1 (A) ⊆ f −1 (cl ω (A)) ⊆ U và cl ω (f −1 (A)) ⊆ cl ω (f −1 (cl ω (A))) = f −1 (cl ω (A)) ⊆ U Do vậy, cl ω (f −1 (A)) ⊆ U và f −1 (A) là tập rg ω-đóng trong X.
1.3.15 Định lý Nếu f : (X, τ ) −→ (Y, σ)là R-ánh xạ và rgω -đóng, A là tập con g-đóng củaX , thì f (A) là tập rg ω-đóng trong Y
Giả sử f(A) là tập con của U, với U là tập con mở chính quy của Y Khi đó, f⁻¹(U) là tập con mở chính quy chứa A Vì A là tập g-đóng, nên clA ⊆ f⁻¹(U), dẫn đến f(clA) ⊆ U Do f là rgω-đóng, nên f(clA) cũng là rgω-đóng, từ đó suy ra clω(f(clA)) ⊆ U Điều này kéo theo clω(f(A)) ⊆ U, do đó f(A) là tập rgω-đóng trong Y.
1.3.16 Định lý Nếu f : (X, τ ) −→ (Y, σ)là R-ánh xạ và tiềnω -đóng, thì f (A) là tập rg ω-đóng trong Y với mọi tập con rgω -đóng A của X
Giả sử A là tập con rgω-đóng của X và U là tập con mở chính quy của Y với điều kiện f(A) ⊆ U Vì f là R-ánh xạ, f⁻¹(U) là tập mở chính quy và A ⊆ f⁻¹(U) Do A là tập rgω-đóng, ta có clω(A) ⊆ f⁻¹(U), từ đó suy ra f(clω(A)) ⊆ U Với f là tiền ω-đóng, f(clω(A)) là tập ω-đóng và clω(f(clω(A))) = f(clω(A)) Cuối cùng, ta có clω(f(A)) ⊆ clω(f(clω(A))).
U Do đó f (A) là tập rg ω-đóng trongY
1.3.17 Định lý ([13]) Cho ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là song ánh, ro- bảo toàn và rgω-liên tục Khi đóf là ánh xạ rgω-không giải được.
Giả sử V là tập con rgω-đóng của Y và U là tập con mở chính quy của X với điều kiện f −1 (V ) ⊆ U Ta có V ⊆ f (U) và vì f là ánh xạ ro-bảo toàn, suy ra f (U) là tập mở chính quy của Y Do V là tập rgω-đóng, nên cl ω (V ) ⊆ f (U) và f −1 (cl ω (V )) ⊆ U Với f là rg ω-liên tục và cl ω (V ) là ω-đóng trong Y, ta kết luận f −1 (cl ω (V )) là tập con rgω-đóng của X, từ đó cl ω (f −1 (cl ω (V ))) ⊆ U Cuối cùng, ta có cl ω (f −1 (V )) ⊆ U, chứng minh rằng f −1 (V ) là tập con rgω-đóng của X, và do đó f là ánh xạ rgω-không giải được.
Định lý 1.3.18 khẳng định rằng ánh xạ f: (X, τ) → (Y, σ) là rg ω-đóng nếu và chỉ nếu với mọi tập con B của Y và mọi tập mở U chứa f −1(B), tồn tại một tập rgω-mở V của Y sao cho B ⊆ V và f −1(V) ⊆ U.
Giả sử f là ánh xạ rgω-đóng, B là tập con của Y và U là tập mở của X với điều kiện f−1(B) ⊆ U Khi đó, X − U là tập đóng trong X, dẫn đến f(X − U) là tập rgω-đóng trong Y Đặt V = Y − f(X − U), V trở thành tập rgω-mở và f−1(V) = f−1(Y − f(X − U)) = X − (X − U) = U Do đó, kết luận được đưa ra.
V là tập rg ω -mở chứa B sao cho f −1 (V ) ⊆ U
Ngược lại, giả sử rằngF là một tập đóng củaX Khi đó f −1 (Y −f (F )) ⊆
X − F và X − F là tập mở Từ giả thiết suy ra tồn tại một tập rgω -mở V của
Y sao cho Y − f (F ) ⊆ V và f −1 (V ) ⊆ X − F Do đó F ⊆ X − f −1 (V ) , kÐo theoY − V ⊆ f (F ) ⊆ f (X − f −1 (V )) ⊆ Y − V Suy ra f (F ) = Y − V là tập rgω -đóng Vậy f là rg ω -đóng.
Các tập ω -nửa đóng suy rộng chính quy 21
Tập ω -nửa đóng suy rộng chính quy 21 2.2 Các ánh xạ suy rộng trên tập ω -nửa đóng suy rộng chính quy 25
2.1.1 Định nghĩa Giả sử(X, τ )là một không gian tôpô vàAlà tập con của
(a) A được gọi là tập nửa mở (semi open) nếu tồn tại tập mở V sao cho
(b)Ađược gọi là tập nửa đóng (semi closed) nếuX − Alà tập nửa mở;
(c) A được gọi là ω -nửa mở ( ω-semi open) nếu tồn tại tập mở V sao cho
(d)Ađược gọi làω-nửa đóng (ω-semi closed ) nếuX − A là tập ω -nửa mở. Tập tất cả các tập ω-nửa mở củaX ký hiệu là ωSO(X )
Tập tất cả các tập ω-nửa đóng củaX ký hiệu là ωSC (X )
Hợp của tất cả các tậpω-nửa mở nằm trongAđược gọi làω -nửa phần trong (ω-semi interior) củaA ký hiệu là sint ω (A)
Giao của tất cả các tậpω-nửa đóng chứaAđược gọi làω-nửa bao đóng (ω-semi closure) củaA ký hiệu là scl ω (A)
Giao của tất cả các tập nửa đóng chứa A được gọi là nửa bao đóng (semi closure) củaA ký hiệu là scl(A)
2.1.2 Nhận xét (a) Mỗi tập mở là tậpω-nửa mở và mỗi tập ω -nửa mở là tập nửa mở;
(b) Hợp của họ tuỳ ý các tậpω-nửa mở là tậpω-nửa mở Do đósint ω (A) là tậpω -nửa mở;
(c) Giao của họ tùy ý các tập ω-nửa đóng là tập ω-nửa đóng Do đó scl ω (A) là tập ω -nửa đóng;
(e) Nếu A ⊂ B , thì scl ω (A) ⊂ scl ω (B) và sint ω (A) ⊂ sint ω (B) ;
(g) A là tập ω-nửa đóng khi và chỉ khiA = scl ω (A)
2.1.3 Định nghĩa ([2]) Tập conA của không gian tôpô(X, τ ) được gọi là ω-nửa đóng suy rộng (ω-generalized semi closed) và viết là ωgs-đóng nếu scl ω (A) ⊂ U, với mọi tập mởU mà A ⊂ U
Phần bù của tậpωgs-đóng được gọi là tậpω-nửa mở suy rộng (ω-generalized semi open) và viết làω gs-mở.
Tập tất cả các tậpω gs-đóng ( ωgs-mở) trongX được kí hiệuωGSC(X, τ ) (tương ứng,ωGSO(X, τ ) ).
2.1.4 Định nghĩa Tập conAcủa không gian tôpô(X, τ )được gọi làω -nửa đóng suy rộng chính quy (ω-semi regular generalized closed) nếuscl ω (A) ⊂
U, với mọi tập mở chính quy U mà A ⊂ U và viết là ω -srg-đóng.
Tập A được gọi là ω-nửa mở suy rộng chính quy (ω-semi regular gen- eralized open) nếuX − A là tập ω-nửa đóng chính quy suy rộng và viết là ω -srg-mở.
Tập A được gọi là nửa đóng suy rộng chính quy (semi-regular general- ized closed) nếuscl(A) ⊂ U, với mọi tập mở chính quyU mà A ⊂ U và viết là srg-đóng.
2.1.5 Mệnh đề (a) Mỗi tập đóng là tập ω gs-đóng;
(b) Mỗi tậpωgs-đóng là tập ω -srg-đóng.
Giả sử A là tập con đóng của không gian tôpô (X, τ) Khi đó, X − A là tập con mở của X, dẫn đến X − A là tập ω-nửa mở và A là tập ω-nửa đóng Do đó, ta có A = scl ω (A) Giả sử U là tập mở bất kỳ.
A ⊂ U Suy ra scl ω (A) ⊂ U Vậy A là tập ω gs-đóng.
Giả sử A là tập ω gs-đóng và U là một tập mở chính quy mà A thuộc U Do mỗi tập mở chính quy đều là tập mở và A là tập ω gs-đóng, ta suy ra rằng rcl ω (A) thuộc U Do đó, A được xác định là tập ω -srg-đóng.
2.1.6 Nhận xét Mỗi tập mở là tập ωgs-mở và mỗi tập ωgs-mở là tập ω - srg-mở.
2.1.7 Mệnh đề Mỗi tập ω-nửa đóng suy rộng chính quy là tập nửa đóng suy réng chÝnh quy.
Giả sử A ⊂ X là tập ω-nửa đóng suy rộng chính quy và U là tập mở chính quy mà A ⊂ U Khi đó, scl ω(A) ⊂ U Theo Nhận xét 2.1.2, ta có scl(A) ⊂ scl ω(A) Do đó, A là tập srg-đóng.
2.1.8 Định lý Giả sử Alà tập con của không gian tôpô (X, τ ) Khi đó A làω-srg-mở khi và chỉ khiF ⊂ sint ω (A)với mọi tập đóng chính quyF mà
Giả sử A là tập ω-nửa mở suy rộng chính quy và F là tập đóng chính quy bất kỳ với F ⊂ A Khi đó, X − A là tập ω-nửa đóng suy rộng chính quy, trong khi X − F là tập mở chính quy và X − A nằm trong X − F Từ đó, ta có scl ω (X − A) nằm trong X − F Vì scl ω (X − A) = X − sint ω (A), ta có thể suy ra kết quả mong muốn.
Để chứng minh rằng A là tập ω-srg-mở, ta cần chứng minh rằng X − A là tập ω-srg-đóng Giả sử U là tập mở chính quy mà X − A ⊂ U Khi đó, X − U sẽ là tập đóng chính quy và X − U ⊂ A Từ giả thiết, ta có X − U ⊂ sint ω (A), dẫn đến X − sint ω (A) ⊂ U Do đó, scl ω (X − A) ⊂ U, từ đó suy ra rằng X − A là tập ω-srg-đóng và A là tập ω-srg-mở.
2.1.9 Định lý Giả sử A là tập ω-srg-đóng của không gian tôpô (X, τ ) Khi đóscl ω (A) − Akhông chứa tập con đóng chính quy khác rỗng nào của
Giả sử F là tập con đóng chính quy của không gian tôpô (X, τ) với F ⊂ scl ω (A) − A Khi đó, ta có F ⊂ X − A, dẫn đến A ⊂ X − F Vì A là tập ω-srg-đóng và X − F là tập mở chính quy, nên scl ω (A) ⊂ X − F Do đó, F ⊂ X − scl ω (A), kéo theo F ⊂ (X − scl ω (A)) ∩ scl ω (A) = φ, từ đó suy ra F = φ.
2.1.10 Hệ quả Nếu A là tập ω-srg-đóng của không gian tôpô (X, τ ) , thì scl ω (A) − A là tập ω -srg-mở.
Chứng minh Giả sửA là tập ω-srg-đóng của không gian tôpô(X, τ ) và
F là tập đóng chính quy với F ⊂ scl ω (A) − A Theo Định lý 2.1.9, ta có F = φ, dẫn đến F ⊂ sint ω (scl ω (A) − A) Nhờ Định lý 2.1.8, ta suy ra rằng scl ω (A) − A là tập ω-srg-mở.
2.2 Các ánh xạ suy rộng trên tậpω-nửa đóng suy rộng chÝnh quy
2.2.1 Định nghĩa (a) ánh xạf : (X, τ ) −→ (Y, σ)được gọi là ω -nửa liên tục suy rộng (ω-semi generalized continuous) và viết tắt là ωgs-liên tục nếu với mỗi tập đóngF trong (Y, σ) ta có f −1 (F ) là tập ωgs-đóng trong(X, τ ) ; (b) ánh xạ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) được gọi là ω-nửa liên tục suy rộng chính quy (ω-semi regular generalized continuous) và viết tắt là ω -srg-liên tục nếu với mỗi tập đóngF trong (Y, σ) ta có f −1 (F ) là tập ω-srg-đóng trong (X, τ )
2.2.2 Định lý Giả sử f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là ánh xạ Khi đó các khẳng định sau là tương đương
(a) f là ánh xạ ω-srg-liên tục;
(b) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong(Y, σ) là tập ω-srg-mở trong (X, τ )
Chứng minh (a) ⇒ (b) Giả sử Glà tập mở bất kỳ trong (Y, σ) Khi đó
Trong không gian (Y, σ), tập Y − G là tập ω-srg-đóng, và từ đó suy ra f −1 (Y − G) = X − f −1 (G) cũng là tập ω-srg-đóng trong (X, τ) Điều này cho thấy f −1 (G) là tập ω-srg-mở trong (X, τ) Ngược lại, nếu F là tập đóng trong (Y, σ), thì Y − F là tập mở trong (Y, σ), dẫn đến f −1 (Y − F) là tập ω-srg-mở trong (X, τ) Do đó, X − f −1 (F) cũng là tập ω-srg-mở trong (X, τ), từ đó kết luận rằng f −1 (F) là tập ω-srg-đóng trong (X, τ) Như vậy, ánh xạ f là ω-srg-liên tục.
2.2.3 Định lý Nếu f : (X, τ ) −→ (Y, σ) là ánh xạ ω-srg-liên tục và h : (Y, σ) −→ (Z, δ) là ánh xạ liên tục thì h o f : (X, τ ) −→ (Z, δ) là ánh xạω-srg-liên tục.
Giả sử E là một tập đóng trong không gian (Z, δ) Do ánh xạ h liên tục, nên h^(-1)(E) cũng là tập đóng trong (Y, σ) Hơn nữa, vì f là ánh xạ ω-srg-liên tục, nên f^(-1)(h^(-1)(E)) là tập ω-srg-đóng trong (X, τ) Ta có (h o f)^(-1)(E) = f^(-1)(h^(-1)(E)), do đó (h o f)^(-1)(E) là tập ω-srg-đóng trong (X, τ) Kết luận, ánh xạ h o f là ánh xạ ω-srg-liên tục.
2.2.4 Định nghĩa (a) Không gian tôpô(X, τ )được gọi làω - T 1 ∗
2 không gian nếu mọi tậpω-srg-đóng là tập đóng;
(b) Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là ω - T srg không gian nếu mọi tập ω-srg-đóng là tậpω gs-đóng.
2.2.5 Định lý Giả sử (X, τ ) và (Z, δ) là các không gian tôpô, (Y, σ) là ω - T 1 ∗
2 không gian Khi đó nếuf : (X, τ ) −→ (Y, σ) và h : (Y, σ) −→ (Z, δ) là các ánh xạ ω-srg-liên tục thì h o f : (X, τ ) −→ (Z, δ) cũng là ánh xạ ω-srg-liên tục.
Chứng minh Giả sửF là tập đóng bất kỳ trong(Z, δ) Do h là ánh xạ ω - srg-liên tục nênh −1 (F ) là tập ω-srg-đóng trong(Y, σ) Lại do (Y, σ) là ω - T 1 ∗
2 không gian nênh −1 (F ) là tập đóng trong (Y, σ) Vì thế, nhờ f là ω -srg-liên tục ta suy raf −1 (h −1 (F )) là tập ω-srg-đóng trong(X, τ ) Vậy h o f là ánh xạ ω-srg-liên tục.
2.2.6 Định lý Giả sử(X, τ ) là ω - T 1 ∗
Hai không gian topo (X, τ) và (Y, σ) được gọi là ánh xạ đóng và ω-srg-liên tục nếu f: (X, τ) → (Y, σ) thỏa mãn điều kiện này Nếu h: (Y, σ) → (Z, δ) là một ánh xạ bất kỳ, thì tổ hợp h o f: (X, τ) → (Z, δ) sẽ là ánh xạ ω-srg-liên tục nếu và chỉ nếu h o f là ánh xạ liên tục.
Giả sử f là ánh xạ đóng và ω-srg-liên tục, h là ánh xạ ω-srg-liên tục, và A là tập đóng trong (Z, δ) Khi đó, (h o f) −1(A) là tập ω-srg-đóng trong (X, τ), dẫn đến f −1(h −1(A)) cũng là tập ω-srg-đóng trong (X, τ).
2 không gian nênf −1 (h −1 (A))là tập đóng trong (X, τ ) Vì vậyf (f −1 (h −1 (A)))là tập đóng trong (Y, σ) , kéo theo h −1 (A) là tập đóng trong(Y, σ) Vậy h là ánh xạ liên tục.
Nếu ánh xạ \( f \) là liên tục, thì do \( f \) là ánh xạ \( \omega \)-srg-liên tục và theo Định lý 2.2.3, ta có thể kết luận rằng \( f \) cũng là ánh xạ \( \omega \)-srg-liên tục.
2.2.7 Định nghĩa ([12]) ánh xạf : (X, τ ) −→ (Y, σ) được gọi là liên tục mạnh (strongly continuous) nếu với mỗi tập conA của (Y, σ) ta có f −1 (A) là tập mở và đóng trong(X, τ )
2.2.8 Định nghĩa (a) ánh xạf : (X, τ ) −→ (Y, σ)được gọi là ω -nửa liên tục mạnh suy rộng chính quy (ω-semi regular generalized strongly contin- uous) và viết tắt làω-srg-liên tục mạnh nếu với mỗi tập ω -srg-mở A trong (Y, σ) ta có f −1 (A)là tập mở trong(X, τ ) ;