Phương trình sai phân
Xét hệ phương trình x(k+ 1) = f(k, x(k)), k = 0,1,2 (1) trong đó f(.) : Z + ×R n → R n cho trước Khi đó với trạng thái ban đầu x(0) = x 0 hệ luôn xác định bởi hệ thức truy hồi x(1) = f(0, x 0 ), x(2) = f(1, f(0, x(0)),
Trường hợp hệ (1) là tuyến tính dạng x(k+ 1) = A(k)x(k) +g(k), k ∈ Z + (2) thì với điều kiện ban đầu x(0) = x 0 tuỳ ý và dãy g = {g(0), g(1), g(k−1), } nghiệm x(k) tại bước k > 0 cho bởi công thức Cauchy x(k) = F(k,0)x 0 + k−1
F(k, s+ 1)g(s) trong đó F(k, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z +
Ta có thể biễu diễn công thức của F(k, s) như sau,
Nếu Ặ) là ma trận hằng số thì F(k, s) = A k−s , k ≥ s ≥ 0 và khi đó nghiệm của hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc là x(k) = A k x 0 + k−1
Khi nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của hệ phương trình rời rạc, cần áp dụng bất đẳng thức sau Định lý 1 khẳng định rằng với mọi ma trận P kích thước n×n và ma trận M kích thước m×m, điều này luôn đúng.
Trong đó Q là ma trận đối xứng xác định dương m×n chiều.
Cơ sở lý thuyết ổn định Lyapunov
1.2.1 Định nghĩa 1 Xét hệ (1) ở trên ta có định nghĩa.
Hệ (1) gọi là ổn định nếu với mỗi ε > 0, k 0 ∈ Z + tồn tại δ > 0 ( δ phụ thuộc ε , k 0 ) sao cho mọi nghiệm x(k) của hệ mà ||x(0)|| < δ thì
||x(k)|| < ε với mọi k ≥ k 0 Hệ là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và có một số δ >0 sao cho lim k→∞ kx(k)k = 0 với mọi nghiệm x(k) mà kx(0)k < δ.
1.2.2 Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính
Hệ rời rạc tuyến tính x(k+1) = Ax(k) với điều kiện x(0) = x0 có nghiệm x(k) = A^k x0 Để đảm bảo x(k) tiến tới 0 khi k tiến tới vô cùng, theo định nghĩa về ổn định tiệm cận, cần thỏa mãn một trong hai điều kiện: thứ nhất, tồn tại một số q trong khoảng (0, 1) sao cho kAk = q < 1; thứ hai, giá trị tuyệt đối của mọi giá trị riêng λ thuộc δ(A) đều nhỏ hơn 1 Do đó, hệ (3) được coi là ổn định tiệm cận khi một trong hai điều kiện trên được đáp ứng.
Hệ tuyến tính không dừng được mô tả bởi phương trình x(k + 1) = A(k)x(k), với k thuộc Z+ Định lý 3 khẳng định rằng nếu tồn tại q ∈ (0,1) sao cho ||A(k)|| ≤ q cho mọi k ∈ Z+, thì hệ sẽ ổn định tiệm cận Hơn nữa, nếu A(k) = A + C(k), trong đó A là ma trận ổn định và ||C(k)|| ≤ a với a đủ nhỏ, thì hệ cũng sẽ ổn định.
Dễ thấy kA(k)k = 4(k+1) 3 ≤ 3 4 = q < 1 nên hệ ổn định tiệm cận.
1.2.3 Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến
Xét hệ rời rạc phi tuyến với phương trình x(k + 1) = f(k, x(k)), k ∈ Z + Khi hàm f(k, x) có dạng f(k, x) = A(k)x + g(k, x), ta có thể áp dụng định lý 4 Định lý này yêu cầu hai giả thiết: thứ nhất, tồn tại q ∈ (0,1) sao cho kA(k)k ≤ q với mọi k ∈ Z +; thứ hai, kg(k, x)k ≤ L(k)kxk với lim k→∞ supL(k) = 0.
Hệ (5) được coi là ổn định tiệm cận nếu tồn tại hàm số V(x) : R n →R thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, có các hằng số λ 1 > 0 và λ 2 > 0 sao cho λ 1 kxk 2 ≤ V(x) ≤ λ 2 kxk 2; thứ hai, tồn tại λ 3 > 0 với điều kiện M V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) ≤ −λ 3 kx(k)k 2 Nếu một trong hai điều kiện này không được thỏa mãn, hệ (5) sẽ không ổn định Đối với hệ tuyến tính dừng, chúng ta có thể rút ra hệ quả từ định lý này.
