Môđun Noether và môđun Artin
Môđun Noether là một trong những loại môđun cơ bản và quan trọng nhất trong Đại số giao hoán Bài viết này sẽ trình bày lại định nghĩa cũng như một số tính chất nổi bật của môđun Noether.
Bổ đề 1.1.1 chỉ ra rằng cho một vành giao hoán R và một R-môđun M, các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) mọi môđun con của M là hữu hạn sinh; (ii) nếu có một dãy các môđun con N 1 ⊆ N 2 ⊆ N 3 ⊆ ⊆ N i ⊆ thì tồn tại n ≥ 1 sao cho N i = N n với mọi i ≥ n; (iii) mọi tập không rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.2 nêu rõ rằng một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là môđun Noether, và một vành giao hoán R được coi là vành Noether nếu nó là R-môđun Noether.
Mệnh đề 1.1.3 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
M là R-môđun Noether nếu và chỉ nếu các R-môđun M 0 và M” cũng là Noether Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R đều là một R-môđun Noether Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R, thì M vẫn giữ tính chất Noether.
Tiếp theo ta xét khái niệm môđun Artin đó là một khái niệm đối ngẫu của môđun Noether.
Bổ đề 1.1.4 chứng minh rằng, đối với một R-môđun M, các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) Nếu có dãy các môđun con N 1 ⊇ N 2 ⊇ N 3 ⊇ ⊇ N i ⊇ thì tồn tại n ≥ 1 sao cho N i = N n với mọi i ≥ n; (ii) Mọi tập con không rỗng của các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu Định nghĩa 1.1.5 cho biết một R-môđun M thỏa mãn các điều kiện này được gọi là môđun Artin, và một vành giao hoán R được xem là vành Artin nếu nó là R-môđun Artin.
Ta xét một số tính chất của môđun Artin.
Mệnh đề 1.1.6 i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
M là R-môđun Artin nếu và chỉ nếu M 0 và M” đều là các R-môđun Artin Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Artin R đều là một R-môđun Artin Bên cạnh đó, mỗi iđêan nguyên tố trong một vành Artin R là một iđêan cực đại.
Iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 1.2.1 Cho M là R-môđun và p ∈ SpecR Khi đó p được gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho
(0 : R x) = p Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssM hoặc Ass R M.
Cho a là một iđêan của R, ta kí hiệu là V(a) là tập được xác định bởi
Sau đây là một vài tính chất của tập Ass.
Mệnh đề 1.2.2 nêu rõ rằng với M là R-môđun và N là môđun con của M, nếu p thuộc SpecR và a là một iđêan của R, thì ta có các kết quả sau: i) Ass(0 :M a) bằng giao của AssM và V(a) ii) AssN là tập con của AssM, và AssM là tập con của hợp của AssN và AssM/N iii) p thuộc AssM nếu và chỉ nếu R/p đẳng cấu với một môđun con nào đó của M Định nghĩa 1.2.3 chỉ ra rằng tập giá của M, ký hiệu là Supp R M hoặc SuppM, được xác định bởi
Mệnh đề 1.2.4 i) Cho dãy khớp môđun 0→ M 0 → M → M” →0 Khi đó
SuppM = SuppM 0 ∪SuppM”. ii) AssM ⊆SuppM ⊆ V(AnnM) Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vànhNoether thì SuppM = V(AnnM) và AssM là tập hữu hạn.
Môđun Ext và môđun Tor
Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu f:M → N và mỗi đồng cấu g: P → N, luôn tồn tại đồng cấu h: P → M sao cho g = f ◦ h Đối với một R-môđun M, một giải xạ ảnh của R-môđun M là một dãy khớp.
Một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f : N → M và đồng cấu g : N → E, luôn tồn tại đồng cấu h : M → E sao cho g = h◦f Định nghĩa này giúp xác định tính chất của các R-môđun xạ ảnh trong lý thuyết môđun Hơn nữa, một giải nội xạ của R-môđun M là một dãy khớp, thể hiện mối liên hệ giữa các môđun trong cấu trúc.
0→ M −→ ϕ E 0 − f → 0 E 1 −→ f 1 E 2 − f → 2 trong đó E i là các R-môđun nội xạ với mọi i ≥ 0. Định nghĩa 1.3.3 i) Một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một
R-môđun không tầm thường M nếuM ⊆ E và với mỗi môđun con khác không
Trong lý thuyết mô-đun, một R-môđun E được gọi là bao nội xạ của M nếu nó là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M, đồng thời có N ∩ M khác không Hơn nữa, một R-môđun M khác không được coi là không phân tích được nếu nó không thể được biểu diễn như tổng trực tiếp của hai mô-đun con thực sự của nó.
Một R-môđun nội xạ E luôn có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của các môđun con nội xạ không phân tích được Định nghĩa 1.3.4 nêu rõ rằng cho một R-môđun N, ta xem xét hàm tử phản biến Hom(−, N) Khi đó, nếu M là một R-môđun, ta có thể lấy một giải xạ ảnh của M.
Tác động hàm tử Hom(−, N) vào dãy khớp trên ta có đối phức
Khi đó Ext i R (M, N) = Kerf i ∗ /Imf i−1 ∗ được gọi là môđun mở rộng thứ i của
M và N Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M.
Ta xét một số tính chất của môđun Ext.
Mệnh đề 1.3.5 chỉ ra rằng, cho M và N là các R-môđun, ta có i) Ext 0 R (M, N) tương đương với Hom(M, N) ii) Nếu M và N là hữu hạn sinh, thì Ext i R (M, N) cũng là hữu hạn sinh cho mọi i ≥ 0 iv) Đối với dãy khớp ngắn 0→ N 0 →N → N”→ 0, sẽ tồn tại một dãy khớp dài tương ứng.
→ Ext 1 R (N, M) → Ext 1 R (N 0 , M) →Ext 2 R (N 00 , M) → . trong đó Ext n R (N 0 , M) →Ext n+1 R (N”, M) là đồng cấu nối với mọi n ≥0. v) Cho dãy khớp ngắn 0→ N 0 → N → N”→ 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài
→Ext 1 R (M, N) → Ext 1 R (M, N”) →Ext 2 R (M, N 0 ) → trong đó Ext n R (M, N”) → Ext n+1 R (M, N 0 ) là đồng cấu nối với mọi n≥ 0. Định nghĩa 1.3.6 Cho N là R-môđun Xét hàm tử phản biến, khớp phải
− ⊗ R N Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M
Tác động hàm tử − ⊗ R N vào dãy khớp trên ta có phức
Tor R i (M, N) = Kerf i−1 ∗ /Imf i ∗ được gọi là môđun xoắn thứ i của M và N, và nó không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M Mệnh đề 1.3.7 chỉ ra rằng, với M là một R-môđun, ta có i) Tor i R (M, N) = M ⊗ R N ii) Nếu có dãy khớp ngắn 0 → N 0 → N → N 00 → 0 các R-môđun, thì sẽ có dãy khớp dài tương ứng.
Môđun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.4.1: Cho a là iđêan của R và M là một R-môđun, môđun con a-xoắn của M, ký hiệu Γ a (M), được xác định bởi Γ a (M) = S n≥1(0 : M a n) Nếu h : M → N là đồng cấu các R-môđun, thì có đồng cấu cảm sinh Γ a (h) : Γ a (M) → Γ a (N), với m được ánh xạ thành h(m) Hàm tử Γ a (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, chuyển đổi từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun và được gọi là hàm tử a-xoắn.
Sau đây là một số tính chất của Γ a (M).
Mệnh đề 1.4.2 chỉ ra rằng Γ 0 (M) = M và Γ R (M) = 0 Nếu a ⊆ b, thì Γ b (M) ⊆ Γ a (M) Hơn nữa, Γa+b(M) = Γ a (M)∩Γ b (M) Đối với R-môđun Noether, Ass R (Γ a (M)) = Ass R (M)∩ V(a) và nếu R là Noether, thì Ass R (M/Γ a (M)) = Ass R (M)\V(a) Định nghĩa 1.4.3 khẳng định rằng với M là R-môđun, tồn tại giải nội xạ của M có dạng nhất định.
0→ M −→ φ E 0 − d → 0 E 1 − d → 1 E 2 − d → 2 −−→ d i−1 E i d −→ i Tác động hàm tử Γ a (−) vào dãy khớp trên ta được phức sau
Khi đó H a i (M) = Kerd i ∗ /Imd i−1 ∗ được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a.
