2.1. Phân tích nội dung chủ đề bài tập hình học không gian trong chương trình môn Toán THPT
Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, HHKG được nghiên cứu bằng ba phương pháp chủ yếu: phương pháp tiên đề, phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ.
a) Chương trình HHKG lớp I1 (SGK chuẩn và nâng cao, 2007) được xây
dựng theo tỉnh thần của phương pháp tiên đề (hệ tiên đề Hinbe) với các khái niệm cơ bản đó là điểm, đường thắng, mặt phắng và bốn tiên đề được thừa nhận
trong hình học phẳng.
Dựa trên ba khái niệm cơ bản, các kết quả đã được công nhận trong hình học phẳng và bốn tiên đề trong hình học phẳng, hàng loạt các khái niệm, các mô hình, các định lý và các hệ quả quan trọng ra đời nhằm tập trung giải quyết các mối quan hệ hình học. Giống như trong hình học phẳng, quan hệ trong HHKG cũng được chia làm hai loại: quan hệ định tính và quan hệ định lượng.
- Quan hệ định tính có 3 loại quan hệ sau:
+ Quan hệ liên thuộc: Điểm thuộc đường thắng, điểm thuộc mặt phẳng, đường thắng nằm trên mặt phẳng. Sau đó học sinh vận dụng nghiên cứu trên hình chóp.
+ Quan hệ song song: Hai đường thắng song song, đường thắng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. Sau đó nghiên cứu về hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt.
+ Quan hệ vuông góc: Hai đường thắng vuông góc, đường thắng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phăng vuông góc.
- Quan hệ về định lượng bao gồm:
56
+ Khoảng cách;
+ Góc;
+ Diện tích xung quanh;
+ Thể tích.
b) Chương trình HHKG 12 bao gồm:
+ Khối đa diện (Khái niệm khối đa diện, khối đa diện đều, thể tích các khối đa diện).
+ Các mặt trong không gian (Mặt cầu, mặt nón, mặt trụ và thể tích).
+ Phương pháp tọa độ trong không gian (Tọa độ điểm,véc tơ, phương trình mặt cầu, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thắng và các mỗi quan hệ giữa mặt cầu - mặt phẳng — đường thắng).
Như vậy, các mối quan hệ trong HHKG ở trường THPT là tương đối phong phú và đa dạng. Các mối quan hệ hình học mà học sinh đã học ở cấp 2 trở thành một bộ phận của kiến thức mà họ sẽ phải học trong chương trình THPT, điều này thể hiện được các ưu thế của môn học này trong việc phát triển tư duy cho học sinh, nhưng đồng thời cũng thấy được những khó khăn về nhận thức mà học sinh sẽ gặp phải khi học nội dung này.
Đối với chương trình HHKG lớp I1 - SGK lớp 11 nâng cao( 2007), các tác giả đã xây dựng và nghiên cứa HHKG thể hiện cụ thể như sau (theo chương trình giảm tải):
- Chương II. Đường thắng và mặt phẳng trong không gian - Quan hệ song song. Chương này có thời lượng là 14 tiết.
Chương III. Vectơ trong không gian - Quan hệ vuông góc. Chương này có
thời lượng là 17 tiết.
Đối với chương trình HHKG lớp I1 - SGK lớp II chương trình chuẩn ( 2007), các tác giả đã xây dựng và nghiên cứu HHKG thể hiện cụ thể như sau(theo chương trình giảm tải):
- Chương II. Đường thắng và mặt phẳng trong không gian - Quan hệ song
song. Chương này có thời lượng là 15 tiết.
57
- Chương III. Vectơ trong không gian - Quan hệ vuông góc. Chương này
có thời lượng là 15 tiết
Nhìn chung ở chương trình lớp 11 chủ yếu là nghiên cứu về định tính; về định lượng chỉ dừng lại ở việc tính góc, khoảng cách và tính diện tích thiết diện.
Phần còn lại được đưa lên chương trình lớp 12, cùng với sử dụng phương pháp
tọa độ để nghiên cứu HHKG.
- Ở hai chương này việc nghiên cứu và xây dựng HHKG dựa vào cả hệ tiên đề Hinbe như chương trình hình học lớp 11 (Sgk chỉnh lý hợp nhất 2000).
Ngoài ra còn sử dụng công cụ vectơ để nghiên cứu một số tính chất của các hình.
Sự tương ứng giữa nghiên cứu tỉnh chất hình không gian bằng phương pháp tiên đề và phương pháp véc tơ.
- Hai đường thắng vuông góc nhau <=> các vectơ chỉ phương vuông góc nhau.
