Bước sau cùng trong dạy học giải bài tập toán theo quan điểm sư phạm của G.Polya là: “/uyện tập cho học sinh phát triển bài toán thông qua hoạt động khái quát hóa,tương tự hóa”. Không phải bài toán nào cũng thực hiện được các hoạt động tương tự hóa, khái quát hóa.Tuy nhiên, theo G.Polya
“...không có bài toán nào là kết thúc. Bao giờ cũng còn lại một cái gì để suy nghĩ”[4]. Sự suy nghĩ sau khi thực hiện hoàn chỉnh lời giải của bài toán để thực hiện các hoạt động tương tự hoá, khái quát hoá là cấp độ khó trong khâu giải toán, nhưng đây là khâu quan trọng để thầy giáo chú ý phát triển cho học sinh phát triển tư duy từ tư: duy tích cực —> tư duy độc lập —> tư duy sáng tạo.
- Sự tương tự hoá:
Ví du 7: Trong hình học không gian và hình học phẳng ta có những bài toán tương tự nhau:
-Trong mặt phẳng, ta có tính chất : tam giác vuông ABC, đường cao AH
1 1
ta có x=—†t—-:
AH” AB ` AC
-Trong không gian, ta có tính chất của tứ điện A.BCD có góc tam diện
1 _= 1 1 1
vuông đỉnh A, đáy là ABCD và đường cao AH, ta có 1 2
AB™ AC” 2 + AD” 2
38
Trong mặt phẳng, ta có bài toán: “Cho tam giác ABC.Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thắng hàng.”
-Trong không gian ta có bài toán: “Cho tứ diện trực tâm ABCD.Gọi O, G, H lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện. Chứng minh rang: O, G, H thắng hàng.”
-Trong mat phang, ta cd bài toán: “Cho tam giác ABC có độ đài các cạnh là BC=a, AB =c, AC = b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: alA + bIB + cIC = 0”.
-Trong không gian, ta có bài toán: “Cho tứ dién ABCD co dién tich các mặt là S,we; =S,, S„xcp =S;. Š;asp =S;. S;x;c =S,.Gọi I là tâm của mặt cầu
nội tiếp tứ diện.Chứng minh rằng: S,IA + S,IB + S,IC + S,ID =0”.
-Trong mặt phẳng có bài toán: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh
rằng: AC? +BD” =2(AB? + AD”)
-Trong không gian ta có bài toán: cho hình hộp ABCD.A,B,C,D, ta luôn có: BDj + DBỶ + AC, +CA,” =4(AA,’ + AB’ + AD’)
~-Trong mặt phẳng có bài toán: Cho tam giác ABC Và M là một điểm nằm trong tam giác chứng minh rằng: Sac.MA + Suc.MB + vi = 0
-Trong không gian ta có bài toán: Cho tứ điện ABCD và M là điểm nằm
trong tứ diên. Chứng minh rằng:
.MC+ Vạ„..MD =0 MABC
MB+V, MABD MA+V, MACD
VWncp
~Trong mặt phẳng, ta có bài toán: Cho AABC vuông tại A, gọi I là trung điểm của đường cao AH. Chứng minh rằng: z?74+?1B+c?1C =ỉ.
~-Trong không gian, ta có bài toán: Cho tứ diện vuông OABC, có góc tam diện đỉnh O vuông, I là trung điểm của duong cao OH. Goi So,Sa,Sp,Sc lần lượt
là diện tích các mặt đối điện đỉnh O,A,B,C. Chứng minh rằng:
S210 + S2TA+ S21C +S821C =O
39
-Trong mặt phẳng có bài toán: Trong tam giác ABC gọi G là giao điểm của 3 đường trung tuyến.
Chứng minh: GA +GB+GC =0.
-Trong không gian ta có bài toán: Cho tứ điện ABCD. Gọi G là giao điểm các đường trọng tuyến của tứ diện.Chứng minh: G4+ G8+ GC + GD =0.
-Trong mặt phẳng, ta có bài toán: Cho A ABC, trọng tâm G.
a. CMR mọi điểm M ta có :
MA” + MB? + MC” = 3MG” + GA” + GB” + GC?
b. Tìm quỹ tích điểm M sao cho: MA? + MB? + MC” = k(k cho trước)
~Trong không gian, ta có bài toán: Cho tứ diện ABCD trọng tâm G a. CMR mọi điểm M ta có :
MA’ + MB + MC? + MD’ = 4MG? + GA’ + GB’ + GC’ + GD?
b. Tìm quỹ tích điểm M sao cho: MA? + MB? + MC? + MD? =k?
- Khái quát hóa:
Ví dụ 8: Từ bài toán: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có:
MA’ + MB* +MC’ = 3MG? + GA*+ GB* + GC’, (1)
b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MA” + MB? +MC? = k’, k 1a mét số cho trước.
Ta có thể khái quát hóa bài toán bằng cách
- Nếu ta thay đổi giả thiết tam giác thành tứ giác ABCD ta sẽ có các kết quả như thế nào?.
- Hãy khải quát bài toán cho n điểm Ai, A>, A3,..., An?
Mong đợi câu trả lời:
Trong mặt phẳng cho hệ n điểm A¡, Ao, A3,..., Aj:
a. CMR tồn tại duy nhất điểm G thỏa mãn: GA. + GA, +..+ GÀ, =0
Điểm G được goi la trọng tâm của hệ n điểm.
40
b. CMR với mọi điểm M ta luôn có:
MA, +MA,’ +...4 MA,? =nMG’ + GA,?+GA,’+...4 GA,”
c. Với các số thực mị, m;...m„ thoả mãn: mị + m; +...+ m„#0.CMR:
tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn: m,IA, +m,IA,+...+m,IA, =0. I goi la tam tỉ cự của hé ndiém Aj, Ao... An. Khi d6 v6i mọi điểm M ta có:
m,MA,’ +m,MA,’ +...4m,MA,?
=(m, +m, +...+m,)MI? +m,IA,2 + m,lA,Ý +...+ m,lA,°
1.5. Tư tưởng sư phạm của G.Polya phản ánh trong hoạt động dạy học phát hiện và giái quyết vẫn đề”.
1.5.1. Quan điểm hoạt động trong PPDH Toán
Con người sống trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động. Vận dụng điều đó trong dạy học môn Toán gọi 1a hoc tap trong hoạt động và bằng hoạt động. Theo Nguyễn Bá Kim, quan điểm hoạt động trong PPDH có thể được thể hiện ở các tư tưởng chủ đạo sau đây:
1.5.1.1. Luyện tập cho học sinh những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học
a.. Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung
Một hoạt động là ương ?hích với một nội dung nếu nó góp phần đem lại kết
quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. Từ "kết quả" ở đây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với kết quả tạo
ra ở môi trường bên ngoài. Việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau (như khái niệm, định lý hay phương pháp), về những con đường khác nhau để lĩnh hội từng dạng nội dung, chang han con đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, con đường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán đề học tập định lý.
41
Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, ta cần phái chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những bình diện khác nhau.
Đặc biệt chú ý đến những đạng hoạt động sau:
- Hoạt động nhận dạng và thể hiện;
- Những hoạt động toán học phức hợp;
- Những hoạt động ngôn ngữ;
- Những hoạt động trí tuệ chung;
- Những hoạt động trí tuệ phố biến trong Toán học.
Sau đây ta sẽ đi vào các hoạt động cụ thé đó:
(*) Hoạt động nhận dạng và thể hiện
Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau liên hệ với một khái niệm, một định lí hay một phương pháp.
Nhận dạng một khái niệm: là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa mãn định nghĩa đó hay không, còn thể hiện một khái niệm là tạo một đối
tượng thỏa mãn định nghĩa đó (có thể còn đòi hỏi thỏa mãn một số yêu cầu khác
nữa). Chắng hạn:
(*) Nhận dạng một định lí là xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp với một định lí đó hay không, còn thể hiện một định lí: là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí cho trước.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn
cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thắng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy. (Nhận dạng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng).
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mp (PQR) với cạnh AD nếu:
A)PR /AC; b) PR cắt AC.
(Thẻ hiện định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng)
42
(*) Nhận dạng một phương pháp: là phát hiện xem một đãy tình huống có phù hợp với các bước thực hiện phương pháp đó hay không, còn /hể hiện một phương pháp là tạo một đãy tình huống phù hợp với các bước của phương pháp
đã biết.
Vi du 3: Hay kiểm tra việc thực hiện từng bước tính khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau áp dụng ở bài toán trên. (Nhận dạng phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau).
Thông thường, những hoạt động vừa nêu trên liên quan mật thiết với nhau,
thường hay đan kết vào nhau. Cùng với việc /h£ hiện một khái niệm, một định lí
hay một phương pháp, thường diễn ra sự nhận dạng với tư cách là những hoạt động kiểm tra.
(*) Những hoạt động toán học phức hợp
Đó là các hoạt động như chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích..., thường xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong SGK toán phổ thông. Cho học sinh tập luyện những hoạt động này sẽ làm cho họ nắm vững những nội dung Toán học và phát triển những kĩ năng và năng lực Toán học tương ứng.
(*) Hoạt động ngôn ngữ
Những hoạt động ngôn ngữ được học sinh thực hiện khi họ được yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác.
Ví dụ 4: Định lí: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường
thắng thi song song với nhau”. Có thể yêu cầu học sinh phát biểu cách khác.
Mong đợi câu trả lời:
+ Một đường thắng cùng vuông góc với hai mặt phắng phân biệt thì hai mặt phẳng này song song với nhau.
+ Điều kiện đủ để hai mặt phắng phân biệt song song với nhau là: chúng cùng vuông góc với một đường thắng.
(*) Những hoạt động trí tuệ chung 43
Những hoạt động trí tuệ chung phân tích, tông hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá..., cũng được tiến hành thường xuyên khi học sinh học tập môn Toán.
Ví dụ 5: Dạy định lí: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba”.
Yêu cầu học sinh:
+ Phân tích giá thiết và kết luận?
(œ)+L)
Giả thiệt: + (B) L (y) Kêt luận: A | (7).
(œ)<ơ(B)= A
+ Phân tích các bước nhỏ của quá trình chứng minh?
Hiểu rõ giá thiết: (œ) .L (y)—= 3a c (œ) vụa_L (y) (B)1L)= 3bc 6) vụb1 ().
+ Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu
cầu của kết luận?
Phân tích thành các trường hợp sau:
+a=A ho/b=A = Chứng minh xong.
+az A vụb <A a//b =>a//(B) Muac(a)>a//AS>A L(y).
(*) Những hoạt động trí
tuệ phổ biến s
Những hoạt động trí tuệ phố biến trong Toán học rất quan trọng trong môn Toán, nhưng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó
là: lật ngược vấn đề, xét tính giải
được (có nghiệm, có nghiệm duy Hình 15
nhất, nhiều nghiệm), phân chia
44
trường hợp...
Ví dụ 6: Xét bài toán ở SGK Hình học 11 Ban cơ bản, tr72. (hình 15)
“Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD // BC, AD =
2BC.Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE.I là một điểm
trên cạnh AC khác với A và C. Qua I vẽ mặt phẳng (ơ ) song song với (SBE).
Tìm thiết diện tạo bởi (œ ) và hình chóp S.ABCD”?
Đối với bài toán này ta thấy thiết diện tạo bởi (œ ) với hình chóp phụ thuộc
vào vị trí điểm I. Vì vậy ta cần phân chia các trường hợp sau:
Trường hợp I: I thuộc đoạn AO va I khac O. Goi vi tri nay 1a1,, (a) //
(SBE) nén (a) // BE va (a) // SO.
+ (œ)// BE nên (ơ ) cắt (ABE) theo giao tuyén M,N,di qua |, va M,N, //
BE (M,i AB,N, i AE).
+ (a) // SO nén (a) cat (SAC) theo giao tuyến S¡l¡ di qua l,và song song
với (8, SA).
Ta có thiết diện là tam giác S,M,N,.
Truong hop 2:1 thuộc đoạn OC va I khac O. Goi vi trí này là l;, (œ ) /
(SBE) nén (a) // BE va (a) // SO.
+ (a) // BE nén (a) cat (BEDC) Theo giao tuyén M,N, di qua I, va M,N; // BE (M,ẽ BC,N,ẽ ED).
+ (œ) / SO nên (œ ) cắt (SOC) theo giao tuyến Q1; đi qua l;và song song
voi SO (Qi SC).
Do (a) // CD (vi CD // BE) nén (a) sé cat hai mat phang (BEDC) va (SDC) theo hai giao tuyến M„N,, PQ cùng song song với CD (P eSD).
Ta có thiết diện là hình thang M„N,PQ.
Truong hop 3:1 = O.
Dễ thấy thiết diện là tam giác SBE
b. Phân tích hoạt động thành những thành phân 45
Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiện như một thành phần của hoạt động khác. Phân tách được một hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạt động toàn bộ, vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết.
Ví dụ 7: Khi chứng minh định lí ba đường vuông góc: “Cho đường thắng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thắng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a” của a trên (P}” (Hình học 11), giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thông qua các hoạt động thành phần sau:
- Từ giả thiết ta có thể suy ra điễu gì về vị trí của a và mp(P)?
Mong đợi câu trả lời:
A nằm trong (P) hoặc a không nằm trong (P).
- Nếu a nằm trong (P) thì ta đã có kết luận chưa?
Mong đợi câu trả lời:
Nếu a nằm trong (P) thì kết quả hiển nhiên.
- Nếu a không nằm trong (P) thì muốn có kết luận trước hết ta cẩn phải làm gì?
Mong đợi câu trả lời:
Ta cần dựng hình chiếu a” của a lên (P) - Hãy nêu cách dựng hình chiếu của a lên (P)?
Mong đợi câu trả lời: