Kián thực cð sð
Iảan nguyản tố liản kát
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá mối quan hệ giữa các yếu tố nguy hiểm trong không gian R và các yếu tố nguy hiểm liên kết với M Cụ thể, chúng ta sẽ xác định một phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) = p, đồng thời tiếp tục phân tích các yếu tố nguy hiểm liên kết với M để đảm bảo rằng AssR(M) hoặc Ass(M) được hiểu rõ.
Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp cĂc iảan nguyản tố liản kát.
(a) Cho p l iảan nguyản tố cừa R Khi õ p ∈ Ass R (M) náu v ch¿ náu M chựa mởt mổun con ¯ng cĐu vợi R/p.
Cho p là phần tử tối ưu của tập các đại lượng cõ dông Ann(x) trong khoảng 0 ≤ x ∈ M Khi p thuộc Ass R (M), điều này cho thấy M không bằng 0 khi và chỉ khi Ass R (M) không bằng 0 Hơn nữa, tập ZD(M) chứa các yếu tố của M chính là hợp của các đại lượng nguyên tố liên kết của M.
(c) Cho 0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0 l dÂy khợp cĂc R−mổun. Khi â
(d) Ass R (M) ⊆ Supp R (M) v méi ph¦n tû tèi thiºu cõa Supp R (M) ãu thuởc Ass R (M).
Náu M l R−mổun hỳu hÔn sinh thẳAss R (M) là tập hợp hỳu hÔn Hơn nữa, Ass R (M) thuộc V(AnnM) và mỗi phần tử tối thiểu của V(AnnM) đều thuộc Ass R (M) Do đó, Ann(M) là giao cắt của các yếu tố liên quan đến M.
(f) Náu N l mổun con cừa M thẳ
Dữ liệu từ M Brodmann cho thấy sự quan trọng của việc nghiên cứu các tín hiệu nguy hiểm trong não Hình ảnh 1.1.3 minh họa sự tương tác giữa các tế bào R và M, nhấn mạnh vai trò của chúng trong quá trình sinh học Khi phân tích các tập Ass R (M/I n M) và Ass R (I n−1 M/I n M), chúng ta có thể thấy rõ sự không phụ thuộc vào n, điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này.
Mổun Ext
Trong mối quan hệ giữa các khái niệm, chúng ta cần hiểu rõ về đặc điểm và chức năng của chúng Đặc biệt, việc mở rộng một số tính chất cở bản sẽ giúp làm rõ hơn ý nghĩa của các khái niệm này Để hiểu một cách sâu sắc, việc khám phá các mối liên hệ giữa chúng là rất quan trọng.
−→P 2 −→ P 1 −→P 0 −→ M −→ 0 trong õ mội Pi l mổun xÔ Ênh.
Chú ỵ 1.2.2 đề cập đến việc giải xô ên của một mô hình M luôn tồn tại Trong đó, giÊ sỷ Y là một hằng sinh của M, với P 0 = ⊕ y∈Y R y và R y = R, l là R−mổun tỹ do trản têp Y Khi đó, ta có tồn tại một đồng cấu ϕ : P 0 −→ M sao cho ϕ(a y ) y∈Y = Σ y∈Y a y y K 1 được định nghĩa là Kerϕ, và Y 1 là hằng sinh của K 1.
P 1 là một toán tử tuyến tính từ Y 1 Khi đó, chúng ta có một toán tử tuyến tính f 1: P 1 → K 1 với ảnh Imà 1 = Kerϕ Đặt K 2 = Kerà 1 Bằng cách lặp lại quy trình này, ta có một toán tử tuyến tính f 2: P 2 → K 2 sao cho P 2 là một toán tử tuyến tính và Imà 2 = Kerà 1, trong đó à 2 = j 2 f 2 với j 2: K 2 → P 1 là phép nhúng tuyến tính Kết quả cuối cùng thu được một dãy khập.
Trong không gian Pi l mổun tỹ do, ta có thể xem xét sự tồn tại của điểm M với điều kiện ϕ M −→ 0 Mỗi mổun tỹ do đều có một khối lượng riêng, và giá trị của nó sẽ phụ thuộc vào các yếu tố khác nhau Đối với N là R−mổun, ta xác định tỷ lệ Hom(−, N) là một phân phối khớp trái Cuối cùng, M cũng là một R−mổun, và từ đó ta có thể tìm ra giải xô Ênh của M.
TĂc ởng h m tỷ Hom(−, N) v o dÂy khợp trản ta cõ phực
Khi õ Ext i R (M, N) = Kerf i ∗ /Imf i−1 ∗ Mổun n y khổng phử thuởc v o viằc chồn giÊi xÔ Ênh cừa M.
Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mổun Ext.
(a) Náu M l xÔ Ênh thẳ Ext i R (M, N) = 0 vợi mồi i ≥ 1.
(c) Náu 0 −→ N 0 −→ N −→ N” −→ 0 l dÂy khợp ngưn thẳ tỗn tÔi cĂc ỗng cĐu nối Ext n R (M, N 00 ) −→ Ext n+1 R (M, N 0 ) vợi mồi n ≥ 0 sao cho ta cõ dÂy khợp d i
(d) Náu 0 −→ N 0 −→ N −→ N” −→ 0 l dÂy khợp ngưn thẳ tỗn tÔi cĂc ỗng cĐu nối Ext n R (N 0 , M) −→ Ext n+1 R (N 00 , M) vợi mồi n ≥ 0 sao cho ta cõ dÂy khợp d i
Tứ Chú ỵ 1.2.2 v tứ ành nghắa Ext ta cõ ngay kát quÊ sau.
Hằ quÊ 1.2.5 NáuM, N l cĂcR−mổun hỳu hÔn sinh thẳ Ext n R (M, N) l hỳu hÔn sinh vợi mồi n.
Kát quÊ sau Ơy cho ta tẵnh chĐt giao hoĂn giỳa Ext v h m tỷ àa ph÷ìng hâa.
Mằnh ã 1.2.6 Náu S l têp õng nhƠn cừa R thẳ
S −1 (Ext n R (M, N)) ∼= Ext n S −1 R (S −1 M, S −1 N) trong õ S −1 l h m tỷ àa phữỡng hõa °c biằt,
(Ext n R (M, N)) p ∼= Ext n R p (M p , N p ) vợi mồi iảan nguyản tố p cừa R.
Mổun ối ỗng iãu àa phữỡng
Để xác định không gian liên hợp Γ I (M) của một R-môđun M, ta định nghĩa Γ I (M) = S n≥0 (0 : M I n ) Nếu f : M −→ N là một đồng cấu giữa các R-môđun, thì tồn tại đồng cấu f ∗ : Γ I (M) −→ Γ I (N) với điều kiện f ∗ (m) = f(m) Khi Γ I (−) là một hàm tỷ hiền biến, nó khớp trái với các R-môđun, và Γ I (−) được gọi là hàm tỷ lệ I-xo.
Bờ ã 1.3.2 Cho I l iảan cừa v nh Noether R GiÊ sỷ M l hỳu h¤n sinh C¡c ph¡t biºu sau l óng.
(a) ΓI(M) 6= 0 náu v ch¿ náu I ⊆ZD(M), trong õ
ZD(M) = {a ∈ R : tỗn tÔi 0 6= m ∈ M sao cho am = 0}
(b) Ass(Γ I (M)) = Ass(M)∩V(I) v Ass(M/Γ I (M)) = Ass(M)\V(I). ành nghắa 1.3.3 Mởt giÊi nởi xÔ cừa M l mởt dÂy khợp
0−→M −→ à E 0 −→ f 0 E 1 −→ f 1 E 2 −→ f 2 trong õ mội E i l mổun nởi xÔ.
