Bất đẳng thức cực đại đối với tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing

Sự phụ thuộc của các σ -đại số

Trong không gian xác suất (Ω,F,P), với mỗi σ-đại số con A của F, không gian L p (A) được định nghĩa là không gian các biến ngẫu nhiên A-đo được và khả tích bậc p, tức là E|X| p < ∞ Để đo lường sự phụ thuộc giữa hai σ-đại số con A và B của F, ta sử dụng các đại lượng α(A,B), φ(A,B), và ψ(A,B) Cụ thể, α(A,B) được định nghĩa là giá trị lớn nhất của |P(AB)−P(A)P(B)| với A thuộc A và B thuộc B; φ(A,B) là giá trị lớn nhất của |P(B|A)−P(B)| với điều kiện P(A) > 0; và ψ(A,B) cũng được định nghĩa tương tự.

Trong công thức (1.5) thì sup được lấy cho mọi cặp A i và B j tương ứng thuộc các phân hoạch hữu hạn {A 1 , A 2 , , A I } của A và {B 1 , B 2 , , B J } của B.

Các bất đẳng thức, đẳng thức sau cho phép ta ước lượng giá trị cho các độ đo phụ thuộc.

Mệnh đề 1.1.2 ([2]) Giả sử A và B là các σ-đại số con của F Khi đó ta có

Nhận xét 1.1.3 Nếu A và B độc lập thì ta có các đẳng thức sau α(A,B) = 0; ψ(A,B) = 0; φ(A,B) = 0; β(A,B) = 0; ρ(A,B) = 0; ψ ∗ (A,B) = 0; ψ 0 (A,B) = 1 (1.9)

Mệnh đề 1.1.4 ([2]) Giả sử A và B là các σ-đại số con của F Khi đó ta có

Sự phụ thuộc mixing của dãy các biến ngẫu nhiên

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ định nghĩa dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing và khám phá mối quan hệ giữa các loại phụ thuộc mixing Cụ thể, cho dãy biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1} xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P), chúng tôi sẽ ký hiệu cho mỗi 1 ≤ J ≤ L ≤ ∞.

F J L := σ(X k , J ≤ k ≤ L, k ∈ N) là σ-đại số sinh bởi dãy {X k , J ≤ k ≤ L}.

Với mỗi n≥ 1, ta ký hiệu α(n) := sup

J ≥1ψ 0 (F 1 J ;F J ∞ +n ); (1.21) ψ ∗ (n) := supψ ∗ (F 1 J ;F J+n ∞ ); (1.22) α ∗ (n) := supα(σ(X k , k ∈ S);σ(X k , k ∈ T)) ; (1.23) ρ ∗ (n) := supρ(σ(Xk, k ∈ S);σ(Xk, k ∈ T)); (1.24) β ∗ (n) := supβ(σ(X k , k ∈ S);σ(X k , k ∈ T)) (1.25)

Trong các công thức (1.23), (1.24) và (1.25), sup được xác định trên các tập không rỗng S ⊂ N và T ⊂ N với điều kiện dist(S, T) := min s∈S,t∈T|s−t| ≥ n Dựa trên các ký hiệu này, chúng ta định nghĩa các loại phụ thuộc mixing, trong đó dãy biến ngẫu nhiên {X n , n ≥1} được gọi là phụ thuộc.

"ρ ∗ -mixing" nếu ρ ∗ (n) →0 khi n → ∞. Mệnh đề 1.2.2 ([2], [3]) Cho dãy biến ngẫu nhiên {X n , n ≥ 1}, khi đó ta có các mệnh đề về mối quan hệ giữa các loại phụ thuộc mixing như sau

(1) Nếu {X n , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc thì {X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc ψ-mixing.

(2) Nếu{X n , n ≥ 1}là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộcψ-mixing thì{X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc ψ ∗ -mixing.

(3) Nếu{X n , n ≥ 1}là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộcψ-mixing thì{X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc ψ 0 -mixing.

(4) Nếu{X n , n ≥1}là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộcψ ∗ -mixing thì{X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc φ-mixing.

(5) Nếu{X n , n ≥1}là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộcψ 0 -mixing thì{X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc φ-mixing.

(6) Nếu {X n , n ≥1}là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc φ-mixing thì {X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc β-mixing.

(7) Nếu {X n , n ≥1}là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc φ-mixing thì {X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc ρ-mixing.

(8) Nếu {X n , n ≥1}là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc β-mixing thì {X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc α-mixing.

(9) Nếu{X n , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộcρ-mixing thì {X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc α-mixing.

(10) Nếu {X n , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc thì {X n , n ≥ 1} là dãy phụ thuộc ρ ∗ -mixing.

(11) Nếu {X n , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ ∗ -mixing thì {X n , n ≥1} là dãy phụ thuộc ρ-mixing.

Ta có thể tóm tắt các mệnh đề trên bằng sơ đồ sau m-phụ thuộc ⇒

 ψ −mixing ⇒ ψ ∗ −mixing ψ 0 −mixing ⇒ φ−mixing ρ ∗ −mixing⇒ ρ−mixing ⇒α −mixing φ−mixing⇒ β −mixing ⇒α −mixing ρ−mixing ⇒α −mixing

Một số bất đẳng thức cơ bản

Trong mục này, chúng tôi trình bày các bất đẳng thức Chebyshev, bất đẳng thức H¨older, bất đẳng thức Minkovski, bất đẳng thức Liapunov nhằm phục vụ cho Chương 2.

Với p > 0, ta ký hiệu L p = L p (Ω,F,P) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X xác định trên (Ω,F,P) sao cho E|X| p < ∞ Khi X ∈ L p , p ≥1, ta ký hiệu

Nó được gọi là chuẩn bậc p của X. Định lí 1.3.1 (Bất đẳng thức Markov)Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm Khi đó với mọi ε > 0, ta có

Chứng minh Với mọi ε > 0, ta có

Bất đẳng thức Chebyshev được chứng minh trong định lý 1.3.2, cho rằng nếu X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ và tồn tại phương sai V arX, thì với mọi ε > 0, có thể áp dụng bất đẳng thức này.

Chứng minh Đặt Y = |X −EX| 2 ≥0 Áp dụng bất đẳng thức Markov cho biến ngẫu nhiên Y, ta được

2 Định lí 1.3.3 (Bất đẳng thức H¨older) Giả sử p, q ∈ (1; +∞) sao cho 1 p + 1 q = 1 và X ∈ L p , Y ∈ L q Khi đó

E|XY| ≤ ||X|| p ||Y|| q (1.28) Chứng minh Vì hàm f(x) =x p với x ∈ (0; +∞) là lồi nên f(x)−f(1) ≥ f 0 (1)(x−1), hay x p −1≥ p(x−1) (1.29)

Nếu ||X|| p ||Y|| q = 0 thì (1.28) hiển nhiên đúng.

||Y|| q q vào bất đẳng thức (1.30) và lấy kỳ vọng hai vế, ta được

2 Định lí 1.3.4 (Bất đẳng thức Minkovski) Giả sử X, Y ∈ L p ,1 ≤ p < ∞. Khi đó X +Y ∈ L p và

Chứng minh Thật vậy, đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức sơ cấp: Nếu a, b >0 và p ≥ 1 thì

(a+b) p ≤ 2 p−1 (a p +b p ) (1.32) Để chứng minh (1.32) ta xét hàm f(x) = (a+ x) p −2 p−1 (a p +x p ).

Giả sử p > 1 Tìm được q > 0 sao cho 1 p + 1 q = 1 Từ bất đẳng thức

|X +Y| p = |X +Y||X +Y| p−1 ≤ |X||X +Y| p−1 +|Y||X +Y| p−1 , và bất đẳng thức H¨older (cho hai số hạng sau cùng), ta có

Từ đó, nếu ||X +Y|| p 6= 0 thì ||X +Y|| p p 1− 1 q ≤ ||X|| p +||Y|| p , hay ||X +Y|| p ≤ ||X|| p +||Y|| p

Còn nếu ||X +Y|| p = 0 thì (1.31) hiển nhiên đúng 2 Định lí 1.3.5 (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử ϕ : R →R là hàm lồi, X và ϕ(X) là các biến ngẫu nhiên khả tích Khi đó

Hàm ϕ là hàm lồi, do đó nó liên tục có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại mọi điểm Điều này chứng tỏ rằng ϕ(X) cũng là một biến ngẫu nhiên Hơn nữa, với bất kỳ x₀ ∈ R, ta có bất đẳng thức ϕ(x) ≥ ϕ(x₀) + k(x₀)(x − x₀) cho mọi x ∈ R, trong đó k(x₀) có thể là đạo hàm phải hoặc trái của ϕ tại x₀.

Thay x bởi X, x 0 bởi EX vào (1.35) sau đó lấy kỳ vọng hai vế ta được

Eϕ(X) ≥ϕ(EX) + k(EX)(EX −EX) = ϕ(EX).

2 Định lí 1.3.6 (Bất đẳng thức Liapunov) Đối với biến ngẫu nhiên X ∈ L t bất kỳ và 0 < s < t, ta có kXk s ≤ kXk t (1.36)

Chứng minh Áp dụng (1.34) với ϕ(x) =|x| s t và thay X bởi |X| s , ta có

BẤT ĐẲNG THỨC CỰC ĐẠI ĐỐI VỚI TỔNG CÁC BIẾN

NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MIXING

Chương này tập trung vào các bất đẳng thức cực đại liên quan đến tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing và ρ-mixing Được chia thành ba mục, Mục 2.1 giới thiệu các bất đẳng thức về covariance, phục vụ như công cụ chứng minh cho các kết quả trong các mục tiếp theo Mục 2.2 và Mục 2.3 lần lượt trình bày các bất đẳng thức cực đại đối với tổng của các biến ngẫu nhiên α-mixing và ρ-mixing, với Định lý 2.2.5 và Định lý 2.2.6 là nội dung chính của Mục 2.2, trong khi Mục 2.3 tập trung vào Định lý 2.3.4 và Hệ quả 2.3.5.

Trong chương này, ta ký hiệu sign(x) là dấu của số thực x.

Trước hết, ta trình bày các bất đẳng thức về covariance Cov(X, Y) nhằm phục vụ cho việc chứng minh các định lý trên.

Bất đẳng thức về covariance

Mệnh đề sau đây đưa ra một chặn trên cho |Cov(X, Y)|, trong đó X, Y là các biến ngẫu nhiên bị chặn.

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên, X, Y lần lượt là các biến ngẫu nhiên F 1 k -đo được và F k+n ∞ -đo được Nếu |X| < C1 và

|EXY −EXEY| ≤ 4C 1 C 2 α(n) (2.1) Chứng minh Theo tính chất kỳ vọng có điều kiện, ta có

= C 1 |Eξ{E(Y|F 1 k )−EY}|, với ξ = sign E(Y|F 1 k )−EY ∈ F 1 k Suy ra

|EXY −EXEY| ≤ C 1 C 2 |Eξη−EξEη| (2.2) Đặt A = {ξ = 1}, B = {η = 1} Khi đó A∈ F 1 k , B ∈ F k+n ∞ Khi đó, ta có

Trong trường hợp X, Y không bị chặn thì ta có Mệnh đề 2.1.2.

Mệnh đề 2.1.2 Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên, X, Y lần lượt là các biến ngẫu nhiên F 1 k -đo được và F k+n ∞ -đo được Nếu E|X| p 0 Khi đó

|E(X 00 Y)−EX 00 EY| ≤ 2CE|X 00 | ≤ 2Ca 1−p E|X| p Chọn a = kXk p α(n) 1 p thay vào trên, ta được

Với Y không bị chặn, ta đặt ta đặt Y 0 = Y I (|Y |≤b) và Y 00 = Y −Y 0 , trong đó b > 0 Khi đó

|E(XY 00 )−EXEY 00 | ≤ 2kXk p E|Y 00 | q+r qr q+r qr

≤ 2kXk p b −q+ q+r qr E|Y| q q+r qr Điều này kéo theo

Chọn b = kYk q α(n) − 1 q và thay vào (2.6), (2.7) và kết hợp với (2.5) ta có điều phải chứng minh 2

Từ Mệnh đề 2.1.2, ta có hệ quả sau.

Hệ quả 2.1.3 Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0 và

Mệnh đề 2.1.4 Giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên, X, Y lần lượt là các biến ngẫu nhiên F 1 k -đo được và F k+n ∞ -đo được Nếu E|X| p 0 ta đặt Y 0 = Y I (|Y |≤C) và

≤ |E(XY 0 )−EXEY 0 |+|E(XY 00 )|+|EXEY 00 | (2.9) Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta có

|E(XY 0 )−EXEY 0 | ≤ ρ(n)kXk 2 kYk 2 ≤ ρ(n)C 1− q 2 kXk p kYk q p 2,

≤ kXk p kYk q q C − q p +ρ(n) 2 p kXk p kYk q , và

Chọn C = kYk q ρ(n) − 2 q và thay vào các bất đẳng thức trên ta được

|E(XY 0 )−EXEY 0 | ≤ ρ(n) 2− 2 q kXk p kYk q = ρ(n) 2 p kXk p kYk q ,

EXY 00 ≤ ρ(n) 2− 2 q kXk p kYk q +ρ(n) 2 p kXk p kYk q = 2ρ(n) 2 p kXk p kYk q ,

|E(XY)−EXEY| ≤4ρ(n) 2 p kXk p kYk q Với trường hợp q ≤ 2, chứng minh tương tự như trên, ta có

Bất đẳng thức cực đại đối với tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α -mixing

1−λ với 0 < λ < 1 Khi đó, ta có n 2, ta có

 (2.11) trong đó C là hằng số.

X i 0 Áp dụng bất đẳng thức (1.32), ta được

Thay I 1 và I 2 vào (2.12), ta được

Bổ đề hoàn thành việc chứng minh 2

Cho {X i , i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên Với công thức S 1,j j

Y i đã được xác định ở trên, ta có

Nj = max{Y j +1 , Yj+1 +Yj+2, , Yj+1+Yj+2+ +Ym+1},

Mfj = max{0,−Y j+1 ,−Y j+1 −Yj+2, ,−Y j+1 −Yj+2 − −Ym+1},

1≤j≤m+1max S1,j = N0, Nj = Yj+1 +Mj+1,0≤ Mj ≤ |N j |, (2.14)

1≤j≤m+1max (−S 1,j = Ne 0 ,Ne j = −Y j+1 + Mf j+1 ,0 ≤ Mf j ≤ |Ne j |, (2.15) và

Với các ký hiệu Y j , M j và Mf j xác định ở trên, chúng ta có các bất đẳng thức đối với m

Bổ đề 2.2.2 ([7]) Cho r > 2, δ > 0 và {X i , i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing Khi đó

(i) Nếu θ > (r −1)(r +δ) δ , thì với mọi ρ > 0, tồn tại hằng số C ρ C(ρ, r, δ, θ) < ∞ và C r = C(r) < ∞, sao cho m

2δ , thì với mọi ρ > 0, tồn tại hằng số C ρ = C(ρ, r, δ, θ) 2, δ > 0,2 < v ≤ r + δ và {X i , i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing có kỳ vọng bằng 0 Khi đó

, thì với mọi ρ > 0, tồn tại hằng số C ρ = C(ρ, r, v, δ, θ) < ∞ và C r = C(r) 0, tồn tại hằng số C ρ = C(ρ, r, δ, θ) < ∞ và C r = C(r) < ∞ sao cho m

Z i được xác định trong Bổ đề 2.2.1, bây giờ chúng ta sẽ ước lượng đối với

1≤j≤m+1|S 2,j | r nhằm phục vụ cho việc chứng minh Định lý 2.2.5 và Định lý 2.2.6.

Bổ đề 2.2.4 Cho r > 2, δ > 0,2< v ≤r+δ và {X i , i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sơ cấp.Với mọix, y ∈ R và r > 2, ta có

Thật vậy, với r > 2 và với mọi t ∈ R, ta có

Nếu y 6= 0 thì ta thay t = x y vào (2.31), ta được

= |N 0 | r = |Y 1 + M1| r Áp dụng bất đẳng thức (2.30), ta được

Theo Bổ đề 2.2.2, ta có m

(2.38) Thay (2.35) và (2.37) vào (2.33), ta được

Từ các bất bất đẳng thức (2.39), (2.40) và (2.41), ta có

2δ Theo Bổ đề 2.2.2, ta có m

1≤j≤m+1|S 1,j | r (2.45)Thay (2.42) và (2.44) vào (2.33), ta được

1≤j≤m+1|S 1,j | r (2.46) Thay (2.43) và (2.45) vào (2.34), ta được

Từ các bất đẳng thức (2.46), (2.47) và (2.41), ta có

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có các bất đẳng thức (2.27) và (2.29) 2

Chúng tôi sẽ trình bày các bất đẳng thức cực đại cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing, được thiết lập bởi Shan Chao Yang Theo Định lí 2.2.5, với r > 2, δ > 0, 2 < v ≤ r + δ và dãy biến ngẫu nhiên {X i , i ≥ 1} có kỳ vọng bằng 0 cùng với điều kiện E|X i | r+δ < ∞, giả sử θ > max v v −2,(r −1)(r+ δ) δ.

Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại hằng số K = K(ε, r, δ, v, θ, C) < ∞, ta có

Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.1 và lấy kỳ vọng hai vế, ta có

 (2.51) Theo Bổ đề 2.2.4 với trường hợp θ > max v v −2,(r −1)(r +δ) δ

 (2.53) Thay (2.52) và (2.53) vào (2.51), ta được

 (2.54) Áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho

X i r và kết hợp với (2.10), ta được

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho

X i r ở bất đẳng thức (2.54), ta được

Tiếp tục áp dụng như trên và lặp lại t lần (t≥ 1), ta có

Chọn λ sao cho 0< λ < 1 và λ t (r −1) < ε với mỗi t > 1.

 Định lý 2.2.5 được hoàn toàn chứng minh 2

Nếu ta thay điều kiện của θ trong giả thiết của Định lý 2.2.5 bởiθ > r(r+δ) 2δ thì ta có bất đẳng thức cực đại đối với Emax

1≤j≤n|S j | r như sau Định lí 2.2.6 Cho r > 2, δ > 0,2 < v ≤ r +δ và {X i , i ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing với EXi = 0 và E|X i | r+δ < ∞ Giả sử θ > r(r +δ)

Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại hằng số K = K(ε, r, δ, θ, C) < ∞ thỏa mãn

Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.1 và lấy kỳ vọng hai vế, ta có

Theo Bổ đề 2.2.4 với trường hợp θ > r(r +δ)

(2.60) Áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho

X i r và kết hợp với (2.10), ta được

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho

X i r ở bất đẳng thức (2.60), ta được

Tiếp tục áp dụng như trên và lặp lại t lần (t≥ 1), ta có

Chọn λ sao cho 0 < λ < 1 và λ t (r −1)< ε với mỗi t > 1.

 Định lý 2.2.6 được hoàn toàn chứng minh.

Bất đẳng thức cực đại đối với tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ -mixing

Cho {X n , n ≥1} là dãy các biến ngẫu nhiên Với k ≥ 0, n ≥ 1, ký hiệu

Trong mục này, chúng tôi trình bày các bất đẳng thức cực đại đối với

Trước hết, ta trình bày một bổ đề để đưa ra một cận trên đối vớiE|S k (n)| 2

Bổ đề 2.3.1 ([6]) Giả sử {X i , i ≥1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ-mixing sao cho EX i = 0,EX i 2 < ∞ với mọi i ≥ 1 Khi đó tồn tại hằng số

K sao cho với mọi k ≥0, n ≥ 1, ta có

Bổ đề tiếp theo đưa ra một cận trên đối với E|S k (n)| 3

K = K(ρ(.)) sao cho với mọi k ≥ 0, n ≥ 1, ta có

Bổ đề sau đây là bất đẳng thức cực đại dạng Rosenthal trong trường hợp q = 2.

K = K(ρ(.)) sao cho với mọi k ≥ 0, n ≥ 1, ta có

Bài viết này sẽ trình bày bất đẳng thức cực đại dạng Rosenthal cho tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ-mixing trong trường hợp tổng quát với q ≥ 2 Định lý 2.3.4 nêu rõ rằng, đối với dãy các biến ngẫu nhiên {X i , i ≥ 1} thỏa mãn điều kiện ρ-mixing và có kỳ vọng EX i = 0 cùng với điều kiện kX i k q < ∞ với q ≥ 2, thì tồn tại một hằng số cụ thể.

K = K(q, ρ(.)) chỉ phụ thuộc vào q và ρ(.) sao cho với mọi k ≥ 0, n ≥ 1, ta có

Chứng minh Giả sử {X, X n , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ-mixing. Đặt

 (2.65) bằng phương pháp quy nạp theo q.

Khi q = 2, (2.65) trở thành Bổ đề 2.3.3.

Khi q > 2 và q không nguyên, ta giả thiết (2.65) đúng với [q], tức là có

K 1 ≥2, với bất kỳ n ≥ 1 ta có

Ta chứng minh (2.65) đúng với mọi q Đặt θ = 1

Do đó ta chọn m 0 sao cho với bất kỳ n > m 0 , thỏa mãn

2 i , n 2 = n−n 1 , n 3 = hn 2q 1 i+ 1. Áp dụng bất đẳng thức sơ cấp

≤EM(n 1 ) q +EM n 1 (n 2 ) q + 4 q (EM(n1)Mn 1 (n2) q−1 +EMn 1 (n2)M(n1) q−1 ) (2.70) Theo Bổ đề 2.1.4, (2.69) và bất đẳng thức H¨older, ta có

+ 4ρ 2/q (n3).(EM(n1) q +EMn 1 (n2) q ) + 12n 1/2+1/3 E|X| q + 12n −1/(3q) EM n 1 (n 2 ) q (2.71) Chứng minh tương tự, ta được

Thay (2.71) và (2.72) vào (2.70) với chú ý rằng 24.4 q ≤ 4 3q với q ≥ 2, ta được

Trước hết ta chứng ming bất đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp theo n

Với bất kỳ n ≥ 1, ta có

Với1 ≤n ≤ m 0 thì (2.76) hiển nhiên đúng (Theo bất đẳng thức Minkowski). Vớin > m 0 , ta giả thiết (2.76) đúng với mọi số nguyên nhỏ hơn n Ta chứng minh (2.76) đúng với n.

Theo giả thiết quy nạp, J n không giảm và từ (2.73), (2.75), (2.68), (2.66), (2.67) ta có

Bất đẳng thức (2.76) hoàn thành việc chứng minh.

Tiếp theo, ta sẽ ước lượng J n

≤ J 2 n−1 exp 4 3q ρ 2 q 2 n−1 3q + 2 − n−1 3q + 2 1− n−1 6 Như vậy, bằng phép truy hồi theo n, ta có

, (2.77) trong đó C 1 ≥ 1 là hằng số chỉ phụ thuộc vào q Rõ ràng, theo công thức của J n , (2.77) đúng khi 2 n ≤ m 0 Với bất kỳ m > 1, ta chọn n sao cho

2 n ≤ m

Tiêu đề	Bất Đẳng Thức Cực Đại Đối Với Tổng Các Biến Ngẫu Nhiên Phụ Thuộc Mixing
Tác giả	Phùng Ngọc Chương
Người hướng dẫn	PGS. TS. Lê Văn Thành
Trường học	Trường Đại Học Vinh
Chuyên ngành	Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học
Thể loại	luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2016
Thành phố	Nghệ An

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	360,25 KB