B§t ¯ng thùc Gronwall
ành lþ 1.1 (Xem [11]) Gi£ sû x(n) ≤ p(n) + q(n). n−1
Tứ x(n) ≤ p(n) + q(n)y(n) v f (n) ≥ 0 , ta nhên ữủc y(n + 1) − (1 + q(n)f (n))y(n) ≤ p(n)f (n) (1.4) Vẳ 1 + q(n)f(n) > 0 vợi mồi n ∈ N (n 0 ), ta nhƠn hai vá cừa (1.4) vợi Qn
LĐy tờng tứ n 0 án n − 1 v dũng y(n 0 ) = 0 ta thu ữủc n−1
Do (1.2), ta cõ x(n) ≤ p(n) + q(n)y(n) Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Hằ quÊ 1.1 Trong ành lỵ 1.1, lĐy p(n) = p v q(n) = q Khi õ vợi mồi n ∈N (n 0 ) , ta câ x(n) ≤ p. n−1
Hằ quÊ 1.2 Trong ành lẵ 1.1, p(n) khổng giÊm v q(n) ≥ 1 vợi mồi n ∈ N (n 0 ). Khi õ vợi mồi n ∈ N (n 0 ), ta cõ x(n) ≤ p(n)q(n) n−1
Giợi thiằu vã hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh
X²t hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt cõ dÔng x(n + 1) = A(n)x(n) (1.6) vợi A(n) = (a ij (n)) l mởt ma trên cĐp k khổng suy bián Náu A l ma trên hơng thẳ ta cõ hằ x(n + 1) = Ax(n) (1.7)
Ta x²t sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa (1.6). ành lỵ 1.2 (Xem [16]) Vợi mội x 0 ∈ R k v n 0 ∈ Z+ thẳ cõ duy nhĐt mởt nghiằm x(n, n 0 , x 0 ) cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) vợi x(n 0 , n 0 , x 0 ) = x 0
Bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc, ta cõ thº kát luên x(n, n 0 , x 0 ) =
Cổng thực (1.8) là một yếu tố quan trọng trong nghiên cứu về hệ phương trình sai phân (1.6) Hiện tại, chúng ta sẽ xem xét các đặc điểm của hệ phương trình sai phân này Theo định nghĩa 1.1, nghiệm x₁(n), x₂(n), , xₖ(n) của hệ phương trình sai phân (1.6) được gọi là nghiệm lặp tuyến tính nếu với n ≥ n₀, nếu c₁x₁(n) + c₂x₂(n) + + cₖxₖ(n) = 0 thì tất cả các hệ số c₁, c₂, , cₖ đều bằng 0.
GiÊ sỷ Φ(n) l ma trên cởt cĂc nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6).
Do õ Φ(n) thoÊ mÂn phữỡng trẳnh sai phƠn Φ(n + 1) = A(n)Φ(n) (1.9)
Nghiệm của hàm số Φ(n) là không suy biến với mọi n ≥ n0 khi và chỉ khi det Φ(n) khác 0, n ≥ n0 Nếu Φ(n) là ma trận không suy biến với mọi n ≥ n0 và thỏa mãn điều kiện (1.9), thì nó được gọi là ma trận cỡ bên cửa (1.6).
Chú ỵ rơng náu Φ(n) là ma trận trên cỡ bên v C là ma trận trên hạng số thẳng CΦ(n) cùng là ma trận trên cỡ bên cửa hằng (1.6) Như vậy, có rất nhiều ma trận trên cỡ bên cửa hằng (1.6) trong đó có một ma trận A được biết là Φ(n) = Qn−1 i=n 0 (A(i)) với Φ(n 0 ) = I Đặc biệt khi A là ma trận trên hạng thẳng, Φ(n) = A n−n 0 Nếu n 0 = 0 thì Φ(n) = A n Hằng quế 1.3 cho thấy có duy nhất một ma trận trên ψ(n) thoả mãn phương trình (1.9) và ψ(n 0 ) = I.
Hằ quÊ 1.4 Nghiằm cừa hằ (1.6) vợi giĂ trà ban Ưu x(n 0 , n 0 , x 0 ) = x 0 ữủc cho bði cổng thực x(n, n 0 , x 0 ) = Φ(n, n 0 )x 0 (1.10)
Vợi mội n ≥ n 0 ≥ 0 ta ãu cõ det Φ(n) = n−1
! det Φ(n 0 ) (1.11) Hằ quÊ 1.5 Trong hằ phữỡng trẳnh (1.7), thẳ A l ma trên hơng Do õ det Φ(n) = [det A] n−n 0 det Φ(n 0 ).
Hằ quÊ 1.6 Ma trên cỡ bÊn Φ(n) l khổng suy bián vợi mồi n ≥ n 0 khi v ch¿ khi Φ(n 0 ) l khổng suy bián.
Nhữ vêy, º kiºm tra tẵnh ởc lêp tuyán tẵnh cừa ma trên cỡ bÊn Φ(n) vợi n ≥ n 0 , ta ch¿ cƯn ch¿ ra rơng nõ ởc lêp tuyán tẵnh tÔi n = n 0
Hằ quÊ 1.7 CĂc nghiằm x 1 (n), x 2 (n), , x k (n) cừa hằ (1.6) ởc lêp tuyán tẵnh vợi n ≥ n 0 , khi v ch¿ khi Φ(n 0 ) l khổng suy bián.
Hằ quÊ 1.8 Hằ phữỡng trẳnh sai phƠn (1.6) cõ k nghiằm ởc lêp tuyán tẵnh vợi n ≥ n 0
Với mỗi i = 1, 2, , k, vectơ e i = (0, 0, , 1, 0) T là một vectơ trong R k, trong đó các thành phần đều bậc 0, riêng thành phần thực bằng 1 Theo định lý 1.2, với mỗi e i, 1 ≤ i ≤ k, tồn tại nghiệm x(n, n 0 , e i ) của hệ phương trình (1.6) sao cho x(n 0 , x 0 , e i ) = e i Khi đó, nếu Φ(n 0 ) = I, thì Φ(n 0 ) không suy biến Theo Hằng quế 1.7, ta thu được nghiệm x(n, n 0 , e i ), 1 ≤ i ≤ k là các lớp tuyến tính Định nghĩa 1.3 (Xem [12]) cho biết nếu {x i (n)|1 ≤ i ≤ k} là các nghiệm thuộc lớp tuyến tính của hệ (1.6) thì nghiệm tương ứng với bội cổng thực là x(n, n 0 , x 0 ) = k.
C i x i (n), (1.12) vợi C i ∈R v tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt số C i 6= 0.
Cổng thực (1.12) cõ thº viát l x(n) = Φ(n)C, trong õ Φ(n) = (x 1 (n), x 2 (n), , x k (n)) l mởt ma trên cỡ bÊn cừa hằ (1.6) v C =
Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất được biểu diễn bằng công thức y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n), trong đó A(n) là một ma trận trên cấp k không suy biến và g(n) thuộc R^k Mỗi nghiệm y(n) của hệ phương trình này có thể viết dưới dạng y(n) = Φ(n)C + y_p(n), với C là một vector hằng số và y_p(n) là nghiệm riêng của hệ phương trình.
GiÊ sỷ y(n) l mởt nghiằm bĐt kẳ; y p (n) l mởt nghiằm riảng cừa hằ phữỡng trẳnh (1.13). °t x(n) = y(n) − y p (n), n ≥ n 0
Do õ x(n) l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt (1.6).
Hay x(n) = Φ(n)C, vợi C l v²c tỡ hơng n o õ, nhữ vêy y(n) − y p (n) = Φ(n)C, hay y(n) = y p (n) + Φ(n)C.
BƠy giớ chúng ta s³ xƠy dỹng cổng thực tẳm nghiằm riảng y p (n)cho hằ (1.13).
Bờ ã 1.2 Mồi nghiằm riảng cừa hằ phữỡng trẳnh (1.13) ữủc xĂc ành bði cổng thùc y p (n) = n−1
Do y p (n) = Pn−1 r=n 0 Φ(n, r + 1)g(r) vợi mồi n ≥ n 0, nản y p (n + 1) = n
Do õ y p (n) l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (1.13) v y p (n 0 ) = 0. ành lỵ 1.4 (Xem [12]) Nghiằm duy nhĐt cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn vợi gi¡ trà ban ¦u y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n), y(n 0 ) = y 0 (1.14) ữủc cho bði cổng thực y(n, n 0 , y 0 ) = Φ(n, n 0 )y 0 + n−1
Hằ quÊ 1.9 Náu A l ma trên hơng thẳ nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (1.14) ữủc xĂc ành bði y(n, n 0 , y 0 ) = A n−n 0 y 0 + n−1
VĐn ã l ta cƯn tẵnh A n Dữợi Ơy l phữỡng phĂp tẵnh A n bơng cĂch sỷ dửng ành lỵ Cayley -Hamilton.
Theo ành lỵ Caley-Hamilton thẳ c(A) = 0 , hay
A k + c k−1 A k−1 + c 1 A + c 0 I = (A − λ 1 I)(A − λ 2 I ) (A − λ k I) = 0. ành lỵ 1.5 (Xem [16]) Cho (A) kìk l ma trên khổng suy bián; λ 1, λ 2, λ k l cĂc giĂ trà riảng cừa A °t M (0) = I, M (j) = Qj i=1 (A − λ i I), j ≥ 1 Náu x j (n), j = 1, 2, k tho£ m¢n x 1 (n + 1) = λ 1 x 1 (n), x 1 (0) = 1 x j+1 (n + 1) = λ j+1 x j+1 (n) + x j (n), x j+1 (0) = 0, j = 1, 2, , k − 1, thẳ A n = Pk−1 j=0 x j+1 (n)M (j ).
(x j+1 (n + 1) − λ j+1 x j+1 (n) − x j (n))M (j) = 0. ành lỵ ữủc chựng minh.
Mởt số tẵnh chĐt cừa nghiằm hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh 11
Trữợc tiản ta x²t hằ phữỡng trẳnh (1.7) Nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (1.7) cõ dÔng A n c, trong õ c l mởt v²c tỡ hơng bĐt kẳ.
Khi xét đến các nghiệm của hàm phương trình (1.7), ta chọn trần N và chọn trần sup trong N với điều kiện kA_n k ≤ c < ∞ Hơn nữa, các nghiệm của hàm (1.7) có giới hạn hơn bậc 0 khi n → 0, trong khi trần kA_n k cũng tiến tới 0 khi n → 0.
BƠy giớ chúng ta x²t hằ phữỡng trẳnh y(n + 1) = (A + B(n))y(n), (1.18) trong õ B(n) l ma trên vợi cĂc phƯn tỷ b ij (n), 1 ≤ i, j ≤ n.
Hằ (1.18) được suy ra từ hằ (1.7) Các kết quả sau đây cũng cung cấp điều kiện cần thiết của ma trên B(n) sao cho tất cả các nghiệm của (1.18) và chọn lọc tất cả các nghiệm của phương trình (1.7) và chọn Ảnh lị 1.6 (Xem [11]) Giới thiệu tất cả các nghiệm của hằ (1.7) và chọn trọn.
N Khi õ, tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ (1.18) l bà ch°n trản N náu bĐt ¯ng thực sau l tho£ m¢n ∞
Vêy nản mội nghiằm y(n) sao cho y(0) = y 0 cừa (1.18) l y(n) = A n y 0 + n
Vẳ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.7) l bà ch°n nản tỗn tÔi hơng số c sao cho sup n∈ N kA n k = c Do õ, vợi mội n ∈ N ta cõ ky(n)k ≤ c 0 + c. n−1
`=0 kB (`)k ky(`)k , trong â c 0 = c ky 0 k. p dửng Hằ quÊ 1.1 cho bĐt phữỡng trẳnh trản, ta nhên ữủc ky(n)k ≤ c 0 n−1
Do õ ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Tiáp theo l iãu kiằn ối vợi ma trƠn B (n) º tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.18) cõ giợi hÔn bơng 0 khi n → 0 khi tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ (1.7) cõ giợi hÔn bơng
Khi n tiến tới vô cùng, các nghiệm của phương trình (1.7) sẽ hội tụ về 0 Đồng thời, các nghiệm của phương trình (1.18) cũng sẽ dần tiến về 0 khi n tiến tới vô cùng, với điều kiện rằng sau một số lần lặp nhất định, kB(n) sẽ tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng.
Với định lý giới hạn, khi n tiến tới vô cùng, giá trị trung bình của các giá trị ngẫu nhiên A sẽ hội tụ trong khoảng xác định Điều này cho thấy rằng sự phân bố của các giá trị này có xu hướng ổn định hơn khi số lượng mẫu lớn.
0 < δ < 1 sao cho kA n k ≤ c.δ n , n ∈ N Hỡn nỳa do (1.21) nản kB (n)k ≤ c 1 vợi c 1 l mởt hơng số, n ∈ N (n 1 ) , n 1 l số tỹ nhiản ừ lợn.
Do õ vợi mồi n ∈ N (n 1 ) (1.20) cho ta ky(n)k ≤ c.δ n ky 0 k + n 1
Ta viát bĐt ¯ng thực trản dữợi dÔng sau w(n) ≤ c 0 + c 2 n−1
`=0 δ −` kB(`)k ky(`)k v c 2 = cc δ 1 p dửng Hằ quÊ 1.1, tứ (1.22), ta cõ w(n) ≤ c 0 n−1
Do â ky(n)k ≤ c 0 δ n (1 + c 2 ) n−n 1 ≤ c 0 [δ(1 + c 2 )] n−n 1 (1.23) Cuối cũng, do (1.21) nản chúng ta cõ thº chồn c 1 < 1−δ c sao cho δ(1 + c 2 ) = δ(1 + cc δ 1 ) < 1 Ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Cổng thực (1.19) và (1.21) đều là những giải pháp cho bài toán giới hạn khi n tiến tới vô cùng Tuy nhiên, cổng thực (1.19) thể hiện tính mạnh mẽ hơn so với (1.21), như được chỉ ra trong hình 1.7, cho thấy rằng (1.21) có thể được suy ra từ (1.19) Ngược lại, trong hình 1.6, không thể rút ra (1.21) từ (1.19) Ta sẽ tiếp tục phân tích dữ liệu sau đây.
# v do õ tĐt cÊ cĂc nghiằm cõa (1.24) bà ch°n.
# v do â tĐt cÊ cĂc nghiằm khổng tƯm thữớng cừa hằ (1.25) l khổng bà ch°n khi n → ∞ Hỡn nỳa ta chú ỵ rơng kB(n)k → 0 khi n → ∞ , trong khi õ
Bài viết này tập trung vào việc phân tích và hiểu rõ về hàm phụ thuộc (1.6) khi n tiến tới vô cùng Chúng tôi sẽ chứng minh hai kết quả và giá trị riêng của ma trận A T (n)A(n) Hình ảnh 1.8 được tham khảo từ tài liệu [11], trong đó trình bày giá trị riêng lớn nhất M(n) của ma trận trên.
`=0 M (`) < ∞, khi õ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.6) bà ch°n Hỡn nỳa, náuQn
`=0 M (`) → 0khi n → ∞ thẳ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.6) cõ giợi hÔn bơng 0 khi n → ∞
Cho x(n) l mởt nghiằm cừa (1.6), khi õ |x(n)| 2 = x T (n)x(n) Do õ
Vẳ ma trên A T (n)A(n) ối xựng v M (n) l giĂ trà riảng lợn nhĐt nản ta cõ x T (n)(A T (n)A(n))x(n) ≤ M (n)|x(n)| 2 Suy ra, vợi mồi n ∈ N, ta cõ
M (`))|x(0)| 2 ành lẵ ữủc chựng minh. ành lỵ 1.9 (Xem [11]) GiÊ sỷ giĂ trà riảng nhọ nhĐt m(n) cừa ma trên
`=0 m(`) = ∞ Khi õ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa(1.6) khổng bà ch°n.
|x(n + 1)| 2 = x T (n + 1)x(n + 1) = x T (n)A T (n)A(n)x(n) Vẳ ma trên A T (n)A(n) ối xựng v m(n) l giĂ trà riảng b² nhĐt nản ta cõ x T (n)(A T (n)A(n))x(n) ≥ m(n)|x(n)| 2 Suy ra, vợi mồi n ∈ N, ta cõ
|x(n + 1)| 2 ≥ m(n)|x(n)| 2 Tiáp tửc nhữ vêy ta s³ cõ
Do õ nghiằm x(n) khổng bà ch°n ành lẵ ữủc chựng minh.
Vẳ thá tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.26) l bà ch°n.
Do õ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.20) cõ giợi hÔn bơng 0 khi n → ∞
Do õ vợi mồi n, M (n) = 4 v m(n) = 16 1 Vẳ vêy cÊ hai ành lẵ 1.8 v 1.9 ãu khổng thº dũng ữủc Tuy nhiản ma trên cỡ bÊn chẵnh l Φ(n, 0) =
Do đạo hàm cừa (1.28) có giới hạn bậc ∞ khi n → ∞, ta cũng sẽ rút ra rằng đạo hàm cừa ma trên A(n) là l ±2 − 1 2 và nó nằm trong hướng tròn Vì vậy, đạo hàm cừa hằn (1.6) là bậc chọn thẳng hơn đạo hàm cừa hằn (1.7).
# Khi õ ma trên cỡ bÊn l Φ(n, 0) =Qn−1 j=0 A(j ) =
Ta dạ d ng tẵnh ữủc Φ(n, 0) =
# Do õ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.29) l bà ch°n.
→ ∞ khi ` → ∞ ành nghắa 1.4 (Xem [11]) Cho V (n) l ma trên cỡ bÊn cừa (1.6) Hằ (1.6) ữủc gồi l bà ch°n ãu náu tỗn tÔi mởt hơng số c sao cho sup
Hình ảnh náu (1.30) ẩn chứa một mồi nghiêm cừu (1.6) l bà chân Tuy nhiên, từ Vẵ dử 1.6, ta thấy rõ ngữ cảnh lôi cuốn khổng lồ Những cho hằ (1.7) vợi, ngữ kiền (1.30) viết là sup 0≤`≤n∈N.
= sup n∈N kA n k ≤ c Do õ tứ tẵnh bà ch°n cõa (1.7) ta câ (1.30).
Với tính chất n của hàm (1.6), chúng ta xác định hàm sau: y(n + 1) = (A(n) + B(n))y(n), n ∈ N, trong đó B(n) là ma trận trên k chiều với b ij (n), 1 ≤ i, j ≤ k Hình 1.10 (Xem [11]) thể hiện sự chọn lựa và thời gian kiện (1.19) Khi đó, ta có các nghiệm của (1.31) và sự chọn lựa.
Cho V (n) l ma trên cỡ bÊn cừa hằ (1.6).
Vợi mội nghiằm y(n) sao cho y(0) = y 0 cừa (1.31), ta cõ y(n) = V (n)V −1 (0)y 0 + n
`=0 kB(`)k ky(`)k Suy ra, vợi mội n ∈ N ta cõ ky(n)k ≤ c 0 + c. n−1
`=0 kB (`)k ky(`)k , trong â c 0 = c ky 0 k p dửng Hằ quÊ 1.1 cho bĐt phữỡng trẳnh trản, ta cõ ky(n)k ≤ c 0 n−1
Do õ ta cõ iãu phÊi chựng minh.
# Khi õ ma trên cỡ bÊn l
Ta dạ d ng tẵnh ữủc V (n) =
Do õ cĂc nghiằm cừa (1.33) cõ giợi hÔn bơng 0 khi n → ∞
# , nản hằ (1.33) bà ch°n ãu.
Tứ hằ (1.33) ta x²t hằ sau y(n + 1) =
Trong hằ (1.34), ta thĐy kB (n)k → 0 khi n → ∞ Tuy nhiản nghiằm cừa nõ (1.35) cõ giợi hÔn
Hàm (1.6) và (1.31) đều có giới hạn bằng 0 khi n tiến đến vô cùng Điều này cho thấy rằng các hàm này có sự tương đồng trong hành vi khi n trở nên lớn Đặc biệt, hàm (1.6) cho thấy sự hội tụ mạnh hơn so với hàm (1.31) trong cùng điều kiện.
< ∞, (1.36) trong õ V (n) l ma trên cỡ bÊn cừa (1.6).
Vợi mội nghiằm y(n) sao cho y(0) = y 0 cừa (1.31), tứ (1.32), ta cõ ky(n)k ≤ kV (n)k
. Vẳ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.6) cõ giợi hÔn bơng 0 khi n → ∞ , nản tỗn tÔi mởt hơng số c > 0 sao cho sup n∈ N kV (n)k ≤ c.
Do â, ta câ ky(n)k ≤ kV (n)k
V −1 (` + 1)B(`) ky(`)k kV (`)k Suy ra ky(n)k ≤ kV (n)k c 0 n−1
Do (1.36) v kV (n)k → 0 khi n → ∞ nản ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Mởt số tẵnh chĐt cừa nghiằm hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán 19
X²t hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán cõ dÔng y(n + 1) = Ay(n) + g(n, y(n)), n ∈N , (1.37) trong õ h m số g(n, y) xĂc ành trản N ì R k ành lþ 1.12 (Xem [11]) Cho (n, y) ∈ N × R k tho£ kg(n, y)k ≤ h(n) kyk , (1.38) trong õ h(n) l h m khổng Ơm xĂc ành trản N Khi õ
TĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (1.37) và (1.7) cho thấy rằng nếu v P∞ l=0 h(`) < ∞, thì TĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.37) có giá trị lớn hơn 0 khi n → 0, đồng thời TĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (1.7) cũng có giá trị lớn hơn 0 và h(n) sẽ tiến tới 0 khi n tiến tới 0.
(i) Theo cổng thực (1.17) cho hằ phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt vợi g(n) l g(n, y(n)), khi õ mội nghiằm y(n) vợi y(0) = y 0 cừa (1.37) cõ dÔng y(n) = A n y 0 + n
Do õ tứ (1.38) ta cõ ky(n)k ≤ kA n k ky 0 k + n−1
Vẳ nghiằm cừa hằ (1.7) l bà ch°n nản tỗn tÔi hơng số c sao cho sup n∈ N kA n k = c.