Mệnh đề 1.4.4 nêu rằng, cho a là iđêan của R và M là R-môđun, ta có hai kết luận quan trọng: i) H a 0 (M) tương đương với Γa(M) ii) Nếu có một dãy khớp ngắn 0 → M 0 → M → M” → 0, thì với mọi n ≥ 0, luôn tồn tại đồng cấu nối H a i (M”) đến H a i+1 (M 0), đảm bảo rằng dãy sau là khớp.
Tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương 12
Điều kiện cho tính chất minimax của môđun
Mục đích của phần này là chứng minh rằng nếu a là một iđêan của vành giao hoán Noether R và M là một môđun a-cominimax trên R, thì R-môđun M/aM sẽ là a-minimax với mọi n ∈ N (theo Định lý 2.1.9) Bên cạnh đó, bài viết cũng đề cập đến một số ứng dụng của kết quả này.
Chiều Goldie của một R-môđun M, ký hiệu GdimM, được định nghĩa là số lượng các môđun con không phân tích được trong bao nội xạ E(M) Điều này xảy ra khi E(M) được phân tích thành tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được.
Ta nhắc lại rằng, với mỗi iđêan nguyên tố p, số Bass thứ 0 của M đối với p, kớ hiệu làà 0 (p, M), được xỏc định bởià 0 (p, M) = dim k(p) (Hom R p (k(p), M p )).
Ta biết rằng à 0 (p, M) > 0 nếu và chỉ nếu p ∈ Ass R M Ta cũng dễ thấy GdimM = P p∈Ass R M à 0 (p, M).
Chiều Goldie a-tương đối của một R-môđun M, ký hiệu là Gdim a M, được định nghĩa dựa trên iđêan a của R Để hiểu rõ hơn về khái niệm này, bạn có thể tham khảo các tài liệu trong [1] và [3].
H Zoschinger đã định nghĩa khái niệm môđun minimax như sau. Định nghĩa 2.1.3 (xem [1], [6], [7]) Một R-môđun M được gọi là minimax nếu tồn tại một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là môđunArtin.
Khi R là vành Noether, ta biết rằng một môđun M là minimax nếu và chỉ nếu mọi môđun thương của M đều có chiều Goldie hữu hạn (xem trong
Môđun minimax là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết môđun, được định nghĩa cho một iđêan a của R Cụ thể, một R-môđun M được gọi là a-minimax nếu chiều Goldie a-tương quan của mọi môđun thương M là hữu hạn Điều này có nghĩa là với mọi môđun con N của M, ta có Gdim a (M/N) < ∞.
Chú ý 2.1.5 Cho a là iđêan của R và M là R-môđun.
(i) Nếu a = 0, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax.
(ii) Nếu M là a-xoắn, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax (xem
(iii) Nếu M là Noether hoặc Artin thì M là minimax.
(iv) Nếu b là iđêan của R sao cho b ⊇ a và M là a-minimax, thì M là b- minimax Đặc biệt, ta suy ra mọi môđun minimax đều là a-minimax.
Bổ đề dưới thường được dùng cho các chứng minh về sau
Bổ đề 2.1.6 ([1, Mệnh đề 2.3]) Cho a là iđêan của R Cho 0→ M 0 → M →
M 00 → 0 là dãy khớp của các R-môđun Khi đó M là a-minimax nếu và chỉ nếu M 0 , M 00 là a-minimax.
Giả sử M 0 là môđun con của M và M 00 = M/M 0 Nếu M là a-minimax, thì theo định nghĩa, cả M 0 và M/M 0 cũng là a-minimax Giả định rằng M 0 và M/M 0 là a-minimax, ta lấy N là môđun con của
M và p ∈ Ass(M/N)∩V(a) Khi đó dãy khớp
Vì Ass R (M/N) ⊆ Ass R M 0 N +N ∪Ass R M M 0 +N và các tập Ass R M N 0 +N ∩ V(a) và Ass R M M 0 +N ∩V(a) là hữu hạn, nên ta suy ra rằng Gdim a (M/N) < ∞; và do đó M là a-minimax.
Các bổ đề sau là những tính chất về điều kiện cho tính chất minimax.