Hệ quả 1 Xét hệ phương trình x(k+ 1) = Ax(k), k ∈ Z + Nếu tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương P, Q sao cho
A 0 P A−P +Q = 0 thì hệ trên ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2 Xét hệ phương trình
Do đó hệ trên ổn định tiệm cận.
1.2.4 Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ
Xét hệ rời rạc có trễ x(k + 1) = Ax(k) +Bx(k−h), k ∈ Z + (6)
Trong đó x(.) ∈ R n A, B, là các ma trận hằng, h ≥ 0 cho trước Điều kiện ban đầu của hệ có dạng x(0) = x(−1) = = x(−h) = x 0
Hệ thống có nghiệm xác định cho mỗi x0 đã cho, với nghiệm ở bước k được truy hồi từ k−h bước trước đó Hệ (6) được gọi là ổn định tiệm cận vững nếu với bất kỳ h ≥ 0 nào, hệ vẫn ổn định tiệm cận Định lý 6 cung cấp điều kiện đủ để xác định sự ổn định tiệm cận của hệ thống, cụ thể là nếu tồn tại một bộ hai ma trận đối xứng xác định dương P và W.
< 0, (7) trong đó X(P) = A 0 P A + W + B 0 P B − P và A 0 là ma trận chuyển vị của A. ii) Tồn tại một bộ hai ma trận đối xứng xác định dương Π, Z sao cho
Thì hệ (6) ổn định tiệm cận.
Ví dụ 3 Xét hệ phương trình
, rõ ràng P , Q xác định dương và B 0 P B 1 1
Vậy tồn tại các ma trận P, W thõa mãn định lý nên hệ phương trình trên là ổn định tiệm cận
Hệ qủa 2 Nếu một trong hai điều kiện sau được xẩy ra: i) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, R,Λ,Ω, nghiệm đúng hệ
BΩ −1 B 0 + Λ = P −1 ii) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Π, S,Γ,Σ nghiệm đúng hệ
AΓ −1 A 0 + Σ = Π −1 Thì hệ (6) ổn định tiệm cận.
Hệ quả 3 Nếu A hoặc B không suy biến và tồn tại hai số dương p, q sao cho :
1 p + 1 q = 1 và các ma trận đối xứng xác định dương X, Q thõa mãn phương trình Lyapunov tổng quát, pA 0 XA+qB 0 XB +Q = X
Thì hệ (6) ổn định tiệm cận.
Hệ quả 4 Hệ (6) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại số α dương sao cho
Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu nhiên 16
Mở đầu
Cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên dX(t) =f(t, X(t)dt+G(t, X(t))dW(t), t ∈ T, X(t) = X 0 , (1.1) với T = [t 0 ,∞), f : T ×R n →R n , G : T ×R n → R n × m
W(t) là quá trình Wiener m-chiều trong không gian xác suất (Ω, F, P) với bộ lọc (F t) Giá trị ban đầu X 0 là biến ngẫu nhiên F t 0-đo được, độc lập với quá trình Wiener và có các moment bậc hai hữu hạn.
Giả thiết rằng tồn tại một nghiệm duy nhất X = {X(t), t ∈ T} của (1.1) và để chứng tỏ sự phụ thuộc của nghiệm này vào điều kiện ban đầu ta viết
Ta có hệ phương trình rời rạc với h giai đoạn cho (1.1) có dạng α 2 X i+1 +α 1 X i +α 0 X i−1
Từ (1.1) nếu cú λX(t) = f(t, X(t)) và àX(t) = G(t, X(t) ta cú dạng tuyến tính của (1.1), dX(t) = λX(t)dt+àX(t)dW(t), t ≥ 0, X(0) = X 0, λ, à, X 0 ∈ C (1.3)
Từ (1.2) và (1.3) với i ≥ 1, α 2 = 1 ta có,
Một số khái niệm cơ bản
Bây giờ ta sẽ ta sé xét tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của (1.1), với nhiễu D 0 và dữ liệu ban đầu X 0 , kí hiệu X D 0 (t) = X(t;t 0 , X 0 +
Các nghiệm X của (1.1) được gọi là: i) ổn định bình phương trung bình nếu mỗi ε > 0 tồn tại số δ ≥0 để nghiệm X D 0 (t) xác định với ∀t≥ t 0 và
E|X D 0 (t) − X (t)| 2 < ε, ∀t ≥ t 0 và E|D 0| 2 < δ, ii) ổn định tiệm cận bình phương trung bình nếu nó ổn định bình phương trung bình và nếu tồn tại δ ≥ 0 để mà khi E|D 0 | 2 < δ ta có
Với λ, à ∈ C nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tớnh (1.3) là
Nghiệm không của hệ phương trình (1.3) là ổn định tiệm cận bình phương trung bình nếu
Bây giờ ta xây dựng định nghĩa tương tự cho hệ phương trình rời rạc
Nghiệm {X i } ∞ i=0 của phương trình (1.2) được xác định là ổn định bình phương trung bình nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một giá trị δ > 0 sao cho khi E(|D 0| 2 +|D 1 | 2 ) < δ, nghiệm {D 0 , X 1 +D 1 } ∞ i=0 là một nghiệm của (1.2) trong trường hợp giá trị ban đầu bị nhiễu.
