Iđêan nguyên tố liên kết
Iđêan nguyên tố liên kết của một mô-đun M là iđêan nguyên tố p của R, trong đó tồn tại một phần tử 0 ≠ x ∈ M với Ann(x) = p Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R (M) hoặc Ass(M).
Sau đây là một số tính chất của các tập iđêan nguyên tố liên kết.
Mệnh đề 1.1.2 (i) Cho p∈ Spec(R) Khi đó p∈ Ass R (M ) nếu và chỉ nếu M có một môđun con đẳng cấu với R/p.
Nếu p là phần tử tối đại trong tập tất cả các iđêan của R có dạng Ann(x) với 0 ≠ x ∈ M, thì p thuộc Ass R (M) Do R là vành Noether, M khác không khi và chỉ khi Ass R (M) khác không Hơn nữa, tập ZD(M) chứa tất cả các ước không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M.
(iii) Cho 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp các R−môđun Khi đó
(iv) Ass R (M) ⊆ Supp R (M ) và mỗi phần tử tối thiểu của tập Supp R (M) đều thuộc vào tập Ass R (M)
(v) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì Ass R (M ) là tập hữu hạn Hơn nữa Ass R (M ) ⊆ V (Ann M ) và mỗi phần tử tối thiểu của V (Ann M ) đều thuộc Ass R (M) Vì thế p
Ann(M ) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M.(vi) Ass R p (M p ) = {qR p |q∈ Ass R (M ),q⊆p}.
Môđun Ext
Định nghĩa 1.2.1 Một giải xạ ảnh của R−môđun M là một dãy khớp
→ P 2 → P 1 → P 0 → M → 0 của các R−môđun, trong đó P i là R−môđun xạ ảnh với mọi i.
Giải xạ ảnh của một R−môđun M luôn tồn tại, với Y là một hệ sinh của M Đặt P 0 = ⊕ y∈Y R y, trong đó R y = R là R−môđun tự do trên Y Từ đó, ta có toàn cấu ϕ : P 0 → M được xác định bởi ϕ(a y ) y∈Y = Σ y∈Y a y y.
K 1 được xác định là Ker ϕ, với Y 1 là hệ sinh của K 1 và P 1 là R−môđun tự do sinh bởi Y 1 Từ đó, ta có một toàn cấu tự nhiên f 1: P 1 → K 1 Đặt à 1 = j 1 f 1, trong đó j 1: K 1 → P 0 là phép nhúng tự nhiên từ K 1 vào P 0 Rõ ràng, Im à 1 = Ker ϕ.
K 2 = Ker à 1 Bằng lập luận tương tự ta cú một toàn cấu f 2 : P 2 → K 2 sao cho
K 2 là mụđun tự do và Im à 2 = Ker à 1 trong đú à 2 = j 2 f 2 với j 2 : K 2 , → P 1 là phép nhúng tự nhiên Cứ tiếp tục quá trình này ta thu được một dãy khớp
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các môđun tự do và xạ ảnh của chúng Cụ thể, cho một môđun tự do P_i, ta có chuỗi xạ ảnh từ P_1 đến P_0, dẫn đến một xạ ảnh ϕ_M = 0 Định nghĩa 1.2.3 trình bày rằng cho N là một R-môđun, hàm tử Hom(−, N) được coi là phản biến và khớp trái Từ đó, ta có thể lấy giải xạ ảnh của môđun R-M.
Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có phức
Khi đó Ext i R (M, N ) = Ker f i ∗ / Im f i−1 ∗ Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext.
(i) Nếu M là xạ ảnh thì Ext i R (M, N ) = 0 với mọi i> 1
(iii) Nếu 0 → N 0 → N → N 00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối Ext n R (M, N 00 ) → Ext n+1 R (M, N 0 ) với mọi n> 0 sao cho ta có dãy khớp dài
(iv) Nếu 0 → N 0 → N → N 00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối Ext n R (N 0 , M ) → Ext n+1 R (N 00 , M ) với mọi n> 0 sao cho ta có dãy khớp dài
Từ Chú ý 1.2.2 và từ Định nghĩa môđun Ext ta có kết quả sau.
Hệ quả 1.2.5 Nếu M, N là môđun hữu hạn sinh trên R thì Ext i R (M, N ) cũng là hữu hạn sinh với mọi i.
Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext và hàm tử địa phương hóa.
Mệnh đề 1.2.6 Nếu S là tập đóng nhân của R thì
S −1 (Ext n R (M, N)) ∼ = Ext n S −1 R (S −1 M, S −1 N ). Đặc biệt, ta có (Ext n R (M, N )) p ∼ = Ext n R p (M p , N p ) với mọi p∈ Spec R.
Môđun đối đồng điều địa phương
Môđun đối đồng điều địa phương, được A Grothendieck định nghĩa vào những năm 1960, hiện nay đã trở thành công cụ quan trọng trong Hình học đại số và Đại số giao hoán Trong bài viết này, chúng ta sẽ giới thiệu về hàm tử I−xoắn, với I là iđêan của R và R−môđun tương ứng.
M định nghĩa Γ I (M) = S n≥0 (0 : M I n), cho thấy nó là một môđun con của M Nếu f : M → N là đồng cấu các R−môđun, thì tồn tại đồng cấu cảm sinh f ∗ : Γ I (M) → Γ I (N) với f ∗ (m) = f(m) Do đó, Γ I (−) trở thành một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R−môđun đến các R−môđun, và được gọi là hàm tử I− xoắn.
Bổ đề 1.3.2 Cho I là iđêan của R Giả sử M là môđun hữu hạn sinh trên R. Khi đó các phát biểu sau đây là đúng.
(i) Γ I (M ) 6= 0 nếu và chỉ nếu I ⊆ ZD(M ), trong đó
ZD(M ) = {a ∈ R | tồn tại 0 6= m ∈ M sao cho am = 0}.
Ass(Γ I (M )) = Ass(M ) ∩ V (I) và Ass(M/Γ I (M )) = Ass(M ) \ V (I) Định nghĩa 1.3.3 i) Một R−môđun M được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f : N → N 0 và mọi đồng cấu g : N → M, luôn tồn tại đồng cấu h : N 0 → M sao cho g = h ◦ f ii) Một giải nội xạ của R−môđun M là một dãy khớp.
0 → M − → à E 0 −→ f 0 E 1 −→ f 1 E 2 −→ ã ã ã f 2 trong đó E i là các R−môđun nội xạ với mọi i ≥ 0.