Do õ, vợi mồi n ∈ N ta cõ ky(n)k ≤ c 0 + c. n−1
`=0 kh(`)k ky(`)k , trong â c 0 = c ky 0 k. p dửng Hằ quÊ 1.1, ta thu ữủc ky(n)k ≤ c 0 n−1
`=0 h(`) < ∞ nản tĐt cĂ cĂc nghiằm cừa hằ (1.37) bà ch°n.
Giá trị giới hạn của các nghiệm của hệ phương trình (1.7) có xu hướng tiến gần 0 khi n tiến đến vô cùng Điều này cho thấy rằng các giá trị của A nơm trong hướng tròn sẽ giảm dần Hơn nữa, tồn tại một hằng số 0 < δ < 1 sao cho kA n k ≤ c.δ n với n thuộc tập số tự nhiên Ngoài ra, theo (1.21), kh(n)k ≤ c1 với c1 là một hằng số cố định, n ∈ N, và n1 là số tự nhiên nhỏ hơn lợn.
Do õ vợi mồi n ∈ N (n 1 ) (1.20) cho ta ky(n)k ≤ c.δ n ky 0 k + n 1
Ta viát lÔi phữỡng trẳnh trản nhữ sau w(n) ≤ c 0 + c 2 n−1
`=n 1 w(`), (1.40) trong â w(n) = ky(n)k δ −n , c 0 = c ky 0 k + c δ Pn 1 −1 l=0 δ −l kh(n)k ky(n)kv c 2 = cc δ 1 p dửng Hằ quÊ 1.1, tứ (1.40), ta cõ w(n) ≤ c 0 n−1
Cuối cũng, do (1.21) nản ta cõ thº chồn c 1 < 1−δ c sao cho δ(1 + c 2 ) = δ(1 + cc δ 1 ) < 1. Vẳ vêy ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (1.6) và phương trình (1.42) với y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n, y(n)), n ∈ N Hàm g(n, y) được xác định trên miền R Theo định nghĩa trong hình 1.12, khi xét hàm g(n, y) trong hình 1.13, chúng ta thấy rằng (i) tồn tại các nghiệm của (1.42) và chúng sẽ tương ứng với các nghiệm của (1.6), đồng thời đảm bảo sự tồn tại của các nghiệm P∞.
`=0 h(`) < ∞. (ii) TĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.42) cõ giợi hÔn 0 náu tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ (1.6) cõ giợi hÔn 0 v P∞
h(`) < ∞, trong õ Φ(n) l ma trên cỡ b£n cõa (1.6).
Cho Φ(n) l ma trên cỡ bÊn cừa hằ (1.6) Vợi mội nghiằm y(n) sao cho y(0) = y 0 cõa (1.42), ta câ y(n) = Φ(n).Φ −1 (0).y 0 + n
`=1 Φ(n).Φ −1 (`)g(` − 1, y(` − 1)) (1.43)PhƯn cỏn lÔi cừa ph²p chựng minh tữỡng tỹ ành lẵ 1.12.
Lỵ thuyát ờn ành cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn
Hệ phương trình sai phân được mô tả bởi x(n + 1) = f(n, x(n)), với điều kiện ban đầu x(n₀) = x₀, trong đó x(n) thuộc R^k và f: Z⁺ × R^k → R^k Hàm f(n, x) liên tục theo x Điều kiện ban đầu x(n₀) = x₀ cho phép giải phương trình (1.6) thông qua toán giải tích Nhận định về sự tồn tại của nghiệm (n₀, x₀) cho thấy rằng phương trình (1.44) luôn có nghiệm duy nhất với điều kiện ban đầu x(n₀) = x₀, tức là x(n, n₀, x₀).
Vợi mởt v²c tỡ x = (x(1), x(2), , x(k)) ∈R k , ta ành nghắa kxk = max (|x(1)|, |x(2)|, , |x(k)|).
Ró r ng k.k l mởt chuân trong R k ành nghắa 1.6 (Xem [12]) Nghiằm x(n) = x(n, n 0 , x 0 ) ữủc gồi l
(i) ấn ành náu vợi mội ε > 0 , tỗn tÔi δ = δ(ε, n 0 ) > 0sao cho vợi bĐt kẳ nghiằm x(n) = x(n, n 0 , x 0 ) cừa (1.44) thoÊ kx 0 − x 0 k < δ suy ra kx(n) − x(n)k < ε vợi mồi n ∈ N (n 0 ).
(ii) Hút náu tỗn tÔi δ = δ(n 0 ) sao cho bĐt kẳ nghiằm x(n) = x(n, n 0 , x 0 ) cừa (1.44) tho£ m¢n kx 0 − x 0 k < δ suy ra lim n→∞ kx(n) − x(n)k = 0.
(iii) ấn ành tiằm cên náu nõ ờn ành v hút.
Để chứng minh tính liên tục của hàm số, ta cần tìm một δ = δ(ε) sao cho với mọi ε > 0, tồn tại n 0 sao cho khi n ≥ n 0, nếu kx(n − 1) − x(n 1)k < δ thì suy ra kx(n) − x(n)k < ε với mọi n 1 ∈ N (n 0).
(v) Hút ãu náu nõ hút v δ ởc lêp vợi n 0.
(vi) ấn ành tiằm cên ãu náu nõ ờn ành ãu v hút ãu.
(vii) Hút to n cửc náu nõ hút vợi mồi x 0 ∈ R k
(viii) ấn ành tiằm cên to n cửc náu nõ ờn ành v hút to n cửc.
(ix) ấn ành mÔnh náu vợi mội ε > 0 tỗn tÔi δ = δ(ε) sao cho vợi bĐt kẳ nghiằm x(n) = x(n, n 0 , x 0 ) cõa (1.44) tho£ n 1 ∈N (n 0 ) v kx(n 1 ) − x(n 1 )k < δ suy ra kx(n) − x(n)k < ε vợi mồi n ∈ N (n 0 ).
(x) ấn ành tiằm cên mụ náu tỗn tÔi số λ > 0 v bĐt kẳ ε > 0 , tỗn tÔi số δ = δ(ε) > 0 sao cho vợi bĐt kẳ nghiằm x(n) = x(n, n 0 , x 0 ) cừa (1.44) thoÊ n 1 ∈N (n 0 ) v kx(n 1 ) − x(n 1 )k < δ suy ra kx(n) − x(n)k < ε.e −λ(n−n 1 ) vợi mồi n 1 ∈N (n 0 )
Nhên x²t cho thấy tầm quan trọng của việc phát triển ngành nghề theo hướng bền vững, không chỉ dựa vào tài nguyên sẵn có mà còn cần chú trọng đến sự phát triển bền vững của ngành Đồng thời, v ờn ành tiằm cên cũng cần được phát triển một cách đồng bộ, không thể tách rời khỏi các yếu tố khác trong nền kinh tế Tuy nhiên, việc này gặp phải nhiều thách thức và cần có sự phối hợp chặt chẽ giữa các bên liên quan.
Phương trình x(n + 1) = f(x(n)) với f(0) = 0 cho phép tìm nghiệm x(n) = 0 với n ∈ N và n ≥ n0 Nếu x(n) được biểu diễn dưới dạng x(n, n0, x0), thì nghiệm của phương trình này cũng có thể viết lại là x(n) = x(n - n0, 0, x0) Khi x(n0) = x(n0), ta có x(n) = x(n) cho mọi n ∈ N với n ≥ n0 Điều này cho thấy rằng với n0 = 0, nghiệm luôn tồn tại và nếu tìm nghiệm trên miền xác định với n0 = 0, thì nghiệm cũng sẽ tồn tại trên miền xác định đó Tuy nhiên, đối với nghiệm không tìm được từ phương trình (1.45), ta không thể suy ra được tính tồn tại của nghiệm trên miền xác định.
Mồi nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh x(n+1) = x(n)+1 cho thấy rằng với mỗi ε > 0, tồn tại δ = ε sao cho khi x(n) = x(n, n0, x0) và kx0 − x0k < δ thì suy ra kx(n) − x(n)k < ε với mọi n ∈ N (n0) Điều này chứng minh rằng các giá trị của x(n) hội tụ về một điểm nhất định.
X²t hằ phữỡng trẳnh x 1 (n + 1) = x 1 (n) cos(x 2 1 (n) + x 2 2 (n)) 1/2 − x 2 (n) sin(x 2 1 (n) + x 2 2 (n)) 1/2 , x 2 (n + 1) = x 1 (n) sin(x 2 1 (n) + x 2 2 (n)) 1/2 − x 2 (n) cos(x 2 1 (n) + x 2 2 (n)) 1/2
Hàm trần có dạng x1(n) = c1 cos(c1 n + c2) và x2(n) = c1 sin(c1 n + c2), trong đó c1, c2 là các hằng số bất kỳ Nghiệm tìm thường x1(n) ≡ 0 và x2(n) ≡ 0 của hàm này là những nghiệm khác không của hàm trần Tuy nhiên, mỗi nghiệm của hàm đều có thể được chọn lựa.
Tứ hai vẫn giữ trật tự rõ ràng giữa các phương trình và sự chọn lựa, mặc dù chúng có những khác biệt trong mỗi hàm Tuy nhiên, trong trường hợp của phương trình tuyến tính thuần nhất (1.6), chúng lại có sự tương đồng Hình ảnh 1.14 (Xem [11]) cho thấy các nghiệm của hàm phương trình (1.6) là đồng nhất khi và chỉ khi chúng có sự chọn lựa trật tự N (n ≥ 0).
Giá trị sỉ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (1.6) được xác định khi tồn tại một hằng số c sao cho kΦ(n, n0)k ≤ c với n thuộc N (n0) Nếu ε > 0, thì tồn tại δ > 0 sao cho kx0 − x0k < ε/c Do đó, kx(n, n0, x0) − x(n, n0, x0)k = kΦ(n, n0)(x0 − x0)k ≤ c kx0 − x0k < ε, từ đó cho thấy rằng giá trị sỉ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ (1.6) là đúng.
Ngữ cảnh lôgic, giả thiết nghiêm cẩn của hàm phức trơn (1.6) trong trường hợp này nghĩa là tìm hiểu của hàm (1.6) tồn tại, cụ thể: x(n, n₀, 0) ≡ 0 tồn tại Do đó, cho bất kỳ kẻ ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho nếu ||x₀|| < δ thì ||x(n, n₀, x₀)|| < ε, với n ∈ N (n₀).
M°c khĂc, tứ x(n, n 0 , x 0 ) = Φ(n, n 0 )x 0 , ta cõ kx(n, n 0 , x 0 )k = kΦ(n, n 0 ).x 0 k < ε
Cho x 0 l v²c tì δ 2 e j Khi â ta câ kΦ(n, n 0 ).x 0 k = kx j (n)k δ 2 < ε, trong õ x j (n)l cởt thự j cừa ma trên Φ(n, n 0 ). Cho nản ta cõ kΦ(n, n 0 )k = max 1≤j≤n kx j (n)k < 2ε δ
Do õ, vợi bĐt kẳ nghiằm x(n, n 0 , x 0 ) cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) ta cõ kx(n, 0, x 0 )k = kΦ(n, 0).x 0 k < 2ε δ kx 0 k Hằ quÊ 1.10 CĂc phĂt biºu sau l úng
TĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ (1.7) l ờn ành náu v ch¿ náu giĂ trà riảng cừa ma trƠn A cõ mổ un b² hỡn ho°c bơng 1, cĂc giĂ trà riảng cõ moun bơng.
(ii) TĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ (1.7) l ờn ành tiằm cên náu v ch¿ náu giĂ trà riảng cừa ma trƠn A cõ mổ un b² hỡn 1.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét ý nghĩa của hàm số x(n) trong ngữ cảnh của phương trình (1.6) và tầm quan trọng của nó trong việc phân tích tín hiệu Đặc biệt, trong trường hợp quật, chúng ta có thể xác định được hàm số x²t và tìm hiểu về sự phân bố xác suất Theo giả thuyết đã nêu, chúng ta sẽ thực hiện phép biến đổi y(n) = x(n) − z(n), trong đó x(n) được coi là một hàm số bất kỳ liên quan đến (1.6).
Vẳ x(n) l nghiằm cừa (1.6) nản ta cõ x(n + 1) = y(n + 1) + z(n + 1) = f (n, y(n) + z(n)) v do â y(n + 1) = f(n, y(n) + z(n) − f (n, z(n))) = f(n, y(n)).
Ta cõ hằ mợi y(n + 1) = f (n, y(n)) (1.46) cõ nghiằm tƯm thữớng y(n) ≡ 0
Do õ tẵnh ờn ành cừa nghiằm x(n) cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) tữỡng ữỡng vợi tẵnh ờn ành cừa nghiằm tƯm thữớng cừa hằ phữỡng trẳnh (1.46) Theo định nghĩa 1.7 (xem [11]), nếu x ∈ R thì l iºm cƠn bơng cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) sẽ đạt giá trị f(n, x) = x khi n ≥ n0.
Phữỡng trẳnh sai phƠn x(n + 1) = x 2 (n) cõ hai iºm cƠn bơng l x = 1 v x = 0
Ró r ng, x = 0 l ờn ành tiằm cên ãu, trong khi õ x = 1 khổng ờn ành. Vẵ dử 1.11.
Cho phữỡng trẳnh x(n + 1) = x(n)(2 − x(n)) cõ hai iºm cƠn bơng x = 0 v x = 1 Tứ õ cổng thực nghiằm x(n) = x(n, n 0 , c) = 1 − (1 − c) 2 n−n 0 Ró r ng l nghiằm x = 0 l khổng ờn ành, trong khi õ x = 1 l ờn ành tiằm cên ãu.
TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một số kết quả và tính chất của các hàm cứng và hàm mềm trong các phương trình sai phân tuyến tính và phương trình sai phân phi tuyến Đồng thời cũng sẽ ra mắt một số ví dụ minh họa kết quả lý thuyết Nội dung chính của bài viết này chủ yếu tham khảo trong [11].
Tẵnh ờn ành cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh
• Hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt
GiÊ sỷ A(n) l ma trên khổng suy bián vợi mồi n ≥ n 0 , Φ(n, n 0 ) l ma trên cỡ bÊn bĐt kẳ cừa hằ (1.6).
Ta câ Φ(n, m) = Φ(n, n 0 )Φ −1 (m, n 0 ). ành lỵ 2.1 (Xem [11]) Nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) l
Để đảm bảo tính bền vững trong các hệ thống toán học, cần thiết lập các điều kiện cho các hàm số Thứ nhất, tồn tại một hằng số C sao cho kΦ(n, n 0 )k ≤ C với n thuộc N (n 0 ) (2.1) Thứ hai, cần có một hằng số C khác để thỏa mãn điều kiện kΦ(n, m)k = kΦ(n, n 0 )Φ(m, n 0 )k ≤ C cho n 0 ≤ m ≤ n thuộc N (n 0 ) (2.2) Cuối cùng, cần đảm bảo rằng kΦ(n, n 0 )k ≤ C và Φ −1 (n, n 0 ) cũng phải được duy trì trong giới hạn này.
≤ C, n ∈N (n 0 ) (2.3) (iv) ấn ành tiằm cên náu v ch¿ náu n→∞ lim kΦ(n, n 0 )k = 0 (2.4)
(v) ấn ành tiằm cên ãu náu v ch¿ náu tỗn tÔi hơng số dữỡng C v λ > 0 sao cho kΦ(n, m)k = Φ(n, n 0 )Φ −1 (m, n 0 )
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta giÊ sỷ Φ(n 0 , n 0 ) = I.
(i) Gi£ sû b§t ¯ng thùc (2.1) óng, tùc l kΦ(n, n 0 )k ≤ C, n ∈N (n 0 ).
Náu ε > 0 thẳ kx 0 − x 0 k < ε/c = δ > 0 Vêy, kx(n, n 0 , x 0 ) − x(n, n 0 , x 0 )k = kΦ(n, n 0 )(x 0 − x 0 )k ≤ c kx 0 − x 0 k < ε v do õ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ (1.6) l ờn ành.
Ngữ cảnh lôgic, giả sử rằng cường độ hàm phức trịnh (1.6) trên đàn nản nghiằm tìm thường của hàm (1.6) trên đàn, tức là x(n, n₀, 0) ≡ 0 trên đàn Vậy cho bất kỳ kε > 0 tồn tại một δ > 0 sao cho khi kx₀k < δ thì kx(n, n₀, x₀)k < ε, với n ∈ N (n₀).
M°c khĂc, tứ x(n, n 0 , x 0 ) = Φ(n, n 0 )x 0 , ta cõ kx(n, n 0 , x 0 )k = kΦ(n, n 0 ).x 0 k < ε.
Cho x 0 l v²c tì δ 2 e j Khi â ta câ kΦ(n, n 0 ).x 0 k = kx j (n)k δ 2 < ε, trong õ x j (n)l cởt thự j cừa ma trên Φ(n, n 0 ). Cho nản ta cõ kΦ(n, n 0 )k = max 1≤j≤n kx j (n)k < 2ε δ Hay kΦ(n, n 0 )k < C, vợi C = 2ε δ
(ii) Cho x(n) = x(n, n 0 , x 0 ) l nghiằm cừa hằ (1.6).
Khi õ, bĐt kẳ n 1 ∈N (n 0 ) ta cõ x(n) = Φ(n, n 0 ).Φ −1 (n 1 , n 0 ).x(n 1 ).
Gi£ sû (2.2) óng, khi â kx(n)k ≤ Φ(n, n 0 ).Φ −1 (n 1 , n 0 )
Vợi ε > 0, n 1 ≥ n 0 v kx(n)k < 2C ε = δ(ε) > 0 Suy ra kx(n)k < ε, ∀n ≥ n 1 Do õ x(n) ờn ành ãu.
B¥y gií ta cho x(n 1 ) = 2 δ e j Khi â ta câ Φ(n, n 0 ).Φ −1 (n 1 , n 0 ).x(n 1 )
1≤j≤n kx j (n)k < 2ε δ = C Vêy kΦ(n, n 1 )k < C. (iii) Gi£ sû (2.3) óng.
Náu n 1 ≥ n 0 v kx(n 1 )k < δ, ta cõ kx(n)k = Φ(n, n 1 ).Φ −1 (n 1 , n 0 )x(n 1 )
Suy ra x(n) ên ành m¤nh.
Ngữủc lÔi, náu x(n) ờn ành mÔnh, ta suy ra Φ(n, n 0 ).Φ −1 (n 1 , n 0 ).x(n 1 )
Khi â n 1 ≥ n 0 v kx(n 1 )k < δ B¥y gií ta cho x(n 1 ) = δ 2 e j Khi â ta câ Φ(n, n 0 ).Φ −1 (n 1 , n 0 ).x(n 1 )
Tứ ành nghắa cừa ờn ành mÔnh, ta lƯn lữủt chồn n = n 0 ; n 1 = n 0
≤ C. (iv) Ta cõ mội nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn (1.6) cõ dÔng x(n) = x(n, n 0 , x 0 ) = Φ(n, n 0 ).x 0
Tứ (2.4) ta suy ra luổn tỗn tÔi C sao cho kΦ(n, n 0 )k ≤ C, ∀n ≥ n 0 Vẳ thá kx(n)k ≤ C kx 0 k Do õ mội nghiằm cừa hằ (1.6) bà ch°n Theo ành lẵ 1.14 ta suy ra x(n) ên ành.
M°t khĂc ta cõ kx(n)k → 0 khi n → ∞ nản nghiằm cừa hằ (1.6) ờn ành tiằm cên.
Ngữủc lÔi, náu nghiằm cừa hằ (1.6) ờn ành tiằm cên thẳ nghiằm tƯm thữớng x(n, n 0 , 0) ≡ 0 ờn ành tiằm cên Do õ kx(n, n 0 , x 0 )k → 0khi n → ∞ vợi kx 0 k < δ. Nản kΦ(n, n 0 )k → 0 khi n → ∞
(v) GiÊ sỷ (2.5) úng, khi õ nghiằm cừa hằ (1.6) ờn ành ãu theo (ii). Hỡn nỳa, náu x(n) = x(n, n 0 , x 0 ) l mởt nghiằm bĐt kẳ cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) thẳ x(n) = Φ(n, n 0 )x 0 = Φ(n, n 0 ).Φ −1 (n 1 , n 0 )x(n 1 ); n ≥ n 1 Suy ra kx(n)k ≤ kΦ(n, n 0 ).Φ(n 1 , n 0 )k kx(n 1 )k
≤ C kx(n 1 )k e −λ(n−n 1 ) Vẳ kx(n 1 )k < δ, chồn N sao cho e −λ.N < C.δ ε , ta cõ kx(n)k < ε vợi n ≥ n 0 + N.
Vêy nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) l ờn ành tiằm cên ãu.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) l ờn ành tiằm cên ãu nản nõ ờn ành ãu.
Hỡn nỳa náu x(n) = x(n, n 0 , x 0 ) l mởt nghiằm bĐt kẳ cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) thẳ x(n) = Φ(n, n 0 )x 0 = Φ(n, n 0 ).Φ(n 1 , n 0 )x(n 1 ) v do õ vợi n ∈ N (n 1 ) , kx(n)k ≤ Φ(n, n 0 ).Φ −1 (n 1 , n 0 )
Nhữ vêy kx(n)k → 0 ởc lêp vợi n 1, v hằ phữỡng trẳnh (1.6) hút ãu.
Vẳ thá hằ phữỡng trẳnh (1.6) ờn ành tiằm cên ãu.
Ngữủc lÔi, náu hằ phữỡng trẳnh (1.6) l ờn ành tiằm cên ãu thẳ nõ hút ãu v do õ vợi mội ε > 0, n 1 > n 0 tỗn tÔi δ > 0 v K(ε) ∈ N (1) , º kx(n 1 )k < δ thẳ kx(n)k = kΦ(n, n 1 )x(n 1 )k < ε, vợi n 1 + K(ε) ≤ n ∈N (n 1 )
Do õ, kΦ(n, n 1 )k < η < 1 vợi n 1 + K(ε) ≤ n ∈N (n 1 ) , ð Ơy η cõ thº chồn nhọ tuý þ.
Hỡn nỳa tứ tẵnh chĐt ờn ành tiằm cên ãu ta suy ra tẵnh ờn ành.
Vợi mội n ∈ N (n 1 + m.K(ε), n 1 + (m + 1).K(ε)) trong õ m ∈ (1) ta cõ: kΦ(n, n 1 )k
Chó þ 2.1. ối vợi hằ phữỡng trẳnh (1.7), sỹ ờn ành suy ra ữủc sỹ ờn ành ãu Tuy nhiản ối vợi hằ (1.6) iãu õ l khổng úng.
Từ bài toán 2.1, chúng ta có thể suy ra rằng phương trình tuyến tính không thể áp dụng cho các mối quan hệ phi tuyến Tuy nhiên, bài toán này vẫn cung cấp những thông tin hữu ích cho việc nghiên cứu các mối quan hệ phức tạp hơn.
Nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh x(n + 1) = x(n) p1 + 2x 2 (n) l x(n) = x(n 0 )
Ró r ng nghiằm tƯm thữớng cừa phữỡng trẳnh  cho l ờn ành tiằm cên ãu những khổng ờn ành tiằm cên mụ.
• Hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt
X²t hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt x(n + 1) = A(n).x(n) + f(n, x(n)), n ≥ n 0 (2.6) v b i to¡n gi¡ trà ban ¦u
Bơng phữỡng phĂp bián thiản hơng số Lagrange ta thĐy nghiằm cừa (2.7) cõ d¤ng x(n) = Φ(n, n 0 )x 0 + n
Giới sỹ f(n, x) thỏa mãn điều kiện kf(n, x)k ≤ α(n) kxk, với α(n) thuộc Q∞ k=0 [1 + α(k)] < +∞ Theo hình 2.2 (xem [11]), giới sỹ điều kiện (2.8) được thỏa mãn khi nó nằm trong việc tìm thường cừa hằng (1.6) và liên quan đến việc tìm thường cừa hằng (2.6) công ênh.
GiÊ sỷ x(n) l nghiằm bĐt kẳ cừa b i toĂn (2.7), khi õ x(n) = Φ(n, n 0 ).x 0 + n
Do kΦ(n, s)k ≤ M v do iãu kiằn (1.36) nản kx(n)k ≤ M kx 0 k + M. n
X k=n 0 +1 α(k − 1) kx(k − 1)k p dửng bĐt ¯ng thực Gronwall, ta thu ữủc kx(n)k ≤ M kx 0 k n
Do Q∞ k=0 [1 + α(k)] < +∞ nản vợi mồi n ≥ n 0 ta cõ kx(n)k ≤ M 1 kx 0 k
Để tìm hiểu về nghiệm của phương trình (1.6), ta cần xác định một số ` ∈ N (n 0 ) sao cho nghiệm x(n) = x(n, `, x(`))(x(`) 6= 0) tồn tại trong tập N (`) với N (`) = {n ∈ N (`) : x(n) 6= 0} Định nghĩa δ(ε, `) = {x(`) ∈ R k : kx(`)−kx(`)kk kx(`)k ≤ ε} cho phép ta kiểm tra tính khả thi của nghiệm Nếu x(`) ∈ δ(ε, `), thì ta có x(`) = x(`) + kx(`)k d, với kdk ≤ ε, từ đó chứng minh rằng x(`) tồn tại và đạt được độ chính xác ε mong muốn.
Cho x(n) = x(n, `, x(`)) l nghiằm cừa hằ (1.6) tỗn tÔi trản N (`)
Khi õ náu Φ(n) l ma trên cỡ bÊn bĐt kẳ cừa hằ (1.6) thẳ x(n) − x(n) = Φ(n).Φ −1 (n) (x(`) + kx(`)k d − x(`)d − x(`)) v khi â sup x(`)∈δ(ε,`);n∈ N (`) kx(n) − x(`)k kx(n)k = kx(`)k kx(n)k sup kdk=ε Φ(n).Φ −1 (`).d
Định nghĩa 2.1: Nếu α(n) = sup ` 0 sao cho sup `,n∈N (`),`≤n α(`, n) = C < ∞, thì x(n) là hàm phức tạp Định nghĩa 2.3: Nếu sup `,n∈N (`),` `, v do õ α(`) = 3 Suy ra nghiằm x(n) = x 1 (n) cừa hằ l ờn ành do õ nõ ờn ành yáu v ờn ành tÔi bĐt kẳ `
Tẵnh ờn ành cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán
Tẵnh ờn ành cừa hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán
X²t hằ phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán (1.42) ành lỵ 2.4 (Xem [3]) Vợi mồi (n, y) ∈ N ì R k , h m số g(n, y) thoÊ (1.38), trong õ h(n) l h m khổng Ơm xĂc ành trản N (n 0 ) v P∞
Khi nghiên cứu về hàm x(n, n0, 0) và y(n, n0, 0), ta nhận thấy rằng y(n, n0, 0) ≡ 0 có thể dẫn đến những kết quả quan trọng trong việc phân tích hàm (1.42) và (1.6) Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các hàm và cách chúng ảnh hưởng đến nhau trong không gian toán học.
Tứ (1.38) ta thĐy ró r ng l hằ (1.42) cõ nghiằm tƯm thữớng Tứ dÔng cừa ma trên cỡ bÊn Φ(n, n 0 ), nghiằm y(n) = y(n, n 0 , y 0 ) cừa (1.42) vợi n ≥ n 1 ∈N (n 0 ) ta cõ thº biºu diạn dữợi dÔng y(n) = Φ(n, n 0 ).Φ −1 (n 1 , n 0 )y(n 1 ) + n−1
Tứ ành lẵ 2.1 (ii) ta cõ ky(n)k ≤ c ky(n 1 )k + c. n−1
`=n 1 h(`) ky(`)k v do õ vợi mồi n ∈ N (n 1 ) , ta ữủc ky(n)k ≤ c ky(n 1 )k exp c. n−1
Tứ (2.11) tẵnh ờn ành ãu cừa nghiằm tƯm thữớng cừa (1.42) ữủc chựng minh.
Bối cảnh của bài viết này liên quan đến việc nghiên cứu tính chất của hàm số và sự hội tụ của nó Cụ thể, khi xem xét hàm số kΦ(n, n0) và điều kiện k → 0 khi n → ∞, chúng ta có thể tìm ra một số n1 sao cho với mọi n ≥ n1, ta có thể xác định giá trị của hàm số Φ(n, n0) và Φ−1(n1, n0) y(n1) Điều này cho thấy sự tồn tại của một mối liên hệ chặt chẽ giữa các biến số trong nghiên cứu này.
Ró r ng theo bĐt ¯ng thực (2.11) thẳ ky(n)k < ε.exp(c.Pn−1
Náu hằ phữỡng trẳnh (1.6) l ờn ành tiằm cên ãu thẳ khi õ ta dũng ành lẵ 2.1 (v) trong (1.43) v thu ữủc ky(n)k ≤ c.e −λ(n−n 1 ) ky(n 1 )k + c. n−1
e −λ(n−l−1) h(l) ky(l)k NhƠn hai vá cừa bĐt ¯ng thực trản vợi e λ.n , ta ữủc e λ.n ky(n)k ≤ c.e λ.n 1 ky(n 1 )k + c.e λ n−1
h(`).(e λ.` ky(`)k) v do â ky(n)k ≤ c.e λ(n−n 1 ) ky(n 1 )k exp c.e λ n−1
Nghiệm của phương trình (1.42) liên quan đến hàm số g(n, y) thỏa mãn điều kiện kg(n, y)k ≤ α với α > 0 Khi nghiên cứu, ta tìm được nghiệm y(n, n₀, 0) ≡ 0 từ phương trình (1.42) và nghiệm x(n, n₀, 0) ≡ 0 từ phương trình (1.6) Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các nghiệm và các điều kiện đặt ra trong bài toán.
Hằ quÊ 2.1 Vợi mồi (n, y) ∈ N (n 0 ) ì R k h m số g(n, y) thoÊ kg (n, y)k = α.(kyk) (2.13)
Khi nghiên cứu tìm thống y(n, n 0 , 0) ≡ 0 của (1.7) trên A, ta nhận thấy rằng nó dẫn đến việc xác định các giá trị liên quan trong hình cấu trúc Đối với g(n, y) trong Hằng quế 2.1, việc tìm thống x(n, n 0 , 0) ≡ 0 của (1.6) cũng có ý nghĩa quan trọng Khi tìm thống y(n, n 0 , 0) ≡ 0 của (1.7), điều này cho thấy sự liên kết chặt chẽ với các khái niệm đã được thảo luận.
Hằ quÊ 2.1 vành lẵ 2.6 khổng úng trong một số trường hợp, ví dụ như khi các giá trị trả về của ma trận trong A nằm trong khoảng nhất định Trong trường hợp này, số g(n, y) không tuyến tính ảnh hưởng đến việc tìm hiểu của hàm (1.7) và không thể kiểm tra sự tồn tại của giá trị trả về của A Để tìm hiểu hàm này, phương trình x(n + 1) = x(n) + x(n)[1 + c.x²(n) - 1] được áp dụng với c = 0, c > 0 và c < 0 Nếu P là một ma trận trên không gian thì (I - P) cũng là một ma trận trên không gian.
Bờ ã 2.1 Cho V (n) l ma trên khÊ nghàch xĂc ành trản N (n 0 ) v cho P l mởt ma trên chiáu Náu tỗn tÔi hơng số c > 1 sao cho n−1
≤ c, n ∈N (n 0 ) (2.14) thẳ tỗn tÔi mởt hơng số c 1 thoÊ mÂn kV (n)P k ≤ c 1 ( c − 1 c ) n−n 0 , n ∈N (n 0 ) (2.15) Chùng minh
Ta cõ thº giÊ sỷ rơng P 6= 0 Vợi bĐt kẳ ` ∈ N (n 0 ) ta cõ kV (` + 1)P k > 0 Khi â
`=n 0 kV (` + 1)P k −1 ta câ r(n) − r(n − 1) = kV (n)P k −1 , n ∈ N (n 0 + 1) Thá v o (2.16), ta cõ r(n) 6= ( c−1 c )r(n − 1)
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực (2.16), ta cõ kV (n)P k ≤ c( c − 1 c ) n−n 0 −1 kV (n 0 + 1)P k , n ∈N (n 0 + 1) (2.17)
Vẳ vêy, náu ta chồn c 1 = max kV (n 0 )P k , ( c−1 c 2 kV (n 0 + 1)P k) thẳ tứ (2.17) ta suy ra (2.15).
Bờ ã 2.2 Cho V (n) l ma trên khÊ nghàch trản N (n 0 ) v cho P l ma trên chiáu Náu tỗn tÔi mởt hơng số c > 0 sao cho
≤ c, n ∈N (n 0 ) (2.18) thẳ vợi bĐt ký vectỡ c sao cho P c 6= 0 , ta cõ n→∞ lim kV (n)Pc k = ∞
Cho b§t ký ` ∈ N (n 0 ) , ta câ kV (` + 1)P c k > 0
`=n kV (` + 1)Pc k −1 V (n)P V −1 (` + 1)V (` + 1)P c v (2.18), vợi mồi n 1 ∈N (n) , ta cõ kV (n)Pc k n 1
`=n kV (` + 1)Pc k −1 tỗn tÔi v lim sup n→∞ kV (n + 1)Pc k −1 = 0 , ho°c lim sup n→∞ kV (n + 1)Pc k = ∞ ành lỵ 2.7 (Xem [11]) GiÊ sỷ tỗn tÔi mởt hơng số c > 1 Khi õ mồi n ∈ N (n 0 ) , ta câ n−1
≤ c, (2.19) trong õ Φ(n, n 0 ) l ma trên cỡ bÊn cừa (1.6) Hỡn nỳa, giÊ sỷ rơng vợi mồi(n, y) ∈N (n 0 ) ìR k h m số g(n, y) thoÊ bĐt ¯ng thực (2.12) vợi α < c −1 Khi õ,nghiằm tƯm thữớng y(n, n 0 , 0) ≡ 0 cừa (1.42) l ờn ành tiằm cên.
Theo định lý, khi n tiến tới vô cực, Φ(n, n₀) sẽ tiến về 0 Nếu tồn tại một hằng số β > 0 sao cho ||Φ(n, n₀)|| ≤ β, thì từ các phương trình (2.10), (2.12) và (2.19), ta có ||k_y(n)|| ≤ β ||k_y(n₀)|| + α.c sup_{α≤`≤n} ||k_y(`)|| Do đó, sup_{α≤`≤n} ||k_y(`)|| sẽ nhỏ hơn hoặc bằng β(1 - α.c)^{-1} ||k_y(n₀)|| Kết quả là với mọi n ∈ N (n₀), ta có ||k_y(n)|| ≤ β(1 - αc)^{-1} ||k_y(n₀)||.
BĐt ¯ng thực n y cho thĐy nghiằm tƯm thữớng cừa (1.42) l ờn ành.
BƠy giớ, cho à = lim sup n→∞ ky(n)k, chồn γ sao cho α.c < γ < 1.
Do õ tứ (2.10), ta thĐy ky(n)k ≤ kΦ(n, n 0 )k Φ −1 (n 1 , n 0 )y(n 1 )
+ cαγ −1 à v do dõ khi n → ∞ , ta cõ à ≤ cαγ −1 Suy ra à = 0
Do õ ành lẵ ữủc chựng minh. ành lỵ 2.8 (Xem [11]) GiÊ sỷ tỗn tÔi mởt hơng số c > 1 sao cho vợi mồi n ∈N (n 0 ) b§t ¯ng thùc sau tho£ m¢n
≤ c, (2.20) trong õ Φ(n, n 0 ) l ma trên cỡ bÊn cừa hằ phữỡng trẳnh (1.6) v P l ma trên chiáu Hỡn nỳa, giÊ sỷ vợi mồi (n, y) ∈ N (n 0 ) ì R k h m số g(n, y) thoÊ mÂn bĐt ¯ng thực (2.12) vợi α < c −1 Khi õ, ta cõ
(i) Náu y(n) = y(n, n 0 , y 0 ) l mởt nghiằm bà ch°n cừa (1.42) thoÊ ky(n)k ≤ β vợi mồi n ∈ N (n 0 ) , thẳ y(n) → 0 khi n → ∞
(ii) Tỗn tÔi mởt hơng số γ > 0 , ởc lêp vợi g, sao cho vợi mồi n ∈ N (n 0 ) , ta cõ ky(n)k ≤ (1 − αc) −1 γ kP.y(n 0 )k (2.21)
GiÊ sỷ nghiằm y(n) cừa (1.42) bà ch°n.
`=n Φ(n, n 0 )(I − P )φ −1 (` + 1, n 0 ).g(`, y(`)) tỗn tÔi v bà ch°n vợi mồi n ∈ N (n 0 ) Hỡn nỳa, ta cõ w(n + 1) = A(n)y(n) + g(n, y(n)) − A(n)Φ(n, n 0 ).P.y(n 0 )
Do õ w(n) l mởt nghiằm cừa hằ (1.6) Ró r ng P w(n 0 ) = 0 v w(n) = Φ(n, n 0 )(I −P )w(n 0 ) Những theo Bờ ã 2.2 iãu n y ch¿ tỗn tÔi náu (I−P )w(n 0 ) =
Từ (2.20) và (2.12), ta có thể suy ra rằng kΦ(n, n₀)P k → 0, cho phép tồn tại một hằng số dương γ sao cho kΦ(n, n₀)k ≤ γ với mọi n ∈ N (n₀) Điều này dẫn đến kết luận rằng ky(n)k ≤ γ kP y(n₀)k + αc sup α≤`≤n ky(`)k, từ đó chứng minh được (2.21) đúng.
Chựng minh (i) tữỡng tỹ nhữ chựng minh ành lẵ 2.7.
Hằ quÊ 2.2 Náu P 6= I trong (2.20), thẳ nghiằm tƯm thữớng y(n, n 0 , 0) ≡ 0 cừa (1.42) l khổng ờn ành.
GiÊ sỷ nghiằm tƯm thữớng cừa (1.42) l ờn ành, khi õ vợi mội ε > 0 cõ δ > 0 sao cho 0 < ky 0 k < δ thẳ ky(n, n 0 , v 0 )k < ε vợi mồi n ∈ N (n 0 )
Tuy nhiản, do P 6= I nản ta cõ thº chồn y 0 sao cho P y 0 = 0 MƠu thuăn vợi (2.21) Do õ ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Hằ quÊ 2.3 Náu A(n) = A ( A(n) l tuƯn ho n vợi chu kẳ N ) v khổng cõ giĂ trà riảng n o cừa A(Φ(K, n 0 )) nơm trản ữớng trỏn ỡn và v (2.12), khi õ (i) v (ii) cừa ành lẵ 2.8 l úng.
Náu A(n) = A , thẳ Φ(n, n 0 ) = A n−n 0 v tỗn tÔi mởt ma trên chiáu P sao cho
Náu A(n) tuƯn ho n vợi chu kẳ N thẳ tỗn tÔi ma trên chiáu P sao cho Φ(n, n 0 )P Φ −1 (` + 1, n 0 )
Do õ Hằ quÊ ữủc chựng minh.
Tẵnh ờn ành cừa mởt lợp phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán ổtổnổm
x(n + 1) = f (x(n)) (2.22) trong õ f : G → R k l h m liản tửc v G ⊂ R k GiÊ sỷ x l mởt iºm cƠn bơng cừa (2.22), tực l f (x) = x Cho V : R k → R l h m số nhên giĂ trà thỹc Sai phƠn cừa V ối vợi (2.22) ữủc xĂc ành bði
4V (x) = V (f(x)) − V (x) v 4V (x(n)) = V (f(x(n))) − V (x(n)) = V (x(n + 1)) − V (x(n)) ành nghắa 2.6 (Xem [11]) H m V ữủc gồi l h m Lyapunov trản têp con H cừa R k náu
(ii) 4V (x) ≤ 0 vợi x, f(x) ∈ H ành nghắa 2.7 (Xem [3]) H m V ữủc gồi l xĂc ành dữỡng tÔi x náu (i) V (x) = 0 ,
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm V(x) trong không gian R^k, với điều kiện V(x) > 0 cho mọi x thuộc B(x, r) và x khác x, r > 0 Tập B(x, r) được định nghĩa là {y ∈ R^k | ||y - x|| < r} Nếu V là một hàm Lyapunov trong không gian H, và nếu điều kiện 4V(x) < 0 được thỏa mãn cho mọi x, thì hệ thống sẽ ổn định Hơn nữa, nếu G = H = R^k và V(x) tiến tới vô cùng khi ||x|| tiến tới vô cùng, hệ thống sẽ ổn định toàn cục Đối với tập hợp {x ∈ R^k | ||x|| > α} với α > 0, nếu V(x) cũng tiến tới vô cùng khi ||x|| tiến tới vô cùng, thì điều này xác nhận tính ổn định của hệ thống Tập E = {x ∈ R^+ | 4V(u) = 0} là một tập con bất biến quan trọng trong nghiên cứu này.
E Náu M l têp compact thẳ mồi nghiằm x(n, 0, x 0 ) cừa (2.22) nơm trong R + k tián tợi M khi n → ∞ ành lỵ 2.11 (Xem [16]) Náu cĂc iãu kiằn cừa ành lẵ 2.10 l thọa mÂn v
E = {x} ho°c E = {0, x} v khổng cõ nghiằm n o nơm trong R+ k cõ thº tián tợi
0 khi n → ∞ thẳ x l ờn ành to n cửc.
Tẵnh ờn ành cừa mởt lợp phữỡng trẳnh sai phƠn phi tuyán cõ trạ
Phương trình x(n + 1) = F(x(n), x(n − 1), , x(n − k)), với n = 0, 1, (2.23) mô tả một chuỗi số (x(n)) từ x(−k) đến x(0) là các giá trị được xác định trước, trong đó F thuộc C[I k+1, I] và I là khoảng số thực, k là số nguyên dương Định nghĩa 2.8 chỉ ra rằng chuỗi số này là nghiệm của phương trình (2.23) nếu nó thỏa mãn phương trình với mọi n = 0, 1, Định nghĩa 2.12 cho biết rằng nếu I là một khoảng số thực và x ∈ I, thì x được gọi là nghiệm của (2.23) nếu x = F(x, x, , x) Khi đó, ta có các phát biểu liên quan đến nghiệm của phương trình này.
(i) iºm cƠn bơng x cừa phữỡng trẳnh (2.23) ữủc gồi l ờn ành àa phữỡng náu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho mội nghiằm vợi iãu kiằn ban Ưu x(−k), x(−k +
(ii) iºm cƠn bơng x cừa phữỡng trẳnh (2.23) ữủc gồi l ờn ành tiằm cên àa phữỡng náu nõ ờn ành àa phữỡng v náu ∀γ > 0 sao cho vợi x(−k), x(−k +
Giới hạn của dãy x(n) khi n tiến tới vô cùng là x, tức là x(n) ∈ (x − γ, x + γ) Đối với phương trình (2.23), nếu x là điểm hấp dẫn, dãy x(n) sẽ hội tụ về x khi n tiến tới vô cùng Ngược lại, nếu x là điểm đẩy, dãy x(n) sẽ không hội tụ về x mà thay vào đó sẽ duy trì khoảng cách với x.
∂x(n − i) (x, x, x)y(n − i), n = 0, 1, ữủc gồi l phữỡng trẳnh tuyán tẵnh liản kát vợi phữỡng trẳnh (2.23) xung quanh iºm cƠn bơng x
∂x(n − i) (x, x, x)λ n−i , n = 0, 1, ữủc gồi l phữỡng trẳnh °c trững liản kát vợi phữỡng trẳnh (2.23).
Phương trình x²t cho n+1 = x n, với n = 0, 1, (2.24) có điều kiện ban đầu x 0 Khi x = 0, phương trình trở thành một dạng đặc biệt Điều này cho thấy, nghiệm của phương trình (2.24) có dạng x n = c, với c ∈ R Với mọi ε > 0, tồn tại δ = ε sao cho nghiệm x n = c thỏa mãn |x 0 − 0| = |c| < δ, dẫn đến |x n − 0| = |c| < δ = ε Khi x = 0 không là nghiệm của phương trình, tồn tại số δ > 0 (không phụ thuộc vào ε) và nghiệm x n = c sao cho |x 0 | < δ nhưng x n không bằng 0.
3 x n , n = 0, 1, (2.25) vợi iãu kiằn ban Ưu x 0 Khi õ iºm cƠn bơng x = 0 l ờn ành tiằm cên to n cửc Thêt vêy, nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.25) cõ dÔng x n = ( 1 3 ) n x 0
Do â lim n→∞ x n = lim n→∞ ( 1 3 ) n x 0 = 0v iºm cƠn bơng x = 0 l ờn ành àa phữỡng. Thêt vêy, ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) = ε > 0 sao cho vợi nghiằm x n = ( 1 3 ) n x 0 thoÊ mÂn
Mằnh ã sau thữớng ữủc sỷ dửng º khÊo sĂt tẵnh ờn ành àa phữỡng cừa nghiằm phữỡng trẳnh (2.23) trong trữớng hủp k = 1
GiÊ sỷ x l iºm cƠn bơng cừa phữỡng trẳnh (2.26) v phữỡng trẳnh °c trững liản kát vợi phữỡng trẳnh (2.26) cõ dÔng λ 2 − rλ − s = 0 (2.27)
(i) Náu hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) nơm trong hẳnh trỏn ỡn và |λ| < 1 thẳ iºm cƠn bơng x l ờn ành tiằm cên àa phữỡng.
(ii) Náu cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) cõ giĂ trà tuyằt ối lợn hỡn 1 thẳ x khổng ờn ành.
(iii) iãu kiằn cƯn v ừ º hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) nơm trong hẳnh trỏn ỡn và |λ| < 1 l |r| < 1 − s < 2
(iv) iãu kiằn cƯn v ừ º mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) cõ giĂ trà tuyằt ối b² hỡn 1 v nghiằm cỏn lÔi cõ giĂ trà tuyằt ối lợn hỡn 1 l r 2 > −4s v |r| > |1 − s|
(v) iãu kiằn ừ º hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.27) nơm trong hẳnh trỏn ìn và |λ < 1 l |r| + |s| < 1
X²t phữỡng trẳnh x n+1 = α + x n−1 x n , n = 1, 2, (2.28) vợi iãu kiằn ban Ưu l x 0 , x 1 Khi õ, iºm cƠn bơng x = α + 1 cừa phữỡng trẳnh l ờn ành tiằm cên àa phữỡng náu α > 1 , khổng ờn ành tiằm cên náu
Thêt vêy, ta cõ phữỡng trẳnh °c trững liản kát vợi phữỡng trẳnh (2.28) xung quanh iºm cƠn bơng x = α + 1 l λ 2 + 1 α + 1 λ − 1 α + 1 = 0 (2.29)
|r| + |s| = 2 α + 1 Náu α > 1 thẳ |r| + |s| < 1 Do õ, hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.29) nơm trong hẳnh trỏn ỡn và |λ| < 1 Theo Mằnh ã 2.1 thẳ iºm cƠn bơng x = α + 1 l ờn ành tiằm cên àa phữỡng.
Náu α < 1 thẳ |r| + |s| > 1 Do õ, phữỡng trẳnh (2.29) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm cõ giĂ trà tuyằt ối lợn hỡn 1 Theo Mằnh ã 2.1 thẳ iºm cƠn bơng x = α + 1 khổng ờn ành tiằm cên.
Phương trình x²t được định nghĩa bởi x n+1 = α − βx n η − x n−1, với n = 1, 2, , trong đó các điều kiện ban đầu là x 0, x 1 và α, β, η là các số thực thỏa mãn α = (β+η) 4 2 và η > β Khi thỏa mãn các điều kiện này, nghiệm của phương trình sẽ tồn tại và là không âm Do đó, phương trình x²t có thể được xác định với nghiệm x = α − βx η − x.
2 Phữỡng trẳnh °c trững liản kát vợi phữỡng trẳnh (2.30) xung quanh iºm cƠn bơng x = β+η 2 l λ 2 + 2β η − β λ − η + β η − β = 0. °t r = − η−β 2β , s = η+β η−β , khi â |r| + |s| = η−β 2β + η+β η−β > 1 + η−β 2β > 1
Theo Mằnh ã 2.1 thẳ iºm cƠn bơng x = β+η 2 khổng ờn ành.
Mởt số vẵ dử vã tẵnh chĐt cừa dÂy số
Chựng minh rơng, vợi bĐt kẳ iãu kiằn ban Ưu x(0) ∈ R dÂy x(n) hởi tử vã 0.
Yêu cầu của bài toán quy về chứng minh nhằm củng cố tính đúng đắn của phương trình sai phân trên miền tiệm cận Sử dụng các kết quả và tính chất trên miền tiệm cận của phương trình sai phân trong chương 2, ta có thể giải bài toán này như sau.
Dạ thĐy nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn trản l x(n) = e −n x(0) , vợi n ≥ 1
|e −n+n 0 | → 0 khi n → ∞ v do õ nghiằm tƯm thữớng l hút.
Hìn núa, |x(n 0 )| = |e −n 0 x(0)| < δ = min {1, ε} suy ra |x(n)| = |e −n x(0)| =
|e −n+n 0 |.|e −n 0 x(0)| < δ.|e −n+n 0 | < ε, vợi mồi n ≥ n 0 v do õ nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn trản l ờn ành tiằm cên.
Vêy dÂy x(n) hởi tử vã 0.
Chứng minh rằng, với bất kỳ kĩ thuật nào trong R, nếu x(n) hội tụ về 0, yêu cầu của bài toán quy và chứng minh nhằm của phương trình sai phân trên vành tiệm cận Sử dụng các kết quả và tính chất trên vành tiệm cận của phương trình sai phân trong trường hợp này, ta có thể giải bài toán này như sau.
Vợi mồi n 0 ∈N v c ∈ R, nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản l x(n) = x(n, n 0 , c) = c 2 n−n 0
|x(n) − x(n)| = |c| 2 n−n 1 −2 n 1 −n 0 |c| 2 n 1 −n 0 < δ.|c| 2 n−n 1 −2 n 1 −n 0 → 0 khi n → ∞ v do õ nghiằm phữỡng trẳnh sai phƠn l hút ãu.
Hìn núa, |x(n 1 ) − x(n 1 )| = |c| 2 n 1 −n 0 < δ = min {1, ε} suy ra
|x(n) − x(n)| = |c| 2 n−n 1 −2 n 1 −n 0 |c| 2 n 1 −n 0 < δ.|c| 2 n−n 1 −2 n 1 −n 0 < ε, vợi mồi n ≥ n 1 v do õ nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn trản l ờn ành tiằm cên ãu.
Vêy dÂy x(n) hởi tử vã 0.
Chựng minh rơng, vợi bĐt kẳ iãu kiằn ban Ưu x(n 0 ) = x 0 ∈ R dÂy x(n) hởi tử vã 0.
Yếu cầu của bài toán quy về chứng minh nhằm kiểm tra tính đúng đắn của phương trình sai phân trên miền tiệm cận Sử dụng các kết quả và tính chất trên miền tiệm cận của phương trình sai phân trong chương 2, ta có thể giải bài toán này như sau.
Vợi mồi n 0 ∈N nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản l x(n, n 0 , x 0 ) = n 2 ( n−1 2 ) 2 ( n−2 2 ) 4 ( n 0 2 +1 ) 2 n−n 0 −1 (x 0 ) 2 n−n 0 x(n 0 ) = x 0
Náu |x 0 | ừ nhọ thẳ lim n→∞ x(n) = 0 Do õ nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn l hót.
Do õ nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản l ờn ành tiằm cên.
Vêy dÂy x(n) hởi tử vã 0.
Cho hai d¢y sè x¡c ành bði u(n + 1) = c 1 v(n)
1 + v 2 (n) , trong õ c 1 , c 2 l cĂc hơng số dữỡng.
Tẳm iãu kiằn cừa c 1 , c 2 º vợi bĐt kẳ iãu kiằn ban Ưu u(n 0 ) = u 0 ∈R , v(n 0 ) = v 0 ∈R cĂc dÂy u(n), v(n) hởi tử vã 0
Giải bài toán quy về tìm nghiệm của hệ phương trình sai phân với điều kiện ban đầu \( u(n_0) = u_0 \in \mathbb{R} \) và \( v(n_0) = v_0 \in \mathbb{R} \) Sử dụng các kỹ thuật và tính chất của hệ phương trình sai phân, chúng ta có thể giải bài toán này bằng cách xác định hàm giá trị \( V(u, v) = u^2 + v^2 \) trên tập hợp \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \).
1 thẳ do 4V (u(n), v(n)) ≤ (c 2 2 − 1)u 2 (n) + (c 2 1 − 1)v n 2 , nản nghiằm tƯm thữớng cừa hằ l ờn ành tiãm cên.
Náu c 2 1 > 1, c 2 2 > 1 thẳ °t (u(n), v(n)) ∈ S r ⊂ R 2 , trong õ r l số ừ nhọ º 4V (u(n), v(n)) ≥ c 2 2
1+r 2 − 1 v n 2 > 0 Vẳ thá, nghiằm tƯm thữớng cừa hằ l khổng ờn ành.
Do õ nghiằm tƯm thữớng cừa hằ l ờn ành tiằm cên khi c 2 1 ≤ 1, c 2 2 ≤ 1.Vêy dÂy u(n), v(n) hởi tử vã 0 khi c 2 1 ≤ 1, c 2 2 ≤ 1.
Mởt số vẵ dử vã tẵnh ờn ành cừa mổ hẳnh quƯn thº
X²t mổ hẳnh lo i ỡn cho bði x(n + 1) = λ x(n)
TrÔng thĂi cƠn bơng dữỡng cừa mổ hẳnh n y l x = 1−θ αθ , trong õ θ = λ −1 β (0 < θ < 1). °t y = x x Khi â (3.1) trð th nh y(n + 1) = y(n)
H m ln(θ + (1 − θ)y) Ơm vợi y ∈ (0, 1) v dữỡng vợi y ∈ (1, ∞)
Hàm h(y) được định nghĩa bởi công thức h(y) = 2 ln y − β ln(θ + (1 − θ)y) Khi y tiến gần 0, h(1) = 0 và h(y) < 0 Ngược lại, khi y tiến đến vô cùng, h(y) xấp xỉ (1−θ) y^(2−β)/β và h'(y) = [2θ+y(1−θ)(2−β)] y(θ+(1−θ)y) Nếu 0 < β ≤ 2, thì h(y) > 0 khi y ∈ (1, ∞) và h(y) > 9 khi y tiến đến vô cùng, đồng thời 4V(y) < 0 với mọi y > 0 và y ≠ 1 Do đó, tồn tại 2.10 trong trạng thái bùng nổ tại x = 1 của (3.2) (hoặc tương ứng x = 1−θ/αθ của (3.1)) với β ∈ (0, 2].
X²t mổ hẳnh cÔnh tranh hai lo i cho bði x(n + 1) = x(n)[θ 1 + (1 − θ 1 )(x(n) + d 1 y(n))] −β 1 , y(n + 1) = y(n)[θ 2 + (1 − θ 2 )(y(n) + d 2 y(n))] −β 2 trong õ θ 1 , θ 2 , d 1 , d 2 , β 1 , β 2 l cĂc hơng số dữỡng TrÔng thĂi cƠn bơng dữỡng cừa hằ phữỡng trẳnh trản ữủc cho bði x = 1 − d 1
1 − d 1 d 2 , trong õ d i ∈ (0, 1) Ta s³ chựng minh rơng, trÔng thĂi cƠn bơng dữỡng l ờn ành tiằm cên to n cửc náu θ 1 = θ 2 = θ v β i ∈ (0, 1], i = 1, 2 Ta cõ ln(1 − t) ≤ −t, (3.3) vợi mồi t ∈ (−∞, 1) , vợi dĐu bơng xÊy ra khi t = 0,
Sỷ dửng cĂc bĐt ¯ng thực (3.3) v (3.4) vợi p = β 1 v t = (1 − θ)(1 − x + d 1 y), ta thu ữủc
Tuy nhiản, khi 1−x d 1 = y , ta cõ
+ β 1 d 1 (1 − θ)(1 − x − d 1 y)(xy − yx) x[θ + (1 − θ)(x + d 1 y)] , vợi β 1 ∈ (0, 1] , ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi v = v
Tữỡng tỹ, vợi β ∈ (0, 1] ta cụng cõ
Do õ, 4V ≤ 0 vợi mồi x, y > 0 v ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi x = x, y = y Vẳ thá tứ ành lẵ 2.10, trÔng thĂi cƠn bơng dữỡng x, y l ờn ành tiằm cên to n cửc, náu θ 1 = θ 2 v β 1, β 2 ∈ (0, 1].
Ta s³ chựng tọ rơng trÔng thĂi cƠn bơng x cừa hằ (3.5) l ờn ành tiằm cên to n cửc náu r ∈ (0, 2] °t y = x λ
Khi õ phữỡng trẳnh (3.5) trð th nh y(n + 1) = y(n)e r(1−y(n)) (3.6) °t V (y) = (y − 1) 2 , thẳ
Náu y ∈ (0, 1) , thẳ °t w = 1−y 1 > 1 sao cho r = w{ln(1 + 1 w ) − ln(1 − 1 w )}
Tữỡng tỹ, náu y ∈ (1, 2) thẳ °t w = y−1 1 > 1 sao cho r = w{ln(1 + 1 w ) − ln(1 − 1 w )} > 2.
Do õ, vợi r ∈ (0, 2] ta cõ h(y) < 0 vợi y ∈ (0, 1) v h(y) > 0 vợi y ∈ (1, ∞) Vẳ vêy h m V (y) l h m Lyapunov cõa (3.6) trong R +
Têp hủp iºm trong R+ khi 4V(y) = 0 chỉ chứa 0 và 1, và không có nghiệm nào khác trong R+ có thể tiến tới 0 khi n → ∞ Do đó, tứ ành lẵ 2.10 trong trạng thái bơng y = 1 của (3.6) (hoặc tương ứng x = λ của (3.5)) lớn hơn hoặc bằng tiềm cận cận r ∈ (0, 2].
X²t mởt lo i duy nhĐt vợi hằ hai lợp tuời X(n) l số lữủng con cỏn b², Y (n) l số lữủng con  trữðng th nh ð thới iºm thự n Khi õ, ta cõ hằ phữỡng trẳnh sau
Y (n + 1) = cX(n) + sY (n) − DY 2 (n) (3.7) °t Xe = DX(n) b , Ye = DX(n) ta câ
Ye(n + 1) = a X(n) +e s Ye(n) − Ye 2 (n), (3.8) vợi a = cb > 0 iºm cố ành khổng tƯm thữớng l ( Xe ∗ , Ye ∗ ) vợi Xe ∗ = Ye ∗ v
Ye ∗ = a + s − 1 Để đảm bảo rằng điểm cố định Xe ∗ và Ye ∗ tuân theo mô hình tăng trưởng sinh học, điều kiện a + s − 1 > 0 phải được thỏa mãn Khi xem xét hệ thống động x²t tĩnh với x(n) = X(n)e − Xe ∗ và y(n) = Ye(n) − Ye ∗, ta có thể thiết lập các phương trình x(n + 1) = y(n) và y(n + 1) = ax(n) + ry(n) − y²(n) Điểm cố định (0, 0) của hệ thống này tương ứng với điểm cố định (Xe ∗, Ye ∗) trong mô hình sinh học Hệ thống này thể hiện sự phân tích sai phân tuyến tính trong động lực học sinh học.
# , phữỡng trẳnh °c trững cừa A l λ 2 − rλ − a = 0 Nghiằm tƯm thữớng l ờn ành tiằm cên náu v ch¿ náu |λ| < 1 Do õ
(ii) 1 + r − a > 0 ⇔ 1 + (2 − 2a − s) > 0 ⇔ 3a + s < 3 º tẳm miãn ờn ành cừa nghiằm tƯm thữớng, ta dũng phữỡng phĂp h m Lyapunov cho
1 − a xy + y 2 Phữỡng trẳnh Ax 2 +2Bxy+Cy 2 = D l phữỡng trẳnh cừa mởt elip náu AC−B 2 >
M°t khĂc, bơng cĂch nhõm số hÔng chựa x, y ta thu ữủc
Hỡn nỳa, 4V (x, y) = y 2 w(x, y) vợi w(x, y) = (y − r) 2 − 2ax − 2ar(r − y)
Miãn G bà ch°n bði parabol w(x, y) = 0 Hỡn nỳa, ta  biát mồi nghiằm bà ch°n trong G s³ hởi tử tợi gốc.
X²t têp hủp tĐt cÊ cĂc iºm trong G m hởi tử tợi gốc
J m = {( Xe ∗ , Ye ∗ )}, Xe = x 0 + Xe ∗ , Ye = x 0 + Ye ∗
Tữỡng tỹ nhữ vêy ta cõ thº ch¿ ra rơng (x(n), y(n)) ∈ J 0 vợi n = 1, 2, 3 Do â (x(n), y(n)) → (0, 0) khi → ∞
V (x(m + 1), y(m + 1)) ≤ V (x(m), y(m)) < V min Khi õ ta cụng cõ (x(n), y(n)) → (0, 0) khi n → ∞ Nhữ vêy J m l miãn ờn ành cừa nghiằm tƯm thữớng.
Vẵ dử 3.9 (Mổ hẳnh cừa Nicholson -Bailey)
Giá sỉ H(n) là một yếu tố quan trọng trong lĩnh vực thương mại, trong khi P(n) thể hiện sự phát triển bền vững Hàm f(H(n), P(n)) là phần cốt lõi giúp định hình giá trị của mặt hàng trong thị trường Tham số λ đại diện cho tỷ lệ sinh sản, và c là số trung bình của các sản phẩm được mở bán trên thị trường Những yếu tố này cần được xem xét kỹ lưỡng để đảm bảo sự thành công trong việc kinh doanh.
Hằ số g°p gù giỳa vêt chừ v vêt kẵ sinh l
Náu à l số cuởc g°p gù lo i vêt chừ v vêt kỵ sinh thẳ xĂc suĐt cừa r cuởc g°p gù l p(r) = e −à r! ; à = H e
Tứ phữỡng trẳnh (3.11) ta cõ à = aP (n) (3.12)
Vợi f (H(n), P (n)) = e −aP (n) ta cõ cĂc phữỡng trẳnh
(3.14) iºm cƠn bơng khổng tƯm thữớng l
Bơng tuyán tẵnh hoĂ ta cõ thº thĐy rơng (H ∗ , P ∗ ) l khổng ờn ành Do õ, ta x²t mổ hẳnh thỹc tá hỡn
CĂc iºm cƠn bơng l nghiằm cừa
(1 − e aP ∗ ) Suy ra r(1 − H K ∗ ) acH ∗ = 1 − exp
Ró r ng H 1 ∗ = K, P 1 ∗ = 0l mởt trÔng thĂi cƠn bơng º thỹc hiằn phƠn tẵch tẵnh ờn ành cừa iºm cƠn bơng (H 2 ∗ , P 2 ∗ ) ta °t H(n) = x(n) + H 2 ∗ , P (n) = y(n) + P 2 ∗
Tứ õ, ta cõ x(n + 1) = −H 2 ∗ + (x(n) + H 2 ∗ ) exp h r(1 − x(n)+H K 2 ∗ ) − a(y(n)) + P 2 ∗ i , y(n + 1) = P 2 ∗ + c(x(n) + H 2 ∗ )[1 − exp(−a(y(n) + P 2 ∗ ))].
Bơng tuyán tẵnh hõa quanh iºm (0, 0) ta ữủc hằ phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh
# , trong â q = H K 2 ∗ v χ = 1−exp(−r(1−q)) r(1−q) Phữỡng trẳnh °c trững cừa A l λ 2 − λ(1 − r + χ) + (1 − rq)χ + rq(1 − q) = 0.
Sỷ dửng tiảu chuân ờn ành  biát |λ| < 1 ⇔ |1−r +χ| < 1+(1−rq)χ+r 2 q(1−q) |1 − r + χ| l miãn nghiằm ờn ành tiằm cên cừa iºm cƠn bơng.
Luên vôn  Ôt ữủc nhỳng kát quÊ sau:
Hệ thống lâm rõ mởt số kết quả và sự tồn tại nghiằm, tách biệt chọn cừa nghiằm từ một số lớp hằn phức tạp sai phân tuyến tính và phi tuyến.
2 Hằ thống, l m ró mởt số kát quÊ vã tẵnh ờn ành cừa nghiằm mởt số lợp hằ phữỡng trẳnh sai phƠn.
3 Trẳnh b y mởt số vẵ dử Ăp dửng lỵ thuyát ờn ành nghiằm cừa phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh sai phƠn.
[1] D.C Huong, Persistence and global attractivity for a discretized ver- sion of a general model of glucose-insulin interaction, Demonstratio Mathematica, 49(3)(2016), 302-318.
[2] D.C Huong, On Asymptotic stability and strict boundedness for non- autonomous nonlinear difference equations with time-varying delay, Vietnam Journal of Mathematics, 44(4) (2016), 789-800.
[3] D.V Giang, D.C Huong, Extinction, Persistence and Global stability in model of Population Growth, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 308(2005), 195-207.
[4] D.C Huong, N.V Mau, On a nonlinear difference equation with vari- able delay, Demonstratio mathematica, Vol XLVI , No 1, 2013.
[5] D.C Huong, On the Asymptotic Behavior of Solutions of a Nonlinear Difference Equation with Bounded Multiple Delay, Vietnam J Math 34:2 (2006), 163-170.
[6] D.C Huong, Asymptotic stability and strict boundedness for non-autonomous nonlinear difference equations with time-varying de- lay, Vietnam J Math 44 ( 2016), 789-800.
[7] D.V Giang, D.C Huong, Extinction, persistence and global stability in models of population growth, J Math Anal Appl 308(2005), 195- 207.
[8] D.V Giang, D.C Huong, Nontrivial periodicity in discrete delay mod- els of population growth, J Math Anal Appl, 305 (2005), 291-295.