Mô hình toán học: Một mô hình toán học là một cấu trúc toán học mô tả gần đúng đặc trưng của một hiện tượng nào đó, một mô hình toán học bao gồm các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó 2 .
Mô hình hoá toán học (MHHTH): Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này được gọi là mô hình hoá toán học. Một vài cấu trúc toán học cơ bản có thể dùng để mô hình hoá là các đồ thị, phương trình
24
(công thức) hoặc hệ phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật toán. MHHTH cho phép HS kết nối toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn 2 .
Quy trình mô hình hóa Toán học:
Dựa vào quy trình mô hình hóa toán học của Kaiser và Blum trong [3, tr.100], Ok Ki Kang trong [4], và của nhiều tác giả khác, ta có thể nhận thấy được rằng nói chung quy trình mô hình hóa toán học bao gồm một số bước cơ bản sau:
Bước 1: Hiểu tình huống thực tế, xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo, có thể đưa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp, có thể lý tưởng hóa, đơn giản hóa vấn đề để từ đó tạo ra một mô hình thực tế của tình huống (mô hình trung gian).
Bước 2: Mô hình thực tế được toán học hóa, tức là được thông dịch sang ngôn ngữ toán học để dẫn đến một mô hình toán học của tình huống ban đầu. Chúng ta nên lưu ý rằng là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, việc xác định, đưa ra mô hình phụ thuộc vào việc chúng ta đánh giá yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan trọng.
25
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3. Ở đây người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Chúng ta lưu ý rằng: đây là một bước quan trọng giúp cho người thực hiện nhận ra rằng giải pháp đó liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh.
Đây cũng là bước quan trọng khi mà sự mạnh, yếu của mô hình được xem xét, thảo luận.
Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng :
Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã sử dụng, kết quả thu được.
Khả năng 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế. Lúc này phải tìm nguyên nhân
Có thể đặt ra những câu hỏi sau :
- Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không? Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử dụng. Ở đây, người ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô hình trung gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng.
26
- Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa? Nếu chưa thì phải xây dựng lại. Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhưng phải xem xét lại mô hình toán học đã lựa chọn.
- Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế không? Nếu không thì cần phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, qui luật nào bị bỏ sót không.
- Các số liệu ban đầu (các thông số, hệ số) có phản ánh đúng thực tế không?
Nếu không thì phải điều chỉnh lại một cách nghiêm túc và chính xác
Bước 5: Báo cáo giải thích, dự đoán kết quả. Đây là một bước đòi hỏi người thực hiện cần có kinh nghiệm sử dụng ngôn ngữ để trình bày những ý tưởng toán học. Ở đây, chúng ta sẽ phản ánh được chất lượng tư duy của người thực hiện. Các báo cáo nên bao gồm các tài liệu về quá trình tiến hành, cũng như các dự đoán và câu trả lời cuối cùng.
Quá trình xây dựng các tình huống hỗ trợ quá trình dạy học được thể hiện trong sơ đồ sau:
27
Quá trình mô hình hóa mô phỏng theo Stillman & Galbraith (2006) 4