Giải nội xạ của một R−môđun M luôn tồn tại Định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương cho biết rằng, với M là R−môđun và I là iđêan của R, ta có thể lấy giải nội xạ của M.
Tác động hàm tử I−xoắn vào dãy khớp trên ta được phức
Khi đó H I i (M ) = Ker f i ∗ / Im f i−1 ∗ (với mọi i ≥ 0) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với giá là iđêan I.
Tiếp theo ta xét một số tính chất.
Mệnh đề 1.3.6 Cho M là một R−môđun Khi đó các phát biểu sau là đúng.
(ii) Nếu M là nội xạ thì H I i (M ) = 0 với mọi i ≥ 1.
(iii) Nếu 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối H I n (M 00 ) → H I n+1 (M 0 ) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài
Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử địa phương hóa.
Mệnh đề 1.3.7 NếuS là tập đóng nhân củaR thìS −1 H I n (M ) ∼ = H S n −1 I (S −1 M ). Đặc biệt, (H I n (M )) p ∼ = H IR n p (M p ) với mọi iđêan nguyên tố p của R.
Hệ quả 1.3.8 Với mỗi p ∈ Spec(R), ta có p ∈ Ass H I n (M ) nếu và chỉ nếu pR p ∈ Ass H IR n p (M p ).
Dãy chính quy và độ sâu của môđun
Dãy chính quy là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết vành giao hoán Noether Theo định nghĩa, cho R là vành giao hoán Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0, phần tử a ∈ R được gọi là phần tử M−chính quy nếu a không là ước của 0 trong M, tức là ax ≠ 0 với mọi x ∈ M, x khác 0 Một dãy các phần tử a1, , an ∈ R được gọi là một M−dãy chính quy.
(2) a i là phần tử M/(a 1 , , a i−1 )M −chính quy, với mọi i = 1, , n.
Chú ý 1.4.2 đề cập đến M là R−môđun hữu hạn sinh Một dãy các phần tử (a1, , an) ∈ R được gọi là M−dãy chính quy nghèo nếu nó chỉ thỏa mãn điều kiện (2) trong định nghĩa Độ dài của một M−dãy là số lượng phần tử trong dãy, và một M−dãy không có phần tử nào được gọi là M−dãy có độ dài 0 Phần tử a ∈ R được xem là M−chính quy nghèo nếu và chỉ nếu a không thuộc p với mọi p ∈ Ass R M Cuối cùng, dãy a1, , an ∈ R là M−dãy chính quy khi và chỉ khi M/(a1, , an)M khác 0 và ai không thuộc p với mọi p ∈ Ass R M/(a1, , ai−1)M cho i = 1, , n.
Mệnh đề 1.4.3 khẳng định rằng trong một vành giao hoán địa phương Noether (R,m) với môđun hữu hạn sinh M, nếu a1, , ak thuộc m là M-dãy, thì a1^n1, , ak^nk cũng là M-dãy với mọi số nguyên dương n1, , nk Hơn nữa, Ass R (M/(a1^n1, , ak^nk)M) bằng Ass R (M/(a1, , ak)M) Định nghĩa 1.4.4 giới thiệu về M-dãy chính quy tối đại: cho M là môđun hữu hạn sinh khác 0 và I là iđêan của R sao cho M ≠ IM, a1, , an là M-dãy chính quy trong I Ta gọi a1, , an là M-dãy chính quy tối đại trong I nếu không tồn tại phần tử an+1 ∈ I sao cho a1, , an, an+1 là M-dãy chính quy.
Mệnh đề 1.4.5 Cho M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0 Lấy I là iđêan của
Với mỗi số nguyên dương n cho trước, tồn tại một M−dãy a1, , an ∈ I tương đương với việc Ext j R (R/I, M) = 0 cho mọi j < n Đối với môđun M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0 và I là iđêan của R sao cho M ≠ IM, mọi M−dãy chính quy trong I đều có thể mở rộng thành M−dãy chính quy tối đại trong I.
M −dãy chính quy tối đại của M trong I đều có cùng độ dài n, đó là số thỏa mãn điều kiện
Ta đặt n = depth(I, M ) và gọi là độ sâu của M trong I Nếu M = IM thì ta quy ước depth(I, M) = ∞.
Trong trường hợp (R,m) là vành địa phương, thì độ sâu của M trong m là depth(m, M ) còn được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M.
Kết quả sau đây là đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương và môđun Ext.
Mệnh đề 1.4.7 Giả sử I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó depth(I, M ) = inf {i | H I i (M ) 6= 0} = inf{i | Ext i R (R/I, M ) 6= 0}.
Tiếp theo ta giới thiệu một số mở rộng của khái niệm dãy chính quy Đó là khái niệm dãy lọc chính quy được định nghĩa bởi N.T Cường - N.V Trung
Khái niệm dãy chính quy và dãy chính quy suy rộng được định nghĩa trong các nghiên cứu của P Schenzel và L.T Nhàn Định nghĩa 1.4.8 chỉ ra rằng, trong một vành giao hoán địa phương Noether (R,m) với R−môđun hữu hạn sinh M, một dãy các phần tử x1, , xr của m được gọi là dãy lọc chính quy của M nếu mỗi x_i không thuộc về bất kỳ p nào trong Ass(M/(x1, , x(i−1))M) ngoại trừ m Trong khi đó, theo định nghĩa 1.4.9, dãy chính quy suy rộng của M cũng yêu cầu rằng x_i không thuộc về p trong Ass(M/(x1, , x(i−1))M) với điều kiện dim(R/p) > 1.
Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm chiều của môđun.
Chiều (Krull) của vành R, ký hiệu là dim R, được định nghĩa là cận trên của độ dài các dãy iđêan nguyên tố p 0 ⊂ p 1 ⊂ ⊂ p n, trong đó với mọi i, pi khác pi+1 Đối với R−môđun M, chiều môđun M, ký hiệu là dim M, là cận trên của các số n sao cho tồn tại một dãy iđêan nguyên tố có độ dài n trong tập Supp M Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh, thì Supp M = V(Ann R M), dẫn đến dim M = sup{dim(R/p) | p ∈ Ass M} = dim(R/Ann M).
Kết quả nghiên cứu cho thấy chiều của một môđun có thể được đặc trưng qua tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Mệnh đề 1.4.11 Cho I là iđêan của R và M 6= 0 là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó
(ii) Nếu (R,m) là vành giao hoán địa phương Noether thì dim M = sup{i | H m i (M ) 6= 0}.