E|X i D 0 ,D 1 − X i| 2 < ε, i = 1,2,3, ii) ổn định tiệm cận bình phương trung bình nếu nó ổn định bình phương trung bình và nếu tồn tại một giá trị δ > 0 sao cho, nếu
Từ phương trình (1.4) với γ 1 = 1, γ 0 = 1 +α 1 phương trình (1.4) có dạng
X i+1 = (aX i +cX i−1 ) + (bX i ξ i + dX i−1 ξ i−1 ), (2.3) trong đó a = −α 1 +λhβ 1
Một số cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định tuyến tính
2.3.1 Cách tiếp cận cho hệ phương trình tuyến tính ngẫu nhiên một giai đoạn
Xét hệ phương trình X i+1 = X i +θhλX i+1 + (1−θ)hλX i +√ hX i ξ i trong đó θ ∈ [0,1] là một tham số ổn định, viết lại hệ phương trình này dưới dạng truy hồi một giai đoạn
1−θλh. Phép bình phương hai vế của (3.1) và lấy kì vọng ta được
E|X i+1| 2 = (|˜a| 2 + |˜b| 2 )E|X i| 2 Lấy bình phương hai vế (2.3) ta được
Từ (3.2)ta thấy rằng không trực tiếp tìm được điều kiện để nghiệm không ổn định tiệm cận bình phương trung bình như đối với hệ phương trình (3.1).
2.3.2 Cách tiếp cận đối với hệ phương trình hai bước tất định
Khi viết cho hệ phương trình sai phân xác định thông thường, các phương trình này được rút gọn để nhấn mạnh phần tuyến tính hai bước Khi đặt à = 0, ta nhận được phương trình (2.3) với b = d = 0.
Với hệ số a và c từ (2.4).
Ta viết lại (3.3) dưới dạng
Giá trị riêng của ma trận A là các nghiệm của đa thức đặc trưng ψ(ζ) = ζ² - aζ - c Các nghiệm của hệ phương trình sai phân (3.3) sẽ tiến tới 0 khi i → ∞ nếu và chỉ nếu nghiệm của đa thức đặc trưng nằm trong phần nội của đường tròn đơn vị trên mặt phẳng Bên cạnh đó, phương trình (2.3) có thể được viết tương tự như (3.3).
Hệ số của hệ phương trình sai phân phụ thuộc vào các giá trị ngẫu nhiên ξ i và ξ i−1, cũng như quá trình chuyển đổi giữa các bước Sự phụ thuộc vào giá trị ngẫu nhiên và ma trận n tạo ra khó khăn trong việc nghiên cứu tính ổn định của hệ thống này.
Một phương pháp hiệu quả để khắc phục khó khăn trong việc kiểm tra tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phân ngẫu nhiên là áp dụng định lý kiểu Lyapunov cho phương pháp nhiều bước.
2.4 HÀM LYAPUNOV CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN Định lý sau đây cho ta một cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp nhiều giai đoạn.
Giả sử X i = X i (X 0 , X 1 ) là một nghiệm của (2.3) Nếu tồn tại một hàm V(i, X i−1 , X i ) nhận giá trị dương và các số dương c 1 và c 2 , sao cho
≤ −c 2 E|X i| 2 , (4.2) cho tất cả i ∈ N, i ≥ 1, khi đó nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình Tức là: i→∞lim E|X i| 2 = 0 (4.3)
Chứng minh Từ điều kiện (4.2) chúng ta đạt được
Bây giờ với mỗi δ 1 > 0 tồn tại δ = δ 1 c c 2
1, sao cho E|X i| 2 ≤ δ 1 nếu max(E|X 0| 2 , E|X 1| 2 ) < δ Từ(4.4) kéo theo P∞ j=1E|X j| 2 ≤ ∞.
Từ đó lim i→∞ E|X j| 2 = 0 Suy ra nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình và định lý đã được chứng minh.
