Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu khái niệm tích phân phân thứ, một khái niệm mở rộng tự nhiên của tích phân lặp thông thường Định nghĩa 1.1 nêu rõ rằng, với α > 0 và đoạn [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x: [a, b] −→ R được xác định bởi công thức t 0I t α x(t) := 1 Γ(α).
(t−s) α−1 x(s)ds, t ∈(a, b], trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) +∞
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0 chúng ta quy ước t 0 I t α := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
Theo định lý 1.1, nếu x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên đoạn [a, b] và 0 < α < 1, thì tích phân t 0 I t α x(t) tồn tại cho hầu hết t trong khoảng [a, b] Đồng thời, t 0 I t α x cũng là một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1 (i) Cho x(t) = (t−a) β , ở đâyβ >−1và t > a Với bất kì α >0, chúng ta có: t 0I t α x(t) = Γ(β+ 1) Γ(α+β+ 1)(t−a) α+β , t > a.
(ii) Cho x(t) =e λt , λ >0 Với bất kì α > 0, chúng ta có: t 0 I t α x(t) =λ −α
Đạo hàm phân thứ
Định nghĩa 1.2 Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi:
(t−s) n−α−1 x(s)ds, trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dt d n n là đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function): f(t)
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f(t) là:
0 D t α f(t) = t −α Γ(1−α).Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau:
Khoảng [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R, và AC[a, b] đại diện cho không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên khoảng này Theo Kolmogorov và Fomin, có mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue, cụ thể là: f(t) thuộc AC[a, b] nếu và chỉ nếu f(t) = c+.
Do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].
Với n ∈N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1 Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng như sau: f(t) = t 0 I t α ϕ(t) + n−1
X k=0 c k (t−t 0 ) k , trong đó ϕ(t) ∈L(a, b), c k (k = 0,1, , n−1) là các hằng số tùy ý và t 0I t α ϕ(t) = 1
Theo các điều kiện đã nêu, ta có ϕ(s) = f(n)(s) và c_k = f(k)(t_0) k! với k = 0, 1, , n−1 Định lý 1.2 đưa ra tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Cụ thể, với α ≥ 0 và n = [α] + 1, nếu f(t) thuộc lớp AC n [a, b], thì đạo hàm phân thứ RL t_0 D^α_t f(t) tồn tại hầu khắp trên đoạn [a, b] và có thể được biểu diễn theo dạng đã nêu.
Z t t 0 f (n) (s)ds (t−s) α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.
Hệ quả 1.1 Nếu 0< α 0 và n = [α] + 1 Nếu hàm f(t) thuộc lớp AC n trên đoạn [a, b], thì có thể viết t 0I t α (C t 0 D α t f(t)) = f(t) − n − 1.
X k=0 f (k) (t 0 ) k! (t−t 0 ) k Đặc biệt, nếu 0< α ≤1 và f(t)∈ AC[a, b] thì t 0I t α ( C t 0 D t α f(t)) = f(t)−f(t 0 ).
Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau: Định lí 1.6 Cho α > 0 và đặt n = [α] + 1 Với bất kì x∈ AC n [a, b], chúng ta có:
Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ
trình vi phân phân thứ
Từ nay, chúng ta chỉ xem xét tham số α trong khoảng (0,1), coi đây là cấp phân thứ của phương trình Giả sử có một hằng số T > 0, không gian C([0, T], R^n) được định nghĩa là tập hợp các hàm liên tục x: [0, T] → R^n với chuẩn k.k ∞, được tính bằng kxk ∞ := max t∈[0,T] kx(t)k, trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian R^n.
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm địa phương và toàn cục cho hệ phương trình vi phân bậc cao.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
0D t α x(t) =f(t, x(t)), t ≥0, (1.1) với điều kiện ban đầu x(0) =x 0 ∈R n , (1.2) trong đó f : [0, T]×R n −→ R n là một hàm liên tục trên [0, T]×R n
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T],R n ) thỏa mãn (1.1) và (1.2).