Vành và môđun phân bậc
Một vành phân bậc A là một vành giao hoán (A, +, ) thỏa mãn điều kiện A = L n≥0 A n, nghĩa là nhóm A là tổng trực tiếp của các nhóm con A n của nhóm cộng (A, +) Ngoài ra, A n A m ⊆ A n+m với mọi n, m ∈ N Trong đó, mỗi phần tử a ∈ A n được gọi là phần tử thuần nhất bậc n, và phần tử 0 được quy ước có bậc tùy ý.
Cho A = L n≥0 A n là vành phân bậc và M là một A−môđun M được gọi là A−môđun phân bậc nếu thỏa mãn M = L n≥0 M n và A n M m ⊆ M n+m với mọi n, m ∈ N Trong đó, mỗi phần tử x ∈ M n được gọi là phần tử thuần nhất hoặc phần tử phân bậc có bậc n Nếu N là môđun con của A−môđun phân bậc M, thì N được gọi là môđun con thuần nhất hoặc môđun con phân bậc của M nếu N = L n≥0 (M n ∩ N).
Giả sử A = L n≥0 A n là một vành phân bậc, thì A 0 là một vành con của A Điều này được chứng minh bằng việc (A 0, +) là nhóm con của nhóm A và A 0 A 0 ⊆ A 0 Hơn nữa, nếu 1 = a 0 + a 1 + + a n với a i ∈ A i, thì với mỗi i, ta có a i = 1a i = a i a 0 + a i a 1 + + a i a n.
Do biểu diễn duy nhất của tổng trực tiếp ta suy ra a i = a i a 0 Do đó
A = (a 0 + a 1 + + a n )a 0 = 1a 0 = a 0 ∈ A 0 A n là A 0 -môđun với mọi n ≥ 0, vì A 0 A n ⊆ A n A có cấu trúc tự nhiên là một A 0 -đại số nhờ vào đồng cấu vành f : A 0 → L n≥0 A n = A, với a 0 được ánh xạ thành a 0 + 0 + + 0 + Nếu tồn tại hữu hạn phần tử a 1, , a n ∈ A 1 sao cho A = A 0 [a 1, , a n ], thì A được gọi là A 0 -đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh, và trong trường hợp này, A là ảnh đồng cấu của vành đa thức n biến trên A 0 Nếu A 0 là vành Noether, theo Định lý cơ sở Hilbert, ta suy ra rằng vành đa thức trên A 0 cũng là vành Noether, do đó A cũng là vành Noether.
Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun
Chương này trình bày chi tiết các kết quả chính của luận văn, bao gồm các Định lý 1, 2 và 3 đã nêu ở phần Mở đầu Chúng ta giả định rằng (R,m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất là m, trong đó I, J là hai iđêan của R và M, N là các R−môđun hữu hạn sinh Hơn nữa, R được giả định là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R 0 = (R,m), và N cũng là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh Nội dung chương này được xây dựng dựa trên bài báo [8] và một phần từ bài báo [14].
Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết
Với S là tập con của Spec(R) và với số nguyên k ≥ −1, ta đặt
Năm 2008, M Brodmann-L.T Nhàn đã định nghĩa khái niệm N −dãy từ chiều
> k trong bài báo [4] như sau. Định nghĩa 2.1.1 (xem [4]) Cho số nguyên k ≥ −1 Một dãy các phần tử x 1 , , x r ∈ m được gọi là một N −dãy từ chiều > k nếu x i ∈ / p với mọi p∈ Ass R (N/(x 1 , , x i−1 )N ) >k với mọi i = 1, , r.
Trong tài liệu [4], các tác giả đã chứng minh rằng mọi N-dãy có chiều lớn hơn kcực đại trong I đều có độ dài giống nhau, được gọi là depth k (I, N) Nếu dim(N/IN) nhỏ hơn hoặc bằng k, thì depth k (I, N) được quy ước là ∞ Theo Lemma 2.4 trong [4], ta có công thức depth k (I, N) = inf{i | dim Supp(H I i (N)) > k}.
Độ sâu của N trong I được biểu thị bằng depth -1 (I, N ), trong khi depth 0 (I, N ) là độ sâu lọc f-depth(I, N ) theo định nghĩa của R L¨ u - Z Tang Đối với độ sâu suy rộng, depth 1 (I, N ) được xác định bởi L.T Nhàn.
Kết quả chính của luận văn này là định lý Cường-Hoàng, cụ thể là Định lý 2.1.3, trong đó cho rằng nếu (R,m) là vành Noether địa phương, I là iđêan của R và N là R−môđun hữu hạn sinh với số nguyên k ≥ −1 và r = depth k (I, N), thì khi r < ∞ và x 1 , , x r là một N-dãy từ chiều > k trong iđêan I, thì với mọi số nguyên j ≤ r, tập Ass R (H I j (N )) ≥k là hữu hạn Hơn nữa, định lý này còn đưa ra một đẳng thức quan trọng.
Ass R (N/(x 1 , , x j )N ) ≥k ∩ V (I) với mọi l ≤ r. Để chứng minh Định lý 2.1.3 ta cần một số kiến thức chuẩn bị sau đây:
Chú ý 2.1.4 i) Nếu x 1 , , x r là N-dãy từ chiều > k thì x 1 /1, , x r /1 là
N p −dãy chính quy với mọi p∈ (Supp N ) >k mà p⊇ (x 1 , , x r ). ii) Nếu x 1 , , x r là một N-dãy từ chiều > k, thì x n 1 1 , , x n r r cũng là N-dãy từ chiều > k với mọi n 1 , , n r ∈Z +
Thực vậy, ta chỉ cần chứng minh x ν 1 , , x r cũng là N-dãy từ chiều > k với mọi ν ∈ Z + Ta tiến hành quy nạp theo ν Giả sử ν > 1 và x ν−1 1 , x 2 , , x n là
Trong N-dãy từ chiều lớn hơn k, nếu x ν 1 thuộc N-dãy này, thì x ν 1 cũng thỏa mãn điều kiện tương tự Giả sử với i > 1, tồn tại p thuộc Ass(N/(x ν 1, , x i−1)N) lớn hơn k, thì x i cũng thuộc p Điều này dẫn đến p thuộc Supp N lớn hơn k và p bao gồm (x 1, , x i) Do đó, x 1/1, , x i/1 tạo thành N p -dãy chính quy, phù hợp với giả thiết ban đầu và nhận thấy rằng pR p thuộc Ass R p (N/(x ν 1, , x i−1)N) p.
Từ đó theo Mệnh đề 1.4.3 ta suy ra x ν 1 /1, , x i /1 cũng là N p −dãy chính quy.
Do đó x i /1 ∈ / pR p, điều này mâu thuẫn với x i ∈ p Vậy x ν 1 , x 2 , , x n là N-dãy từ chiều > k với mọi ν ∈Z +
Bổ đề 2.1.5 ([9, Lemma 2.3]) Cho số nguyên k ≥ −1 Khi đó depth k (I, N ) = inf {depth k−i (I p , N p ) |p∈ Supp R (N/IN ) ≥i } với mọi 0 ≤ i ≤ k + 1, ở đây để tiện lợi ta quy ước inf(∅) = ∞.
Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng, được định nghĩa bởi J Herzog vào năm 1970, là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết môđun Định nghĩa 2.1.6 (xem [13]) chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ j của hai môđun M và N đối với giá là iđêan I, được ký hiệu là H I j (M, N), được xác định thông qua một công thức cụ thể.
H I j (N) được xác định là giới hạn lim −→ n Ext j R (R/I n , N) Điều này cho thấy rằng H I j (R, N) tương đương với H I j (N), từ đó khẳng định rằng khái niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng là một sự mở rộng của khái niệm môđun đối đồng điều địa phương.
Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng.
Bổ đề 2.1.7 (xem [1, Proposition 5.5]) Đẳng thức sau là đúng depth(I M , N ) = inf{i | H I i (M, N) 6= 0}, trong đó I M = Ann R (M/IM) là iđêan linh hóa tử của R−môđun M/IM.
Bổ đề 2.1.8 (xem [6, Theorem 2.4]) Đặt r = depth(I M , N ) Giả sử r < ∞ và x 1 , , x r là một N −dãy chính quy trong iđêan I M Khi đó
Bổ đề 2.1.9 (xem [7, Lemma 2.1]) Nếu Γ I M (N ) = N hoặc I ⊆ Ann(M ), thì
H I j (M, N ) ∼ = Ext j R (M, N ) với mọi j ≥ 0 Dựa vào các tính chất đã nêu, chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn Định lý 1, cụ thể là Định lý 2.1.10 (Cường-Hoàng [8, Định lý 3.1]), cho môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Định lý này áp dụng cho (R,m) là vành Noetherian địa phương, I là iđêan của R và M, N là các R−môđun hữu hạn sinh Với k ≥ −1 là số nguyên và r = depth k (I M , N), nếu r < ∞ và x 1 , , x r là một
N-dãy từ chiều > k trong iđêan I M , khi đó với bất kì số nguyên l ≤ r ta luôn có đẳng thức
Do đó Ass R (H I j (M, N)) ≥k là tập hữu hạn với mọi j ≤ r.
Chứng minh Lấy l là số nguyên sao cho 0 ≤ l ≤ r Với mỗi iđêan nguyên tố p∈S j≤l Ass R (H I j (M, N)) ≥k , ta luôn có số nguyên j 0 ≤ l sao cho p∈ Ass R (H I j 0 (M, N)) và p∈ / Ass R (H I j (M, N)) với mọi j < j 0
Giả sử rằng p ∈ / Ass R (N/(x 1 , , x j )N ) với mọi j < j 0 Khi đó pR p ∈ / Ass R p ((N/(x 1 , , x j )N ) p ), với mọi j < j 0 Do đó
Ass R p ((N/(x 1 , , x j )N ) p ) = Ass R p ((N/(x 1 , , x j )N ) p ) ≥1 với mọi j < j 0 Từ giả thiết của x 1 , , x r suy ra x 1 , , x j 0 là N −dãy từ chiều
Ta có p ∈ Supp(N/I M N) ≥ k, từ đó suy ra rằng x₁/1, , xₗ₀/1 là một dãy lọc chính quy của Nₚ theo Bổ đề 2.1.5 Kết quả này cho thấy x₁/1, , xₗ₀/1 cũng là một dãy chính quy của Nₚ trong (I M)ₚ, dẫn đến việc depth((I M)ₚ, Nₚ) ≥ j₀ Hơn nữa, do p ∈ Ass R(H I j₀(M, N)), chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về cấu trúc của các lý thuyết này.
H I j 0 (M, N ) p 6= 0 Do đó depth((I M ) p , N p ) ≤ j 0 theo Bổ đề 2.1.7, và vì vậy ta thu được depth((I M ) p , N p ) = j 0 Điều đó cùng với Bổ đề 2.1.8 dẫn đến
Do đó p∈ Ass R (N/(x 1 , , x j 0 )N ) ∩ V (I M ) Suy ra ta đã chứng minh được một bao hàm thức sau
Ngược lại, lấy tùy ý phần tử p∈S j≤l Ass R (N/(x 1 , , x j )N ) ≥k ∩ V (I M ), khi đó tồn tại số nguyên e ≤ l sao cho p∈ Ass R (N/(x 1 , , x e )N ) và p∈ / Ass R (N/(x 1 , , x j )N) với mọi j < e.
Do đó pR p ∈ / Ass R p ((N/(x 1 , , x j )N ) p ) với mọi j < e Khi đó ta có
Ass R p ((N/(x 1 , , x j )N ) p ) = Ass R p ((N/(x 1 , , x j )N ) p ) ≥ 1 với mọi j < e, cho thấy rằng x 1 /1, , x e /1 là một dãy chính quy của N p trong iđêan (I M ) p Do đó, depth((I M ) p , N p ) ≥ e Chú ý rằng vì p ∈ Ass R (N/(x 1 , , x e )N ), ta có depth((I M ) p , (N/(x 1 , , x e )N ) p ) = 0, từ đó suy ra depth((I M ) p , N p ) = e Kết luận rằng p ∈ Ass R (H I e (M, N)) theo Bổ đề 2.1.8, từ đó chứng minh được bao hàm sau.
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức sau với mọi 0 ≤ l ≤ r
Rõ ràng tập ở vế phải là tập hữu hạn, từ đó ta suy ra tính hữu hạn của tập hợp Ass R (H I j (M, N )) ≥k với mọi j ≤ r.
Chứng minh Định lý 1 (hay Định lý 2.1.3) Định này được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1.10 bằng cách thay thế M bởi R.
Chú ý 2.1.11 nêu rõ rằng Cường-Hoàng đã chọn cách chứng minh Định lý 1 dưới dạng tổng quát hơn, do Định lý 2.1.10 dẫn đến nhiều hệ quả thú vị Một ví dụ là kết quả từ [4, Proposition 2.6], cho thấy nếu x1, , xr là một N-dãy từ chiều > k hoán vị được, thì tập hợp Sn1, ,nr ∈N Ass R (N/(x n1 1 , , x nr r )N) ≥k là hữu hạn Bài viết cũng chỉ ra rằng có thể chứng minh kết quả này mà không cần giả thiết "hoán vị được" cho dãy x1, , xr là N-dãy từ chiều > k.
Hệ quả 2.1.12 Cho số nguyên k ≥ −1 và x 1 , , x r là một N-dãy từ chiều
> k (không nhất thiết hoán vị được) Khi đó
Ass R (N/(x 1 , , x j )N ) ≥k với mọi n 1 , , n r ∈Z + Đặc biệt, ta suy ra rằng
Ass R (N/(x n 1 1 , , x n j j )N ) ≥k là một tập hữu hạn.
Chứng minh rằng với các số nguyên dương n1, n2, , nr, dãy x n1 1, x n2 2, , x nr r cũng là một N-dãy từ chiều lớn hơn k theo Chú ý 2.1.4 Đặt I i = (x 1, , x i) cho mọi số nguyên i với 0 ≤ i ≤ r Vì mọi p thuộc Ass R (N/(x n1 1, , x ni i)N) đều thỏa mãn p ⊇ I i, nên với bất kỳ bộ r số nguyên dương n1, , nr, ta đều có kết quả như mong đợi.
Từ đó kết hợp với Định lý 2.1.3 ta suy ra rằng
Ass R (N/(x n 1 1 , , x n j j )N ) ≥k với mọi bộr số nguyên dươngn 1 , , n r Rõ ràng tập ở vế trái không phụ thuộc vào n 1 , , n r Do đó
Ass R (N/(x 1 , , x j )N ) ≥k với mọi n 1 , , n r ∈Z + Đặc biệt ta suy ra tính hữu hạn của tập hợp sau đây
Ass R (N/(x n 1 1 , , x n j j )N ) ≥k , đó là điều cần chứng minh.
Nếu ta thay k = 1 trong Hệ quả 2.1.12, thì ta sẽ thu được hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1.13 Lấy x 1 , , x r là một dãy chính quy suy rộng của N Khi đó [ j≤r
Ass R (N/(x 1 , , x j )N ) ∪ {m} với mọi n 1 , , n r ∈Z + Đặc biệt, ta có
Ass R (N/(x n 1 1 , , x n j j )N ) là một tập hữu hạn.
Kết quả từ [22, Định lý 3.1] chỉ ra rằng nếu "x1, , xr" là một dãy chính quy suy rộng của N, thì S n1, ,nr ∈ Z + Ass(N/(x n1 1 , , x nrr )N) là một tập hữu hạn Điều này cho thấy Hệ quả 2.1.13 bao hàm cả Định lý 3.1 trong tài liệu [22].
Hệ quả 2.1.14 Lấy k là số nguyên mà k ≥ −1 Đặt r = depth k (Ann(M), N ). Nếu r < ∞ và x 1 , , x r là một N-dãy từ chiều > k trong iđêan p
Ann(M ), khi đó với mọi số nguyên l ≤ r ta có
Ann(M ) Khi đó ta thấy pI M =p
I M = I Từ đó kết hợp với Chú ý 2.1.2 ta suy ra được r = depth k (Ann(M ), N ) = depth k (p
Mặt khác rõ ràng x 1 , , x r là một N-dãy từ chiều > k trong I M Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.9, ta có Ext j R (M, N) ∼ = H Ann(M j ) (M, N); trong khi đó
Suy raExt j R (M, N ) ∼ = H I j (M, N) Do đó hệ quả được suy ra từ Định lý 2.1.10.
Chú ý 2.1.15 Lấy các số nguyên j ≥ 0 và t > 0 Lấy a = (a 1 , , a s ) kí hiệu cho dãy các phần tử của R và t = (t 1 , , t s ) là bộ s số nguyên dương Với mỗi iđêan I của R ta đặt
Khi đó ta thu được các quan hệ sau đây giữa các tập hợp nêu trên.
Hệ quả 2.1.16 chỉ ra rằng, với k ≥ −1 là số nguyên và I là một iđêan của R, nếu r = depth k (I, N) và r < ∞, thì cho bất kỳ N-dãy x1, , xr từ chiều lớn hơn k trong iđêan √I, cùng với bất kỳ hệ các phần tử sinh a1, , as của I và số nguyên l ≤ r, ta luôn có một mối quan hệ nhất định.
T j (a t , N ) ≥k với mọi t ∈ Z + và mọi t ∈ (Z + ) s Đặc biệt, với mọi số nguyên j ≤ r, ta suy ra rằng các tập hợp S t∈ Z + T j (I t , N ) ≥k và S t∈( Z + ) s T j (a t , N ) ≥k được chứa trong tập hữu hạn
(a t 1 1 , , a t s s ) với mọi số nguyên dương t, t 1 , , t s , nên áp dụng Hệ quả 2.1.14 (khi M = R/I t và M = R/(a t 1 1 , , a t s s )) ta thu được rằng
Ass R (N/(x 1 , , x j )N ) ≥k ∩ V (I) với mọi l ≤ r, và do đó hệ quả được chứng minh.
Chú ý 2.1.17 Kết quả chính của M Brodmann - L.T Nhàn trong [4, Theorems 1.1 và 1.2] nói rằng với số nguyên không âm r đã cho, nếu dim Supp(H I i (N )) ≤ k với mọi i < r, thì các tập
T j (a t , N ) ≥k chứa trong tập hữu hạn S i≤j Ass R (Ext i R (R/I, N )) với mọi j ≤ r Hơn nữa, nếu x 1 , , x r là một N-dãy từ chiều > k hoán vị được và đồng thời là một dãy
I-lọc chính quy trongI hoán vị được, thì các tập này được chứa trong tập hữu hạn sau
I (N )) ≤ k với mọi j < r Do đó depth k ( √
Trong bài viết này, chúng ta xem xét điều kiện I, N) ≥ r, dẫn đến sự tồn tại của N −dãy từ chiều lớn hơn k, ký hiệu là x1, , xr trong lý thuyết lý tưởng √I Áp dụng Hệ quả 2.1.16 cho tình huống giả thiết của [4, Định lý 1.1], chúng ta nhận thấy rằng đẳng thức trong Hệ quả 2.1.16 không phụ thuộc vào t và t Do đó, với bất kỳ j ≤ r, các tập S t∈ Z + T j (I t, N) ≥ k và S t∈(Z +) s T j (a t, N) ≥ k đều được chứa trong một tập hợp hữu hạn.
Ass R (Ext i R (R/I, N )) ≥k Điều này chứng tỏ rằng Hệ quả 2.1.16 chứa đựng cả kết quả Định lý 1.1 của
Nếu p ∈ T j (I t , N ) ≥k ∪ T j (a t , N) ≥k với t ∈ Z + và j ≤ r, thì khi dim(R/p) = k, p thuộc vào tập (∗) theo Hệ quả 2.1.16 Ngược lại, nếu dim(R/p) ≥ k + 1, ta có depth(I p , N p ) = r, dẫn đến j = r và p ∈ T r (I, N ) Theo Bổ đề 2.1.9, ta có Ext r R (R/I, N ) ∼ = H I r (R/I, N ), từ đó suy ra p∈ Ass(N/(x 1 , , x r )N ) ≥k+1 theo Bổ đề 2.1.8 Hệ quả 2.1.16 mở rộng Định lý 1.2 của [4] cho các vành địa phương mà không cần giả thiết rằng x 1 , , x r là N-dãy từ chiều > k và là dãy I-lọc chính quy.
Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết
Cho R = ⊕ n≥0 R n là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành
R 0 = (R,m) và N = ⊕ n≥0 N n là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng ta ký hiệu L n cho R-môđun N n hoặc R-môđun M/J n M, trong đó M là R-môđun hữu hạn sinh và J là iđêan của R.
Lưu ý rằng một định lý của M Brodmann năm 1979 về tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết [2] (có thể xem [20, Theorem 3.1]) phát biểu rằng.
Bổ đề 2.2.1 Tập Ass R (L n ) là ổn định khi n đủ lớn.
Dựa vào kết quả từ M Brodmann trong [3, Theorem 2 và Proposition 12], ông đã chứng minh rằng số nguyên depth(I, N^n) là một hằng số khi n đủ lớn Tiếp theo, trong [9], N.T Cường, N.V Hoàng và P.H Khánh đã tổng quát hóa kết quả thứ hai của M Brodmann thành một kết quả mới.
Bổ đề 2.2.2 ([9, Theorem 1.1]) Cho k ≥ −1 là số nguyên Khi đó đại lượng depth k (I, N n ) trở thành số không phụ thuộc vào n khi n đủ lớn.
Dựa vào Bổ đề 2.2.2, ta có thể xác định r_k là giá trị hằng ổn định của depth k (I, N_n) khi n đủ lớn Theo nghiên cứu trong tài liệu [9], tập hợp S_{j≤r_1} Ass R (H_{I_j}(N_n)) ∪ {m} được chứng minh là tập hợp ổn định khi n đủ lớn, trong đó r_1 là giá trị ổn định của depth 1 (I, N_n) khi n đủ lớn.
Năm 2014, Cường-Hoàng đã chứng minh một kết quả tổng quát trong [8, Định lý 1.2] Định lý 2.2.3 (Định lý 2) khẳng định rằng, với (R,m) là vành địa phương Noether và I là iđêan của R, ta có thể xem R = ⊕ n≥0 R n là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên.
R 0 = R và N = ⊕ n≥0 N n là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Đối với mỗi số nguyên k ≥ −1, r là giá trị ổn định của depth k (I, N n ) Với mỗi số nguyên l ≤ r, tập hợp S j≤l Ass R (H I j (N n )) ≥k là ổn định khi n đủ lớn Để chứng minh định lý này, cần thiết lập bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.4 khẳng định rằng với số nguyên k ≥ −1 và r là giá trị ổn định của depth k (I, N n ) khi n đủ lớn, nếu 1 ≤ r < ∞, thì tồn tại một dãy x 1, , x r trong lý thuyết iđêan I, mà dãy này là một N n -dãy có chiều lớn hơn k với mọi n đủ lớn.
Chứng minh rằng với r ≥ 1 là giá trị ổn định của depth k (I, N n ), ta có thể chọn x 1 ∈ I sao cho x 1 không thuộc p với mọi p∈ Ass R (N n ) >k và mọi n lớn Khi đó, depth k (I, N n /x 1 N n ) = r − 1 cho mọi n lớn Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một dãy x 2 , , x n ∈ I là một N n /x 1 N n-dãy từ chiều > k với mọi n lớn Do đó, x 1 , , x r là dãy thỏa mãn yêu cầu của bổ đề.
Chú ý 2.2.5 Ta cũng cần nhắc lại rằng: dãy x 1 , , x r là một N-dãy từ chiều
Một dãy N được coi là chính quy nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn điều kiện -1 Đồng thời, x1, x2, , xr là một dãy từ chiều lớn hơn 0 nếu và chỉ nếu nó là một dãy lọc chính quy của N.
N T Cường, N V Trung, và P Schenzel trong [11]) Hơn nữa, x 1 , , x r là một N-dãy từ chiều > 1 nếu và chỉ nếu nó là một dãy chính quy suy rộng của
N (định nghĩa bởi L.T Nhàn trong [22]).
Định lý 2.2.3 có thể được chứng minh dựa trên Định lý 2.2.6, khi M = R Theo Cường-Hoàng [8, Định lý 4.4], cho (R,m) là vành địa phương Noether, I là một iđêan R và M là R−môđun hữu hạn sinh Khi đó, R có thể được biểu diễn dưới dạng R = ⊕ n≥0 R n, là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R 0 = (R,m) và N được xác định là N = ⊕ n≥0 N n.
R-môđun phân bậc hữu hạn sinh được xác định cho mỗi số nguyên k ≥ −1, trong đó r là giá trị ổn định của depth k (I M , N n ) khi n đủ lớn Đối với mỗi số nguyên l ≤ r, tập hợp S j≤l Ass R (H I j (M, N n )) sẽ là hữu hạn và ổn định khi n đủ lớn.
Chúng ta cần chứng minh rằng với giá trị ổn định r của độ sâu k (I M , N n ), tập hợp S j≤l Ass R (H I j (M, N n )) ≥k là hữu hạn và ổn định khi n lớn, cho bất kỳ số nguyên l ≤ r.