Chú ỵ 1.3.4 GiÊi nởi xÔ cừa mởt mổun M luổn tỗn tÔi. ành nghắa 1.3.5 Cho M l R−mổun v I l iảan cừa R Cho giÊi nởi xÔ cừa M
0−→M −→ à E 0 −→ f 0 E 1 −→ f 1 E 2 −→ f 2 TĂc ởng h m tỷ I−xoưn v o dÂy khợp trản ta ữủc phực
Khi õ H I i (M) = Kerf i ∗ /Imf i−1 ∗ l mổun ối ỗng iãu thự i cừa phực v ữủc gồi l mổun ối ỗng iãu àa phữỡng thự i cừa M ối vợi iảan I.
Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mổun ối ỗng iãu àa ph÷ìng.
(a) Náu M l nởi xÔ thẳ H I i (M) = 0 vợi mồi i ≥1.
(c) Náu 0 −→ M 0 −→ M −→ M” −→ 0 l dÂy khợp ngưn thẳ tỗn tÔi cĂc ỗng cĐu nối H I n (M 00 ) −→ H I n+1 (M 0 ) vợi mồi n ≥ 0 sao cho ta cõ dÂy khợp d i
−→ H I 1 (M) −→ H I 1 (M 00 ) −→ H I 2 (M 0 ) −→ Kát quÊ sau Ơy cho ta tẵnh chĐt giao hoĂn giỳa ối ỗng iãu àa ph÷ìng v h m tû àa ph÷ìng hâa.
Mằnh ã 1.3.7 Náu S l têp õng nhƠn cừa R v S −1 l h m tỷ àa phữỡng hõa thẳ S −1 H I n (M) ∼= H S n −1 I(S −1 M) °c biằt, (H I n (M)) p ∼H IR n p(M p ) vợi mồi iảan nguyản tố p cừa R.
Tứ mằnh ã trản ta cõ kát quÊ sau.
Bờ ã 1.3.8 Vợi mội iảan nguyản tố p cừa R ta cõ p ∈ AssH I n (M) náu v ch¿ náu pR p ∈ AssH IR n p(M p ).
Chiãu v ở sƠu cừa mổun
ành nghắa 1.4.1 Cho R l v nh giao hoĂn Noether v M l R−mổun hỳu hÔn sinh khĂc 0 DÂy cĂc phƯn tỷ a 1 , , a n ∈ R ữủc gồi l M−dÂy chẵnh quy náu:
(ii)ai l phƯn tỷM/(a1, , a i−1 )M−chẵnh quy, vợi mồii = 1, , n. ở d i cừa M−dÂy l số phƯn tỷ cừa dÂy M−dÂy khổng cõ phƯn tỷ n o gồi l M−dÂy cõ ở d i 0.
(i) a ∈ R l phƯn tỷ M−chẵnh quy náu a khổng l ữợc cừa 0 trong
Cho R là một vành giao hoán Noether và M là một R-module không bằng 0 Giả sử I là lý thuyết cục bộ của R sao cho M không bằng IM, và a₁, , aₙ là một M-dãy chính quy trong I Điều này có nghĩa là M/(a₁, , aₙ)M khác 0 và mỗi aᵢ không thuộc vào p với mọi p thuộc Ass R M/(a₁, , aᵢ₋₁)M, với i = 1, , n.
M−dÂy chẵnh quy tối Ôi trong I là một phần tử a n+1 ∈ I sao cho a1, , an, an+1 tạo thành một M−dÂy chẵnh quy cõ ở d i n+1 Định nghĩa 1.4.3 cho rằng R là nh giao hoĂn Noether và M là R−mổun hỳu hÔn sinh khĂc 0 LĐyI là l iảan cừaR sao cho M 6= IM Khi xét mồi dÂy chẵnh quy cừa M trong I, nó sẽ cõ thº mð rởng th nh dÂy chẵnh quy tối Ôi trong I và các dÂy chẵnh quy tối Ôi cừa M.
I cõ cũng ở d i ở d i n y gồi chung l ở sƠu cừa M trong I Kẵ hiằu l depth(I, M).
Nhên x²t là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc biệt là trong việc phân tích các biến ngẫu nhiên Khi xem xét một mẫu ngẫu nhiên từ một phân phối xác suất, các biến này cần phải tuân theo các tỷ lệ nhất định Đặc biệt, nếu M là một mẫu gồm các giá trị (a1, , an), thì M phải khác với mM theo định lý Nakayama Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ cấu trúc và tính chất của các biến ngẫu nhiên trong nghiên cứu thống kê.
Do õ dÂy cĂc phƯn tỷ cừa R l M−dÂy chẵnh quy khi v ch¿ khi nõ l M−dÂy chẵnh quy trong m Trong trữớng hủp n y, ở sƠu cừa M trong m gồi l ở sƠu cừa M v kẵ hiằu l depthM.
Kát quÊ sau Ơy l °c trững qua tẵnh khổng triằt tiảu cừa mổun Ext.
Mằnh ã 1.4.4 đề cập đến R là một vành Noether, I là lý thuyết của R và M là một R-module Khi độ sâu của I trong M được xác định bởi công thức depth(I, M) = inf{i | Ext i R (R/I, M) ≠ 0}, cho thấy mối liên hệ giữa các cấu trúc đại số và tính chất của các mô-đun Thông qua đó, ta có thể hiểu rõ hơn về sự tương tác giữa các yếu tố trong lý thuyết vành và mô-đun, đồng thời khám phá các khía cạnh quan trọng trong nghiên cứu đại số.
Mằnh ã 1.4.5 GiÊ sỷ I l iảan cừa R v M l hỳu hÔn sinh Khi â depth(I, M) = inf{i | H I i (M) 6= 0}.
Ta có một dãy mởt dãy các số nguyên tố p₀ ⊂ p₁ ⊂ ⊂ pₙ, trong đó pᵢ ≠ pᵢ₊₁ là một dãy nguyên tố có ở d₁, d₂, , dₙ Chiều của vân R, kẽ hiểu là dimR, là cên trản của các ở d₁ của các dãy dãy nguyên tố trong.
R Chiãu cừa mổun M, kẵ hiằu l dimM l cên trản cừa cĂc số n sao cho cõ mởt dÂy nguyản tố cõ ở d i n trong SuppM Khi M l hỳu hÔn sinh thẳ SuppM = V(Ann R M), do õ dimM = dimR/Ann R M = sup p∈Ass M dim(R/p).
Khi R l v nh Noether àa phữỡng thẳ mồi R−mổun hỳu hÔn sinh ãu cõ chiãu hỳu hÔn °c biằt, ta cõ kát quÊ sau Ơy.
Mằnh ã 1.4.6 Cho (R,m) l v nh àa phữỡng v M l R−mổun hỳu hÔn sinh Khi õ `(M/m n M) l mởt a thực vợi hằ số hỳu t khi n ừ lợn v dimM = deg(`(M/m n M))
GiÊ sỷdimM = d Theo mằnh ã trản, cõ cĂc phƯn tỷa1, , ad ∈ m sao cho `(M/(a1, , adM)) < ∞ Mởt hằ nhữ thá ữủc gồi l hằ tham sè cõa M.
Kát quÊ sau Ơy ch¿ ra rơng chiãu cừa mởt mổun cõ thº °c trững thổng qua tẵnh triằt tiảu v khổng triằt tiảu cừa mổun ối ỗng iãu àa ph÷ìng.
Mằnh ã 1.4.7 Cho I l iảan cừa R v M l R−mổun hỳu hÔn sinh kh¡c 0 Khi â
(b) Náu (R,m) l v nh àa phữỡng thẳ dimM = sup{i :H m i (M) 6= 0}.
V nh v mổun phƠn bêc
Mởt v nh phƠn bêc A là một v nh giao hoĂn thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt A = L ∞ n=0 A n, trong đó A n là các nhõm con của A và A n A m ⊆ A n+m với mọi n, m Mội phƯn tỷ cừa A n được gọi là phƯn tỷ thuƯn nhĐt bêc n.
Náu A= ⊕ n≥0 A n l mởt v nh phƠn bêc thẳ A 0 l mởt v nh con cừa
A v A n l A 0 −mổun vợi mồi n ≥0 °c biằt, A cõ cĐu trúc tỹ nhiản l mởt A 0 Ôi số Náu tỗn tÔi hỳu hÔn phƯn tỷ a 1 , , a n ∈ A 1 sao cho
A = A 0 [a 1 , , a n ] là một cấu trúc toán học trong đó A 0 là số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh, trong trường hợp n y A l là một biến thể của A 0 Nếu A 0 là một không gian Noether, thì A l cũng sẽ là một không gian Noether Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các không gian Noether và các biến thể của chúng trong toán học.
Cho Al v nh phƠn bêc v M l A−mổun thẳM gồi l A−mổun phƠn bêc náu thọa mÂn cĂc iãu kiằn sauM = L ∞ n=0 M n (nhữ l nhõm) v A n M m ⊆ M n+m vợi mồi n, m Khi õ mởt phƯn tỷ x ∈ M n gồi l cĂc phƯn tỷ thuƯn nhĐt (phƠn bêc) cõ bêc l n Cho N l mổun con cừa mổun phƠn bêc M, N ữủc gồi l mổun con thuƯn nhĐt (phƠn bêc) náu N = L ∞ n=0 (Mn∩N).
Tẵnh ờn ành tiằm cên cừa mởt số mð rởng cừa ở s¥u
M − dÂy tứ chiãu > k v cĂc tẵnh chĐt
ành nghắa 2.1.1 Cho k ≥ 0 l mởt số nguyản Mởt dÂy x 1 , , x r cĂc phƯn tỷ cừa m ữủc gồi l M−dÂy tứ chiãu > k náu vợi mội i ∈ {1, , r} ta cõ x i ∈/ p vợi mồi p ∈ Ass R (M/(x 1 , , x i−1 )M) m dim(R/p) > k.
Dạ thầy rồng x₁, , xᵣ là một M-dãy tứ chiều lớn hơn -1 nếu và chỉ nếu nó là một dãy chính quy của M, và x₁, , xᵣ là một M-dãy tứ chiều lớn hơn 0 nếu và chỉ nếu nó là một dãy lộc chính quy của M theo đề xuất của N T Cường, P Schenzel và N V Trung Hơn nữa, x₁, , xᵣ là một M-dãy tứ chiều lớn hơn 1 nếu và chỉ nếu nó là một dãy chính quy suy rộng của M theo định nghĩa của L T Nhân Chú ý rằng cho k là một số nguyên, nếu dim(M/IM) > k, thì tồn tại M-dãy tứ chiều lớn hơn k trong I Trong trường hợp này, depth k (I, M) là độ sâu của một M-dãy tứ chiều lớn hơn k tối thiểu trong I Nếu x₁, , xᵣ là một dãy tứ chiều lớn hơn k tối thiểu trong I, thì x₁, , xᵣ là một phần hàm tham số của M, và do đó depth k (I, M) ≤ dim(M) − dim(M/IM) Chú ý rằng depth −1 (I, M) là số tổng quát của depth(I, M) của M trong I, depth 0 (I, M) là số lộc f-depth(I, M) của M trong I, và depth 1 (I, M) là số suy rộng của M trong I theo định nghĩa của L T Nhân.
(ii) Náu dim(M/IM) ≤ k thẳ ta cõ thº chồn mởt M−dÂy tứ chiãu > k trong I cõ ở d i r nguyản dữỡng bĐt kẳ, v trong trữớng hủp n y ta °t depth k (I, M) = ∞.
Cho S l têp con cừa Spec(R) v i ≥ 0 l mởt số nguyản, ta °t
Bờ ã 2.1.3 Cho k ≥ −1 l mởt số nguyản Khi õ depth k (I, M) = inf{j | dim(Ext j R (R/I, M)) > k}
= inf{depth k−i (I p , M p )|p ∈ Supp(M/IM) ≥i } vợi mồi 0≤ i ≤ k+ 1, ð Ơy ta quy ữợc rơng inf(∅) =∞.
Chứng minh rằng độ sâu \( \text{depth}_k(I, M) = \infty \) nếu như \( \text{dim}(M/IM) \leq k \), vì điều này cho thấy \( M \) nằm trong trường hợp độ sâu \( k \) với \( \text{depth}_k(I, M) = \infty \) Đặt \( r = \text{depth}_k(I, M) \) là một số nguyên không âm Theo tài liệu [4, Bờ ã 2.4], ta có \( r = \inf\{i \mid \exists p \in \text{Supp}(H^i(M)), \text{dim}(R/p) > k\} \).
Hỡn nỳa, theo [ 7, Bờ ã 2.8 ], ta ữủc
Supp(Ext j R (R/I, M)) vợi mồi l ≥0 Do õ r = inf{j|∃p ∈ Supp(Ext j R (R/I,(M)),dim(R/p) > k} hay r = inf{j|dim(Ext j R (R/I, M)) > k}.
Ta chựng minh dĐu bơng thự hai trong bờ ã Cho x 1 , , x r l mởt M−dÂy tứ chiãu > k trong I v i ∈ {0, , k + 1} Vợi mội p ∈ Supp(M/IM) ≥i , ta thĐy x 1 /1, , x r /1 l mởt M p −dÂy tứ chiãu
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các yếu tố trong lý thuyết bậc và chiều sâu của các lý thuyết lý thuyết Cụ thể, nếu x_i thuộc vào I_p và các yếu tố qR_p tồn tại với dim(R/q) lớn hơn k, thì điều này dẫn đến việc xác định chiều sâu của I_p và M_p Hơn nữa, ta cũng có thể tìm thấy một chuỗi các yếu tố q ⊂ q_0 ⊂ q_1 ⊂ ⊂ q_k ⊂ q_{k+1} với q_i thuộc vào Supp(M/IM) Cuối cùng, chúng ta có thể xác định một yếu tố p_0 sao cho dim(R/p_0) = i và dim(R_{p_0}/qR_{p_0}) lớn hơn k - i, từ đó cho thấy mối liên hệ giữa các yếu tố này trong không gian lý thuyết.
Supp R p 0(Ext r R p 0(R p 0 /I p 0 , M p 0 )) >k−i Suy ra r ≥ depth k−i (I p 0 , M p 0 ) Vẳ vêy r = inf{depth k−i (I p , M p )|p ∈ Supp(M/IM) ≥i }.
Kẵ hiằu 2.1.4 Cho R = ⊕ n≥0 R n là một ôi số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trần và nh àa phưỡng R 0 = R, với M = ⊕ n≥0 M n là một R−mổun phân bậc hữu hạn sinh Do đó, ta kẵ hiằu N n l R−mổun M n hoặc M/J n M.
Theo ành lỵ cừa Brodmann vã sỹ ờn ành tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát [1] (xem cÊ [18, ành lỵ 3.1]), ta cõ bờ ã sau.
Bờ ã 2.1.5 Têp Ass R (N n ) l ờn ành vợi n ừ lợn.
Bờ ã 2.1.6 Cho k ≥ −1 v r ≥ 1 l nhỳng số nguyản Náu dim(Ext i R (R/I, Nn)) ≤ k vợi vổ hÔn n v mồi i < r Thẳ luổn tỗn tÔi r phƯn tỷ x1, xr l Nn−dÂy tứ chiãu > k trong I vợi mồi n ừ lợn.
Ta chựng minh bờ ã bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo r.
Náu r = 1, thẳ dim(Hom(R/I, N n )) ≤ k vợi mồi n ∈ T Khi õ
I 6⊆ p vợi mồi p ∈ Ass R (N n ) >k Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng tỗn tÔi p ∈ AssR(Nn)>k sao cho I ⊆ p Vẳ
Ass R (Hom(R/I, N^n)) = Ass R (N^n) ∩ V(I) Nếu p ∈ Ass R (Hom(R/I, N^n)), thì p ∈ Supp(Hom(R/I, N^n)) do dim(Hom(R/I, N^n)) > k Theo định lý 2.1.5, Ass R (N^n) chứa một tập hợp các nguyên tố p sao cho I 6⊆ p với mọi n ≥ a Do đó, có thể tồn tại một phần tử x1 ∈ I.
Nn−dÂy tứ chiãu > k vợi mồi n ≥ a.
Giá trị sỹ r > 1v mằnh ã úng vợir−1 cho thấy ta có thể chứng minh rằng dim(Ext i R (R/I, N n /x 1 N n )) ≤ k với mọi i < r − 1 Từ đó, nếu dim(0 : N n x 1 ) > k thì ta có sup{dim(R/p)|p ∈ Ass R (0 : N n x 1 )} > k, dẫn đến tồn tại 0 ≠ m ∈ (0 : N n x 1 ) và p ∈ SpecR sao cho p = Ann(m) và dim(R/p) > k Hơn nữa, nếu x 1 ∈ N n − dãy tứ chiểu > k thì x 1 ∉ p, với mọi p ∈ Ass R (N n ) và dim(R/p) > k, chứng tỏ rằng 0 ≠ m ∈ (0 : N n x 1 ) và x 1 m = 0, do đó x 1 ∈ Ann(m) = p.
N n −dÂy tứ chiãu> k thẳdim(0 : N n x 1 ) ≤ kv dim(Ext i R (R/I, N n )) ≤ k mồi n ∈ T vợi n ≥a v mồi i < r Tứ dÂy khợp ngưn
Do dim(0 : N n x 1 ) ≤ k nản dim(Supp(H I i (0 : N n x 1 )))≤ k vợi mồi i ≥ 0, l¤i do
Supp(Ext i R (R/I,(0 : N n x 1 ))) nản dim(Ext i R (R/I,(0 : N n x 1 ))) ≤ k vợi mồi i < r −1 Tứ dÂy khợp trản, ta suy ra dim(Ext i R (R/I, N n /(0 : N n x 1 ))) ≤ k vợi mồi i < r M°t khĂc, tứ dÂy khợp ngưn
0−→ N n /(0 : N n x 1 ) −→ N n −→ N n /x 1 N n −→0 ta cõ dÂy khợp sau
Theo lý thuyết về đồng điều, nếu dim(Ext i R (R/I, Nn/(0 : Nn x 1))) ≤ k, thì dim(Ext i R (R/I, Nn/x1Nn)) cũng sẽ ≤ k với mọi mồin < r−1, mồin ∈ T và mồin ≥ a Do đó, theo quy nạp, tồn tại một Nn/x1Nn - dãy tứ chiều > k, chứng minh rằng x2, , xr ∈ I với mọi n ≥ a (với a thuộc T).
Chùng minh ành lþ 0.0.1
Chùng minh Ta câ dimN n = dimR/Ann R N n = sup p∈Ass N n dim(R/p).
Theo Bờ ã 2.1.5, tỗn tÔi số nguyản u > 0 sao cho d = dimN n v d 0 = dim(N n /IN n ) vợi mồi n ≥ u Náu d 0 ≤ k, thẳ luổn tỗn tÔi
N n −dÂy chẵnh quy tứ chiãu > k trong I cõ ở d i l vợi số nguyản l tũy ỵ, nản depth k (I, N n ) = ∞ vợi mồi n ≥ u GiÊ sỷ d 0 > k, thẳ
0 ≤ depth k (I, N n ) ≤ dimN n − dim(N n /IN n ) theo Chó þ 2.1.2 hay
Đối với độ sâu k (I, Nn), có điều kiện 0 ≤ depth k (I, Nn) ≤ d−d0 Chúng tôi xác định một số nguyên r ∈ {0, , d−d0} sao cho r = inf{i | dim(Ext i R (R/I, Nn)) > k} với mọi n ∈ T Chúng tôi chứng minh rằng r = depth k (I, Nn) với n thuộc T Nếu r = 0 thì dim(Ext 0 R (R/I, Nn)) = dim(Hom(R/I, Nn)) > k với mọi n ∈ T và Ass R (Hom(R/I, Nn)) = Ass R (Nn) ∩ V(I) theo Bờ ã 2.1.5 Nếu Ass R (Hom(R/I, Nn)) lớn hơn hoặc bằng a với mọi n ≥ a, thì depth k (I, Nn) = 0 với n ≥ a Nếu r ≥ 1, tồn tại v ≥ 0 sao cho depth k (I, Nn) ≥ r với mọi n ≥ v theo Bờ ã 2.1.6 Chúng tôi cũng chứng minh rằng dim(Ext r R (R/I, Nn)) > k, đồng thời giả sử rằng dim(Ext r R (R/I, Nn)) ≤ k với mọi n trong tập con v nhỏ hơn S của Z Theo Bờ ã 2.1.6, tồn tại số nguyên b ≥ v sao cho depth k (I, Nn) ≥ r + 1 và dim(Ext r R (R/I, Nn)) ≤ k theo Bờ ã 2.1.3 Cuối cùng, chúng tôi xác định số nguyên c với n thuộc T sao cho dim(Ext r R (R/I, Nn)) > k và dim(Ext i R (R/I, Nn)) ≤ k với mọi n ≥ c và mọi i < r.
Bờ ã 2.1.3 ta cõ depth k (I, N n ) = r vợi mồi n ≥c.
Trong ành lỵ 0.0.1, náu r = depth k (I, N n ) vợi mồi n ừ lợn, ta gồi r l giĂ trà ờn ành cừa depth k (I, N n ) Theo Bờ ã 2.1.6 v cĂch chựng minh ành lỵ 0.0.1, ta cõ hằ quÊ tiáp theo.
Hằ quÊ 2.2.1 Cho k ≥ −1 l mởt số nguyản v r l giĂ trà ờn ành cõa depth k (I, N n ) Khi â r = inf{i | dim(Ext i R (R/I, N n )) > k vợi vổ hÔn n}.
Mởt số tẵnh chĐt liản quan án depth k
Bờ ã sau ch¿ ra mối quan hằ giỳa depth k (I, J n M/J n+1 M) v depth k (I, M/J n M).
Bờ ã 2.3.1 Cho k ≥ −1 l mởt số nguyản GiÊ sỷ rơng r v s lƯn lữủt l cĂc giĂ trà ờn ành cừa depth k (I, J n M/J n+1 M) v depth k (I, M/J n M) Khi â ta câ r ≥s.
Chùng minh Cho n > 0 °t r(n) = depth k (I, J n M/J n+1 M) v s(n) = depth k (I, M/J n M) Tứ dÂy khợp ngưn
0−→ J n M/J n+1 M −→ M/J n+1 M −→ M/J n M −→0 ta cõ dÂy khợp d i sau
Do õ vợi bĐt kẳ j < min{s(n) + 1, s(n+ 1)} nản theo Bờ ã 2.1.3 ta câ dim(Ext j R (R/I, M/J n+1 M)) ≤ k do j < s(n+ 1) v dim(Ext j−1 R (R/I, M/J n M)) ≤k do j −1< s(n).
Theo định lý, nếu r(n) ≥ min{s(n) + 1, s(n+1)}, thì r ≥ min{s + 1, s} Điều này dẫn đến kết luận rằng r ≥ s, với điều kiện tồn tại một số nguyên a > 0 sao cho r = r(n) và s = s(n) với mọi n ≥ a.
Nhưc lÔi rơng mởt dÂy x 1 , , x r ∈ I ữủc gồi l mởt dÂy I−lồc chẵnh quy cừa M náu vợi mội i ∈ {1, , r} Ta cõ x i ∈/ p vợi mồi p ∈ Ass R (M/(x 1 , , x i−1 )M)\ V(I) Trong õ V(I) l têp tĐt cÊ cĂc iảan nguyản tố cừa R chựa I.
Bờ ã 2.3.2 đề cập đến việc xác định các số nguyên k ≥ −1 và r với 1 ≤ r < ∞ trong không gian chiều sâu k (I, Nn) Khi tồn tại một dãy x1, , xr trong I, thì dãy này phải thỏa mãn điều kiện Nn−dÂy tứ chiãu > k, và đồng thời dãy I−lồc chẵnh quy cừa Nn cũng cần được đảm bảo.
Chúng tôi sẽ chứng minh rằng cho l là số nguyên thỏa mãn 1 ≤ l ≤ r, tồn tại phương pháp quy nạp theo l để chứng minh rằng trong khoảng l đến r có l phần tử thuộc tập hợp B.
Với l = 1, theo Bờ ã 2.1.5, ta có thể giới hạn số nguyên t > 0 sao cho Ass R (N n) lớn hơn hoặc bằng t Đối với n ≥ 1, ta có I 6⊆ p và mồi p ∈ Ass R (N n) > k với mồi n ≥ t Từ đó, theo ảnh lỵ trình nguyên tố, ta có thể xác định các giá trị phù hợp.
I 6⊆ p vợi mồi p ∈ AssR(Nn)>k ∪ (AssR(Nn)\V(I)) v vợi mồi n ≥ t.
Do õ, tỗn tÔi 0 6= x1 ∈ I m x1 ∈/ p vợi mồi p ∈ AssR(Nn) \ V(I) v x1 ∈/ q vợi mồi q ∈ AssR(Nn)>k Suy ra mằnh ã ữủc chựng minh trong trữớng hủp l = 1.
Giá sỉ, với 1 < l ≤ r và mệnh đề chứng minh cho l−1 Khi tồn tại số nguyên t và một dãy x1, , xl−1 ∈ I sao cho dãy này thỏa mãn l N n − dãy từ chiều > k hoàn và dãy I−lộc chẵn quy cừa.
N n hoĂn và ữủc vợi mồi n≥ t.
Mỗi tập con J của {1, , l−1} có thể tạo ra một phần tỷ N n /P j∈J x j N n với điều kiện rằng quy tắc chiếu > k trong I được thỏa mãn Do đó, với mỗi p ∈ Ass(N n /P j∈J x j N n ) > k, mọi tập con J của {1, , l−1} đều không chứa p Điều này dẫn đến việc Ω l chứa tất cả các tập con của {1, , l−1}, và do Ω l là tập hợp nhỏ hơn, nó phải tuân theo quy tắc đã nêu trong Bờ ã 2.1.5.
(AssR(Nn/X j∈∧ xjNn)>k ∪(AssR(Nn/X j∈∧ xjNn)\V(I))) l ờn ành vợi n ừ lợn Theo ành lỵ trĂnh nguyản tố, tỗn tÔi x l ∈ I m x l ∈/ p vợi mồi p ∈ T.
Trước tiên, ta chứng minh rằng một dãy tứ chiếu \(x_1, \ldots, x_l\) trong không gian \(N^n\) là không hoàn và không rỗng Cho \(\delta \in S_l\) là một hoán vị của \(\{1, \ldots, l\}\) Giả sử rằng dãy \(x_{\delta(1)}, \ldots, x_{\delta(l)}\) không nằm trong \(N^n\) và thỏa mãn điều kiện lớn hơn \(k\) Đặt \(a \in \{1, \ldots, l\}\) là số nguyên dương sao cho \(x_{\delta(1)}, \ldots, x_{\delta(a)}\) không nằm trong \(N^n\) và thỏa mãn điều kiện lớn hơn \(k\) Khi đó, \(\delta(i) = l\) với mọi \(i < a\) và tồn tại \(p \in (Ass R(N^n)/(x_{\delta(1)}, \ldots, x_{\delta(a-1)}))\) lớn hơn \(k\) sao cho \(x_{\delta(a)} \in p\) Như vậy, ta có \(x_{\delta(1)}, \ldots, x_{\delta(a)} \in p\) và dãy \(x_{\delta(1)}/1, \ldots, x_{\delta(i-1)}/1, x_{\delta(i+1)}/1, \ldots, x_{\delta(a)}/1, x_{\delta(i)}/1\) không nằm trong \(N^n\), chứng tỏ rằng dãy này là chính quy.
M dim(R/p) > k, với x δ(j)/1 cho j thuộc J là dãy chính quy của (N n)p Ngoài ra, x l/1 = x δ(i)/1 không phải là phân tỷ chính quy của (N n)p/Σ j∈J x δ(j)(N n)p Vậy tồn tại q ∈ SpecR, q ⊆ p, sao cho x l/1 ∈ qR p ∈ Ass R p ((N n)p/Σ j∈J x δ(j)(N n)p) Suy ra, x l ∈ q ∈ Ass R (N n/Σ j∈J x δ(j) N n) > k ⊆ T Do đó, x δ(1), , x δ(l) là N n - dãy thứ chiếu > k.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một dãy các phần tử x δ(1), , x δ(l) thuộc về không gian N n, với mỗi δ ∈ S l và n ≥ t, t > 0 Chúng ta xác định rằng dãy này không phải là một dãy chính quy trong N n Đối với một số b ∈ {1, , l}, có b² phần tử sao cho x δ(1), , x δ(b) không thuộc dãy chính quy của N n Chúng ta đặt l = δ(i) với i < b và tồn tại p ∈ Ass R (N n )/((x δ(1), , x δ(b−1))N n )\V(I) sao cho x δ(b) thuộc p Do đó, x δ(1), , x δ(b) thuộc p và x δ(1)/1, , x δ(i-1)/1, x δ(i+1)/1, , x δ(b)/1, x δ(i)/1 không nằm trong dãy chính quy của (N n ) p.
M p ∈/ V(I), vợi (x δ(j ) /1) j∈J 0 l dÂy chẵnh quy ựng vợi (N n ) p Do õ, x l /1 = x δ(i) /1 khổng l chẵnh quy ựng vợi (N n ) p /Σ j∈J 0 x δ(j) (N n ) p iãu n y cõ nghắa l , tỗn tÔi q ∈ SpecR,q ⊆ p sao cho x l /1 ∈ qR p ∈ Ass R p (N n ) p /Σ j∈J 0 x δ(j) (N n ) p Vêy cõx l ∈ q ∈ Ass R (N n )/Σ j∈J 0 x δ(j) (N n )\
V(I) ⊆ T iãu n y mƠu thuăn vợi cĂch chồn x l Vêy, x δ(1) , , x δ(l) l dÂy I−lồc chẵnh quy cừa N n
Cuối cũng, ta nhưc lÔi mởt tẵnh chĐt ữủc sỷ dửng trong phƯn tiáp theo.
Bờ ã 2.3.3 ([13,1.2],[20,3.4]) Náu x 1 , , x r l mởt dÂy I−lồc chẵnh quy cừa M thẳ
Tẵnh ờn ành tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát
Chùng minh ành lþ 0.0.2 (i)
Trữợc tiản, ta nhưc lÔi mởt tẵnh chĐt cừa mổun ối ỗng iãu àa ph÷ìng.
Bờ ã 3.1.1 [6, ành lỵ 2.4] Cho r = depth(I, M) GiÊ sỷ rơng
1 ≤r < ∞ v x 1 , , x r l mởt dÂy chẵnh quy cừa M trong I Khi õ
Ass R (H I r (M)) = Ass R (M/(x 1 , , x r )M)∩V(I) Để suy ra các ảnh lũy tiếp theo, xét R = ⊕ n≥0 R n là một ô số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh, với R 0 = R và M= ⊕ n≥0 M n là một R−mô đun phân bậc hữu hạn sinh Giả sử I là một ideal của R và r là giá trị độ sâu của ideal I trong ảnh lũy tiếp theo AssR(H I r (Mn)).
Chựng minh Náu r = ∞ thẳ depth(I, M n ) = inf{i : H I i (M n ) 6= 0)} = ∞.
Nản H I i (M n ) = 0 mồi i, ta suy ra Ass R (H I r (M n )) = ∅ vợi n ừ lợn Do õ, têp Ass R (H I r (M n )) l ờn ành vợi n ừ lợn.
AssR(H I 0 (Mn)) = AssR(ΓI(Mn)) = AssR(Mn)∩V(I) l ờn ành vợi n ừ lợn theo Bờ ã 2.1.5.
Ta chựng minh mằnh ã úng vợi 1 ≤ r < ∞ Khi õ theo ành lỵ 0.0.1, Bờ ã 2.1.5, Bờ ã 2.3.2 tỗn tÔi số nguyản a sao cho vợi mồi n ≥a c¡c kh¯ng ành sau l óng :
(ii) tỗn tÔi x 1 , , x r l mởt dÂy chẵnh quy cừa M n trong I;
(iii) Ass R (M n /(x 1 , , x r )M n ) l têp ởc lêp vợi n.
Do õ, theo Bờ ã 3.1.1 ta cõ
Ass R (H I r (M n )) = Ass R (M n /(x 1 , , x r )M n )∩V(I) với m ≥ a Để Ass R(H I r (M n)) là tập ổn định với n là lợn Cho (R,m) là một vành địa phương I, J là các ideal của R và M là R−môđun hữu hạn sinh Cho s là giá trị ổn định của depth(I, M/J n M) Khi đó, Ass R (H I s (M/J n M)) là tập ổn định với n là lợn.
Chùng minh Chor l gi¡ trà ên ành cõadepth(I, J n M/J n+1 M) Theo
Bờ ã 2.3.1 ta cõ r ≥ s Hỡn nỳa, ta cõ thº chồn ữủc mởt số nguyản a > 0 sao cho s = depth(I, M/J n M) v r = depth(I, J n M/J n+1 M) vợi mồi n≥ a Tứ dÂy khợp ngưn
0−→ J n M/J n+1 M −→ M/J n+1 M −→ M/J n M −→0 ta cõ dÂy khợp d i sau
−→ H I j (M/J n+1 M) −→ H I j (M/J n M) −→ vợi mồi n≥ 0 Ta chựng minh trong ba trữớng hủp sau.
Trữớng hủp 1: r−2≥ s thẳ r ≥ s+ 2 hay r > s+ 1 Bði dÂy khợp d i trản, ta cõ dÂy khợp
H I s (M/J n M) ∼= H I s (M/J n+1 M) vợi mồi n≥ a Do vêy, Ass R (H I s (M/J n M)) l têp ờn ành vợi nừ lợn. Trữớng hủp 2: r−1 = s Cõ dÂy khợp sau
−→ H I s (M/J n M) −→ H I s+1 (J n M/J n+1 M) trong õ H I s (J n M/J n+1 M) = 0 do r > s Do vêy, cõ dÂy khợp sau
Ass R (H I s (M/J n+1 M)) ⊆ Ass R (H I s (M/J n M)) với mọi n ≥ a Điều này cho thấy Ass R (H I s (M/J n M)) không rỗng, và Ass R (H I s (M/J a M)) là hữu hạn Trong trường hợp 3: r = s, ta có thể thấy rằng dãy hợp này có thể được xác định.
−→ H I s (M/J n+1 M) −→ H I s (M/J n M) vợi mồi n ≥ a, trong õ H I s−1 (M/J n M) = 0 do s−1 < r Do vêy, ta cõ dÂy khợp sau
0 −→H I s (J n M/J n+1 M) −→ H I s (M/J n+1 M) −→ H I s (M/J n M) vợi mồi n≥ a Theo ành lỵ 3.1.2 tỗn tÔi số nguyản b ≥ a sao cho
Ass R (H I s (J n M/J n+1 M)) = Ass R (H I s (J b M/J b+1 M)) vợi mồi n ≥ b °t X := Ass R (H I s (J b M/J b+1 M)), khi õ theo dÂy khợp trản ta cõ
X ⊆Ass R (H I s (M/J n+1 M)) ⊆Ass R (H I s (M/J n M))∪ X vợi mồi n≥ b Do õ, vợi bĐt kẳ n ≥b ta cõ
Tứ õ, vẳ Ass R (H I s (M/J b+1 M)) l hỳu hÔn bði theo Bờ ã 3.1.1, nản Ass R (H I s (M/J n M)) l têp ờn ành vợi n ừ lợn.
3.2 Chùng minh ành lþ 0.0.2 (ii)
Trữợc tiản ta nhưc lÔi mởt °c trững cừa ở sƠu lồc thổng qua tẵnh Artin cừa mổun ối ỗng iãu àa phữỡng.
Bờ ã 3.2.1 [19, ành lỵ 3.1] f-depth(I, M) = inf{i|H I i (M) khổng l Artin }.
Bây giờ, chúng ta áp dụng các định lý 3.1.2 và 3.1.3 để chứng minh các kết quả Cụ thể, ta chứng minh rằng trong hai định lý dữ dới, với Ơy tữỡng ựng và Nn = Mn trong trường hợp hợp phơn bậc M = ⊕ n≥0 Mn.
Nn = M/J n M Cho R = ⊕ n≥0 Rn là một ô số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trình và nhánh phưỡng R0 = R, với M = ⊕ n≥0 Mn là một R− mổun phân bậc hữu hạn sinh Cho I là một ideal của R và r0 là giá trị trên ảnh của f-depth(I, Mn) Khi â S j≤r 0.
AssR H I j (Mn)) l têp ờn ành vợi n ừ lợn.
Chựng minh Vợi r 0 = 0 ta cõ
Theo Bờ ã 2.1.5 thẳ Ass R (Γ I (M n )) l ờn ành vợi n ừ lợn.
Vợi r 0 = ∞, theo Bờ ã 3.2.1 ta cõ f-depth(I, M) = inf{i|H I i (M n ) khổng l Artin } nản H I i (M n ) l Artin vợi mồi i nản S j≤r 0
Ass R H I j (M n )) = {m} do â nâ ờn ành vợi n ừ lợn.
Ta chựng minh phƯn cỏn lÔi, trong trữớng hủp 1≤ r 0 < ∞ Khi õ theo ành lỵ 0.0.1, Bờ ã 2.1.5 v 2.3.2 tỗn tÔi số nguyản a sao cho vợi mồi n ≥a cĂc kh¯ng ành sau Ơy l úng:
(ii) cõ mởt dÂy x 1 , , x r 0 trong I sao cho nõ ỗng thới l mởt dÂy lồc chẵnh quy cừa M n hoĂn và ữủc v l dÂy I−lồc chẵnh quy cừa M n hoĂn và ữủc;
(iii) AssR(Mn/(x1, , xr 0 )Mn) l têp ởc lêp vợi n.
Trữợc hát ta chựng minh S n≥a
AssR H I r 0 (Mn)) l têp hỳu hÔn LĐy số nguyản n≥ a Ta cõ H I r 0 (M n ) ∼= H I 0 (H (x r 0
(M n /(x t 1 , , x t r 0 )M n ) theo [5, ành lỵ 5.2.9] Nhữ vêy theo [4, Mằnh ã 2.6] ta thu ữủc
AssR H I r 0 (Mn)) l têp hỳu hÔn bði cĂch chồn cừa a.
Tứ Ơy khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta cõ thº giÊ sỷ rơng vợi a ừ lợn sao cho têp S = S n≥a
Ass R H I r 0 (M n )) ch¿ bao gỗm tĐt cÊ cĂc iảan nguyản tố p vợi p ∈ AssR H I r 0 (Mn)) vợi vổ hÔn n ≥a.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét Ass R H I r 0 (M n ) với p ∈ S và một tập hợp T chứa các số nguyên Để chứng minh rằng p ∈ Ass R H I r 0 (M n ) với mọi n ∈ T, ta có thể kết luận rằng độ sâu của I p (M n ) là r 0, tức là depth(I p (M n )) ≤ r 0 Đồng thời, nếu p ∈ Supp(M n /IM n )\{m}, theo định lý Bờ ã 2.1.3, ta có depth(I p (M n )) ≥ r 0 Kết hợp các điều kiện này, ta xác định rằng depth(I p (M n )) = r 0 với mọi n ∈ T, từ đó khẳng định rằng Ass R p H I r 0 (M n ) không rỗng với mọi n ∈ T.
Do õ Ass R H I r 0 (M n ))\ {m} l ờn ành vợi n ừ lợn.
Gồi r l giĂ trà ờn ành cừadepth(I, M n ) Ró r ngr ≤ r 0 Náur = r 0 thẳ H I j (M n ) = 0 vợi mồi j < r 0 do õ
Ass(H I j (Mn)) = AssR H I r 0 (Mn)) l ờn ành vợi nừ lợn theo ành lỵ 3.1.2 Náu r < r0, tỗn tÔi n ừ lợn sao cho 06= H I r (Mn) l mổun Artin bði ành lỵ 3.2.1 Nõ kh¯ng ành rơng
= Ass R H I r 0 (M n ))∪ {m} l ờn ành vợi n ừ lợn.
Trữợc khi chựng minh kh¯ng ành (ii) cừa ành lỵ 0.0.2 choM/J n M, ta cƯn chựng minh bờ ã sau.
Bờ ã 3.2.3 Cho A l mởt mổun con cừa R−mổun K Khi õ
Chựng minh Cho p ∈ AssR(K/A)\Supp(A) Khi õ tỗn tÔi06= ν ∈ K sao cho p = (A : ν) R suy ra pν ⊆ A Do õ, vẳ p ∈/ SuppA suy ra nản
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một số tính chất của không gian vector và các lý thuyết liên quan đến lý thuyết lý thuyết Đầu tiên, ta có biểu thức pν = 0 và từ đó suy ra rằng tồn tại r ∈ R\p sao cho rpν = 0, cho thấy p ⊆ ann R (rν) với r /∈ p Hơn nữa, nếu x ∈ ann R (rν), ta có xrν = (xr)ν = 0, dẫn đến xr ∈ ann R (ν) ⊆ (A : ν) R = p Do đó, với r /∈ p và x ∈ p, ta kết luận rằng ann R (rν) ⊆ p Cuối cùng, ta có ann R (rν) = p với p ∈ Ass R, chứng minh rằng lý thuyết này có tính chất rộng rãi và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Ta cõ dÂy khợp sau
Ass(K) ⊆Ass(K/A)∪ Ass(A) ⊆ Ass(K/A)∪Supp(A) suy ra
Ass(K)∪Supp(A) ⊆ Ass(K/A)∪Supp(A) hay
Ass R (K/A)\Supp(A) = Ass R (K)\Supp(A). ành lỵ 3.2.4 Cho (R,m) l mởt v nh àa phữỡng I, J l cĂc iảan cừa R v M l R−mổun hỳu hÔn sinh Cho s 0 l giĂ trà ờn ành cừa f-depth(I, M/J n M) Khi â S j≤s 0
Ass R (H I j (M/J n M)) l têp ờn ành vợi n ừ lợn.
Chứng minh rằng theo ảnh lý 0.0.1, tồn tại số nguyên a sao cho r0 = f-depth(I, J n M/J n+1 M) và s0 = f-depth(I, M/J n M) với mọi n ≥ a Theo ảnh lý 3.1.3, kết quả trả về là s0 = ∞ Nếu s0 < ∞, thì sử dụng phần cuối trong chứng minh của ảnh lý 3.2.2, ta cần chỉ ra rằng r0 là tập hợp Ass R (H I s0 (M/J n M)) \ {m} lớn hơn n từ lợn Từ đây khẳng định được điều này.
0−→ J n M/J n+1 −→ M/J n+1 M −→M/J n M −→ 0 ta cõ dÂy khợp d i sau
−→H I j (M/J n+1 M) −→H I j (M/J n M) −→ . vợi mồi n ≥ 0 Chú ỵ rơng r0 ≥ s0 bði Bờ ã 2.3.1 Do vêy ta x²t hai trữớng hủp sau.
Trữớng hủp 1: r0−1≥ s0 Bði dÂy khợp d i trản Ơy, ta thu ữủc dÂy khợp sau
H I s 0 (J n M/J n+1 M) −→ H I s 0 (M/J n+1 M) −→ H I s 0 (M/J n M) vợi mồi n ≥ a, trong õ H I s 0 (J n M/J n+1 M) l Artin bði ành lỵ 3.2.1.
AssR(H I s 0 (M/J n+1 M))\ {m} ⊆ AssR(H I s 0 (M/J n M))\ {m} vợi mồi n ≥ a Vẳ AssR(H I s 0 (M/J n M)) l hỳu hÔn vợi n = a theo [6, ành lỵ 2.5], nản têp AssR(H I s 0 (M/J n M)) \ {m} l ờn ành vợi n ừ lợn.
Trữớng hủp 2: r0 = s0 Theo ành lỵ 3.2.2, ta thĐy tỗn tÔi số nguyản b ≥ a sao choAss R (H I s 0 (J n M/J n+1 M))\ {m} l ờn ành vợi mồi n ≥ b. °t
−→H I s 0 (M/J n M) vợi mồin ≥ a, trong õH I s 0 −1 (M/J n M) l Artin theo Bờ ã 3.2.1 M°t khĂc theo Bờ ã 3.2.3 ta cõ
X ⊆ Ass R (H I s 0 (M/J n+1 M))\ {m} ⊆ (Ass R (H I s 0 (M/J n M))\ {m})∪X vợi mồi n≥ b Do õ
= Ass R (H I s 0 (M/J n+1 M))\ {m} vợin≥ b Chú ỵ rơng theo [6, ành lỵ 2.5] ta cõAssR(H I s 0 (M/J n+1 M))\ {m} l hỳu hÔn vợi mồi n = b iãu õ kh¯ng ành rơng
Ass R (H I s 0 (M/J n M))\ {m} l ờn ành vợi n ừ lợn.
3.3 Chùng minh ành lþ 0.0.2 (iii) º chựng minh kh¯ng ành (iii) cừa ành lỵ 0.0.2 chúng ta cƯn biát nhỳng kát quÊ sau.
Bờ ã 3.3.1 [7, Hằ quÊ 4.4] Kh¯ng ành sau Ơy l úng gdepth(I, M) = inf{i|Supp(H I i (M))l têp vổ hÔn}.
Bờ ã 3.3.2 [7, Hằ quÊ 4.6] Têp AssR(H I j (N)) l hỳu hÔn vợi mồi j ≤ gdepth(I, N).
Kát luên thự nhĐt cừa ành lỵ 0.0.2(iii) mởt trữớng hủp °c biằt cừa kát quÊ sau Ành lỵ 3.3.3 choR = ⊕ n≥0 R n là một Ôi số phƠn bêc chuân hỳu hÔn sinh trản và nh àa phữỡng R 0 = R M = ⊕ n≥0 M n là một R−mổun phƠn bêc hỳu hÔn sinh ChoI là một iảan cừa R, và r 1 là giĂ trà ờn ành cừa gdepth(I, M n) Khi õ vợi mội l ≤ r 1 têp S j≤l.
Ass R H I j (M n ))∪ {m} l ờn ành vợi n ừ lợn.
Chựng minh Theo ành lỵ 0.0.1 v Bờ ã 2.1.5 v Bờ ã 2.3.2 tỗn t¤i a, d, d 0 , r 1 ∈ Z sao cho d = dim(M n ), d 0 = dim(M n /IM n ) v r 1 gdepth(I, M n ) vợi mồi n ≥ a Trữợc tiản ta ch¿ ra rơng tỗn tÔi số nguyảnb ≥ a sao cho S = S n≥b
Ass R H I j (M n )) l húu h¤n.Ta chia l m ba trữớng hủp:
AssR Mn) l hỳu hÔn theo Bờ ã 2.1.5.
Supp R M n /IM n ) l hỳu hÔn theo Bờ ã 2.1.5.
Trữớng hủp 3: 1 ≤ r 1 < ∞ Theo Bờ ã 2.3.2 ta cõ thº chồn mởt số nguyản b ≥a sao cho cĂc kh¯ng ành sau l úng vợi mồi n ≥b:
(i) cõ mởt dÂy x 1 , , x r 1 trong I sao cho nõ ỗng thới l dÂy chẵnh quy suy rởng cừa M n hoĂn và ữủc v l dÂy I−lồc chẵnh quy cừa M n hoĂn và ữủc;
(ii) cĂc têp Ass R (M n /(x 1 , , x j )M n ) l ờn ành vợi mồi j ≤r 1
Tứ Ơy v tứ [4, Mằnh ã 2.6] ta cõS ⊆ S n≥b
Do õ S l hỳu hÔn theo Bờ ã 2.1.5.
Vẳ S l hỳu hÔn, ta cõ thº chồn số nguyản b ừ lợn sao choS ch¿ bao gỗm tĐt cÊ cĂc iảan nguyản tố p, thuởc vã S j≤l
Ass R H I j (M n ))vợi vổ hÔn n ≥ b BĐt kẳ p ∈ S ≥1 , theo ành lỵ 0.0.1 tỗn tÔi n(p), r(p), r0(p) ∈ Z sao cho r(p) = depth(I p ,(M n ) p ) v r 0 (p) = f-depth(I p ,(M n ) p ) vợi mồi n ≥n(p) Theo Bờ ã 2.1.3 ta cõ r 1 = gdepth(I, M n ) = depth 1 (I, M n )
Đối với mọi p ∈ Supp(M/IM) với 0 ≤ i ≤ 2, ta có inf{depth i−1 (I p ,(M n ) p )} vợi mồi Nếu p ∈ S ≥1 và p ∈ Supp R (M n /IM n) ≥1, thì suy ra r 1 ≤ r 0 (p) Định nghĩa r(p) = inf{j|H I j (M n ) p 6= 0} với điều kiện n ≥ n(p) Khi p ∈ S ≥1, tồn tại t ≤ l sao cho H I t (M n ) p 6= 0, và với n ≥ b, ta có r(p) ≤ t ≤ l, từ đó suy ra r(p) ≤ l ≤ r 1 ≤ r 0 (p).
Ass R p H I j p(M n ) p ) = {pR p } vợi mồi n ≥ n(p) theo Bờ ã 3.2.1.
Náu l = r 0 (p) thẳ theo ành lỵ 3.2.2 tỗn tÔi số nguyản m(p) ≥ b sao cho S j≤l
Ass R p H I j p((M n ) p )) ờn ành vợi mồi n ≥ m(p) Do õ S j≤l
Ass R H I j (M n )) ∪ {m} l ờn ành vợi mồi n ≥ max{n(p), m(p)|p ∈
Cuối cùng, trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các khái niệm liên quan đến R-mô hình M/J trong không gian (R,m) Đặc biệt, chúng ta sẽ phân tích sự tương quan giữa các biến I, J và giá trị s1, được xác định bởi hàm gdepth(I, M/J trong M) Khi thỏa mãn điều kiện l ≤ s1, chúng ta có thể rút ra rằng S j≤l.
AssR H I j (M/J n M))∪ {m} l têp ờn ành vợi n ừ lợn.
Chựng minh Theo ành lỵ 0.0.1 tỗn tÔi số nguyản a sao cho r 1 = gdepth(I, J n M/J n+1 M) v s 1 = gdepth(I, M/J n M) vợi mồi n ≥ a Chú ỵ rơng theo Bờ ã 2.3.1 ta cõ s1 ≤ r1 Vợi bĐt kẳ
Ta s³ chựng minh bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo l rơng têp X l (n) l ờn ành vợi n ừ lợn.
= (Ass R (M/J n M)∩V(I))∪ {m} l ờn ành vợi n ừ lợn.
Vợi l > 0 Tứ dÂy khợp ngưn
0−→ J n M/J n+1 M −→ M/J n+1 M −→ M/J n M −→0 ta cõ dÂy khợp d i sau
−→ H I j (M/J n+1 M) −→ H I j (M/J n M) −→ vợi mồi n > 0 Tứ Ơy vợi bĐt kẳ j ≤ l v n ≥ a ta cõ dÂy khợp sau
Ass R (H I j (M/J n+1 M)) ⊆ Ass R (H I j (M/J n M))∪Ass R (Im(f j )). M°t khĂc, theo ành lỵ ỗng cĐu mổun ta cõ
Im(f j ) ∼= H I j (J n M/J n+1 M)/Kerf j nản theo Bờ ã 3.2.3 thẳ
Vẳ j −1 < s 1 nản Supp R (H I j−1 (M/J n M) l têp hỳu hÔn theo Bờ ã 3.3.1, v vẳ thá ta cõ
M°t khĂc, theo dÂy khợp d i trản v Bờ ã 3.3.1, ta cõ
Sl(n) ⊆ Xl(n+ 1)∪X l−1 (n) vợi mồi n≥ a Theo ành lỵ 3.3.3 v theo giÊ thiát quy nÔp, tỗn tÔi số nguyản b ≥ a sao cho S l (n) =S v X l−1 (n) =X vợi mồi n≥ b Do õ, vẳ
S ⊆X l (n+ 1)∪X = X l (n+ 1) vợi mồi n≥ b Cuối cũng, ta thu ữủc cĂc bao h m sau
X l (n+ 2) ⊆ X l (n+ 1)∪S ⊆ X l (n+ 1) vợi mồi n ≥ b Do õ X(n) l têp ờn ành vợi n ừ lợn, vẳ X l (b+ 1) l húu h¤n theo ành lþ 3.3.3.
In this article, we explore the asymptotic stability of center sets associated with prime ideals within local cohomology modules Our research presents detailed evidence and significant findings that contribute to the understanding of this mathematical concept.
N T Cữớng, N V Ho ng v P H KhĂnh Kát quÊ chẵnh cừa luên vôn gỗm cĂc nởi dung sau.
1 Hằ thống lÔi mởt số kián thực cỡ sð cừa iảan nguyản tố liản kát, mổun Ext, mổun ối ỗng iãu àa phữỡng, chiãu v ở sƠu cừa mổun, mổun v v nh phƠn bêc
2 Giợi thiằu khĂi niằm M−dÂy tứ chiãu > k v cĂc tẵnh chĐt. Chựng minh kát quÊ trong b i bĂo trản vã tẵnh ờn ành tiằm cên cừa mởt số mð rởng cừa ở sƠu.
3 Chựng minh lÔi kát quÊ cừa b i bĂo trản vã sỹ ờn ành tiằm cên cừa têp iảan nguyản tố liản kát.
[1] M Brodmann, Asymptotic stability ofAss R (M/I n M), Proc Amer. Math Soc., (1) 74 (1979), 16 - 18.
[2] M Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc Camb Phil Soc., 86 (1979), 35 - 39.
[3] M Brodmann and A.L Faghani, A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., (10) 128(2000), 2851 - 2853.
[4] M Brodmann and L.T Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, to appear in Comm Algebra.
[5] M Brodmann and R.Y Sharp, "Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications ", Cambridge University Press, 1998.
[6] N T Cuong and N V Hoang, Some finite properties of generalized local cohomology modules, East-West J Math., (2) 7 (2005), 107 - 115.
[7] N T Cuong and N V Hoang, On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, ManuscriptaMath., (1) 126 (2008), 59 - 72.
[8] N T Cuong and N V Hoang and P H Khanh, "Asymptotic sta- bility of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules", to appear in Comm Algebra.
[9] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Verallgemeinerte Cohen-Macaulay Moduln, Math Nachr., 85 (1978), 57 - 73.
[10] C Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah,
[11] C Huneke and R Y Sharp, Bass numbers of local cohomology modules, Trans Amer Math Soc., 339 (1993), 765 - 779.
[12] M Katzman, An example of an infinite set of associated primes of local cohomology module, J Algebra, 252 (2002), 161 - 166.
[13] K Khashyarmanesh and Sh Salarian, Filter regular sequences and the finiteness of local cohomology modules, Comm Algebra, (8) 26
[14] K Khashyarmanesh and Sh Salarian, On the associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 27 (1999), 6191 - 6198.
[15] R Lu¨ and Z Tang, The f-depth of an ideal on a module, Proc. Amer Math Soc., (7) 130 (2001), 1905 - 1912.
[16] G Lyubeznik, Finiteness properties of local cohomoly modules (an application of D-modules to commutative algebra), Invent Math.,
[17] T Marley, Associated primes of local cohomology module over rings of small dimension, Manuscripta Math., (4) 104 (2001), 519 - 525.