- Đường thắng vuông góc với mặt phẳng <=> véc tơ chỉ phương đường thắng vuông góc với cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng.
- Hai mặt phẳng vuông góc nhau <=> vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc nhau.
- Hai mặt phẳng song song nhau <=> vectơ pháp tuyến cùng phương.
- Đường thắng song song với mặt phẳng <=> Vectơ chỉ phương của đường thắng biểu diễn được qua hai vectơ không cùng phương của mặt phẳng
<=> vectơ chỉ phương của đường thắng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Hai đường thắng song song hoặc trùng nhau <=> véc tơ chỉ phương của chúng cùng phương.
Trên đây là mối tương đồng giúp chúng ta nhìn sâu sắc hơn khi ta nghiên cứu các hình trong không gian.
Tóm lại HHKG ở trường THPT là nội dung Toán học được xây dựng theo tỉnh thần của phương pháp tiên đề và phương pháp tọa độ. Tuy nhiên còn
58
một số vấn đề trình bày chưa thật chính xác theo phương pháp tiên đề, nhưng đã thể hiện quan điểm hiện đại trong học tập và nghiên cứu Toán học.
2.2. Một số căn cứ đề xuất các phương thức sư phạm trong dạy học giải bài tập hình học không gian theo định hướng của G.Polya.
2.2.1. Căn cứ vào mục đích của dạy học
Như chúng ta đã biết mục đích của dạy học là làm cho học sinh lĩnh hội
được những kinh nghiệm xã hội mà loài người đã tích lũy được qua nhiều thế
kỷ. Quá trình nhận thức đó là sự phản ánh tích cực và có chọn lọc các hiện thực thực tiễn; trong đó chủ thể phải tiến hành những hoạt động phân tích và tổng
hợp tích cực để phát hiện được bản chất của hiện tượng. Chỉ những gì liên quan
đến nhu cầu, hứng thú, đến hoạt động hiện tại và sự phát triển tương lai của cá nhân mới được chọn lọc và phản ánh.
Quá trình dạy học là một quá trình tâm lý. Trong đó người học phải cảm giác, tri giác và vận dụng trí nhớ, tình cảm, ý chí...Dạy học phải đi trước sự phát triển; nghĩa là dạy học phải tiến hành trong điêù kiện dự đoán được mức độ phát triển của học sinh cao hơn hiện tại.
2.2.2. Căn cứ vào một số khó khăn trong quá trình dạy học hình học không gian ở bậc THPT:
1. Sự mâu thuẫn giữa một bên là các đối tượng hình học trừu tượng được trừu
xuất, lý tưởng hóa tách khỏi hiện thực khách quan (đối tượng nghiên cứu của
Toán học) và một
bên là khi dạy học Trí tưởng tượng
lại mô tá bằng các không gian
hình ảnh hiện thực,
hình biểu diễn trực
quan. Trong lúc đó quá trình dạy học
phần HHKG giáo logic Sơ đồ 2 Các biểu tượng
trưc quan
59
viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản đề phát triển trí tưởng tượng không gian, hiểu biết thực tiễn, phát triển tư duy logic và các phẩm chất trí tuệ;
những yếu tố này có mỗi liên hệ tương hỗ với nhau, được thể hiện qua sơ đồ
sau:
2. Các chứng minh trong hình học bằng lập luận logic, chứng minh theo công
thức hằng đúng sau: A, A A, A...A A, =B; trong đó A; là các tiên đề hoặc là
các định lí, các mệnh đề đã được chứng minh trước đó, B là mệnh đề cần chứng
minh, trong khi đó chứng minh lại dựa vào các hình vẽ trực quan. Chang han như “điểm”, “đường thắng”, “mặt phẳng” là các khái niệm cơ bản không định nghĩa, rất trừu tượng, chỉ hiểu qua các tiên đề, thế mà chúng lại được biểu thị
bằng dấu chấm, nét bút thắng, hình bình hành....Điều đó dẫn tới không ít học
sinh ngộ nhận rằng cái trừu tượng với cái được mô tả trực quan là một.
Thực tế cho thấy rằng khi giải bài toán hình học hoặc tiến hành chứng minh
một bài toán nào đó, bởi trong giả thiết là tổ hợp những điều kiện khác nhau; đặc
trưng cho các đối tượng hình học khác nhau, khi vẽ một hình nào đó để giải toán thì nó không biểu thị toàn bộ các khả năng có thể xảy ra, điều này dẫn đến khi biện luân dé thiếu một số trường hợp.
3. Sự chuyển hóa từ hình học phẳng lên không gian, có nhiều học sinh đang ngộ nhận nhiều chỉ tiết, quan hệ trong mặt phẳng sang quan hệ trong không gian. Chẳng hạn trong không gian học sinh vẫn giữ kết quả: “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thắng thứ ba thì chúng song song với nhau”
2.2.3. Căn cứ vào tính ưu việt của tư tưởng sư phạm của G.Polia trong quá trình giải bài tập toán.
Như đã phân tích ở chương I, tư tưởng sư phạm của nhà Toán học G.Polia đã thể hiện rõ những nguyên tắc chung khi dạy học giải toán,bằng hệ thống câu hỏi hợp lý, dẫn người giải toán từ từ mở ra những hướng đi để tìm lời giải cho một bài toán. Bản gợi ý này đảm bảo mạch logic của của quá trình dạy học — quá trình tâm lý; từ câu hỏi nhận thức, cài những tình huống tạo sự hứng thú, tập trung sự chú ý và năng lượng vào bài toán của người giải toán đến các hoạt
60
động phân tích, tổng hợp, huy động kiến thức, liên tưởng, phán đoán, dự đoán để tìm tòi lời giải. Hơn nữa, đến sau khi đã giải xong thì công việc chưa đừng han ma phải xem xét mỗi liên hệ với bài toán khác; đặc biệt thức hiện các thao tác đặc biệt hóa, tống quát hóa...Như vậy khi thực hiên quá trình đó, người giải toán đã phát triển được tư duy; từ tư duy tích cực—>tư duy độc lập—>tư duy sáng tạo.
2.3. Một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao hiệu quá dạy học giải bài tập HHKG trên cơ sở vận dụng tư tưởng sư phạm của G.Polya.
2.3.1. Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích tống hợp,dự đoán,khái quát hóa, đặc biệt hóa để tìm hướng giải bài tập toán.
Hoạt động phân tích, tổng hợp, dự đoán, khái quát hóa, đặc biệt hóa là những thao tác tư duy tích cực và cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình dạy học toán ở trường THPT; đặc biệt trong hoạt động giải bài tập toán. Nó góp phần phát triển tư duy cho người học hơn nữa đây là quá trình hình thành năng lực giải quyết vẫn đề. Hoạt động này có tác dụng giúp người giải toán mồ xẻ, dự đoán, mò mẫm phương thức giải bài toán, và đây cũng là cơ hội đào sâu
và hệ thống hóa kiến thức.
* Phân tích và tổng hợp:
Phân tích là chia cái toàn thé ra thành từng phần, là phân cái toàn thể ra
từng bộ phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hóa đi một mặt nào đó những dấu hiệu và những phần riêng lẻ nào đó.
Tổng hợp là kết nỗi các phần riêng lẻ, là khái quát các đấu hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn.
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tách rời nhau, chúng là hai mặt đối lập của quá trình thống nhất. Các hoạt động phân tích và tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ.
Phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp vì nếu không có quá trình đi sâu phân tích các chỉ tiết, sự vật riêng lẻ thì khó mà làm bộc lộ được cái chung, cái toàn
thể giữa các chỉ tiết hay sự kiện riêng lẻ đó. Ngược lai, tong hợp lại tạo điều kiện
61
cho sự phân tích tiếp theo; vì nhờ có sự tổng hợp đó mà ta có thể nghiên cứu các
sự kiện, chỉ tiết riêng lẻ khác.
Khi đứng trước một bài toán, các hoạt động phân tích và tổng hợp được tiến
hành; nhờ đó mà chúng ta có thể dự đoán được kết quả và định hướng được
hướng giải.
e© Dự đoán:
Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một khoảng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra thì ta đã làm công việc dự đoán. Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cần phải xem xét các bằng chứng một cách cn than trước khi đưa ra điều dự đoán của mình.
Theo tác giả Đào Văn Trung mô tả; “Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết.
Hay đự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [22].
Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống, liệu cú cỏch nào học được cỏch dự đoỏn hay khụng? Theo G.Polya thỡ “...trừ ô
những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có được năng khiếu dự đoán đó. Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng đi nếu cần, và như thế sẽ có kinh nghiệm phong phú và sâu sắc về các dự đoán sai và các dự đoán đúng. Những dự đoán có thé rat táo bạo, nhưng phải có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều”.[4]
Để có năng lực dư đoán, phát hiện vẫn đề thì điều kiện tiên quyết là học sinh phải giải thật nhiều đạng toán, phải biết tích lũy kinh nghiệm. Họ cần phải
được rèn luyện các năng lực như: Năng lực xem xét các đối tượng Toán học, năng lực tư duy biện chứng, năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đạc biệt hóa, tổng quát hóa, năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã biết với các đối
62
tượng:tương tự, quan hệ tương tự. Chúng ta hãy thử làm một diều dự đoán trong ví dụ sau:
Ví dụ 5: Trong không gian cho hai tia Ax và By chéo nhau. Lấy Me Ax.(P) qua By và |) Ax. Duong thang d qua M và song song với AB cắt (P) tại I.