Chú ý: Định lý (2.4.1) có thể áp dụng cho hàm Lyapunov V với sự phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên V(i, X i−1 , X i , ξ i−1 ξ i ) Phép chứng minh tương tự.
2.4.2 Giải hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp một giai đoạn.
Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov V bao gồm việc kết hợp hai hàm V˜ và Vˆ, bắt đầu với hàm V˜ Để phù hợp với định lý, cần tìm hàm Vˆ thích hợp Giả thiết cho hàm V˜ được đưa ra là V˜(i, X i−1 , X i ) = |X i|^2.
Chúng ta bắt đầu với giả thiết đầu tiên
Nó là hàm lyapunov cho phương trình tất định đơn giản
X˜ i+1 := aX˜ i , X˜ 0 = X 0 (4.6) hoặc cho phương trình ngẫu nhiên
Giả thiết đầu tiên V˜ thỏa mãn điều kiện (4.1) của định lý cho (4.6) hoặc (4.7) khi |a| < 1 hoặc |a|^2 + |b|^2 < 1 Chúng ta sẽ áp dụng hàm số V˜ cho (2.3) và kiểm tra điều kiện (4.2) bằng cách tính toán cho i = 1, 2, 3
E∆ ˜ V i = Q 1 +Q 2 +Q 3 −E|X i| 2 Ước lượng các số hạng ta thu được:
Lấy tổng các vế ta có :
Trong bước tiếp theo chúng ta bổ sung Vb để nói về nhóm TE|X i−1 | 2 trong vế phải của bất đẳng thức trên Nó được đặt bởi
Sau đó chúng ta có
E∆ ˆV i := EV ˆ (i + 1, X i, X i+1 )−EV ˆ (i, X i−1, X i ) = TE|X i| 2 − T E|X i−1| 2 Gọi V := ˜V + ˆV thu được
Hơn nữa chúng ta có thể kiểm tra điều kiện ban đầu cho V := ˜V + ˆV Điều kiện này thõa mãn
Do đó,V là hàm Lyapunov rời rạc cho (2.3), thõa mãn điều kiện (4.1,4.2) nếu K+ T < 0, có
(|a|+|c|) 2 +|b| 2 +|d| 2 + 2|a||d| < 1 (4.10) Đây là điều kiện đủ nhưng không phải là điều kiện cần để đảm bảo tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của (2.3)
Như phương trình sai phân phụ, với hàm Lyapunov V(y) = y 2 (nếu a+c < 1) Theo đó đầu tiên phiến hàm V˜ phải được chọn từ
Chúng ta ứng dụng phiến hàm V˜ cho (2.3) và kiểm tra điều kiện (4.2). Dùng điều kiện (4.11) chúng ta tính toán cho i = 1,2,3,
Nhóm Q 2 đã đánh giá chính xác trước đó, một cách tương tự chúng ta đánh giá
E(a + c)X idX i−1 ξ i−1 ≤ |a+c||d|(E|X i| 2 +E|X i−1| 2 ). Lấy tổng chúng ta đi đến
Hàm Vˆ giữ nguyên như (4.8) và đánh giá tương tự như (4.9) cho V Vˆ + ˜V, bây giờ ta có
Hơn nữa từ điều kiện ban đầu (4.1) đánh giá cho V := ˜V + ˆV, từ đó
V := ˜V + ˆV là một hàm Lyapunov cho (2.3)thõa mãn điều kiện (4.1),(4.2) nếu K+ T < 0 , nghĩa là:
|a+c| 2 +|b| 2 +|d| 2 + 2|a+c||d|+|a+c−1|+|c| < 1 (4.13) Điều kiện này là điều kiện đủ nhưng không phải là điều kiện cần để nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình.
2.4.2.3 Giả thiết V˜(i, X i−1 , X i , ξ i−1 , ξ i ) := |X i +cX i−1 +dξ i−1 X i−1 | 2 Bây giờ chúng ta viết (2.3) như sau
Như phương trình sai phân phụ, với hàm Lyapunov v(y) = y 2 ( nếu (a+c) 2 + (b+d) 2 < 1) Hàm Lyapunov phải được chọn
Trong trường hợp này, chúng ta chọn hàm Lyapunov V˜ phụ thuộc vào giá trị ngẫu nhiên Hàm V˜ được ứng dụng cho (2.3) và điều kiện (4.2) được kiểm tra Sử dụng phép biểu diễn (4.14), chúng ta tiến hành tính toán cho i = 1, 2,
|(a+c)X i +cX i−1 | 2 − |X i +cX i−1 | 2 +E|(b + d)X iξ i +dX i−1 ξ i−1 | 2 − |dX i−1 ξ i−1 | + 2RE
. Nhóm Q 4 đã đánh giá chính xác trước đó, tương tự chúng ta có:
Chúng ta lấy Vˆ như trong (4.8) với số không đổi T khác nhau trong biểu thức V = ˜V + ˆV Cuối cùng, chúng ta kiểm tra điều kiện ban đầu (4.1):
Vậy V := ˜V + ˆV là một hàm Lyapunov rời rạc cho (2.3) thõa mãn điều kiện (4.1),(4.2) nếu K +T < 0 , nghĩa là:
|a+c| 2 +|b+d| 2 + 2(|c|+|d|)|a+c−1| < 1 (4.16) Điều kiện này là điều kiện đủ nhưng không là cần để đảm bảo nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình.