Bổ đề 2.1.7 Cho M là một R-môđun sao cho Hom R (R/a, M) là một R- môđun a-minimax Khi đó HomR(R/a n , M) là a-minimax với mọi n≥ 0.
Để chứng minh, chúng ta áp dụng phương pháp quy nạp với n Khi n = 0 hoặc n = 1, điều này hiển nhiên theo giả thiết Đối với n > 1, giả sử rằng kết quả đã được chứng minh cho n−1 Chúng ta sẽ xem xét dãy khớp sau.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét cấu trúc của môđun con a = (a1, , at) trong (0 : M a n), với f(x) = (a1 x, , at x) Theo Bổ đề 2.1.6, mỗi ai(0 : M a n) là a-minimax cho mọi i = 1, , t Khi áp dụng Bổ đề 2.1.6 một lần nữa, chúng ta kết luận rằng HomR(R/an, M) cũng là a-minimax.
Bổ đề 2.1.8 Cho M là một R-môđun sao cho M/aM là a-minimax Khi đó M/a n M là a-minimax với mọi n ≥0.
Chứng minh Ta dùng quy nạp theo n Trường hợp n= 0 hoặc n= 1 là đúng theo giả thiết Cho n > 1 và giả sử kết quả đã được chứng minh cho n− 1.
Theo [1, Hệ quả 2.4] và giả thiết quy nạp, ta có (M/a n−1 M) k là a-minimax, với mọi số nguyên k ≥ 0 Xét dãy khớp
Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp và Bổ đề 2.1.6, ta suy raM/a n M làR-môđun a-minimax.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày kết quả chính về định lý 2.1.9 Định lý này khẳng định rằng, cho M là một R-môđun, nếu Ext i R (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0, thì M/a n M cũng sẽ là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.8, ta chỉ cần chỉ ra rằng M/aM là a-minimax. Cho a = (x 1 , , x n ) Khi đó, ta biết rằng
M/aM 'H n (x 1 , , x n ;M), trong đó H n (x 1 , , x n ;M) là kí hiệu cho môđun đối đồng điều Koszul thứ n.
Ta xét đối phức Koszul K • (x, M) = HomR(K • (x), M) như sau:
0→ HomR(K0(x), M) →HomR(K1(x), M) → → HomR(Kn(x), M) → 0 trong đó
Phức Koszul K • (x) : 0→ Kn(x) → →K2(x) →K1(x) →K0(x) →0 được xây dựng từ dãy x = x1, , xn cho một vành R Trong đó, H i (x1, , xn;M) được xác định bởi các môđun đối bờ và đối xích B i và Z i của phức K • (x, M).
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥0}.
Rõ ràng ta có M ∈ C theo giả thiết Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng B j ∈ C với mọi j ≥ 0 Ta có
Cho B_t ∈ C với t ≥ 0, định nghĩa C_i = Hom_R(K_i(x), M)/B_i Do K_t(x) là một R-môđun tự do hữu hạn sinh và M ∈ C, từ Bổ đề 2.1.6 suy ra rằng Hom_R(K_t(x), M) ∈ C Vì B_t ∈ C và Hom_R(K_t(x), M) ∈ C, nên theo Bổ đề 2.1.6, ta có C_t ∈ C Do đó, Ext^i_R(R/a, C_t) là a-minimax với mọi i ≥ 0; đặc biệt với i = 0, ta có (0 : C_t a) ∼= Hom_R(R/a, C_t) là a-minimax Theo tính chất của phức Koszul, aH_t(x_1, , x_n; M) = 0.
Do đó H t (x 1 , , x n ;M) là a-minimax Kết quả là, từ dãy khớp ngắn
0 →H t (x 1 , , x n ;M) →C t → B t+1 →0 và Bổ đề 2.1.6, ta suy ra rằng B t+1 ∈ C Do đó ta đã chứng minh được rằng
Bây giờ vì B n ∈ C và Hom R (K n (x), M) ∈ C, nên được C n ∈ C theo Bổ đề 2.1.6 Do đó (0 : C n a) ∼= HomR(R/a, C n ) = Ext 0 R (R/a, C n ) là a−minimax Vì vậy H n (x1, , xn;M) là a-minimax theo Bổ đề 2.1.6 (lưu ý
H n (x1, , xn;M) ⊆ (0 :C n a)) Mặt khác, vì M/aM = H n (x1, , xn;M), nên ta suy ra rằng M/aM là R-môđun a-minimax.
