TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TỐN HỌC ĐINH BÍCH YẾN VỀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CẶP ĐÔI TRONG KHƠNG GIAN 2-MÊTRIC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH: CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN VINH, 2012 Mục lục Không gian 2-mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian 2-mêtric 5 Về định lý điểm bất động cặp đơi khơng gian 2-mêtric có thứ tự 13 2.1 Các định lí điểm bất động cặp đơi cho ánh xạ khơng gian mêtric có thứ tự 13 2.2 Định lý điểm bất động cặp đôi cho ánh xạ không gian 2-mêtric có thứ tự 18 Kết luận 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Không gian 2-mêtric Ghaler xây dựng năm 1963 (xem [6]), ví dụ 2-mêtric diện tích tam giác nối ba điểm mặt phẳng R2 Khơng gian 2-mêtric khơng có cấu trúc tơpơ, hội tụ dãy xây dựng tương tự khơng gian mêtric Từ đó, người ta nghiên cứu nhiều tính chất giải tích phong phú không gian 2-mêtric Ngày nay, lý thuyết khơng gian 2-mêtric phát triển hồn thiện có nhiều ứng dụng số lĩnh vực tốn giải tích (xem [10]) Một hướng nghiên cứu nhận nhiều quan tâm nhà toán học định lý điểm bất động ánh xạ không gian 2-mêtric (xem [5],[7], [9], [11]) Các định lý điểm bất động ánh xạ không gian 2-mêtric hầu hết phát triển tương tự từ kết có khơng gian mêtric Năm 2006 G.T Bhaskar and V Lakshmikantham (xem [3]) đưa khái niệm điểm bất động cặp đôi chứng minh tồn loại điểm số lớp ánh xạ khơng gian mêtric có thứ tự Các vấn đề tồn điểm bất động cặp đôi ánh xạ nhận quan tâm nhiều chuyên gia giải tích hàm tính triển vọng ứng dụng chúng (xem [10]) Các vấn đề tồn điểm bất động cặp đôi ánh xạ không gian 2-mêtric chưa nghiên cứu thấu đáo Với mục địch tập dượt nghiên cứu khoa học nghiên cứu tồn điểm cặp đơi khơng gian 2-mêtric có thứ tự, lựa chọn đề tài sau cho khóa luận: Về định lý điểm bất động cặp đơi khơng gian 2-mêtric Nội dung khóa luận trình bày chương Chương Khơng gian 2-mêtric Nội dung chương trình bày kiến thức sở không gian mêtric, không gian 2-mêtric Chương Về định lý điểm bất động cặp đôi không gian 2-mêtric Nội dung chương trình bày số kết định lý điểm bất động cặp đôi ánh xạ khơng gian mêtric có thứ tự khơng gian 2-mêtric thứ tự Trong mục 2.1 chúng tơi trình bày số định lý tồn điểm cặp đôi ánh xạ không gian mêtric G T Bhaskar V Lakshmilantham Mục 2.2 đưa số định lý điểm bất động cặp đôi ánh xạ không gian 2-mêtric thứ tự Khóa luận thực Khoa Tốn học - Trường Đại học Vinh hướng dẫn chu đáo, tận tình Thầy giáo TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến với Thầy Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy giáo khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới người thân, bạn sinh viên 49A - Toán tất bạn bè động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hồn thành khóa luận Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình tác giả “sát cánh” bên tác giả để tác giả yên tâm học tập Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy góp ý bạn đọc để khóa luận hồn thiện Nghệ An, tháng năm 2012 Đinh Bích Yến Chương Khơng gian 2-mêtric Nội dung chương trình bày kiến thức sở không gian mêtric, không gian 2-mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày kiến thức sở khơng gian mêtric tập thứ tự 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Hàm d : X × X → R gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau: d(x, y) ≥ 0, với x, y ∈ X; d(x, y) = x = y d(x, y) = d(y, x); với x, y thuộc X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z); với x, y, z thuộc X Khi (X, d) gọi khơng gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ∈ X gọi hội tụ tới x ∈ X kí hiệu xn → x (x gọi giới hạn dãy {xn }), lim d(xn , x) = n→∞ Trong không gian mêtric giới hạn dãy có 1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ∈ X gọi dãy Cauchy lim d(xm , xn ) = n,m→∞ Không gian (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ X 1.1.4 Định nghĩa Cho (X, d) (Y, ρ) không gian mêtric, ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục với dãy {xn } ∈ X mà xn → x f (xn ) → f (x) Ánh xạ f gọi liên tục với ε > tồn δ = δ(ε), cho ρ(f x, f y) < ε, với x, y ∈ X, d(x, y) < δ Cho ánh xạ f : X → X , điểm a gọi điểm bất động f f a = a 1.1.5 Định nghĩa Một tập thứ tự tập X khác rỗng quan hệ hai ngơi “ ≤”; kí hiệu (X, ≤) cho với a, b, c ∈ X ta có a ≤ a; (tính phản xạ) Nếu a ≤ b b ≤ a a = b; (Tính phản đối xứng) Nếu a ≤ b b ≤ c a ≤ c (Tính bắc cầu) 1.2 Khơng gian 2-mêtric Mục trình bày kiến thức sở không gian 2- mêtric 1.2.1 Định nghĩa Cho X tập gồm điểm Một 2-mêtric X ánh xạ: ρ:X ×X ×X →R thỏa mãn điều kiện sau: Với cặp điểm a, b ∈ X mà a = b, tồn điểm c thuộc X thỏa mãn ρ(a, b, c) = Nếu có điểm ρ(a, b, c) = ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b); ∀a, b, c ∈ X ρ(a, b, c) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(d, b, c), ∀a, b, c, d ∈ X Khi X gọi không gian 2-mêtric 1.2.2 Chú ý Dễ dàng thấy ρ không âm Thật vậy, cho a = c ta ρ(a, b, a) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, a, d) + ρ(d, b, a), ∀a, b, d ∈ X ⇔ ≤ 2ρ(a, b, d); ∀a, b, d ∈ X ⇔ ≤ ρ(a, b, d); ∀a, b, d ∈ X 1.2.3 Ví dụ Cho X = (a, b, c, d) Ta xác định ánh xạ ρ : X × X × X → R sau ρ(a, b, c) = 1, ρ(a, c, d) = 4, ρ(b, c, d) = 2, ρ(a, b, d) = ρ(x, y, z) = x, y, z có phần tử Khi (X, ρ) khơng gian 2-mêtric Thật vậy, X tập hợp nhiều điểm thỏa mãn: Với cặp điểm (x, y) ∈ X mà x = y , tồn điểm z thuộc X thỏa mãn: ρ(x, y, z) = Mặt khác ρ(x, y, z) = 0, ∀x, y, z ∈ X (do không tồn hai điểm nhau) ρ(x, y, z) = ρ(y, z, x) = ρ(z, x, y); ∀x, y, z ∈ X Bất đẳng thức ρ(x, y, z) ≤ ρ(x, y, t) + ρ(x, z, t) + ρ(y, z, t) ln ∀x, y, z, t ∈ X 1.2.4 Ví dụ (R2 , ρ) không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) diện tích tam giác tạo đỉnh x, y, z ∈ R2 Thật vậy, xét ánh xạ: ρ : R2 × R2 × R2 → R (A, B, C) → SABC Lấy (A, B) ∈ R2 × R2 hai điểm phân biệt Khi đó: ∃C ∈ R2 cho A, B, C khơng thẳng hàng thì: ρ(A, B, C) = SABC Khi có điểm A, B, C trùng biến nên SABC = Tức ρ(A, B, C) = ABC suy Rõ ràng ta ln có: SABC = SBCA = SCAB , ∀(A, B, C) ∈ R2 × R2 Lấy (A, B, C) ∈ R2 × R2 Trường hợp : Nếu SABC = hiển nhiên = SABC ≤ SABD + SACD + SBCD , ∀D ∈ R2 Trường hợp2 : Nếu SABC > 0: Lấy D bất kỳ, D ∈ R2 , có khả sau xảy ra: KN1: D không nằm miền tam giác ABC (D nằm miền nằm cạnh, Hình 1) SABC = SABD + SACD + SBCD KN2: D nằm miền (1),(3),(5) Hình 2.Khơng tính tổng qt, giả sử D ∈ miền (1) Khi SABC = SCBD − SCDA − SBAD < SABD + SACD + SBCD KN3: D nằm miền (2), (4), (6), biên Hình Khơng tính tổng qt, giả sử D ∈ miền (2) Khi SABC = SABD + SACD − SBCD < SABD + SACD + SBCD Vậy (R2 , ρ) không gian 2-mêtric 1.2.5 Định nghĩa Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ đến x ∈ X lim ρ(xn , x, a) = 0, ∀a ∈ X n→∞ 1.2.6 Mệnh đề Cho (X, ρ) khơng gian 2-mêtric Khi Nếu dãy {xn } hội tụ tới x ∈ X xn ⊂ X hội tụ tới y x = y Nếu dãy {xn } hội tụ tới x ∈ X dãy hội tụ tới x Chứng minh Giả sử x = y Khi đó, tồn z ∈ X cho ρ(x, y, z) = Mặt khác, ta có ρ(x, y, z) ≤ ρ(xn , x, z) + ρ(xn , y, z) + ρ(xn , x, y), với n = 0, 1, 2, Vì xn hội tụ tới x xn hội tụ tới y nên lim ρ(xn , x, z) = lim ρ(xn , y, z) = lim ρ(xn , x, y) = n→∞ n→∞ n→∞ Do ρ(x, y, z) = Ta nhận mâu thuẫn Từ suy điều phải chứng minh Giả sử dãy {xn } hội tụ tới x không gian 2-mêtric (X, ρ) {xnk } hội tụ tới x không gian 2-mêtric (X, ρ) {xnk } ⊂ {xn } Ta chứng minh xnk → x k → ∞ Thật vậy, {xnk } dãy dãy {xn } nên ta chọn cách đánh số cho nk > k, ∀k ∈ N Vì xn → x nên: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ρ(xk , x, a) < ε, ∀k > n0 Khi đó, với nk > k, ∀k ∈ N ta có ρ(xnk , x, a) < ε, ∀k > n0 , ∀a ∈ X Từ suy lim ρ(xnk , x, a) = 0, ∀a ∈ X n→∞ Tức ta có xnk → x ∈ X Như vậy, tương tự không gian mêtric, giới hạn dãy khơng gian 2-mêtric có 1.2.7 Mệnh đề Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric Nếu {xn } ⊂ X hội tụ tới x ρ(xn , a, b) → ρ(x, a, b) n → ∞, với a, b ∈ X Chứng minh Giả sử xn hội tụ tới x Khi ρ(xn , x, a) → n → ∞ với a ∈ X Với a, b ∈ X ta có ρ(xn , a, b) ≤ ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) + ρ(x, a, b) ⇔ ρ(xn , a, b) − ρ(x, a, b) ≤ ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) (1.1) Tương tự ta có ρ(x, a, b) ≤ ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) + ρ(xn , a, b) ⇔ −ρ(xn , x, a) − ρ(xn , x, b) ≤ ρ(xn , a, b) − ρ(x, a, b) (1.2) Từ (1.1) (1.2) suy |ρ(xn , a, b) − ρ(x, a, b)| ≤ ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) Cho n → ∞ ta nhận điều phải chứng minh 1.2.8 Định nghĩa Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim ρ(xm , xn , a) = 0, ∀a ∈ X n,m→∞ 15 Giả sử (2.1) (2.2) đúng, F n+1 (x0 , y0 ) ≥ F n (x0 , y0 ) F n+1 (y0 , x0 ) ≤ F n (y0 , x0 ), ta có d(F n+2 (x0 , y0 ), F n+1 (x0 , y0 )) = d(F (F n+1 (x0 , y0 ), F n+1 (y0 , x0 )), F (F n (x0 , y0 ), F n (y0 , x0 ))) k ≤ [d(F n+1 (x0 , y0 ), F n (x0 , y0 )) + d(F n+1 (y0 , x0 ), F n (y0 , x0 ))] k kn ≤ · · [d(F (x0 , y0 ), x0 ) + d(F (y0 , x0 ), y0 )] 2 n+1 k ≤ [d(F (x0 , y0 ), x0 ) + d(F (y0 , x0 ), y0 )] Tương tự, d(F n+2 (y0 , x0 ), F n+1 (y0 , x0 )) = d(F (F n+1 (y0 , x0 ), F n+1 (x0 , y0 )), F (F n (y0 , x0 ), F n (x0 , y0 )) k ≤ [d(F n+1 (y0 , x0 ), F n (y0 , x0 )) + d(F n+1 (x0 , y0 ), F n (x0 , y0 ))] kn k ≤ · · [d(F (y0 , x0 ), y0 ) + d(F (x0 , y0 ), x0 )] 2 n+1 k [d(F (y0 , x0 ), y0 ) + d(F (x0 , y0 ), x0 )] ≤ Như vậy, (2.1) (2.2) chứng minh Từ ta suy {F n (x0 , y0 )} {F n (y0 , x0 )} dãy Cauchy X Thật vậy, với m > n, từ tính chất mêtric suy d(F m (x0 , y0 ), F n (y0 , x0 )) ≤ d(F m (x0 , y0 ), F m−1 (x0 , y0 )) + · · · + d(F n+1 (x0 , y0 ), F n (x0 , y0 )) (k m−1 + · · · + k n ) ≤ [d(F (x0 , y0 ), x0 ) + d(F (y0 , x0 ), y0 )] (k n − k m ) = [d(F (x0 , y0 ), x0 ) + d(F (y0 , x0 ), y0 )] 2(1 − k) kn < [d(F (x0 , y0 ), x0 ) + d(F (y0 , x0 ), y0 )] 2(1 − k) Vậy {F n (x0 , y0 )} dãy Cauchy X Tương tự {F n (y0 , x0 )} dãy Cauchy X 16 Vì (X, d) khơng gian mêtric đầy đủ nên tồn x, y ∈ X cho lim F n (x0 , y0 ) = x, n→∞ lim F m (y0 , x0 ) = y m→∞ Cuối ta chứng minh F (x, y) = x F (y, x) = y Thật vậy, với ε > 0; F liên tục (x, y), cho 2ε > 0, tồn δ > cho d(x, u) + d(y, v) < δ d(F (x, y), F (u, v)) < 2ε Do {F n (x0 , y0 )} → x {F n (y0 , x0 )} → y , chọn η = min( 2ε , 2δ ), tồn n0 , m0 cho, với n ≥ n0 , m ≥ m0 , d(F n (x0 , y0 ), x) < η d(F m (y0 , x0 ), y) < η Với n ∈ N, n ≥ max{n0 , m0 }, d(F (x, y), x) ≤ d(F (x, y), F n+1 (x0 , y0 ) + d(F n+1 (x0 , y0 ), x) = d(F (x, y), F (F n (x0 , y0 ), F n (y0 , x0 ))) + d(F n+1 (x0 , y0 ), x) ε < + η ≤ ε Từ suy F (x, y) = x Chứng minh tương tự ta có F (y, x) = y Trong Định lý 2.1.5 ánh xạ F không thiết phải liên tục mà ta bổ sung thêm tính chất cho khơng gian mêtric X kết định lý 2.1.6 Định lý (Bhaskar and Lakshmikantham) Cho (X, ≤) tập thứ tự, d mêtric X cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, X có tính chất sau: Nếu dãy khơng giảm {xn } → x xn ≤ x, ∀n Nếu dãy không tăng {yn } → y y ≤ yn , ∀n Cho F : X × X → X ánh xạ có tính chất đơn điệu pha trộn (mixed monotone) X Giả sử tồn số k ∈ [0, 1) cho k d(F (x, y), F (u, v)) ≤ [d(x, u)+d(y, v)], với Nếu tồn x0 , y0 ∈ X mà x0 ≤ F (x0 , y0 ) y ≥ F (x0 , y0 ) x ≥ u, y ≤ v 17 tồn x, y ∈ X cho x = F (x, y) y = F (y, x) Chứng minh Từ kết chứng minh Định lý 2.1.1, ta cần chứng minh F (x, y) = x F (y, x) = y Thật Lấy ε bất kì, ε > Do {F n (x0 , y0 )} → x {F n (y0 , x0 )} → y, tồn n1 ∈ N, n2 ∈ N cho, với n ≥ n1 m ≥ n2 , ta có ε ε d(F m (y0 , x0 ), y) < d(F n (x0 , y0 ), x) < ; 3 Với n ∈ N, n ≥ max{n1 , n2 } F n (x0 , y0 ) ≤ x, F n (y0 , x0 ) ≥ y , ta có d(F (x, y), x) ≤ d(F (x, y), F n+1 (x0 , y0 )) + d(F n+1 (x0 , y0 ), x) = d(F (x, y), F (F n (x0 , y0 ), F n (y0 , x0 ))) + d(F n+1 (x0 , y0 ), x) k ≤ [d(x, F n (x0 , y0 )) + d(y, F n (y0 , x0 ))] + d(F n+1 (x0 , y0 ), x) ≤ d(x, F n (x0 , y0 )) + d(y, F n (y0 , x0 )) + d(F n+1 (x0 , y0 ), x) < ε Từ suy F (x, y) = x Chứng minh tương tự ta có d(F (y, x), y) < ε, F (y, x) = y 2.2 Định lý điểm bất động cặp đôi cho ánh xạ không gian 2-mêtric có thứ tự Trong mục này, chúng tơi xây dựng định lý điểm bất động cặp đôi cho ánh xạ khơng gian 2-mêtric có thứ tự Không gian 2-mêtric X gọi không gian 2-mêtric có thứ tự X tập thứ tự Không gian (R2 , ρ) giới thiệu chương trước khơng gian 2-mêtric thứ tự, quan hệ thứ tự R2 cho (x, y) ≤ (u, v) x ≤ u y ≤ v 2.2.1 Định lý Cho (X, ≤) tập thứ tự, ρ 2-mêtric X cho (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ Cho F : X × X → X 18 ánh xạ liên tục có tính chất đơn điệu pha trộn X Giả sử tồn số k ∈ [0, 1) cho k ρ(F (x, y), F (u, v), a) ≤ [ρ(x, u, a) + ρ(y, v, a)] với x ≥ u y ≤ v với a thuộc X Khi đó, tồn x0 , y0 thuộc X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ); y0 ≥ F (y0 , x0 ) tồn x, y thuộc X cho x = F (x, y) y = F (y, x) Chứng minh Từ x0 ≤ F (x0 , y0 ) := x1 y0 ≥ F (y0 , x0 ) := y1 Đặt x2 = F (x1 , y1 ) y2 = F (y1 , x1 ) Ta kí hiệu F (x0 , y0 ) = F (F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 )) = F (x1 , y1 ) = x2 F (y0 , x0 ) = F (F (y0 , x0 ), F (x0 , y0 )) = F (y1 , x1 ) = y2 Do F có tính chất đơn điệu pha trộn (mixed monotone) ta có x2 = F (x0 , y0 ) = F (x1 , y1 ) ≥ F (x0 , y0 ) = x1 y2 = F (y0 , x0 ) = F (y1 , x1 ) ≤ F (y0 , x0 ) = y1 Hơn nữa, với n = 1, 2, , ta có xn+1 = F n+1 (x0 , y0 ) = F (F n (x0 , y0 ), F n (y0 , x0 ) yn+1 = F n+1 (y0 , x0 ) = F (F n (y0 , x0 ), F n (x0 , y0 )) Ta dễ thấy x0 ≤ F (x0 , y0 ) = x1 ≤ F (x0 , y0 ) = x2 ≤ · · · ≤ F n+1 (x0 , y0 ) ≤ y0 ≥ F (y0 , x0 ) = y1 ≥ F (y0 , x0 ) = y2 ≥ · · · ≥ F n+1 (y0 , x0 ) ≥ Ta chứng minh, ∀n ∈ N; ∀a ∈ X ; ρ(F n+1 ρ(F n+1 kn (x0 , y0 ), F (x0 , y0 ), a) ≤ [ρ(F (x0 , y0 ), x0 , a)+ρ(F (y0 , x0 ), y0 , a)], (2.3) n kn (y0 , x0 ), F (y0 , x0 ), a) ≤ [ρ(F (y0 , x0 ), y0 , a)+ρ(F (x0 , y0 ), x0 , a)], (2.4) n 19 Thật vậy, với n = 1, F (x0 , y0 ) ≥ x0 F (y0 , x0 ) ≤ y0 , ta có ρ(F (x0 , y0 ), F (x0 , y0 ), a) = ρ(F (F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 )), F (x0 , y0 ), a) k ≤ [ρ(F (x0 , y0 ), x0 , a) + ρ(F (y0 , x0 ), y0 , a)] Tương tự, ρ(F (y0 , x0 ), F (y0 , x0 ), a) = ρ(F (F (y0 , x0 ), F (x0 , y0 )), F (y0 , x0 ), a) k ≤ [ρ(F (y0 , x0 ), y0 , a) + ρ(F (x0 , y0 ), x0 , a)] Giả sử (2.3) (2.4) đúng, F n+1 (x0 , y0 ) ≥ F n (x0 , y0 ) F n+1 (y0 , x0 ) ≤ F n (y0 , x0 ), ta có, với a ∈ X ρ(F n+2 (x0 , y0 ), F n+1 (x0 , y0 ), a) = ρ(F (F n+1 (x0 , y0 ), F n+1 (y0 , x0 )), F (F n (x0 , y0 ), F n (y0 , x0 )), a) k ≤ [ρ(F n+1 (x0 , y0 ), F n (x0 , y0 ), a) + ρ(F n+1 (y0 , x0 ), F n (y0 , x0 ), a)] k kn ≤ · · [ρ(F (x0 , y0 ), x0 , a) + ρ(F (y0 , x0 ), y0 , a)] 2 n+1 k ≤ [ρ(F (x0 , y0 ), x0 , a) + ρ(F (y0 , x0 ), y0 , a)] Tương tự, với a ∈ X ρ(F n+2 (y0 , x0 ), F n+1 (y0 , x0 ), a) = ρ(F (F n+1 (y0 , x0 ), F n+1 (x0 , y0 )), F (F n (y0 , x0 ), F n (x0 , y0 )), a) kn k ≤ · · [ρ(F (y0 , x0 ), y0 , a) + ρ(F (x0 , y0 ), x0 , a)] 2 n+1 k ≤ [ρ(F (y0 , x0 ), y0 , a) + ρ(F (x0 , y0 ), x0 , a)] Như vậy, (2.3) (2.4) chứng minh Với m > n ta có ρ(F m (x0 , y0 ), F n (x0 , y0 ), a) m−1 ρ(F l (x0 , y0 ), F l+1 (x0 , y0 ), a) ≤ l=n m−2 ρ(F l (x0 , y0 ), F l+1 (x0 , y0 ), F m (x0 , y0 )) + l=n 20 Áp dụng (2.3) với a = F m (x0 , y0 ) ta nhận ρ(F l (x0 , y0 ), F l+1 (x0 , y0 ), F m (x0 , y0 )) kl ≤ [ρ(F (x0 , y0 ), x0 , F m (x0 , y0 )) + ρ(F (y0 , x0 ), y0 , F m (x0 , y0 ))] Từ suy ρ(F m (x0 , y0 ), F n (x0 , y0 ), a) m−1 ≤ l=n m−2 + l=n kl [ρ(F (x0 , y0 ), x0 , a) + ρ(F (y0 , x0 ), y0 , a)] kl [ρ(F (x0 , y0 ), x0 , F m (x0 , y0 )) + ρ(F (y0 , x0 ), y0 , F m (x0 , y0 ))] Vì k ∈ [0, 1) nên từ bất đẳng thức suy lim ρ(F m (x0 , y0 ), F n (x0 , y0 ), a) = m,n→∞ với a ∈ X Do {F n (x0 , y0 )} dãy Cauchy X Tương tự {F n (y0 , x0 )} dãy Cauchy X Vì (X, ρ) khơng gian 2-mêtric đầy đủ, nên tồn x, y ∈ X cho lim F n (x0 , y0 ) = x n→∞ lim F m (y0 , x0 ) = y m→∞ Do F liên tục, ta có x = lim F n (x0 , y0 ) n→∞ = lim F (F n−1 (x0 , y0 ), F n−1 (y0 , x0 )) n→∞ = F ( lim F n−1 (x0 , y0 ), lim F n−1 (y0 , x0 )) = F (x, y) n→∞ n→∞ Vậy F (x, y) = x Hồn tồn tương tự ta có F (y, x) = y Tính liên tục ánh xạ F định lý thay tính chất không gian X 2.2.2 Định lý Giả sử F thoả mãn giả thiết Định lý 2.2.1 ngoại trừ tính liên tục Giả sử X có tính chất sau: 21 i) Nếu có dãy khơng giảm xn → x xn ≤ x; ∀n ii) Nếu có dãy khơng tăng yn → y yn ≥ y; ∀n Khi F có điểm bất động cặp đôi Chứng minh Ta cần chứng minh, F (x, y) = x F (y, x) = y Từ giả thiết F n (x0 , y0 ) ≤ x F n (y0 , x0 ) ≥ y , với a ∈ X ρ(F (x, y), F n+1 (x0 , y0 ), a) = ρ(F (x, y), F (F n (x0 , y0 ), F n (y0 , x0 )), a) k ≤ [ρ(x, F n (x0 , y0 ), a) + ρ(y, F n (y0 , x0 ), a)] Khi n → ∞, ta có ρ(F (x, y), x, a) ≤ hay F (x, y) = x Tương tự, F (y, x) = y Sau dạng mở rộng Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.2 2.2.3 Định lý Cho (X, ≤) tập thứ tự, ρ 2-mêtric X cho (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ Cho F : X × X → X ánh xạ có tính chất đơn điệu pha trộn (mixed monotone) X cho tồn x0 , y0 thuộc X mà x0 ≤ F (x0 , y0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 ), giả sử tồn số thực không âm a1 , a2 , a1 + a2 < cho ρ(F (x, y), F (u, v), a) ≤ a1 ρ(x, u, a) + a2 ρ(y, v, a)] với x, y, u, v, a ∈ X cho x ≥ u y ≤ v Nếu F liên tục, X có tính chất sau: i) Nếu có dãy khơng giảm xn → x xn ≤ x; ∀n ii) Nếu có dãy khơng tăng yn → y yn ≥ y; ∀n tồn x, y thuộc X cho x = F (x, y) y = F (y, x) Chứng minh Từ x0 ≤ F (x0 , y0 ) := x1 y0 ≥ F (y0 , x0 ) := y1 Đặt x2 = F (x1 , y1 ) y2 = F (y1 , x1 ) ; Ta kí hiệu F (x0 , y0 ) = F (F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 )) = F (x1 , y1 ) := x2 F (y0 , x0 ) = F (F (y0 , x0 ), F (x0 , y0 )) = F (y1 , x1 ) := y2 22 Do F có tính chất đơn điệu pha trộn (mixed monotone) ta có x2 = F (x0 , y0 ) = F (x1 , y1 ) ≥ F (x0 , y0 ) = x1 y2 = F (y0 , x0 ) = F (y1 , x1 ) ≤ F (y0 , x0 ) = y1 Hơn nữa, với n = 1, 2, , ta có xn+1 = F n+1 (x0 , y0 ) = F (F n (x0 , y0 ), F n (x0 , y0 )) yn+1 = F n+1 (y0 , x0 ) = F (F n (y0 , x0 ), F n (y0 , x0 )) Ta dễ thấy x0 ≤ F (x0 , y0 ) = x1 ≤ F (x0 , y0 ) = x2 ≤ · · · ≤ F n+1 (x0 , y0 ) ≤ y0 ≥ F (y0 , x0 ) = y1 ≥ F (y0 , x0 ) = y2 ≥ · · · ≥ F n+1 (y0 , x0 ) ≥ Với xn ≥ xn−1 yn ≤ yn−1 ρ(F (xn , yn ), F (xn−1 , yn−1 ), a) ≤ a1 ρ(xn , xn−1 , a) + a2 ρ(yn , yn−1 , a) ⇔ ρ(xn+1 , xn , a) ≤ a1 ρ(xn , xn−1 , a) + a2 ρ(yn , yn−1 , a) (2.5) Tương tự, với yn−1 ≥ yn xn−1 ≤ xn ρ(F (yn−1 , xn−1 ), F (yn , xn ), a) ≤ a1 ρ(yn−1 , yn , a) + a2 ρ(xn−1 , xn , a) ⇔ ρ(yn , yn+1 , a) ≤ a1 ρ(yn−1 , yn , a) + a2 ρ(xn−1 , xn , a) (2.6) Cộng theo vế (2.5) (2.6) ρ(xn+1 , xn , a)+ρ(yn+1 , yn , a) ≤ (a1 +a2 )[ρ(xn , xn−1 , a)+ρ(yn , yn−1 , a)] Đặt ρn = ρ(xn+1 , xn , a) + ρ(yn+1 , yn , a) ω = a1 + a2 < Ta có: ≤ ρn ≤ ωρn−1 ≤ ω ρn−2 · · · ≤ ω n ρ0 Do ρn ≤ ω n ρ0 Với m > n ta có ρ(xm , xn , a) + ρ(ym , yn , a) m−1 ≤ [ρ(xk , xk+1 , a) + ρ(yk , yk+1 , a)] k=n m−2 + [ρ(xk , xk+1 , xm ) + ρ(yk , yk+1 , ym )] k=n (2.7) 23 Áp dụng (2.7) với a = xm ta nhận ρ(xk , xk+1 , xm ) ≤ ω k ρ0 Áp dụng (2.7) với a = ym ta nhận ρ(yk , yk+1 , ym ) ≤ ω k ρ0 Từ suy m−1 m−2 k ρ(xm , xn , a) + ρ(ym , yn , a) ≤ ω k ρ0 ω ρ0 + k=n k=n Vì ≤ ω < nên từ bất đẳng thức suy lim [ρ(xm , xn , a) + ρ(ym , yn , a)] = m,n→∞ với a ∈ X Hay lim ρ(xm , xn , a) = m,n→∞ lim ρ(ym , yn , a)] = m,n→∞ với a ∈ X Do {xm } {ym } dãy Cauchy X Vì X không gian 2-mêtric đầy đủ nên ∃x, y ∈ X cho lim xn = x n→∞ lim yn = y n→∞ Giả sử F liên tục, ta có x = lim xn = lim F (xn−1 , yn−1 ) = F ( lim xn−1 , lim yn−1 ) = F (x, y) n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Và y = lim yn = lim F (yn−1 , xn−1 ) = F ( lim yn−1 , lim xn−1 ) = F (y, x) n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Vậy F (x, y) = x F (y, x) = y Giả sử có dãy khơng giảm xn → x có dãy khơng tăng yn → y cho ∀n, xn ≤ x ; yn ≥ y Khi đó, ta có ρ(F (x, y), F (xn , yn ), a) ≤ a1 ρ(x, xn , a) + a2 ρ(y, yn , a) Cho n → ∞ ta có ρ(F (x, y), x, a) ≤ 0, F (x, y) = x Tương tự, ta có F (y, x) = y 24 Chú ý, a1 = a2 Định lý 2.2.3 trở thành Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.2 Bây giờ, ta xét họ Ψ hàm thực ϕ : [0, +∞) → [0, +∞) không giảm thoả mãn điều kiện ∞ ϕn (t) < +∞ n=1 với t > Khi đó, ta dễ dàng suy i) lim ϕn (t) = với t > n→∞ ii) ϕ(t) < t với t > 0; iii) ϕ(0) = Họ Ψ khác rỗng Chẳng hạn, ϕ1 (t) = kt(0 < k < 1) t ϕ2 (t) = với t > ϕ1 , ϕ2 ∈ Ψ 1+t Định lý sau đưa kết tồn điểm cặp đôi ánh xạ co kiểu phi tuyến 2.2.4 Định lý Cho (X, ≤) tập thứ tự, ρ 2-mêtric X cho (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ Cho F : X × X → X ánh xạ có tính chất đơn điệu pha trộn X cho tồn x0 , y0 thuộc X mà x0 ≤ F (x0 , y0 ); y0 ≥ F (y0 , x0 ) Giả sử tồn ϕ ∈ Ψ cho ρ(x, u, a) + ρ(y, v, a) ρ(F (x, y), F (u, v), a) ≤ ϕ( ) với x, y, u, v, a ∈ X cho x ≥ u y ≤ v Khi đó, F liên tục, X có tính chất sau: i) Nếu có dãy khơng giảm xn → x xn ≤ x; ∀n ii) Nếu có dãy khơng tăng yn → y yn ≥ y; ∀n tồn x, y thuộc X cho x = F (x, y) y = F (y, x) Chứng minh Với n=1,2, đặt xn = F (xn−1 , yn−1 ) yn = F (yn−1 , xn−1 ), với x0 , y0 xác định giả thiết định lý Khi đó, tương tự 25 Định lý 2.2.1 ta nhận {xn } dãy tăng {yn } dãy giảm Với a ∈ X ta đặt δn = ρ(xn , xn+1 , a) + ρ(yn , yn+1 , a) Chúng ta δn−1 ) ≥ yn ta nhận δn ≤ 2ϕ( Thật vậy, từ xn−1 ≤ xn yn−1 ρ(xn , xn+1 , a) ≤ ρ F (xn−1 , yn−1 ), F (xn , yn ), a ρ(xn−1 , xn , a) + ρ(yn−1 , yn , a) ≤ϕ δn−1 ) ≤ ϕ( Hồn tồn tương tự, ta có ρ(yn , yn+1 , a) ≤ ρ F (yn−1 , xn−1 ), F (yn , xn ), a ρ(yn−1 , yn , a) + ρ(xn−1 , xn , a) ≤ϕ δn−1 ) ≤ ϕ( Từ ta nhận δn−1 δn ≤ 2ϕ( ) Do đó, từ tính khơng giảm ϕ suy δn δn−1 δ0 ≤ ϕ( ) ≤ ≤ ϕn ( ) 2 Từ suy δ0 ρ(xn , xn+1 , a) + ρ(yn , yn+1 , a) ≤ 2ϕn ( ) với n Với m ≥ n ta có ρ(xm , xn , a) + ρ(ym , yn , a) m−1 ≤ [ρ(xk , xk+1 , a) + ρ(yk , yk+1 , a)] k=n m−2 + [ρ(xk , xk+1 , xm ) + ρ(yk , yk+1 , ym )] k=n (2.8) 26 Áp dụng bất đẳng thức (2.8) ta nhận ρ(xk , xk+1 , xm ) + ρ(yk , yk+1 , ym ) ≤ 2ϕk ( δ0 ) Từ suy m−1 δ0 ϕ ( )+ m−2 ϕk ( k ρ(xm , xn , a) + ρ(ym , yn , a) ≤ k=n k=n δ0 ) ∞ ϕn (t) hội tụ với t > nên từ bất đẳng thức suy Vì chuỗi n=1 lim [ρ(xm , xn , a) + ρ(ym , yn , a)] = m,n→∞ với a ∈ X Hay lim ρ(xm , xn , a) = m,n→∞ lim ρ(ym , yn , a)] = m,n→∞ với a ∈ X Do {xn } {yn } dãy Cauchy X Vì X khơng gian 2-mêtric đầy đủ nên ∃x, y ∈ X cho lim xn = x n→∞ lim yn = y n→∞ Giả sử F liên tục, ta có x = lim xn = lim F (xn−1 , yn−1 ) = F ( lim xn−1 , lim yn−1 ) = F (x, y) n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Và y = lim yn = lim F (yn−1 , xn−1 ) = F ( lim yn−1 , lim xn−1 ) = F (y, x) n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Vậy F (x, y) = x F (y, x) = y Giả sử có dãy khơng giảm xn → x có dãy khơng tăng yn → y cho ∀n, xn ≤ x ; yn ≥ y Khi đó, ta có ρ(F (x, y), F (xn , yn ), a) ≤ a1 ρ(x, xn , a) + a2 ρ(y, yn , a) Cho n → ∞ ta có ρ(F (x, y), x, a) ≤ 0, F (x, y) = x Tương tự, ta có F (y, x) = y 27 2.2.5 Nhận xét 1) Trong Định lý 2.2.4 ta lấy ϕ(t) = kt, < k < ta nhận Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.2 2) Điều kiện ρ(F (x, y), F (u, v), a) ≤ ϕ ρ(x, u, a) + ρ(y, v, a) Định lý 2.2.4 thay ρ(F (x, y), F (u, v), a) ≤ ϕ a1 ρ(x, u, a) + a2 ρ(y, v, a) với a1 + a2 < a1 , a2 khơng âm 28 KẾT LUẬN Khóa luận thu kết sau đây: 1) Trình bày hệ thống kiến thức sở không gian 2-mêtric 2) Trình bày số định lý tồn điểm bất động cặp đôi số lớp ánh xạ khơng gian mêtric có thứ tự G.T Bhaskar and V Lakshmikantham 3) Đưa số định lý tồn điểm bất động cặp đôi cuả số lớp ánh xạ không gian 2-mêtric có thứ tự như: Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.4 29 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Cở sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] G.T Bhaskar and V Lakshmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Anal 65, no 7, 1379-1393 [3] V Lakshmikantham and L B Ciric (2009), Coupled fixed point theorems for nonlinear contractions in partially ordered metric spaces, Nonlinear Anal 70, no 12, 4341-4349 [4] Kieu Phuong Chi, Tran Duc Thanh, Đinh Bich Yen (2012), Coupled fixed point theorems for nonlinear contractions in partially ordered 2-metric spaces , preprint [5] Kieu Phuong Chi and Hoang Thi Thuy (2010), A fixed point theorem in 2-metric spaces for a class of maps that satisfy a contractive condition dependent on an another function, to be published in Lobachevskii J Math 31 (4) [6] S Găahler (1963), 2-metrische Răaume und ihre topologische Struktur, Math Nachr.,26, 115-148 [7] K Iséki, P L Sharma and B K Sharma (1976),Contraction type mapping on 2-metric space, Math Japon., 21(1), 67-70 [8] M S Khan (1980),On fixed point theorems in 2-metric space, Publ Inst Math (Beograd) (N.S.), 27(41), 107-113 [9] S N Lai and A K Singh (1978), An analogue of Banach’s contraction principle for 2-metric spaces, Bull Austral Math Soc., 18(1), 137-143 [10] Raymond W F and Cho, Y J (2001), Geometry of linear 2normed spaces, Nova Science Publishers [11] A K Sharama (1980), A note fixed point in 2-metric spaces, Indian J pure appl Math., 11(12), 1580-1583 ... Chương Về định lý điểm bất động cặp đôi không gian 2- mêtric Nội dung chương trình bày số kết định lý điểm bất động cặp đôi ánh xạ khơng gian mêtric có thứ tự không gian 2- mêtric thứ tự Trong mục 2. 1... = y 2. 2 Định lý điểm bất động cặp đôi cho ánh xạ khơng gian 2- mêtric có thứ tự Trong mục này, xây dựng định lý điểm bất động cặp đôi cho ánh xạ không gian 2- mêtric có thứ tự Khơng gian 2- mêtric. .. gian mêtric  12 Chương Về định lý điểm bất động cặp đơi khơng gian 2- mêtric có thứ tự Nội dung chương trình bày số kết định lý điểm bất động cặp đôi ánh xạ khơng gian mêtric có thứ tự không gian