Xác định giao điểm I và tìm tập hợp I khi M chạy trên Ax.
Phân tích;
- xác định giao điểm I của (P) và d.
- Tìm quỹ tích I khi Mchayj trên Ax.
Dự đoán: X
M chạy trên Ax thì I chạy trên đường thắng nào đó song song với Ax.
Ta sẽ chứng minh đề làm rõ điều này:
Thuận: Ta dễ dàng tỡm được I= d ơ (P). Hỡnh 18 Vv - Vì (P) D By và (P)L'Ax nên từ B kẻ
Bz/ Ax > Bz Cc (P).
- Vi Me Ax mad di qua M val) AB Nên dn Bz =l
= ABIM là hình bình hành nên AM= BI.
Khi M chạy trên Ax thì I chạy trên Bz_' Ax
Tất cả những người giải toán đều phải xây dựng các phỏng đoán, hay đề
ra giả thiết và đó chính là năng lực dự đoán vẫn đề của họ. Như vậy, điều kiện
để có được năng lực dự đoán tốt thì người giải toán phải không ngừng tích lũy vốn tri thức, biết nhìn nhận vẫn đề trên nhiều góc độ và khi cọ xát nhiều với các dạng toán khác nhau thì sẽ bố sung thêm kinh nghiệm cho bản thân.
Khi giải toán, nhất là những bài toán khó, thì thường phải xen kẽ giữa phân tích và tông hợp mới mong đạt được kết quả cao. Ngay trong bài toán hơi khó thôi thì cũng đã đòi hỏi vừa kết hợp giữa phân tích và tổng hợp, hỗ trợ nhau.
63
Trong quá trình xen kẽ phân tích va tong hop can dan hoc sinh xác định rõ
đâu là giả thiết và đâu là kết luận của bài toán. Học sinh sẽ xuất phát từ kết luận
của bài toán, đùng thao tác tư duy phâ tích đi sâu vào nghiên cứu các yếu tố thành phần theo hướng tìm ra các mỗi quan hệ maoc nối với các yếu tô của giả thiết. Trên cơ sở đó tổng hợp những yếu tố riêng lẻ đã phân tích ở trên đưa ra được nội dung bao trùm các thành phần riêng lẻ đó.
2.3.2. Luyện tập cho học sinh hoạt động liên tướng nhằm huy động
đúng đắn kiến thức đã học để tìm tòi lời giải bài toán.
2.3.2.1. Sự liên tưởng
Theo từ điển Tiếng Việt, /iên ưởng có nghĩa là: “Nhân sự vật, hiện tượng
nào đó mà nghĩ đến sự vật, hiên tượng khác có liên quan “(từ điển TV Nxb Kim Đồng).
Thuyết liên tưởng thê hiện những luận điểm cơ bản:
e Tâm lý được cấu thành từ cảm giác.Các cấu thành cao hơn như biểu tượng,ý nghĩ, tình cảm...là cái thứ hai, xuất hiện nhờ liên tưởng các cảm giác.
e .. Điều kiện để hình thành các liên tưởng là sự gần gũi của các quá trình tâm lý.
e Sự liên kết các cảm giác và ý tưởng đề hình thành ý tưởng mới không phải là sự kết hợp giản đơn các cảm giác hoặc các ý tưởng đã có, mà giống như sự liên kết giữa các nguyên tố hóa học để tạo ra chất mới.
e Các mối liên tưởng quy định bởi sự linh hoạt của các cảm giác hay ý tưởng sống động hơn, thường xuyên hơn thì tạo ra cảm giác hay ý tưởng mạnh hơn các cảm giác và các ý tưởng yêu hơn, ít thường xuyên hơn.
e_ Các liên tưởng được hình thành theo các quy luật: gzy luật tương tu, quy luật tương cận- gần nhau về không gian và thời gian, quy luật nhân quả, lên tưởng tương phản
Tác giả L.B.Itenxơn cho rằng: “Tư duy tốt tức là tư duy đúng đắn và có hiệu quả, biết thực hiện được những liên tưởng khái quát, những liên tưởng phù
64