Môđun cominimax, theo định nghĩa của R Naghipour và các đồng nghiệp trong bài báo [1], là sự tổng quát hóa của môđun minimax và môđun cofinite Cụ thể, cho a là một iđêan của vành giao hoán Noether R và M là một R-môđun, thì M được gọi là R-môđun a-cominimax nếu tập hợp hỗ trợ Supp R M nằm trong V(a) và Ext i R (R/a, M) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chú ý 2.1.11 Nếu dimR = 0, thì mỗi R-môđun a-cominimax M là a- minimax Thật vậy, vì SuppM ⊆ V(a) và R là Artin, nên ta suy ra rằng
M = (0 : M a n ), và do đó M là a-minimax theo Bổ đề 2.1.7.
Trường hợp tổng quát, ta có kết quả sau.
Hệ quả 2.1.12 Cho M là một R-môđun a-cominimax Khi đó M/a n M là a-minimax với mọi n≥ 0.
Chứng minh Khẳng định được suy ra từ định nghĩa và Định lý 2.1.9.
Hệ quả 2.1.13 Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun sao cho
H a i (M) là a-cominimax với mọi i Khi đó M/a n M làa-minimax với mọin≥ 0.
Chứng minh rằng H a i (M) là a-cominimax với mọi i dẫn đến việc R-môđun Ext i R (R/a, M) là a-minimax với mọi i, theo Mệnh đề 3.7 Kết quả này được suy ra từ việc áp dụng Định lý 2.1.9.
Tính chất a-minimax của các môđun Ext và Tor
Trong bài viết này, chúng ta sẽ áp dụng Định lý 2.1.9 để chứng minh một kết quả liên quan đến sự tương đương của tính chất a-minimax.
R-môđun Ext i R (R/a, M), Tor R i (R/a, M) và H i (x 1 , , x t ;M), với mọi i ≥ 0; cụ thể là định lý sau. Định lý 2.2.1 Cho a = (x 1 , , x t ) là một iđêan của R, và cho M là một
R-môđun Khi đó những khẳng định sau là tương đương: i) Ext i R (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. ii) Tor R i (R/a, M) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i (x 1 , , x t ;M) làR-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
F • : − d → 3 F 2 − d → 2 F 1 − d → 1 F 0 →R/a → 0 là một dải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a Ta xét phức sau đây:
Khi đó Tor R i (R/a) ∼= Z i /B i trong đó Z i = Ker(d ∗ i ) là môđun xích, B i Im(d ∗ i+1 ) là môđun bờ của phức F• ⊗ R M Đặt
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a−minimax với mọi i ≥ 0}.
Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh được rằng Zj ∈ C với mọi j ≥ 0 Vì
M ∈ C (theo giả thiết) và F 0 là R-môđun tự do hữu hạn sinh, nên ta có
Z 0 = F 0 ⊗ R M ∈ C Bây giờ giả sử Z t ∈ C với t≥ 0 nào đó Xét dãy khớp sau
0→ C i+1 →Z i →Tor R i (R/a) → 0, (2.1) trong đó Ci = (Fi ⊗ R M)/Zi Do đó ta nhận được dãy khớp
Do đó Tor R t (R/a, M) là ảnh đồng cấu của Z t /aZ t Vì Z t ∈ C, nên từ Định lý 2.1.9 ta suy ra Z t /aZ t là a-minimax, và do đó Tor R t (R/a, M) là a-minimax.
Từ (2.1), ta suy ra rằng Ct+1 thuộc tập C, và theo quy nạp, Zj thuộc C với mọi j ≥ 0 Áp dụng Định lý 2.1.9, ta có Z i /aZ i là a-minimax cho mọi i ≥ 0, do đó Tor R i (R/a, M) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
H i (x 1 , , x t ;M) 'H n−i (x 1 , , x t ;M), nên để chứng minh kết quả của (iii), ta chỉ cần chỉ ra rằng H i (x 1 , , x t ;M) là a-minimax với mọi i ≥ 0 Đặt x = x 1 , , x n Xét dãy phức Koszul
Khi đó Hi(x1, , xt;M) = Z i 0 /B i 0 , với B i 0 và Z i 0 lần lượt là các môđun bờ và xích của phức K•(x)⊗ R M Đặt
C 0 = {N | Tor i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
0 →C i+1 0 → Z i 0 → H i (x 1 , , x t ;M) → 0, với C i 0 = (K i (x)⊗ R M)/Z i 0 Do đó ta nhận được dãy khớp
Bây giờ lập luận tương tự chứng minh của (i)⇒(ii), ta suy ra Z i 0 ∈ C 0 với mọi i ≥ 0 Do đó Z i 0 /aZ i 0 = Tor R 0 (R/a, Z i 0 ) là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thế
Hi(x1, , xt;M) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Dải tự do F • chứa các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a, từ đó suy ra rằng Ext i R (R/a, M) = Z i /B i, trong đó B i và Z i là các môđun đối bờ và đối xích của phức HomR(F • , M).
0 →Ext i R (R/a, M) →C i →B i+1 → 0, với C i = Hom R (F i , M)/B i Thì theo chứng minh của Định lý 2.1.9, ta có
B i ∈ C 00 với mọi i ≥0 Do đó C i ∈ C 00 với mọi i ≥ 0 Bây giờ, vì
Ext i R (R/a, M) ⊆ (0 : C i a) ∼= HomR(R/a, C i ) ∼= H 0 (x 1 , , x t ;C i ) và H 0 (x 1 , , x t ;C i ) là a-minimax, do đó Ext i R (R/a, M) cũng là a-minimax cho mọi i ≥ 0 Định lý 2.2.2 mở rộng Định lý 2.1.9, khẳng định rằng nếu M là một R-môđun với Ext i R (R/a, M) là a-minimax cho mọi i ≥ 0, thì với bất kỳ R-môđun hữu hạn sinh L có Supp R (L) ⊆ V(a), ta có Ext i R (L, M) và Tor R i (L, M) cũng là các R-môđun a-minimax cho mọi i ≥ 0.
Chứng minh Vì V(Ann R L) ⊆ V(a), nên √
Ann R L ⊇ √ a ⊇ a; do đó tồn tại n ∈ N sao cho aL = 0 Do đó a n Ext i R (L, M) = 0 và a n Tor R i (L, M) = 0 với mọi i ≥ 0 Cho
F • : → F 2 →F 1 → F 0 → L → 0 là một giải tự do với các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun L Trong trường hợp này, Ext i R (L, M) được xác định là Z i /B i, trong đó B i và Z i lần lượt là các môđun đối bờ và đối xích của phức Hom R (F • , M).
C = {N | Ext i R (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥0}, và xét dãy khớp ngắn
0 →Ext i R (L, M) → C i → B i+1 →0, với C i = HomR(Fi, M)/B i Khi đó theo chứng minh của Định lý 2.1.9 và Bổ đề 2.1.7, ta có B i ∈ C với mọi i ≥ 0 (Chú ý rằng Ext i R (L, M) ⊆ (0 : C i a n )).
Do đó, với mọi i ≥ 0, C i thuộc C, và (0 : C i a) là a-minimax Kết hợp với Bổ đề 2.1.7, ta suy ra rằng (0 : C i a n) cũng là a-minimax cho mọi i ≥ 0 và n ≥ 0 Hơn nữa, vì Ext i R (L, M) nằm trong (0 : C i a n), nên Ext i R (L, M) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Ta cũng có Tor R i (L, M) = Z i /B i , với B i và Z i lần lượt là các môđun bờ và xích của phức F• ⊗ R M Đặt
C 0 = {N | Tor R i (R/a, N) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
Theo Định lý 2.2.1 và giả thiết, ta có M ∈ C 0 Xét dãy khớp sau
0 →C i+1 → Z i → Tor R i (L, M) →0, với C i = (F i ⊗ R M/Z i ) Vì a n Tor R i (L, M) = 0 với mọi i ≥ 0, nên ta có dãy khớp
Bây giờ, ta sử dụng lập luận như trong chứng minh Định lý 2.2.1 phần ((i)⇒(ii)) và áp dụng Bổ đề 2.1.8, khi đó ta thu được Z i ∈ C với mọi i ≥ 0.
Do đó, từ Bổ đề 2.1.8, ta có Z i /a n Z i là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thếTor R i (L, M) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Nguyên lý đổi vành cơ sở cho tính chất a-minimax
Mục này sẽ trình bày nguyên lý thay đổi vành cơ sở đối với tính chất a-cominimax, trước hết ta cần thiết lập bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.1 khẳng định rằng, trong một vành giao hoán T là ảnh đồng cấu của R, nếu M là một T-môđun, thì Gdim aT M bằng Gdim a M Điều này có nghĩa là M sẽ là một T-môđun aT-minimax nếu và chỉ nếu M cũng là một R-môđun a-minimax.
Chứng minh Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R Khi đó
Mặt khác, với bất kỳ p ∈ Ass R M ∩V(a) ta có
Hom T p (k(p), M p ) ∼= HomR p(k(p), M p ) như các k(p)-không gian véc tơ, trong đó p = p/I và k(p) = R p /pR p Do đó à 0 (p, M) =à 0 (p/I, M) và điều này hoàn thành chứng minh.
Chúng ta đã chuẩn bị để trình bày và chứng minh nguyên lý chuyển vành cơ sở liên quan đến tính chất cominimax của các môđun Định lý 2.3.2 nêu rõ rằng, với vành T là một ảnh đồng cấu của R, và M là một
T-môđun Khi đó M là một T-môđun aT-cominimax nếu và chỉ nếu M là một
Chứng minh Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R Khi đó ta có
Do đó, Supp T M ⊆ V(aT) nếu và chỉ nếu Supp R M ⊆ V(a) Cho a(x₁, , xₜ) và lấy ϕ: R → T là toàn cấu tự nhiên, ta có aT = (ϕ(x₁), , ϕ(xₜ)) Từ Định lý 2.2.1, ta suy ra rằng Extᵢ T (T/aT, M) là một T-môđun aT-minimax với mọi i nếu và chỉ nếu các môđun đối đồng điều Koszul.
H i (ϕ(x1), , ϕ(xt);M) là các T-môđun aT-minimax với mọi i Nhưng, theo
Bổ đề 2.3.1, ta có H i (ϕ(x 1 ), , ϕ(x t );M) là aT-minimax nếu và chỉ nếu
H i (ϕ(x 1 ), , ϕ(x t );M) là a-minimax Bây giờ kết quả được suy ra từ đẳng cấu
H i (ϕ(x 1 ), , ϕ(x t );M) tương đương với H i (x 1 , , x t ;M) theo Định lý 2.2.1 Theo Định lý 2.3.3, nếu f : M → N là một R-đồng cấu sao cho Ext i R (R/a,Kerf) và Ext i R (R/a,Cokerf) đều là các R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0, thì Ker Ext i R (id R/a , f) và Coker Ext i R (id R/a , f) cũng sẽ là các R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chứng minh Các dãy khớp
0→ Kerf →M −→ g Imf →0 và 0 →Imf −→→ ι N →Cokerf →0, (với ι◦g = f) cho ta hai dãy khớp sau đây
→Ext i R (R/a,Kerf) →Ext i R (R/a, M) →Ext i R (R/a,Imf) → (2.2) và
→ Ext i R (R/a,Imf) →Ext i R (R/a, N) → Ext i R (R/a,Cokerf) → .
Vì Ext i+1 R (R/a,Kerf) là a-minimax, từ dãy khớp (2.2) ta có thể kết luận rằng Coker Ext i R (id R/a , g) và Ker Ext i+1 R (id R/a , g) đều là a-minimax cho mọi i ≥ 0 Hơn nữa, do Ext i R (R/a,Cokerf) cũng là a-minimax, từ dãy khớp (2.3) ta suy ra rằng các R-môđun Coker Ext i R (id R/a , ι) và Ker Ext i+1 R (id R/a , ι) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Bây giờ điều khẳng định của định lý được suy ra từ các dãy khớp sau
0→ Ker Ext i R (id R/a , g) → Ker Ext i R (id R/a , f) → Ker Ext i R (id R/a , ι) và
Coker Ext i R (id R/a , g) →Coker Ext i R (id R/a , f) → Coker Ext i R (id R/a , ι) → 0.
Hệ quả 2.3.4 Cho M là một R-môđun với Supp R M ⊆ V(a) Giả sử rằng x ∈ a sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-cominimax Khi đó M cũng là a-cominimax.
Chứng minh rằng với f = x1 M, ta có Kerf = (0 : M x) và Cokerf = M/xM Theo Định lý 2.3.3, R-môđun Ker Ext i R (1 R/a , f) là a-minimax Do Ext i R (1 R/a , f) = 0, suy ra Ker Ext i R (1 R/a , f) = Ext i R (R/a, M) Hệ quả đã được chứng minh.
Hệ quả 2.3.5 Cho M là một R-môđun Giả sử rằng x ∈ √ a sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-minimax Khi đó Ext i R (R/a,Γ Rx (M)) cũng là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Chứng minh Ta có x n ∈ a với một số n nào đó Đặt f = x n 1 Γ Rx (M ) Khi đó ta có
Kerf = (0 : Γ Rx (M ) x n ) = (0 : M x n ), và Cokerf = Γx(M)/x n Γx(M) Bây giờ, từ dãy khớp
Theo Bổ đề 2.1.8, ta có M/x n M là a-minimax, do đó Cokerf cũng là a-minimax Theo [1, Hệ quả 2.5] và Định lý 2.3.3, ta suy ra rằng Ker Ext i R (1 R/a , f) cũng là a-minimax Tuy nhiên, vì x ∈ √ a dẫn đến Ext i R (1 R/a , f) = 0.
Ker Ext i R (1 R/a , f) = Ext i R (R/a,Γ Rx (M)), chứng minh được hoàn thành.
Hệ quả 2.3.6 Cho M là một R-môđun có Supp R M ⊆ V(a) Giả sử x ∈ √ a sao cho (0 : M x) và M/xM đều là a-minimax Khi đó M là a-cominimax.
Chứng minh Kết quả suy ra từ Hệ quả 2.3.5.
Trước khi đi vào kết quả tiếp theo, cần nhắc lại rằng chiều đối đồng điều của một R-môđun M đối với iđêean a được định nghĩa là cd(a, M) = sup{i ∈ Z | H a i (M) ≠ 0}.
Bổ đề 2.3.7 Cho cd(a, R) = 1, và cho M là một R-môđun a-minimax Khi đó H a i (M) là a-cominimax với mọi i ≥ 0.
Chứng minh rằng H a 0 (M) là môđun con của M, từ đó suy ra H a 0 (M) là a-cominimax Thêm vào đó, do cd(a, R) = 1, nên H a i (M) = 0 với mọi i > 1 Kết quả này được rút ra từ [1, Hệ quả 3.9].
Bổ đề 2.3.8 Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và cho M là một R-môđun với Γ a (M) = 0 Khi đó
0 các trường hợp còn lại Chứng minh Khẳng định suy ra từ chứng minh của [5, Mệnh đề 3.15].
Hệ quả 2.3.9 Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và M là một R-môđun b-minimax Khi đó H b j (H a i (M)) là b-cominimax với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.
Chứng minh rằng vì cd(b, R) = 1, theo Bổ đề 2.3.7, H b j (Γ a (M)) là b-cominimax cho mọi j ≥ 0 Khi i > 0, do H a i (M) ∼= H a i (M/Γ a (M)), ta có thể giả sử Γ a (M) = 0 Kết quả này được suy ra từ các Bổ đề 2.3.7 và 2.3.8.
Hệ quả 2.3.10 chỉ ra rằng, cho b là một iđêan của R với b ⊇ a và cd(b, R) = 1, nếu M là một R-môđun b-minimax, thì với mọi R-môđun hữu hạn sinh L thỏa mãn Supp R L ⊆ V(b), các R-môđun Ext j R (L, H a i (M)) đều là b-minimax cho mọi i ≥ 0 và j ≥ 0 Đặc biệt, các R-môđun H a i (M)/b n H a i (M) cũng là b-minimax cho mọi i ≥ 0 và n ≥ 0.
Từ Hệ quả 2.3.9, ta có H b j (H a i (M)) là b-cominimax cho mọi i ≥ 0 và j ≥ 0 Theo Mệnh đề 3.7, điều này dẫn đến việc Ext j R (R/b, H a i (M)) cũng là b-minimax với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0 Kết quả này được chứng minh dựa trên Định lý 2.2.1 và 2.1.9.