2.4.3 Hệ phương trình sai phân và phương pháp hai bước tất định.
Trong phần này, chúng ta sẽ phân tích hệ phương trình sai phân với phần tất định hai bước, được biểu diễn qua công thức (3.5) Bắt đầu từ phần tất định của hệ phương trình (2.3), ta có công thức y i+1 = ay i + cy i−1.
Và đặt Y i = (y i , y i−1 ) T viết lại (4.17) như sau
Tiếp theo ta xác định hàm Lyapunov v cho (4.18) Hàm v : R 2 →R + là một hàm Lyapunov cho (4.18) nếu giá trị ∆v i := v(Y i+1 )−v(Y i ) thõa mãn
∆v i ≤ −c 0 kY i k 2 trong đó k.k là chuẩn trong R 2 và c 0 là số không đổi Ta có v(Y) =Y T QY với một ma trận dương xác định Q cho giá trị dương của v và
Để xác định ma trận Lyapunov Q, cần tìm một ma trận Q sao cho ma trận A^T QA - Q xác định âm Bắt đầu từ việc xác định ma trận P và giải phương trình Lyapunov A^T QA - Q = -P Để đơn giản, ta chọn ma trận đường chéo P = diag(p11, p22) với các tham số dương p11 và p22 có thể chọn tùy ý Các phần tử của ma trận Q = (qij) với i,j = 1,2 có thể được tính toán, giả sử c ≠ -1 và |a| ≠ |1-c|, ta có q11 và q22.
|c| < 1và |a| < 1−c (4.19) ma trận Q là ma trận dương xác định với q 11 , q 22 , p ac > 0 Tiếp đó hàm V˜ phải được chọn
, chúng ta cần xác định hàm Vˆ trong V = ˜V + ˆV Chúng ta đạt được
Q 10 = 2(q 12 +q 11 a)EX i(dX i−1 ξ i−1 ). Đánh giá chúng ta được
Hàm Vˆ được lấy như trong (4.8) với giá trị T ở trên , để thoã mãn (4.2) cho V = ˜V + ˆV thì K+T < 0 Cuối cùng kiểm tra điều kiện (4.1) của định lý (2.4.1) Chúng ta đạt được với X 1 = (X 1 , X 0 ) T
Điều kiện (4.1) của định lý (2.4.1) được thoả mãn với số dương không đổi (1 +c 2 )q 11 + 2|q 12 +γ 2 | Chúng ta kết luận rằng V = ˜V + ˆV là một hàm Lyapunov rời rạc cho (2.3), thỏa mãn điều kiện (4.1,4.2) nếu có (4.19).
K+T < 0 giữ nguyên Bất đẳng thức cuối này có nghĩa γ 1 +γ 2 < p 11 + p 22
(4.22) Đây là điều kiện đủ nhưng không cần thiết để đảm bảo rằng nghiệm không của (2.3) ổn định bình phương trung bình tiệm cận.
Luận văn đã đạt được các kết quả sau
1 Trình bày tương đối có hệ thống một số kiến thức cơ bản về tính ổn định của các hệ rời rạc có trễ, trong đó có sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính, hệ rời rạc phi tuyến, hệ tuyến tính có trễ, và bài toán ổn định hóa của hệ có trễ và hệ có nhiễu phi tuyến.
2 Trình bày phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu nhiên.
Cơ sở xây dựng phương pháp hai giai đoạn dựa trên định lý kiểu Liapunov cho phương trình sai phân ngẫu nhiên, được trình bày và chứng minh đầy đủ trong Định lý 2.4.1.
Nhờ phương pháp đó dễ dàng nghiên cứu được tính ổn định của phương trình sai phân khi hàm Liapunov V := ˜V + ˆV có một số dạng đặc biệt như: