Biến cố và xác suất
Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω là một tập tùy ý khác rỗng Một họ F những tập con của Ω được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện sau (i) Ω ∈ F;
(iii) Nếu A n ∈ F với mọi n = 1,2, , thì
Cặp (Ω,F) được gọi là không gian đo khi Ω là một tập không rỗng và F là một σ-đại số các tập con của Ω Ánh xạ P : F → R được xem là độ đo xác suất trên F nếu nó thỏa mãn ba điều kiện nhất định.
(i) P(A) ≥ 0 với mọi A ∈ F (tính không âm);
(iii) Nếu A n ∈ F với mọi n = 1,2, , A i ∩ A j = A i A j = ∅ (i 6= j), thì
Theo định nghĩa 1.1.3, một không gian xác suất được xác định bởi bộ ba (Ω, F, P), trong đó Ω là một tập không rỗng, F là σ-đại số các tập con của Ω, và P là độ đo xác suất trên F Trong đó, tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp, còn σ-đại số F được gọi là σ-đại số các biến cố.
Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố, biến cố A = Ω \A ∈ F được gọi là biến cố đối lập của biến cố A Nếu AB = ∅ thì A, B được gọi là biến cố xung khắc.
Không gian xác suất (Ω,F,P) được gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu mọi tập con của biến cố có xác suất bằng không đều là biến cố.
Tính chất 1.1.4 Giả sử A, B, C, là những biến cố Khi đó, xác suất của chúng có những tính chất sau
4 Nếu A ⊂ B thì P(B \A) = P(B)−P(A) và do đó P(A) ≤P(B).
7 (Tính liên tục của xác suất).
(i) Nếu {A n , n ≥ 1} ⊂ F là dãy đơn điệu tăng, nghĩa là A 1 ⊂ A 2 ⊂ ⊂ A n ⊂ , thì n−→∞lim P(An) = P(
(ii) Nếu {A n , n ≥ 1} ⊂ F là dãy đơn điệu giảm, nghĩa là A 1 ⊃ A 2 ⊃ ⊃ A n ⊃ , thì n−→∞lim P(An) = P(
Biến ngẫu nhiên và các tính chất liên quan
Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian xác suất (Ω,F,P) Ánh xạX : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu X là ánh xạ đo được, tức là với mọi a ∈ R thì
Khái niệm độc lập là một trong những yếu tố quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất Định nghĩa 1.2.2 nêu rõ rằng nếu X là một biến ngẫu nhiên, thì các sự kiện liên quan đến biến này có thể được xem là độc lập trong một số điều kiện nhất định.
F(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} được gọi là σ-đại số sinh bởi X.
Họ hữu hạn {F i ,1 ≤ i ≤n} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập, nếu
P(A i ), đối với mọi A i ∈ F i (1 ≤i ≤n) bất kỳ.
Họ vô hạn {F i , i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập, nếu mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên {X i , i ∈ I} được gọi là độc lập, nếu họ các σ-đại số sinh bởi chúng {F(X i ), i∈ I} độc lập.
Họ các biến cố {A i , i ∈ I} được coi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên {I(A i ), i ∈ I} là độc lập, trong đó I(A) là hàm chỉ tiêu của A Định nghĩa 1.2.3 cho biết rằng họ các biến ngẫu nhiên {X i , i ∈ I} được gọi là độc lập đôi một khi X i và X j là độc lập với mọi i 6= j, với i, j thuộc I.
Hàm phân phối là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc trưng cho biến ngẫu nhiên Để hiểu rõ hơn, chúng ta định nghĩa hàm phân phối như sau: Giả sử (Ω,F,P) là một không gian xác suất, và X là một biến ngẫu nhiên từ không gian này.
R là biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số FX(x) =P(X < x) =P(ω : X(ω) < x) được gọi là hàm phân phối của X.
Ví dụ 1.2.5 Giả sử A∈ F, X = I(A) và P(A) =p Khi đó
Kỳ vọng và phương sai là các số đặc trưng quan trọng của biến ngẫu nhiên, giúp xác định một số tính chất của nó Định nghĩa 1.2.6 nêu rõ rằng, nếu X : (Ω,F,P) → (R,B(R)) là biến ngẫu nhiên, thì tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọng của X và được ký hiệu là EX.
Nếu tồn tại E|X| p < ∞ (p > 0) thì ta nói X khả tích bậc p, đặc biệt nếu
E|X| < ∞ thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.
Tính chất 1.2.7 (Một số tính chất của kỳ vọng sử dụng trong luận văn).
3 Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) =CEX.
4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ±Y) = EX ±EY.
6 Nếu X và Y độc lập thì EXY = EXEY.
7 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |X n | ≤ Y với mọi n ≥ 1,
EY < ∞ và X n → X thì X khả tích, E|X n −X| → 0 và EX n → EX khi n → ∞.
8 (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, với mọi ε > 0 ta có
P(X ≥ ε) ≤ EX ε, trong đó C là hằng số và được viết gọn là h.c.c Định nghĩa 1.2.8 nêu rõ rằng, nếu X là biến ngẫu nhiên, thì giá trị độ lệch bình phương trung bình của nó được xem xét.
DX := E(X −EX) 2 (nếu tồn tại) được gọi là phương sai của X.
Tính chất 1.2.9 Phương sai có những tính chất cơ bản sau đây
3 DX = 0 khi và chỉ khi X = EX = C h.c.c.
5 (Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ Khi đó nếu tồn tại DX thì với mọi ε > 0, ta có
P(|X n −X| ≥ ε) ≤ DX ε 2 Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày về covariance. Định nghĩa 1.2.10.Giả sửX, Y là các biễn ngẫu nhiên Khi đócovariance của X và Y được xác định bởi
Tính chất 1.2.11 Covariance có những tính chất cơ bản sau đây
1 Cov(X, Y) = Cov(Y, X) (Tính đối xứng).
3 Nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y) = 0.
Các dạng hội tụ, luật số lớn và một số bất đẳng thức
Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên đồng nhất trên không gian xác suất (Ω,F,P) Chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm về hội tụ, luật số lớn và kết quả chính của Jajte [7] sẽ được sử dụng trong chương sau Định nghĩa 1.3.1 cho biết rằng dãy biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi ε > 0, giới hạn P(|X n −X| > ε) khi n tiến tới vô cùng bằng 0.
Sự hội tụ theo xác suất cho thấy rằng với bất kỳ ε nhỏ nào, xác suất để biến ngẫu nhiên Xn khác biệt với giá trị X hơn ε trở nên không đáng kể khi n tăng lên Điều này có nghĩa là xác suất này sẽ tiến gần đến 0 khi n đủ lớn.
Sự hội tụ theo trung bình cấp p, hay còn gọi là hội tụ trong L p, là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất Định nghĩa này cho biết rằng một dãy biến ngẫu nhiên {X n, n ≥ 1} hội tụ theo trung bình cấp p (với p > 0) đến biến ngẫu nhiên X khi giới hạn khi n tiến tới vô cùng của kỳ vọng E|X n − X| p bằng 0.
Mệnh đề sau đây giải thích tại sao sự hội tụ theo trung bình cấp p lại mạnh hơn sự hội tụ theo xác suất.
Chứng minh Mệnh đề trên là một hệ quả đơn giản của bất đẳng thức Markov:
P(|X n −X| > ε) ≤ P(|X n −X| p ≥ ε p ) ≤ E|X n −X| p ε p → 0. Định nghĩa 1.3.4 (Hội tụ hầu chắc chắn) Dãy biến ngẫu nhiên{X n , n ≥ 1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu
Xn →X h.c.c khi n → ∞, hoặc lim n→∞Xn = X h.c.c.
Mệnh đề 1.3.5 X n → X h.c.c nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 thì
Dãy biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} được xem là hội tụ đầy đủ đến biến ngẫu nhiên X khi n tiến đến vô cùng, nếu với mọi ε > 0, điều kiện hội tụ được thỏa mãn.
E|X n −X| p < ∞, với p > 0 nào đó thì Xn
→c X. Định lý sau đây so sánh sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất. Định lí 1.3.8 Giả sử {X, X n , n ≥1} là dãy các biến ngẫu nhiên.
1 Nếu X n → X h.c.c thì X n → X theo xác suất.
2 Nếu X n → X theo xác suất thì tồn tại dãy con {X nk } của {X n } sao cho: X nk → c X và do đó X nk → X h.c.c.
Luật số lớn là một định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất, với luật yếu số lớn đầu tiên được chứng minh bởi nhà toán học Thụy Sĩ Bernoulli vào năm 1713 Kết quả này sau đó được mở rộng bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như Poisson, Bienaymé, Chebyshev, Markov và Khinchin Luật mạnh số lớn được phát hiện bởi nhà toán học Pháp Borel vào năm 1909 và được Kolmogorov hoàn thiện Thuật ngữ “luật số lớn” lần đầu tiên được Poisson sử dụng Bài viết này sẽ nhắc lại định nghĩa của luật yếu số lớn, luật yếu số lớn tổng quát, luật mạnh số lớn và luật mạnh số lớn tổng quát.
(i) Dãy {X n , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn nếu
(ii) Dãy {X n , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại dãy số {b n , n ≥ 1},0 < b n ↑ ∞ sao cho
Nếu thay thế sự hội tụ theo xác suất bằng sự hội tụ hầu chắc chắn trong định nghĩa trên, thì dãy {X n , n ≥ 1} sẽ tuân theo luật mạnh số lớn, hay còn gọi là luật mạnh số lớn tổng quát.
Chúng tôi sẽ trình bày về luật mạnh số lớn Kolmogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund Định lý 1.3.10 đề cập đến luật mạnh số lớn Kolmogorov trong trường hợp tổng quát Giả sử {X_n, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với phương sai hữu hạn, và {b_n, n ≥ 1} là một dãy số dương tăng mà thỏa mãn điều kiện b_n → ∞.
Định lý 1.3.11 nêu rõ rằng trong trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập {X n, n ≥ 1} có cùng phân phối và kỳ vọng hữu hạn, thì điều kiện (X i − E X i) b n sẽ tiến tới 0 Đây là một biểu hiện của luật mạnh số lớn Kolmogorov.
Kết quả mở rộng luật mạnh số lớn Kolmogorov cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối được thể hiện qua Định lý Marcinkiewicz - Zygmund Theo định lý này, giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với 0 < p < 2, thì n.
X i −nc n 1/p →0 h.c.c đối với một hằng số c nào đó khi và chỉ khi
E|X 1 | p < ∞. Đồng thời, nếu như vậy thì c = EX 1 khi 1 ≤ p < 2 và c là tùy ý khi
Cho g(x) và h(x) là các hàm số dương xác định trên (0;∞), với g(x) tăng ngặt và lim x→∞g(x) =∞ Các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} tuân theo luật mạnh số lớn đối với tổng có trọng số.
Có thể dễ dàng thấy rằng luật số lớn có công thức dạng (1.1) bao gồm luật mạnh số lớn Kolmogorov (g(n) = n, h(n) = 1) và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund (g(n) = n 1/p , h(n) = 1,1 < p < 2).
Năm 2003, Jajte đã đưa ra các điều kiện cần và đủ cho một định lý liên quan đến dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Định lý 1.3.13 của Jajte khẳng định rằng, cho {X n , n ≥1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, nếu g(y) là hàm số dương tăng và h(y) là một hàm số dương, thì hàm φ(y) ≡ g(y)h(y) cần thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
(i) Tồn tại số d ≥ 0 mà φ(y) tăng ngặt trên [d,∞).
(ii) Tồn tại số hằng số C và số nguyên dương k 0 sao choφ(y+ 1)/φ(y) ≤C với mọi y ≥ k 0
(iii) Tồn tại các hằng số a và b sao cho với mọi s > d thì φ 2 (s)
Khi đó, hai điều kiện sau là tương đương
Khi n tiến tới vô cực, ta có X i − m i h(i) → 0 trong không gian h.c.c, với m i = EX i I (|X i | ≤ φ(i)) và φ −1 là hàm ngược của φ Định lý 1.3.14 trình bày phương pháp chặt cụt của Markov, áp dụng cho biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng hữu hạn và với M > 1, ta thiết lập các điều kiện cần thiết.
Ta chú ý rằng X (M ) −X = XI(|X| > M) Do đó ta chứng minh được hệ quả sau đây.
Hệ quả 1.3.15 Giả sử X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng hữu hạn Khi đó
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số bất đẳng thức quan trọng được sử dụng để chứng minh các kết quả trong chương này Các bạn có thể tham khảo chi tiết về việc chứng minh các bất đẳng thức này trong tài liệu của Nguyễn Văn Quảng và Nguyễn Văn Huấn[1].
Bổ đề 1.3.16 Giả sử biến ngẫu nhiên X không âm, α > 0 và EX α < ∞. Khi đó
Bổ đề 1.3.17 (Bổ đề Kronecker) Giả sử {x n , n ≥ 1} là dãy các số thực và {b n , n ≥ 1} là dãy các số dương tăng đến +∞ (0 < b n ↑ +∞) Khi đó, nếu
Bổ đề Borel-Cantelli cung cấp một điều kiện rõ ràng để xác định khi nào xác suất của biến cố lim sup A n bằng 0 hoặc 1.
Bổ đề 1.3.18 (Bổ đề Borel-Cantelli) Giả sử {A n , n ≥ 1} là dãy các biến cố Khi đó
P(A n ) = ∞ và {A n , n ≥ 1} độc lập thì P(lim supA n ) = 1.
Hệ quả 1.3.19 (Luật 0−1 Borel-Cantelli) Giả sử A 1 , A 2 , là các biến cố độc lập Khi đó
Ký hiệu lim supAn = (An i.o.) được sử dụng để chỉ rằng lim supA n xảy ra khi có vô hạn các biến cố A n diễn ra, trong đó "i.o." là viết tắt của "infinite often".
Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm
Một họ các biến ngẫu nhiên {X i ,1≤ i ≤ n} được gọi là liên kết âm nếu với bất kỳ các tập con A, B rời nhau của {1,2, , n} và các hàm thực không giảm theo tọa độ f trên R |A| và g trên R |B|, ta có một mối quan hệ nhất định giữa chúng.
Trong nghiên cứu về mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên, điều kiện Cov(f(X_i, i ∈ A), g(X_i, i ∈ B)) ≤ 0 được đưa ra, trong đó |A| đại diện cho số lượng phần tử trong tập A Theo định nghĩa của Kemperman, một hàm φ: R^n → R được coi là cộng tính nếu thỏa mãn điều kiện φ(x∨y) + φ(x∧y) ≥ φ(x) + φ(y) với mọi x, y thuộc R^n, trong đó x∨y và x∧y lần lượt là các phép toán lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các thành phần tương ứng Hu định nghĩa một vectơ ngẫu nhiên X = (X_1, X_2, , X_n) là phụ thuộc cộng tính trên âm nếu nó đáp ứng các tiêu chí nhất định trong lý thuyết xác suất.
Theo định lý (2.2), kỳ vọng của hàm số φ đối với dãy biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn không vượt quá kỳ vọng của hàm số φ đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập X1*, X2*, , Xn* Trong đó, các biến ngẫu nhiên X1*, X2*, , Xn* có phân phối giống hệt với các biến X1, X2, , Xn Định nghĩa 2.1.4 chỉ ra rằng một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là phụ thuộc cộng tính trên âm nếu tập hợp (X1, X2, , Xn) là phụ thuộc cộng tính trên âm đối với mọi n ≥ 1.
Khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm đã được giới thiệu bởi Hu [6], khái niệm này được xây dựng trên các lớp hàm cộng tính.
Hu đã đưa ra một ví dụ về phụ thuộc cộng tính trên âm mà không thể suy ra liên kết âm, đồng thời đặt ra câu hỏi liệu liên kết âm có phải là phụ thuộc cộng tính trên âm hay không Năm 2004, Christofides và Vaggelatou đã giải quyết vấn đề này, chứng minh rằng các biến ngẫu nhiên liên kết âm thực sự là phụ thuộc cộng tính trên âm.
Ví dụ 2.1.5 Cho X = (X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) có cùng phân phối như trong bảng sau
Trong bảng trên, "marginal" đại diện cho phân phối biên Hu [6] đã chỉ ra rằng các biến ngẫu nhiên X = (X1, X2, X3, X4) có tính phụ thuộc cộng tính trên âm, nhưng không phải là liên kết âm.
Nhận xét 2.1.6 (Hu [6], tính chất P 1) chỉ ra rằng trong trường hợp xét hai biến ngẫu nhiên, tính chất phụ thuộc cộng tính trên âm và liên kết âm là tương đương Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm về dãy biến ngẫu nhiên bị chặn Định nghĩa 2.1.7 nêu rõ rằng một dãy {X n , n ≥ 1} các biến ngẫu nhiên được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại một hằng số.
Nhận xét 2.1.8 Nếu dãy các biến ngẫu nhiên {X n , n ≥1} cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X1
P(|X n | > x) = P(|X 1 | > x),với mọi x ≥ 0 và n ≥ 1 Như vậy Định nghĩa 2.1.7 là tổng quát của khái niệm cùng phân phối.
Sau đây, là một tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm được đưa ra bởi Hu [6].
Bổ đề 2.1.9 Cho {X 1 , X2, , Xn} là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Khi đó
(i) {−X 1 ,−X 2 , ,−X n } cũng là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm.
(ii) Nếu{g 1 , g 2 , , g n }là các hàm không giảm, thì {g 1 (X 1 ), g 2 (X 2 ), , g n (X n )} cũng phụ thuộc cộng tính trên âm.
Luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm
phụ thuộc cộng tính trên âm
Chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề cần thiết để chứng minh luật số lớn yếu cho tổng trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Bổ đề đầu tiên mà chúng tôi giới thiệu là Định lý Stolz, một kiến thức quan trọng trong giải tích cổ điển.
Bổ đề 2.2.1 (Định lý Stolz) Cho dãy số {x n , n ≥ 1} Khi đó, nếu n→∞lim x n = 0, thì n→∞lim x 1 +x 2 + + x n n = 0.
Bổ đề tiếp theo là bất đẳng thức cực đại Kolmogorov áp dụng cho tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm, được Hu [6] đề cập Phép chứng minh chi tiết của bổ đề này có thể tham khảo trong tài liệu của Shen, Zhang và Volodin [11].
Bổ đề 2.2.2 (Shen, Zhang và Volodin [11]) nêu rõ rằng, với p ≥ 1 và dãy biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} có tính phụ thuộc cộng tính trên âm cùng với kỳ vọng bằng 0, điều kiện E|X i | p < ∞ cho mỗi i ≥ 1 sẽ được thỏa mãn Do đó, với mọi n ≥ 1, các tính chất của dãy biến ngẫu nhiên này sẽ được xác định.
Chúng tôi xin trình bày một kết quả quan trọng liên quan đến luật số lớn đối với tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, được nêu rõ trong tài liệu của Gut.
Chúng tôi sẽ mở rộng kết quả đã trình bày sang trường hợp tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Theo Định lý 2.2.3 (Gut [5, tr 279]), cho các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối {X1, X2, }, với Yni = XiI(|Xi| ≤ n) Điều này dẫn đến nP(|X1| > n) tiến tới 0 nếu và chỉ nếu một điều kiện nhất định được thỏa mãn.
Định lý 2.2.4 thiết lập luật yếu số lớn cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Giả sử {X i , i ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên đồng phân phối và có tính chất phụ thuộc cộng tính trên âm Với mỗi n ≥ 1, ta định nghĩa tổng trọng số của các biến này để áp dụng định lý.
Yni = −nI(X i < −n) + XiI(|X i | ≤ n) +nI(Xi > n).
Giả sử {a ni , n ≥1,1 ≤ i ≤n} là mảng các số thực thỏa mãn n
X i=1 a 2 ni ≤Cn, trong đó C là một hằng số dương nào đó Khi đó, nếu nP(|X 1 | > n)−→0, (2.5) thì
Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng a ni > 0 với mọi n≥ 1 và với mọi i ≥ 1 Trước hết ta sẽ chứng minh
X i=1 ani(Xi −Yni) −→ P 0 (2.7) Lấy ε > 0 tùy ý, kết hợp với giả thiết (2.5) ta có
Vậy (2.7) được chứng minh, tiếp theo ta cần chứng minh rằng
Theo Bổ đề 2.1.9, {Y ni −EY ni} là một dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Áp dụng Bất đẳng thức Chebyshev cùng với Bổ đề 2.2.2, chúng ta có thể rút ra được những kết luận quan trọng.
X i=1 a 2 ni EX i 2 I(|X i | ≤n) (2.9) Để đánh giá (2.9) ta đặt
Bây giờ ta sẽ chứng minh R2 → 0 Để làm điều này, ta đánh giá như sau
Theo giả thiết thì kP(|X 1 | > k) → 0. Áp dụng Định lý Stolz ta có
Hơn nữa kết hợp (2.12) ta lại có
Từ (2.12) và (2.13) ta chứng minh được (2.11) Từ (2.10) và (2.11) ta chứng minh được (2.8) Từ (2.7) và (2.8) ta chứng minh được (2.6)
Hệ quả sau đây là mở rộng một phần của Định lý 2.2.3 Nó được suy trực tiếp từ Định lý 2.2.4 khi ta cho a ni ≡ 1.
Hệ quả 2.2.5 Giả sử {X i , i ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối và phụ thuộc cộng tính trên âm Với mỗi n ≥1, 1≤ i ≤ n, đặt
Yni = −nI(X i < −n) + XiI(|X i | ≤ n) +nI(Xi > n).
Khi đó, nếu nP(|X 1 | > n)−→0, thì
Luật mạnh số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm
nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm
Chúng tôi sẽ giới thiệu luật mạnh số lớn liên quan đến tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Đầu tiên, chúng tôi sẽ trình bày một số bổ đề quan trọng, những bổ đề này sẽ được sử dụng để chứng minh các Định lý 2.3.4 và 2.3.5.
Hu đã so sánh các moment giữa các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm và các biến ngẫu nhiên độc lập, chỉ ra rằng bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov vẫn đúng cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm (Bổ đề 2.2.2) Ông sử dụng bất đẳng thức này để chứng minh rằng các định lý hội tụ Khintchine-Kolmogorov và định lý ba chuỗi Kolmogorov vẫn áp dụng cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm.
Bổ đề 2.3.1 (Định lý hội tụ dạng Khintchine-Kolmogorov).Cho{X n , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Giả sử rằng ∞
Bổ đề sau đây là định lý ba chuỗi Kolmogorov Nó được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.3.1.
Bổ đề 2.3.2 (Định lý ba chuỗi Kolmogorov) Cho {X n , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Ký hiệu
X n (c) = cI(Xn < −c) + XnI(| Xn |≤ c) +cI(Xn > c), trong đó c là một hằng số dương Khi đó nếu ba điều kiện sau đây thỏa mãn
Theo định nghĩa bị chặn ngẫu nhiên và tích phân từng phần, chúng ta có thể có được bất đẳng thức cơ bản sau đây.
Bổ đề 2.3.3 Cho {X n , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X Đối với bất kỳ α > 0 và b > 0, ta có
E|X n | α I (|X n | > b) ≤C2E|X| α I(|X| > b), (2.15) trong đó C1, C2 là các hằng số dương Do đó, E|X n | α ≤ CE|X| α
Trong phần tiếp theo, chúng tôi giả định rằng {X n , n ≥1} là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên tập hợp các giá trị âm, bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên X Giá trị m i được xác định là EX i I(|X i | ≤φ(i)), với φ được định nghĩa trong Định lý 2.3.4 và φ −1 là hàm ngược của φ Ký hiệu C đại diện cho một hằng số dương không phụ thuộc vào n, có thể khác nhau trong từng lần xuất hiện, trong khi [x] biểu thị phần nguyên của x.
Định lý 2.3.4 mở rộng Định lý 1.3.13 cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Trong đó, g(y) và h(y) là các hàm số thực dương được xác định trên tập hợp nhất định.
(0,∞) sao cho φ(y) ≡g(y)h(y) thỏa mãn điều kiện (i) và (iii) trong Định lý 1.3.13 Nếu
Nếu giả sử thêm rằng g(x) tăng trên miền xác định của nó và lim x→∞g(x) ∞, thì
X i −m i h(i) →0 h.c.c, khi n→ ∞ (2.17) Chứng minh Với mỗi n ≥ 1, đặt
Theo Định nghĩa 2.1.7 và điều kiệnE[φ −1 (|X|)] < ∞, chúng ta có thể thấy rằng
≤ CE[φ −1 (|X|)] < ∞ (2.18) Kết hợp (2.18) và bổ đề Borel-Cantelli chúng ta có
P((X n 6= Y n ), i.o) = 0 (2.19) Tiếp theo chúng ta xem xét chuỗi n
EY n 2 φ 2 (n) Từ bất đẳng thức C r , Định nghĩa 2.1.7, Bổ đề 2.3.3 và (2.18) chúng ta có thể nhận định rằng
Ta có E[φ −1 (|X|)] < ∞, suy ra φ −1 (|X|) < ∞ h.c.c và φ(φ −1 (|X|)) = |X|.
Do đó, kết hợp điều kiện (iii) trong Định lý 1.3.13 ta được
Từ (2.20) và (2.22) chúng ta có
Theo Bổ đề 2.1.9 dễ thấy rằng {Y n /φ(n), n ≥ 1} cũng là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm Từ đó, theo (2.23) và Bổ đề 2.3.1 chúng ta có
Kết hợp (2.19) và (2.24) ta được
Xn−EYn φ(n) hội tụ h.c.c. Để hoàn thành chứng minh (2.16) ta chỉ cần chứng tỏ rằng
P n=1P(X n > φ(n)) đều hội tụ hay ta có (2.25).
Cuối cùng ta cần chứng minh 1 g(n) n
Thật vậy từ (2.16) và Bổ đề 1.3.17 ta suy ra (2.17) Vậy định lý được chứng minh xong.
Nếu giả thiết EX n = 0 được thêm vào, chúng tôi thu được kết quả cho thấy một số điều kiện đủ để chứng minh luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số (1.1) Cụ thể, theo Định lý 2.3.5, nếu g(y) và h(y) là các hàm số thực dương xác định trên khoảng (0,∞) và φ(y) ≡ g(y)h(y) thỏa mãn các điều kiện (i) và (iii) trong Định lý 1.3.13, đồng thời có EX n = 0 và E[φ −1 (|X|)] < ∞, thì kết quả sẽ được chứng minh.
Nếu chúng ta giả thiết thêm rằng g(x) tăng trên miền xác định của nó, và x→∞lim g(x) =∞ thì
X i h(i) → 0 h.c.c, khi n → ∞ (2.27) Chứng minh Với mỗi n ≥ 1, đặt
Chúng ta sẽ áp dụng Bổ đề 2.3.2 cho dãy{X n /φ(n), n ≥ 1}, trong đóc = 1. Ở đây {X n /φ(n), n ≥1} là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm theo Bổ đề 2.1.9.
Theo định nghĩa bị chặn ngẫu nhiên và điều kiện E φ −1 (|X|) < ∞ chúng ta có thể thấy rằng
≤ CE φ −1 (|X|) < ∞ (2.28) Tương tự như chứng minh của (2.20) - (2.23) ta thu được:
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng
Theo (2.28) và Bổ đề 1.3.18, chúng ta có
Vì vậy, từ EX n = 0 kết hợp với (2.28) và (2.31) ta được
Từ (2.28), (2.29), (2.32) và Bổ đề 2.3.2 ta suy ra (2.26) Hơn nữa, từ (2.26) ta suy ra (2.27) và Bổ đề 1.3.17 Từ đó chứng minh được hoàn thành.
Từ Định lý 2.3.5, chúng ta có thể suy ra luật mạnh số lớn Kolmogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund, áp dụng cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm.
Hệ quả 2.3.6 Cho {X n , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm cùng phân phối Nếu E|X 1 | p < ∞ với 1≤ p < 2, thì
Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng EX 1 = 0 Vì vậy, để chứng minh (2.33), chúng ta cần chỉ ra rằng
Ta chọn g(x) = x 1/p ,1 ≤ p < 2, x ∈ (0,∞); h(x) = 1, x ∈ (0,∞); φ(x) = g(x)h(x), x ∈ (0,∞), φ(0) = 0. Điều này chứng tỏ rằng các điều kiện của Định lý 2.3.5 được thỏa mãn.
Do đó ta chứng minh được (2.34).
Nếu chúng ta chọn g(x) = logx và h(x) = x trong Định lý 2.3.5, thì chúng ta có thể thu được trường hợp đặc biệt sau đây của các trung bình dạng logarit.
Hệ quả 2.3.7 Cho {X n , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng
0, phụ thuộc cộng tính trên âm và bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên X Nếu E|X| < ∞, thì
X k k → 0 h.c.c, khi n → ∞ (2.35) Chứng minh Ta chọn: g(x) = 1, với 0 ≤ x ≤3 và g(x) = logx, với x > 3,h(x) =x, với x ≥ 0.
Eφ −1 (|X|) ≤E(|X|) < ∞. Điều này chứng tỏ rằng các điều kiện của Định lý 2.3.5 được thỏa mãn.
Do đó (2.35) được chứng minh.
Luận văn đã thu được các kết quả sau
1) Trình bày có hệ thống các khái niệm về biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm và một số tính chất liên quan.
Luật yếu số lớn áp dụng cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm đã được chứng minh, thể hiện một kết quả mới trong luận văn.
Luật mạnh số lớn áp dụng cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm đã được trình bày và chứng minh trong bài báo của Ait-ing Shen [10] Kết quả này đóng góp quan trọng vào lý thuyết xác suất và mở rộng hiểu biết về hành vi của các dãy biến ngẫu nhiên.
Hướng phát triển của luận văn
Nghiên cứu luật số lớn đối với, dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm, nhận giá trị trong không gian Hilbert.