Theo Bổ đề 2.2.1 và 2.2.2, có thể xác định một số nguyên t đủ lớn để đảm bảo Ass R (N n /I M N n ) ổn định và r = depth k (I M , N n ) với mọi n ≥ t Đặt d = dim(N t /I M N t ), chúng ta sẽ phân tích ba trường hợp sau đây.
Trường hợp 1 Nếu d < k, thì r = ∞ và do đó ta có điều như mong muốn bởi vì
Trường hợp 2 Nếu d = k, thì r = ∞ Từ đó với mọi số nguyên dương n ≥ t ta có
Ass R (H I j (M, N n )) ≥d ⊆ Supp R (N n /I M N n ) ≥d = Ass R (N n /I M N n ) ≥d , vì tập Ass R (N n /I M N n ) ≥d chỉ chứa các phần tử pcực tiểu mà dim(R/p) = d Do vậy
Ass R (N n /I M N n ), vì thế X là tập hữu hạn theo Bổ đề 2.2.1 Như vậy ta có thể lấy t đủ lớn sao cho với mỗi p∈ X thì p∈[ j≤l
Đối với mỗi p thuộc tập X, chúng ta xác định giá trị ổn định s của độ sâu giữa hai tập hợp (I M) p và (N n) p Cụ thể, s được xác định là depth((I M) p, (N n) p) cho mọi n lớn hơn hoặc bằng n(p), trong đó n(p) là một số nguyên thỏa mãn điều kiện n(p) ≥ t Do đó, ta có thể rút ra kết luận liên quan đến mối quan hệ giữa các yếu tố này.
H I s (M, N n ) p 6= 0 với mọin ≥ n(p) Hơn nữa, theo định nghĩa của X, dẫn tới bất đẳng thức s ≤ l Do đó p là một phần tử cực tiểu của Supp R (H I s (M, N n )), và vì thế p∈ Ass R (H I s (M, N n )) ≥d ⊆[ j≤l
Ass R (H I j (M, N n )) ≥d với mọi n ≥ n(p) Từ đó ta thấy tập hợp
Ass R (H I j (M, N n )) ≥d là hữu hạn và ổn định với mọi n ≥ max{n(p) |p∈ X}.
Trường hợp 3 Giả sử rằng d > k Khi đó r < ∞ Nếu l = 0, thì ta có
Ass R (H I 0 (M, N n )) ≥k = Ass R (N n ) ≥k ∩ V (I M ) là hữu hạn và ổn định với n lớn theo Bổ đề 2.2.1 Giả sử rằng 1 ≤ l ≤ r, theo Bổ đề 2.2.4, tồn tại một dãy x 1 , , x r trong iđêan I M, mà nó là một N n −dãy từ chiều > k với mọi n ≥ u (với u là số nguyên thỏa mãn u ≥ t) Theo Định lý 2.1.10, ta nhận được đẳng thức sau đây.
Theo Bổ đề 2.2.1, với mọi n ≥ u, ta có Ass R (N n /(x 1 , , x j )N n ) ≥k ∩ V (I M), dẫn đến tập hợp ở vế bên phải là hữu hạn và ổn định khi n đủ lớn Do đó, tập hợp sau đây cũng được xác định.
Ass R (H I j (M, N n )) ≥k là hữu hạn và ổn định với n lớn, đó là điều phải chứng minh.
Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương tại bậc d − 1
đối đồng điều địa phương tại bậc d−1
Trong bài viết này, chúng ta giả thiết rằng (R,m) là một vành Noether địa phương, với I, J là hai iđêan của R và M là một R−môđun hữu hạn sinh Đặt R = ⊕ n≥0 R n là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R 0 = (R,m) và N = ⊕ n≥0 N n là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh Để thuận tiện, ta ký hiệu L n cho R−môđun N n hoặc R−môđun M/J n M Theo Bổ đề 2.2.1, ta thấy rằng dim L n đạt giá trị hằng d khi n đủ lớn, và d được gọi là giá trị ổn định của dim L n Kết quả chính của bài viết là Định lý 2.3.1, được trình bày bởi N.V Hoàng và P.H Khánh, khẳng định rằng với mỗi số nguyên không âm l, tập hợp S j≥l Supp R (H I j (L n )) là ổn định khi n lớn Đặc biệt, tập Ass R (H I d−1 (L n )) ∪ {m} cũng ổn định với n đủ lớn, trong đó d là giá trị ổn định của dim L n Để chứng minh Định lý 2.3.1, cần một số bổ đề hỗ trợ.
Bổ đề 2.3.2 Cho M, N là các R−môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của
R Nếu Supp R (M) ⊆ Supp R (N ) thì với bất kì số nguyên không âm l ta có
Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp giảm dần theo l Bổ đề là hiển nhiên khi l lớn hơn dim M theo định lý triệt tiêu Grothendieck Giả sử l nhỏ hơn hoặc bằng dim M và bổ đề đã đúng với l cộng 1 Do Supp R (M) nằm trong Supp R (N), theo định lý của Gruson [24, Theorem 4.1], tồn tại một dãy.
0 = L 0 ⊆ L 1 ⊆ ⊆ L t = M (**) gồm các môđun con của M, trong đó mỗi thương L i /L i−1 là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp của hữu hạn phiên bản của N Với mỗi i = 1, , t, từ dãy khớp
0 → L i−1 → L i → L i /L i−1 → 0 ta có dãy khớp sau đây
Do đó Supp R (H I l (L i )) ⊆ Supp R (H I l (L i−1 )) ∪ Supp R (H I l (L i /L i−1 )) Dẫn đến Supp R (H I l (M )) ⊆ Supp R (H I l (L t−1 )) ∪ Supp R (H I l (L t /L t−1 ))
Theo tính chất của dãy (**), với mỗi i ∈ {1, , t} ta có dãy khớp ngắn
(trong đó K i là R−môđun hữu hạn sinh nào đó, và s i là số nguyên dương nào đó) Điều này kéo theo dãy khớp sau đây
Vì vậy ta nhận được theo giả thiết quy nạp rằng
Supp R (H I j (N )). Điều này kết thúc chứng minh của bổ đề.
Bổ đề 2.3.3 Lấy dim N = d Khi đó
Chứng minh Rõ ràng rằng
Theo [7, Lemma 2.6], tập hợp Supp R (H I d−1 (N )) là hữu hạn, do đó dim(R/p) ≤ 1 cho mọi p∈ Supp(H I d−1 (N )) theo Ratliff [19, Theorem 31.2] Điều này cho thấy rằng với bất kỳ p nào thuộc Supp(H I d−1 (N )), p sẽ là phần tử cực tiểu của Supp(H I d−1 (N )) hoặc p=m.
Vì thế bổ đề được chứng minh.
Chứng minh Định lý 2.3.1 Theo Bổ đề 2.2.1, tồn tại số nguyên n 0 sao cho
Supp R (L n ) = Supp R (L n 0 ) với mọi n ≥ n 0 Từ đó kết hợp với Bổ đề 2.3.2 dẫn đến
Supp R (H I j (L n 0 )) với mọi n ≥ n 0 Do đó yêu cầu thứ nhất của định lý được chứng minh. Đối với yêu cầu thứ hai, ta nhận được từ Bổ đề 2.3.3 rằng
, rõ ràng nó là tập ổn định khi n lớn theo yêu cầu thứ nhất Vậy định lý được chứng minh.
Nhìn chung tập hợpAss R (H I 1 (M/J n M ))không ổn định khinđủ lớn (xem [10, Theorem 3.3, (ii)]) Tuy nhiên, trong [10, Theorem 3.3, (i)], bằng cách áp dụng
Cường-Khánh đã chứng minh rằng tập Ass R (H I 1 (N n )) ổn định khi n lớn, với N n là thành phần phân bậc thứ n của R−môđun phân bậc hữu hạn sinh N =L n≥0 N n Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét một số hệ quả của Định lý 2.3.1.
N n Trước hết ta nhắc lại rằng chiều đối đồng điều của M đối với I được định nghĩa bởi cd(I, M ) = sup{i ∈Z |H I i (M ) 6= 0}.
Dễ dàng nhận thấy rằng cd(I, M) nhỏ hơn hoặc bằng dim M Trong [12, Định lý 1.4], T Dibaei và S Yassemi đã chứng minh rằng nếu M và N là các R−môđun hữu hạn sinh với Supp R(M) nằm trong Supp R(N), thì cd(I, M) nhỏ hơn hoặc bằng cd(I, N) Từ kết quả này cùng với Bổ đề 2.2.1, ta có thể rút ra bổ đề tiếp theo.
Bổ đề 2.3.4 cd(I, N n ) lấy giá trị hằng số khi n đủ lớn.
Giá trị ổn định của dim N n được ký hiệu là d Ass R (H I i (N n )) ổn định khi n lớn với i = 0 hoặc i > d Theo [10, Định lý 3.3], Ass R (H I 1 (N n )) cũng ổn định khi n lớn H I d (N n ) là Artin, và theo Bổ đề 2.3.4, tập Ass R (H I d (N n )) ổn định khi n lớn Hơn nữa, Ass R (H I d−1 (N n )) ∪ {m} cũng ổn định khi n lớn theo Định lý 2.3.1 Đặc biệt, trong trường hợp R là vành có chiều nhỏ, ta có kết quả quan trọng sau đây.
Hệ quả 2.3.5 Nếu dim R ≤ 2 thì tập Ass R (H I i (N n )) là ổn định với mọi n lớn và mọi i.
Hệ quả 2.3.6 Nếu dim R ≤ 3 thì tập Ass R (H I i (N n )) ∪ {m} là ổn định với mọi n lớn và mọi i.
Trong luận văn này chúng tôi thu được các kết quả chính sau đây:
Trong bài viết này, chúng ta sẽ trình bày chi tiết chứng minh kết quả 1 liên quan đến vành Noether địa phương (R,m) Giả sử I là một iđêan của R và N là một R−môđun hữu hạn sinh Đặt số nguyên k ≥ −1 và r = depth k (I, N) Nếu r < ∞ và x₁, , xᵣ là một tập hợp các phần tử liên quan, chúng ta sẽ phân tích sâu hơn về mối quan hệ giữa độ sâu của iđêan và môđun trong bối cảnh này.
N −dãy từ chiều > k trong I, thì với mọi số nguyên j ≤ r ta có tập hợp Ass R (H I j (N )) ≥k là hữu hạn Hơn nữa, ta có đẳng thức
Cho (R,m) là vành địa phương Noether và I là iđêan của R Xét R = ⊕ n≥0 R n là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R 0 = (R,m) và N = ⊕ n≥0 N n là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Đối với mỗi số nguyên k ≥ −1, ta xác định r là giá trị ổn định của depth k (I, N n ) Với mỗi số nguyên l ≤ r, tập hợp S j≤l Ass R (H I j (N n )) ≥k sẽ ổn định khi n đủ lớn.
Trình bày lại chi tiết chứng minh kết quả 3: Lấy L n là R−môđun N n hoặc R−môđun M/J n M Khi đó với mỗi số nguyên không âml, ta có tập
S j≥l Supp R (H I j (L n )) là ổn định khi n lớn Đặc biệt, ta suy ra rằng tậpAss R (H I d−1 (L n )) ∪ {m} là ổn định với n lớn (trong đó d là giá trị ổn định của dim L n ).
[1] M H Bijan-Zadeh,A common generalization of local cohomology theories, Glasgow Math J., 21 (1980), 173-181.
[2] M Brodmann, Asymptotic stability of Ass R (M/I n M ), Proc Amer Math. Soc., 74 (1979), 16-18.
[3] M Brodmann,The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc. Camb Phil Soc., 86 (1979), 35-39.
[4] M Brodmann and L T Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm Algebra, 36 (2008), 1527-1536.
[5] M Brodmann and R.Y Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduc- tion with geometric applications," Cambridge University Press, (1998).
[6] N T Cuong and N V Hoang, Some finite properties of generalized local cohomology modules, East-West J Math (2) 7 (2005), 107-115.
[7] N T Cuong and N V Hoang, On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., (1)
[8] N T Cuong and N V Hoang,On the finiteness and stability of certain set of associated prime ideals of local cohomology modules, Communications in Algebra 42 (2014), 1757-1768.
[9] N T Cuong, N.V Hoang and P H Khanh, Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm. Algebra, 38 (2010), 4416-4429.
[10] N T Cuong and P H Khanh, Some asymptotic properties of graded module, Acta Math Vietnamica (2) 36 (2011), 183-192.
[11] N T Cuong, Schenzel P., N V Trung (1978), "Verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln", Math Nachr., 85, pp 57-73.