Mệnh đề dưới đây cung cấp tiêu chuẩn đánh giá sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.4 Xét bài toán (1.1) Khi đó, với điều kiện đầu x 0 ∈ R n tùy ý, một hàm ϕ(., x 0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân: ϕ(t, x 0 ) =x 0 + 1 Γ(α)
Để hiểu giá trị ϕ(t, x 0 ) tại thời điểm t trong tương lai (t > t 0), không chỉ cần biết nghiệm trong khoảng thời gian từ hiện tại đến tương lai [t 0 , t), mà còn phải có thông tin về giá trị của nghiệm trong hầu hết các thời điểm trước đó trên đoạn [0, t 0 ] Điều này tạo nên sự khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lý quan trọng Định lý 1.7 khẳng định rằng với x0 ∈ R^n, có thể xác định nghiệm địa phương cho hệ phương trình này.
Giả sử f(t, x) là một hàm liên tục trên miền G theo biến t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x, với một hằng số L > 0, sao cho |f(t, x)−f(t, y)| ≤ L|x−y| cho mọi cặp (t, x), (t, y) thuộc G Đặt M = sup.
T nếu M = 0; min{T,(KΓ(1 +α)/M) 1/α },trong trường hợp còn lại.
Định lý 1.8 khẳng định rằng, với bài toán (1.1) và điều kiện ban đầu (1.2), tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], R n ) là nghiệm Nếu hàm f : R + × R n −→ R n thỏa mãn bất đẳng thức kf(t, x)−f(t, y)k ≤ L(t)kx−yk, với L : R + −→ R + là hàm liên tục, thì cho bất kỳ điều kiện đầu x 0 ∈ R n, bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên khoảng [0,∞) Tương tự, đối với hệ phương trình vi phân phân thứ Riemann-Liouville, cũng có các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục như Định lý 1.8 Chi tiết có thể tham khảo trong tài liệu [14].
Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.4 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4 Cho α ∈C, một hàm E α : C−→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk+ 1), được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.2 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α= 1, ta có:
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5 Cho α, β ∈C, một hàm E α,β : C−→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk+β), được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là:
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của I Podlubny [15].
Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào tham số α nằm trong khoảng (0,1), được coi là cấp phân thứ của phương trình Chúng ta sẽ xem xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo tuyến tính với hệ số hằng không thuần nhất.
(1.4) trong đó x(t) ∈ R n , g(t) ∈ R n , A ∈ R n×n là ma trận thực hằng số cho trước.
Ta dễ dàng thu được công thức tường minh của nghiệm bài toán (1.4) như sau: ϕ(t, x 0 ) = Φ 0 (t)x 0 +
Để kết thúc mục này, chúng tôi trình bày kết quả về công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo với nhiễu phi tuyến, thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục Cụ thể, chúng tôi xem xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến.
(1.5) trong đó x(t) ∈ R n , A ∈ R n×n là một ma trận thực hằng số cho trước, f :
Hàm f: R n → R n là một hàm liên tục Lipschitz với điều kiện f(0) = 0 Theo Định lý 1.9, nếu f là hàm liên tục Lipschitz toàn cục trên R n với hệ số Lipschitz L và f(0) = 0, thì với mọi x 0 ∈ R n, bài toán giá trị đầu (1.5) có nghiệm toàn cục duy nhất x(t, x 0 ) Nghiệm này tuân theo công thức biến thiên hằng số: x(t, x 0 ) = E α (t α A)x 0.
1.4 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ
Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ
Phương trình vi phân phân thứ D t α x(t) = f(t, x(t)), với t ≥ t 0, trong đó α ∈ (0,1) và x = (x 1 , x 2 , , x n ) T ∈ R n là vectơ trạng thái, t 0 ≥ 0 là thời điểm ban đầu Hàm f : [0,+∞)×R n −→R n là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x Đạo hàm phân thứ D t α (.) trong phương trình này được hiểu là đạo hàm phân thứ Caputo hoặc Riemann-Liouville Theo định nghĩa, vectơ hằng số x được coi là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.6) nếu và chỉ nếu f(t, x) = 0.
Bằng cách áp dụng các tính chất của đạo hàm phân thứ như Caputo hoặc Riemann-Liouville, mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.6) có thể được chuyển về gốc tọa độ 0 Giả sử x ≠ 0 là một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.6), ta định nghĩa y(t) = x(t) - x Khi đó, hệ (1.6) sẽ được biến đổi tương ứng.
D t α y(t) =D t α (x(t)−x) =f(t, x(t)) = f(t, y(t) +x) =g(t, y(t)), (1.7) trong đóg(t,0) = 0và y = 0là một điểm cân bằng của hệ mới với biến lày(t).
Để nghiên cứu tính chất định tính của điểm cân bằng trong hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann-Liouville), ta chỉ cần xem xét điểm gốc 0 của hệ Giả định rằng hệ phương trình này có điểm cân bằng x = 0, ta định nghĩa hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler nếu thỏa mãn điều kiện kx(t)k ≤ [m(x 0)E α (−λ(t−t 0) α)] b, với λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≥ 0 (m(0) = 0) đáp ứng điều kiện Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz m 0.
Hệ (1.6) được coi là ổn định Mittag–Leffler nếu lim t−→+∞ kx(t)k = 0, đồng nghĩa với việc hệ ổn định tiệm cận Phương pháp hàm Lyapunov là công cụ hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định cho cả hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có độ trễ Năm 2010, Y Li, Y Q Chen, và I Podlubny đã giới thiệu phương pháp này để phân tích tính ổn định của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Theo Định lý 1.10, hệ (1.6) ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α1, α2, α3, a, b và một hàm khả vi liên tục V(t, x(t)) thoả mãn điều kiện α1 kx(t)k a ≤ V(t, x(t)) ≤ α2 kx(t)k ab.
Nếu hàm V(t, x(t)) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x và D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong R^n, thì với t ≥ t0 ≥ 0 và α ∈ (0,1), ta có D α t V(t, x(t)) ≤ −α 3 kx(t)k ab Điều này dẫn đến kết luận rằng hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục trong R^n khi tất cả các điều kiện trên được thỏa mãn.
Hàm V(t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) trong Định lí 1.10 được gọi là hàm Lyapunov cho hệ phân thứ (1.6).
Tính ổn định hóa của một số lớp hệ dương phân thứ
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này giới thiệu về giải tích phân thứ, bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo và Riemann-Liouville, cùng mối liên hệ giữa hai loại đạo hàm này Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày phương pháp hàm Lyapunov áp dụng cho hệ phương trình vi phân phân thứ Tất cả kiến thức trong chương được tham khảo từ các nguồn [1, 13, 15].
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu khái niệm tích phân phân thứ, một mở rộng tự nhiên của tích phân lặp thông thường Định nghĩa 1.1 nêu rõ rằng, với α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x: [a, b] −→R được xác định bởi công thức t 0I t α x(t) := 1 Γ(α).
(t−s) α−1 x(s)ds, t ∈(a, b], trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) +∞
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0 chúng ta quy ước t 0 I t α := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
Định lý 1.1 khẳng định rằng nếu x: [a, b] → R là một hàm khả tích trên đoạn [a, b], thì tích phân t 0 I t α x(t) tồn tại đối với hầu hết t ∈ [a, b] Điều này đồng nghĩa với việc t 0 I t α x cũng là một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1 (i) Cho x(t) = (t−a) β , ở đâyβ >−1và t > a Với bất kì α >0, chúng ta có: t 0I t α x(t) = Γ(β+ 1) Γ(α+β+ 1)(t−a) α+β , t > a.
(ii) Cho x(t) =e λt , λ >0 Với bất kì α > 0, chúng ta có: t 0 I t α x(t) =λ −α
1.1.2 Đạo hàm phân thứ Định nghĩa 1.2 Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi:
(t−s) n−α−1 x(s)ds, trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dt d n n là đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function): f(t)
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f(t) là:
0 D t α f(t) = t −α Γ(1−α).Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau:
Trong không gian R, cho khoảng hữu hạn [a, b], AC[a, b] đại diện cho không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b] Theo Kolmogorov và Fomin, có một mối liên hệ quan trọng giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue, cụ thể là: f(t) thuộc AC[a, b] nếu và chỉ nếu f(t) có thể biểu diễn dưới dạng f(t) = c+.
Do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].
Với n ∈N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1 Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng như sau: f(t) = t 0 I t α ϕ(t) + n−1
X k=0 c k (t−t 0 ) k , trong đó ϕ(t) ∈L(a, b), c k (k = 0,1, , n−1) là các hằng số tùy ý và t 0I t α ϕ(t) = 1
Từ các điều kiện đã nêu, ta có ϕ(s) = f(n)(s) và c_k = f(k)(t_0) k! với k = 0, 1, , n−1 Định lý 1.2 cung cấp một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Cụ thể, nếu α ≥ 0 và n = [α] + 1, thì khi f(t) ∈ AC_n[a, b], đạo hàm phân thứ RL t_0 D^α_t f(t) sẽ tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn theo một dạng nhất định.
Z t t 0 f (n) (s)ds (t−s) α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.
Hệ quả 1.1 Nếu 0< α 0 và n = [α] + 1, nếu hàm f(t) thuộc lớp AC n trên khoảng [a, b], thì có công thức t 0I t α ( C t 0 D α t f(t)) = f(t) − n − 1.
X k=0 f (k) (t 0 ) k! (t−t 0 ) k Đặc biệt, nếu 0< α ≤1 và f(t)∈ AC[a, b] thì t 0I t α ( C t 0 D t α f(t)) = f(t)−f(t 0 ).
Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau: Định lí 1.6 Cho α > 0 và đặt n = [α] + 1 Với bất kì x∈ AC n [a, b], chúng ta có:
1.2 Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ
Từ đây, chúng ta sẽ chỉ xem xét tham số α trong khoảng (0,1), mặc định α là cấp phân thứ của phương trình Giả sử có một hằng số T > 0, không gian C([0, T], R^n) được định nghĩa là tập hợp các hàm liên tục từ [0, T] đến R^n, với chuẩn k.k ∞ được xác định như sau: kxk ∞ := max t∈[0,T] kx(t)k, trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian R^n.
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm địa phương và toàn cục cho hệ phương trình vi phân bậc cao.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
0D t α x(t) =f(t, x(t)), t ≥0, (1.1) với điều kiện ban đầu x(0) =x 0 ∈R n , (1.2) trong đó f : [0, T]×R n −→ R n là một hàm liên tục trên [0, T]×R n
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T],R n ) thỏa mãn (1.1) và (1.2).
Mệnh đề dưới đây thiết lập một tiêu chuẩn cho sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.4 Xét bài toán (1.1) Khi đó, với điều kiện đầu x 0 ∈ R n tùy ý, một hàm ϕ(., x 0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân: ϕ(t, x 0 ) =x 0 + 1 Γ(α)
Để xác định giá trị ϕ(t, x 0 ) tại một thời điểm tương lai t, không chỉ cần biết nghiệm trong khoảng thời gian từ hiện tại t 0 đến t, mà còn cần thông tin về giá trị của nghiệm tại hầu hết các thời điểm trong quá khứ [0, t 0 ] Đây là sự khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương cũng như toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được xác định bởi các định lý quan trọng Định lý 1.7 khẳng định rằng, với một điểm x0 thuộc R^n, sẽ có nghiệm địa phương duy nhất cho hệ phương trình này.
Giả sử hàm f(t, x) liên tục trên miền G theo biến t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x với một hằng số L > 0, tức là tồn tại một hằng số L sao cho |f(t, x)−f(t, y)| ≤ L|x−y| cho mọi cặp (t, x) và (t, y) thuộc miền G Đặt M = sup.
T nếu M = 0; min{T,(KΓ(1 +α)/M) 1/α },trong trường hợp còn lại.
Định lý 1.8 khẳng định rằng, đối với bài toán (1.1) và điều kiện ban đầu (1.2), tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], R n ) là nghiệm Giả sử hàm f : R + × R n −→ R n thỏa mãn điều kiện kf(t, x)−f(t, y)k ≤ L(t)kx−yk với L : R + −→ R + là hàm liên tục, thì với điều kiện đầu x 0 ∈ R n tùy ý, bài toán (1.1), (1.2) sẽ có nghiệm toàn cục duy nhất trên khoảng [0,∞) Tương tự, đối với hệ phương trình vi phân phân thứ Riemann-Liouville, cũng tồn tại các định lý tương tự về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm toàn cục Chi tiết có thể tham khảo trong tài liệu [14].
1.3 Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4 Cho α ∈C, một hàm E α : C−→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk+ 1), được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.2 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α= 1, ta có:
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5 Cho α, β ∈C, một hàm E α,β : C−→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk+β), được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là:
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của I Podlubny [15].